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Rund um π

Katharina Blaszczok

Proseminar fur Lehramt

18.12.2006

Katharina Blaszczok Rund um π

Uberblick

1 Definitionen fur die Konstante π

2 Geschichte der Naherungen von π

3 Besondere Eigenschaften der Kreiszahl

4 Kurioses

Uberblick

4 Kurioses

Uberblick

4 Kurioses

Uberblick

4 Kurioses

Erste Begegnungen

Die bekanntesten Definitionen der Kreiszahl π stammen aus derGeometrie. Voraussetzung fur diese Definitionen ist, dass der Raumeuklidisch, d. h. ein reeller Vektorraum mit einem Skalarproduktist. Das Skalarprodukt ermoglicht die Definition von Winkeln undAbstanden.Fur den Umfang U und den Flacheninhalt A eines Kreises gilt:

U := 2πr A := πr2

Das heißt:

fur r = 12

ist π = U

fur r = 1 ist π = A

Erste Begegnungen

Die bekanntesten Definitionen der Kreiszahl π stammen aus derGeometrie. Voraussetzung fur diese Definitionen ist, dass der Raumeuklidisch, d. h. ein reeller Vektorraum mit einem Skalarproduktist. Das Skalarprodukt ermoglicht die Definition von Winkeln undAbstanden.Fur den Umfang U und den Flacheninhalt A eines Kreises gilt:

U := 2πr A := πr2

Das heißt:

fur r = 12

ist π = U

fur r = 1 ist π = A

π als Verhaltnis”Umfang zu Durchmesser“

Unter der Annahme, dass der Raum euklidisch ist, kann manzeigen: Das Verhaltnis U

2rist unabhangig vom Radius des Kreises,

also konstant.Man betrachte zwei konzentrische Kreise K1 und K2 mit denRadien r1 und r2 und den Umfangen U1 und U2. Beschreibt manbeiden zwei regulare Vielecke gleicher Seitenzahl (mit derSeitenlange a1 bzw. a2) so ein, dass die Seiten parallel sind, folgtaus dem zweiten Strahlensatz:

r1 : r2 = a1 : a2

a2 : r2 = a1 : r1

Multipliziert man nun beide Seiten der Gleichung mit der Anzahlder Vieleckseiten, ergibt sich:

U2 : r2 = U1 : r1

r1 : r2 = a1 : a2

a2 : r2 = a1 : r1

U2 : r2 = U1 : r1

r1 : r2 = a1 : a2

a2 : r2 = a1 : r1

U2 : r2 = U1 : r1

π als Verhaltnis”Kreisflache zu Radius im Quadrat“

Von dem Verhaltnis π = Ar2 ausgehend kann man fur π folgende

arithmetische Definition angeben:

1 Man zeichne ein quadratisches Gitter aus (2n + 1) × (2n + 1)Punkten mit den gleichmaßigen Abstanden 1

n. Jedem Punkt

wird ein Koordinatenpaar zugeordnet.

2 Man zahle die Punkte, welche der Bedingung x2 + y2 < n2

genugen.

3 Man teile die Anzahl k der gefundenen Punkte durch diegesamte Anzahl der Punkte und multipliziere das Ergebnis mit4.

π ≈ pn =k

(2n + 1)24

n. Jedem Punkt

genugen.

π ≈ pn =k

(2n + 1)24

n. Jedem Punkt

genugen.

π ≈ pn =k

(2n + 1)24

n. Jedem Punkt

genugen.

π ≈ pn =k

(2n + 1)24

Weitere geometrische Definitionen

Volumen einer Kugel:

V =πr3

4V (r = 1)

Oberflache einer Kugel:

O = 4πr2

4O (r = 1)

Weitere geometrische Definitionen

Volumen einer Kugel:

V =πr3

4V (r = 1)

Oberflache einer Kugel:

O = 4πr2

4O (r = 1)

Zwei experimentelle Methoden

Monte-Carlo-Methode: Experimentelle Ermittlung von π durchwerfen von Pfeilen auf eine quadratische Zielscheibe mit einemeingeschriebenen Kreis. Alternativ: Wahl zweier Zufallszahlenzwischen −m und m (m ∈ N), Uberprufung der Bedingung(x/m)2 + (y/m)2 ≤ 1.

