Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a

ικά Κατεύθυνσης

Γ Λυκείου

4ο ΓΛΧ

2015 - 2016

M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά

[Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών

Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών

Μέρος Α: Συναρτήσεις - Όρια – Συνέχεια Έκδοση 15.07

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd

Χανιά 2015

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου –Μ

ΣΥΝΑΡΤΗΣ

1 ΤΥΠ

1.01 Έσ

A) Βρ

B) Λύ

Γ) Λύ

Δ) Να

2

1f

2συν x

1.02 Αν

f x f x

1.03 Δίν

Δείξτε ότι f

1.04 Δίν

το R με f x

f x f 1 x

1f f

2004

1.05 Να

λ 2y x

λ

Α) πα

Β) κά

Γ) να

Δ) να

Ε) να

Στ) να

Μαθηματικά Θ

ΣΕΙΣ

ΥΠΟΣ ΣΥΝΑ

στω η συνάρτ

ρείτε το πεδίο

ύστε την εξίσ

ύστε την ανίσ

α δείξετε ότι

f( 2 )1

ν f x x

1

νεται η συνά

x y f x


x

x

4x

4 2

. Ν

x και το :

2...f

2004

α προσδιορισ

3 2 λ

λ

να

αράλληλη στη

άθετη στην y

α διέρχεται απ

α είναι κατακ

α είναι οριζόν

α σχηματίζει γ

Θετικών Σπουδ

ΑΡΤΗΣΗΣ

τηση f(x)

ο ορισμού τη

σωση f x 1

σωση f x

1fσυνx

2x 1 . Να α

άρτηση f x

y 2f x f

άρτηση f με

Να υπολογίσ

2002 2f

2004 2

στεί ο λ ώστ

α είναι:

ην 2y x

4x 1

πό το σημείο

κόρυφη

ντια

γωνία 135ο- μ

δών

Σ

2

1n 1

x

ς

0

0

αποδείξετε ό

x x1α α

2

y , x, y R

πεδίο ορισμο

σετε το

003004

τε η ευθεία

5

ο 3, 1

με τον x΄x

ότι

x .

R

ού

1.

συ

1.

v

λί

κα

απ

1.

χω

κα

τη

εί

1.

τμ

κα

άθ

συ

τμ

1.

σ

συ

τη

πε

εμ

γρ

απ

γι

τρ

1

.06 Να β

υνάρτηση η

.07 Ένα

v km/h, κατ

ίτρα καύσιμα

αυσίμων που

πόσταση 100

.08 Ένα

ωρητικότητα

ατασκευής το

ης βάσης του

ίναι 0, 02 eu

.09 Ένα

μήματα με τα

αι ένα τετράγ

θροισμα των

υναρτήσει το

μήματα

.10 Στο

σχήμα να βρε

υναρτήσει το

η συνάρτηση

εριγράφει το

μβαδόν της

ραμμοσκιασμ

πό τη ΔΕ κα

ια τις διάφορ

ρίγωνο ΑΒΓ

η BE x κ

βρεθεί o λ

2

2

xf x

x

όχημα όταν

ταναλώνει τη

α. Να βρείτε

υ χρειάζεται

00 km με στα

κυλινδρικό

α 1 lt. Να εκφ

ου δοχείου σ

υ, αν το κόστο

ro

σύρμα μήκο

α οποία σχημ

γωνο αντιστο

ν εμβαδών τω

ου μήκους x

διπλανό

είτε

ου x ,

που

ο

μένης περιοχ

αι τις πλευρέ

ρες θέσεις του

είναι ισόπλε

και ΔΕ ΒΕ

R ώστε να ε

2x 5, x λ

4, 2-λ

ν ταξιδεύει μ

ην ώρα 6 0,

ε τη συνολική

για να διανύ

αθερή ταχύτη

δοχείο έχει

φράσετε το κ

συναρτήσει τη

ος του ενός c

ους 10 κόβετ

ματίζουμε έν

οιχα. Να εκφ

ων δύο σχημά

του ενός απ

χής που δημι

ές του τριγών

υ E πάνω στ

λευρο με μήκο

Ε

3

είναι

2λ 3λ 2

x

με ταχύτητα

3,0001v

ή ποσότητα

ύσει

ητα v

κόστος

ης ακτίνας

3cm μετάλου

ται σε δύο

ναν κύκλο

φράσετε το

άτων

πό τα δύο

ιουργείται

νου ΑΒΓ

τη BΓ . Το

ος πλευράς

3

υ

4

http://users.s

1.11 Nα

της συνάρτη

πλήθος των

1.12 Να

των παρακά

f x x

1k x

x

1.13 Να

των συναρτή

f(x) ln( x)

k(x) ln x

1.14 Nα

συναρτήσεις

Β) t(x

1.19 Για

2f x 2f x

fC δεν τέμν

1.20 Να

είναι πάνω α

Α) xf x 4

Β) f(x

1.21 Έσ

οποίες ισχύε

Να βρεθεί η

sch.gr/mipap

α σχεδιάσετε

ησης f(x) ln

ριζών της εξί


άτω συναρτή

g x

1m x

x


ήσεων

), x 0

m(x)

α παραστήσε

ς Α) f(x)

x) 2 ημ 2

α τη συνάρτη

2 x x 1

ει τον άξονα

α βρεθούν τα

από τη gC ό

x x 12

2x x)

1 2x

στω οι συναρ

ει f x 9

σχετική θέση

pagr

τη γραφική

n x και να β

ίσωσης f x

τις γραφικές

ήσεων

x 1

1 n x

τις γραφικές

g(x) ln(

ln x t(

ετε γραφικά τ

ημx ημx

x π Γ)

ηση f : R R

1 , x R . Ν

α x x

α διαστήματ

όταν:

και g x

αν x 0 αν x<0

κα

ρτήσεις f,g : R

2g x x για

η των fC , C

Γραφ

παράσταση

βρείτε το

610

ς παραστάσε

h x 1

1x 1

ς παραστάσε

x), x 0

x) ln x

τις

, π

x 0,2

2f(x) συν x

Κ

R ισχύει ότι

Να δείξετε ότι

α όπου η fC

x 22 8

ι g(x) x 2

R R για τι

α κάθε x R

g

φική Παράσ

εις

x

εις

x

1.

τω

Α

Β)

1.

τύ

το

1.

τι

g

1.

συ

Κοινά Σημε

ι η

2

ις

.

1.

οπ

x

δύ

1.

να

Ν

το

τα

1.

h

Δε

σταση

.15 Να σ

ων συναρτήσ

Α) f x

) g(x)

.16 Να β

ύπο της συνά

ου σχήματος

.17 Να π

ις παρακάτω

ln xx e

.18 Να π

υνάρτήσεις f

g(x)

εία

.22 Έστω

ποία ισχύει ό

R . Να δείξ

ύο τουλάχιστ

.23 Έστω

α ισχύει f(x)

Να βρεθεί ο κ

ους, να τέμνο

α διαστήματα

.24 Για

3 2h x h x

είξτε ότι h x

ΣΥΝΑΡΤ

σχεδιάσετε τι

σεων:

2x x

x

2

e , ) lnx , 0

x 1 ,

βρείτε τον

άρτησης

ς

παραστήσετε


2h x x

παραστήσετε

f x συν

) π συν x

ω η συνάρτη

ότι 2f x 2

ξετε ότι η fC

τον σημεία

ω οι συναρτή

2g(x) x

κ ώστε οι γρα

ονται στην ευ

α όπου η fC

τη συνάρτησ

22h x x

x 0 για κά

2

ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ

ις γραφικές π

x 00<x e

x e

ε γραφικά κά

ς:

2 f x

ε γραφικά τις

x π

x π

ση f : R R

f 3x 0 γ

f τέμνει τον ά

ήσεις f,g : R

κ κάθε x R

αφικές παρα

υθεία x 1

είναι πάνω

ση h : R R

2 x 2 για κ

άθε x R

4 2

2 2

4

2

O

y

Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

παραστάσεις

άθε μια από

xln e

ς

R για την

για κάθε

άξονα x x σε

R , ώστε

R , κ R .

