ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Εργαστηριακές

Ασκήσεις Οπτικής Περίθλαση

Τσόρμπας Νικόλαος

11/12/2014

Σκοπός:

Ο σκοπός της εργαστηριακής άσκησης µέσω των πειραµάτων που θα πραγµατοποιηθούν

είναι:

• Να περιγραφεί ποιοτικά το φαινόµενο της περίθλασης του φωτός και να

προσδιορισθούν οι συνθήκες που χαρακτηρίζουν την περίθλαση Fresnel και

Fraunhofer

• Να εντοπίζονται ποιοτικά τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του αντικειµένου από το

οποίο προήλθε η εν λόγω εικόνα περίθλασης και να υπολογίζονται τα γεωµετρικά

χαρακτηριστικά του.

• Στην περίπτωση που υπάρχουν παραπάνω από ένα όµοια περιθλώντα ανοίγµατα να

προσδιορίζονται ο αριθµός και το είδος των ανοιγµάτων και επίσης να υπολογίζονται

οι διαστάσεις και η απόσταση των ανοιγµάτων

• Στην περίπτωση φράγµατος περίθλασης να υπολογίζεται η περίοδός του ή αν είναι

γνωστή η περίοδος και µε µέτρηση της γωνίας περίθλασης διαφόρων ακτινοβολιών

να προσδιορίζεται το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας

Θεωρία:

1. Γενικά

Τοποθετώντας ένα αδιαφανές αντικείµενο ανάµεσα σε µια πηγή και σε ένα πέτασµα

παρατηρείται ότι τα όρια της γεωµετρικής σκιάς δεν είναι απόλυτα καθορισµένα, αλλά

υπάρχει φως στην περιοχή όπου αναµενόταν σύµφωνα µε την αρχή της ευθύγραµµης

διάδοσης του φωτός, σκιά. Επιπλέον στην περιοχή αυτή παρατηρούνται και εναλλασσόµενοι

φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί όπου η ένταση του πρώτου φωτεινού κροσσού είναι

µεγαλύτερη από την ένταση της οµοιόµορφα φωτισµένης περιοχής. Με βάση την

παρατήρηση αυτή ορίζεται η περίθλαση ως το φαινόµενο της εκτροπής του φωτός από την

πορεία διάδοσης του όπως καθορίζεται από τους νόµους της γεωµετρικής οπτικής.

Η περίθλαση είναι κατεξοχήν κυµατικό φαινόµενο και λαµβάνει χώρα κάθε φορά που

τροποποιείται µε οποιονδήποτε τρόπο το µέτωπο κύµατος.

Έτσι λοιπόν η περίθλαση συνδέεται άρρηκτα µε την απώλεια πληροφοριών.

Τόσο η περίθλαση όσο και η συµβολή είναι φαινόµενα που οφείλονται στην κυµατική φύση

του φωτός και είναι αλληλένδετα και σε πολλές περιπτώσεις είναι δύσκολο να διακριθούν τα

όρια της δηµιουργίας και της εµφάνισης του καθενός. Γενικά µπορεί να ειπωθεί ότι το

φαινόµενο της συµβολής είναι το αποτέλεσµα της υπέρθεσης λίγων σύµφωνων κυµάτων ενώ,

της περίθλασης της υπέρθεσης πολλών σύµφωνων κυµάτων.

2. Αρχή του Huygens – Fresnel

Το φαινόµενο της περίθλασης µπορεί να εκφραστεί ποιοτικά µέσω της αρχής του Huygens η

σύµφωνα µε την οποία «κάθε ανεµπόδιστο σηµείο του µετώπου κύµατος ενεργεί σαν πηγή

ενός δευτερευόντως σφαιρικού κύµατος, το οποίο επεκτείνεται προς όλες τις δυνατές

διευθύνσεις. Το νέο µέτωπο κύµατος είναι η περιβάλλουσα όλων αυτών των δευτερευόντων

σφαιρικών κυµάτων».