Die Buffonschen Nadeln: Eine Nadel der Lange n, geworfen aufDielenbretter der Breite b beruhrt oder schneidet einen Rand einesDielenbrettes mit der Wahrscheinlichkeit p = 2n

Zwei experimentelle Methoden

Monte-Carlo-Methode: Experimentelle Ermittlung von π durchwerfen von Pfeilen auf eine quadratische Zielscheibe mit einemeingeschriebenen Kreis. Alternativ: Wahl zweier Zufallszahlenzwischen −m und m (m ∈ N), Uberprufung der Bedingung(x/m)2 + (y/m)2 ≤ 1.

Die Buffonschen Nadeln: Eine Nadel der Lange n, geworfen aufDielenbretter der Breite b beruhrt oder schneidet einen Rand einesDielenbrettes mit der Wahrscheinlichkeit p = 2n

Weitere Definitionen

ist die kleinste positive Nullstelle von cos x fur 0 < x < 2.

Kettenbruchdarstellung:

π= 1 +

2 + 32

Integraldarstellung:

1 − x2 dx =π

π= 1 +

2 + 32

1 − x2 dx =π

π= 1 +

2 + 32

1 − x2 dx =π

Die arithmetische Quadratur

Vorgehen:

Einteilung des Radius eines Viertelkreises in n Intervalle derLange r

Berechnung der zu einem Intervallrand gehorigen y-Wertedurch den Satz des Pythagoras:

y2i = r2 −

Die Flache eines Rechtecks betragt dann A = yi · rn

Fur die Flache des Kreises gilt:

Vorgehen:

y2i = r2 −

Vorgehen:

y2i = r2 −

Vorgehen:

y2i = r2 −

n· (y1 + y2 + y3 + . . .)

An = 4 ·r

n2 − i2)

An = 4 ·r2

n2 − i2

An = r2 ·4

n2 − i2

n· (y1 + y2 + y3 + . . .)

An = 4 ·r

n2 − i2)

An = 4 ·r2

n2 − i2

An = r2 ·4

n2 − i2

n· (y1 + y2 + y3 + . . .)

An = 4 ·r

n2 − i2)

An = 4 ·r2

n2 − i2

An = r2 ·4

n2 − i2

n· (y1 + y2 + y3 + . . .)

An = 4 ·r

n2 − i2)

An = 4 ·r2

n2 − i2

An = r2 ·4

n2 − i2

n· (y1 + y2 + y3 + . . .)

An = 4 ·r

n2 − i2)

An = 4 ·r2

n2 − i2

An = r2 ·4

n2 − i2

Uberblick uber Naherungsmethoden

1 Altertum: Approximation durch experimentelle Methoden

2 Antike: geometrische Approximation

3 17. Jhdt.: analytische Approximaiton

4 20. Jhdt.: Hochleistungsalgorithmen

Geometrische Methode nach Archimedes

Es handelt sich um das erste systematische Verfahren, das erlaubt,sich dem Wert von π beliebig genau anzunahern.Vorgehen:

Einem Kreis mit Radius r = 1 wird ein Sechseckeinbeschrieben und ein weiteres umbeschrieben.

Durch herstellen von Beziehungen zwischenSeitenverhaltnissen gelangt Archimedes vom n-Eck zum2n-Eck.

Fur das umbeschriebene Polygon gilt: U2n = n · tan(α)Fur das einbeschriebene Polygon gilt: U2n = n · sin(α)

Um die Seitenanzahl zu verdoppeln, muss man die Formelnmit der Anzahl der Ecken multiplizieren und den Winkel αproportional verkleinern.Umbeschriebenes Polygon:

Un·2k = 2k · n · tan(

Einbeschriebenes Polygon:

Un·2k = 2k · n · sin(

Un·2k = 2k · n · tan(

Un·2k = 2k · n · sin(

Un·2k = 2k · n · tan(

Un·2k = 2k · n · sin(

Die Umfange mussen halbiert werden, da der Durchmesser indiesem Fall d = 2 ist.

Mit n = 6 kann man nun die Iteration ausfuhren.