αστάσεις

καθώς και

από την gC


κάθε x R .

9 6

y=f (x)

ς

ε

x


1.25 Βρ

συναρτήσεω

xg(x)

x x-3

h(x) x

1 x

1.26 Βρ


2 xf x

2ημx

t x2συν

e

r x2x

p(x) xe -

1.27 Βρ

2f(x) αx

1.30 Βρ


Β) f

Γ) f

1.31 Βρ


Β) f

1.32 Βρ


2x 2f(x)

x 1


ρείτε τα πεδία

ων f x x l

x 1

3x+2 x

2

x 2

1 x

ρείτε τα πεδία

ων

x1

2

1

x 5συνx

xe

1 ln x

,

- 1 + 1 - lnx

ρείτε το πεδίο

αx , α 0

ρείτε τα σύνο

ων: Α) f x

x 3ln 1

2x x 4x


ων: Α) f x

2

6x

x 4


ων:

2 αν 2 x1 αν 3 x


α ορισμού τω

2ln x φ(x)

t(x) x

k(x)(x -

α ορισμού τω

g x

3 φ(x)

m x

x q x

ο ορισμού τη

λα τιμών των

1 xe 3

2x 1 , x

3


x 1x 1

x

2 x


x 3x 5

, g(x)

δών

Πε

ων

2) x x

1

2 x 1

24 - x

1) x 1

ων

2εφxημx ημ2

2

2x 2x

x 1)

e e

1x ln x

x 1

2ln 1 x

ς συνάρτηση

Σύ

ν

x 1, 2

2, 1 /2

ν

2,5

, 2

ν

3 2 x 1

εδίο ορισμ

2x

ης

1.

συ

f

k

t

p

1.

συ

k

r(

m

r

ύνολο Τιμώ

1

συ

f(

r

1

πα

πλ

Α

Β)

Γ)

Δ

Ε)

μου

.28 Βρεί

υναρτήσεων

2

x

xx

9 4.3

k(x) 2συ

1x ln

x 1

3p(x) x x

.29 Βρεί


2

2x

x 1k(x)

e e

2x x(x)

x x

m x ln(x

x ln x

ών

.33 Βρεί


(x) 1log

x

2x x 4x

.34 Στο

αράσταση τη

λήθος των ρι

Α) f x

) f x

) f x

) f x

) f x

ίτε τα πεδία ο

x 1

x 1

3 27

υνx 1

x

2

ίτε τα πεδία ο

2x

1

,

2

2

x

,

1)

2x 1 , t

ίτε τα σύνολα

1

, g x

3 αν x

σχήμα φαίν

ης συνάρτηση

ιζών των εξισ

2

0

1

2

α, α 3,3

ορισμού των

x

1h x

4

xm(x) (e

1r x l

x 1

1

lnxq x x

ορισμού των

xt x

x 1

3

k x2x 4

f(x) xe -

1t x

εφx 1

α τιμών των

x

x 1

5 e

5 e

t(

2, 5

νεται η γραφ

ης y f x .

σώσεων:

3

5

ν

2x

1)ln(x 1)

ln x

ν

ln x

x 2

4 x 1

1 + 1 - lnx

1, x 0,2π

2

2

x 2xx)

x 4

ική

Να βρείτε το

5

ο

6

http://users.s

1.35 Δίν

Α) Να


2

1x - 1

f (x)x - 1

3f (x) x

x5f x ln e

Β) Βρείτε τ

οποίο οι παρ

1.36 Να


1.37 Eξε

f x 1

1.42 Βρ

f(x

1.43 Να

αν f(x) 2

1.44 Για

ότι 2g x f

δείξετε ότι η

1.45 Nα

που ικανοπο

1.46 Nα

2 2f g (x)

sch.gr/mipap


α εξετάσετε π

ς είναι ίσες μ

1 2f (x)

2 1 4f (x)

1 6f (x)

το ευρύτερο

ραπάνω συνα

α εξετάσετε α

ς 1 σ

f(x)ημ

ετάστε αν είν

x2 2 1

ρείτε τις συνα

x) 4 |x|]

α βρεθούν οι

2x 1, x 2

x , x 2

α τις συναρτή

2 x 2f x

gC τέμνει το

α βρείτε όλες

οιούν την σχ

α αποδείξετε

2 f g (x)

pagr

άρτηση f(x)

ποιες από τις

με τη συνάρτη

3

2

x 1

x - x 1

1x 1

x

ln(x 1)e

υποσύνολο

αρτήσεις είν

αν είναι ίσες

συνxμx

και g(x

ναι ίσες οι συ

x1

και g x

αρτήσεις f

] και g(x)

ι συναρτήσει

και g x

ήσεις f ,g : R

2x 3 , x

ον θετικό ημι

ς τις συναρτή

χέση: 2f x

ότι f g , α

) 2 για κάθ

Ισότητ

x 1 .

παρακάτω

ηση f .

του R στο

αι όλες ίσες.

οι

ημxx)

1 συνx

υναρτήσεις

x 0

Πράξε

g ,και gf

ότα

x 1

ς f g ,και gf

lnx, 0 x-2x 3, x 3

R ισχύει

R . Να

άξονα Oy

ήσεις f : R

2x 1 , x

αν ισχύει ότι

ε x R

τα Συναρτ

x

1.

f(

1.

συ

Α

Β)

1.

συ

1.

f(

εις Συναρτ

αν

gf

33

R

R

ι

1.

οπ

1.

πο

1.

αύ

ισ

1.

αν

2f

1.

συ

ότ

τήσεων

.38 Eξετ

2(x) x x

.39 Να ε

υναρτήσεις σ

Α) f(x) x

) f(x) 1

lnx

.40 Να β

υναρτήσεις f

.41 Eξετ

(x) 1

ln 2x

τήσεων

.47 Βρεί

ποίες ισχύει ό

.48 Βρεί

ου ικανοποιο

.49 Να π

ύξουσες συνα

σχύει ότι 2f (x

.50 Να β

ν για κάθε x

2 2x g x

.51 Να β


τι f x 1

ΣΥΝΑΡΤ

άστε αν είνα

1 και g(x)

εξετάσετε αν

στις παρακά

2x 1 και g

12

x

και g

βρεθεί ο R

3

2

x 3(x)

x x

άστε αν είνα

2

και g x

ίτε τις συναρτ

ότι 2f x 4

ίτε όλες τις συ

ούν την σχέσ

προσδιορίσετ

αρτήσεις f : R

2x) x 1

βρείτε τις συν

R ισχύει ό

1 2 x

βρείτε τις συν

f : R R αν

f x 2 0


αι ίσες οι συν

2

1)

x x 1

ν είναι ίσες οι

άτω περιπτώσ

2

1g(x)

x x

x ln 1 2

R ώστε να εί

3x 4

x 4

και g

αι ίσες οι συν

ln 1 2x

ρτήσεις f : R

x x4e f x e


ση: f x x

ετε όλες τις γν

R R για τι

για κάθε x

ναρτήσεις f,

ότι

f x x

ναρτήσεις τι



ναρτήσεις

1

ι

σεις.