Εικόνα 1 Γραφική αναπαράσταση της αρχής Huygens - Fresnel

Η αρχή του Huygens δηλώνει κατά βάση ότι οποιοδήποτε κι αν είναι το µήκος κύµατος το

νέο µέτωπο κύµατος είναι το ίδιο, ανεξάρτητο από οποιαδήποτε θεώρηση του µήκους

κύµατος, γεγονός που δεν είναι πάντα συµβατό µε τα πειραµατικά δεδοµένα. Το πρόβληµα

αυτό άρετε µε τη συµπλήρωση της αρχής του Huygens µε αυτήν της επαλληλίας των

κυµάτων του Fresnel και είναι γνωστή σαν αρχή του Huygens – Fresnel.

Σύµφωνα µε αυτήν: «κάθε ανεµπόδιστο σηµείο ενός µετώπου κύµατος, σε δεδοµένη στιγµή,

δρα σαν πηγή δευτερευόντων σφαιρικών κυµάτων, µε την ίδια συχνότητα µε το αρχικό

µέτωπο. Το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε χρονική στιγµή µετά το

αρχικό µέτωπο κύµατος προκύπτει από την υπέρθεση όλων των δευτερευόντων κυµάτων»

3. Αρχή του Babinet

Η αρχή του Babinet, απόρροια της γραµµικής επαλληλίας των πεδίων, λέει ότι

«συµπληρωµατικά ανοίγµατα περίθλασης δίνουν την ίδια ακριβώς κατανοµή έντασης του

φωτός στον περιθλαστικό µετασχηµατισµό τους». Αυτό σηµαίνει ότι οι εικόνες περίθλασης

από συµπληρωµατικά ανοίγµατα είναι ακριβώς οι ίδιες. Η αρχή του Babinet δεν είναι τελείως

αληθής, δεδοµένου ότι το ανεµπόδιστο κύµα από µια σηµειακή πηγή, δεν δίνει σηµεία

µηδενικής έντασης.

Εικόνα 2 Σχηµατική αναπαράσταση της αρχής του Babinet

4. Περίθλαση Fresnel και Περίθλαση Fraunhofer

Τα φαινόµενα περίθλασης κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες, οι οποίες έλαβαν τις ονοµασίες

τους από τα ονόµατα των επιστηµόνων που πρώτοι τις ερµήνευσαν. Αυτές είναι:

i. Περίθλαση Fresnel: Η φωτεινή πηγή και το σηµείο παρατήρησης είναι πολύ κοντά

στο αντικείµενο που προκαλεί την περίθλαση. Τόσο τα προσπίπτοντα όσο και τα

περιθλώµενα κύµατα είναι σφαιρικά.

ii. Περίθλαση Fraunhofer: Η φωτεινή πηγή και το σηµείο παρατήρησης βρίσκονται πού

µακριά από το αντικείµενο που προκαλεί την περίθλαση. Τόσο τα προσπίπτοντα όσο

και τα περιθλώµενα κύµατα µπορούν να θεωρηθούν επίπεδα και η θεωρητική τους

περιγραφή απλοποιείται σηµαντικά.

Τα πειράµατα του εργαστηρίου ήταν περίθλαση Fraunhofer.

Πειραµατική διαδικασία:

Πείραµα 1: Περίθλαση Fraunhofer µονοχρωµατικού φωτός

Για να µελετηθεί πειραµατικά το φαινόµενο της περίθλασης, χρησιµοποιήθηκε µια σειρά

περιθλώντων στοιχείων και η διάταξη του περιθλασίµετρου. Τα περιθλώντα στοιχεία ήταν τα

ακόλουθα:

i. Απλά ανοίγµατα:

• Ορθογώνια ανοίγµατα: Ο1, Ο2

• Σχισµές: Σ2, Σ3, Σ4

• Κυκλικές Οπές: 1 1,K K ′

ii. Πολλά ανοίγµατα:

