ER UYDURMA

ER UYDURMA

Genellikle deneysel almalar sonucu elde edilen veriler noktasal deerlerdir.Veriler arasnda srekli bir fonksiyon tanm yoktur.Byle durumlarda veriler;

(x1 , y1) , . . . ,(xn , yn)

eklinde nokta iftleri olarak verilir.j = 1 , . . . , n iin f(xj) yj olacak ekilde f(x) fonksiyonunun bulunmas istenir.

Yani ; bir fonksiyonun nokta nokta verilen deerlerinde , fonksiyona en yakn baka bir fonksiyonun belirlenmesi veya pratikte kullanm zor olan fonksiyonlarn yerine geerek hesaplamalarda kolaylk salayabilecek yeni fonksiyonlarn aratrlmas eri uydurma problemidir.

1)En Kk Kareler Yntemi

Yntemin temeli;gerek deerlerin regresyon dorusundan uzaklamalarn minimum yapan denklemin bulunmasdr.

yi(x) : gerek deerler

(x) : tahmini deerler(regresyon deerleri)

qi : bu deerler arasndaki fark

olmak zere;

= = minimum

olan denklem,dalm en iyi temsil eden denklemdir.

qi nin gsterimi;

(x0 , y0) , (x1 , y1) , (xn , yn) noktalar arasndan sonsuz sayda doru geebilir.Her doru iin yi(x) ve (x) deerleri arasnda deiik farklar kacaktr.Bunlarn iinde herhangi bir doru iin,farklarn kareleri toplam minimum ise;o doru,dalm en iyi temsil eden dorudur.

(x0 , y0) , (x1 , y1) , . . . , (xn , yn) noktasndan geen doru denklemi ,

axi + b

eklindedir.

Bu denklemi = denkleminde yerine yazarsak;

=

elde edilir.

deeri minimum olacak ekilde a ve b deerleri bulunmak isteniyor.Bunun iin; toplamn sfra eitleyip a ve bye gre ksmi trevler alrsak u denklemler elde edilir:

= a + nb

= a + b

Bu denklemlere normal denklemler denir.Normal denklemler yardmyla a ve b deerleri bulunduktan sonra ; y = a + bx denkleminde yerine yazlarak, istenen regresyon denklemi elde edilmi olur.

RNEK 1 : Verilen x ve y deikenleri iin en kk kareler yntemini kullanarak y = ax + b eklinde bir fonksiyon bulalm.

(-1.0 , 1.000) , (-0.1 , 1.099) , (0.2 , 0.808) , (1.0 , 1.000)

Ayrca ihtiya duyulan toplamlar u ekilde hesaplanmtr:

n = 4 , = 0.1 , = 2.05 , = 3.907 , = 0.0517

ZM :

Normal denklemler ; = a + nb

= a + b eklinde idi.

Soruda verilen deerleri normal denklemlerde yerine yazarsak;

3.907 = 0.1a + 4b

0.0517 = 2.05a +0.1b

denklemleri elde edilir.Sistem zlrse;

a = -0.0224,b = 0.9773

bulunur.Denklem ;

y = 0.9773 0.224x

olarak elde edilir.

Yukarda kullandmz bu yntemi genelletirelim.Bunun iin y = ax + b yerine , m < n - 1 olmak zere;

p(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm

polinomunu alacaz.Yani ;

s =

toplamn en kk yapacaz.s i minimum yapmak iin;

= 0 , = 0 , . . . , = 0 olmas gerekir.

Bylece, m + 1 bilinmeyenli ve m + 1 lineer denklemden oluan bir lineer denklem sistemi elde etmi oluruz.Bu sistemi zersek;

b0 , b1 , . . . , bm katsaylarn bularak ve bunlar

p(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm

polinomunda yerine yazarak,istenen polinomu elde ederiz.

m = 2 iin;

p(x) = b0 + b1x + b2x2

eklindedir . Bunun iin normal denklemler yledir ;

b0n + b1 + b2 =

b0 + b1 + b2 =

b0 + b1 + b2 =

RNEK 2 :

10 rencinin matematik ve fizik notlar u ekildedir:

Matematik

75 80 93 65 87 71 98 68 84 77

Fizik

82 78 86 72 91 80 95 72 89 74

1) Matematik notlar bamsz deiken iken, veriler iin en uygun doruyu bulunuz.