2

1

1

2x ln x

ίναι ίσες οι

g(x) x 1

ναρτήσεις

ln x

R για τις

, x R

f : R R

, x R

νήσια

ις οποίες

x R

,g : R R

g x

ις

R ισχύει


1.52 Nα

οι συναρτήσ

g(x) ln x

1.53 Για

x f(x) f( x)

ότι η f είνα

1.54 ** Δ

οποία ισχύει

x, y R . Να

Β) η f

Γ) f

1.55 Η

και ισχύει ό

Να βρείτε τ

1.61 Ν

σύνθεση δύο


f(x) ln(1

f(x) ln(x

2f(x) ln x

1.62 Ν

Α) f(x)

Β) f(x) xx

1.63 Αν

ορίσετε τις σ


α εξετάσετε α

σεις

2x 1 ,

α τη συνάρτη

2 2f( x)

αι περιττή κα

Δίνεται η συ

ι f(x y) f(x


f είναι άρτια

x f(x) για

συνάρτηση f

ότι 2f x x

ον τύπο της

α εκφράσετε

ο ή περισσοτ

ων, αν:

ημx)

21) ln x

2 21 ln x

α οριστεί η σ

1 x και g(

x 1 xx 1 x

ν f x 1



αν είναι άρτι

,

2x f(x)2x

ηση f : R R

0, x R . Ν

ι να βρείτε τ

νάρτηση f : R

x y) 2f(x)

ότι: Α) f 0

α

κάθε x R

f : R R εί

2 2x για

ε τη συνάρτη

τέρων (μη τα

f(x)

f(x)

3 f(x


(x) ln x

(0,2)[2, 4)

, g(x)

2x , g x

f g και g

δών

Άρ

ες ή περιττές

x 3 x 0 3 x 0x 3 x 0

ισχύει ότι

Να αποδείξετ

ον τύπο της.

R R για τη

f(y) για κάθ

0

ναι περιττή

κάθε x R .

Σύνθε

ση f ως

αυτοτικών)

) συν 1 x

4) ημ (3x 5

x) x

f g αν

) x 1

3 x 2 να

f

ρτιες Περιτ

ς

τε

ην

θε

1.

ιδ

g

ότ

1.

δε

1.

εί

f(

1.

η

1.

A

πε

f

ση Συναρτ

2x

5)

1.

g

(f

1.

h

1.

σε

Α

Β)

Γ)

ττές

.56 Δύο

διότητες: 2f

2 x g x

τι η f είναι ά

.57 Αν ι

είξετε ότι η f

.58 Να δ

ίναι άρτια κα

(x) 0

.59 Δείξ

συνάρτηση

.60 Δίνο

f gA A R

εριττές τότε η

/g , ( g(x) 0

τήσεων

.64 Αν f

(x) x1e

2

f g)(x) (g

.65 Βρεί

h με h(x) f(

.66 Να β

ε κάθε μια απ

Α) Αν f

) Αν (

) Αν (


x f x f

g x για κ

άρτια και η g

ισχύει f(x y)

είναι περιτ

δείξετε ότι αν

αι περιττή τό

τε ότι για κά

g(x) f(x) +

ονται οι συνα

Να αποδείξε

η f g είναι

0 ) είναι άρτι

f(x) ln(x

xe να απ

f)(x) x ,

ίτε το πεδίο ο

2(x 4) f(x

βρεθεί ο τύπο

πό τις περιπτ

f ln(2x) x

2(f g)(x) x

(g f)(x) συ

ς f ,g : R R

x και

κάθε x R . Ν

g περιττή

) f(x) f(y) ,

ττή

ν η συνάρτησ

ότε για κάθε

άθε συνάρτη

+ f( x) είναι

αρτήσεις f,g

ετε ότι: Αν οι

ι περιττή ενώ

ιες

2x 1) και

ποδείξετε ότι

x R

ορισμού της σ

1) αν fD

ος μιας συνά

τώσεις:

x 3 , x e

2 x 1 και

2υν x και g(x

7

R έχουν τις

Να δείξετε

x,y R να

ση f : R R

x είναι

ση f : R R

άρτια

με

ι f,g είναι

ώ οι f g ,

ι

συνάρτησης

[0, 5)

άρτησης f

,

g(x) x 1

2x) x

7

R

8

http://users.sc

1.67 Ν

συνάρτηση

(1 x)f(x 1

1.68 Έσ

gg : A R

A) Αν η f ε

B) Αν η f ε

περιοδική μ

1.69 Δε

να ικανοπο

1.70 Bρ

ισχύει ότι f

1.71 Ν

2f x x x

1.72 Αν


1.73 Αν

x R τότε ν

1.74 Ν

Α) Αν

Β) Αν

1.75 Αν

ισχύει: f f

1.76 Έσ

οποία ισχύε


τουλάχιστον

ch.gr/mipapag

α προσδιορι

f : R R αν

1) f(1 x) x

στω συναρτή

με ff A A

είναι άρτια, τ

είναι περιοδι

με την ίδια πε

ειξτε ότι δεν

οιεί τη σχέση

ρείτε τη συνά

xln x f

e

α βρείτε τη σ

2 1 f x 1

ν 2f f(x) e

η f παίρνει

ν ισχύει ότι

να υπολογίσ

α προσδιορι

ν (1 x)f(x

ν ισχύει 2f(x

ν f(x) αx2

f (x) x για

στω η συνάρ

ει ότι f f(x)

ότι η εξίσωσ

ν ρίζα

r

ισθεί ο τύπος


x 1 , x R

ήσεις ff : A

gA . Να απο

τότε η gof ε

ική, τότε και

ερίοδο.

υπάρχει συν

f(x) f(2 x

άρτησης f : 0

f x 1 για κ


1 x για κάθ

2x για κάθε

την τιμή 201

f f (x) 2x

ετε το f 1

ισθεί ο τύπος

1) f(1 x)

21x) f x

x

3x

να βρεθ

κάθε x 2

τηση f : R

2x 1 , x

ση f x 1 έχ

ς της

R

R ,

δειχτεί ότι:

είναι άρτια.

η g f είναι

νάρτηση που

) x , x R

0, R α

κάθε x 0 .

f αν ισχύει ό

θε x R

x R , να

14

x 1 για κάθ

ς της f :

x 1 , x R

2 , x R *

εί ο α R , α

R για την

x R . Να

χει μια

ι

R

αν

ότι

θε

R

αν

1.

f(

f(

1.

f(

f(

να

1.

αν

f

1.

οπ

δε

το

1.

τη

τέ

x

x

f(

1.