• ∆ύο Κυκλικές Οπές: 2 2,K K ′

• Τρεις Κυκλικές Οπές: 3K

• Τέσσερις Κυκλικές Οπές: 4K

iii. Φράγµατα:

• Φράγµατα Ν σχισµών: 1 2,Π Π

• ∆υσδιάστατα φράγµατα κυκλικών οπών: 1 2,∆ ∆

Η πειραµατική διάταξη για τη λήψη των προτύπων περίθλασης φαίνεται στην παρακάτω

εικόνα:

Εικόνα 3 Πειραµατική διάταξη περιθλασίµετρου

Η διάταξη αυτή είναι γνωστή σαν περιθλασίµετρο και περιλαµβάνει τα εξής επιµέρους

στοιχεία:

a. Πηγή laser He – Na η οποία παράγει µια λεπτή δέσµη φωτός µε µ.κ. 632,8nm.

b. Χωρικό φίλτρο το οποίο µετατρέπει τη στενή δέσµη του laser σε σφαιρικό µέτωπο

κύµατος.

c. Παραλληλιστής φακός ο οποίος τοποθετείται σε κατάλληλη θέση ώστε στο εµπρός

του εστιακό επίπεδο να βρίσκεται το σηµείο απόκλισης του σφαιρικού µετώπου

κύµατος που προέρχεται από το χωρικό φίλτρο. Έτσι επιτυγχάνεται µια σηµαντική

αύξηση της αρχικής διατοµής της δέσµης του laser.

d. Βάση τοποθέτησης των διαφόρων περιθλώντων στοιχείων.

e. Μετασχηµατιστής φακός ο οποίος στην περίπτωση περίθλασης Fraunhofer εκτελεί

τον µετασχηµατισµό Fourier του περιθλώντος ανοίγµατος

f. Το επίπεδο Fourier το οποίο πρόκειται για ένα νοητό επίπεδο. Είναι η θέση που

εντοπίζεται το πρότυπο περίθλασης των περιθλώντων ανοιγµάτων.

g. Απεικονιστής φακός ίδιας εστιακής απόστασης µε τον µετασχηµατιστή φακό.

h. Η CCD κάµερα στην ενεργό περιοχή της οποίας απεικονίζεται το πληροφοριακό

περιεχόµενο του επιπέδου Fourier. Μπροστά από την κάµερα υπάρχει φωτογραφικός

φακός.

i. Η/Υ ο οποίος επικοινωνεί µε την κάµερα για την συλλογή και επεξεργασία των

δεδοµένων σε ψηφιακή µορφή

Η λήψη των µετρήσεων για κάθε άνοιγµα έγινε µε τον εξής τρόπο:

Για το άνοιγµα Ο1:

Η εικόνα που πήραµε ήταν η εξής:

Εικόνα 4 Εικόνα περίθλασης για το άνοιγµα Ο1

Από αυτήν την εικόνα γίνεται αντιληπτό ότι το άνοιγµα είναι ορθογώνιο. Μετρώντας τον

µέσο όρο των θέσεων ελαχίστων έντασης 1ης

και 2ης

τάξης τόσο οριζόντια όσο και κάθετα, τα

αποτελέσµατα ήταν:

Πίνακας 1 Αποτελέσµατα µετρήσεων για το άνοιγµα Ο1

α/α Οριζόντια Κάθετα

1η τάξη 1,883mm 0,495mm

2η τάξη 3,815mm 1,005mm

Για την εύρεση των διαστάσεων του ορθογωνίου ανοίγµατος χρησιµοποιήθηκε ο τύπος:

mf mfx b

b x

λ λ∆ = ⇒ =

∆

Όπου:

185

b ά ί

x ό ί ά

f ή ό mm

πλευρ του ορθογων ου

απ σταση σηµε ων ελ χιστων

εστιακ απ σταση

−

∆ −

−

Εποµένως η οριζόντια πλευρά υπολογίστηκε για την πρώτη τάξη 0.063b mm= ενώ για την

