Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos - Efraín ... · PDF...

Libro de Distribucion Gratuita

A B

CD

M

N

25 = 32Base

Exponente

Potencia

25 = 2× 2× 2× 2× 2︸︷︷︸5 factores

= 32

1 2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

2007 2008 2009 2010 2011

70

80

90

Cal

ifica

cion

Matematicas Lenguaje Ciencias

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

xX

f (x)Yf

Funcion

Dominio Contradominio

Valores que ledamos a la funcion

Valores que nosdevuelve la funcion

A B

A∩B

x

y

y = f (x)

ba

x

y

FF′

P(x, y)

LR

VV′

B

B′

Ox

y

y = cos x

λ

Libro de distribucion gratuita

DiccionarioIlustrado

deConceptos

Matemáticospor

Efraín Soto Apolinar

Términos de uso

Derechos Reservados© 2010.

Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efraín.Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos.Primera edición.México. 2010.

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Versión Electrónica de distribución gratuita.Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

iii

Prefacio

En México la enseñanza de las matemáticas está tomando cada vez mayor importancia por partede autoridades educativas, profesores y padres de familia.

El uso de las matemáticas por parte de todos los ciudadanos está muy ligado a la forma comose aprendieron en primaria y secundaria, de manera que un niño que entendió bien los conceptosbásicos, asegura un aprendizaje más efectivo en cursos futuros.

Sin embargo, muchas de las fuentes de información actuales no se escribieron pensando en losestudiantes, sino en la ciencia, es decir, se escribieron los conceptos de manera que los entiendenlos matemáticos solamente. Esto es contraproducente en el aprendizaje efectivo de los estudiantes.

Al ver este nicho de oportunidad, hemos decidido escribir este pequeño diccionario para quenuestros estudiantes del nivel básico tengan al alcance de su madurez intelectual los conceptosbásicos de las matemáticas y así apoyar la educación pública de calidad en nuestro país.

Este diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita incluye más de quinien-tas definiciones y más de doscientas ilustraciones para que el lector pueda crear una idea más claradel concepto para entenderlo de una manera más sencilla y amena.

Esperamos que este sea, no solamente tu primer diccionario ilustrado de matemáticas, sino unafuente de inspiración para entender de verdad las ciencias exactas.

Versión aumentada

para Bachillerato

Efraín Soto Apolinary revisores del diccionario

Monterrey, N.L., México.Enero de 2 010.

www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

iv

Libr

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distr

ibuc

ión

gratu

ita


ÍNDICE v

Índice

Términos de uso ii

Prefacio iii

a 1

b 9

c 13

d 29

e 45

f 55

g 63

h 65

i 69

l 75

m 79

n 85

o 91

p 93

r 105

s 113

t 119

u 125


vi

v 127

Lista de símbolos 129

Referencias 131

Agradecimientos a revisores 132

Créditos 133

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rg.m

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AEfrain Soto Apolinar

Abierto, conjunto Conunto cuyo comple-mento es cerrado.

Abierto, intervalo Intervalo que no incluyesus valores extremos. Si los extremos delintervalo abierto son a y b, entonces, sedenota por: (a, b).Geométricamente, el intervalo incluye atodos los puntos de la recta numérica entrea y b, pero exluyendo a estos dos valores.La siguiente figura muestra el intervaloabierto (a, b):

xa bO

Aceleración (1.) Vector cuya magnitud indicacuánto cambia la velocidad por cadaunidad de tiempo y su dirección indica ladirección del movimiento.(2.) En cálculo, la aceleración se definecomo la segunda derivada de la posiciónrespecto del tiempo, que equivale a laprimera derivada de la rapidez (velocidad)respecto del tiempo.

A posteriori Declaraciones o afirmaciones quetienen su base en evidencia empírica,es decir, que se basa en observaciones,experimentaciones, etc., que dan soportede su veracidad.

A priori Declaraciones o afirmaciones quese dan sin evidencia que apoye de suveracidad, pero que pueden demostrarse apartir de razonamientos lógicos.

Ábaco Calculadora que se utiliza para contar.El ábaco tiene dispuestas barras de fichasque se utilizan para formar números conellas. A cada ficha de diferentes barrasse le asignan unidades, decenas, centenas,etc. y de esta manera se pueden usar pararealizar cálculos fácilmente.

UnidadesDecenas

Centenas

...

Ábaco

El ábaco fue inventado en China.

Abscisa Para definir un punto en el plano serequieren de dos coordenadas: P(x, y). Laprimera coordenada (x) se conoce como

2

A

Absoluto, valor–Amplitud

abscisa. La segunda coordenada (y) seconoce como ordenada.

Absoluto, valor El valor absoluto de unnúmero x, denotado por |x| se define comosu valor numérico si considerar su signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es:| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:|3| = 3.Geométricamente, el valor absolutorepresenta la distancia del origen dela recta numérica al punto que lecorresponde el número:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

| − 3| |2|

Acre Unidad de superficie igual a 4 047 m2.

Adición Sinónimo de suma.

Alfabeto griego Vea la definición «Griego,alfabeto».

Álgebra Es la rama de las matemáticas queestudia las propiedades de los númerosreales a través de su abstracción en formade polinomios y funciones.

Algebraica, expresión Representaciónmatemática de una cantidad utilizandoliterales y operaciones entre las mismas.Por ejemplo, 2 x2 + 5 y, es una expresiónalgebraica.

Algoritmo Procedimiento definido para lasolución de un problema, paso a paso, enun número finito de pasos.

Algoritmo de Euclides Algoritmo paracalcular el máximo común divisor de dosnúmeros MCD(m, n) donde m > n, que sepuede resumir como sigue:

1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.

2. Si r = 0, entonces MCD(m, n) = n.(Fin)

3. Si r , 0, entonces MCD(m, n) =

MCD(n, r).

4. Remplazar (m, n) por (n, r) e ir alpaso 1.

Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:

27 = 12 × 2 + 312 = 3 × 4 + 0

Entonces, MCD(27, 12) = 3.

Altura En un triángulo, la altura es igual ala distancia medida perpendicularmentedesde la base del triángulo hasta el vérticeopuesto. La altura se denota con la literalh.

h

En un triángulo las tres alturas se intersec-tan en un punto que se llama «ortocentro».En un trapecio o en un paralelogramo, laaltura es el segmento de recta perpendicu-lar a la base que va desde la base a su otrolado paralelo.

h

Amplitud En una onda sinusoidal, la amplitudes la distancia que hay desde el eje de laonda hasta cualquiera de sus cimas.


Análisis–Ángulo central

A

3

x

y

y = sin x

1

-1A

Análisis Rama de las matemáticas que se en-carga del estudio de las funciones, loslímites y sus propiedades.

Analítica, geometría Es el estudio de lageometría utilizando un sistema deejes coordenados para aplicar principiosalgebraicos en la solución de problemas.

Ángulo Figura plana formada por dos seg-mentos de recta que se cortan en un punto.El punto donde se cortan se llama vértice.Los segmentos son los lados del ángulo.La medida de un ángulo indica la aberturaentre sus lados.

Lado

LadoVértice

α

En la figura, α representa la medida delángulo.Un ángulo también se puede denotarusando tres letras, como se indica en lasiguiente figura:

C

ABα

El ángulo α también se puede denotarcomo ∠ABC, donde el punto B es el vér-tice del ángulo.Normalmente el ángulo en el plano espositivo cuando se mide en el sentido con-trario al giro de las manecillas del reloj ynegativo cuando se mide en el mismo sen-tido de giro de las manecillas.

Ángulo agudo Ángulo cuya medida es menora la de un ángulo recto. En la definición de«Ángulo», el ángulo mostrado en la figuraes agudo.

Ángulos adyacentes Dos ángulos sonadyacentes cuando tienen el mismo vér-tice y comparten un lado común ubicadoentre ellos.En la siguiente figura los dos ángulos sonadyacentes:

αβ

Los ángulos α y β tienen un mismo puntopor vértice y tienen un lado en común, poreso son adyacentes.

Ángulos alternos Cuando un par de rectasparalelas son cortadas por una secante,se forman 8 ángulos. Si dos ángulosse encuentran en diferente lado respectode la secante y no comparten el vértice,entonces los ángulos son alternos.En la figura mostrada en la definición de«Ángulos correspondientes», los pares deángulos (α, ζ) y (δ, ε) son alternos.

Ángulo central En una circunferencia, el án-gulo central es aquel que tiene su vérticeen el centro de la circunferencia y cuyoslados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo central α


4

A

Ángulos complementarios–Ángulo externo

mide 60:

α

El angulo central se define de maneraequivalente para el círculo.

Ángulos complementarios Dos ángulos soncomplementarios si la suma de sus medi-das es igual a la medida de un ángulorecto. En otras palabras, si la suma de dosángulos es igual a 90, entonces los ángu-los son complementarios.

αβ

En la figura, los ángulos α y β soncomplementarios.

Ángulos congruentes Dos ángulos soncongruentes si tienen la misma medida.

Ángulos conjugados Dos ángulos son cojuga-dos si la suma de sus medidas es iguala la medida de un ángulo perigonal. Enotras palabras, si la suma de dos ánguloses igual a 360, entonces los ángulos sonconjugados.

Ángulos consecutivos En un polígono, dos án-gulos son consecutivos si tienen un ladocomún.

En el siguiente pentágono, los ángulos Ay B son consecutivos.

A

B

Ángulos correspondientes Cuando un par derectas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 ángulos. Si dosángulos no adyacentes se encuentran delmismo lado respecto de la secante, siendouno interno y el otro externo, entonces losángulos son correspondientes.En la figura se muestran los pares de ángu-los correspondientes: (α, ε), (β, ζ), (γ, η) y(δ, θ).

α

ε

γ

η

β

ζ

δ

θ

`2

`1

`1 ‖ `2

Ángulo entrante Ángulo que mide más queun ángulo llano, pero menos que unángulo perigonal. En otras palabras, elángulo entrante mide más de 180, peromenos que 360.En la figura, el ángulo α es entrante:

α

Ángulo externo En un polígono, un ánguloexterno es el que se forma por uno de


Ángulos externos–Ángulos opuestos por el vértice

A

5

sus lados y la prolongación de un ladoadyacente.En la siguiente figura se muestra un án-gulo α externo del pentágono mostrado:

D

E

A B

Cα

Ángulos externos Cuando un par de rectasparalelas son cortadas por una secante, seforman 8 ángulos. Los cuatro ángulos quequedan fuera de entre las rectas paralelasson los ángulos externos.En la siguiente figura los cuatro ángulosmarcados (α, β, γ, δ) son externos.

α β

γ δ

E

F

A B

C D

AB ‖ CD

Ángulo inscrito Ángulo que tiene su vérticesobre una circunferencia y cuyos ladosson dos cuerdas de la misma.

α

Ángulos internos Cuando un par de rectasparalelas son cortadas por una secante, seforman 8 ángulos. Los cuatro ángulos quequedan entre las rectas paralelas son losángulos internos.En la figura mostrada en la definición de«Ángulos correspondientes», los cuatroángulos: γ, δ, ε y ζ son internos.

Ángulo llano Ángulo que mide exactamentelo mismo que dos rectos. En otras pala-bras, un ángulo llano mide 180.

α

En la figura el ángulo α es llano. Comopuedes ver, los lados del ángulo llano es-tán sobre la misma recta.

Ángulo obtuso Ángulo que mide más que unángulo recto, pero menos que un ángulollano. En otras palabras, un ángulo obtusomide más de 90, pero menos que 180.

α

En la figura el ángulo α es obtuso.

Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulosson opuestos por el vértice si la prolon-gación de los lados de uno son los ladosdel otro.Los ángulos α y β son opuestos por el vér-tice:

αβ

Los ángulos opuestos por el vértice tienenla misma medida.


6

A

Ángulo perigonal–Arcocoseno

Ángulo perigonal Ángulo que mide lo mismoque cuatro ángulos rectos.En otras palabras, el ángulo perigonalmide 360°.

α

En la figura el ángulo α es perigonal.

Ángulo recto Ángulo que se forma cuandodos rectas se cortan formando cuatro án-gulos iguales. En otras palabras, el ángulorecto mide 90.

α

En la figura el ángulo α es recto.

Ángulos suplementarios Dos ángulos sonsuplementarios si la suma de sus medidases igual a la medida de un ángulo llano.En otras palabras, si la suma de dos án-gulos es igual a 180, entonces los ángulosson complementarios.

αβ

En la figura anterior, los ángulos α y β sonsuplementarios.

Antiderivada Una función F(x) es una antide-rivada de f (x), si la derivada de F(x) esigual a f (x). Matemáticamente:∫

f (x) dx = F(x) ⇒ F′(x) = f (x)

Observe que la antiderivada de f (x) sedenota por: F(x) =

∫f (x).

Si y = F(x) es una antiderivada de la fun-ción y = f (x), también lo es y = F(x) +C,donde C es una constante cualquiera.

Año Un año es el tiempo que tarda la tierradar una vuelta alrededor del sol en sumovimiento de traslación y es aproxi-madamente igual a 365 días.El año se divide en 12 meses.

Apotema En un polígono regular, el apotemaes el segmento que va desde el centro delpolígono al punto medio de uno de sus la-dos.

Apotem

a

Aproximar Dar un valor cercano a otro.Por ejemplo, podemos aproximar el valordel número π = 3.141592654 · · · como3.1416

Arco Segmento de circunferencia delimitadopor dos de sus puntos.

Arco

A

B

El arco cuyos extremos son los puntos Ay B se denota por: AB

_

Arcocoseno La función arcocoseno del ángulox, denotada por arccos x, es la función in-versa de la función coseno.


Arcoseno–Asíntota

A

7

Arcoseno La función arcoseno del ángulo x,denotada por arcsin x, es la función in-versa de la función seno.

Arcotangente La función arcotangente del án-gulo x, denotada por arctan x, es la fun-ción inversa de la función tangente.

Área Superficie que cubre un cuerpo o figurageométrica. Sus unidades se miden enunidades cuadradas como cm2, m2, etc.

Área superficial Medida del tamaño de unasuperficie.

Argumento El argumento de una función es elvalor que le damos a la variable indepen-diente para evaluarla.Por ejemplo, si el argumento de la funcióncoseno es π, entonces escribimos: cos(π).

Arista Línea recta donde se intersectan doscaras de un cuerpo geométrico.

Arista

Aritmética Es la rama de las matemáticas quese dedica al estudio de los números y suspropiedades bajo las operaciones de suma,resta, multiplicación y división.

Aritmética, sucesión Lista de números quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer término de la lista se denota pora1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n−ésimo término an

de la sucesión usando la fórmula:

an = a1 + d (n − 1)

Y la suma S n de los primeros n términoscon:

S n =n (a1 + an)

2A la sucesión aritmética también se leconoce como «progresión aritmética».

Arroba Unidad de peso que equivale a 11.4 kg,o bien a 25 libras.

Asimétrico Una figura geométrica esasimétrica cuando no presenta algún tipode simetría.La siguiente figura es asimétrica:

Figura asimétrica

Asíntota 1. Una curva se dice que tieneuna asíntota si se acerca mucho a unarecta, pero sin llegar a tocarla. La rectarepresenta la asíntota de la curva.

x0 1 2 3 4 5

y

1

2

Asíntota

y =1x

+ 1

2. En una hipérbola, las asíntotas sonlas rectas que pasan por el centro de lahipérola y que son diagonales del rectán-gulo con lados de longitud igual al ejetransverso y al eje conjugado.Ver definición de «Ecuación de la Hipér-bola».


8

A

Asociativa– Azar

Asociativa La propiedad asociativa para lasuma es la siguiente:

(a + b) + c = a + (b + c)

y para la multiplicación:

(a · b) · c = a · (b · c)

En la definición de «Propiedades delos números» puede encontrar las demáspropiedades de los números reales.

Áurea, proporción Número irracionaldenotado por la letra griega φ, e igual a:

φ =1 +√

52

Este número aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto estético.Se dice que un rectángulo está en propor-ción aurea cuando al multiplicar la lon-gitud de un lado por φ obtenemos comoresultado la longitud del otro lado.

A B

CD

M

N

Si dividimos:∣∣∣∣AB

∣∣∣∣ entre∣∣∣∣BC

∣∣∣∣ obtenemos

el mismo resultado que dividir∣∣∣∣BC

∣∣∣∣ entre∣∣∣∣BM∣∣∣∣:φ =

∣∣∣∣AB∣∣∣∣∣∣∣∣BC∣∣∣∣ =

∣∣∣∣BC∣∣∣∣∣∣∣∣BM∣∣∣∣ =

1 +√

52

Los rectángulos ABCD y MBCN están enproporción áurea.

Axioma Una verdad tan evidente que norequiere demostrarse.Por ejemplo, «la suma de dos númerosreales es otro número real», es unaxioma.

Axioma de existencia Axioma que supone laexistencia de un objeto o varios objetosmatemáticos.

Axiomático, sistema Una forma secuencial ysistemática de organizar una teoría de lasciencias exactas.

Azar Decimos que un experimento o eventotiene azar cuando no es posible prede-cir su resultado. Por ejemplo, el hechode que el día en que el equipo de fútbolsoccer de la escuela tendrá su próximojuego lloverá, no se puede predecir, asíque es un evento que tiene azar. Al lan-zar una moneda el resultado también tieneazar, pues puede ser sol o águila.


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BEfrain Soto Apolinar

Baricentro El baricentro de un triángulo es elpunto donde se intersectan sus tres media-nas.

Baricentro

El baricentro es el centro de gravedad deltriángulo.

Base (Álgebra) La base es el número que semultiplicará el número de veces indicadopor el exponente.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2︸︷︷︸

5 factores

= 32

(Aritmética) 1. La base de un sistemade numeración es el número que se uti-liza para formar los números. Los mayas

usaban la base 20, es decir, contaban de 20en 20. Nosotros usamos la base 10, poreso decimos que usamos una base deci-mal.

2 375 = 2 × 103 + 3 × 102 + 7 × 10 + 5

El número 10 es la base de nuestro sistemade numeración.2. La base de un logaritmo es el númeroque se utiliza para su cálculo.Por ejemplo, en log5 125 = 3, la base es 5.Podemos cambiar la base de un logaritmoutilizando la siguiente fórmula:

loga M =logb Mlogb a

Por ejemplo, para calcular, log5 10 puedesusar la fórmula anterior y escribir en lacalculadora científica: log 10 ÷ log 5 conlo que obtendrás: 1.430676558.En este caso: M = 10, b = 10 y a = 5.(Geometría) 1. La base de un polígono esel lado sobre el cual éste descansa.

Base

10

B

Bayes, teorema de– Bisectriz

2. La base de un triángulo es uno de suslados a partir del cual se puede medir laaltura.

Base

h

3. La base de un poliedro es la cara desdela cual se medirá la altura del mismo.

Bayes, teorema de El teorema de Bayes es unafórmula para el cálculo de la probabilidadcondicional:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

y se lee: «la probabilidad de que ocurra elevento A dado que ha ocurrido el eventoB es igual a laprobabilidad de que ocur-ran los eventos A y B a la vez, entre laprobabilidad de que ocurra el evento B.»Este teorema se cumple siempre queP(B) > 0.

Bi- Prefijo que se utiliza para indicar el doblede algo.Por ejemplo, bicolor, indica un lápiz dedos colores.

Bicentenario Unidad de tiempo equivalente adoscientos años.

Billón Un billón es igual a un millón de millo-nes, es decir,

1 000 000×1 000 000 = 1 000 000 000 000

El billón se escribe con un 1 y 12 ceros.

Binaria, operación Operación definida condos números o expresiones algebraicas.Por ejemplo, la suma es una operaciónbinaria, porque se requiere de dosnúmeros para hacer la suma.

Binario Se refiere a un sistema que utiliza dosdígitos, el 1 y el 0. El sistema binariotambién se conoce como el sistema denumeración en base 2.Este sistema se utiliza en el diseñode componentes electrónicos, como porejemplo, de circuitos electrónicos confines computacionales.El número 8 (ocho) en sistema binario es:1002,y el 100 (cien) en este sistema se es-cribe como: 11001002.El subíndice 2 indica que el número estáescrito en el sistema de numeración debase 2.

Binomio Polinomio que tiene dos términos(no semejantes). Por ejemplo, 2 x2 + x,a x2y + b xy2, y 7 x3 − a4.

Binomio de Newton Producto notable quesirve para calcular cualquier potencia deun binomio de forma directa, cuya fór-mula es:

(x + y)n = xn + nxn−1y + · · · + nxyn−1 + yn

El binomio de Newton también se conocecomo «teorema del binomio».Los coeficientes del polinomio de ele-var el binomio a la potencia n puedencalcularse usando el triángulo de Pascal ousando la fórmula de combinaciones:

(x + y)n =

n∑k=0

(nk

)xn−kyk

Vea la definición de «combinación».

Bisectriz Recta que divide a un ángulo en dosángulos de la misma medida. En otraspalabras, la bisectriz es el eje de simetríade un ángulo.


Brújula–Buen ordenamiento, principio del

B

11

αα

Bisectriz

A

BC

La bisectriz tiene la propiedad quecualquiera de sus puntos equidista de loslados del ángulo.En un triángulo, sus tres bisectrices secortan en un punto que se llama incentro.

Incentro

Como el incentro equidista de los tres

lados del triángulo, es el centro de lacircunferencia que es tangente a los treslados del triángulo.

Brújula Instrumento utilizado para determi-nar el norte geográfico. Utiliza una agujaimantada que se alinea con el campomagnético terrestre.La siguiente figura muestra una brújula:

E

N

O

S

Buen ordenamiento, principio del El princi-pio del buen ordenamiento dice que unsubconjunto de un conjunto ordenadocontiene un elemento que es el menor detodos.Por ejemplo, el conjunto 0, 2, 4, 6, 8tiene un elemento que es el menor detodos, (0).


12

BLi

bro

dedi

strib

ució

ngr

atuita


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atic

as.o

rg.m

x

CEfrain Soto Apolinar

C Símbolo que representa el conjunto de losnúmeros complejos.

Cabrí Geometré Software para realizar con-strucciones geométricas y resolver prob-lemas de geometría plana.

Calculadora Dispositivo o aparato que se uti-liza para realizar cálculos.

Calcular Obtener o encontrar el resultado deuna operación.

Cálculo Rama de las matemáticas que se en-carga del estudio de las cantidades quevarían contínuamente y las relacionesentre ellas.En el Cálculo se estudian los conceptos delímite, continuidad, derivada e integral ysus aplicaciones.El cálculo también se denomina «Cálculoinfinitesimal».

Cancelación Decimos que hemos canceladoun número o una expresión algebraicacuando aplicamos una de las siguientespropiedades de los números reales:

a + (−a) = 0

a ·1a

= 1

se le llama cancelación.Por ejemplo, cuando simplificamos lafracción:

1221

=(3)(4)(3)(7)

=47

decimos que hemos cancelado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.

Canónico Estándar o usual. Se utiliza general-mente para indicar que vamos a tomar elcaso convencional.Por ejemplo, al decir que usamos unsistema de coordenadas canónico, en-tendemos que usamos un sistema decoordenadas donde los ejes son mutua-mente perpendiculares y ambos tienen lamisma unidad de medida.

Cara En un poliedro, una cara es cada uno delos polígonos que lo delimitan.En el cubo cada uno de los cuadrados quelo delimitan es una cara del poliedro.

Car

a

14

C

Cardinalidad–Cerrado, intervalo

Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto,denotado por el símbolo ν, es el númerode elementos que éste contiene.Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 es 10.

Cartesiano, plano Sistema de coordenadas enel cual los ejes son mutuamente perpendi-culares y ambos utilizan la misma unidadde medida.La siguiente figura muestra un planocartesiano:

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

Cartesiano, producto El producto cartesianode los conjuntosA y B denotado porA×Bes el conjunto formado por todos los paresordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.Por ejemplo, sean A = 0, 1, 2 y B =

4, 5, 6. Entonces,

A × B = (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5),(2, 6)

Central, ángulo En una circunferencia, el án-gulo central es aquel que tiene su vérticeen el centro de la circunferencia y cuyos

lados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo central αmide 60:

α

Centro El centro de una figura es el punto desimetría de la misma.

CC

En las figuras mostradas, C es el centro.

Centroide El centro de gravedad de un polí-gono plano.El centroide del triángulo es el puntodonde se intersectan las tres medianas delmismo:

Baricentro

Cerrado, intervalo Intervalo que sí incluyesus valores extremos. Si los extremos delintervalo cerrado son los puntos a y b, sedenota por [a, b].Geométricamente, el intervalo cerrado[a, b] se indica como muestra la siguientefigura:


Cerradura–Círculo

C

15

xa bO

Cerradura Un conjunto A presenta lapropiedad de cerradura bajo una opera-ción cuando al realizar esa operacióna cualesquiera dos de sus elementos elresultado es otro elemento del conjuntoA.Por ejemplo, el conjunto de los númerospares es cerrado bajo la suma, porquecuando sumamos dos números pares, elresultado es otro número par.Por el contrario, los números imparesno son cerrados bajo la suma, porquecuando sumamos dos números imparesno obtenemos un número impar, sino par.

Científica, notación Forma abreviada deescribir números muy grandes o muy pe-queños. Para esto, se escribe el primerdígito del número, el punto decimal ydespués los siguientes dígitos del númerosi se desea mayor precisión y final-mente el número 10 elevado a la poten-cia n, donde n es el número de cifras secorrió el punto decimal a la izquierda.Por ejemplo, el número 120 000 escrito ennotación científica es:

120 000 = 1.2 × 105

Observa que el punto decimal se corriócinco cifras a la izquierda, por eso escribi-mos exponente 5 al número 10.Cuando el punto decimal se corre haciala derecha, el exponente debe tener signonegativo.Por ejemplo, el número 0.00035 escrito ennotación científica es:

0.00035 = 3.5 × 10−4

Ahora el punto decimal se ha recorrido 4lugares a la derecha, por eso el exponentetiene signo negativo.

Cifra significativa Cuando redondeamos unnúmero, el número de dígitos queconsideramos corresponde al número decifras significativas del redondeo.Por ejemplo, si a π = 3.141592654 · · · ,lo consideramos como 3.1416, estamosusando 4 cifras significativas.

Cilindro Cuerpo geométrico con bases parale-las circulares y paredes perpendiculares asus bases.

r

h

Cilindro

Área = 2 πr2 + 2 πr hVolumen = πr2h

Cilindro elíptico Cilindro cuyas bases sonelipses.

Cima En una curva sinusoidal, la cima es cadauno de los puntos más altos en su trayec-toria.Por el contrario, la sima (con s)corresponde a cada uno de los puntos másbajos de su trayectoria.

Cima Sima

Círculo Área que queda delimitada por unacircunferencia. Es decir, la circunferenciaes el perímetro del círculo.


16

C

Circuncentro–Cociente

Circ

un

ferencia

Círculo

Podemos calcular el área del círculousando la fórmula:

Área = π r2

donde r es el radio de la circunferencia.Podemos decir que el círculo es elconjunto de puntos que están a una menordistancia r de un punto fijo C, llamadocentro. La distancia r se llama radio delcírculo.

Circuncentro Es el punto donde se intersectanlas tres mediatrices de un triángulo.

Circuncentro

Circuncírculo el circuncírculo de un polígonoes la circunferencia que pasa por cada unode sus vértices.En la definición de «Circuncentro», lacircunferencia mostrada es el circuncír-culo del octágono de la figura.