ότ

κα

1.

f

γι

.77 Να β

(2004) 1 κα

20(x)f(y) f

.78 Για τ

(x y) f(x)

f(x) 1(x) e κ

α βρείτε την

.79 Να β


x f y f

.80 Έστω


είξετε ότι η C

ουλάχιστον σ

.81 ** Έσ

ην οποία υπά

έτοιοι ώστε α

,1 κα

0, . A

(x)

.82 Για

τι f x f

αι f 1 0 . Ν

.83 Να π

: R 0 R

ια κάθε x R

ΣΥΝΑΡΤ

βρεθεί συνάρ

αι για κάθε x

004 2004f

x y

τησυνάρτηση

f(y) 1e x, y

και 1f(x) e

f

βρεθούν οι σ

, y R ισχύε

xy x y


ότι 2f x 2

fC τέμνει τον

σημεία.

στω f : R R

άρχουν α ,β

αf(x) βf( x)

αι αf(x) βf(

Aν f(3) 4, f

(ww


xy ln

y

γ


προσδιορίσετ

R τέτοιες ώστ

R 0


ρτηση *f : R

x, y 0 ισχύε

2f(xy)

,

η *f : R R

R .Να αποδ

f( x) για κάθ


ύει ότι

xy

ση f : R R

f 3x 0 ,

ν x x σε δύο

R μία συνάρ

πραγματικο

) x 3 για

x) x 3 γι

f( 3) 2 , να

ww.mathem

ση f : 0,

για κάθε x, y

ετε ότι f x

ετε όλες τις συ

τε 1f x

x


*R αν

ει

ισχύει ότι

δείξετε ότι

θε x R και

f : R R

R για την

x R . Να

ρτηση για

οί αριθμοί

α κάθε

ια κάθε


matica.gr)

R ισχύει

y 0,

ln x , x 0

υναρτήσεις

1f x

x


ΜΟ1.84 Ν


f(x) 5

t x x 1

r(x) x 3x 2

1.85 Βρ

k x ln x

1.86 Έσ

γνησίως αύξ

είναι γνησίω

1.87 Α)

να αποδειχθ

Β) Ν

1.88 N

Α) ln

1.89 Γι

52f (x) f x

Α) Απ

Β) Ν

1.90 Ν

xf x 2 x

λύσετε την α


ΟΝΟα αποδείξετε

ων

5 x

31 2

32

φ(x)

ρείτε τη μονο

, g(x) xx


ξουσα. Δείξτ

ως φθίνουσα

) Αν f x

θεί ότι η f εί

α λυθεί η αν

α λύσετε τις

n x 1 x

ια τη συνάρτ

3x για κά

ποδείξτε ότι



x . είναι γνη

ανίσωση 3x2


ΟΤΟε τη μονοτον

eg x ln

e

m x e

) ln x α

1 2x α

οτονία των σ

2x 1x 1

m

τηση f : 0,

τε ότι η g x

α στο 0,

x x3 45 5

ίναι γν. φθίν

νίσωση x3 4

ανισώσεις:

Β) xe

ηση f : R R

άθε x R .

η f είναι γν

νίσωση 2f x

ε ότι η συνάρ

ησίως αύξουσ

2x x 6 2x2

δών

ΟΝΙΑνία των

x

x

e 1

e 1

4 x 3

αν 0 x 2αν x 2

συναρτήσεων

x ln x

0,

1 1

ff x x

1 , x R τό

νουσα.

x x4 5 .

1 x1 x


νήσια αύξουσ

x 1 1

ρτηση

σα και να

2x 5x 6

Α

2

ν

x

ότε

ι:

σα

1.

εί

εξ

1.

ιδ

Επ

δε

1.

ορ

g

φ

1.

φ

δε

1.

συ

ιδ

1.

κα

να

1.

τη

ότ

.91 Δίνε

ίναι γνήσια α

ξίσωση f x

.92 Η συ

διότητα f x

πιπλέον ισχύ

είξετε ότι η f

.93 Έστω

ρισμού το α

g x f x ,

θίνουσα. Δεί

.94 Αν

θίνουσα στο

είξετε ότι f(x

.95 Να α

υνάρτηση f :

διότητα 22f (x

.96 * Η σ

αι για κάθε x


.97 Έστω

ην οποία ότι

τι η f είναι γ

εται ότι η συν

αύξουσα στο

2f x f


x-f y =f

y

ύει ότι «αν α

είναι γν. αύ

ω συναρτήσε

α,β , σύνολο

x α,β κα

ίξτε ότι f g(

f : R R πε

R με f(f(x )

x) x , x R

αποδειχθεί ό

: R R , γνή

2x ) 2xf(6x


x R ισχύει ό

ότι f(x) x ,

ω συνάρτηση

f xf x e

γνήσια αύξου

νάρτηση f ο

0, . Να

3x f x

: (0, ) R

για κάθε x,

α 1 τότε f

ύξουσα στο

εις f,g με κο

τιμών το α

αι η f είναι γ

(x) g f(x)

εριττή και γν

)) x για κά

R

ότι δεν υπάρχ

ήσια φθίνου

8) 4 3x,

f είναι γνησί

ότι: 2x 3f

f5

, για κάθε x

η f , ορισμέν

33 xx e , x

υσα και ότι

9

ορισμένη και

α λύσετε την

έχει την

y 0 .

α 0 ». Να

0,

οινό σύνολο

,β ώστε

γνήσια

x α,β

νησίως

άθε x R , να

χει

σα με την

x R

ίως αύξουσα

f(x)x

,

R

νη στο R για

R . Δείξτε

3f x x

9

ι

α

α

α

10

http://users.sc

1.98 Δί

είναι γνήσια

5 2f x x

1.99 Έσ

γνήσια μον

διέρχεται απ

Α) Ν

Β) Ν

και f 1 x

Δ) Ν

Πόσες ρίζες

1.100 Δί

Α) Ν

αύξουσα.

Β) Ν

3(3x 18)

1.101 Γι

f xf x 2e

Α) Απ

Β) Ν

συνάρτηση

Γ) Ν

Δ) Ν

1.102 Έσ

παίρνει θετι

312f x

f x

Α) Ν

φθίνουσα κ

Β) Λύ

5 3f x x

ch.gr/mipapag

ίνεται η συνά

α αύξουσα σ

2 1 f 1

στω συνάρτη

ότονη και η

πό τα σημεία



2


ς μπορεί να έ


α αποδειχθε


3(7x 12)


x 2 για


α μελετηθεί ω

g x x 2e

α υπολογίσε

α βρείτε το π


ικές τιμές κα

x 1 x για


και να βρείτε

ύστε την ανί

x 3 1

r

άρτηση f : R

στο R . Να λυ

2x x 2

ηση f : R R

γραφική της

α 1, 1 κα

ε ότι είναι γν

ανισώσεις f

ν εξίσωση f x

έχει η εξίσωση

άρτηση f x

ί ότι είναι γν

νίσωση

7x 12

7x 12

5

5 1

ηση f : R R

κάθε x R


ως προς τη μ

xe

ετε το f 1

πρόσημο της

ηση f ορισμ

αι ισχύει

α κάθε x R

ε ότι η f είνα

το f 0

ίσωση

R η οποί

υθεί η ανίσωσ

5x x

R , που είναι

ς παράσταση

αι 1,2


2x 1 1

2x 2 .

η f x 2014

3 xx 5

νησίως

3x 18

3x 18

5

5 1

.



μονοτονία η

f

μένη στο R ,

.

αι γνήσια

ία

ση

η

σα

4

1

.

ι

σα

1.

γν

δι

Α

Β)

κα

Δ)

Ε)

f

1.

μο

ισ

1.

h

Β)

ώ

x

Γ)

υπ

1.