δεύτερη τάξη 0.061b mm′ =

Η κάθετη πλευρά υπολογίστηκε για την πρώτη τάξη 0.24b mm= ενώ για την δεύτερη τάξη

0.23b mm′ =

Για το άνοιγµα Ο2:

Η εικόνα που πήραµε ήταν η εξής:

Εικόνα 5 Εικόνα περίθλασης για το άνοιγµα Ο2

Από αυτήν την εικόνα γίνεται αντιληπτό ότι το άνοιγµα είναι τετράγωνο. Μετρώντας τον

µέσο όρο των θέσεων ελαχίστων έντασης τόσο οριζόντια όσο και κάθετα, τα αποτελέσµατα

ήταν:

• Οριζόντια: 1,37mm

• Κάθετα: 1,465mm

Με χρήση του τύπου µε τον οποίο υπολογίστηκαν οι διαστάσεις του Ο1 υπολογίστηκαν οι

διαστάσεις του τετράγωνου ανοίγµατος:

• Οριζόντια: 0,085mm

• Κάθετα: 0,071mm

Για τα ανοίγµατα Σ2, Σ3, Σ4:

Εικόνα 6 Εικόνα περίθλασης για το άνοιγµα Σ1

Εικόνα 7 Εικόνα περίθλασης για το άνοιγµα Σ2

Εικόνα 8 Εικόνα περίθλασης για το άνοιγµα Σ3

Τα ανοίγµατα Σ2, Σ3, Σ4 είναι σχισµές. Μετρώντας τους µέσους όρους των αποστάσεων των

ελαχίστων της έντασης υπολογίστηκαν τα µήκη των σχισµών από τον τύπο:

mf mfx L

L x

λ λ∆ = ⇒ =

∆

Όπου

185

L ή ή

x ό ί ά

f ή ό mm

µ κος σχισµ ς

απ σταση σηµε ων ελ χιστων

εστιακ απ σταση

−

∆ −

−

Οι µετρήσεις για κάθε άνοιγµα βρίσκονται συγκεντρωµένες στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 2 Αποτελέσµατα µετρήσεων για τις τρεις σχισµές

Άνοιγµα 1η τάξη 2

η τάξη

Σ2 0,268 0,53

Σ3 0,453 0,916

Σ4 1,548 3,096

Έτσι λοιπόν για το Σ2 το 1 0.437L mm= και το 2 0.442L mm= . Ο µέσος όρος αυτών των

τιµών δίνει 0.44L mm=

Για το Σ3 το 1 0.237L mm= και το 2 0.256 .L mm= Ο µέσος όρος δίνει 0.247L mm=

Για το Σ4 το 1 0.076L mm= όπως ακριβώς και το 2.L

Για τις κυκλικές οπές 1 1,K K ′

Εικόνα 9 Εικόνα περίθλασης για την κυκλική οπή Κ1

Εικόνα 10 Εικόνα περίθλασης για την κυκλική οπή Κ1'

Μετρώντας την ακτίνα του πρώτου σκοτεινού δίσκου (δίσκος Airy) υπολογίστηκε η ακτίνα

του κυκλικού ανοίγµατος µε βάση τον τύπο:

1.22 0.612

f fq R

R q

λ λ= ⋅ ⇒ = ⋅

Όπου

185

q ί ί Airy

R ί ύ ί

f ή ό mm

ακτ να δ σκου

ακτ να κυκλικο ανο γµατος

εστιακ απ σταση

−

−

−

Έτσι για το Κ1, R = 0.12mm ενώ για το 1′Κ , R = 0.033mm.

