De golfvergelijking in drie dimensies

In drie dimensies wordt de golfvergelijking

∂2Ψ∂t2

= c2(∂2Ψ∂x2

+∂2Ψ∂y2

+∂2Ψ∂z2

)waar c een constante is die de snelheid van de golven aangeeft. Dit is degolfvergelijking in “gewone” coordinaten x, y, z. Voor sommige problemen ishet handiger om in cylinder- of bolcoordinaten te werken.

Je hebt al gezien (in de eerste week bij Optica) dat we de golfvergelijkingkunnen omzetten naar cylindercoordinaten. Dus, we gebruiken poolcoordinatenin het x, y-vlak:

x =r cosϕ,y =r sinϕ.

Voer ook even in (om het onderscheid duidelijk te maken)

F (r, ϕ, z, t) = Ψ(x, y, z, t).

We krijgen dan (vergelijk Adams, paragraaf 12.5)

∂2F

∂t2= c2

(∂2F

∂r2+

1r

∂F

∂r+

1r2∂2F

∂ϕ2+∂2F

∂z2

).

Golfvergelijking in een dimensie: trillende snaar

We concentreren ons eerst op de golvergelijking in een dimensie: we bekijkeneen functie u(x, t) die voldoet aan

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2.

Laten we eens kijken of we simpele oplossingen kunnen vinden, met nameoplossingen van de vorm u(x, t) = X(x)T (t). Daarin zijn de variabelen geschei-den, de bijbehorende techniek heet dan ook scheiding van variabelen.

Invullen van u(x, t) = X(x)T (t) geeft twee gewone differentiaalvergelijkingenvoor X en T . Immers X(x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t), dus

c2X ′′(x)X(x)

=T ′′(t)T (t)

.

Omdat links een functie van alleen x staat, en rechts een functie van alleen t,moeten beide zijden wel dezelfde constante zijn. Omdat we verwachten dat Teen periodieke functie zal zijn, nemen we die constante negatief, dat leidt tot

T ′′(t) + ω2T (t) = 0,

X ′′(x) +ω2

c2X(x) = 0.

1

Dat geeft oplossingen voor T (t) die lineaire combinaties zijn van cos(ωt) ensin(ωt) en voor X(x) oplossingen die lineaire combinaties zijn van cos(ωc x) ensin(ωc x):

u(x, t) = (A cos(ωt) +B sin(ωt))(C cos(ω

cx) +D sin(

ω

cx)).

Als we geınteresseerd zijn in trillingen van een snaar van lengte l die aanbeide zijden vast zit, dan zijn er randvoorwaarden:

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Invullen daarvan in u(x, t) laat zien dat C = 0 en dat we alleen te maken hebbenmet heel bepaalde waarden van ω die zo zijn dat sin(ωc l) = 0. Dus

ω =c

lnπ, n ∈ N.

Die getallen heten de eigenwaarden van het probleem. Samenvattend hebbenwe dan dat voor elke n ∈ N en elk paar getallen A,B ∈ R de functie

un(x, t) = (A cos(cnπ

lt) +B sin(

cnπ

lt)) sin(

nπ

lx)

een oplossing is van de golfvergelijking in een dimensie die voldoet aan de rand-voorwaarden u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. We merken op dat een eindige som vandit soort functies ook voldoet aan de golfvergelijking en aan de randvoorwaar-den (het superpositie principe, dat volgt uit het feit dat de vergelijking en derandvoorwaarden samen lineair zijn).

Willen we nu ook nog eisen opleggen aan de beginvoorwaarden (dus de vormvan de functies u(x, 0) en ∂u

∂t (x, 0)), dan leidt dat ons tot de theorie van Fourierreeksen. We proberen dan immers een oneindige superpositie van oplossingenals hierboven:

u(x, t) =∞∑n=0

an cos(cnπ

lt) + bn sin(

cnπ

lt)) sin(

nπ

lx).

We zoeken an en bn zo dat voor 0 ≤ x ≤ l:

u(x, 0) =∞∑n=0

an sin(nπ

lx),

∂u

∂t(x, 0) =

∞∑n=0

bncnπ

lsin(

nπ

lx).

Daar staan twee Fourier reeksen (in feite sinusreeksen op [0, l]). Het lijkt dangoed even wat te herhalen over Fourier reeksen.