συ

να

τη

σ

1.

τέ

Θ

h

φ

h

.103 Έστω

νήσια μονότο

ιέρχεται από

Α) Να α

) Να λ

αι f 1 x

) Να λ

) Πόσ

x 2014

.104 Να α

ονότονη συν

σχύει f f(x)

.105 Α) Ν

5 3h x x x

) Έστω

στε να ισχύε

R . Αποδεί

) Να λ

πολογίσετε τ

.106 Αν f

υνάρτηση το


ης συνάρτηση

στο 1,0 (m

.107 Έστω

έτοια ώστε f

Θεωρούμε τη

1 xh x

1 x

. N

θίνουσα στο

x 2xh e h e

ΣΥΝΑΡΤ


ονη και η γρ

τα σημεία

αποδείξετε ότ

λύσετε τις αν

2

λύσετε την εξ

σες ρίζες μπορ



3x 0 για


x , x R ε


ει 5 3f x f

ίξτε ότι η f ε


ο f 3

f : R R είν

υ σχήματος,

μονοτονία

ης g x f

mathematica


1f x 0

x

συνάρτηση g

Nα αποδείξε

1,1 και ν

11xh e


η f : R R ,

ραφική της π

1, 1 και

ότι είναι γνήσ

νισώσεις f 2x

ξίσωση 2f x

ρεί να έχει η

ότι δεν υπάρχ

R R για τη

κάθε x R .

τε ότι η συνά


ση f ορισμέν

x f x x


ξίσωση h x

ναι η

f(x)

.gr)

ση f : 0,

0 για κάθε x

g x f h(x

ετε ότι η h εί

να λύσετε τη

111xh e στο


που είναι

αράσταση

1,2

σια αύξουσα

x 1 1

2

εξίσωση

χει γνησίως

ην οποία

άρτηση

αύξουσα.

νη στο R

για κάθε

αύξουσα

3 και να

R

x 0 .

x) όπου

ίναι γνήσια

ην εξίσωση

ο 1,1


1.108 Ν

τις παρακάτ

g(x) 4 x

2r x x 4

x

φ x3x

1.109 Ν


Α) f

Β) f

1.110 Ν


Α) f

Β) f

1.111 Ν


Α) f

Β) f

1.112 Α)

Β. Έσ


παρουσιάζε

1.113 Έσ

Α) Ν

2

2f(xg(x)

1 f

Β) Ν



Ακρ


τω συναρτήσ

x 2 t(x)

4x 5 f : [

1 αν x1 αν x



x 1 2ln

: [ 1, 4) R



2x x 4x

2xx e 2e



xx 2e x

2xx e 2e

)Να δείξετε ό

στω f(x) 9

ότι f(x) 2 γ

ει ελάχιστο

στω f : R R


2

x)

(x) έχει μέγ


ς 2e

Φ(x)1 e


ρότατα

α ακρότατα κ

σεις

34 x 4x

1, 4) R με

22


σεις

x 1 , x 2

με f(x) 2x


σεις

5

x 3


σεις

2 xx 4 2e

xe 3

ότι1

x 2x

x9 80 9

για κάθε x

R συνάρτηση


γιστη τιμή το

μέγιστη τιμή

x

2x

e2013

e

δών

κάθε μιας απ

4x

ε f(x) 2x 1


2,3

1



x 5

αν x 0

x80 . Nα

R και ότι η

η με f(0) 1

ρτηση

1 .

ή της

πό

1

πό

πό

πό

α

f

1.

f(

1.

(

συ

έχ

1.

Α

Β)

1.

Α

Β)

α

1.

A

B)

f

Γ)

f

1.

Α

αύ

Β)

Γ)

5

Δ)

5

.114 Να β

2(x) x (λ

.115 Έστω

2(f(x) g(x

υνάρτηση h

χει μέγιστο το

.116 Αν f

Α) Να β

) Να λ

α) f

.117 Αν f

Α) Να β

) Να λ

α) f 2x

.118 Δίνε

A) Απο

) Να λ

3 3x f

2

) Να β

α β 1 f

.119 Δίνε

Α) Απο

ύξουσα στο π

) Δείξ

) Να λ

3 2x 2x 5

) Να λ

3 α β 1 e

βρεθεί ο λ

1)x 2 να έ

ω οι συναρτή

2) 1 για κ

x f x f

ο οποίο και ν

2f x x 6x

βρείτε το πρό


2x 3 0

2f x x 6x



x 3 0 β

εται η συνάρτ

οδείξτε ότι η

λυθεί η εξίσω

4 3x 3x

2

βρείτε τους α

2α β 1

εται η συνάρτ


πεδίο ορισμο

τε ότι η f πα

λύσετε την αν

22x 4x 10e 5


2α 2β 2 3e 5 α

R , ώστε η σ

έχει ελάχιστο

ήσεις f ,g : R

κάθε x R .

1 x g x

να βρεθεί (m

x 8 , x R ,τ

όσημο του f

νισώσεις

β) f f x

x 8 , x R ,τ

όσημο του f

νισώσεις

β) f f x

τηση f x

f έχει ελάχισ

ωση

6 0

α,β R ώστε

6 0

τηση f x

f είναι γνησ

ού της .

αρουσιάζει ελ

ανίσωση

3 25 x 4x 4

ξίσωση

2αα β 1 e

11

συνάρτηση

ο το 2

R ώστε

Δείξτε ότι η

g 1 x

mathematica)

τότε

x

x 2 0

τότε

x

x 2 0

2

2

x x 2

x x 1

στο το 3

ε να ισχύει

2x35 x e .

σίως

λάχιστο.

22x 8x 8e

α 2β 2 2 0

1

0

12

http://users.s

1.120 Να


Α) f

Γ) f

1.121 Δίν

την οποία ισ

x [1, ) . Ν

1.122 Έσ

1 1 . Αποδε

είναι 1 1 .

1.123 Αν

ιδιότητα f

δείξετε ότι ε

1.124 Να

συνάρτηση

1.125 Να


1.126 Δίν

Α) Nα

Β) Να

Γ) Να

1.127 Να

Α) x 1e ln

Γ) 2x xe

1.128 Nα

2log λ 1

sch.gr/mipap

α εξεταστεί π

ς, είναι 1 1

x 2 ln x 3

x x x 3


σχύει f(f(x))

Να δείξετε ότ

στω ότι η συν

είξτε ότι η η

ν η συνάρτησ

f x 3f x

είναι 1-1

α βρεθεί ο λ

f(x) 4

x λ

α αποδειχτεί

f αν ισχύει 6f


α μελετήσετε



α λύσετε τις ε

n x 2 x Β

2x 1 2e x


log 5λ 5

pagr

ποιες από τις

και ποιες όχ

3 Β) f x

x 4 2004

άρτηση f : [1,

22x 3x 2

τι η f είναι


3F x f x

ση f : R R

2003x 0 ,

R ώστε να

2x αν xλ 8 αν x

ότι δεν είνα

2 2f x f (x)

άρτηση f x

τη μονοτονί

εξίσωση 1

ανίσωση x

εξισώσεις .

Β) 7 5x 2x 3

x 1 Δ) x6

εξίσωση

45λ 5

Συ

παρακάτω

χι:

x 13e 2

4

) R για

2 , για κάθε

1 1

R R είναι

x 2f x 3

έχει την

x R να

α είναι 1 1 η

00

ι 1 1 η

9 x R

2 x ln x

ία της f

x lnx 0

ln x 1

33x x 6

x x x8 10

42λ 1

υνάρτηση 1

α

η

1.

f

δε

1.