Circunferencia La circunferencia es elconjunto de puntos del plano que estána la misma distancia de un punto fijo Cque es el centro de la circunferencia.La distancia del centro de la circunferen-cia a cualquiera de sus puntos se llamaradio (r)

Circ

un

ferencia

Cr

En la figura anterior, el punto C es elcentro de la circunferencia y r es su radio.La ecuación de la circunferencia que tienesu centro en el punto C(h, k) y radio r es:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

A la circunferencia no le podemos medirel área, pues es un segmento de líneacurva, pero sí podemos calcular su longi-tud (perímetro):

Perímetro = 2 π r

Circunscrito, polígono Se dice que unpolígono es circunscrito cuando todossus lados son tangentes a una mismacircunferencia.

Hexágono circunscrito

Cociente Resultado de la división de dosnúmeros.Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, elcociente es el número 2, el dividendo esel número 10 y el divisor es el número 5.


Coeficiente–Complejo, plano

C

17

Coeficiente Es un número que multiplica a unaliteral. Es decir, es el factor numérico deun término.Por ejemplo, en 2 x, el número 2 es elcoeficiente.

Cofunción Para cada una de las funcionestrigonométricas básicas, seno, secantey tangente, se define una cofunción:

Función Cofunción

Seno (sin x) Coseno (cos x)Secante (sec x) Cosecante (csc x)Tangente (tan x) Cotangente (cot x)

Colineal Se dice que varios puntos soncolineales cuando están sobre una mismarecta.

`

P Q RS

En la figura anterior, los puntos P, Q, Ry S son colineales, pues todos están sobrela misma recta `.

Columna En una matriz, una columna es unalínea vertical de sus elementos.En la siguiente matriz A, la primeracolumna está formada por los elementosa, d y g:

A =

a b cd e fg h i

Combinación Una combinación C(n, r) es una

selección de r (uno o más) objetos deun conjunto de n objetos, independiente-mente del orden.C(n, r) se lee: «una combinación de n

elementos, tomando r a la vez», y secalcula con la fórmula:

C(n, r) =P(n, r)

r!=

n!r! (n − r)!

donde P(n, r) son las permutaciones de ntomando r a la vez y n! es el factorial delnúmero n.

Compás Instrumento utilizado en geometríapara dibujar circunferencias y para com-parar longitudes de segmentos.La siguiente figura muestra un compás:

Complejo, número Número que tiene unaparte real y una parte imaginaria:

z = a + i b

En el número complejo z, a es la parte realy b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3 − 2 i, 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.

Complejo, plano Plano que asigna el eje hori-zontal a los números reales y el eje verti-cal a los números imaginarios de maneraque podamos representar gráficamente losnúmeros complejos.

R

I

z = 3 + 2 i


18

C

Complemento de un conjunto–Conclusión

El plano complejo también se conocecomo el plano de Gauss.

Complemento de un conjunto El comple-mento del conjunto A, denotado por A′,o bien por Ac, respecto del conjunto uni-verso U está definido por: U − A.En palabras, el complemento del conjuntoA es el conjunto formado por los elemen-tos que están en el universoU que no estánen A.

Completar el cuadrado Proceso de factoriza-ción para expresar un trinomio cuadradono perfecto como la suma de un binomioal cuadrado más un término constante.Para completar el cuadrado de un tri-nomio cuadrado se calcula la mitad delcoeficiente del término lineal y se suma yresta el cuadrado de ese número.Por ejemplo, para completar el cuadradode: x2 + 6 x + 10, sacamos la mitad de6, (que es 3) y sumamos y restamos sucuadrado (que es 9):

x2 + 6 x + 10 = x2 + 6 x + 10+9 − 9= (x2 + 6 x + 9) + 10 − 9= (x + 3)2 + 1

Composición Dadas las funciones: y = f (x)y y = g(x), la composición de f en g,denotado por f g, significa sustituir g(x)en la función y = f (x):

f g = f(g(x)

)Por ejemplo, si definimos: f (x) = x2, yg(x) = 2 x − 3, entonces,

f g = f(g(x)

)= (2 x − 3)2

= 4 x2 − 12 x + 9

Compuesto, número Un número natural quetiene más de dos divisores.Por ejemplo, el número 9 es compuesto,porque sus divisores son: 1, 3, y 9.El número 5 no es un número compuesto,pues solamente tiene dos divisores.El único número natural par que no escompuesto es el número 2.Importante: No solamente los númerospares son compuestos.

Computadora Máquina electrónica capaz deaceptar y procesar información, aplicarprocesos a ésta y devolver resultados.La computadora está conformada por dis-positivos de entrada (teclado, ratón, es-cáner, etc.), de procesamiento, cálculoaritmético y control, de almacenamiento(disco duro, etc.) y de salida (monitor, im-presora, etc.)

Computadora, programa de Conjunto de in-strucciones que indican a una computa-dora el procedimiento para resolver unproblema.

Cóncavo Un polígono es cóncavo si al menosuno de sus ángulos internos es entrante.El siguiente polígono es cóncavo:

Si es posible dibujar un segmento de rectacon extremos dentro del polígono, peroparte del segmento fuera de la figura,entonces el polígono es cóncavo.

Conclusión Es el resultado de una implicaciónlógica.Por ejemplo, considerando las premisas:«Todos los hombres son mortales», y«Luis es hombre», la conclusión es: «Luis


Condición necesaria–Conjugado

C

19

es mortal», pues es el resultado de la im-plicación lógica de las premisas iniciales.

Condición necesaria En la implicación: p −→q, q es la condición necesaria.Por ejemplo, una condición necesaria paraque un cuadrilátero sea cuadrado es quetodos sus ángulos midan lo mismo. Sinembargo, esta condición no es suficiente.

Condición suficiente Condición que requierecumplir un objeto matemático para satis-facer una implicación en ambos sentidos.

p←→ q

Por ejemplo, una condición suficientepara que un cuadrilátero sea cuadrado esque sea regular: si es cuadrado es uncuadrilátero regular, y si es regular, elcuadrilátero es un cuadrado.

Congruencia (Geometría) 1. Dos segmen-tos de recta son congruentes si tienen lamisma medida.2. Dos ángulos son congruentes si tienenla misma medida.3. Dos triángulos son congruentes si lasmedidas de sus lados son iguales.4. Dos polígonos son congruentes si esposible superponer uno sobre otro.(Teoría de números) Dados los númerosenteros a, b, k, decimos que el número aes congruente con k módulo b, y se denotapor: a ≡ k mod b, si es posible escribir:

a = b m + k

donde m ∈ Z.En otras palabras, si el número a − k esdivisible por b, entonces a es congruentecon k módulo b.Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:

14 = 5 × 2 + 4

Es decir, 14 − 4 es divisible por 5.

Cónica Figura geométrica que se encuentran apartir de la intersección de un cono con unplano.A las cónicas también se les llama «sec-ciones cónicas».Las cónicas son las siguientes:

3 Circunferencia

EjeO

3 Elipse

EjeO

3 Parábola

EjeO

3 Hipérbola

EjeO

La línea recta y el punto son casos particu-lares de cónicas.

Conjugado El conjugado del númerocomplejo z = a+i b es el número complejo


20

C

Conjugados, ángulos–Cono

que se obtiene al cambiar de signo su parteimaginaria, y se denota por z:

z = a − i b

Geométricamente el conjugado de zrepresenta la reflexión de z respecto deleje real (horizontal):

R

Iz = a + i b

z = a − i b

a

b

−b

Conjugados, ángulos Dos ángulos son conju-gados si la suma de sus medidas es iguala la medida de un ángulo perigonal. Enotras palabras, si la suma de dos ánguloses igual a 360, entonces los ángulos sonconjugados.

Conjugado, eje En una hipérbola, el ejeconjugado es un segmento de recta per-pendicular al eje transverso que pasa porel punto medio de éste.

Conjunto Una colección de objetos biendefinida. Por bien definida se entiendeque siempre es posible decidir si un objetoestá o no en el conjunto.Por ejemplo, el conjunto de los númerosenteros mayores a cero, pero menores a10, denotado por A, es el siguiente:

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Cuando no se puede determinar si unelemento está o no en el conjunto,decimos que el conjunto no está biendefinido.

Conjunto abierto Conjunto cuyo comple-mento es cerrado.

Conjunto cerrado Conjunto que contienetodos sus puntos frontera.En geometría plana, un punto e quepertenece al conjunto A, (e ∈ A)es un punto frontera si al dibujar unacircunferencia de radio r con centro ene, siempre algunos puntos dentro de lacircunferencia no están en el conjunto A,no importa cuan pequeño sea r.En la siguiente figura, el punto p es unpunto frontera del conjunto A:

p

A

Conjunto ordenado Un conjunto A es orde-nado si sus elementos safisfacen la trico-tomía.Vea la definición de «tricotomía».

Conjunto unitario Conjunto que tiene exacta-mente un elemento. En otras palabras, elconjunto unitario es aquel conjunto cuyacardinalidad vale 1.

Conjunto vacío Conjunto que contiene ceroelementos. Se denota con el símbolo ∅.

Conmutativa La propiedad conmutativa parala suma es la siguiente:

a + b = b + a

y para la multiplicación:

a · b = b · a

En la definición de «Propiedades delos números» puede encontrar las demáspropiedades de los números reales.

Cono Figura geométrica que se obtiene alhacer girar una recta respecto de un puntoy alrededor de una recta que pasa por el


Consecutivo–Contradominio

C

21

punto. La recta que gira se llama genera-triz, el punto vértice del cono y la rectaalrededor está girando la otra es el eje delcono.

EjeGeneratriz

O

Consecutivo El consecutivo del númeronatural n es n + 1.Por ejemplo, el cosecutivo del número 9es 10.

Consecutivos, ángulos En un polígono, dosángulos son consecutivos si tienen un ladocomún.En el siguiente pentágono, los ángulos Ay B son consecutivos.

A

B

Consecutivos, vértices En un polígono, dosvértices son consecutivos si son extremosde un mismo lado.En la figura mostrada en el concepto«Consecutivos, ángulos», los vértices A yB son consecutivos.

Consecuente El consecuente de la razón a : bes b.

Constante Una expresión matemática que nocambia de valor. Por ejemplo, el númeroπ ≈ 3.14159265 es constante.

Construcción Método para construir unafigura utilizando solamente regla y com-pás.

Continuidad Se dice que una función f escontínua en un intervalo dado [a, b] sitoma todos los valores entre f (a) y f (b)y se puede dibujar en ese intervalo sindespegar la punta del lápiz del papel sobreel cual se le dibuja.En la siguiente figura, la función y = f (x)es contínua en el intervalo [a, b]:

x

y

y = f (x)

ba

f (b)

f (a)

Contínuo Una variable es contínua en un inter-valo cuando puede tomar cualquier valorreal dentro de ese intervalo.Cuando la variable no puede tomar todoslos posibles valores dentro del intervalo,sino que toma valores en forma de saltos,decimos que la variable es discreta.

Contradicción Sentencia que resulta falsa.Por ejemplo: 2 + 3 = 1, es una contradic-ción.

Contradicción, demostración por De-mostración en la cual se supone falsa lapremisa inicial y se llega a una contradic-ción o a una premisa falsa, concluyendo,entonces, que la suposición es falsa, ha-cienco la premisa inicial verdadera.La demostración por contradicción tam-bién se llama «demostración por reduc-ción al absurdo».

Contradominio El contradominio de una fun-ción es el conjunto formado por todos losvalores que la función puede tomar.Vea la definición de «Función».


22

C

Contraejemplo–Coordenadas polares

Contraejemplo Argumento que sirve paradescartar una hipótesis.Por ejemplo, si suponemos que todos losnúmeros impartes son primos, el número21 es un contraejemplo, pues el 21 portener 4 divisores (1, 3, 7 y 21) no esprimo.

Converger Acercarse cada vez más a un valor.Por ejemplo, si damos valores a x cada vezmás grandes y los sustituimos en 1/x, lasucesión de valores que vamos obteniendose acercan cada vez más a cero; decimosentonces que la sucesión es convergente yque converge a cero.

11,

12,

13,

14,

15, · · · converge a 0

Convexo Un polígono es convexo cuandotodos sus ángulos internos miden menosque un ángulo llano (ninguno de sus án-gulos internos es entrante).El siguiente polígono es convexo:

Es decir, un polígono es convexo si todossus ángulos internos miden menos de 180.Más formalmente, se dice que una figurageométrica es convexa si todo segmentocon extremos dentro de la figura, todo (elsegmento) está dentro de la figura.Cuando un polígono no es convexo se diceque es cóncavo.El siguiente polígono es cóncavo:

Coordenada Una coordenada es el número alcual al cual le corresponde un punto deuna recta numérica.En otras palabras, las coordenadas sonnúmeros que indican la ubicación de unpunto en el plano: P(x, y).

x1 2 3 4

1

2

3y

P(3, 2)

En la figura, la primera coordenada delpunto P es: x = 3 y la segunda: y = 2.A cada punto del plano le correspondeun par de coordenadas y a cada par decoordenadas le corresponde un punto delplano.

Coordenadas rectangulares Las coordenadasrectangulares se refieren a un sistema deejes coordenados mutuamente perpendi-culares que comparten la misma unidad demedida en todos sus ejes.En la figura mostrada en la definición de«Coordenada» se encuentra un sistema decoordenadas rectangulares con dos ejes.

Coordenadas polares Las coordenadaspolares del punto P del plano se definen apartir de la distancia al origen y el ánguloque forma la recta que pasa por el origeny el punto P con el eje horizontal:

P(r, θ)r

θ


Coplanar–Coseno hiperbólico

C

23

Las coordenadas polares de un puntoP(r, θ) pueden transformarse en coordena-das rectangulares P(x, y), a través de lassiguientes fórmulas:

x = r · cos θy = r · sin θ

A su vez, las coordenadas rectangula-res de un punto P(x, y) del plano puedentransformarse en coordenadas polaresP(r, θ), usando:

r =√

x2 + y2

θ = arctan(y

x

)

Coplanar Cuando varios objetos están sobre elmismo plano, se dice que son coplanares.Por ejemplo, en la siguiente figura lospuntos P, Q, R y S son coplanares porquetodos están en el mismo plano:

PQ

R

S

Corolario Proposición que es una consecuen-cia inmediata de otra, y cuya demostra-ción requiere poco o ningún razona-miento.

Coseno La función coseno se define paracualquier ángulo α. Dado un ángulo conun lado horizontal y vértice en el origen,su coseno, denotado por cosα se definecomo la coordenada sobre el eje x delpunto de intersección del otro lado (nohorizontal) del ángulo con la circunferen-cia de radio 1.

x

y

1

1

sinα

cosαα

En un triángulo rectángulo, el coseno deun ángulo α positivo menor a 90 puedecalcularse con el cociente:

cosα =cateto adyacente

hipotenusa

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

La gráfica de la función coseno es lasiguiente:

x

y

y = cos x

1

-1

Coseno hiperbólico La función coseno hiper-bólico del número x se denota por: cosh xy está definida por:

cosh x =ex + e−x

2


24

C

Cosenos, ley de–Criba de Eratóstenes

Cosenos, ley de Para todo triángulo que se en-cuentra en el plano, se cumple:

C2 = A2 + B2 − 2AB cosα

donde A, B y C son las longitudes de loslados del triángulo, y α es el ángulo for-mado por los lados A y B.La ley de senos es una generalización delteorema de Pitágoras, pues cuando α =

90, tenemos el caso particular: C2 = A2 +

B2, que corresponde al teorema de Pitágo-ras.

Cosecante La función cosecante se definecomo el recíproco de la función seno. Esdecir,

cscα =1

sinαEn el triángulo rectángulo mostrado en ladefinición de «Coseno» la función cose-cante se puede escribir como:

cscα =hipotenusa

cateto opuesto

Cotangente La función cotangente se definecomo el recíproco de la función tangente.Es decir,

cotα =1

tanαUsando el triángulo rectángulo mostradoen la definición de «Coseno» podemosdescribir la función cotangente como:

cotα =cateto adyacentecateto opuesto

Creciente Decimos que una función f escreciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que estén en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≤ f (v).Por ejemplo, la función y = x2 escreciente en el intervalo [0, 1]:

Crecie

nte

x0 0.5 1 1.5

f (x)

1

2y = x2

Al ver la gráfica de una función, sabemosque es creciente si al moverte a la derechala gráfica de la función va hacia arriba.

Crecimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:

y = Mert

donde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Dentro de ciertos límites, el crecimientode una población presenta crecimientoexponencial.

Criba de Eratóstenes Procedimiento por elcual se puede encontrar la lista de todoslos números primos menores a un númeronatural dado n.El procedimiento consiste en ir elimi-nando los múltiplos de 2, 3, etc. ex-cepto el primer múltiplo (2, 3, etc.), hastaobtener una lista de números que no sehan eliminado y por tanto son primos, alno tener más de dos divisores.La siguiente figura muestra la criba deEratóstenes para encontrar los númerosprimos menores a 25:


Criterios de divisibilidad–Cuadrado mágico

C

25

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Criba de Eratóstenes

Criterios de divisibilidad Un criterio dedivisibilidad es una regla que nos ayudaa determinar si un número se divide entreotro sin hacer la división directamente.Un número se divide,

3 entre 2 si la última cifra del númeroes par.

3 entre 3 si la suma de sus cifras es unmúltiplo de 3.

3 entre 4 si el número formado por susúltimas dos cifras es un múltiplo de4.

3 entre 5 si termina en 5 ó en 0.

3 entre 6 si es divisible por 2 y por 3.

3 entre 8 si el número formado por sustres últimas cifras es un múltiplo de8.


3 entre 10 si termina en cero.

Vea la definición de «Divisibilidad».

Crítico, punto En una curva, el punto críticoes el punto donde una recta tangente a lacurva es horizontal.En la siguiente figura, el punto P indicadoes un punto crítico de la función y = f (x)

x

y

y = f (x)

P1

-1

Cuadrado (Aritmética) El cuadrado de unnúmero es el resultado de multiplicarlopor sí mismo.Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9, porque3 × 3 = 9.Importante: elevar al cuadrado nosignifica multiplicar por dos, sino por símismo.(Geometría) Polígono regular de cuatrolados. El cuadrado es un rectángulo quetiene la propiedad de que sus 4 ladosmiden lo mismo.

Cuadrado

El cuadrado es un rectángulo y un romboa la vez.

Cuadrado mágico Arreglo rectangular denúmeros naturales de manera que en todassus columnas y todos sus renglones sumenlo mismo.Un cuadrado mágico de 3 × 3 es:

2 9 4

7 5 3

6 1 8

La suma de cada renglón, cada columna ylas diagonales es 15.Un cuadrado mágico de 4 × 4 es elsiguiente:


26

C

Cuadrante–Cubo unitario

15 10 3 6

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

La suma de cada renglón, cada columna ycada diagonal en este cuadrado mágico es34.Además observa que:

8 + 13 + 10 + 3 = 344 + 14 + 9 + 7 = 34

11 + 2 + 5 + 16 = 341 + 12 + 15 + 6 = 34

Cuadrante En un sistema de coordenadasrectangulares, el plano queda dividido en4 regiones. Cada una de esas regiones esun cuadrante.

x

y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

Cuadrático De grado dos o elevado alcuadrado.Por ejemplo, una ecuación cuadrática esuna ecuación de grado dos:

ax2 + bx + c = 0

Cuadrilátero Polígono de cuatro lados.La siguiente figura geométrica es uncuadrilátero porque tiene 4 lados.

Cuartil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en cuatro partes iguales.Para hacer el cálculo de los cuartiles serequiere que los datos estén ordenados demanera creciente.El primer cuartil es el valor que es mayoral 25% de todos los valores y menor al75%; el segundo cuartil es mayor al 50%de la población y menor al otro 50%; eltercer cuartil es mayor al 75% de todoslos valores y menor al 25% restante yel cuarto decil es el mayor de todos losvalores.

Cuarto Cuando dividimos un entero en cuatropartes iguales, cada una de ellas es uncuarto, o bien, una cuarta parte delentero.

Cubo (Aritmética) El cubo de un número esel resultado de multiplicarlo por sí mismotres veces.Por ejemplo, el cubo de 2 es 8, porque2 × 2 × 2 = 8.(Geometría) Sólido geométrico regularcuyas 6 caras son cuadrados.

Cubo

Cubo unitario Cubo con aristas de medidaigual a la unidad.


Cúbico–Curvatura

C

27

Cúbico Unidad de volumen que se denotaescribiendo el número 3 como superíndicede la unidad considerada.Por ejemplo, un litro equivale a undecímetro cúbico, que se denota como 1dm3.

Cuerda Segmento de recta que tienesus puntos extremos sobre la mismacircunferencia.

Cuerda

Curva Una línea trazada en un plano o en elespacio. En álgebra y análisis matemáticotambién se llama curva a una ecuaciónrefiriéndose a que cualquier punto sobresu gráfica satisface a la ecuación.

Curvas, familia de Conjunto de curvas quetienen un mismo patrón de construccióno que se obtienen al variar un parámetrode su ecuación.

Curvatura Una medida del cambio de direc-ción de una curva en un punto.Una línea recta tiene curvatura cero,pues nunca cambia su dirección. Unacircunferencia tiene curvatura constante,pues cambia de dirección una mismacantidad siempre que avanzamos lamisma distancia.Una circunferencia con un radio pe-queño tiene mayor curvatura que unacircunferencia con radio más grande.


28

C

Libr

ode

distr

ibuc

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gratu

ita


ww

w.a

pren

dem

atem

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as.o

rg.m

x

DEfrain Soto Apolinar

Dato (Álgebra) En un problema, un dato esinformación que se extrae del texto delproblema que se utilizará en su solución.(Estadística) Información que se extraede una población o una muestra a partirde los cuales se calcularán o estimaránparámetros que la describen.

Deca- Prefijo que indica «diez veces» usado enlos múltiplos de las unidades del SistemaInternacional de Medidas. Por ejem-plo, un decametro es equivalente a diezmetros.

Década Unidad de tiempo que equivale a diezaños.

Decágono Polígono de diez lados y diez ángu-los. El decágono regular tiene todos suslados y ángulos iguales.

Decágono

Decaimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:

y = Me−rt

donde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Por ejemplo, la radiactividad presenta de-caimiento exponencial.

Deci- Prefijo que indica «la décima parte»usado en los submúltiplos de las unidadesdel Sistema Internacional de Medidas.Por ejemplo, decimetro indica la décimaparte de un metro. Decilitro indica ladécima parte de un litro.

Decil Valores que dividen a las mediciones re-alizadas en diez partes iguales.Para hacer el cálculo de los deciles serequiere que los datos estén ordenados demanera creciente.El d decil es el valor que tiene 10 × p%de todos los valores por debajo de él y el(100 − 10 × p)% por encima.Por ejemplo, el tercer decil es mayor al30% de todos los valores y es menor al70% de todos los valores.

Decimal Se refiere a un sistema basado en elnúmero diez.

30

D

Decimal, fracción–Deducción

Decimal, fracción Una fracción es decimalcuando en su denominador hay una poten-cia de 10.Por ejemplo, 0.25 puede expresarsecomo:

0.25 =25100

=25102

Por otra parte, el número 3.06 puedeescribirse como:

3.06 = 3 + 0.06 = 3 +6

100= 3 +

6102

Decimal, punto Signo matemático que sirvepara separar la parte entera de un númerode su parte decimal.Por ejemplo, en el número: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimal es:0.1416.En algunos países se acostumbra escribiruna coma decimal en lugar del punto.

Decimal, sistema métrico El sistema métricodecimal es el que utiliza los prefijos paraindicar múltiplos y submúltiplos de lasunidades.Los prefijos de los múltiplos usados eneste sistema y sus significados son:

Prefijo Símbolo Múltiplo

exa E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hecto h 102

deca da 10

Los prefijos de los submúltiplos y sussignificados son:

Prefijo Símbolo Submúltiplo

deci d 10−1

centi c 10−2

mili m 10−3

micro µ 10−6

nano n 10−9

pico p 10−12

femto f 10−15

atto a 10−18

los prefijos de los múltiplos y submúlti-plos de utilizan con cualquiera de lasunidades de las magnitudes físicas.Por ejemplo, kilogramo es equivalente amil gramos y un nanometro equivale a unamil millonésima parte de un metro.

Declinación Diferencia entre el norte geográ-fico y el norte magnético.

Decreciente Decimos que una función f esdecreciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que estén en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≥ f (v).Por ejemplo, la función y = 2 − x2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):

Decreciente

x0 0.5 1

f (x)

1

2

Observa que f (0.5) > f (1.0), y tambiénse cumple que: 0.5 ≤ 1.0.

Deducción Proceso de derivar una conclusióna partir de las propiedades de los objetosmatemáticos con los que se trabaja o deun principio general.


Definición–Derivada

D

31

Definición Sentencia que enlista laspropiedades de un objeto matemático.

Demostración Justificación de una senten-cia de una manera estructurada, lógicae irrefutable a partir de otras sentenciasverdaderas.El proceso de demostración en matemáti-cas es muy importante, pues cada nuevoteorema debe demostrarse en base a losaxiomas conocidos y a otros teoremas yademostrados.

Demostración por contradicción De-mostración en la cual se supone falsa lapremisa inicial y se llega a una contradic-ción o a una premisa falsa, concluyendo,entonces, que la suposición es falsa, ha-cienco la premisa inicial verdadera.La demostración por contradicción tam-bién se llama «demostración por reduc-ción al absurdo».

Denominador En una fracción, el denomina-dor indica en cuántas partes se dividirá unentero y el numerador indica cuántas deesas partes vamos a tomar.

Fracción =numerador

denominador

En una fracción el numerador se escribearriba y el denominador abajo.

Densidad El resultado de dividir la masa de unobjeto entre su volumen.Por ejemplo, un litro (1 dm3) de mercu-rio tiene una masa de 13.7 kilogramos,entonces su densidad δ es:

δ =13.7 kg

1 L= 13.7 kg/L

Dependencia funcional Se dice que la varia-ble y depende funcionalmente de la varia-ble x si es posible escribir la relación queexiste entre ellas en forma de ecuación.

En ese caso, y es la variable dependiente(depende de x) y x es la variable indepen-diente.Si la ecuación que relaciona a las varia-bles x, y no es una función decimos quetenemos una función implícita de y en x.

Dependiente, variable Una variable esdependiente si su valor depende del valorde otra u otras variables.Por ejemplo, en la función: y = x2, lavariable dependiente es y, pues su valordepende del valor que tome la variable x.

Dependientes, eventos Dos eventos son de-pendientes cuando el resultado de uno esafectado por el resultado del otro.

Derivación Proceso por el cual se calcula laderivada de una función.

Derivada En Cálculo, la derivada es la mejoraproximación lineal a una función en unpunto.Por ejemplo, para la gráfica de la funcióny = x2, en el punto P(1, 1) que está sobreesta curva, la mejor aproximación lineales la recta: y = 2 x − 1. La siguiente grá-fica muestra la función y su derivada en elpunto P(1, 1):

x

y

1 2

1

2

3

y=

2x−

1

y = x2

La derivada de una función evaluada en unpunto siempre es la pendiente de la rectatangente a la gráfica de la función en esepunto.


32

D

Derivable, función–Desigualdad

Formalmente, la derivada se define comoel siguiente límite:

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)∆x

La derivada se interpreta como una razónde cambio instantánea con respecto ala variable independiente, es decir, laderivada nos dice cómo crece la funciónen un punto.