2

Fourierreeksen: herhaling

Laat f : [−π, π]→ R een functie zijn. De Fourierreeks van f is de reeks

f ∼ a0

2+∞∑n=0

an cos(nx) +∞∑n=0

bn sin(nx)

waar

an =1π

∫ π

−πf(x) cos(nx) dx, n = 0, 1, 2, · · · ,

bn =1π

∫ π

−πf(x) sin(nx) dx, n = 1, 2, 3, · · · .

Merk op dat dat er wat anders uitziet dan je misschien gewend bent of eerdergezien hebt (we gebruiken a0/2 waar anderen soms a0 gebruiken). Dat heeftlater (bijvoorbeeld in Parseval’s stelling) ook gevolgen, dat soort stellingen zieter ook wat anders uit dan je gewend bent.

Convergentie van de Fourierreeks is gegarandeerd voor functies die voldoenaan de condities van Dirichlet: als f een eindig aantal maxima en minima heeft,en een eindig aantal sprong-discontinuıteiten en als f integreerbaar is op [−π, π],dan convergeert de Fourierreeks van f naar f(x) op punten x waar f continu is,en naar het gemiddelde van de linker en rechter limiet van f op punten waar feen sprong maakt. (Dit is inclusief de randpunten −π en π als we f 2π-periodiekvoortzetten.)

Differentiatie van Fourierreeksen mag niet zo maar termsgewijs. Maar, als feen 2π-periodiek is en continu is voor alle x, en f ′ voldoet aan de voorwaardenvan Dirichlet hierboven, dan geeft termsgewijze differentiatie van de Fourierreeksvan f je de Fourierreeks van f ′.

De complexe vorm van de Fourierreeks is

f ∼∞∑

n=−∞cne

inx,

waar de coefficienten cn gegeven worden door

cn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx, n ∈ Z.

Het verband tussen de cn’s, de an’s en de bn’s wordt gegeven door

an = cn + c−n, cn = 12 (an− ibn),

bn = icn − ic−n, c−n = 12 (an+ ibn).

Voorts is handig de stelling van Parseval: als∫ π−π |f(x)|2 dx eindig is, dan

3

geldt

1π

∫ π

−π|f(x)|2 dx =

12a20 +

∞∑n=1

a2n +

∞∑n=1

b2n,

12π

∫ π

−π|f(x)|2 dx =

∞∑n=−∞

|cn|2.

Een sinusreeks voor een functie f die gegeven is op een interval van de vorm[0, π] krijgen we door uit f een oneven functie te maken die gedefinieerd is ophet interval [−π, π] en daarvan de Fourierreeks te nemen. Maak dus

g(x) =

{f(x), x > 0,−f(−x), x < 0.

Dan krijgen we de sinusreeks voor f als volgt

f ∼∞∑n=1

bn sin(nx)

metbn =

1π

∫ π

−πg(x) sin(nx) dx =

2π

∫ π

0

f(x) sin(nx) dx.

Willen we dit op een interval met andere lengte, zeg f : [0, l] → R, danmoeten we alleen even een substitutie uitvoeren om te komen tot

f ∼∞∑n=0

bn sin(nπ

lx),

waar

bn =2l

∫ l

0

f(x) sin(nπ

lx) dx.

Voor cosinusreeksen doe je iets soortgelijks, alleen in plaats van f voort tezetten tot een oneven functie, zet je f voort tot een even functie.

Opgaven.

1. Bepaal de Fourierreeksen op [−π, π] van de volgende functies:

(a) f(x) = 1, −π < x < pi,

(b) f(x) =

{3 − π < x < 0,−3 0 ≤ x ≤ π

,

(c) f(x) = x2 + 1, −π < x < pi,

(d) f(x) = cos2 s, −π < x < pi,

4

(e) f(x) = |x|, −π < x < π,

(f) f(x) =

{0 − π < x < 0,sin2 x 0 ≤ x ≤ π

2. Bepaal de complexe Fourierreeks van e2x, en gebruik dat om de reele Fouri-erreeks van e2x te vinden.

3. Gegeven is de functie f(x) =

{0 − π < x < 0,π − x 0 ≤ x ≤ π

.

(a) Voor welke waarde van x ∈ [−π, π] geldt dat f(x) niet gelijk is aan de somvan de Fourierreeks van f? Wat is in dat punt de som van de Fourierreeks?

(b) Laat zien dat voor 0 < x ≤ π geldt dat

π = x =14π +

2π

cosx+2

π · 32cos 3x+

2π · 52

cos 5x+ · · ·

+ sinx+12

sin 2x+13

sin 3x+ · · · .