Α

Β

2

1.

g

g

1.

Α

Β)

1.

e

1.

Ν

1.

e

1.

f

υπ

4

1:1

.129 Δίνο

2f f (x) x

x R . Nα α

εν είναι 1 1

.130 Δίνε

Α Να α

Να λ

2x - 3x + 2 =

.131 Θεω

: Β R , να

g f είναι 1

.132 Αν ε

Α) Να αποδε

) Να λυθεί

.133 Να α

3e

.134 Αν f

Να λύσετε την

.135 Αν

Α) N

Β) Ν

2x -x 2 3+(x - x)

.136 *** Δ

: 0,1 R μ

πάρχουν 1x ,

1 2f x 2f x

ΣΥΝΑΡΤ


5x 9 και


1

εται η f x



24

3x - 2= ln

x +

ρούμε τις συ


1 τότε η g

είναι xx e

είξετε ότι x

η εξίσωση x


3 τότε

x2f(x)

3

ν εξίσωση 3

xf x e x

Nα δείξετε ότ

Να λύσετε την

3 2+ x - 2x = e

Δίνεται η 1

με f 0 f 1

2,x 0,1 ώ

2 1 .


αρτήσεις f ,g

2g x x x

ι f 3 3 κα

22x ln x

ότι η f είναι

ξίσωση:

2 +1

1

στο 2


ότι αν B f

είναι 1 1

yy e , x,

y .

2x 3x 2 e

ότι αν ισχύει

με , R

x42

3 τότε:

x x2 4 3 3

3x x 1 τότε

τι είναι 1 1

ν εξίσωση:

x+3 3e +(x + 3)

1 συνάρτησ

1 . Να απο

ώστε να ισχύε


g : R R με

xf x 3 ,

ι ότι η g

1 , x 0

1-1

2,

:Α R και

(A) και η

y R τότε

23x x 2e e

R

x3 6

ε

+ 3

ση

οδείξετε ότι

ει

ι


1.137 Βρ


Α) f(x) x

Γ) f(x) lo

Ε) f

1.138 Βρ


Α) f(

Γ) f(

Ε) f(

Στ) f(x) x

1.139 Ν

αν f(x)

1.140 Έσ

f(f(f(x))) 2

ότι f(1) 3,

1 1 και να

1.141 Έσ

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

1.142 Έσ

Α) Ν

Β) Ν

2

2

2λ 1ln

λ 5


ρείτε τις αντί

ων

3x 1

xog 3 10

x 2 x

ρείτε τις αντί

ων

(x) 2x 3

.x 4

x(x) log

1

2

x 1(x)

9x

3 2x 3x 3x

α βρείτε τα κ

1 x , x 1


2x 7 για κά

f(3) 9 . Να


στω η f με




στω f x x



24 λ


ίστροφες των

Β) f(x) 5

Δ) f(x) ln

23 , x 3

ίστροφες των

Β) f

x

x Δ)

, x 0

, x 0

Ζ) f(x) ln

κοινά σημεία

1,0

ηση f ώστε να

άθε x R . Δίν


ν εξίσωση 1f

3f(x) 2x x

ε ότι η f αντ

ν εξίσωση f(x

ν ανίσωση f

ln x

τιμή 1f e

ν εξίσωση

δών

Α

ν

x 2

xn(2 e ) x

ν

f(x) 3x

3x

3 e

3 e

xf(x)

1 x

2n x 1 x

α των 1fC C

α ισχύει

νεται ακόμη


(x) 9 .

x 2 .

τιστρέφεται.

1x) f (x) .

1(5x 6) 1 .

1

Αντίστροφ

x

x

fC

.

1.

υπ

να

1.

Α

Β)

Γ)

άξ

Δ)

(2

αν

1.

ισ

Α

κα

1.

αν

ισ

1.

έχ

αυ

1.

τύ

A

B)

1.

πα

συ

φη

.143 Αν γ

πάρχουν οι σ


.144 Έστω

Α) Να αποδ

) Να λύσετ

) Να βρείτε

ξονες και με

) Να λύσετ

2 32 ημ x) η

νισώσεις: 1f

.145 Για τ

σχύει ότι 3f (

Αποδείξτε η f

αθώς και τα

.146 Οι σ

ντιστρέψιμες

σχύει f g g

.147 Να α

χει μόνο ένα

υτό θα βρίσκ

.148 Θεω

ύπο 5f(x) x

A) f

) Να λ

.149 Να α

αράστασης τ

υμμετρίας τη

για τις συναρ


ότι υπάρχου


είξετε ότι αντ

ε τις εξισώσε

ε τα κοινά ση

την ευθεία y

τε την την εξ

3 2ημ x ημ x

1(x) 3 , και


x) 3f(x) x

αντιστρέφε

τα κοινά ση


ς έχουν σύνο

g f , να δείξ


κοινό σημείο

κεται πάνω σ

ρούμε την συ

x 1 . Να α

11 f

λυθεί η εξίσω


της 5xf x

2x

ην ευθεία y

ρτήσεις f , g

1f g και

υν και οι 1g

ση 3f(x) x

ντιστρέφεται

εις f(x) 12 ,

ημεία της fC

y x

ξίσωση

ημx 2 κα

1f (x 1) x

ση f : R R

0 , για κάθ

εται , να βρε

ημεία των fC

f,g : R R

ολο τιμών το

ξετε ότι f g

ότι αν μια συν

ο με την αντ

στην ευθεία y

υνάρτηση f


13

ωση 1x f (x

ότι η γραφική

x 2x 5

έχει άξο

x

13

: R R ,

ι 1g f ,

1 και 1f

x 2

1f (x) 2

1 με τους

αι τις

x 5

με f R R

θε x R .

είτε την 1f

f και 1fC

είναι

R και

1 1g f

νάρτηση

ίστροφή της

y x

: R R με

ότι

)

ή

ονα

3

14

http://users.s

ΓΕΝ1.150 Γι

1.151 Δί

x, y R . Να

1.152 Έσ

2f (x) 2f(x)

1.153 Έσ

f x 0 έχε

Α) Ν

Β) Ν

1.154 Γι

Δίνεται επιλ

Α) Ν

Β) Ν

1.155 H

B 2,3 τότε

1.156 Γι

Α) Να δεί

Γ) Nα λύσ

1.157 H

τα σημεία A

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

sch.gr/mipap

ΝΙΚια τη συνάρτ

ίνεται η 1 1



2x) e 1 .


ει μοναδική ρ




λέον ότι ισχύ



συνάρτηση

ε: Α) Αποδε

ια την συνάρ

ίξετε ότι η f

σετε την εξίσ

συνάρτηση

A 5,9 και B




pagr

ΚΕΣ ηση f : R R

1 συνάρτηση

ε ότι: 1f (xy)

τηση f : R

Να βρείτε

ηση f : (0, )

ρίζα, τότε


ν εξίσωση f x

ηση f : R R

ύει η πρόταση

ε ότι η f είν

ν εξίσωση f 4

f : R R εί

είξτε ότι η f

ρτηση f : R

είναι αντιστ

ωση x 4e e

f : R R είν

B 2, 3 τότε:


εξισώσεις f

ανισώσεις αν


f : R (0,

1 1f (x) f

R με σύνολ

την f και

) R με την

αι 1 1

2x f x 3


η: « x 0

ναι περιττή κ

24x 2005

ίναι γνήσια μ

είναι γν. αύξ

R είναι γνω

ρέψιμη.