Nach vier Iterationsschritten gelangte Archimedes zu derNaherung

71< π <

73, 1408 . . . < π < 3, 1428 . . .

71< π <

73, 1408 . . . < π < 3, 1428 . . .

71< π <

73, 1408 . . . < π < 3, 1428 . . .

π als unendliches Produkt nach Vieta

Francois Viete gibt 1593 als erster ein unendliches Produkt alsNaherung fur die Kreiszahl an.Vorgehen:

Es seien sn die Seitenlange und un der Umfang einesregelmaßigen, dem Einheitskreis einbeschriebenen 2 · 2n-Ecks.Fur den Umfang des Polygons gilt dann:

limn→∞

2un = π

Man kann zeigen: Fur die Seitenlange s2n gilt:

2 −√

4 − s2n

limn→∞

2un = π

2 −√

4 − s2n

limn→∞

2un = π

2 −√

4 − s2n

Die Umfange der Polygone sehen wie folgt aus:

”Zweieck“: u0 = 2 ·2

Quadrat: u1 = 4 ·√

Achteck: u2 = 8 ·√

2 −√

16-Eck: u3 = 16 ·√

2 −√

2 +√

32-Eck: u4 = 32 ·

2 −√

2 +√

Da der Umfang fur n −→∞ aus einer immer großerwerdenden Zweierpotenz und einem immer kleiner werdendemWurzelausdruck besteht, fuhrt dies bei der Berechnung durcheinen Computer zu Ausloschungseffekten.

Die Umfange der Polygone sehen wie folgt aus:

”Zweieck“: u0 = 2 ·2

Quadrat: u1 = 4 ·√

Achteck: u2 = 8 ·√

2 −√

16-Eck: u3 = 16 ·√

2 −√

2 +√

32-Eck: u4 = 32 ·

2 −√

2 +√

Da der Umfang fur n −→∞ aus einer immer großerwerdenden Zweierpotenz und einem immer kleiner werdendemWurzelausdruck besteht, fuhrt dies bei der Berechnung durcheinen Computer zu Ausloschungseffekten.

Man betrachtet stattdessen die Quotienten zweieraufeinanderfolgender Umfange:

2 +√

Das Produkt dieser Quotienten, multipliziert mit u0 = 2 heißt:

uk−1

= u0 ·u1

· . . . ·un

un−1

Man betrachtet stattdessen die Quotienten zweieraufeinanderfolgender Umfange:

2 +√

Das Produkt dieser Quotienten, multipliziert mit u0 = 2 heißt:

uk−1

= u0 ·u1

· . . . ·un

un−1

Das Unendliche Produkt von Vieta ergibt sich nun, wenn mandieses Produkt gegen unendlich streben laßt:

limn→∞

uk−1

2· 2 · 2 ·

2 +√

· . . . = π

Diese Schreibweise fur π vermeidet bei Berechnung mittelsComputer den Ausloschungseffekt.

Arcustangensreihe von Gregory

Nach der Entstehung der Differential- und Integralrechnung(unabhangig von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibnizvorgelegt) entdeckte James Gregory (1638 − 1675), dass die Flacheunter dem Graphen von f(x) = 1

1+x2 zwischen 0 und x den Wertarctanx besitzt. Das heißt:

(arctanx)′ =1

1 + x2

1 − (−x2)

∞∑

(−x2)i

= 1 − x2 + x4 − x6 + − . . .

Nach der Entstehung der Differential- und Integralrechnung(unabhangig von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibnizvorgelegt) entdeckte James Gregory (1638 − 1675), dass die Flacheunter dem Graphen von f(x) = 1

1+x2 zwischen 0 und x den Wertarctanx besitzt. Das heißt:

(arctanx)′ =1

1 + x2

1 − (−x2)

∞∑

(−x2)i

= 1 − x2 + x4 − x6 + − . . .

Durch Integration der einzelnen Summenglieder erhalt man dieGregory-Reihe:

arctanx = x −x3

9− + . . . =

∞∑

(−1)kx2k+1

2k + 1

Da tan π4

= 1, gilt arctan 1 = π4.

arctan 1 = x −1

9− + . . .