(c) Wat is de som van de reeks voor x = 0? Gebruik dat om te laten ziendat π2

8 = 1 + 19 + 1

25 + 149 + · · · . Laat ook zien dat hetzelfde resultaat kan

worden verkregen door de som van de reeks te bekijken in x = π.

(d) Wat is de som van de reeks voor x = 12π? Laat zien dat daarmee volgt

dat π4 = 1− 1

3 + 15 −

17 + 1

9 − · · · .

4. Gegeven is f : (−π, π]→ R, f(x) = sin(12x).

(a) Bepaal getallen bn zo dat f(x) =∑∞n=0 bn sin(nx) voor −π < x < π.

(b) Neem x = 12π, en laat zien dat π

√2

16 =∑∞j=0

(−1)j(2j+1)16j2+16j+3 .

Golfvergelijking in twee dimensies: trillingen vaneen rond membraan

We bekijken nu de trillingen van een rond membraan. Denk bijvoorbeeld aaneen trommelvlies in het oor. Het membraan zit aan de rand vast. Dit is eentweedimensionaal analogon van een trillende snaar. We stellen de coordinatenin het membraan voor door x, y en de uitwijking door z, dan worden trillingenvan het membraan beschreven door

∂2z

∂t2= c2

(∂2z

∂x2+∂2z

∂y2

).

Het membraan zit vast aan de rand, dus z(x, y) = 0 voor x2 + y2 = a2, waara de straal van het membraan is. We nemen voor het gemak maar even a = 1

5

en c = 1. Niet erg fysisch relevant, maar het verheldert de structuur van hetargument als we niet al die parameters meenemen.

De trillingen worden in poolcoordinaten beschreven door

∂2z

∂t2=∂2z

∂r2+

1r

∂z

∂r+

1r2∂2z

∂ϕ2. (1)

We scheiden eerst de tijd- en plaatsvariabelen. Dus, we zoeken eerst eensoplossingen van de vorm z = u(r, ϕ)T (t), waarbij we verwachten dat T (t) peri-odiek is. Dat geeft:

T ′′(t) + k2T (t) = 0,

en∂2u

∂r2+

1r

∂u

∂r+

1r2∂2u

∂ϕ2+ k2u = 0.

De vergelijking voor T levert op dat T (t) een lineaire combinatie is van cos(kt)en sin(kt).

Voor de partiele differentiaalvergelijking voor u doen we weer scheiding vanvariabelen, we schrijven u(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ). Dat levert op

R′′Φ +1rR′Φ +

1r2RΦ′′ + k2RΦ = 0.

Deel door RΦ, vermenigvuldig met r2 en breng de termen met Φ naar rechtsom te zien dat

r2R′′

R+ r

R′

R+ r2k2 = −Φ′′

Φ.

Rechts staat een functie van alleen ϕ, links een functie van alleen r. Die moetendus constant zijn. Omdat ϕ een hoek is, verwachten we voor Φ een 2π-periodiekefunctie. We stellen dus

Φ′′

Φ= −n2

waardoor Φ(ϕ) een lineaire combinatie wordt van sin(nϕ) en cos(nϕ). Hier is neen natuurlijk getal of nul.

Tenslotte, R(r) voldoet aan de tweede orde differentiaalvergelijking

r2R′′(r) + rR′(r) + (r2k2 − n2)R(r) = 0.

Dit is de differentiaalvergelijking van Bessel. Helaas, die heeft geen constantecoefficienten, en is ook niet op een andere manier makkelijk op te lossen. Maardaar hadden we een truc op: we zoeken een oplossing die een machtreeks in ris.

Machtreeksoplossingen van de dv van Bessel

Voer even in x = rk, en y(x) = R(x/k) = R(r). Dan is y′(x) = R′(r)/k, eny′′(x) = R′′(r)/k2. De differentiaalvergelijking

r2R′′(r) + rR′(r) + (r2k2 − n2)R(r) = 0.

6

gaat dan over in

x2y′′(x) + xy′(x) + (x2 − n2)y(x) = 0.

Dat ziet er wat makkelijker uit, en de notatie is ook meer wat we gewend zijn.Merk op, als n 6= 0 dan volgt y(0) = 0. Probeer als machtreeksoplossing

y(x) = xs∞∑n=0

anxn

voor een of andere s, met a0 6= 0. Dat wordt ingegeven door het feit dat we alzien dat y(0) = 0. Het getal s is dus de orde van het nulpunt van y in 0. Het ishandig om het volgende op te merken: x2y′′+xy′ = x(xy′)′. Als dan y gegevenwordt door de machtreeks hierboven, dan is

xy′ = x

∞∑n=0

(n+ s)anxn+s−1 =∞∑n=0

(n+ s)anxn+s

en daarmee is

x(xy′)′ = x

∞∑n=0

(n+ s)2anxn+s−1 =∞∑n=0

(n+ s)2anxn+s.