2x 1 x 5

ναι γνήσια μ

αι γν. αύξουσ

1 23 f (x 2

νίσωση 2f x

ι ν όροι

f f f ... x

) για την ο

1(y) , x, y f

λο τιμών το

ι την αντίστρ

ν ιδιότητα: f

2f x 1

ι f x y f

f x 0 » .

και γνήσια αύ

2f 4x 2005

μονότονη κα

ξουσα Β)

ωστό ότι f xe

Β) Να

μονότονη, έχ

σα

2x) 9 και

x 12f x 2

... 2x 1

οποία ισχύει ό

f(R)

1, και γ

ροφη της.

x -f y =f

f x 1

x f y , γι

ύξουσα

5 2f 8x 4

αι η fC διέρχ

Λύστεί την

x f x x γ

βρείτε το f 1

χει σύνολο τι

1 2f x ln

x

27 και f x

ΣΥΝΑΡΤ

1 να βρείτε το

ότι f(x y)

για κάθε x R

xy

για κάθε

ια κάθε x, y

4

χεται από τα

εξίσωση f 3

για κάθε x

1 .

ιμών το R κ

1 2

ln x 4 9


το f 1

f(x) f(y) γι

R ισχύει

x, y 0 Αν

R .

σημεία A 5

1 2f (x 2x

R

και η fC διέρ


ια κάθε

η εξίσωση

,9 και

x) 9

ρχεται από


1.158 Έσ

στη fC τότε

1.159 Έσ


Α Τη

1.160 Α)

B) Ν

κοινά σημεί

1.161 Γι

f(ξ) 0 . Ν

Β) f( x) =

1.162 *Δ

Α. Ν

Γ. Ν

1.163 Έσ


Α) Ν

Γ) Ν

1.164 Ν

1.165 Έσ

συνάρτηση

Α) Ν

Β) N

Γ) Ν


στω η γνησίω

ε να βρείτε το



ην εξίσωση: f

) Αν f γν. α


ία των fC κα


Να αποδείξετε

1f(x)

και f(x

Δίνεται η συν






α λυθεί η εξί



g x f h(x





ως μονότονη

ο λ R ώστε

ηση f : R R

σα να λύσετε

f x 223

ύξουσα στο


αι 1fC .

ηση f : R R

ε ότι: Α)

f(x)x y)

f(y) ,


ι f(x) 0 για

ν ανίσωση: ln

ρτηση f : 0,

α.

ι η f είναι γν

ίσωση f x

ν εξίσωση 33

τηση f : 0,

x) όπου h x

ε ότι η g είν

ε ότι τη μονο

ν εξίσωση h

δών

συνάρτηση

ε 1 1f 2 f

R για την οπ

ε:

R και ox R

ρτηση f x


f(x) 0 για

x R

R R για τη

α κάθε x R .

n f(x) 0 .

0,

νησίως φθίνο

7 5f x f x

33x 1 2x2 3

R τέτο

1 xx

1 x

. Τό

αι περιττή.

οτονία της h

x 2xe h e

f : R R . Α

λ 1e 1 0

ποία ισχύει: f

Β

R , τότε f f(x

34x 13

αντ

ι f(x y) f(x

α κάθε x R

Γ) f(νx

ην οποία ισχ

. Β.

με f 1

ουσα. B)

5 9f x

1

οια ώστε 1

fx

ότε:

11xh e h

Αν τα σημεία

0 .

xf(e x) 8f(

Την αν

o ox x f

ιστρέφεται, ν

x)f(y) για κά

και

ν) f (x) για

χύει: f(x)2

Να δείξ

1 και η συνά

Nα λύσ

1f x 0

x

111xh e στο

α A 1,2 κα

x 1) 2008

ίσωση xf e

o ox x

να βρείτε την

άθε x, y R κ

f(0) 1

κάθε ν Ν

x

2

3e

f (x), για κ

ξετε ότι η f ε

άρτηση g x

σετε την εξίσω

για κάθε x

1,1

αι B 1,3 β

xe για κάθε

x2 e 22

ν 1f καθώς

και υπάρχει

και x R

κάθε x R


xf x 1 η

ωση f x ln

0 . Θεωρούμ

15

ρίσκονται

ε x R . Αν

23 .

και τα

ξ R , ώστε

ως αύξουσα.

η οποία

n e x 0

με τη

5

16

http://users.s

ΟΡΙΟΡΙΟ ΣΤΟ X

1.166 Ν

Α) xlim

Β) xlim

1.167 Ν

Α) xli

Β) xlim

Γ) xlim

1.168 Ν

Α) xlim

Β) xlim

1.169 Ν

x 1lim

2x 1

1.170 Ν

x 2f(x)

1.171 Ν

Α) x 0

6xlim

x

Γ) xlim

sch.gr/mipap

ΙΑ X0


21

2m

x 1 x

ν 1

1

νx (νm

x


2im

3 6 xx 2

3 2

0m x x

2

9

xm

2x x 6x


1m

3 2 3x 2 x

x 2 x

1m

x 3x


1 x 1

x 1

,


2 x 2αν

4x0 αν


3ημx2ημx

2

20

x 2m

x 4

pagr

ετε τα όρια

3

3

x 1

1)x 1 με

1


x 62

81

3 x 9


x 1

1

2x 4x 31


x 1

x 1lim

2 x

ετε το x 0lim f(x

ν x 0

ν x 0

ετε τα όρια:

Β)

2

lim

2x 2

4 2

ε ν Ν*

x 1

x 1

x) αν

1

1.

Α

Β)

1.

xli

1.

Α

Γ)

1.

xli

1.

xli

1.

xli

1.

xli

1.

xli

.172 Να υ

Α) x 1lim

) x 1lim

.173 Να υ

3

ημ πxim

x 1 2

.174 Να υ

Α)

x 1

ημ xlim

ημ(

) x 0lim

.175 Να β

0im

ημx ημ

.176 Να β

0

ημx ημ2im

.177 Αν xl

1im f(x) 5

.178 Αν xl

0im 2

xf(3x)-f(-x

3x

.179 Αν x

2

2 gf(x)im

x

ΣΥΝΑΡΤ

υπολογίσετε

xημ 1

x 1

1 xημ π

1 x


και


x 3 2

(x 1)

Β

2

1 συν 1 σ

x

βρείτε (αν υπ

1x

βρεθεί ο ν

2x ... ημνxx

x 1

f(x) 5lim

f(x) 2

x 0lim

f(x)2

x ν

2

x) ημ2x

x

x 2lim g(x) 7

2

g(x) g(x) x

x 4


τα όρια

1x

12

τα όρια:

x 0

2xlim

συνx 1

τα όρια:

Β) x 0

ημlim

συνx

πάρχουν) τα

2

2x 0

1x ημ

xlimx x

N αν

x28

0 να αποδε

να βρείτε το

, να βρείτε τ

2x x


ημx

συνx

2

2

μ ημ x

x

όρια

είξετε ότι

ο


1.180 Ν

x 1lim f(x)(x

1.181 Ν

xlim f x 0

1.182 Η

ισχύει ότι xl

x 3lim f(x)

1.183 Αν

x 3lim f(x)

1.184 Αν

f x f 1

1.185 Ν

αν

x 1lim f(x)

1.186 Αν

x 1lim

f(x) xx-1

x 1lim 2

f(x)

f (x)

1.187 Aν

x R να απ

1.188 Αν

x 1lim f(x) 2


α βρεθεί το

x 1

g1) lim


0.