Για τις κυκλικές οπές 2 2,K K ′

Εικόνα 11 Εικόνα περίθλασης για την κυκλική οπή Κ2

Εικόνα 12 Εικόνα περίθλασης για την κυκλική οπή Κ2'

Με τον ίδιο τρόπο όπως και στα δύο προηγούµενα κυκλικά ανοίγµατα µετρήθηκε η ακτίνα

των κυκλικών ανοιγµάτων:

2K : 2

2.635 0.0271Kq mm R mm= ⇒ =

22 : 2.569 mm R 0.0278KK q mm′′ = ⇒ =

Επίσης παρατηρώντας τους κροσσούς συµβολής, µπορούµε µετρώντας την απόσταση τους να

βρούµε την απόσταση των δύο κυκλικών ανοιγµάτων, µέσω του τύπου:

ώ

fd

zκροσσ ν

λ=

Άρα 2K :2

0.476 0.246Kz mm d mm= ⇒ = και 22 : 0.248mm 0.472KK z d mm′

′ = ⇒ =

Τρεις Κυκλικές Οπές: 3K

Εικόνα 13 Εικόνα περίθλασης για τις τρεις κυκλικές οπές

Στην εικόνα περίθλασης των τριών κυκλικών οπών παρατηρούνται και οι κροσσοί συµβολής

δευτέρου βαθµού.

Η ακτίνα των κυκλικών ανοιγµάτων υπολογίστηκε:

33 : 2.621mm R 0.027KK q mm= ⇒ =

Η απόσταση των κυκλικών ανοιγµάτων υπολογίστηκε:

33 : 0.593mm 0.197KK z d mm= ⇒ =

Τέσσερις Κυκλικές Οπές: 4K

Εικόνα 14 Εικόνα περίθλασης για τις τέσσερις κυκλικές οπές

Στην εικόνα αυτήν φαίνονται τόσο οι κροσσοί συµβολής δεύτερης τάξης όσο και οι κροσσοί

συµβολής πρώτης τάξης. Από αυτό είναι εύκολα κατανοητό αφού ο αριθµός της τάξης των

κροσσών συµβολής που θα φαίνονται είναι ο αριθµός των ανοιγµάτων n αφαιρώντας τον

αριθµό 2. Άρα αφού 2 0 4n n− = ⇒ =

Η ακτίνα των κυκλικών ανοιγµάτων υπολογίστηκε:

34 : 2.86 mm R 0.025KK q mm= ⇒ =

Η απόσταση των κυκλικών ανοιγµάτων υπολογίστηκε:

44 : 0.637 mm 0.184KK z d mm= ⇒ =

Φράγµατα Ν σχισµών: 1 2,Π Π

Εικόνα 15 Εικόνα περίθλασης για το φράγµα Π1

Εικόνα 16 Εικόνα περίθλασης για το φράγµα Π2

Τα 1 2,Π Π είναι φράγµατα περίθλασης. Στην συγκεκριµένη περίπτωση µετρώντας την

απόσταση των µεγίστων (κροσσών συµβολής) υπολογίστηκε η περίοδος d του φράγµατος.

Για το Π1 και µετρώντας δύο τάξεις συµβολής βρέθηκε z = 2.448mm ενώ για κροσσούς

πρώτης τάξης βρέθηκε z = 2.45mm. Η αποστάσεις αυτές διαφέρουν ελάχιστα µεταξύ τους,

οπότε η µέτρηση θα γίνει για z = 2.45mm. Έτσι: 1

0.048d mmΠ =

Ενώ για το Π2 µετρήθηκαν οι παρακάτω κροσσοί συµβολής:

1η τάξη:

23.846 0.030z mm d mmΠ= ⇒ =

2η τάξη:

23.829 0.031z mm d mmΠ

′= ⇒ =

Οι δύο τιµές βρίσκονται πολύ κοντά η µία από την άλλη.

∆υσδιάστατα φράγµατα κυκλικών οπών: 1 2,∆ ∆

Εικόνα 17 Εικόνα περίθλασης για το φράγµα ∆1

Εικόνα 18 Εικόνα περίθλασης για το φράγµα ∆2

Για το ∆1 αρχικά µετρήθηκε η ακτίνα του δίσκου του Airy όπως και στα κυκλικά ανοίγµατα.