2) Matematik dersinden 75 alan rencinin Fizik dersinden ka almas beklenir?

3) Fizik dersinden 95 alan rencinin Matematik dersinden ka almas beklenir?

u deerler hesaplanmtr:

= 798 , = 819 , = 66045 , =64722

ZM :

1) Normal denklemler : = a + nb

= a + b

eklindedir.

Verilen deerleri denklemlerde yerine yazarsak ;

798a + 10b = 819

64722a + 798b = 66045

Sistemleri zersek ; a = 0.66 ve b = 29.23 elde edilir.Deerler denklemde yerine yazlrsa ;

y = ax + b y = 0.66x + 29.23

eklinde elde edilir.

2) x : Matematik notlar olduundan (x = 75)

= 0.66 (75) + 29.23 79

3) y : Fizik notlar olduundan (y = 95)

95 = 0.66x + 29.23 x = 99.65 100

Tanm:

Eer ={ 0, jk ve ak>, j=k ise

{0, 1,,n} fonksiyonlarna [a,b] aralnda w arlk fonksiyonuna gre ortogonaldir denir.Eer k=0,1,,n iin ak=1 ise bu durumda {0, 1,,n} fonksiyonlarna ortonormaldir denir.

En kk kareler ynteminin bir genelletirilmesi

q=

integralinin en kk yaplmasdr. Burada w(x) negatif olmayan bir arlk fonksiyonudur ve k(x) polinomlar jk iin genelletirilmi anlamda

= 0 ortogonal polinomlardr. Bu durumda ak katsaylar

eklindedir. Eer sk= denirse

qmin=- ile verilir. Bu da

bessel eitsizliini ve m sonsuza giderken serisinin yaknsak olduu gereini verir.Eer ilgili ortogonal aile,tamlk olarak bilinen bir zellie sahipse ve eer y(x) yeterince dzgn bir fonksiyon ise o zaman gerekten qmin deki integrale yaknsar.Bu da p(x) polinomunun derecesi arttka yaklatrmann hatasnn azalaca anlamna gelir.

Teorem:

Aadaki ekilde tanmlanan {0, 1,,n} fonksiyonlar [a,b] aralnda w arlk fonksiyonuna gre ortogonaldir. Her x[a,b] iin 0(x)1, 1(x)=x-B1 eklindedir.Burada

eklinde tanmlanr.Genel olarak her x[a,b] ve k2 iin

k(x)=(x-Bk) k-1(x)-Ck k-2(x) dir. Burada

eklindedir.

rnek: {pn} Legendre polinomlarnn [-1,1] aralnda w(x)1 arlk fonksiyonuna gre ortogonal olduu bilinmektedir.Legendre polinomlarn kullanarak birinci,ikinci,nc,drdnc ve beinci dereceden en kk kareler yaklam polinomlarn bulunuz.

zm: Bir kere ilgili teorem gereince sfrnc dereceden en kk kareler yaklam polinomu p0(x)1 eklindedir.Birinci dereceden en kk kareler yaklam polinomu

P1(x)= x-B1p0(x) eklindedir. Burada

olarak hesaplanr ve yerine yazlrsa p1(x)= x-B1p0(x)=x olarak bulunur.kinci dereceden en kk kareler yaklam polinomu p2(x)= (x-B2) p1(x)-C2p0(x) eklindedir.Buradaki B2 ve C2 deerleri

olarak hesaplanr ve yerlerine yazlrsa

p2(x)= (x-B2) p1(x)-C2p0(x)=(x-0)x-=x2- olarak elde edilir.Benzer ekilde p3(x)=x3-x ,

p4(x)=x4- x2+ ve p5(x)= x5- x3+ x

OK DEKENL REGRESYON

Bamsz deikenin birden fazla olduu durumlarda, normal denklemler, en kk kareler yntemiyle ve daha nce akladmz yolla bulunur. Bununla beraber pratik olarak, regresyon denleminin her iki taraf, sz konusu deikenlerle ayr ayr arplarak taraf tarafa toplanr. rnein iki bamsz deikenli problemlerde regresyon denklemi;

z=a+b1x+b2y

eklindedir. Normal denklemlerin bulunmas iin, eitliin he riki yan taraf trafa n defa toplanarak birinci denklem elde edilir. Sonra bu denklemin her iki taraf x ile arplarak ikinci denklem, ardndan da y il e arplarak ikinci denklem elde edilir.