Dat moet gelijk zijn aan (n2 − x2)y(x). Dus:

x(xy′)′ = s2a0xs + (s+ 1)2a1x

s+1 + (s+ 2)2a2xs+2 + (s+ 3)2a3x

s+3 + · · ·= (n2 − x2)y = n2a0x

s + n2a1xs+1 + (n2a2 − a0)xs+2 + (n2a3 − a1)xs+3 + · · · .

Vergelijk de coefficienten: omdat a0 6= 0 volgt s2 = n2 uit de coeffici—entvan xs. Dus s = ±n, en omdat we s groter dan nul verwachten (het is immersde orde van het nulpunt van y in 0) volgt s = n. Uit de coefficient van xs+1

zien we dan dat a1 = 0. Alle volgende coefficienten voldoen aan de recurrentebetrekking:

n2aj − aj−2 = (s+ j)2aj ,

en omdat s = n laat zich dat herschrijven als

aj = − aj−2

(n+ j)2 − n2= − aj−2

j2 + 2jn= − aj−2

j(j + 2n).

Omdat a1 = 0 volgt dat aj = 0 voor alle oneven j. Voor even j zijn alle ajafhankelijk van de waarde van a0. Na flink wat gereken, en met een handigekeuze van a0 volgt dan

Jn(x) =∞∑m=0

(−1)m

m! (m+ n+ 1)!

(x2

)2m+n

.

7

Voor de grafieken van de functies J0, J1 en J2 zie de onderstaande figuur

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5

0

0.5

1

J0 in red, J

1 in green J

2 in blue

Er is nog veel meer over Bessel functies te vertellen, zie bijvoorbeeld hetboek van N.M. Temme of de wikipedia pagina

http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function

In de optica spelen Bessel functies ook een rol, met name de functie J1(x)/x,zie bijvoorbeeld

http://en.wikipedia.org/wiki/Point_spread_function

Voor gebruik bij het trillende membraan hebben we straks de nulpuntennodig van Jn. Het m’de nulpunt van Jn noteren we met kmn. Wat gepuzzelmet Matlab levert op dat de nulpunten die je in de bovenstaande figuur ziet totop zes decimalen nauwkeurig gegeven worden door

k10 2.404826 Nulpuntenk20 5.520079 van J0

k30 8.653728k11 3.831706 Nulpuntenk21 7.015586 van J1

k12 5.135622 Nulpuntenk22 8.417244 van J2

Opgaven.

1. Laat zien dat J ′0(x) = −J1(x).

8

2. Laat zien dat y(x) =√

(x)J0(x) een oplossing is van de differentiaalvergeli-jking

y′′ + (1 +1

4x2)y = 0.

Aanwijzing: stel y = u√x, en leid een differentiaalvergelijking voor u af. Je

moet dan laten zien dat J0 een oplossing is van die differentiaalvergelijking.3. Laat zien dat y(x) = J1(x)

x een oplossing is van de differentiaalvergelijking

y′′ +3xy′ + y = 0.

4. Laat y(x) een oplossing zijn van de differentiaalvergelijking

y′′ − 2xy′ + (x2 − 1)y = 0.

Verder is gegeven dat y(0) = 0 en y′(0) = 1.

(a) Laat zien dat y′′(0) = 0. Bepaal tevens y′′′(0).

(b) Toon aan dat

y(n+2)(0) + (−2n− 1)y(n)(0) + n(n− 1)y(n−2)(0) = 0, n ≥ 2.

(c) Laat zien dat y(2n) = 0 voor alle n.

(d) Bepaal y(5)(0).

5. Zij y(x) =∑∞n=0 anx

n een oplossing van de differentiaalvergelijking

y′′ + x2y′ + xy = 0.

(a) Laat zien dat de getallen an voldoen aan de recurrente betrekking

an+3 = − n+ 1(n+ 3)(n+ 2)

an, n = 0, 1, 2, · · ·

en dat a2 = 0.

(b) Neem a1 = 0 en a0 = 1. Laat zien dat in de MacLaurinreeks voor y alleende termen met x3, x6, x9, . . . en de constante termen voorkomen.

(c) Voor de situatie van het b-onderdeel, laat zien dat de MacLaurinreeksvoor y convergeert voor alle x.