Derivable, función Una función y = f (x) esderivable en un punto x0 de su dominio sila derivada de la función y′(x0) = f ′(x0)está definida en ese punto.Decimos que una función es derivable enun intervalo (a, b) si es derivable en cadapunto de ese intervalo.

Desarrollo (Álgebra) Un desarrollo se refierea la realización de las operaciones queestán indicadas en una expresiónalgebraica.Por ejemplo, el desarrollo de (a + b)3, es:

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

(Geometría) El desarrollo de un sólidogeométrico se refiere a un dibujo que nospermite construir el sólido.La siguiente figura corresponde aldesarrollo de un dodecaedro:

1 2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

Descomposición en factores (Aritmética)Cuando un número natural se expresacomo el producto de números primosse dice que se ha descompuesto en susfactores primos.Por ejemplo, la descomposición enfactores primos del número 30 es:

30 = 2 × 3 × 5

Observa que cada uno de los números queaparecen a la derecha de la igualdad sonprimos.(Álgebra) Cuando una expresiónalgebraica se expresa en forma de la mul-tiplicación de otras, se dice que se hadescompuesto en factores.Por ejemplo:

x2 − y2 = (x + y)(x − y)

Descuento Reducción que se hace a una canti-dad o a un precio o valor de algo. Eldescuento se determina en base a un por-centaje fijo determinado.

Desigual Condición que indica que dos canti-dades no son iguales. Para denotar quedos cantidades son desiguales usamos ensímbolo ,. Por ejemplo,

10 + 2 , 100

En matemáticas frecuentemente usamosla palabra «diferente» como sinónimo dedesigual.

Desigualdad Una desigualdad es una relaciónmatemática que compara el valor de dosnúmeros o expresiones algebraicas (deltipo mayor o menor).Por ejemplo, 2 < 5 es una desigualdad.Algunas veces es conveniente indicar queun número debe ser mayor o igual, o bienque es menor o igual.Las desigualadades usan la siguientenotación:


Desigualdad del triángulo–Determinante

D

33

Desigualdad Significado

> mayor que< menor que≥ mayor o igual que≤ menor o igual que

Desigualdad del triángulo En un triánguloque se encuentra en un plano, la suma delas longitudes de dos de sus lados siempremás grande que la longitud de su tercerlado.En la siguiente figura, la suma de las lon-gitudes de los lados A y B es mayor que lalongitud del lado C:

C

AB

|A| + |B| > |C|

Despejar En matemáticas el despeje serefiere al proceso de aislar una variablede una expresión matemática utilizandooperaciones algebraicas de manera que laexpresión final sea equivalente a la inicial.Por ejemplo, al despejar y de la ecuación:2 x + 3 y = 12, obtenemos:

y =12 − 2 y

3= 4 −

23

y

Desviación (Estadística) La desviación δ deuna medición xi se define como la diferen-cia de la media x de la muestra al valormedido:

δ = xi − x

La desviación absoluta es igual al valorabsoluto de la desviación.Algunos autores llaman «discrepancia» ala desviación.

Desviación media La desviación media de unamuestra, o desviación media muestral, esel promedio de las desviaciones absolutasde todos los datos de la muestra.Por ejemplo, considerando al conjunto dedatos: 2, 3, 6, 9, la media de la muestraes x = 20/4 = 5. Las desviacionesde cada dato se muestran en la siguientetabla:

Medición Desviaciónxi δ

2 −33 −26 19 4

y la desviación media es el promedio desus valores absolutos. En este caso, ladesviación media es 2.5, porque la sumade todas las desviaciones absolutas es 10y a este valor lo dividimos entre 4.Este estadístico mide en promedio cuántose aleja cada dato de la media aritmética.

Desviación estándar La desviación estándaro desviación típica, denotada por s, parauna muestra de n datos x1, x2, · · · , xn,está definida por:

s =

√∑(xi − x)2

ndonde x es la media de la muestra.

Determinante El determinante de 2 × 2 sedefine como:∣∣∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣∣∣ = ad − bc

Y el determinante de 3 × 3 se define por:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= aei + cdh + b f g−ceg − a f h − bdi


34

D

Determinístico–Diagonal secundaria

Un sistema de ecuaciones lineales sepuede resolver utilizando determinantes.Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

a x + b y = mc x + d y = n

se puede resolver a través del método dedeterminantes como sigue:

x =

∣∣∣∣∣∣ m bn d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣∣∣=

dm − bnad − bc

y =

∣∣∣∣∣∣ a mc n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣∣∣=

an − cmad − bc

siempre que ad − bc , 0. Si ocurreque ad − bc = 0, entonces el sistema deecuaciones, bien no tiene solución, bientiene un número infinito de soluciones.Los determinantes también se definenpara matrices cuadradas de mayor orden(4 × 4, 5 × 5, etc.)

Determinístico Un evento es determinísticocuando es predecible. Generalmente uti-lizamos una fórmula matemática paraconocer su comportamiento.Por ejemplo, para conocer si una vigasoportará un peso, existen fórmulas parapoder elaborar el cálculo correspondi-ente.

Diada Un par ordenado de valores. En elplano, las coordenadas de cada punto sonuna diada.Por ejemplo, (3, 4) es una diada.

Diagonal La diagonal de un polígono es elsegmento de recta que tiene sus extremosen dos vértices no consecutivos del polí-gono. Si el segmento de recta tiene sus

extremos en dos vértices consecutivos delpolígono, entonces se trata de uno de suslados.

Diagonal

Lado

El número de diagonales D que pode-mos trazar a un polígono regular de n la-dos puede calcularse con la siguiente fór-mula:

D =n (n − 3)

2

Diagonal principal En una matríz, la diagonalprincipal es la que empieza en la esquinasuperior izquierda y termina en la esquinainferior derecha.Por ejemplo, en la matriz: a b c

d e fg h i

La diagonal principal es la que incluye lasentradas: a, e, i.

Diagonal secundaria En una matríz, ladiagonal secundaria es la que empieza enla esquina superior derecha y termina enla esquina inferior izquierda.Por ejemplo, en la matriz: a b c

d e fg h i

La diagonal secundaria es la que incluyelas entradas: c, e, g.


Diagrama–Diagrama de sectores

D

35

Diagrama En matemáticas un diagrama es unarepresentación gráfica de la relación entrevarios objetos matemáticos.Por ejemplo, el siguiente diagramaexplica la relación entre una función, sudominio y su contradominio:

xX

f (x)Yf

Función


Valores que ledamos a la función

Valores que nosdevuelve la función

Generalmente, los diagramas no se dibu-jan a escala.

Diagrama de árbol Gráfica en la que semuestra la relación entre varios compo-nentes.El siguiente es un diagrama de árbol:

Raíz

Padre Madre

Hijo Hija

Diagrama de barras Forma de graficar datosque facilita la comparación entre distintosgrupos de datos.La siguiente gráfica es un diagrama debarras vertical:

2007 2008 2009 2010 2011

70

80

90

Cal

ifica

ción

Matemáticas Lenguaje Historia

El diagrama de barras muestra cuantita-tivamente a través de barras horizontaleso verticales de mismo grosor con alturasproporcionales a las cantidades que seestán representando.

Diagrama de dispersión Diagrama quemuestra datos de dos variables en el planopara identificar tendencias en los mismos.La siguiente gráfica es un diagrama dedispersión:

−4 −2 0 2 4

−0.5

0

0.5

Diagrama de líneas Diagrama que se utilizapara describir gráficamente el comporta-miento de una cantidad para distintosvalores de una variable independiente,como por ejemplo, el tiempo.Este tipo de diagramas es el que se utilizamuy frecuentemente en los pronósticos:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diagrama de sectores El diagrama desectores sirve para comparar datos en basea un total. Generalmente se le dibuja enforma de pastel.


36

D

Diagrama de Venn–Diferencia de vectores

El siguiente gráfico corresponde a undiagrama de sectores:

Diagrama de Venn Diagrama que se utilizapara denotar conjuntos y las operacionesentre ellos.El siguiente diagrama de Venn muestra laintersección de los conjuntos A y B:

A B

A ∩ B

Diámetro El diámetro de una circunferenciaes la cuerda más larga que se le puededibujar. En otras palabras, el diámetroes el segmento de recta que tiene sus ex-tremos sobre la circunferencia y pasa porsu centro C.

Diámetr

o

C

La longitud del diámetro de unacircunferencia es igual al doble de suradio.

Diferencia La diferencia entre los números ay b es el número b − a. La diferencia seconoce como resta.

Diferencia de conjuntos La diferencia de losconjuntos A y B, denotada por A − B,es el conjunto de todos los elementos queestán en A, pero que no están en B.El siguiente diagrama de Venn muestraesta definición:

A B

A ∩ BA − B

Diferencia de una progresión aritméticaDados dos términos consecutivos cuales-

quiera de una progresión aritmética,ai, ai+1, la diferencia de la progresión es:d = ai+1 − ai.En realidad, se define la diferencia de laprogresión para calcular los términos dela misma y no al revés.Por ejemplo, si definimos a1 = 5 y d = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, etc.

Diferencia de vectores Sean ~u = (ux, uy) y~v = (vx, vy) dos vectores en el plano. Sudiferencia es:

~u − ~v = (ux − vx, uy − vy)

Geométricamente, la diferencia de losvectores es el vector que tiene su puntoinicial en el punto terminal de~v y su puntoterminal en el punto terminal de ~u:


Diferenciable–Directa, variación

D

37

x

y

~u

~v

~w = ~u − ~v

Del diagrama anterior es fácil observarque ~v + ~w = ~u. Es decir, ~w = ~u − ~v.

Diferenciable Una función es diferenciable enun punto o en un intervalo si es posiblecalcular su derivada en ese punto o encada uno de los puntos del intervalo con-siderado.

Diferencial Vea las definiciones «dx» y «dy».

Dígito Uno de los diez símbolos que utilizamospara escribir números en el sistema de nu-meración en base 10:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Dimensión (Álgebra) La dimensión de unamatríz de m renglones y n columnas esm × n.(Geometría) La dimensión de un espaciose define como el número de coordena-das que hay que indicar para determinarde manera única cada uno de sus puntos.El plano tiene dimensión dos, porque serequieren de dos coordenadas para deter-minar de manera única uno de sus puntos.En matemáticas se pueden definir espa-cios de 3, 4, 5, etc., dimensiones sinproblema conceptual, aunque no es posi-ble representarlos geométricamente a par-tir de 4 dimensiones.El estudio de los espacios de más detres dimensiones se elabora con el uso devectores en el álgebra lineal.La siguiente figura muestra un espacio detres dimensiones:

y

z

x

Dirección La dirección de un vector se definecomo el ángulo que éste forma con el ejehorizontal.El siguiente diagrama muestra la direc-ción θ del vector ~v:

~v

x

y

θ

Dirección, vector Vector de longitud unitariaque sirve para definir una dirección es-pecífica.

Directa, proporción Proporción en la cual alaumentar una cantidad la otra también au-menta.Por ejemplo, cuando aumenta el númerode refrescos que vamos a comprar, au-menta también el importe que debemospagar, por eso decimos que el importe esdirectamente proporcional al número derefrescos.

Directa, variación Las dos variables x, ypresentan variación directa si éstas estánen proporción directa. En este caso, sedenomina la constante de variación di-recta k al número que satisface y = kxpara cualesquiera dos valores x, y de lavariación.Por ejemplo, considerando el ejemplo


38

D

Directriz–Discusión

dado en la definición de «Proporción di-recta», si el precio de cada refresco es de$7.00 pesos, entonces k = 7, porque estaes la constante que satisface y = kx, paracualesquiera x, y, donde y es el importe apagar y x es el número de refrescos que secompraron.

Directriz En una cónica, la directriz es unalínea recta fija que junto con uno o dospuntos fijos llamados focos sirven paramedir proporciones de distancias paradeterminar los puntos de la cónica deacuerdo con su definición.Las cónicas son:

3 Circunferencia

3 Parábola

3 Elipse

3 Hipérbola

Dirigido, segmento Segmento con una direc-ción definida, donde uno de sus puntos ex-tremos se define como el punto inicial y elotro extremo como su punto final.Por ejemplo, el segmento dirigido

−−→AB, se

muestra en la siguiente figura:

xA BO

Discontinuidad Se dice que una función esdiscontínua en un punto de su dominiocuando no es contínua en él.Por ejemplo, la siguiente figura muestrauna función que presenta una discon-tínuidad en el intervalo [a, b]:

x

y

y = f (x)

ba

La función no es contínua porque no sele puede dibujar sin despegar la punta dellápiz del papel sobre el cual se le dibuja.

Discreto Se dice que una variable toma valoresdiscretos cuando solamente puede tomarvalores de manera entera o en forma desaltos.Lo contrario de discreto es contínuo.

Discriminante En la fórmula general pararesolver ecuaciones de segundo grado,a x2 + b x + c = 0:

x =−b ±

√b2 − 4 ac

2 a

el discriminante D se define como elargumento del radical:

D = b2 − 4 ac

El signo del discriminante nos indica eltipo de raíces que tendrá la ecuacióncuadrática:

Discriminante Raíces

positivo reales diferentescero reales repetidas

negativo complejas

Discusión En matemáticas una discusiónse refiere al proceso de análisis confin de investigar un concepto u objetomatemático a través del razonamiento y laargumentación aplicando las propiedadesconocidas del objeto en estudio.


Disjunto–Distribución de frecuencias

D

39

Disjunto Dos conjuntos son disjuntos si suintersección es igual al conjunto vacío.En otras palabras, si dos conjuntos notienen elementos comúnes, entonces sonconjuntos disjuntos.La figura muestra dos conjuntos disjuntos:

A B

A ∩ B = ∅

Disyunción Aseveración formada por dospremisas unidas por la palabra «o».Por ejemplo, dado que es mayor a launidad, este número es primo o es com-puesto es una disyunción.

Dispersión Número que indica el grado de uni-formidad de los datos medidos o concen-tración en torno de ciertos valores de lamuestra o población.

Distancia Número que sirve de medida de sep-aración entre dos objetos geométricos.La distancia D entre dos puntos P(xp, yp)y Q(xq, yq) del plano cartesiano se puedecalcular con la fórmula:

D(P,Q) =

√(xq − xp)2 + (yq − yp)2

La distancia (euclideana) satisface lassiguientes propiedades:

3 D(P,Q) ≥ 0, es decir, la distanciaentre dos puntos es un número nonegativo.

3 D(P, P) = 0, es decir, la distancia deun punto a sí mismo es cero.

3 D(P,Q) ≤ D(P,R) + D(R,Q), esdecir, en un triángulo, la suma de laslongitudes de dos lados siempre es almenos tan grande como el tercero.

Distancia de un punto a una recta La distan-cia D del punto P(xp, yp) a la recta:A x + B y + C = 0 se puede calcular con lafórmula:

D =|A xp + B yp + C|√

A2 + B2

Para calcular la distancia entre dos rectasparalelas puedes encontrar un punto sobrecualquiera de las dos y calcular la distan-cia de este punto a la otra recta.

Distinto Dos cantidades sin distintas cuandono son iguales. En otras palabras, distintoes sinónimo de desigual.Por ejemplo, 3 y 4 son cantidades dis-tintas. Matemáticamente esto lo expre-samos: 3 , 4.

Distribución La forma como los valoresde una variable aleatoria aparecen enlos datos medidos en una muestra opoblación.La distribución indica qué valores tienenmayor probabilidad de aparecer y cuálesaparecen con menor frecuencia.

Distribución binomial Distribución quepresentan los eventos que tienen dos posi-bles resultados mutuamente excluyentes.Por ejemplo, el lanzamiento de unamoneda diez veces presenta distribuciónde probabilidad binomial, porque o caeáguila o cae sol.Para el cálculo de la distribución bino-mial se utiliza el binomio de Newton o eltriángulo de Pascal.

Distribución de frecuencias Tabla o diagramaque muestra gráficamente las frecuenciasde los valores de una variable aleatoria.


40

D

Distribución normal–Divisibilidad

0 1 2 3 4

2.5

3

3.5

4

Distribución normal Distribución de probabi-lidad contínua que presentan muchosfenómenos donde cada dato puedeninterpretarse como el promedio de variasmediciones.Por ejemplo, cuando medimos una distan-cia, cometemos un error de medición quetiene distribución normal. El error de lamedición es simétrico respecto del valorverdadero de la distancia. En este ejem-plo, cada medición puede considerarsecomo el promedio de varias medicionesseparadas.La distribuión normal se utiliza frecuente-mente como una aproximación a ladistribución binomial.La distribución normal se define con lamedia poblacional µ y su varianza σ2.Si la media de la distribución es cero y suvarianza 1, la distribución se conoce comodistribución normal estándar.Esta distribución es muy importante enprobabilidad y estadística.La función de densidad de la distribuciónnormal es:

f (x) =1

σ√

2πexp

(−(x − µ)2

2σ2

)con σ > 0, y su gráfica es:

xµ

La gráfica tiene las siguientespropiedades:

3 Tiene un máximo en x = µ (media).

3 La curva es simétrica respecto de lamedia.

3 La media, la mediana y la moda co-inciden en el máximo de la función.

3 El eje horizontal es una asíntota dela curva.

3 El área total bajo la curva es 1.

Distributiva (propiedad) Propiedad de losnúmeros reales que involucra a la sumacomo a la multiplicación de la siguientemanera:

a · (b + c) = a b + a c

Geométricamente, la propiedad distribu-tiva se interpreta como el cálculo del áreade un rectángulo:

a b a ca

b c

b + c

Dividendo En una división, el dividendo es elnúmero que se está dividiendo. Por ejem-plo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, el dividendo esel número 10, el divisor es el número 5 yel cociente es el número 2.

Divisibilidad Decimos que el número entero bdivide al número entero a, y lo escribimoscomo: b|a, si existe un número entero k talque: a = b · k.En otras palabras, si a es un múltiplo deb, entonces decimos que el número b esdivisible por a.


Divisibilidad, criterios de–División de polinomios

D

41

Divisibilidad, criterios de Un criterio dedivisibilidad es una regla que nos ayudaa determinar si un número se divide entreotro sin hacer la división directamente.Un número se divide,

3 entre 2 si la última cifra del númeroes par. (0, 2, 4, 6, 8)


3 entre 4 si el número formado por susúltimas dos cifras es un múltiplo de4.

3 entre 5 si termina en 5 ó en 0.

3 entre 6 si es divisible por 2 y por 3.

3 entre 8 si el número formado por sustres últimas cifras es un múltiplo de8.


3 entre 10 si termina en cero.

Divisor Dados los números enteros a, b, c quecumplen a = b · c, decimos que losnúmeros b y c son divisores del númeroa.Por ejemplo, el 2 y el 5 son divisores delnúmero 10, porque 10 = 2 × 5.

Divisor propio Un divisor d de un número k esun divisor propio si d < k.Por ejemplo, los divisores de 10 son: 1, 2,5 y 10. Sus divisores propios son: 1, 2 y 5,porque cada uno de ellos es menor a 10.

División Operación matemática que consisteen repartir una cantidad fija en otra dada.La división se denota con el símbolo ÷ ocon /.Por ejemplo, para indicar la división delos números a y b, escribimos: a ÷ b, obien, a/b.

La división de dos números también seacostumbra escribir como una fracción:

r =ab

donde r es el resultado de la división y sellama cociente, a es el dividendo, b es eldivisor que debe ser distinto de cero.

División de fracciones El resultado de dividira/b entre c/d es:

ab÷

cd

=a · db · c

supuesto que: b · c , 0.Por ejemplo:

35÷

78

=3 × 85 × 7

=2435

División de monomios La división demonomios se define siempre que eldivisor sea distinto de cero. La divisiónentre monomios se realiza aplicando lasleyes de los exponentes. En particular,la ley: xm ÷ xn = xm−n, que en palabrasdice que al dividir dos bases iguales susexponentes se restan.Por ejemplo,

x7

x4 = x7−4 = x3

División de polinomios La división de polino-mios se realiza utilizando el mismoprocedimiento que la división entrenúmeros.En la siguiente división:

Cm−n+k(x)Dm(x) Pn(n)

rk(x)

Cm−n(x) es el cociente, que resulta ser unpolinomio de grado m− n + k, Dm(x) es eldivisor, un polinomio de grado m, Pn(x)es el dividendo, un polinomio de gradon y rk(x) es el residuo de la división, unpolinomio de grado k ≤ 2.


42

D

División de un ángulo–Duplicar

División de un ángulo Dado un ángulo,dividirlo en n partes significa dibujar oconstruir esa cantidad de ángulos exacta-mente iguales entre sus lados.Por ejemplo, al dividir el ángulo α = 60en 5 partes iguales, obtenemos:

División de un segmento Dado un segmentocon extremos en los puntos A y B, dividirel segmento en n partes iguales significaencontrar n−1 puntos igualmente espacia-dos entre sus extremos.Por ejemplo, al dividir el segmento AB en5 partes iguales obtenemos:

A B

Doble El doble de un número es el resultado demultiplicarlo por 2. Por ejemplo, el doblede 5 es 10, porque 5 × 2 = 10.

Doble, raíz En un polinomio, cuando éste sepuede factorizar con un factor elevado alcuadrado, el polinomio presenta una raízdoble.En otras palabras, una raíz r de un polino-mio es doble si después de dividirlo entre(x − r) dos veces consecutivas, el residuoes cero.

Dodecaedro Sólido regular que tiene 12 caras.Cada una de sus caras es un pentágonoregular:

Dodecágono Polígono que tiene 12 lados.

Dodecágono

Dominio El dominio D de una funciónes el conjunto formado por todos losvalores que la función puede aceptar paradevolver un único valor por cada uno deellos.Un elemento del dominio generalmente sedenota con la literal x. Así, x ∈ D f se lee:«x está en el dominio de la función f ».Por ejemplo, el dominio de la función y =

x2 es el conjunto de los números reales,porque podemos calcular el cuadrado decualquier número real.Por otra parte, el dominio de la fun-ción y =

√x es el conjunto de todos

los números reales no negativos, puessolo podemos calcular la raíz cuadrada denúmeros no negativos.

Duplicar Calcular el doble de un número ocantidad.Por ejemplo, al duplicar 10 obtenemos20.


dx–dy

D

43

dx En cálculo, dx se llama la «diferencial dex», y puede representar cualquier númeroreal.Generalmente, cuando el incremento en x(∆x) tiende a cero, lo llamamos dx.

dy En cálculo, si y = f (x), dy se llama la

«diferencial de y», y se define como elproducto de la derivada de la función f (x)y la diferencial de x:

dy =dydx· dx = f ′(x) · dx


44

D

Libr

ode

distr

ibuc

ión

gratu

ita


ww

w.a

pren

dem

atem

atic

as.o

rg.m

x

EEfrain Soto Apolinar

e Número irracional que sirve de base para loslogaritmos naturales. Su valor es aproxi-madamente e = 2.718281828459.

Ecuación Es una igualdad entre dos expre-siones algebraicas.Por ejemplo,

xn + yn = zn

es una ecuación.

Ecuación algebraica Es una ecuación que seexpresa en base a operaciones algebraicas(suma, resta, división, multiplicación) depolinomios.Por ejemplo, la ecuación:

1x + 2

−(x − 1)(x + 3)

x + 5= 1

es algebraica.

Ecuación binomial Una ecuación de la forma:

xn − a = 0

y su solución es: x = n√

a.

Ecuación cuadrática Una ecuación escuadrática si tiene la forma:

a x2 + b x + c = 0

donde a , 0.

Ecuación de la circunferencia La circunferen-cia es el conjunto de puntos del plano queestán a la misma distancia de un punto fijoC que es el centro de la circunferencia.La distancia del centro de la circunferen-cia a cualquiera de sus puntos se llamaradio (r).La ecuación de la circunferencia que tienesu centro en el punto C(h, k) y radio r es:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

xO h

y

k

r

C(h, k)

P(x, y)

Ecuación de la elipse La elipse es el conjuntode puntos del plano que satisfacen que lasuma de sus distancias a dos puntos fijosdel plano llamados focos es una constante2 a mayor que la distancia entre los focos.La ecuación de la elipse horizontal concentro en el punto C(h, k), longitud del eje

46

E

Ecuación de la hipérbola–Ecuación de la parábola

mayor 2 a y longitud del eje menor 2 b,es:

(x − h)2

a2 +(y − k)2

b2 = 1

x

y

h

kC(h, k)a

b

La ecuación de la elipse vertical concentro en el punto C(h, k), longitud del ejemayor 2 a y longitud del eje menor 2 b,es:

(x − h)2

b2 +(y − k)2

a2 = 1

La distancia del foco al centro de la elipsees c y la relación que hay entre a, b y c es:

a2 = b2 + c2

Ecuación de la hipérbola La hipérbola es elconjunto de puntos del plano que satis-facen que la diferencia de sus distancias ados puntos fijos del plano llamados focoses una constante 2 a menor que la distan-cia entre los focos (2 c).La ecuación de la hipérbola horizontalcon centro en el punto C(h, k), longituddel eje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:

(x − h)2

a2 −(y − k)2

b2 = 1

La ecuación de la hipérbola vertical concentro en el punto C(h, k), longitud del

eje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:

−(x − h)2

a2 +(y − k)2

b2 = 1

x

y

F(0, c)F′(0,−c)

y =b

ax

y=− b

a x

Eje transverso

Eje

conjugado

La distancia del centro de la hipérbola acualquiera de los focos es c, y la relaciónentre a, b y c es:

c2 = a2 + b2

Las diagonales que pasan por el centrode la hipérbola se llaman «asíntotas de lahipérbola» y sus ecuaciones son:

y =ba

x y = −ba

x

Ecuación de la parábola La parábola es elconjunto de puntos del plano que satis-facen que su distancia a un punto fijo delplano llamado foco es igual a la de unarecta fija sobre el plano llamada directriz,que no pasa por el foco.La ecuación de la parábola vertical convértice en el punto V(h, k) y distancia delvértice a su foco ρ, es:

(x − h)2 = 4 ρ (y − k)


Ecuación de la recta–Ecuación exponencial

E

47

La parábola horizontal con vértice en elpunto V(h, k) y distancia del vértice a sufoco ρ, es:

(y − k)2 = 4 ρ (x − h)

La parábola vertical puede abrir hacia ar-riba o hacia abajo, y la horizontal hacia laderecha o hacia la izquierda, de acuerdo alsigno del parámetro ρ.

x

y

x2 = +4 |ρ|y

x

yx2 = −4 |ρ|y

x

y

y2 = +4 |ρ|x

x

y

y2 = −4 |ρ|x

Ecuación de la recta La ecuación general dela recta es:

A x + B y + C = 0

La ecuación de la recta en su formapendiente-ordenada al origen es:

y = m x + b

La ecuación de la recta en su forma punto-pendiente es:

y − y1 = m (x − x1)

La ecuación de la recta en su formasimétrica es:

xa

+yb

= 1

La ecuación de la recta en su formanormal es:

A x + B y + C√

A2 + B2= 0

Ecuación equivalente Dos ecuaciones sonequivalentes si tienen exactamente lasmismas soluciones.Por ejemplo, las ecuaciones:

2 x + 1 = 9 y 2 x = 8

tienen solución única: x = 4, y por tantoson equivalentes.

Ecuación exponencial Una ecuaciónexponencial tiene la forma:

r akx = c


48

E

Ecuación fraccionaria–Elemento neutro

Ecuación fraccionaria Es una ecuación quetiene contiene fracciones algebraicas.Por ejemplo, la ecuación:

32x + 1

+2

3x + 1= 7

es fraccionaria.