Allerdings konvergiert die Reihe fur x = 1 sehr langsam gegen π4.

arctanx = x −x3

9− + . . . =

∞∑

(−1)kx2k+1

2k + 1

Da tan π4

arctan 1 = x −1

9− + . . .

arctanx = x −x3

9− + . . . =

∞∑

(−1)kx2k+1

2k + 1

Da tan π4

arctan 1 = x −1

9− + . . .

arctanx = x −x3

9− + . . . =

∞∑

(−1)kx2k+1

2k + 1

Da tan π4

arctan 1 = x −1

9− + . . .

Arcustangens-Formel von Machin

John Machin fand 1706 eine Zerlegung der Formel Gregorys,welche wesentlich schneller konvergiert und zur Grundlage allerweiterer Berechnungen wurde.Vorgehen:

Sei arctan 15

= α. Dann gilt: tanα = 15.

Additionstheorem: tan (α + β) = tan α+tan β1−tan α·tan β

tan 2α = tan(α + α) = 2 · tanα1 − tan2 α

=2 · 1

1 − 125

tan 4α = tan(2α + 2α) = 2 · tan 2α1 − tan2 2α

=2 · 5

1 − 25144

= 120119

Sei arctan 15

=2 · 1

1 − 125

=2 · 5

1 − 25144

= 120119

Sei arctan 15

=2 · 1

1 − 125

=2 · 5

1 − 25144

= 120119

4α − π4

= 1239

=⇒ arctan 1239

= 4α − π4

arctan1

239= 4α −

arctan1

4= 4α

π = 4 ·[

4α − arctan1

π = 4 ·[

4 arctan1

5− arctan

4α − π4

= 1239

=⇒ arctan 1239

= 4α − π4

arctan1

239= 4α −

arctan1

4= 4α

π = 4 ·[

4α − arctan1

π = 4 ·[

4 arctan1

5− arctan

Hochleistungsalgorithmen

Durch die Entwicklung von Hochleistungsformeln, sowie dieEntwicklung von Methoden zur schnellen Multiplikation und durchdie Leistungsexplosion der Computer ist es moglich geworden, eineBillion Nachkommastellen von π zu berechnen. Der Wegbereiterwar der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan, auf dessenErrungenschaften sich die Formeln der Gebruder Chudnovsky undjene der Gebruder Borwein stutzen.

π = 9801√8

∑∞n=0

(4n)!(1103+26390n)(n!)43964n

Ramanujan, 1914

Durch die Entwicklung von Hochleistungsformeln, sowie dieEntwicklung von Methoden zur schnellen Multiplikation und durchdie Leistungsexplosion der Computer ist es moglich geworden, eineBillion Nachkommastellen von π zu berechnen. Der Wegbereiterwar der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan, auf dessenErrungenschaften sich die Formeln der Gebruder Chudnovsky undjene der Gebruder Borwein stutzen.

π = 9801√8

∑∞n=0

(4n)!(1103+26390n)(n!)43964n

Ramanujan, 1914

Reihenformel exakte Dezimalen pro Schritt

Ramanujan, 1914 8

J. und P. Borwein, 1989 25

G. und D. Chudnovsky, 1994 14

Algorithmus Vervielfachung exakter Dezimalen

Brent, Salamin, 1976 Verdoppelung

J. und P. Borwein, 1985 Vervierfachung

bisherige Berechnungsrekorde

Name Jahr exakte Dezimalen

Guilloud, Bouyer 1973 1 001 259

Gosper 1985 17 526 200

Bailey 1986 29 360 111

Chudnovsky Aug. 1989 1 011 196 691

Kanada, Takahashi Apr. 1999 68 719 470 000

Kanada heute 1, 2 Billionen

π ist nicht rational. Adrien Marie Legendre bewies 1794, dassπ2 irrational ist, und daher auch π.

π ist nicht mit Zirkel und Lineal darstellbar. Aquivalentdazu kann man sagen: π ist nicht durch einen algebraischenAusdruck, welcher Addition, Subtraktion, Multiplikation,Division oder Quadratwurzelziehen beinhaltet, darstellbar.