Bylece

z=na+b1x+b2y

xz=ax+b1x2+b2xy

yz=ay+b1xy+b2y2

elde edilir.

ORTOGONAL POLNOMLAR ve EN KK KARELER YNTEM

Eer y(x) verisi srekli ise,

q=

integralini en kk yapacaz.Burada

p(x)=b0+ b1x++bmxm=

eklinde polinomdur.

imdi q yu

q=

j=0,1,,m iin

Olmasdr. Yani

, ,, olmaldr.

Bylece m+1 bilinmeyenli m+1 lineer denklemden oluan

J=0,1,,m

eklinde normal denklemler elde edilir.Bu denklem sisteminin zlmesiyle

a0,a1,a2,,am katsaylar bulunur ve p(x)= a0+a1x+ +amxm

polinomu iinde yerine yazlarak istenen polinom elde edilmi olur.

rnek

En kk kareler yntemini kullanarak, [0,1] aralnda =y(x) fonksiyonu iin ikinci dereceden yaklak bir polinom bulunuz.

zm

[0 , 1] aralnda y(x) fonksiyonu iin p(x)= a0+a1x+a2x2 eklinde bir polinom elde edeceiz.Probleme gre normal denklemler;

eklindedir. Normal denklemlerdeki integrallerin hesaplanmasyla

a0+ a1+ a2=

a0+ a1+ a2=

a0+ a1+ a2=

Lineer denklem sistemleri elde edilir.Bu denklem sistemi zlrse;

A1=-0.050465 a2=4,12251 a3= -4.12251

Bulunur.Buradan da istenen polinom

P(x) = -0.050465 + 4.12251x 4.12251x2

Olarak elde edilir.

Yukardaki rnekte eer daha yksek mertebeden bir polinom elde etmemiz istenmi olsayd iimiz zorlaacakt nk lineer denklem sistemlerindeki bilinmeyen ve denklem says arttka zm bulmak zorlar. Bu durumda kar byk matris hesaplar kar.

LNEER OLMAYAN REGRESYONBu modellerde, baml deiken parametrelere gre lineer olmayan bir bant ile bamsz deikenlere baldr.

rnein, f(x)=a0(1-e-a1x) modeli basit yntemlerle lineer hale getirilemez. Bunun zm iin eitli yntemler olmakla birlikte, biz Gauss-Newton yntemi zerinde duracaz.

Gauss-Newton yntemi, lineer olmayan fonksiyonun Taylor seri alm esas alarak, ardk ilemler sonucu parametreleri yaklak hesaplamaya dayanr. Her defasnda hesap edilen parametrelerin, hatalar minimum yapma eiliminde deiim gsterecei kabul altnda iterasyonlara devam edilir.

Bu yntemi yi=f(xi;a,b) modeli zerinde aklyalm. Bu fonksiyonu, (a,b) civarnda, ikinci mertebeden trevleri ieren terimlerden sonraki terimleri ihmal ederek, Taylor serisine aalm. Bylece a=aj+1-aj ve b=bj+1-bj olmak zere

y-f(x)j=+ei

elde edilir. Bu denklemi,tm gzlemler iin matris formunda yazmaya alalm. Bu durumda

zj=

elde ederiz. Bu durumda

DT ={y1-f(x1) ,, yn-f(xn)} vektr, fonksiyon deerleri ile lmler arasndaki farklar ierir. Yine A parametre deerlerindeki deiimi ieren vektr olup,

A=[] eklindedir.

Buna gre D=[zj]A+E yazlabilir. Bu ifadeye en kk kareler yntemi uygulanrsa

[zjT zj] A= [zj]TD normal denklemleri elde edilir. Bu sistem zlrse

A=[zjT zj] -1 [zj]TD eklinde bulunur. Bylece yeni a0 ve a1 deerleri

a0,j+1= a0j +a0

a1,j+1= a1j+a1 olarak elde edilir.

rnek: Aadaki tablodaki deerler verilmektedir.