Ecuación lineal Es una ecuación en la cual lasincógnitas tienen exponente uno.Por ejemplo, la ecuación:

7 x + 1 = 50

es lineal, pues la única incógnita queaparece (x) tiene exponente igual a 1.

Ecuación logarítmica Ecuación en la queaparecen logaritmos de la incógnita.Por ejemplo, la ecuación:

ln(x + 1) − 5 = 0

es logarítmica.

Eje Línea recta que sirve de referencia paraconstruir un sistema coordenado.Generalmente los ejes se dibujanperpendiculares. El eje horizontal usual-mente se etiqueta con la literal x y el ver-tical con la literal y.

x1 2 3 4

1

2

3y

Eje x

Eje

y

En algunas figuras, se define uno o variosejes para utilizarlos cono referencia. Porejemplo, en las cónicas.

Eje conjugado En una hipérbola, el ejeconjugado es un segmento de recta per-pendicular al eje transverso que pasa porel punto medio de éste.

Eje de simetría La recta que divide a unafigura geométrica en dos partes igualesque se pueden superponer una sobre laotra doblando la figura sobre esta recta.Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatro ejesde simetría. La siguiente figura muestrauno de ellos:

Ejede

simetr

ía

Elemento Se refiere a un objeto particular deun conjunto.Cuando x es un elemento del conjunto A,esto se indica con la notación: x ∈ A, y selee: «x es un elemento del conjunto A».Si x no es un elemento del conjunto A,entonces escribimos: x < A.

Elemento identidad El elemento identidad enel álgebra es el número 1.

Elemento inverso Para la suma, el elementoinverso de a es −a, porque a + (−a) = 0,para todo a ∈ R.Para la multiplicación, el elemento in-verso de a , 0 es 1/a, porque a·(1/a) = 1,para todo a , 0, a ∈ R.

Elemento neutro Para la suma, el elementoneutro es el cero, porque a + 0 = a, paratodo a ∈ R.Para la multiplicación, el elemento neu-tro es el uno, porque a · 1 = a, para todoa ∈ R.


Elemento opuesto–Elipse

E

49

Elemento opuesto El opuesto del número a esel número −a.El adjetivo «opuesto» viene del hecho deque en la recta numérica, los números a y−a están a la misma distancia del origen,solo que en lados opuestos.

Elemento simétrico El elemento simétrico delnúmero a es el número −a.En otras palabras, elemento simétrico essinónimo de elemento opuesto.

Elevación La distancia desde el suelo hasta laposición de un objeto.

Elevación, ángulo de Ángulo que se formaconsiderando la horizontal, el punto desdedonde se observa (vértice del ángulo deelevación) y la posición del objeto obser-vado.En la siguiente figura, el ángulo αmostrado, corresponde al de elevación delobjeto (:

α

(

En este caso, el punto desde donde seobserva al avión es el vértice del ángulomostrado.

Eliminar En el proceso de simplificación deuna expresión algebraica, decimos quehemos eliminado un término o factorcuando hemos aplicado alguna de lassiguientes propiedades de los números:

a + (−a) = 0

a ·1a

= 1

Por ejemplo, cuando simplificamos lafracción:

621

=2 × 33 × 7

=27

decimos que hemos eliminado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.

Elipse Figura geométrica cerrada que tienela propiedad que la suma de las distan-cias desde cualquiera de sus puntos ados puntos fijos llamados focos, es unaconstante.El siguiente diagrama muestra una elipsecon centro en el origen y mostrandoalgunos de sus elementos:

x

y

FF′

P(x, y)

LR

VV ′

B

B′

O

Los elementos de la elipse son:

3 Eje mayor: es el segmento con ex-tremos en los puntos V y V ′.

3 Eje menor: es el segmento con ex-tremos en los puntos B y B′.

3 Vértices: son los puntos V y V ′

3 Focos: son los puntos F y F′

3 Lado recto: Es el segmento perpen-dicular al eje mayor que pasa por unfoco y sus extremos están sobre laelipse.

Algunas distancias importantes en laelipse son:

3 a es la distancia del centro de laelipse a cualquiera de sus vértices.


50

E

Eneágono–Equivalencia

3 b es la distancia del centro de laelipse a un extremo del eje menor.

3 c es la distancia de cualquiera de losfocos a un extremo del eje menor.

Entre a, b y c se cumple la relación:

a2 = b2 + c2

Eneágono Polígono de 9 lados.

Eneágonoregular

Entero El conjunto de los números enteros,que se denota con la literal Z es elsiguiente:

Z = · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·

Observa que todos los números naturalestambién son números enteros. Sin em-bargo, no todos los números enteros sonnaturales.

Equiángulo Un polígono es equiángulo sitodos sus ángulos tienen la mismamedida.El siguiente polígono es equiángulo:

pues cada uno de sus ángulos mide 120.Observa que un polígono equiángulo noes necesariamente regular.

Equidistante Se dice que dos o más objetosson equidistantes de otro objeto P si todosestán a la misma distancia de éste (P).Por ejemplo, en una circunferencia, todossus puntos son equidistantes del centro,porque están a la misma distancia de él.

PM

NR

ST

En la figura anterior, los puntos M,N,R, Sy T son equidistantes del punto P.

Equilátero Un polígono es equilátero si todossus lados tienen la misma medida.El siguiente polígono es equilátero:

puesto todos sus lados tienen la mismamedida.Observa que un polígono equilátero no esnecesariamente regular.

Equivalencia Propiedad que presentan doscantidades de tener el mismo valor.Entonces, decimos que dos cantidades sonequivalentes si son iguales.


Equivalencia, relación de–Esfera

E

51

Equivalencia, relación de La relación deequivalencia es una estructura matemáticaque presenta las siguienes propiedades:

3 Reflexiva: a ∼ a

3 Simétrica: Si a ∼ b, entonces b ∼ a.

3 Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c,entonces a ∼ c.

Decimos que los objetos a y b están rela-cionados si cumplen las tres propiedadesenlistadas y lo denotamos por a ∼ b.

Eratóstenes, criba de Procedimiento por elcual se puede encontrar la lista de todoslos números primos menores a un númeronatural dado n.El procedimiento consiste en ir elimi-nando los múltiplos de 2, 3, etc. ex-cepto el primer múltiplo (2, 3, etc.), hastaobtener una lista de números que no sehan eliminado y por tanto son primos, alno tener más de dos divisores.La siguiente figura muestra la criba deEratóstenes para encontrar los númerosprimos menores a 25:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Criba de Eratóstenes

Error 1. Diferencia entre el valor aproximadoy el valor real de una cantidad.2. En álgebra, un estudiante comete unerror cuando aplica incorrectamente unapropiedad de los números u omite un cál-culo para la solución del problema.

Error absoluto El error absoluto de una medi-ción se define como el valor absoluto de ladiferencia entre el valor medido y el valorreal:

εabs = |valor real − valor medido|

Error relativo El error relativo de una medi-ción se define como:

ε =error

valor verdadero

Escala 1. Conjunto de marcas sobre un instru-mento para hacer mediciones.La siguiente figura muestra parte de unaregla con escala en centímetros:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 cm

2. Número o razón que indica el númerode veces que se ha magnificado larepresentación gráfica de una figura parasu manejo más cómodo.

Esfera Sólido geométrico que tiene lapropiedad que todos sus puntos equidistande su centro.

Esfera


52

E

Estadística–Eventos independientes

Estadística Rama de las matemáticas que seencarga de la recolección, representación,análisis, interpretación y aplicaciones dedatos numéricos a través de un conjuntode técnicas con rigor científico.La estadística se divide en inferencial ydescriptiva.

Estadística descriptiva Rama de la estadís-tica que se dedica a encontrar formas derepresentar información numérica de unaforma comprensible y útil en forma detablas, gráficas y diagramas para extraerde ellas información sobre los datos.

Estadística inferencial Rama de la estadís-tica que se dedica a estimar valoresdescriptivos de la población a partir de lainformación que se tiene de una muestrade la misma usando algunos paráme-tros conocidos como estadísticos (media,desviación estándar, etc.)

Estimación Aproximación a un valor pormedio de un método matemático.

Espacio Conjunto de objetos matemáticos quese delimitan para su estudio.Un espacio matemático no es necesaria-mente un espacio físico.

Estocástico Una variable es estocástica si esaleatoria.

Euclides, algoritmo de Algoritmo paracalcular el máximo común divisor de dosnúmeros MCD(m, n) donde m > n, que sepuede resumir como sigue:

1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.

2. Si r = 0, entonces MCD(m, n) = n.(Fin)

3. Si r , 0, entonces MCD(m, n) =

MCD(n, r).

4. Remplazar (m, n) por (n, r) e ir alpaso 1.

Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:

27 = 12 × 2 + 312 = 3 × 4 + 0

Entonces, MCD(27, 12) = 3.

Euler, fórmula de (Análisis) La fórmula:

eiθ = cos θ + i sin θ

se conoce como la fórmula de Euler.(Geometría) En un poliedro simple, si Ves el número de vértices, A es el númerode aristas y C es el número de caras, secumple:

V + C − A = 2

Esta relación también se conoce como lafórmula de Euler.Nota: Euler se pronuncia «oiler».

Euler, número de Número irracionaldenotado por la literal e que se utilizacomo la base de los logaritmos natura-les y cuyo valor es aproximadamente:e ≈ 2.718281828459

Euler, recta de Es la recta que pasa por circun-centro, baricentro y el ortocentro de untriángulo.

Evento En un experimento aleatorio, un eventoes un conjunto de resultados posibles; enotras palabras, un evento es un subcon-junto del espacio muestral.

Eventos dependientes Dos eventos son de-pendientes cuando el resultado de uno esafectado por el resultado del otro.

Eventos independientes Dos eventos son in-dependientes cuando el resultado de unono afecta el resultado del otro.Cuando dos eventos son independientes,


Eventos mutuamente exluyentes–Exponente

E

53

se cumple cualquiera de las siguientes trescondiciones:

P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

En palabras, la primera ecuación nosdice que la probabilidad de que ocurra elevento A no depende del evento B; la se-gunda ecuación indica que la probabilidadde que ocurra el evento B no depende deA y la tercera nos dice que la probabilidadde que ocurran los eventos A y B juntos esigual al producto de las probabilidades deque ocurra cada evento solo.Si al menos una de las tres condiciones(ecuaciones) no se cumple, decimos quelos eventos son dependientes.

Eventos mutuamente exluyentes Dos even-tos A y B son mutuamente excluyentes siel hecho de que ocurra uno hace imposi-ble la ocurrencia del otro. En otras pala-bras, si la ocurrencia simultánea de am-bos eventos es imposible, los eventos sonmutuamente excluyentes.Por ejemplo, si al observar la variablealeatoria X que consiste en el resultadode un volado (águila, sol), A correspondeal evento «cayó sol» y B al evento «cayóáguila», entonces los eventos A y Bson mutuamente excluyentes, porque nopodemos tener en un solo experimentoambos resultados: o cae águila, o cae sol.

Excentricidad La excentricidad e de unacónica se define a partir de los paráme-tros a, b y c que la determinan de maneraúnica, y es igual a:

e =ca

La excentricidad varía de acuerdo a cadacónica:

3 Parábola: e = 1

3 Elipse: e < 1

3 Hipérbola: e > 1

La excenticidad no está definida en lacircunferencia.

Exhaución, método de Método utilizado parael cálculo del área de una figura, con-struyendo polígonos en ésta y calculandola suma de las áreas de estos.

Existencia, axioma de Axioma que supone laexistencia de un objeto o varios objetosmatemáticos.

Experimento En estadística, un experimentoes el proceso que se lleva a cabo con el finde obtener un dato para formar una colec-ción de éstos y a partir de ella hacer análi-sis estadísticos para conocer alguna carac-terística de la población de la cual se ex-trajo esta información.

Exponencial, crecimiento Proceso que semodela con una ecuación del tipo:

y = Mert

donde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Dentro de ciertos límites, el crecimientode una población presenta crecimientoexponencial.

Exponencial, decaimiento Proceso que semodela con una ecuación del tipo:

y = Me−rt

donde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Por ejemplo, la radiactividad presenta de-caimiento exponencial.

Exponente Es el número que indica cuántasveces se multiplicará la base.


54

E

Expresión algebraica–Extrapolación

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2︸︷︷︸

5 factores

= 32

Expresión algebraica Una expresiónalgebraica es una combinación de sím-bolos matemáticos (literales, números,operaciones, etc.) que tenga sentido.Por ejemplo,

3

√7 x2 −

10π

es una expresión algebraica.

Extrapolación Estimación de una varable de-pendiende para valores de la variabledependiente que están localizados fueradel conjunto de observaciones.Por ejemplo, suponga que conocemos losvalores de la presión para temperaturasentre 0 y 100; si deseamos hacer una esti-mación de la presión para 110, entoncesusaremos un método de extrapolación,porque 110 no está dentro del intervalo deobservaciones de la temperatura.


ww

w.a

pren

dem

atem

atic

as.o

rg.m

x

FEfrain Soto Apolinar

Factor Número o expresión algebraica que seestá multiplicando.Por ejemplo, en la expresión:

2 x y2

hay tres factores: y2, x, y 2.

Factorial El factorial del número natural n, quese denota como: n!, se define como elproducto de todos los números naturalesdesde 1 hasta n:

n! = (1)(2)(3) · · · (n)

Por ejemplo, el factorial de 4 es:

4! = (1)(2)(3)(4) = 24

El factorial del número cero es 1.

Factorización Proceso de escribir un númeroo una expresión algebraica en forma deproducto de factores.Por ejemplo,

x2 + 5 x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Los casos de factorización que másfrecuentemente se encuentran en el álge-bra son:

3 Diferencia de cuadrados:

x2 − y2 = (x + y)(x − y)

3 Trinomio cuadrado perfecto:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

3 Polinomio cúbico perfecto:

x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = (x + y)3

3 Trinomio cuadrado no perfecto:

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Familia de curvas Conjunto de curvas quetienen un mismo patrón de construccióno que se obtienen al variar un parámetrode su ecuación.

Fibonacci, sucesión de La sucesión:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cada tér-mino se obtiene como la suma de los dostérminos anteriores se conoce como lasucesión de Fibonacci.

Figura Forma geométrica (dibujo, gráfico,etc.), que sirve para representar un con-cepto abstracto de las matemáticas.Cuando la figura está dibujada sobre unplano, decimos que se trata de una figuraplana.Si la figura tiene volumen, decimos que es

56

F

Finito–Fracción

una figura en tres dimensiones o tridimen-sional.

Finito Expresión que indica que algo tiene fino límites de manera que se pueden deter-minar sus dimensiones o el número de suselementos a través de mediciones, conteou otro similar.Es lo contrario de infinito.

Focal, radio Segmento dirigido que tiene supunto inicial en el foco de una cónica ysu punto final en algún punto cualquierade la misma.

x

y

FF′

P(x, y)Radio focal

O

Foco En una cónica, el foco es el punto quese tomó como referencia para hacer medi-ciones. Para saber cuáles son las cónicasvea la definición de «Cónica».

Forma ordinaria La ecuación de una cónicaen su forma ordinaria se refiere a laecuación de esa cónica de manera factori-zada.Algunos autores le llaman forma base a laforma ordinaria de una ecuación.

Forma general La ecuación de una cónica ensu forma ordinaria se refiere a la ecuaciónde la forma:

A x2 + B y2 + C xy + D x + E y + F = 0

Cuando los ejes de la cónica son paralelosa los ejes coordenados C = 0, y el términoC xy, no aparece en la forma general.

Fórmula Igualdad que sirve para calcular unvalor a partir de otros valores conocidos.Por ejemplo, la fórmula general paracalcular las raíces de una ecuación desegundo grado: a x2 + b x + c = 0, es:

x =−b ±

√b2 − 4 ac

2aY la fórmula para calcular el número dediagonales D que se pueden dibujar a unpolígono regular de n lados es:

D =n (n − 3)

2

Fórmula de Euler (Análisis) La fórmula:

eiθ = cos θ + i sin θ

se conoce como la fórmula de Euler.(Geometría) En un poliedro simple, si Ves el número de vértices, A es el númerode aristas y C es el número de caras, secumple:

V + C − A = 2

Esta relación también se conoce como lafórmula de Euler.Nota: Euler se pronuncia «oiler».

Fórmula general La fórmula general para re-solver ecuaciones de segundo grado es:

x =−b ±

√b2 − 4 ac

2adonde a, b y c son los coeficientes de laecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0.

Fracción Representación de una división através de la siguiente notación:

r =ab

donde a es el dividendo, llamado numera-dor en la fracción, b es el divisor, llamadodenominador en la fracción y r es elcociente.Debido a que la división entre cero no estápermitida, en la fracción no tiene sentidodefinir: b = 0.


Fracción algebraica–Frecuencia

F

57

Fracción algebraica Fracción en la cual almenos uno de los elementos de la fracción(numerador o denominador) es una expre-sión algebraica.Por ejemplo,

x + 2x2 − 1

Fracción equivalente se dice que dos fraccio-nes son equivalentes si tienen exacta-mente el mismo valor.Por ejemplo, las fracciones: 2/3 y 6/9 sonequivalentes.

Fracción impropia Cuando el numerador deuna fracción es mayor al denominador dela misma, decimos que la fracción es im-propia.En otras palabras, si el cociente r de lafracción es mayor a 1, entonces la frac-ción es impropia.Por ejemplo, 9/4 es una fracción impropiaporque 9 > 4.

Fracción irreducible Aquella fracción quecumple que sus elementos (numera-dor y denominador) no tienen factorescomúnes.En otras palabras, el numerador y eldenominador de la fracción son primosrelativos cuando la fracción es irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fracción irreduci-ble.

Fracción mixta Número que se escribe conuna parte entera y una parte fraccionaria.Por ejemplo: 1¾.

Fracción propia Cuando el numerador de unafracción es menor al denominador de lamisma, decimos que la fracción es propia.En otras palabras, si el cociente r de lafracción es menor a 1, entonces la frac-ción es propia.

Por ejemplo, 2/7 es una fracción propiaporque 2 < 7.

Fracción reducible Aquella fracción quecumple que sus elementos (numerador ydenominador) tienen factores comúnes.En otras palabras, si es posible encontraruna fracción equivalente con el numera-dor y el denominador menores a los de lafracción dada, la fracción es reducible.Por ejemplo,

69

=2 × 33 × 3

=23

Fracción simple Aquella fracción que no tieneuna parte entera en su escritura.

Fractal Curva irregular que tiene la propiedadque cuando se elige una parte deella, siempre es posible encontrar unaparte idéntica en la misma curva, bienmagnificándola, bien reduciéndola enescala.La siguiente figura es un fractal que seconoce como el helado de Koch :

Frecuencia (Análisis) Número de veces queuna función periódica repite una sucesiónde valores para un intervalo dado.(Estadística) Número de veces queaparece un valor en un intervalo dado enuna una tabla de datos. Con las frecuen-cias de los diferentes intervalos de losdatos se elabora la tabla de frecuencias.


58

F

Función–Función contínua

Función Relación entre dos conjuntos, llama-dos el dominio y el contradominio, de talmanera que a cada elemento del dominiole corresponde a lo más un elemento delcontradominio.Una función puede verse como unamáquina que transforma a los númerosque le vamos dando, de manera que nosdevuelve un número cada vez que ledamos un valor.

xX

f (x)Yf

Función


Valores que ledamos a la función

Valores que nosdevuelve la función

El conjunto X formado por todos losvalores que nosotros le damos a la fun-ción, para los cuales nos devuelve unvalor, es su dominio, denotado por D f . Elconjunto Y formado por todos los valoresque la función nos devuelve es el contra-dominio de la misma.Por ejemplo, para la función y =

√x,

su dominio es el conjunto X = x|x ≥0, pues solamente podemos calcular raízcuadrada de números no negativos.El contradominio de esta función es: Y =

y|y ≥ 0, pues el resultado de calcular laraíz cuadrada de un número siempre es unnúmero no negativo.En este caso, se dice que y es la variabledependiente, porque sus valores dependendel valor que le demos a la variable x. Sedice que x es la variable independiente dela función. Decimos que y está en fun-ción de x, y matemáticamente lo escribi-mos como: y = f (x).

Función acotada Función que nunca tomavalores mayores a un valor M específico.Por ejemplo, la función: y = 1/(x2 + 1) es

acotada, pues los valores de y nunca sonmayores a 1.

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1 y =1

x2 + 1

Función algebraica Es una función que seexpresa en base a operaciones algebraicas(suma, resta, división, multiplicación) depolinomios.Por ejemplo, la función:

y =x + 1x + 2

−(x − 3)2

x − 5+ 4 x3 + 7

es algebraica.

Función biyectiva Una función es biyectiva sies inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva(sobre) a la vez.

Función compuesta Dadas las funciones: y =

f (x) y y = g(x), la composición de f en g,denotado por f g significa sustituir g(x)en la función y = f (x):

f g = f(g(x)

)Por ejemplo, si definimos: f (x) = x2, yg(x) = 2 x − 3, entonces,

f g = f(g(x)

)= (2 x − 3)2

= 4 x2 − 12 x + 9

Función contínua Se dice que una función fes contínua en un intervalo dado [a, b] sitoma todos los valores entre f (a) y f (b)y se puede dibujar en ese intervalo sindespegar la punta del lápiz del papel sobreel cual se le dibuja.En la siguiente figura, la función y = f (x)es contínua en el intervalo [a, b]:


Función creciente–Función decreciente

F

59

x

y

y = f (x)

ba

f (b)

f (a)

Función creciente Decimos que una función fes creciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que estén en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≤ f (v).Por ejemplo, la función y = x2 escreciente en el intervalo [0, 1]:

Crecie

nte

x0 0.5 1 1.5

f (x)

1

2y = x2

Al ver la gráfica de una función, sabemosque es creciente si al moverte a la derechala gráfica de la función va hacia arriba.

Función cuadrática Una función de la forma:

y = a x2 + b x + c

donde a , 0.La gráfica de una ecuación cuadrática esuna parábola vertical.Vea la definición de «Ecuación de laparábola».

Función cúbica Una función de la forma:

y = a x3 + b x2 + c x + d

donde a , 0.La siguiente gráfica corresponde a la deuna función cúbica:

x−3 −2 −1 0 1 2

y

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 y = x3

Función decreciente Decimos que una fun-ción f es decreciente en un intervalo [a, b]si para cualesquiera valores u, v que esténen ese intervalo y que cumplan con: u ≤ v,se cumple: f (u) ≥ f (v).Por ejemplo, la función y = 2 − x2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):

Decreciente

x0 0.5 1

f (x)

1

2

Observa que f (0.5) > f (1.0), y tambiénse cumple que: 0.5 ≤ 1.0.


60

F

Función discontínua–Función inyectiva

Función discontínua Se dice que una funciónes discontínua cuando no es contínua.Por ejemplo, la siguiente figura muestrauna función discontínua en el intervalo[a, b]:

x

y

y = f (x)

ba

La función no es contínua porque no sele puede dibujar sin despegar la punta dellápiz del papel sobre el cual se le dibuja.

Función exponencial Función de la forma:

y = a (b)rx

La siguiente función es exponencial:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8y = 2x

Función impar Función que tiene lapropiedad: f (−x) = − f (x).En otras palabras, una función impar es

simétrica respecto del origen.Por ejemplo, la función y = x3 es im-par (Vea la figura dada en la definición de«Función cúbica»).

Función inversa Sea f una función condominioX f y contradominioY f . Si existeuna función g con dominioXg y contrado-minio Yg tal que:

i. f (g(x)) = x para toda x ∈ Xg

ii. g( f (x)) = x para toda x ∈ X f

entonces decimos que las funciones f y gson inversas una de la otra.f −1 denota la función inversa de f .Por ejemplo, si f (x) = x3, entonces,f −1(x) = 3

√x.

Geométricamente, la función f (x) y su in-versa f −1(x) son la reflexión una de la otrarespecto de la recta y = x.

x−2 −1 1 2 3

y

−2

−1

1

2

3

f (x)

=x3

f−1 (x) =3√ x

y =x

Función inyectiva Una función es inyectivasi a diferentes elementos de su dominiole corresponden diferentes elementos delcontradominio.Es decir, para cualesquiera a, b en eldominio de la función y = f (x), si a , b,entonces, f (a) , f (b).A las funciones inyectivas también se lesconoce como funciones «uno a uno».


Función irracional–Función trigonométrica

F

61

Función irracional Función en la que apareceuna expresión algebraica como argumentode un radical.Por ejemplo, la función: y =

√x es

irracional.

Función lineal Función que puede reducirse ala forma:

y = m x + b

La gráfica de una función lineal es unalínea recta.

Función par Función que tiene la propiedad:f (−x) = f (x).Por ejemplo, la función: y = x2 es par.

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x2

Función periódica Si existe un valor k tal quepara todo x que esté en el dominio de lafunción f se cumpla: f (x) = f (x + k),entonces decimos que la función es per-iódica.El periodo de una función periódica f esel mínimo valor k que cumple: f (x) =

f (x + k).Por ejemplo, la función seno es periódica:

x

y

y = sin x

k

El periodo de la función seno es 2π.

Función racional Función de la forma:

y =Pm(x)Qn(x)

donde Pm(x) y Qn(x) son polinomios degrado m y n respectivamente.Por ejemplo,

y =1 + x + 2 x2 + 3 x3

1 − x4

En este ejemplo, P3(x) = 1+x+2 x2+3 x3,y Q4(x) = 1 − x4.

Función simétrica Una función puede sersimétrica respecto al eje y si al sustituir−x en lugar de x y al simplificar obtene-mos la misma ecuación.Por ejemplo, la parábola vertical con vér-tice en el origen: y = x2 es simétricarespecto al eje y.Una función puede ser simétrica respectoal origen si cumple: f (−x) = − f (x). Esdecir, si es impar.Por ejemplo, la función: y = x3 essimétrica respecto del origen.

Función sobreyectiva Una función es so-breyectiva cuando a cada elemento de sucontradominio le corresponde a lo menosun elemento de su dominio.A una función sobreyectiva también se leconoce como función «sobre».

Función trigonométrica Son las funciones:

3 seno (sin)

3 coseno (cos)


62

F

Función trigonométrica

3 tangente (tan)3 secante (sec)3 cosecante (csc)3 cotangente (cot)

Las funciones trigonométricas inversas

son:

3 arco seno (arcsin)

3 arco coseno (arccos)

3 arco tangente (arctan)


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GEfrain Soto Apolinar

Galón Unidad de volumen usada en el sistemaInglés, equivalente a 3.785 litros enEE.UU. y 4.546 litros en Inglaterra.

Gauss, Carl F. (1 777 – 1 855) Matemáticoalemán. Considerado como el úl-timo matemático que supo todo de lasmatemáticas que se conocía hasta suépoca y los nuevos descubrimientos erandesarrollados principalmente por él.Resolvió problemas que se creíanirresolubles como la construcción (conregla y compás) del polígono regular de17 lados, que no se había podído resolveren más de 2 000 años.

Gauss, campana de La campana de Gausses la forma que tiene una distribuciónnormal.

x

y

µ

La distribución normal estándar tienemedia cero y varianza 1.

Gauss, método de Método para resolver siste-mas de ecuaciones, también conocidocomo el método de eliminación o el

método de suma y resta.Gauss ideó este método basándose en lassiguientes propiedades de la igualdad:

3 Si a = b, y c = d, entonces, a ± c =

b ± d.