9

Terug naar een trillend membraan

We hebben inmiddels dat z(r, ϕ, t) = u(r, ϕ)T (t) = R(r)Φ(φ)T (t) oplossingenzijn van de partiele differentiaalvergelijking (1) voor

T (t) =

{sin(kt)cos(kt)

,

Φ(ϕ) =

{sin(nϕ)cos(nϕ)

,

R(r) = Jn(kr).

Nu moet nog voldaan zijn aan de randvoorwaarde dat het membraan vast zitop de cirkel x2 + y2 = 1, dus op r = 1. Dan moet dus Jn(k) = 0. Vandaardat we zo geınteresseerd waren in de nulpunten van Jn. De getallen kmn zijnde eigenwaarden van het probleem.

Algemene oplossingen zijn weer lineaire combinaties van dit soort functies.Daar gaan we verder niet op in.

Kleine demonstratie met Matlab om de trillingen echt te kunnen zien.

k10=2.404826;k20=5.520079;k11=3.831706;k21=7.015586;

n=0;k=k10;for t=0:0.1:2*pi/kfor r=0:0.05:1for theta=0:0.05:2*pix=r*cos(theta);y=r*sin(theta);z=besselj(n,k*r)*cos(n*theta)*cos(k*t);plot3(x,y,z)hold onendendaxis([-1 1 -1 1 -1 1])pause(0.5)hold off

end

Herhaal dit met k=k20 en n=0, dan met k=k11 en n=1,en tenslotte met k=k21 en n=1.

10

Een paar ”stills” uit die demonstratie staan hieronder voor de respectievelijkewaarden van k:

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

D’Alembert’s oplossing

We keren nu even terug naar trillingen in een dimensie, dat wil zeggen naar degolfvergelijking

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2.

Bekijk nu eens de functie u1(x, t) = g(x − ct), waar g een twee keer differ-entieerbare functie is. Voor die functie is makkelijk in te zien dat de tweedeafgeleide naar x gelijk is aan g′′(x− ct), terwijl de tweede afgeliede naar t gelijkis aan c2g′′(x − ct). Dus is dit een oplossing voor elke tweemaal differentieer-bare functie. Evenzo is u2(x, t) = h(x + ct) een oplossing voor elke tweemaaldifferentieerbare h. Dus

u(x, t) = g(x− ct) + h(x+ ct)

is een oplossing, voor elk paar functies g en h die tweemaal differentieerbaarzijn. Zulke oplossingen noemen we lopende golven. Merk op dat we hier geenbeperkingen aan x opleggen: x ∈ R, en dat t > 0.

11

Als we nu als beginconditie opleggen dat u(x, 0) = f(x), dan volgt datg(x) + h(x) = f(x). Dat bepaalt g en h niet uniek. We kunnen dus kennelijknog een conditie opleggen. Dat kan bijvoorbeeld een conditie zijn op

∂u

∂t(x, 0) = −cg′(x) + ch′(x).

Bekijken we eerst eens de voorwaarde dat dit nul is, dus ∂u∂t (x, 0) = 0. Dat geeft

dat g′ = h′, en dan is het verschil tussen g en h een constante, zeg g(x)−h(x) =a. We hebben nu een stelsel vergelijkingen voor g(x) en h(x):

g(x) + h(x) = f(x),g(x)− h(x) = a.

Dan is g(x) = 12 (f(x) + a) en h(x) = 1

2 (f(x)− a), en daarmee is

u(x, t) =12

(f(x− ct) + f(x+ ct)).

Voor het geval waar ∂u∂t (x, 0) niet nul is, maar een gegeven functie, en nog veel

meer zaken die betrekking hebben op de eendimensionale golfvergelijking, ziehet boek van R. Knobel.

Literatuur

1. R.A. Adams and C. Essex: Calculus, a complete course. Seventh ed.Pearson, 2003.

2. M.L. Boas: Mathematical Methods in the Physical Sciences. Third ed.Wiley, 2006.

3. J.W. Brown and R.V. Churchill: Fourier Series and Boundary Value Prob-lems. Fifth ed. McGraw-Hill, 1993.

4. G. Stephenson: Mathematical Methods for the Science Students. Seconded. Longman, 1973.

5. R. Knobel: An Introduction to the Mathematical Theory of Waves. Amer.Math. Soc., Student Math. Library, Vol. 3, 2000.

6 N.M. Temme: Speciale functies in de mathematische fysica. Epsilon uit-gaven, 1990.

7 http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function

8 http://en.wikipedia.org/wiki/Point_spread_function

12