π ist nicht algebraisch. Das heißt, es gibt keine algebraischeGleichung der Form

anxn + . . . + a2x2 + a1x

1 + a0 = 0

(n endlich, ai rational, wobei i = 1 . . . n), welche π alsNullstelle hat. Nicht algebraische Zahlen heißen transzendent .

anxn + . . . + a2x2 + a1x

1 + a0 = 0

anxn + . . . + a2x2 + a1x

1 + a0 = 0

Transzendenz

Die Losung der Gleichung X2 − 2 = 0 ist√

2. Somit ist√

2algebraisch.

Auch Summen, Produkte und Quotienten algebraischer Zahlenalgebraisch. Somit ist jede endliche Konstruktion, die vonalgebraischen Zahlen und Wurzelzeichen ausgeht, algebraisch undkann mit Zirkel und Lineal dargestellt werden.

Die Zahlen π und e gehoren jedoch nicht zu dieser Zahlenmenge.Den Beweis der Transzendenz von π erbrachte 1882 FerdinandLindemann. Die Menge der transzendenten Zahlen istuberabzahlbar.

Transzendenz

2. Somit ist√

2algebraisch.

Transzendenz

2. Somit ist√

2algebraisch.

Normalitat

Bisher ist noch unbekannt, ob die Dezimalen von π irgendwelchenRegeln folgen. Das heißt, man weiß nicht, ob

bestimmte Ziffern ab einer gewissen Stelle gar nicht mehrvorkommen, bzw. nur noch bestimmte Ziffern auftauchen,

die Haufigkeit der Nullen gegen 100 Prozent geht, das heißt,die anderen Ziffern immer seltener vorkommen,

sich ab einer gewissen Stelle eine Ziffernfolge sehr oftwiederholt (z. B. 1000 Mal), bevor eine Anderung eintritt,

die Dezimalen von π irgendeinem anderen Prinzip gehorchen.

Es wird vermutet, dass π normal ist, d. h. ob die Ziffern 0 bis 9,aber auch alle Folgen aus beliebig vielen Ziffern (z. B. 000, 001,002, . . . ,998, 999) statistisch gleich verteilt sind. Einen Beweisdafur gibt es jedoch noch nicht.

Normalitat

Bisher ist noch unbekannt, ob die Dezimalen von π irgendwelchenRegeln folgen. Das heißt, man weiß nicht, ob

bestimmte Ziffern ab einer gewissen Stelle gar nicht mehrvorkommen, bzw. nur noch bestimmte Ziffern auftauchen,

die Haufigkeit der Nullen gegen 100 Prozent geht, das heißt,die anderen Ziffern immer seltener vorkommen,

sich ab einer gewissen Stelle eine Ziffernfolge sehr oftwiederholt (z. B. 1000 Mal), bevor eine Anderung eintritt,

die Dezimalen von π irgendeinem anderen Prinzip gehorchen.

Es wird vermutet, dass π normal ist, d. h. ob die Ziffern 0 bis 9,aber auch alle Folgen aus beliebig vielen Ziffern (z. B. 000, 001,002, . . . ,998, 999) statistisch gleich verteilt sind. Einen Beweisdafur gibt es jedoch noch nicht.

Edward Johnston Goodwin gelingt es 1897 beinahe, im StaatIndiana fur π die Werte π = 4, π = 3, 1604, π = 3, 2 undπ = 2, 32 gesetzlich festzuankern.

Der Versuch der Kreisquadratur beschaftigte die Menschheitso lange, dass das dringende Verlangen, den Kreis zuquadrieren einen medizinischen Fachausdruck erhielt. DieKrankheit heißt Morbus cyclometricus .

Das Memorieren der Nachkommastellen von π ist zum Sportgeworden. Der Weltrekord liegt momentan bei 100 000 Stellen(Akira Haraguchi).

Laut Yasumasa Kanada wiederholt sich die Ziffernfolge314159265358 an der 1 142 905 318 634-tenNachkommastelle von π.

Literatur

Delahaye, Jean-Paul: π - Die Story , Basel, Boston, Berlin:Birkhauser, 1999.

Arndt, Jorg, Haenel, Christoph: π. Algorithmen, Computer,

Arithmetik , Berlin, Heidelberg: Springer, 2000.

Berggren, Lennart, Borwein, Jonathan, Borwein, Peter: π: A

Source Book , New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 1997.

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