3 Si a = b, entonces, a · k = b · k.

La idea del método es reducir el sistemade ecuaciones eliminando variables hastaobtener un sistema de una ecuación conuna incógnita y a partir de este valorcalcular los valores de las demás incóg-nitas.

Generatriz Un punto, línea o superficie cuyomovimiento genera una curva, superficieo sólido.

Geometría Rama de las matemáticas que seencarga del estudio de las propiedades delos puntos, las líneas, ángulos, superficiesy sólidos.

Geometría Analítica Geometría que utiliza unsistema de coordenadas cartesianas paraidentificar de manera única puntos en elespacio estudiado.

Geometría plana Geometría que estudia obje-tos en el plano: puntos, rectas, triángulos,cuadriláteros, etc.

64

G

Geometría sólida–Griego, alfabeto

Geometría sólida Geometría que estudia losobjetos en tres dimensiones, como lospoliedros.

Grado Centígrado Unidad de temperaturaigual a una centésima parte de la diferen-cia de temperatura entre la solidificacióny fusión del agua a presión de 1 atm.El grado centígrado se denota por C.

Grado Farenheit Unidad de temperatura en lacual 32 corresponden a la temperatura a lacual el agua se congela y 212 el agua seconvierte en vapor a una presión de 1 atm.El grado centígrado se denota por F.

Grado sexagesimal Unidad de medida de án-gulo equivalente a 1/360 parte de la vueltacompleta.Un grado sexagesimal se denota con elsímbolo: , y generalmente se le llama di-ciendo solamente «grado».

Grado de una ecuación El grado de unaecuación polinomial es el mayorexponente al cual aparece elevada su in-cógnita.

Grado de un polinomio Exponente de mayorvalor que tiene la variable del polinomio.Por ejemplo, el polinomio:

1 + 2 x2 − 4 x3 + 7 x8 − x13

es de grado 13.

Gráfica La gráfica de una ecuación o de unafunción es el conjunto de todos los puntosdel plano que la satisfacen.Un diagrama que representa el comporta-miento de una variable dependienterespecto de otra variable independiente.La siguiente gráfica corresponde a la fun-ción: y =

√x

x

y

1 2 3 40

1

2y =√

x

Frecuentemente se utiliza la palabra«diagrama» como sinónimo de la palabra«gráfica».

Griego, alfabeto El alfabeto griego es elsiguiente:

Mayúscula Minúscula Nombre

A α AlphaB β BetaΓ γ Gama∆ δ DeltaE ε EpsilonZ ζ ZetaH η EtaΘ θ ThetaI ι IotaK κ KappaΛ λ LambdaM µ MuN ν NuΞ ξ XiO o OmicronΠ π PiP ρ RhoΣ σ SigmaT τ TauΥ υ UpsilonΦ φ PhiX χ ChiΨ ψ PsiΩ ω Omega

Algunas letras griegas aparecen enalgunos libros con diferente estilo tipográ-fico, por ejemplo: ϕ (phi), ε (epsilon), $(pi), ϑ (theta), % (rho) y ς (sigma).


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HEfrain Soto Apolinar

Heptágono Polígono de 7 lados y 7 ángulos.

Heptágono

El heptágono mostrado en la figuraanterior tiene sus 7 lados y sus 7 ángulosiguales, es decir, es un heptágono regular.

Hexaedro Sólido geométrico formado por seiscaras cuadriláteras.El cubo es un hexaedro.

Cubo

Otro ejemplo de hexaedro es el Paralele-pípedo.

Hexágono Polígono de 6 lados y 6 ángulos.

Hexágono

El hexágono mostrado en la figuraanterior tiene sus 6 lados y sus 6 ángulosiguales, es decir, es un hexágono regular.

Hipérbola Conjunto de puntos del plano quesatisfacen que la diferencia de sus distan-cias a dos puntos fijos del plano llamadosfocos es una constante 2 a menor que ladistancia entre los focos. La ecuación dela hipérbola horizontal con centro en elpunto C(h, k), longitud del eje transverso2 a y longitud del eje conjugado 2 b, es:

(x − h)2

a2 −(y − k)2

b2 = 1

La ecuación de la hipérbola vertical concentro en el punto C(h, k), longitud deleje transverso 2 a y longitud del eje

66

H

Hiperbólico, coseno–Histograma

conjugado 2 b, es:

−(x − h)2

b2 +(y − k)2

a2 = 1

La siguiente figura corresponde a la deuna hipérbola horizontal:

x

y

FF′

P(x, y)

2 a

aa

La distancia del centro de la hipérbola acualquiera de los focos es c, y la relaciónentre a, b y c es:

c2 = a2 + b2

Hiperbólico, coseno La función coseno hiper-bólico del número x se denota por: cosh xy está definida por:

cosh x =ex + e−x

2

Hiperbólico, seno La función seno hiper-bólico del número x se denota por: sinh xy está definida por:

sinh x =ex − e−x

2

Hiperbólica, tangente La función tangentehiperbólica del número x se denota por:tanh x y está definida por:

tanh =ex − e−x

ex + e−x

Hipotenusa En un triángulo rectángulo, lahipotenusa es el lado opuesto al ángulorecto.

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

La hipotenusa siempre es el lado másgrande de un triángulo rectángulo.

Hipótesis Suposición hecha para resolver unproblema.

Histograma Representación gráfica de ladistribución de datos de una muestra opoblación.Para dibujar un histograma se acostumbraprimero generar una tabla con los datos.Por ejemplo, supongamos que las fraccio-nes de la población en los siguientesrangos de edades de un pueblo se repartencomo sigue:

Rango Cantidad Fracción

0 – 10 250 0.03310 – 20 1 200 0.16020 – 30 2 500 0.33330 – 40 1 225 0.16340 – 50 850 0.11350 – 60 750 0.10060 – 70 425 0.05770 – 80 250 0.03380 – 90 37 0.005

90 – 100 13 0.002


Hora

H

67

Y a partir de estos datos generamos elhistograma dibujando una barra para cadaintervalo con una altura proporcional a suvalor de frecuencia en la tabla.

0 20 40 60 80 100

0

1,000

2,000

Edad

Hora Una hora equivale a 60 minutos y esigual a 1/24 de la duración del día. Esdecir, un día tiene 24 horas.


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H

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IEfrain Soto Apolinar

Icosaedro Sólido regular formado por veintetriángulos equiláteros:

Icoságono Polígono de 20 lados.El siguiente polígono es un icoságono reg-ular:

Identidad Es una igualdad que se cumple paracualesquiera valores de las variables quecontiene.Por ejemplo, las siguientes igualdades son

identidades:

(x + y)2 = x2 + y2 + 2 xy1 = sin2 x + cos2 x

Identidades pitagóricas Identidades trigonométri-cas que se obtuvieron usando el teoremade Pitágoras:

sin2 α + cos2 α = 1tan2 α + 1 = sec2 α

cot2 α + 1 = csc2 α

Igual Decimos que dos números o dos ex-presiones algebraicas son iguales cuandotienen el mismo valor.Por ejemplo, 5 = 2 + 3.

Igualdad Relación definida para dos númerosque indica que los dos tienen el mismovalor.La relación de identidad se denota con elsímbolo =.Las propiedades de la igualdad son lassiguientes:

3 a = a (reflexiva)

3 Si a = b, entonces b = a (simétrica)

70

I

Impar, número–Inscrito, ángulo

3 Si a = b y b = c entonces a = c(transitiva)

Otras propiedades útiles de la igualdadson:

3 Si a = b, entonces a + k = b + k

3 Si a = b, entonces a − k = b − k

3 Si a = b, entonces a · k = b · k

3 Si a = b, entoncesak

=bk

; (k , 0)

3 Si a = b, entonces ak = bk

Impar, número Número que al dividir entredos obtenemos como residuo 1.Los primeros números impares son: 1, 3,5, 7, 9.

Impar, función Función que tiene lapropiedad: f (−x) = − f (x).En otras palabras, una función impar essimétrica respecto del origen.Por ejemplo, la función y = x3 es im-par (Vea la figura dada en la definición de«Función cúbica»).

Incentro Es el punto donde se intersectan lastres bisectrices de un triángulo.

Incentro

Incógnita Símbolo literal cuyo valor sedesconoce. Las variables generalmentese denotan usando las últimas letrasdel alfabeto: t, u, v, x, y, z, etc., mientrasque las constantes se denotan con lasprimeras: a, b, c, etc.

Independiente, variable La variable indepen-diente de una función es el valor que

nosotros le damos para calcular la varia-ble dependiente. Generalmente la variableindependiente de una función se denotacon la literal x.Por ejemplo, en la función y = x2, lavariable independiente es x, pues nosotrosasignamos el valor que esta variabletomará.

Inducción matemática Método de de-mostración en el cual se prueba una con-jetura que depende de un número entero k.La demostración se elabora, primero parak = 1, luego se supone que la conjeturaes verdadera para k = n y se prueba quepara k = n + 1 también se cumple. Asíse demuestra que la conjetura se cumplepara todos los números naturales.Vea la definición de «Principio de induc-ción matemática».

Inecuación Sinónimo de desigualdad.

Inercia Tendencia de un cuerpo de mantenersu estado de movimiento.

Infinitesimal Un infinitesimal o un in-finitésimo, es una cantidad infinitamentepequeña.El infinitesimal es menor que cualquiernúmero positivo (no necesariamenteentero) que puedas imaginar.

Infinito Expresión que indica que algo no tienefin. Se denota con el símbolo∞. Tambiénpuede indicar que no tiene fronteras.

Ínfimo La cantidad más grande que es menor oigual que las cantidades de otro conjunto.Lo opuesto de ínfimo es «supremo».

Inscrito, ángulo Ángulo que tiene su vérticesobre una circunferencia y cuyos ladosson dos cuerdas de la misma.


Inscrito, polígono–Interés compuesto

I

71

α

Inscrito, polígono Se dice que un polígono esinscrito cuando todos sus lados son cuer-das de una misma circunferencia.

Hexágono inscrito

Integración la integración de una función f (x)consiste en encontrar una función diferen-ciable y = F(x) que cumpla: F′(x) = f (x)para toda x en el dominio de f .

Integral En Cálculo, una integral es elresultado de la integración de una función.El símbolo de integral es:

∫, y la expre-

sión: ∫f (x) dx = F(x) + C

se lee: «La integral de la función f (x)respecto de x es igual a la función F(x)más una constante.»La función f (x) se llama integrando, dxindica que se va a integrar la funciónrespecto de la variable x, F(x) + C es elresultado de la integración.Observa que la integral de una función esuna familia de funciones.Algunos autores llaman a la integral como

«antiderivada», o «primitiva» de la fun-ción y = f (x).Vea la definición de «antiderivada».

Integral definida La integral definida de unafunción y = f (x) es un escalar, definidopor:

b∫a

f (x)dx = F(b) − F(a)

donde, a y b son los límites de integración,y y = F(x) es una primitiva de y = f (x).Geométricamente, la integral definida,cuando y = f (x) es positiva en el inter-valo (a, b) representa el área debajo de lagráfica de y = f (x) y sobre el eje x desdex = a hasta x = b.Formalmente, la integral definida sedefine por el límite:

b∫a

f (x)dx = limn→∞

n∑i=0

f (xi)(b − a

n

)

Interés Renta que se cobra por el uso deldinero ajeno. El interés pagado se denotacon la literal I.

Interés compuesto Interés que se calcula cadaintervalo de tiempo convenido (mensual,trimestral, semestreal, anual, etc.) dondeel interés que se generó en el último inter-valo de tiempo formará parte del capitalpara el cálculo del interés del siguientemes.Si n es el número de intervalos de tiempoque se usó el dinero, i es la tasa de in-terés y C es el capital inicial, el interés Ise calcula con la fórmula:

I = M −C= C

[(1 + i)n − 1

]Y el monto M a pagar es:

M = C (1 + i)n


72

I

Interés simple–Intervalo

Interés simple Interés que se calcula a partirdel capital inicial.Si n es el número de intervalos de tiempoque se usó el dinero, i es la tasa de in-terés y C es el capital inicial, el interés Ise calcula con la fórmula:

I = niC

Y el monto M a pagar en ese mismoperido es:

M = C (1 + ni)

Interpolación Estimar el valor de una funciónf entre dos valores P(xp, yp) y Q(xq, yq)que se conocen.La fórmula para interpolar un valor yr,dada su abscisa xr es:

yr =

(yp − yq

xp − xq

)(xr − xp) + yp

Geométricamente, la interpolaciónconsiste en una aproximación lineal a lafunción f .En realidad estamos encontrando el puntosobre la recta que pasa por los puntos da-dos P(xp, yp) y Q(xq, yq) y evaluamos éstaen x = xr para calcular yr.Si los valores están suficientemente cerca,y la gráfica de la función es contínua ysuave, es decir, si no cambia de direcciónbruscamente, la estimación generalmenteserá bastante buena.Mientras los valores de xp y xq estén máscercanos, la estimación será mejor.La siguiente figura muestra la inter-pretación geométrica de la interpolación:

x

y

y = f (x)

xqxp

yq

yp

xr

yr

Intersección (1) Conjunto de puntos dondese intersectan dos cuerpos o figurasgeométricas. Por ejemplo, dos rectas noparalelas se intersectan en un solo punto.Dos planos no paralelos se cortan en unarecta.(2) La intersección de dos conjuntos es elconjunto que contiene a todos los elemen-tos que pertenecen a los conjuntos si-multáneamente.Por ejemplo, considerando los conjuntos:

A = 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9B = 2, 3, 5, 7

Su intersección es: A ∩ B = 2, 3, 5.

Intervalo Subconjunto de los números realescon extremos en a y b. Es decir, un inter-valo es el conjunto que satisface:

x | a < x < b

donde a > b.Geométricamente, el intervalo se puederepresentar en una recta numérica.Por ejemplo, la siguiente figura muestra elintervalo (2, 4) con extremos en 2 y 4:

x−1 0 1 2 3 4 5

(2, 4)

El intervalo es abierto si los valores a yb no están incluidos y se denota como:


Intervalo abierto–Irracional, número

I

73

(a, b).Si tanto a como b están incluidos en elintervalo, éste es cerrado y se denota por:[a, b].Cuando se incluye solamente a, el inter-valo se denota por: [a, b), y cuando bestá incluido y a no lo está, la forma deescribirlo es: (a, b].Geométricamente el intervalo abierto sedenota con círculos vacíos (sin relleno)en sus extremos. Cuando un extremo seincluye en el intervalo el círculo que lerepresenta se rellena.En la siguiente figura se muestra un inter-valo cerrado, es decir, que incluye a am-bos extremos:

x−1 0 1 2 3 4 5

[2, 4]

Intervalo abierto Intervalo que no incluye susvalores extremos. Si los extremos delintervalo abierto son los puntos a y b, sedenota por (a, b).Geométricamente, el intervalo abierto(a, b) se indica como muestra la siguientefigura:

xa bO

Intervalo cerrado Intervalo que sí incluye susvalores extremos. Si los extremos delintervalo cerrado son los puntos a y b, sedenota por [a, b].Geométricamente, el intervalo cerrado[a, b] se indica como muestra la siguientefigura:

xa bO

Inversa, función Sea f una función condominioX f y contradominioY f . Si existe

una función g con dominioXg y contrado-minio Yg tal que:

i. f (g(x)) = x para toda x ∈ Xg

ii. g( f (x)) = x para toda x ∈ X f

entonces decimos que las funciones f y gson inversas una de la otra.f −1 denota la función inversa de f .Por ejemplo, si f (x) = x2, entonces,f −1(x) =

√x.

Inverso Operación que cancela una operaciónprevia.Por ejemplo la operación inversa de lasuma es la resta y la operación inversa dela multiplicación es la división.En aritmética, frecuentemente se dice: «elinverso de este número», cuando deberíadecirse: «el recíproco de este número».Vea la definición de «Recíproco».

Inyectiva, función Una función es inyectivasi a diferentes elementos de su dominiole corresponden diferentes elementos delcontradominio.Es decir, para cualesquiera a, b en eldominio de la función y = f (x), si a , b,entonces, f (a) , f (b).A las funciones inyectivas también se lesconoce como funciones «uno a uno».

Irracional, número Es el conjunto de todoslos números que no se pueden expresarcomo el cociente de dos números enteros,donde el denominador es distinto de cero.

Q′ =

x

∣∣∣∣∣∣x , pq, p, q ∈ Z; q , 0

Un número irracional es cualquierelemento del conjunto de los números ir-racionales.Ningún número racional es irracional yningún número irracional es racional.Los números π y e son ejemplos denúmeros irracionales.


74

I

Irreducible, fracción–Isósceles

Irreducible, fracción Aquella fracción quecumple que sus elementos (numera-dor y denominador) no tienen factorescomúnes.En otras palabras, el numerador y eldenominador de la fracción son primosrelativos cuando la fracción es irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fracción irreduci-ble.

Irregular, polígono Polígono que no es equi-látero, o no es equiángulo o ambas.El siguiente polígono es irregular:

Irregular, poliedro Poliedro que no es regu-lar. Es decir, aquel que no tiene todas suscaras iguales.

Isoclina Dos rectas isoclinas son aquellas quetienen la misma pendiente.

Isósceles Un triángulo es isósceles si dos desus lados miden lo mismo.

Triángulo isósceles

Un trapecio es isósceles si sus dos ladosno paralelos miden lo mismo.

Trapecio isósceles


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LEfrain Soto Apolinar

Lado En un polígono, un lado es un segmentode recta cuyos extremos están en dos vér-tices consecutivos del polígono.

Lad

o

Los lados del polígono delimitan su área.

Legua Unidad de distancia usada en el sistemaEspañol, equivalente a 4 827 metros.

Lenguaje algebraico Lenguaje que se utilizapara describir las relaciones entre lascantidades expresadas en una expresiónalgebraica.Por ejemplo, «semi» significa mitad, y«cociente» indica el resultado de una di-visión.

Ley de cosenos Para todo triángulo que se en-cuentra en el plano, se cumple:

C2 = A2 + B2 − 2AB cosα

donde A, B y C son las longitudes de loslados del triángulo, y α es el ángulo for-mado por los lados A y B.La ley de senos es una generalización delteorema de Pitágoras, pues cuando α =

90, tenemos el caso particular: C2 = A2 +

B2, que corresponde al teorema de Pitágo-ras.

Ley de multiplicación de probabilidades Laprobabilidad de que ocurran los dos even-tos A y B a la vez, es:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)= P(B) · P(A|B)

Si A y B son independientes,

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Vea la definición de «Eventos indepen-dientes».

Ley de suma de probabilidades La probabili-dad de que ocurra el evento A o el eventoB, es:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Para el caso en que los eventos A y B sonmutuamente exlucyentes, se tiene:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Vea la definición de «Eventos mutua-mente excluyentes».

76

L

Ley de senos–Logaritmo natural

Ley de senos Para todo triángulo que se en-cuentra en el plano, se cumple:

sinαA

=sin β

B=

sin γC

donde A es el lado opuesto al ángulo α, Bes el lado opuesto al ángulo β y C es ellado opuesto al ángulo γ.

Libra Unidad de peso equivalente a 0.454 kg,o bien a 16 onzas.

Límite (Álgebra) En un intervalo, los límitesson los valores extremos del mismo.Por ejemplo, en el intervalo [a, b], loslímites son los valores a (límite inferior)y b (límite superior).(Análisis) El límite de la función fcuando la variable independiente tiende aun valor constante k se denota por:

limx→k

f (x) = M

y M representa el valor al cual se acercaconforme los valores de x se aproximanmás al valor k, en caso de que el límiteexista.

Línea Objeto geométrico que tiene solamenteuna dimensión: longitud. La línea notiene espesor ni anchura.la siguiente figura es una línea:

Usualmente en geometría cuando deci-mos línea nos referimos a cualquier tipode línea, aunque muchos entienden sola-mente una línea recta.La línea recta es un caso particular muyespecial de línea.

Litro Unidad de volumen equivalente a 1 dm3.Frecuentemente se utilizan los siguientesmúltiplos y submúltiplos del litro:

Nombre Símbolo Equivalencia

Mirialitro Ml 10 000 lKilolitro Kl 1 000 l

Hectolitro Hl 100 lDecalitro dal 10 lDecilitro dl 0.1 lCentilitro cl 0.01 lMililitro ml 0.001 l

Un metro cúbico equivale a 1 000 litros,es decir,

(1 m)3 = (10 dm)3

1 m3 = 1 000 dm3

porque un metro equivale a 10 decíme-tros.

Logarítmo Exponente al cual debe elevarsela base para obtener como resultado unnúmero dado.Si y = ax, donde a > 0 y a , 1, entonces,se define:

loga y = x

y se lee: «el logaritmo del número y en labase a es igual a x».Por ejemplo, dado que 23 = 8, entonces,

log2 8 = 3

y se lee: «el logaritmo de 8 en base 2 es3».

Logaritmo natural Logaritmo cuya base es elnúmero de Euler, e ≈ 2.7182818.El logaritmo natural del número x sedenota por ln x, y se entiende que esequivalente a escribir:

ln x = loge x

donde e ≈ 2.718281828.


Logaritmo vulgar–Lustro

L

77

Logaritmo vulgar Logaritmo en base 10. Ellogaritmo vulgar del número x se denotapor log x, y se entiende que es equivalentea escribir:

log x = log10 x

Es decir, cuando la base del logaritmo nose especifíca, se entiende que es 10.Al logaritmo vulgar también se le conocecomo logaritmo común.Por ejemplo, dado que 10 000 = 104,

log(10000) = log10(10 000) = 4

Longitud Dimensión mayor de un objeto.Distancia más corta entre dos puntos.Medida de una distancia.Por ejemplo, la longitud de un árbol es 35metros.

Lugar Geométrico Es el conjunto de puntosque satisfacen un conjunto de condicionesdadas.Por ejemplo, la parábola es el lugargeométrico de los puntos que equidistande un punto fijo F (foco) como de unarecta fija (directriz) que no pasa por elfoco.

F

Directríz

Eje

Lustro Unidad de tiempo equivalente a cincoaños.


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MEfrain Soto Apolinar

Matemáticas Es la ciencia que estudia lascantidades, estructuras, espacios y el cam-bio. La matemática deduce de manerairrefutable cada conjetura aceptada basán-dose en axiomas y teoremas ya demostra-dos.Las matemáticas tiene muchas ramas. Al-gunas de ellas son:

3 Teoría de conjuntos

3 Aritmética

3 Álgebra

3 Geometría

3 Análisis matemático

3 Topología

A su vez, cada una de estas ramas tieneotras subramas que hacen un estudio másparticular en cada caso. Por ejemplo,la geometría se subclasifica en geometríaplana, geometría analítica, etc.

Matríz En matemáticas, una matríz es unarreglo rectangular de números.Por ejemplo, [

2 −1 71 4 −3

]es una matríz 2 × 3, que indica que es dedos renglones por tres columnas.

Matriz cuadrada Aquella matriz que tieneel mismo número de renglones como decolumnas.Por ejemplo, la siguiente es una matrizcuadrada de 3 × 3: a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Matríz identidad Matriz cuadrada que tiene

ceros en todos sus elementos, exceptoen la diagonal principal, cuyos elementosson unos.La siguiente matríz es una matríz identi-dad: 1 0 0

0 1 00 0 1

Matriz inversa La inversa de la matriz

cuadrada M se denota por M−1 y es otramatriz del mismo tamaño que M y tienela propiedad de que al multiplicarla por Mobtenemos la matríz identidad.Una matríz tiene inversa si y solamente si,su determinante es distinto de cero.

Máximo Valor más grande que toma o puedetomar una variable.

80

M

Máximo absoluto de una función–Media geométrica

Máximo absoluto de una función El máximoabsoluto de una función f es el valor xM

de la variable independiente que hace quef (xM) cumpla:

f (xM) ≥ f (x)∀x ∈ D f

En palabras, si al evaluar la función y =

f (x) en el punto xM obtenemos el máximovalor que puede tomar la función en todosu dominio, entonces f tiene un máximoabsoluto en xM, y su máximo es f (xM).

Máximo común divisor El máximo comúndivisor de varios números es el númeroentero más grande por el cual todos losnúmeros son divisibles.El máximo común divisor de los númerosa y b se denota por: M.C.D.(a, b).Por ejemplo, el M.C.D.(4, 12, 20) es 4.Para calcular el M.C.D.(4, 12, 20) vamossimplificando sacando mitad, terceraparte, etc., hasta que no se puedansimplificar más. Multiplicamos losnúmeros entre se dividen los números 4,12 y 20 simultáneamente:

4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamos

El M.C.D.(4, 12, 20) es:

2 × 2 = 4

Observa que no multiplicamos ni por 3 nipor 5 porque no dividen a los tres números4, 12 y 20 simultáneamente.

Máximo relativo de una función El máximorelativo de una función f en el intervalo[a, b] es el valor xM de la variable indepen-diente que hace que f (xM) cumpla:

f (xM) ≥ f (x)∀x ∈ [a, b]

En palabras, si xM está en intervalo [a, b],es decir, cumple con a ≤ xM ≤ b, y alevaluar la función f en xM obtenemos elmáximo valor que la función tome en eseintervalo, entonces f tiene un máximo enxM y su valor es f (xM).La siguiente gráfica muestra una funcióncon un un máximo relativo en x = q y unmínimo relativo en x = p:

x

y

y = f (x)

qp ba

f (q)

f (p)

Media aritmética La media, o media arit-mética x de una muestra de n datosx1, x2, · · · , xn se define como

x =x1 + x2 + · · · + xn

n

En otras palabras, la media aritmética deuna muestra es igual al promedio de losdatos.

Media geométrica La media geométrica xg dedos números p, q (no negativos) se definecomo la raíz cuadrada de su producto:

xg =√

p · q

La media geométrica de n datosx1, x2, · · · , xn se define como la n−ésimaraíz del producto de todos los datos:

xg = n√

x1 · x2 · · · · · xn

donde se supone que el cálculo de la raízindicada es posible.


Media proporcional–Medida

M

81

Media proporcional La media proporcional xde los números p y q es:

x =√

pq

La media proporcional coincide con lamedia geométrica de dos números.

Mediana La mediana de un triángulo es larecta que pasa por el punto medio de unlado y por el vértice opuesto.

Mediana M

Las tres medianas de un triángulo secortan en un punto que se llama «baricen-tro».

Baricentro

El baricentro es el centro de gravedad deltriángulo.

Mediatriz La mediatriz de un segmento es larecta perpendicular al segmento que pasapor su punto medio.La siguiente figura muestra la mediatrizdel segmento AB:

A

BMediatriz

M

El punto M mostrado en la figura es elpunto medio del segmento AB.La mediatriz tiene la propiedad quecualquiera de sus puntos equidista de losextremos del segmento sobre la cual se leconstruyó.En un triángulo, las tres mediatrices secortan en un punto que se llama «circun-centro».

Circuncentro

Como el circuncentro equidista de los tresvértices del triángulo, es el centro de lacircunferencia que pasa por los tres vér-tices del mismo.

Medida Dimensión o capacidad de algúnobjeto.Por ejemplo, la medida de los lados delsiguiente triángulo son 4 cm, 3 cm y 5 cmrespectivamente:


82

M

Medidas de dispersión–Mínimo relativo de una función

4 cm

3cm5 cm

Medidas de dispersión Valor que indica lavariabilidad de los valores de un conjuntode datos.Las medidas de dispersión más frecuente-mente utilizadas son el rango, el rangointercuartílico, la desviación media, ladesviación media absoluta, la desviaciónestándar, siendo ésta última la más usada.