Η ακτίνα του φράγµατος µετρήθηκε ίση µε q = 5.195mm. Άρα η ακτίνα του φράγµατος είναι

R = 0,0275mm

Στη συνέχεια µετρώντας την απόσταση των κροσσών συµβολής τόσο κάθετα όσο και

οριζόντια υπολογίστηκε η απόσταση των κυκλικών οπών.

Οριζόντια: 2

2.415 0.048z mm d mm∆= ⇒ =

Κάθετα: 2

2.413 0.048z mm d mm∆= ⇒ =

Τέλος για το ∆2

Οριζόντια: 2

0.597 0.196z mm d mm∆= ⇒ =

Κάθετα: 2

0.604 0.194z mm d mm∆= ⇒ =

Πείραµα 2: Περίθλαση πολυχρωµατικού φωτός µε φασµατοσκόπιο

Στην παρακάτω εικόνα παρουσιάζεται η διάταξη, η οποία και είναι γνωστή σαν

φασµατοσκόπιο:

Εικόνα 19 Πειραµατική διάταξη του φασµατοσκοπίου

Αυτή αποτελείται από:

• Πηγή φωτός

• Συµπυκνωτή φακό

• Κατευθυντήρα

• Τηλεσκοπικό σύστηµα παρατήρησης των φασµάτων

Αρχικά τοποθετήθηκε η λυχνία λευκού φωτός και το άνοιγµα Π2 και παρατηρήθηκε η

ανάλυση του φωτός όπως ακριβώς προβλέπει η θεωρία. Από την ανάλυση αυτή και

µετρώντας τις γωνίες για το µωβ χρώµα και για το κόκκινο υπολογίστηκε το µήκος κύµατος

στα όρια του λευκού φωτός. Έτσι λοιπόν οι γωνίες που µετρήθηκαν ήταν για το µωβ,

14.73o

Mθ = και για το κόκκινο 24.33 .o

Kθ = Έτσι τα όρια του λευκού φωτός αντιστοιχούν

σε µήκη κύµατος 423.8M

nmλ = και 686.7 .K

nmλ = Ο τύπος που χρησιµοποιήθηκε ήταν ο

τύπος sinn dλ θ=

Στη συνέχεια χρησιµοποιήθηκε η λυχνία Hg και το γνωστό Π1 το οποίο είναι ένα φράγµα

περίθλασης µε Ν = 600 γραµµές/mm (d = 1/600=1.6667µm). Μετρήθηκαν αρχικά οι γωνίες

των χρωµάτων µπλε, πράσινο, πορτοκαλί για να βρεθούν τα αντίστοιχα µήκη κύµατος. Έτσι

λοιπόν κατασκευάστηκε ο παρακάτω πίνακας δεδοµένων:

Πίνακας 3 Πίνακας δεδοµένων για τη λυχνία Hg, χρησιµοποιώντας φράγµα γνωστού Ν

Χρώµα θ λ (nm)

Μπλε 15,2ο

436,9

Πράσινο 19,1ο

545,4

Πορτοκαλί 20,27ο

577,4

Στη συνέχεια τοποθετήθηκε το αγνώστου Ν φράγµα περίθλασης έτσι ώστε αυτή τη φορά

γνωρίζοντας τα µήκη κύµατος των τριών χρωµάτων και χρησιµοποιώντας τον τύπο

sinn dλ θ= να βρεθεί το άγνωστο d και από αυτό το άγνωστο Ν. Έτσι λοιπόν

κατασκευάστηκε ο παρακάτω πίνακας:

Πίνακας 4 Πίνακας δεδοµένων για τη λυχνία Hg, χρησιµοποιώντας φράγµα άγνωστου Ν

Χρώµα θ d (mm)

Μπλε 0,67ο

0.037

Πράσινο 0,9ο

0.035

Πορτοκαλί 1ο

0.031

Ο µέσος όρος των d είναι 0.034 .d mm= Άρα Ν = 29 γραµµές/mm.