X

0.25

0.75

1.25

1.75

2.25

Y

0.28

0.57

0.68

0.74

0.79

a00= 1.0 ve a10=1.0 ilk tahmin deerleri ile iterasyona balayarak verilere f(x)= a0 (1-e-a1x) tipinde lineer olmayan bir model uyumu salaynz.

zm: Balangta hatalarn kareleri toplam 0.0248 olup, her admda bu deer azalacaktr.

=1- e-a1x ve = a0e-a1x

olduundan, z0= yazlabilir.

O halde z0Tz0= olacandan,

[z0Tz0]-1= bulunur. Model tahmini ile gzlemler

arasndaki farklardan oluan D vektr

D= = olduundan,

[z0]TD= bulunur.

Bylece A= olarak elde edilir. O halde 1.iterasyon sonucunda parametre tahminleri, olarak elde edilir. Bu ekilde iterasyonlara devam edilerek sonuta

a0=0.79186 ve a1=1.6751 deerleri elde edilir. Bu admda hata kareleri toplam 0.00062 olur.

Trigonometrik Fonksiyonlar Yardmyla Eri Uydurma

Bu ksmda trigonometrik fonksiyonlar yardmyla verilere nasl eri uydurulacan greceiz. Bilindii gibi sins ve kosins fonksiyonlar polinomlarn birok istenen zelliini paylar. Ayrca bunlar hzl yaknsayan serilerle kolaylkla hesaplanrlar. Ardk trevleri yine sins ve kosinslerdir ve bu integraller iin de geerlidir. Ayrca ortogonallik zelliine ve polinomlarn sahip olmad periyodiklie de sahiptirler. Bu nedenlerden dolay trigonometrik fonksiyonlarn yaklatrma teorisinde kullanlrlar.

Srekli fonksiyonlar olan

1, sin x, sin2x, sin nx, cos x, cos 2x, , cos nx

dizileri (0,2) aralnda birbirine ortogonal fonksiyonlardr. Yani

i. 0, Tm m ve n iin

ii. =

iii. =

Koullarn salar. Bu zellikler gz nne alnarak herhangi bir fonksiyonu,

=

eklinde Fourier serisine alabilir. Bu formldeki katsaylar

, n=0,1,,

, n=1,2,..

eklinde hesaplanr. Herhangi bir fonksiyonunun Fourier Serisi ile yaklak ifade edilebilmesi iin aadaki drt koulun salanmas gerekir.

i. stenilen aralkta srekli olduu her noktada fonksiyonun tek deerli olmas,

ii. stenilen aralkta sonlu olmas,

iii. stenilen aralkta srekli olmas,

iv. stenilen aralkta sonlu sayda maksimum veya minimum deerleri almas.

Eer fonksiyonu srekli olmayp, n tane eit aralkl ayrk noktalardaki deerleri olarak verilirse yukardaki integral ilemlerinin yerine toplam sembolleri kullanlr. zellikle x deikeninin artan deerleri karsnda y deikeninin deerleri periyodik bir deiim gsteriyorsa, matematiksel model olarak kesikli Fourier serisi seilecektir. En genel durumda kullanlacak Fourier modelinin matematik ifadesi,

eklinde olur. Buradaki T deeri x deikeninin trnde ve biriminde olan periyottur. Eer gzlenen noktalar yardmyla periyot belirlenemiyorsa,

olarak seilebilir. katsaylar daha nce grdmz gibi hata kareleri toplam minimum olacak ekilde belirlenecektir. imdi

, i=1,2,,,n

Dnm yapalm. Bu durumda

yazlr. Bu ifadenin minimum olmas iin gerek ve yeter koul

k=0,1,,m

olmasdr. Buradan k=0,1,,m iin

,

ve

formlleri elde edilir. ve parametrelerinin says iin, n gzlenen nokta says olmak zere, 2m+1n yazlabilir.

imdi m=1 kabul ederek , ve parametrelerinin nasl elde edilebileceini grelim;

, i=1,2,,n

olduundan

yazabiliriz. Bu ifadenin minimum olmas iin gerek ve yeter koul:

olmasdr. Bylece srasyla , ve parametrelerine gre ksmi trevleri alnrsa;

elde edilir. Bu denklemler matris formunda

eklinde yazlr. katsaylar matrisindeki toplamlar iin,

, =0, =, =, =0

yazlarak elde edilen sistem zlrse,

bulunur.

1. rnek 0