Medidas de tendencia central Constantellamado valor central, alrededor del cualse concentran los valores de un conjuntode datos observados.Las medidas de tendencia central son lamedia (aritmética), la moda y la mediana.La medida de tendencia central másfrecuentemente utilizada es la media.

Mes Un mes es la unidad de tiempo que se uti-liza para dividir el año y es aproximada-mente igual a 30 días.Diferentes meses tienen diferente du-ración.Para el cálculo de interés y amortizacionesse supone que el mes tiene 30 días.

Método de exhaución Método utilizado parael cálculo del área de una figura, con-struyendo polígonos en ésta y calculandola suma de las áreas de estos.

Miembro En una igualdad, las expresiones quese encuentran a la derecha y a la izquierdadel signo de igual son los miembros.

x2y2 − 2 x + 3 y︸︷︷︸miembro izquierdo

= x2 − 10 xy + 5 y2︸︷︷︸miembro derecho

Mínimo Valor más pequeño que acepta opuede tomar una variable.

Mínimo absoluto de una función Si elnúmero k, tiene la propiedad de quef (k) ≤ f (x) para cualquier x que estéen el dominio de f , entonces decimos quela función f tiene un mínimo absoluto enx = k, y su valor mínimo es f (k).Matemáticamente esto se escribe:

Si ∃ k| f (k) ≤ f (x)∀x ∈ D f

Entonces, f tiene un mínimo absoluto enx = k, y su valor es f (k).

Mínimo común múltiplo Dados variosnúmeros enteros, su mínimo comúnmúltiplo (M.C.M.) es el menor númeroentero positivo que es múltiplo de todosellos.Por ejemplo, el M.C.M. de 4, 12 y 20 es60.Para calcular el M.C.M. de estos númerosvamos simplificando sacando mitad,tercera parte, etc., hasta que no se puedansimplificar más. Multiplicamos losnúmeros entre los cuales dividimos y eseresultado es el M.C.M.

4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamos

El M.C.M. de (4, 12, 20) es:

2 × 2 × 3 × 5 = 60

Mínimo relativo de una función Dado elintervalo [a, b], si el número k, tienela propiedad de que f (k) ≤ f (x) paracualquier x que esté dentro del intervalo[a, b], entonces decimos que la función f


Minuto–Múltiplo

M

83

tiene un mínimo relativo en x = k, y suvalor mínimo es f (k).La siguiente gráfica muestra una funcióncon un mínimo relativo en x = p y unmáximo relativo en x = q:

x

y

y = f (x)

qp ba

f (q)

f (p)

Minuto (ángulo) un 1/60 de un grado sexa-gesimal. Es decir, 60 minutos forman ungrado sexagesimal.(tiempo) un 1/60 de una hora. Es decir,60 minutos forman una hora.Un minuto está formado por sesentasegundos, tanto en el caso de unidad demedida de ángulos como de tiempo.

Moda En una muestra, la moda es el valor queaparece con mayor frecuencia.Para el caso de datos agrupados, la modaestá representada por la marca de clase dela clase con mayor frecuencia.

Modelo Representación teórica de unasituación real a través de símbolosmatemáticos que sirve para explicar y/opronósticar el comportamiento de unfenómeno.

Módulo (Teoría de números) Dados losnúmeros enteros a, b, k, decimos que elnúmero a es congruente con k módulo b, yse denota por: a ≡ k mod b, si es posibleescribir:

a = b m + k

donde m ∈ Z.En otras palabras, si el número a − k esdivisible por b, entonces a es congruentecon k módulo b.Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:

14 = 5 × 2 + 4

Es decir, 14 − 4 es divisible por 5.(Geometría) El módulo de un vector esigual a su longitud. Si el vector es ~v =

(a, b), su módulo se calcula usando la fór-mula:

‖~v‖ =√

a2 + b2

El módulo del vector también se conocecomo su magnitud. (Variable compleja)El módulo de un número complejo z =

a + ib se denota por |z| y es igual a:

|z| =√

a2 + b2

Observa que: a2 + b2 = z · z.

Monomio Polinomio que tiene exactamente untérmino.Por ejemplo, 7 x2y4 es un monomio.

Muestra Parte de una población que se elijealeatoriamente para que la represente enun estudio estadístico.

Multiplicación Operación binaria que consisteen una abreviación de la suma repetida deun mismo número varias veces.Por ejemplo, la multiplicación de 7 por 4se denota por: 7 × 4 y significa sumar elnúmero 7 cuatro veces.

Multiplicidad Una raíz r de una ecuación poli-nomial es de multiplicidad k si podemosfactorizar el binomio x − r, k veces en laecuación.Por ejemplo, en la ecuación:

(x − 3)7(x + 2) = 0

la raíz x = 3 es de multiplicidad 7.

Múltiplo El número entero m es múltiplodel número entero a si puede expresarsecomo: m = a · k, donde k es otro númeroentero.Por ejemplo, el número 12 es múltiplo de3, porque 4 × 3 = 12.


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M

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NEfrain Soto Apolinar

N Símbolo que representa el conjunto de losnúmeros naturales.

N = 1, 2, 3, 4, · · ·

Vea la definición: «Número natural»

Newton, binomio de Producto notable quesirve para calcular cualquier potencia deun binomio de forma directa, cuya fór-mula es:

(x + y)n = xn + nxn−1y + · · · + nxyn−1 + yn

El binomio de Newton también se conocecomo «teorema del binomio».Los coeficientes del polinomio de ele-var el binomio a la potencia n puedencalcularse usando el triángulo de Pascal ousando la fórmula de combinaciones:

(x + y)n =

n∑k=0

(nk

)xn−kyk

Vea la definición de «combinación».

Norma Longitud de un vector. La norma de unvector también se llama «magnitud» delvector.

Normal, distribución Distribución deprobabilidad contínua que presentanmuchos fenómenos donde cada dato

pueden interpretarse como el promediode varias mediciones.Por ejemplo, cuando medimos una distan-cia, cometemos un error de medición quetiene distribución normal. El error de lamedición es simétrico respecto del valorverdadero de la distancia. En este ejem-plo, cada medición puede considerarsecomo el promedio de varias medicionesseparadas.La distribuión normal se utiliza frecuente-mente como una aproximación a la dis-tribución binomial.La distribución normal se define con lamedia poblacional µ y su varianza σ2.Si la media de la distribución es cero ysu varianza 1, la distribución se conocecomo distribución normal estándar.Esta distribución es muy importante enprobabilidad y estadística.La forma de la gráfica de la distribuciónnormal es la de una campana, por esofrecuentemente se le llama la «campanade Gauss»

x

y

µ

86

N

Normal, recta–Numerador

La gráfica tiene las siguientespropiedades:

3 Tiene un máximo en x = µ (media).

3 La curva es simétrica respecto de lamedia.

3 La media, la mediana y la moda co-inciden en el máximo de la función.

3 El eje horizontal es una asíntota dela curva.

3 El área total bajo la curva es 1.

Normal, recta Una recta es normal a otra rectasi son perpendiculares.

Normalización Transformación de una varia-ble aleatoria que presenta distribuciónnormal para que presente una distribuciónnormal estándar.Si X es una variable aleatoria que presentadistribución normal N(µ, σ2), su normal-ización consiste en transformarla en lavariable Z, que se obtiene con:

Z =X − µσ

donde µ es la media de la población y σes la desviación estándar de la misma.La variable Z presenta una distribuciónnormal con media µ = 0 y desviación es-tándar σ = 1.

Norte Uno de los cuatro puntos cardinales queindica la dirección al polo norte terrestre.

Norte geográfico Dirección al Norte indicadaen un mapa geográfico que indica la direc-ción al polo norte terrestre.

Norte magnético Dirección Norte indicadapor una brújula. El Norte geográficono necesariamente debe coincidir con elNorte magnético. Depende del lugar delplaneta desde donde se haga la medición.

Notación Simbología utilizada en las ciencias(no solamente en matemáticas) pararepresentar objetos abstractos de unaforma comprensible para su estudio yanálisis.

Notación científica Forma de escribir númerosmuy grandes o muy pequeños. La formade escribir un número en notación cien-tífica se basa en la primera cifra delnúmero, inmediatamente después el puntodecimal y algunas otras cifras del númerocomplementando con el número 10 ele-vado a una potencia igual al número decifras que queda recorrido el punto deci-mal a la izquierda.Por ejemplo, el número 1 537 000, en no-tación científica se escribe como:

1 537 000 = 1.537 × 106

Observa que el punto decimal se corrióseis cifras a la izquierda, por eso escribi-mos exponente 6 al número 10.Cuando el punto decimal se corre haciala derecha, el exponente debe tener signonegativo.Por ejemplo, el número 0.00035 escrito ennotación científica es:

0.00035 = 3.5 × 10−4

Ahora el punto decimal se ha recorrido 4lugares a la derecha, por eso el exponentetiene signo negativo.

Nulo Se dice que algo es nulo cuando valecero.Por ejemplo, un ángulo nulo mide cerogrados.

Nulo, conjunto Conjunto que tiene ceroelementos. Es decir, el conjunto nulo esel conjunto vacío (∅).

Numerador En una fracción, el numeradorindica cuántas partes vamos a tomar de las


Número–Número imaginario puro

N

87

que fue dividido el entero.

Fraccion =numerador

denominador

En la fracción el numerador se escribe ar-riba y el denominador abajo.

Número Símbolo matemático que denota unacantidad. En matemáticas los números sehan clasificado como:

3 naturales

3 enteros

3 racionales

3 irracionales

3 reales

3 complejos

Número complejo Número que tiene unaparte real y una parte imaginaria:

z = a + i b

En el número complejo z, a es la parte realy b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3 − 2 i, 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.

Número compuesto Un número natural quetiene más de dos divisores.Por ejemplo, el número 9 es compuesto,porque sus divisores son: 1, 3, y 9.

Número de Euler Número irracionaldenotado por la literal e que se utilizacomo la base de los logaritmos natura-les y cuyo valor es aproximadamente:e ≈ 2.718281828459

Número deficiente Un número natural tal quela suma de sus divisores propios es menora él.Por ejemplo, el número 5 es deficiente,pues su único divisor propio es el 1.Otro número que es deficiente es el 8,pues sus divisores propios (1, 2, 4) suman7, que es menor a 8.

Número e Número irracional que sirve de basepara los logaritmos naturales. Su valor esaproximadamente e ≈ 2.718281828459.El número e también se conoce como el«número de Euler».

Número entero El conjunto de los númerosenteros se define como los númerosnaturales, el cero, y los naturales dotadosdel signo negativo:

Z = · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·

Un número entero es cualquiera de loselementos del conjunto de los númerosenteros.Todos los números naturales son tambiénnúmeros enteros.

Número excesivo Un número natural tal que lasuma de sus divisores propios es mayor aél.Por ejemplo, el número 24 es un númeroexcesivo, porque sus divisores propios (1,2, 3, 4, 6, 8, 12) suman 36, que es mayorque 24.

Número imaginario Número que es múltiplode la unidad imaginaria.Por ejemplo, el número 2 i es un númeroimaginario.La unidad imaginaria, que se denota conla literal i, es el número que tiene lapropiedad de que cuando se multiplica porsí mismo obtenemos −1 como resultado.Es decir,

i2 = −1

Los números complejos se llamannúmeros imaginarios puros cuando suparte real es cero.

Número imaginario puro Un número esimaginario puro si al elevarse al cuadradoobtenemos un número real negativo.Un número complejo está formado poruna parte real y una parte imaginaria. La


88

N

Número impar–Números racionales

parte imaginaria siempre aparece multi-plicada por la unidad imaginaria que sedenota con la literal i:

z = a + i b

Del número complejo z, la parte real estárepresentada por la literal a, y la parteimaginaria por b.

Número impar Número que al dividirse entredos deja resíduo 1.Por ejemplo, los números 1, 3, 5, 7, · · ·son impares.

Número irracional Es el conjunto de todos losnúmeros que no se pueden expresar comoel cociente de dos números enteros, dondeel denominador es distinto de cero.

Q′ =

x

∣∣∣∣∣∣x , pq, p, q ∈ Z; q , 0

Un número irracional es cualquierelemento del conjunto de los númerosracionales.Ningún número racional es irracional yningún número irracional es racional.Algunos números irracionales muy cono-cidos son π ≈ 3.141592654 · · · y e ≈2.7182818 · · ·

Número mixto Número formado por una parteentera y una parte fraccionaria.Por ejemplo: 1¾.

Número natural El conjunto de los númerosnaturales es el conjunto de números queusamos para contar:

N = 1, 2, 3, 4, 5, · · ·

Observa que el cero no es un elemento deeste conjunto.Un número natural es cualquiera de loselementos del conjunto de los númerosnaturales.

Número par Número que es divisible entredos. Es decir, un número par tiene aldos como factor al menos una vez en sudescomposición en factores primos.Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8, 10, · · ·son números pares.

Número perfecto Un número natural tal quela suma de sus divisores propios es igual aél.Por ejemplo, el número 6 es un númeroperfecto, porque sus divisores propios (1,2, 3) suman 6.

Número primo Número natural que tieneexactamente dos divisores.Por ejemplo, el número 2 es primo, puessus únicos divisores son 1 y 2.El número 9 no es un número primo, puestiene 3 divisores: 1, 3, y 9.Los primeros 20 números primos son lossiguientes:

2 3 5 7 1113 17 19 23 2931 37 41 43 4753 59 61 67 71

Observa que un número impar no esnecesariamente primo. Por ejemplo, el 21no es primo, pues tiene 4 divisores (1, 3,7, 21).

Número primo relativo Decimos que dosnúmeros son primos relativos si el máxi-mo común divisor entre ambos es 1.En otras palabras, dos números sonprimos relativos, si al formar una fraccióncon ellos, ésta no se puede simplificar.Por ejemplo, 8 y 7 son primos relativos.Observa que no se requiere que los dosnúmeros considerados a, b sean primos,sino que satisfagan que M.C.D.(a, b) = 1.

Números racionales Es el conjunto de todoslos números que se pueden expresar como


Números reales–Número trascendental

N

89

el cociente de dos números enteros, dondeel denominador es distinto de cero.

Q =

x

∣∣∣∣∣∣x =pq, p, q ∈ Z; q , 0

Un número racional es cualquier elementodel conjunto de los números racionales.Todos los números enteros y todos losnúmeros naturales también son númerosracionales.Por ejemplo, los números:

12,

37, −

25, −

187

son números racionales.

Números reales Conjunto de números que seobtiene como la unión de los conjuntos delos números racionales y de los númerosirracionales:

R = Q ∪ Q′

Número trascendental Número irracional queno puede ser raíz de una ecuación polino-mial con coeficientes racionales.Por ejemplo, el número e es un númerotrascendental.


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OEfrain Soto Apolinar

Observación Resultado de la obtención deinformación de una variable estadísticaen un estudio científico relativo a unapoblación específica.Por ejemplo, cuando se mide la altura delos estudiantes de un grupo, cada medi-ción realizada es una observación.

Obtuso, ángulo Ángulo que mide más que unángulo recto, pero menos que un ángulollano. En otras palabras, un ángulo obtusomide más de 90, pero menos que 180.

α

En la figura el ángulo α es obtuso.

Octaedro Sólido geométrico cuyas 8 caras sontriángulos equiláteros.El siguiente sólido es un octaedro:

Octágono Polígono de 8 lados y 8 ángulos.

Octágono

Octante El espacio tridimensional queda divi-dido en 8 partes que se tocan en el origende coordenadas. Cada una de esas 8 partesse llama octante.

y

z

x

92

O

Onza–Ortocentro

Un octante es cada una de las 8 divi-siones que se muestran en la figura (es-pacio tridimiensional) anterior.

Onza Unidad de peso usada en el sistema In-glés, equivalente a 28.38 gramos.

Operación Proceso definido por medio delcual se obtiene un valor a partir de otros.Las operaciones más frecuentementeusadas con los números son: suma, resta,multiplicación, división, potenciación yradicación.

Optimización Un problema es de opti-mización cuando se requiere maximizar ominimizar una cantidad.

Orden Se dice que los números reales sonordenados porque satisfacen la tricotomía,es decir, dados dos números reales a, bcualesquiera, se cumple una y solamenteuna de las siguientes condiciones:

3 a > b

3 a = b

3 a < b

Orden de las operaciones El orden de lasoperaciones es el conjunto de reglas queindican qué operaciones deben realizarseprimero en una expresión que incluyevarias operaciones.En resumen, el orden de las operacioneses:

1. Simplificar expresiones dentro designos de agrupación (paréntesis)

2. Calcular potencias y raíces

3. Calcular multiplicaciones y divi-siones

4. Calcular sumas y restas

Por ejemplo, al evaluar:

3 × 52 + 7

empezamos elevando al cuadrado 5(prioridad más alta), luego ese resultadolo multiplicamos por 3 (siguienteprioridad) y finalmente sumamos 7,obteniendo:

3 × 52︸︷︷︸1ro

+ 7 = 3 × 25︸︷︷︸2do

+ 7 = 75 + 7︸︷︷︸3ro

= 82

Ordenada Dadas las coordenadas de un puntoen el plano, P(x, y), la primera coordenada(x) se llama abscisa y la segunda coorde-nada (y) se llama ordenada.

x1 2 3 4

1

2

3y

P(3, 2)

En la figura, la ordenada del punto P(3, 2)es y = 2, y su abscisa es x = 3.

Ortocentro Es el punto donde se intersectanlas tres alturas de un triángulo.

Ortocentro


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PEfrain Soto Apolinar

Par ordenado Un par ordenado se refiere a unpar de valores (x, y) que determinan unobjeto matemático que satisfacen: (a, b) ,(b, a), es decir, los mismos valores en dis-tinto orden corresponden a dos objetosdiferentes.Por ejemplo, las coordenadas de un puntoson un par ordenado, porque en el planocartesiano, (2, 3) , (3, 2).

Par, función Función que tiene la propiedad:f (−x) = f (x).Por ejemplo, la función: y = x2 es par.

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x2

Parábola Curva plana generada por un puntoque se mueve de manera que se mantienea la misma distancia de un punto fijollamado foco y de una recta fija llamadadirectriz.

F

Directríz

Eje

Parábola cúbica Curva que resulta de graficaruna función cúbica: y = ax3+bx2+cx+d.

Paralelo Dos rectas que se encuentran en unmismo plano son paralelas si no se cortanpor más que se prolonguen.En la siguiente figura, las rectas `1 y `2 sonparalelas. Esto se denota como `1 ‖ `2.

`1 ` 2`1 ‖ `2

En geometría analítica verificamos quedos rectas sean paralelas si tienen lamisma pendiente.

94

P

Paralelogramo–Pentaedro

Paralelogramo Cuadrilátero que tiene dospares de lados opuestos paralelos.

h

bParalelogramo

El área del paralelogramo es igual alproducto de su base por su altura.

A = b × h

Paralelepípedo Poliedro de cuyas 6 carasson paralelogramos que son paralelas enpares.Por ejemplo, el cubo es un paralelepípedo.

Paralelepípedo

Parámetro 1. Variable que sirve para carac-terizar la evolución de un sistema.2. Valor constante que sirve para carac-terizar a una población.Por ejemplo, la media es un parámetro deuna población.3. Conjunto de valores que determinan demanera única una figura geométrica.Por ejemplo, los parámetros a y c deter-minan de manera única a una elipse hori-zontal.

Pendiente La pendiente m de una recta quepasa por los puntos P(xp, yp) y Q(xq, yq),se define como el cociente:

m =yp − yq

xp − xq=

∆y∆x

Geométricamente, la pendiente indicacuántas unidades avanza verticalmente lagráfica por cada unidad avanzada en elsentido del eje x.La pendiente de una recta es igual a latangente del ángulo que ésta forma con eleje horizontal:

x

y

`

α

m = tanα

Pentacontágono Polígono de 50 lados.

Pentacontaedro Poliedro de 50 caras.

Pentadecágono Polígono de 15 lados.

Pentadecágono

Pentágono Polígono de cinco lados.

Pentágono

Pentaedro Poliedro de 5 caras.Una pirámide con base cuadrada es unejemplo de pentaedro.


Percentil–Pertenencia

P

95

Percentil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en cien partes iguales.Para hacer el cálculo de los percentiles serequiere que los datos estén ordenados demanera creciente.El p percentil es el valor que tiene p%de todos los valores por debajo de él y el(100 − p)% por encima.Por ejemplo, el 35 percentil es mayor al35% de todos los valores y es menor al65% de todos los valores.

Perfecto, cuadrado Un número es cuadradoperfecto si su raíz cuadrada es un númeroentero.Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto,porque su raíz cuadrada es 5.5 no es un cuadrado perfecto, porque suraíz cuadrada no es un entero.

Perfecto, número Un número natural tal quela suma de sus divisores propios es igual aél.Por ejemplo, el número 6 es un númeroperfecto, porque sus divisores propios (1,2, 3) suman 6.

Perímetro El perímetro de un polígono esigual a la suma de las longitudes de suslados.

Periodo Si existe un valor k tal que para todox, f (x) = f (x + k), entonces decimos quela función es periódica. El periodo de unafunción periódica f es el mínimo valor kque cumple: f (x) = f (x + k).Por ejemplo, la función seno es periódica:

x

y

y = sin x

k

El periodo de la función seno es 2π.

Permutación Una permutación P(n, r) es unasecuencia ordenada de r objetos de unconjunto de cardinalidad n.P(n, r) se lee: «el número de permuta-ciones de n objetos tomando r a la vez», yse calcula con la fórmula:

P(n, r) =n!

(n − r)!

donde n! es el factorial del número n.

Perpendicular Dos rectas son perpendicula-res si al cortarse forman cuatro ángulosiguales. Es decir, si dos rectas formancuatro ángulos rectos cuando se intersec-tan, entonces son perpendiculares.En la siguiente figura las rectas `1 y `2

son perpendiculares. Esto se denota como`1 ⊥ `2.

`1

`2

`1 ⊥ `2

Pertenencia Decimos que x pertenece alconjunto A si x es uno de sus elementos,y se denota como: x ∈ A.Si x no es un elemento del conjunto A,entonces decimos que x no pertenece alconjunto y lo denotamos como: x < A.Por ejemplo, 3 ∈ N, pero π < Z. Observa


96

P

π (Pi)–Plano

que el concepto de pertenencia se aplica alos elementos del conjunto, no a sus sub-conjuntos. En ese caso usamos el con-cepto de inclusión de conjuntos. (Vea ladefinición de «Subconjunto»)

π (Pi) El número π se define como el resultadode dividir la longitud de una circunferen-cia entre su diámetro.Este número es irracional, y es aproxi-madamente igual a:

π ≈ 3.141592653589793

Generalmente utilizamos la aproxima-ción: π ≈ 3.1416 para realizar cálculoscon él.

Pictograma Diagrama que representa datosestadísticos.El pictograma es útil para la comparaciónde conjuntos de datos.

200250

300

175

Pié Unidad de distancia usada en el sistema In-glés, equivalente a 12 pulgadas, o bien a30.48 cm.

Pirámide Sólido geométrico con un polígonocomo base y triángulos isósceles con unvértice común como las demás caras delsólido.

Pirámide triangular

Pitágoras, teorema de En todo triángulo rec-tángulo que se encuentra en un plano, lasuma de los cuadrados de las longitudesde los catetos es igual al cuadrado de lalongitud de la hipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las longi-tudes de los catetos del triángulo rectán-gulo y c es la longitud de su hipotenusa,entonces se cumple:

c2 = a2 + b2

c b

a

Plana, geometría Geometría que estudia obje-tos en el plano: puntos, rectas, triángulos,cuadriláteros, etc.

Plano Superficie tal que al considerar unarecta que pase por cualesquiera dos puntossobre la superficie, todos los puntos de larecta se encuentra en la misma superficie.La siguiente figura es de un plano en tresdimensiones:

π

En matemáticas se denota con la letra π aun plano.


Plano cartesiano–Poliedro

P

97

Plano cartesiano Plano que utiliza un sistemade coordenadas cartesianas (rectangula-res) para determinar las coordenadas delos puntos.Al plano cartesiano también se le llama«plano coordenado».

Plano complejo Plano que asigna el eje hori-zontal a los números reales y el eje verti-cal a los números imaginarios de maneraque podamos representar gráficamente losnúmeros complejos.

R

I

z = 3 + 2 i

El plano complejo también se conocecomo el plano de Gauss.

Platónico, sólido Cada uno de los cinco sóli-dos regulares: tetraedro, cubo, octaedro,dodecaedro e icosaedro.

Población En estadística, la población serefiere al universo de donde se elige unamuestra para su estudio.Los parámetros de la población son loscalculados a partir de datos coleccionadossobre todos los elementos de la población.Los parámetros muestrales son los que secalculan a partir de los observados en lamuestra.

Polar, coordenada Las coordenadas polaresdel punto P del plano se definen a partirde la distancia al origen y el ángulo queforma la recta que pasa por el origen y elpunto P con el eje horizontal:

P(r, θ)r

θ

Las coordenadas polares de un puntoP(r, θ) pueden transformarse en coordena-das rectangulares P(x, y), a través de lassiguientes fórmulas:

x = r · cos θy = r · sin θ

Polar, forma La forma polar del númerocomplejo z = a + ib, es:

z = r (cos θ + i sin θ)

donde θ = arctan(ba

).

Poliedro Sólido geométrico formado por carasplanas.Si todas sus caras son el mismo polígonoregular se llaman poliedros regulares.Los poliedros regulares son: tetraedro,cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

Cubo


98

P

Polígono–Polígono regular

Polígono Figura plana cerrada delimitada porsegmentos de recta que no se cortan entreellos.Cada uno de los segmentos de recta esun lado del polígono y el punto dondese intersectan dos lados consecutivos delpolígono se llama vértice.La siguiente figura muestra un polígono:

Vértice

Lad

o

Polígono circunscrito Se dice que un polígonoes circunscrito cuando todos sus lados sontangentes a una misma circunferencia.

Hexágono circunscrito

Polígono inscrito Se dice que un polígono esinscrito cuando todos sus lados son cuer-das de una misma circunferencia.

Hexágono inscrito

Polígono de frecuencias Gráfica de una dis-tribución de frecuencias que se elaborauniendo los puntos medios de la base su-perior de cada rectángulo en un histo-grama.La siguiente figura muestra un polígonode frecuencias:

Clases

f

A B C D E0

1

2

3

Polígono regular Cuando un polígono tienetodos sus lados y todos sus ángulosiguales se llama polígono regular. Esdecir, un polígono es regular si es equi-látero y equiángulo a la vez.

αn

i

Los elementos de los polígonos regularesson:

3 Ángulo central

αn =360

n

3 Suma de ángulos internos

S int = 180 (n − 2)


Polinomio–Principio del buen ordenamiento

P

99

3 Ángulo interno

i =180 (n − 2)

n

3 Número de diagonales

D =n (n − 3)

2

3 Suma de ángulos externos:

S ext = 360

Polinomio Expresión algebraica formada porla suma de uno o más términos.El nombre particular que recibe cadapolinomio depende del número de térmi-nos que lo formen.

Términos Nombre Ejemplo

1 Monomio 3 x2

2 Binomio 2 + x3

3 Trinomio 1 + 2 x + 3 x2

Frecuentemente se les llama simplemente«polinomio» cuando tienen más de trestérminos.

Porcentaje Fracción de una cantidad que setoma por cada cien contenida en ella y quese denota con el simbolo %.Es decir, un porcentaje es una proporciónque compara un número con el cien.Por ejemplo, el 10% de 500 es 50, porquede cada cien de los 500 tomamos 10,como hay 5 grupos de cien, obtenemos5 × 10 = 50.El cálculo del p porcentaje de la cantidadM se realiza fácilmente usando:

R =p · M100

Por ejemplo, el 5% de 250 es:

R =5 × 250

100= 12.5

Positivo Un número o expresión algebraica espositivo(a) si su valor es mayor a cero.

Postulado Proposición que se acepta como ver-dadera.Un postulado no es necesariamente unaxioma.

Potencia Es el resultado de multiplicar unnúmero (la base) por sí mismo variasveces.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2︸︷︷︸

5 factores

= 32

Premisa En lógica, las proposiciones a partirde las cuales se obtiene una conclusión,se llaman premisas.

Principio Una verdad que ha sido demostrada.Sinónimo de ley.

Principio de inducción Asociamos un enteron a una proposición P(n), bien sea ver-dadera, bien sea falsa, si se cumple laproposición para n = 1, es decir, P(1) sesatisface, y también se satisface P(2); alsuponer que se satisface P(k), si se puedemostrar que P(k + 1), entonces, P(n) sesatisface para todos los números naturalesn ∈ N.

Principio del buen ordenamiento El princi-pio del buen ordenamiento dice que unsubconjunto de un conjunto ordenadocontiene un elemento que es el menor detodos.Por ejemplo, el conjunto 0, 2, 4, 6, 8tiene un elemento que es el menor detodos, (0).


100

P

Prioridad de las operaciones–Producto cartesiano

Prioridad de las operaciones La prioridadde las operaciones es el conjunto dereglas que indican qué operaciones debenrealizarse primero en una expresión queincluye varias operaciones.En resumen, la prioridad de las operacio-nes es:

1. Simplificar expresiones dentro designos de agrupación (paréntesis)

2. Calcular potencias y raíces

3. Calcular multiplicaciones y divi-siones

4. Calcular sumas y restas

Por ejemplo, al evaluar: 3×52+7, empeza-mos elevando al cuadrado 5 (prioridadmás alta), luego ese resultado lo multipli-camos por 3 (siguiente prioridad) y final-mente sumamos 7, obteniendo:

3 × 52︸︷︷︸1ro

+ 7 = 3 × 25︸︷︷︸2do

+ 7 = 75 + 7︸︷︷︸3ro

= 82

Prisma Poliedro con dos caras poligonalesidénticas y paralelas, y las demás carassiendo paralelogramos.

Prisma pentagonal

Prisma recto Prisma con bases perpendicula-res a sus caras laterales.Por ejemplo, el prisma pentagonalmostrado en la definición de «Prisma»,es un prisma recto.

Probabilidad En matemáticas, la probabilidades una forma de medir la posibilidad de

que un evento ocurra.El valor de la probabilidad P(A) de unevento A satisface: 0 ≤ P(A) ≤ 1.Cuando un evento A tiene n diferen-tes posibles resultados, todos igualmenteprobables, la probabilidad de que ocurrauno de esos eventos P(A) es:

P(A) =1n

Y más generalmente, cuando hay kcasos favorables de obtener un resultadoparticular de un experimento de entre ncasos posibles, la probabilidad del eventoes:

P(A) =casos favorablescasos posibles

=kn

Si a un evento se asigna la probabilidad decero (0), entonces ese evento es práctica-mente imposible de que ocurra.Si a un evento se asigna la probabilidadde uno (1), entonces ese evento ocurre concerteza.

Problema Una proposición o pregunta querequiere de un procedimiento o métodopara encontrar su solución.En matemáticas no todos los problemastienen por solución un número o unaexpresión algebraica. Algunas veces lasolución del problema consiste en decirque ese problema no tiene solución.Por ejemplo, la solución de encontrar elnúmero x que cumpla: x + 2 = x, es: «Talnúmero x no existe».

Producto Es el resultado de la multiplicaciónde dos números o expresiones algebrai-cas.

Producto cartesiano El producto cartesianode los conjuntosA y B denotado porA×Bes el conjunto formado por todos los paresordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.


Producto de fracciones–Pronóstico

P

101

Por ejemplo, sean A = 0, 1, 2 y B =

4, 5, 6. Entonces,

A × B = (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Producto de fracciones El producto de lasfracciones a/b y c/b está definido por:(a

b

) ( cd

)=

a · cb · d

Producto de números complejos El productode los números complejos z1 = a1 + i b1 yz2 = a2 + i b2, está definido por:

z1 · z2 = (a1 ·a2−b1 ·b2)+ i (a1 ·b2 +a2 ·b1)

Productos notables Los productos notablesreciben su nombre debido a que aparecenfrecuentemente en álgebra; se han estable-cido sus reglas para no tener que calcular-los cada vez que se requiera conocer suresultado.Algunos productos notables de frecuenteuso son:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Progresión aritmética Lista de números quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer término de la lista se denota pora1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n−ésimo término an

de la progresión usando la fórmula:

an = a1 + d (n − 1)

Y la suma de los primeros n términos S n

con:S n =

n (a1 + an)2

A la progresión aritmética también se leconoce como «sucesión aritmética».Por ejemplo, si definimos a1 = 5 y d = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, etc.

Progresión geométrica Lista de números quetienen la propiedad que cualesquiera dosconsecutivos tienen una razón constante.Es decir, si dividimos ai+1 ÷ ai = rpara cualesquiera dos términos consecu-tivos de la progresión.El primer término de la lista se denota pora1 y la razón constante por r.Podemos calcular el n−ésimo término an

de la progresión usando la fórmula:

an = a1 · rn−1


con:

S n =a1(1 − rn+1)

1 − rA la progresión geométrica también se leconoce como «sucesión geométrica».Por ejemplo, si definimos a1 = 2 y r = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18, a4 = 54, etc.

Promedio El promedio de n datosx1, x2, x3, · · · , xn, es igual a la suma detodos ellos entre n:

x =x1 + x2 + x3 + · · · + xn

n=

∑xi

n

Nota: el símbolo∑

indica la suma de losvalores xi.

Pronóstico Un pronóstico es una estimacióndel comportamiento de una variable es-tadística en eventos futuros.Para elaborar un pronóstico se utilizan


102

P

Propiedad–Proporción por resta

datos estadísticos, teoría económica ycondiciones del problema.Existen muchos métodos para hacerpronósticos.

Propiedad Decimos que un objeto(matemático) tiene una propiedad si pre-senta una característica específica.

Propiedades de los números Los númerosreales presentan las siguientespropiedades:Para la suma:

3 Cerradura: a + b ∈ R

3 Conmutativa: a + b = b + a

3 Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

3 Neutro: a + 0 = a

3 Inverso: a + (−a) = 0

Para la Multiplicación:

3 Cerradura: a · b ∈ R

3 Conmutativa: a · b = b · a

3 Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

3 Neutro: a · 1 = a

3 Inverso: a · (1/a) = 1, a , 0.

Y la propiedad distributiva, que es la únicaque involucra a las dos operaciones desuma y multiplicación:

a (b + c) = a b + a c

Al conjunto de números que satisfacetodas estas propiedades se le llama«campo».Los números racionales también formanun campo, es decir, ellos también tienenlas mismas propiedades.El conjunto de los números complejostambién forman un campo.

Proporción Igualdad entre dos razones.Por ejemplo,

x7

=72

es una proporción.

Proporción directa Cuando dos cantidadesestán en proporción de manera que alcrecer una de las cantidades, la otra crecela misma cantidad de veces, entonces lascantidades están en proporción directa.Por ejemplo, cuando aumenta el númerode horas trabajadas, aumenta el número deminutos trabajados.

Proporción inversa Cuando dos cantidadesestán en proporción de manera que alcrecer una de las cantidades, la otradecrece la misma cantidad de veces,entonces las cantidades están en propor-ción inversa.Por ejemplo, cuando varias personas vana pintar una pared, si las personas traba-jan al mismo ritmo y no se estorban,al aumentar el número de personas, eltiempo que requieren para pintar la pareddisminuye.

Proporción por alteración Dada la propor-ción a/b = c/d, se cumple:

ac

=bd

Proporción por inversión Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:

ba

=dc

Proporción por resta Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:

a − bb

=c − d

d


Proporción por suma–Punto medio

P

103

Proporción por suma Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:

a + bb

=c + d

d

Proporción por suma y resta Dada la propor-ción a/b = c/d, se cumple:

a + ba − b

=c + dc − d

Proposición Enunciado de una ley o un princi-pio. También puede ser una cuestión quese requeire resolver o demostrar.En matemáticas las proposiciones másusadas son: el axioma, el postulado, elteorema, el corolario y el problema.

Prueba Sinónimo de demostración.

Pulgada Unidad de distancia usada en elsistema Inglés, equivalente a 2.54 cm, obien a un doceavo de un pié. Es decir, 12pulgadas equivalen a 1 pié.

Punto Objeto geométrico que carece de longi-tud, ancho y fondo y se utiliza para indicaruna ubicación en el espacio.En otras palabras, el punto tiene una lon-gitud, un área y un volumen de cerounidades en cada uno.Euclides definió el punto como: «Unpunto es aquello que no tiene partes».el punto se considera el objeto geométricomás fundamental.

Punto de tangencia Punto en el cual una rectatoca tangentemente a una curva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente. Elpunto de tangencia es P:

C

P

Punto decimal Signo matemático que sirvepara separar la parte entera de un númerode su parte decimal.Por ejemplo, en el número: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimal es:0.1416.En algunos países se acostumbra escribiruna coma decimal en lugar del punto.

Punto crítico En una curva, el punto críticoes el punto donde una recta tangente a lacurva es horizontal.En la siguiente figura, el punto P indicadoes un punto crítico de la función y = f (x)

x

y

y = f (x)

P1

-1

Punto medio El punto medio del segmento ABes el punto M del segmento que está a lamisma distancia de sus extremos.En otras palabras, el punto medio de unsegmento es el punto que lo divide en dossegmentos de la misma longitud.En la figura se muestra un segmento AB ysu punto medio M:


104

P

Puntos notables

A

B

M

Puntos notables En un triángulo que se en-cuentra en un plano, los puntos notablesson los siguientes:

3 Baricentro: es el punto donde seintersectan sus tres medianas.

3 Circuncentro: es el punto donde seintersectan sus tres mediatrices.

3 Incentro: es el punto donde se inter-sectan sus tres bisectrices.

3 Ortocentro: es el punto donde seintersectan sus tres alturas.


ww

w.a

pren

dem

atem

atic

as.o

rg.m

x

REfrain Soto Apolinar

R Símbolo que representa el conjunto de losnúmeros reales.

Racionalización Proceso que consiste enconvertir una fracción con un denomina-dor irracional a una fracción equivalentecon denominador racional.Por ejemplo,

1√

2=

1√

2·

√2√

2=

√2

2

Radián Unidad de medida de ángulo que esigual al ángulo subtendido por un arco delongitud igual al radio.En la siguiente figura se muestra el ánguloα que mide un radián:

αr

r r

Un radián se denota por 1 rad.π rad = 180.

Radical Símbolo que se utiliza en matemáticaspara indicar la raíz: n

√ .El índice n nos dice del orden de la raíz(cuadrada, cúbica, cuarta, etc.)Por ejemplo, para indicar raíz quintausamos el índice 5:

5√32 = 2

Radio Distancia del centro de una circunferen-cia a cualquiera de sus puntos.

rC

Radio de un polígono regular Segmento queva del centro del polígono a cualquiera delos vértices del polígono.

106

R

Radio focal–Rayo

radio

Radio focal Segmento dirigido que tiene supunto inicial en el foco de una cónica ysu punto final en algún punto cualquierade la misma.

x

y

FF′

P(x, y)Radio focal

O

Raíz Número que multiplicado un número deveces indicado, resulta igual a otro valordado.Por ejemplo, la raíz cúbica (el índice es 3)de 27 es 3, porque 33 = 27.La raíz quinta de 32 es 2, porque 25 = 32.La raíz cuadrada se denota con el signo deradical:

√k, y las raíces de mayor orden

con un índice: n√k indica la raíz n−ésima.

Raíz de una ecuación La raíz de una ecuaciónes el valor de su variable que hace que sereduzca a una igualdad válida.Por ejemplo, las raíces de la ecuación:x2 − 1 = 0, son x = 1 y x = −1, puescuando sustituimos cualquiera de estosvalores en la ecuación, obtenemos cero.Geométricamente la raíz de una ecuaciónrepresenta el punto en que la gráfica de laecuación corta al eje de las abscisas (ejex).La siguiente figura muestra dos raíces dela ecuación: sin x = 0

x1 2 3 4

y

−1

1y = sin x

Raíces

Rango (Análisis) Al contradominio de unafunción también se le conoce como elrango de la función.(Estadística) El rango de un conjunto dedatos se define como la diferencia entre elmayor y el menor de todos los datos. Elrango es una medida de dispersión de losdatos, pues indica qué tan distantes estánlos datos más alejados de la muestra.

Rapidez (1.) Número que indica en cuántocambia de la posición de un objeto porcada unidad de tiempo.La rapidez nunca es negativa.La rapidez se calcula dividiendo la distan-cia recorrida entre el tiempo que tomórecorrer esa distancia. (2.) Magnitudde la velocidad, sin considerar dirección.(3.) En cálculo, la rapidez es igual a laprimera derivada de la posición respectodel tiempo.

Rayo Una parte de una recta que tiene un puntoinicial y no tiene punto final.La siguiente figura muestra el rayo

−−→AB:

−−→AB

A

B

Para denotar al rayo siempre indicamosprimero el punto inicial y después otropunto cualquiera por el cual tambiénpase.


Recta de Euler–Recta real

R

107

Recta de Euler Es la recta que pasa porcircuncentro, baricentro y el ortocentro deun triángulo.

Razón (1.) La razón de dos números a, b es elresultado que se obtiene al dividirlos:

ab

es la razón de los números a y b.

(2.) En una sucesión geométrica, la razónr de la sucesión es el cociente de dos tér-minos consecutivos cualesquiera:

r =an+1

an

De manera que podemos calcular un tér-mino de la sucesión a partir del anteriorcomo sigue: an+1 = r · an.

Razón de división Dado el segmento AB yun punto P en él, la razón de divisióndel segmento AB por el punto P es elcociente: |AP|/|PB|.Por ejemplo, si |AB| = 10, y el punto Pestá a 6 unidades del punto A, entonces,|AP| = 6 y |PB| = 4, y la razón de divisióndel segmento AB por por el punto P es:

r =|AP|

|PB|=

64

=32

= 1.5

Recíproco El recíproco del número x , 0 es elresultado de dividir uno entre x:

1x

es el recíproco de x.

Por ejemplo, el recíproco de 2 es12

.Frecuentemente al recíproco se le llama(equivocadamente) el inverso del número.Los números no tienen inverso, las fun-ciones y las operaciones sí.

Recta Línea que no cambia de dirección y sedenota por `.

`

Frecuentemente se utiliza la palabra«línea» como sinónimo de recta.Una línea también puede ser curva. Porejemplo, una circunferencia también esuna línea, pero no es recta, pues cambiaconstantemente de dirección.

Rectas concurrentes Rectas que se cortan enun solo punto.

Rectas notables del triángulo Las rectas no-tables en un triángulo son:

3 Altura

3 Bisectriz

3 Mediatriz

3 Mediana

Vea cada definición para más detalles.

Recta real Recta en la cual se elige unpunto fijo al cual se llama origen y alque se le asigna el cero, y utilizandouna unidad de medida se marcan puntoscon esa unidad de distancia entre ellospara marcar los números enteros posi-tivos hacia la derecha y los negativos a laizquierda del origen:

(+)−2 −1 0 1 2 3 4

(−)

Origen


108

R

Rectángulo–Regla

A cada número real se le puede asignarun punto de la recta numérica y a cadapunto de la recta numérica le correspondeexactamente un número real. Debido aesto a la recta numérica también se leconoce como «recta real».

Rectángulo Cuadrilátero que tiene cuatro án-gulos internos iguales.También se puede definir como unparalelogramo que tiene sus 4 ángulos in-ternos iguales a un recto.

Rectángulo

bh

A = b × hP = 2 (b + h)

El cuadrado es un caso particular del rec-tángulo, que tiene sus cuatro lados de lamisma medida. Es decir, el cuadrado esun rectángulo que también es un rombo.

Rectilíneo Objeto caracterizado por una ovarias líneas rectas.Por ejemplo, el movimiento rectilíneo serealiza sobre una línea recta.

Redondeo Proceso de aproximar un valor auna cantidad considerando algunas de susprimeras cifras decimales.Por ejemplo, al redondear el valor de π adiezmilésimos obtenemos: π = 3.1416.

Reducción de una fracción Decimos quehemos reducido una fracción cuando lahemos simplificado.Por ejemplo, al reducir la fracción 12/20,obtenemos:

1220

=3 · 45 · 4

=35

Reducción, método de Método para resolversistemas de ecuaciones lineales queconsiste en sumar múltiplos de unaecuación a otra para reducir el número devariables y de ecuaciones en el sistema.Este método también se conoce como«método suma y resta» o como el«método de eliminación».

Reflexiva, propiedad La propiedad reflexivade la igualdad dice que todo número esigual a sí mismo.Matemáticamente, a = a.Vea la definición de «igualdad» para verotras propiedades de la igualdad.

Región Subconjunto del plano cartesiano.Una región puede ser, por ejemplo, lasolución de un sistema de desigualdades:

x2 4 6 8 10

y

2

4

6

8

10

x+

y=

10

x + y > 10

Regla Instrumento usado en geometría paradibujar rectas.En geometría plana la regla se considerasin escala (acotación), de manera que nopodemos medir distancias, sino solamentetrazar líneas rectas con ella.Una parte de una regla con acotación es lasiguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7

1 cm


Reglas de los exponentes–Regular, poliedro

R

109

Reglas de los exponentes Las reglas de losexponentes son las siguientes:

3 xm · xn = xm+n

3am

an = am−n

3(ab

)m=

am

bm

31

am = a−m

3 a0 = 1 (a , 0)

3 (am)n = amn

3 (a · b)m = ambm

Reglas de los signos Las reglas de los signosson las siguientes:

+ · + = +

+ · − = −

− · + = −

− · − = +

En resumen, al multiplicar dos signosiguales obtenemos + y cuando multipli-camos dos signos diferentes obtenemos −.Estas mismas reglas se aplican a la di-visión:

+ ÷ + = +

+ ÷ − = −

− ÷ + = −

− ÷ − = +

Regla de los cuatro pasos La regla de loscuatro pasos sirve para calcular laderivada de una función y = f (x).

Paso 1: Dar un incremento a x y calcularel correspondiente incremento en y.

y + ∆y = f (x + ∆x)

Paso 2: Restar la función original:

∆y = f (x + ∆x) − f (x)

Paso 3: Dividir entre el incremento en x:

∆y∆x

=f (x + ∆x) − f (x)

∆x

Paso 4: Calcular el límite cuando el in-cremento en x tiende a cero:

dydx

= lim∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)∆x

Regla de tres Método que sirve para calcularun valor desconocido de una proporcióndirecta, dados los otros tres.Por ejemplo, para calcular el valor de xen:

x7

=3

21

hacemos:

x =3 × 7

21= 1

Regular, poliedro Poliedro que tiene todas suscaras iguales. En total hay cinco poliedrosregulares: tetraedro, cubo, octaedro, do-decaedro e icosaedro.

Tetraedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

Cubo


110

R

Regular, polígono–Resultante

Regular, polígono Cuando un polígono tienetodos sus lados y todos sus ángulosiguales se llama polígono regular. Esdecir, un polígono es regular si es equi-látero y equiángulo a la vez.

αn

i

Los elementos de los polígonos regularesson:

3 Ángulo central

αn =360n

3 Suma de ángulos internos

S int = 180 (n − 2)

3 Ángulo interno

i =180 (n − 2)

n

3 Número de diagonales

D =n (n − 3)

2

3 Suma de ángulos externos:

S ext = 360

Relación (1.) Forma de comparar dos elemen-tos de un mismo conjunto.Por ejemplo, las desigualdades son rela-ciones que se definen para los númerosreales.(2.) Una relación se define como un parordenado de elementos de un conjunto:(a, b), donde a, b ∈ M.

Relación de equivalencia La relación deequivalencia es una estructura matemáticaque presenta las siguienes propiedades:

3 Reflexiva: a ∼ a3 Simétrica: Si a ∼ b, entonces b ∼ a.3 Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c,

entonces a ∼ c.

Decimos que los objetos a y b están rela-cionados si cumplen las tres propiedadesenlistadas y lo denotamos por a ∼ b.

Relación de recurrencia Función condominio en los números naturales y rangoen los términos de una sucesión.Por ejemplo, la sucesión de Fibonaccipuede encontrarse usando la siguienterelación de recurrencia:

an = an−1 + an−2

que en palabras dice: «el término actuales igual a la suma de los últimos dos tér-minos».

Renglón En una matriz, un renglón es unalínea horizontal de sus elementos.En la siguiente matriz A, el primerarenglón está formado por los elementos a,b y c:

A =

a b cd e fg h i

Resultante Vector que resulta de sumar dos

vectores.En la siguiente figura se muestran losvectores ~u y ~v y la resultante ~u + ~v:

x

y

~u

~v

~u +~v


Resta–Romboide

R

111

Resta Operación matemática binaria denotadacon el símbolo −.La resta de los números a y b es el númeroque hay que sumar a a para obtener b y sedenota por: b − a.Por ejemplo, 5 − 3 = 2, porque 3 + 2 = 5.La resta también se conoce como diferen-cia.

Rombo Cuadrilátero que tiene sus 4 lados dela misma medida.

Rombo

Romboide Paralelogramo que no es rectán-gulo.

Romboide


112

R

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SEfrain Soto Apolinar

Secante (Geometría) La secante a una curvaes una recta que la corta.La siguiente figura muestra unacircunferencia y una secante que la corta:

Secante

(Trigonometría) La función secante sedefine como el recíproco de la funcióncoseno:

secα =1

cosαEn el triángulo rectángulo mostrado en ladefinición de «Seno» la función secantedel ángulo α menor a 90 se puede escribircomo:

secα =hipotenusa

cateto opuesto

Sección Intersección de dos objetos geométri-cos.Por ejemplo, de la intersección de unplano con un cono podemos obtener unaparábola, que es una sección cónica.

Sector circular Un sector circular es unaparte de la circunferencia limitada pordos radios y un arco, como se muestraenseguida:

α

El área del sector circular de α se calculacon la siguiente fórmula:

A =απr2

360

Segmento Intervalo de recta delimitado pordos puntos fijos sobre la misma. Elsegmento que inicia el el punto A y

114

S

Semejanza–Seno hiperbólico

finaliza en el punto B se denota por AB.En la siguiente figura se muestra unsegmento:

`

AB

A

B

Semejanza Se dice que dos triángulos sonsemejantes si uno es escala del otro.Para verificar si dos triángulos sonsemejantes podemos usar cualquiera delos siguientes criterios:

3 Dos lados son proporcionales y elángulo formado entre ellos está encada triángulo.

3 Dos ángulos iguales.

3 Los tres lados son proporcionales.

Los siguientes triángulos son semejantes:

En palabras, dos figuras son semejantes sitienen la misma forma, pero no necesaria-mente el mismo tamaño.

Semi- Prefijo usado en matemáticas quesignifica «mitad de».Por ejemplo, semiperímetro significa «lamitad del perímetro».

Seno La función seno se define para cualquierángulo α. Dado un ángulo con un ladohorizontal y vértice en el origen, su seno,

denotado por sinα se define como lacoordenada sobre el eje y del punto deintersección del otro lado (no horizontal)del ángulo con la circunferencia de radio1.

x

y

1

sinα

cosαα

En un triángulo rectángulo, el seno deun ángulo positivo menor a 90 puedeencontrarse con el cociente:

sinα =cateto opuesto

hipotenusa

α

Hipotenusa

Cat

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sto

Cateto adyacente

La gráfica de la función seno es lasiguiente:

x

y

y = sin x

1

-1

Seno hiperbólico La función seno hiperbólicodel número x se denota por: sinh x y estádefinida por:

sinh x =ex − e−x

2


Senos, ley de–Sistema coordenado

S

115

Senos, ley de Para todo triángulo que se en-cuentra en el plano, se cumple:

sinαA

=sin β

B=

sin γC

donde A es el lado opuesto al ángulo α, Bes el lado opuesto al ángulo β y C es ellado opuesto al ángulo γ.

Sentido Sinónimo de orientación.

Sentido positivo En un eje de coordenadas,el sentido positivo indica hacia dónde losvalores de la recta van creciendo.En el plano, el eje horizontal es x y elsentido positivo de este eje es hacia laderecha. Para el eje vertical (y) el sentidopositivo es hacia arriba.

Sentido positivo →

Sent

ido

posi

tivo→

x

y

Observa que las flechas de los ejes indicanel sentido positivo de cada uno de ellos.

Serie La suma de los términos de una sucesión.Cuando la sucesión es aritmética, se llamaserie aritmética.La fórmula para calcular la serie aritméti-ca de los primeros n términos es:

S n =n (a1 + an)

2

Donde a1 es el primer término y an es eln−ésimo término de la sucesión.Cuando los términos que se estánsumando forman una sucesión geométri-ca, la serie es geométrica, y se calculacon:

S n =a1 (1 − rn)

1 − r

Donde a1 es el primer término y r es larazón de la sucesión.

Serie divergente Serie que crece indefinida-mente conforme se consideran mayorcantidad de términos.

Siglo Un siglo equivale a cien años.

Simetría Propiedad que presentan algunasfiguras geométricas que consiste en unacorrespondencia en la forma, el tamaño yla secuencia de las partes que la compo-nen respecto de una línea o punto.Vea «Eje de simetría».

Simetría axial Un objeto geométrico presentasimetría axial cuando tiene una recta desimetría. Esa recta se dice que es el eje desimetría de la figura.Por ejemplo, el triángulo isósceles pre-senta simetría axial.

Simetría radial Un objeto geométrico pre-senta simetría radial cuando su centrosirve de centro de simetría.Por ejemplo, un polígono regular presentasimetría radial.

Simétrica, propiedad La propiedad simétricade la igualdad dice que si un número esigual a otro, el segundo número es igualal primero. Matemáticamente,

Si a = b, entonces, b = a.

Vea la definición de «igualdad» para verotras propiedades de la igualdad.

Sistema coordenado Conjunto de ejes quesirven para indicar coordenadas depuntos. Cuando los ejes son mutuamenteperpendiculares y todos utilizan la mismaunidad de medida en cada eje, se dice quees un sistema de coordenadas cartesiano.


116

S

Sistema decimal–Sólido rómbico

Sistema decimal Sistema de numeración queutiliza el 10 como base y que utilizamosactualmente para contar.Por ejemplo, el número 2 745, se puedeescribir como:

2745 = 2 000 + 700 + 40 + 5= 2 × 1 000 + 7 × 100 + 4 × 10 + 5= 2 × 103 + 7 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100

En nuestro sistema de numeración, cadacifra tiene un valor que depende de suposición respecto del punto decimal. Estose hace evidente al escribir el número entérminos de potencias de 10.

Sistema de ecuaciones Conjunto de variasecuaciones que deben resolversesimultáneamente. La solución del sistemade ecuaciones es el conjunto de valoresque las reducen a todas las ecuaciones aigualdades verdaderas.Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

x + y = 10x − y = 2

tiene por solución x = 6, y = 4, porque alsustituir estos valores en las ecuaciones,cada una se reduce a una igualdad ver-dadera.Los sistemas de ecuaciones se clasifi-can de acuerdo al tipo de ecuaciones quela componen. En el ejemplo dado, elsistema de ecuaciones es lineal, pues to-das las ecuaciones que lo componen sonlineales.

Sistema de numeración Reglas que se definenpara escribir y realizar operaciones connúmeros.Nosotros utilizamos un sistema denumeración decimal y posicional.Decimos que es decimal porque conta-mos usando potencias de 10, y que esposicional porque el valor de cada cifradepende de su posición relativa a los

demás números usados al escribir elnúmero.La base de nuestro sistema es el 10. Deaquí viene la palabra «decimal».

Sistema de referencia Conjunto de ejes quesirven para indicar coordenadas depuntos.El sistema de referencia es tambiénllamado «sistema coordenado».

Sistema Internacional de Unidades Conjuntode unidades de medida para utilizar entodo estudio y reporte científico y tecnoló-gico (abreviado como S.I.)Las unidades básicas del S.I. son:

Magnitud Unidad Símbolo

Distancia metro mMasa kilogramo kg

Tiempo segundo sCorriente eléctrica amperio A

Temperatura kelvin KIntensidad luminosa candela cd

Sólido Figura geométrica que tiene tres dimen-siones.La siguiente figura muestra los sólidoscubo y esfera:

EsferaCubo

Los sólidos también se conocen comocuerpos.

Sólido rómbico Sólido cuyas caras son rom-bos congruentes.


Solución–Sucesión de Fibonacci

S

117

Solución 1. Respuesta de un problema2. Proceso o método para resolver unproblema.3. Conjunto de valores que al sustituir enuna ecuación o en un sistema de ecuacio-nes, se reduzcan a igualdades verdaderas.4. En química, frecuentemente se utilizala palabra «solución» para referirse al tér-mino «disolución».

Suave Se dice que una función y = f (x) essuave en un intervalo (a, b) si su derivadaestá definida en todo punto del intervalo.La función y = x2 es una función suave,pues su gráfica es una parábola, que nopresenta cambios bruscos de dirección.Por otra parte, la función valor absoluto(y = |x|) no es suave, pues su derivada noestá definida en el origen. En este punto,tiene un cambio brusco de dirección.

Subconjunto Un conjunto A es subconjuntode otro conjunto B si todos los elementosde A están también en B.Si existe algún elemento de A que no estéen B, entonces A no es un subconjunto deB.Si A es un subconjunto de B, entoncesdecimos que el conjunto A está incluidoen B, lo cual se denota por: A ⊂ B, o bien,que el conjunto B incluye al conjunto A,lo cual se denota por: B ⊃ A.El siguiente diagrama muestra al conjuntoA, que es un subconjunto del conjunto B:

B

A

A ⊂ B

El conjunto vacío ∅ es un subconjuntode cualquier conjunto, pues no hay un

elemento de ∅ que no pertenezca alsegundo.Todo conjunto es subconjunto de símismo.

Sucesión Lista de números que siguen una de-terminada regla para calcular el siguientetérmino.Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, · · ·sigue la siguiente regla: «suma 1 al últimotérmino de la sucesión y al resultado mul-tiplícalo por dos».

Sucesión aritmética Lista de números quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer término de la lista se denota pora1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n−ésimo término an


an = a1 + d (n − 1)


con:S n =

n (a1 + an)2

A la sucesión aritmética también se leconoce como «progresión aritmética».Por ejemplo, si definimos a1 = 5 y d = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, etc.

Sucesión convergente Una sucesión tal quesus términos sucesivos están cada vez máscerca de un valor fijo.Por ejemplo, la sucesión:

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, · · ·

converge a cero.

Sucesión de Fibonacci La sucesión:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cada tér-mino se obtiene como la suma de los dostérminos anteriores se conoce como lasucesión de Fibonacci.


118

S

Sucesión geométrica–Sustitución

Sucesión geométrica Lista de números quetienen la propiedad que cualesquiera dosconsecutivos tienen una razón constante.Es decir, si dividimos ai+1 ÷ ai = rpara cualesquiera dos términos consecu-tivos de la sucesión.El primer término de la lista se denota pora1 y la razón constante por r.Podemos calcular el n−ésimo término an


an = a1 · rn−1


con:

S n =a1(1 − rn+1)

1 − rA la sucesión geométrica también se leconoce como «progresión geométrica».Por ejemplo, si definimos a1 = 2 y r = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18, a4 = 54, etc.

Suceso Evento del cual se registra el resultadocon el fin de estudiar el comportamientoestadístico del mismo.Por ejemplo, si observamos los resulta-dos de lanzar una pelota a una canastapara saber la proporción de puntos quelogra un estudiante, cada lanzamiento esun evento.

Suma (Aritmética) 1. Operación entrenúmeros que expresa la relación entre elnúmero de elementos de la unión de ellos.2. Resultado de sumar dos números.

1234+ 5678

6912 suma

(Álgebra) Operación binaria entre expre-siones algebraicas.

Sumando Número o expresión algebraica quese utiliza para realizar la operación desuma junto con otro(a) u otros(as).

1234+ 5678

6912sumandosumando

suma

Superficie (1.) Conjunto de puntos del plano ode dos dimensiones (tiene largo y ancho).Las unidades de medición de la superficieson metros cuadrados (m2). En geometríase utiliza la palabra área como sinónimode superficie.(2.) Frontera de un sólido.

Suplementario, ángulo Dos ángulos sonsuplementarios si su suma es 180.Vea la definición de «ángulo suplemen-tario».

Supremo La menor cantidad que es mayor oigual a cada una de las cantidades de unconjunto dado.Lo opuesto de supremo es «ínfimo».

Sustitución Procedimiento algebraico usadopara reducir un sistema de n ecuaciones enun sistema equivalente (es decir, que tieneel exactamente las mismas soluciones) den − 1 ecuaciones.


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TEfrain Soto Apolinar

Tabla Arreglo de datos en forma de renglonesy columnas para identificar patrones enlos mismos.Por ejemplo, la siguiente tabla recopila lainformación relacionada con las edades dela población de un pueblo:

Rango Cantidad

0 – 10 25010 – 20 1 20020 – 30 2 50030 – 40 1 22540 – 50 85050 – 60 75060 – 70 42570 – 80 25080 – 90 37

90 – 100 13

En estadística el uso de las tablas es muyfrecuente así como el uso de gráficas.

Tangencia, punto de Punto en el cual unarecta toca tangentemente a una curva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente. Elpunto de tangencia es P:

C

P

Tangente (Geometría plana) La tangente auna curva es una línea recta que toca a lacurva en uno de sus puntos.La siguiente figura muestra unacircunferencia con una tangente:

r

Tangente

T

C

El punto T donde la recta tangente toca ala circunferencia se llama «punto de tan-gencia».

120

T

Tangente hiperbólica–Teorema de Pitágoras

(Trigonometría) La tangente del ánguloα se define como:

tanα =sinαcosα

En un triángulo rectángulo, la tangentede un ángulo positivo menor a 90 puedeencontrarse con el cociente:

tanα =cateto opuesto

cateto adyacente

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

En geometría analítica, la pendiente m dela recta que pasa por los puntos P(xp, yp) yQ(xq, yq) es igual a la tangente del ánguloque ésta forma con el eje de las abscisas:

m =∆y∆x

=yq − yp

xq − xp

Tangente hiperbólica La función tangentehiperbólica del número x se denota por:tanh x y está definida por:

tanh =ex − e−x

ex + e−x

Tangram Rompecabezas inventado por loschinos que consite en ocho piezas decartón: seis triángulos rectos, un cuadradoy un paralelogramo.La siguiente figura se muestran las piezasdel Tangram:

Teorema Proposición que requiere dedemostración.Por ejemplo,

«Existe exactamente una circunferenciaque pasa por tres puntos no colineales»

es un teorema de geometría.

Teorema binomial Para cualesquiera dosnúmeros enteros no negativos, se cumple:

(x + y)n =

n∑k=0

(k

n − k

)xkyn−k

El teorema del binomio también se conocecomo el «binomio de Newton».Vea la definición «Newton, teorema de»

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rec-tángulo que se encuentra en un plano, lasuma de los cuadrados de las longitudesde los catetos es igual al cuadrado de lalongitud de la hipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las longi-tudes de los catetos del triángulo rectán-gulo y c es la longitud de su hipotenusa,entonces se cumple:

c2 = a2 + b2

c b

a


Teoría–Trapecio

T

121

Teoría Conocimiento organizado sistemática-mente que es aplicable en la solución deproblemas y para explicar la naturaleza oel comportamiento de una gran variedadde fenómenos.

Teoría de conjuntos Rama de las matemáticasque estudia los conjuntos, sus propiedadesy sus aplicaciones.

Teoría de números Rama de las matemáticasque estudia los números, sus propiedadesy de sus operaciones.

Término Expresión algebraica que consistede una constante que multiplica a una ovarias variables cada una de ellas elevadaa alguna potencia entera no negativa.Por ejemplo, 3 x2y5 es un término.Los polinomios son un suma de uno ovarios términos.Monomio se entiende como sinónimo detérmino.

Teselado Cobertura del plano por polígonos demanera que cada punto del plano esté cu-bierto por solamente un polígono y quedos polígonos se toquen solamente en suslados.

Tetraedro Sólido geométrico cuyas caras soncuatro triángulos equiláteros:

Tetraedro

Transitiva, propiedad Propiedad que consisteen que si a ∼ b, y también b ∼ c, entonces,a ∼ c.Por ejemplo, la igualdad presenta lapropiedad transitiva, pues si a = b, y tam-bién b = c, entonces, a = c.Vea la definición de «igualdad» para verotras propiedades de la igualdad.

Translación Movimiento de un objeto ge-ométrico de manera que cada uno de suspuntos se mueve en la misma dirección, lamisma distancia, sin rotación, reflexión ocambio en su tamaño.En la siguiente figura, el triángulo 4ABCse ha trasladado hacia la derecha paraobtener el triangulo congruente 4A′B′C′:

AB

C

A′B′

C′

Transportador Instrumento utilizado paramedir ángulos.

0

10

20

30

4050

60708090100110

120130

140

150

160

170

180

Transportador

Trapecio Cuadrilátero con un par de ladosparalelos.


122

T

Trascendental, número–Triángulo, desigualdad de

h

b

B

El lado paralelo con mayor longitud sellama base mayor (B) y el lado paralelocon menor longitud se llama base menor(b). La altura del trapecio (h) es la distan-cia entre las dos bases.El área del trapecio se calcula con lasiguiente fórmula:

A =(b + B) · h

2y su perímetro sumando las longitudes desus lados.

Trascendental, número Número irracionalque no puede ser raíz de una ecuaciónpolinomial con coeficientes racionales.Por ejemplo, el número e es un númerotrascendental.

Trayectoria Camino o ruta que sigue uncuerpo en movimiento.

Triada Un trio ordenado de valores.Por ejemplo, (2, 3, 4) es una traiada.

Triangular (1.) Caracterizado por el triángulo.(2.) Dividir una región del plano en trián-gulos para facilitar el cálculo de su área.

Triángulo Polígono de tres lados.La siguiente figura es un triángulo conbase b, altura h y lados a y c:

b

ac h

P = Perímetro = a + b + c

A = Área =bh2

Un triángulo se clasifica de acuerdo a lamedida de sus lados como:

3 Escaleno: si todos sus lados tienendistinta medida.

3 Isósceles: si dos de sus lados tienenla misma medida.

3 Equilátero: si sus tres lados tienenla misma medida.

Y de acuerdo a sus ángulos como:

3 Acutángulo: si todos sus ángulosson agudos.

3 Rectángulo: si tiene un ángulorecto.

3 Obtusángulo: si tiene un ánguloobtuso.

La suma de los ángulos internos de untriángulo es igual a 180.Debido a esto, un triángulo no puede tenerdos ángulos rectos, mucho menos dos án-gulos obtusos.

Triángulo acutángulo Un triángulo es acután-gulo si todos sus ángulos son agudos.

T. acutángulo

Triángulo, desigualdad de Para todo trián-gulo que se encuentra en un plano, lasuma de las longitudes de cualesquierados lados es mayor al tercer lado.Por ejemplo, en el triángulo:


Triángulo equilátero–Triángulo de Pascal

T

123

ba

c

Se cumplen las siguientes tres desigual-dades:

a + b > ca + c > bb + c > a

que es lo que dice el principio.

Triángulo equilátero Un triángulo es equi-látero si sus tres lados tienen la mismamedida.

T. equilátero

Triángulo escaleno Un triángulo es escalenosi todos sus lados tienen distinta medida.

T. escaleno

Triángulo isósceles Un triángulo es isósce-les si dos de sus lados tienen la mismamedida.

T. isósceles

Triángulo obtusángulo Un triángulo es ob-tusángulo si tiene un ángulo obtuso.

T. obtusángulo

Triángulo rectángulo Un triángulo es rectán-gulo si tiene un ángulo recto.

T. rectángulo

Triángulo de Pascal Triángulo que sirve paracalcular los coeficientes de la n−ésimapotencia de un binomio.El siguiente diagrama indica cómo calcu-larlo:

1

11 +

11 2 ++

11 33

11 44 6

11 55 1010

Suma los dos números que están indica-dos para obtener el que está en medio deellos en el siguiente renglón.Para calcular: (x + y)5 calculamos losprimeros 6 renglones del triángulo dePascal y escribimos los coeficientes, ydespués las literales con los exponentesque le corresponden:

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3

+5xy4 + y5

Observa que los exponentes de x van de-creciendo, empezando desde 5 y termi-nando en 0, los de y van creciendo, em-pezando desde 0 y terminando en 5.Observa también que la suma de losexponentes de las literales de cada tér-mino es 5.


124

T

Triángulo pitagórico–Truncar

Triángulo pitagórico Triángulo rectángulocon longitudes de lados enteros.

Tricotomía Propiedad de los números reales.Dados dos números reales a, b cuales-quiera, se satisface una y solamente unade las siguiente condiciones:

i. a < b

ii. a = b

iii. a > b

Tridecágono Polígono de 13 lados.

Tridecágono

Trigonometría Rama de la matemática quese encarga del estudio de los triángulos,las proporciones entre sus lados y án-gulos, las funciones trigonométricas, suspropiedades y sus aplicaciones.Las funciones trigonométricas son lassiguientes:

3 seno (sin)

3 coseno (cos)

3 tangente (tan)

3 secante (sec)

3 cosecante (csc)

3 cotangente (cot)

Las funciones trigonométricas inversasson:

3 arco seno (arcsin)

3 arco coseno (arccos)

3 arco tangente (arctan)

Trinomio Polinomio que tiene 3 términos.Por ejemplo,

1 + x5 − x11

Observa que un trinomio no debe sernecesariamente de grado dos.

Trisección del ángulo Problema que consisteen la construcción de un ángulo conmedida igual a un tercio de un ángulodado.Este problema no se puede resolver uti-lizando solamente regla y compás.

Trivial Muy fácil de resolver o sencillo.

Truncar Aproximación de a un valor omi-tiendo decimales a partir de uno especí-fico.Por ejemplo, al truncar el valor de π adiezmilésimos obtenemos: π = 3.1415.Observa que se han omitido los dígi-tos decimales después de los diezmilési-mos.


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UEfrain Soto Apolinar

Unidad El número 1 se llama unidad.

Unidad cúbica Unidad de volumen formadapor un cubo con aristas de medida iguala la unidad.

Unidad cuadrática Unidad de área formadapor un cuadrado con lados de medidaigual a la unidad.

Unidad de medida Cantidad establecida pararealizar mediciones de alguna naturalezafísica.Por ejemplo, el kilogramo es la unidad demedida establecida por el Sistema Inter-nacional de Medidas para la masa.

Unidad imaginaria El número i que tiene lapropiedad de que: i2 = −1, se llamaunidad imaginaria.

Unión La unión de los conjuntos A y B es elconjunto que está formado por todos loselementos que están en A como los queestán en B.

El siguiente diagrama de Venn muestra launión de los conjuntos A y B:

A B

A ∪ B

Unitario, cubo Cubo con aristas de medidaigual a la unidad.

Unitario, vector Vector con magnitud igual ala unidad.

Universo El conjunto que contiene todos loselementos que son relevantes para una dis-cusión o en la solución de un problemaparticular.El universo se denota por U.Por ejemplo, si se está resolviendo unproblema relacionado con los alumnos deuna escuela, el universo es el conjunto detodos los alumnos de la escuela.

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VEfrain Soto Apolinar

Valor absoluto El valor absoluto de un númerox, denotado por |x| se define como su valornumérico si considerar su signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es:| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:|3| = 3.Geométricamente el valor absolutorepresenta la distancia del origen dela recta numérica al punto que lecorresponde el número:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

| − 3| |2|

Vara Unidad de distancia usada en el sistemaEspañol, equivalente a 0.84 metros.

Vara cuadrada Unidad de superficie usada enel sistema Español, equivalente a 0.7 m2.

Variable Literal que se supone cambia devalor.En la función y = f (x), la variableindependiente es la variable en la cualsustituimos los valores, generalmente x.Por otra parte, la variable dependiente esel valor que la función toma, usualmentey.En matemáticas las variables se deno-

tan usando las últimas letras del alfabeto:t, u, v, x, y, z, etc.

Variación Cambio que sufre una variable.Usualmente se denota anteponiendo a lavariable el símbolo ∆.Así, la variación que sufre la variable x sedenota como ∆x y se lee: «delta x».La variación que sufrió una variablecuando cambió del valor x1 al valor x2 es:

∆x = x2 − x1

Por ejemplo, si x cambió de x1 = 3 a x2 =

5, la variación de x es: ∆x = 5 − 3 = 2.A la variación también se le llama cambioo incremento.

Varianza Es el promedio de las desviacionescuadradas respecto de la media:

σ2 =

n∑i=1

(xi − x

)2

n

donde x es la media aritmética de los ndatos x1, x2, · · · , xn.La varianza es una medida de la disper-sión de los valores que toma la variablex.

Vector Una diada de valores ordenados.

~v = (vx, vy)

128

V

Vector libre–Volumen

Geométricamente el vector se representacon una flecha que va del origen al puntoindicado por sus coordenadas:

θ x

y

vx

vy

~v(vx,

v y)

El punto inicial del vector está en el origeny el punto final está en las coordenadas(vx, xy). La longitud del vector se denom-ina como su magnitud o su módulo, de-notada por ‖~v‖, y se calcula aplicando elteorema de Pitágoras:

‖~v‖ =

√v2

x + v2y

La dirección del vector se puede definirpara cualquier vector no nulo, como el án-gulo que éste forma con el eje horizontaly se calcula con:

θ = arctan(vy

vx

)El vector nulo ~0 = (0, 0) no tiene definidauna dirección y su magnitud es cero.Algunos autores definen al vector comoun segmento de recta dirigido.

Vector libre Vector cuyo punto inicial puedeestar en cualquier punto.

Vector tangente Vector que tiene la misma di-rección que una recta tangente a una curvay que tiene su punto inicial en el punto detangencia de la recta tangente.

Vector unitario Vector con magnitud igual a launidad.

Velocidad Vector cuya magnitud es igual a larapidez de un objeto y la dirección indicahacia dónde se realiza el movimiento.Vea «rapidez».

Vértice Punto característico de una figurageométrica donde se intersectan dos ladoso varias (dos o más) aristas.Algunas figuras que tienen vértices sonlos polígonos, algunas de las cónicas(elipse, parábola e hipérbola), los sólidos,etc.

Vértices consecutivos En un polígono, dosvértices son consecutivos si son extremosde un mismo lado.En la figura mostrada en el concepto«Consecutivos, ángulos», los vértices A yB son consecutivos.

Volumen Espacio que ocupa un cuerpo. Susunidades se miden en litros, o unidadesde longitud cúbicas, como metro cúbico(m3).


129

Lista de símbolos matemáticos

La siguiente lista contiene los símbolos matemáticos que más frecuentemente se utilizan en lasmatemáticas de primaria y secundaria.

3 + → suma

3 − → resta, diferencia

3 × → multiplicación

3 ÷ → división

3 / → división

3 ≡ → equivalente a

3 ≡ → por definición

3 ≡ → congruente con

3 = → igual a

3 , → desigual a

3 > → mayor a

3 < → menor a

3 ≥ → mayor o igual a

3 ≤ → menor o igual a

3 → mucho mayor a

3 → mucho menor a

3 ≈ → aproximadamente igual a

3 ∝ → proporcional

3 % → porciento

3 ± → más, menos

3√

→ raíz cuadrada

3 3√

→ raíz cúbica

3 n√

→ raíz n−ésima

3 ∞ → infinito

3 | → divisible por

3 - → no es divisible por

3 ∴ → por lo tanto

3 ∵ → porque

3 ∀ → para toda

3 ∃ → existe

3 ∃! → existe un único

3 ∃ → no existe

3 | → tal que

3 : → tal que

3 ⇒ → implica, se sigue

3 ⇔ → si y solo si

3 N → números naturales

3 Z → números enteros

3 Q → números racionales

3 Q′ → números irracionales

3 R → números reales

3 C → números complejos

3 ∈ → pertenece

3 < → no pertenece

3 ∅ → conjunto vacío

3 ⊂ → está incluido

3 ⊃ → incluye

3 ⊂ → no está incluido

3 ⊃ → no incluye


130

3 ⊆ → incluido estrictamente

3 ∪ → unión

3 ∩ → intersección

3 U → universo

3 ν → cardinalidad

3 ∨ → o (interjección)

3 ∧ → y (conjunción)

3 7→ → se mapea a

3 mod → módulo

3 lim → límite

3 max → máximo

3 min → mínimo

3∑

→ sumatoria

3 loga → logaritmo en base a

3 log → logaritmo vulgar

3 ln → logaritmo natural

3 det → determinante

3 ∆ → incremento

3 δ → desviación

3 d → diferencia

3 r → razón

3 r → radio

3 ai → i−ésimo término

3 S n → serie (primeros n términos)

3 x → media aritmética, promedio

3 ⊥ → perpendicular

3 ‖ → paralelo

3 ∼ → es semejante a

3 / → no es semejante a

3 ~u → vector (también u)

3 ‖~u‖ → magnitud de ~u

3 AB_

→ arco AB

3 → grados sexagesimales

3 ′ → minutos

3 ′′ → segundos

3 C → grados centígrados

3 F → grados Farenheit

3 ∠ABC → ángulo ABC

3 ]α → ángulo α

3 4ABC → triángulo ABC

3 C(n, r) → combinaciones de n en r

3 P(n, r) → permutaciones de n en r

3

(nr

)→ combinaciones de n en r

3 σ → desviación estándar

3 σ2 → varianza

3 π → 3.141592654 · · ·


131

Referencias

3 Anfossi, A.Trigonometría rectilíneaEd. Progreso S.A.México, 1963. 207 pp.

3 Birkhoff, Garret; Mac Lane, Saunders.A brief survey of modern algebraEd. The Mac Millan CompanyEE.UU. 1953. 276 pp.

3 Brown, Richard G.; et. al.Algebra: Structure and Method (2 tomos)Ed. Houghton Mifflin Co.EE.UU. 1994. 736 pp. (tomo 1) & 888pp.

3 Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas.Análisis numéricoGrupo Editorial IberoaméricaMéxico, 1985. 732 pp.

3 Collins, William, et. al.Algebra: Integration, Applications, Con-nections (2 tomos)McGraw HillEE.UU. 1998. 862 pp (tomo 1)& 1011 pp.(tomo 2)

3 Dossey, John A.; et. al.Secondary Math: An integrated ApproachEd. Adison WesleyEE.UU. 1996. 935 pp.

3 Christian FeuersängerManual for Package PgfPlotsLATEX 2ε documentationAlemania, 2009. 133 pp.

3 Grossman, Stanley I.Álgebra linealGrupo Editorial IberoaméricaMéxico, 1983. 399 pp.

3 Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P.Intermediate AlgebraEd. D.C. Heath and CompanyEE.uu. 1992. 726 pp.

3 Soto A., EfraínMatemáticas preuniversitariasEn ediciónMéxico. 2008 – 2009.

3 Soto A., EfraínEnseñanza efectiva de las matemáticasAutopublicación electrónicahttp://www.aprendematematicas.org/

México. 2008. 263 pp.

3 McElroy, TuckerA to Z of mathematiciansFacts on File, Inc.EE.UU. 2005. 308 pp.

3 Walpole, Ronald E.; Myers, Raymond H.;Myers, Sharon L.; Ye, KeyingProbability & Statistics for Engineers &Scientists, 8th EditionEd. Prentice Hall2007, 848 pp.

3 Wentworth, George; Smith, David E.GeometríaGinn & Co.EE.UU. 1915. 469 pp.


132

Agradecimientos a revisores

Las siguientes personas (que aparecen en orden alfabético) han apoyado de manera voluntaria enla revisión de este diccionario.

Se agradece infinitamente su colaboración.

3 Arroyo H., Evangelina (EE.UU.)

3 Brito, Franco (Venezuela)

3 Romero, Jorge.

3 Sobrevilla S., Ana.

Los revisores han colaborado con sugerencias de conceptos por agregar, correcciones de todo tipo(ortográficas, gramaticales, de diseño, etc.), corrección en las definiciones, etc.

Sin su colaboración, este material no tendría la calidad que ahora tiene.

Estimado lector, si usted encuentra un error o tiene alguna sugerencia, por favor, envíela con sunombre completo a la siguiente dirección de correo electrónico:

[email protected]

Usted también aparecerá en esta lista de revisores y colaboradores.

Gracias por su apoyo en nombre de todos los profesores y estudiantes que actualmente utilizan estematerial de distribución gratuita.

Efraín Soto Apolinar.(Autor)


Créditos 133

CréditosDebo agradecer el precioso apoyo que todo este tiempo me ha estado brindando mi esposa, Ana Gloria.Sin su comprensión, ánimo y entusiasmo hubiera tardado cien veces más en elaborar este material.

Autor: Efraín Soto Apolinar

Productor general: Efraín Soto Apolinar

Dirección y coordinación editorial: Efraín Soto Apolinar

Edición: Efraín Soto Apolinar

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar

Diseño de portada: Efraín Soto Apolinar

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar

Revisión técnica: Vea la sección Agradecimientos a revisores.

Año de edición: 2 009

Año de publicación: 2 010

Última revisión: 31 de diciembre de 2009.

Última modificación: 09 de noviembre de 2010.

Total de figuras: 265.

Total de definiciones: 777.

Software utilizado: En la edición, diseño y composición tipográfica de este material se han utilizado lossiguientes programas:

¬ LATEX 2ε Tipografía del texto, ecuaciones y diagramas. TikZ Diseño de figuras, encabezados y diagramas.® pgfPlots Gráficas y diagramas.¯ TEXnicCenter Edición del código fuente LATEX 2ε.

Apreciado lector, agradezco sus comentarios, sugerencias y correcciones a la cuenta de correo electrónico:

[email protected]

Usted puede descargar este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos de manera gratuita del siguientesitio de Internet:

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Gracias por respetar los términos de uso de este material.


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