συνάρτηση

3

lim f(x) 2x

ν x 3lim 12f(x)

ν x 2

f(x) 4lim

x-2

x , x R βρ


g(x) 5 κ

ν για τη συν

x2 , να βρε

2

1

x και

x 1lim

ν 2f x 2f x


ν η f: R R

να βρεθεί τ


x 1lim f(x)g(x)

g(x)3

x 1

ε ότι αν xlim f

f είναι άρτι

x 5 4 . Να

2) 4f (x) 9

41 και ισχ

ρείτε το x 1lim

α

x 1lim f(x) κ

και

x 1lim 2f(x)

άρτηση f : R

ίτε τα όρια

1m

2

2

f (x) f(x)

f (x) 3

2x συν x

x 0lim f(x)

=1.

R είναι περιτ

το x 0lim[f(x-1)-

δών

αν

2f x 0 , τότ

ια στο R και

α βρείτε το

9 , να βρεθεί τ

χύει

1f(x)

και

x 1lim g(x)

) g(x) 4

R R είναι

2

2x

0 για κάθε

ττή με

-f(1-x)]

τε

ι

το

,

1.

xli

1.

Α

Β)

x

1.

f

Α

Β)

xli

Γ)

xli

1.

οπ

x

ότ

xli

1.

ιδ

Α

ρί

Β)

xli

.189 Αν xl

3im f(x)

.190 Έστω

Α) Να δ

) Αν f

R να δείξ

.191 Έστω

x y f x

Α) Να αποδεί

) Αν ισχύει ό

α

im f x f α

) Αν ισχύει ό

2

f x 2im

x 2

.192 Έστω


R * . Αν xlim

τι α 1 και ν

0

f(ημx)im

x

xl

.193 Έστω

διότητα: f(x)

Α) Αν η

ίζα το 1 να δ

) Αν xl

π4

f(ημx) fim

ημx σ

x 3

f(x) xlim

x-3


δείξετε ότι xli

2 2f (vx) ημ x

ξετε ότι 3v


f y , x, y

ίξετε ότι η f ε

ότι x 0lim f x

α για κάθε α

ότι

x 0

f xlim

x

2012 και xlim


ότι 3f x 2x

0

f(x)m α R

x

να βρείτε τα

x 0

f(f(x))im

x


xf(y) f

y

η εξίσωση f(x


x 1

f(x)lim 2

x 1

(συνx)συνx

2 , να βρεθε

η f με x 0

f(lim

x

x 0

f(vx)im 3v

x

x 2f(vx) ημ

1

η f για την ο

y R .

είναι περιττή

0 , να αποδ

α R

2012 να απ

0

f ημ(x) ηm

x

η f : R R *

2x f x 3ημ

R , τότε να α

2

2x 1

f(x xlim

x 3x

ηση *f : R

για κάθε

x) 0 έχει μο

f είναι 1 1

2 να βρείτε

17

εί το

(x)3

x

v , v 0

μx για κάθε

οποία ισχύει

ή

δείξτε ότι


ημ f(x)0

για την

3x , για κάθε

αποδείξετε

x)

2.

R με την

x, y 0

οναδική

1

το

7

ι

ε

18

http://users.s

ΜΗ ΠΕΠΕΡ

1.194 Ν

Α) x 4

2lim

x 3

Γ) x 4lim

x x

Ε) 2

3x 1

xlim

x

1.195 Ν

Α) 2x 1

limx

Γ) x 1lim

x x

Ε) x 1

xlim

x

1.200 Αν

βρεθούν τα

x 1lim f(x)

στ

1.201 Αν

βρείτε το xlim

1.202 Αν


1.203 Ν

3

x 1

x (λlim

sch.gr/mipap

ΡΑΣΜΕΝΟ

α βρεθούν(α

2 x

3 x 2

5 2x

2x 2 x

2

2

5x 4

3x 3x 1

α βρεθούν(α

x 1

2 x 1

Β)

2x 5x

x x x 1

2

5 x 31 (x 1)

ν 2

f(x)αx

α,β,γ R ώ

το σύνολο τω

ν

2

ημ

f(x)x

x

0m f(x)

για κά

ν 2

2xf(x)

x

4m f(x)

για κά

α βρείτε του

2

3

μ)x (2λ

x 3x

pagr

ΟΡΙΟ ΣΤΟ

αν υπάρχουν

Β) x 1lim

x

4 Δ)

x π

5lim

Στ) x 1lim

(

αν υπάρχουν

) x 0

x 1lim

x

Δ) x 0

3lim

συ

Ζ)x 0

3lim

1

Όρια Π

2

2

βx 2,

x 1γx 5

,x 1

ώστε να υπάρ

ων πραγματι

μ(αx)αν

xx x

αν2 x

άθε α R

x 1 αν

x λ αν

άθε λ R

ς λ,μ R ώσ

μ 1)x 3

2

ΧΟ

ν)τα όρια

2

2

x 3 2

x 2x 1

25 xημx

3

3 x 1

(x 1)

ν)τα όρια

16 4x

23x 2υνx 1

2

3

2x

συν x

Παραμετρι

x 1

x 1

να

ρχει το

ικών

x 0

x 0

να

x λ

x λ

να

στε :

μR

1.

xli

1.

βρ

1.

xli

1.

xli

ικών Συνα

1.

1.

1.

συ

πρ

1.

A

1.

1.

xli

.196 Α) Α

1img(x)

.197 Αν xl

ρεθεί το x 1lim

.198 Αν xl

2im f(x)

.199 Αν xl

1

g(x) 2xim

x x

αρτήσεων

.204 Βρεί

.205 Βρεί

.206 Να α

υνάρτηση f(

ραγματικό ό

.207 Nα β

A) 2

2x 2

x xlim

x

.208 Nα β

.209 Βρεί

3

2

αx βxim

x 2

ΣΥΝΑΡΤ

Αν x 1

h(x)lim

|x 2

2

x 1lim (x 4)f

1f(x)

x 2

2x 3lim

f(x)

x 1lim g(x) 3

g(x) 6 4x

x x 1

στο Χο

ίτε το λ R ώ

ίτε τα λ,μ R

αποδειχτεί ότ

2

3 2

x -λxx)

x -3x

ριο στο 1 .

βρεθούν για

x 6

αx

` B

βρεθεί το xlim

ίτε τα α,β, R

64


| να βρ

f(x) 3x 2

5 να β

3 να βρεθεί τ

x

ώστε x 9

xlim

(x

R ανx 1

λxlim

τι για κάθε λ

2

3x-1

δεν έχ

κάθε α R

B) 3x 1

xlim

x

2

4

x αm

(x 4)( x

R αν


ρεθεί το

να

βρεθεί το

το

2 2

5λ

λ )

μ x 28

x 3 2

λ R η

ει

τα όρια:

x α

7 2

2), α R


Όριο συν

1.210 Ν

Α) xli

Β) xli

Γ) xli

1.211 Ν

Α) xli

Β) xli

Γ) xli

Δ) xlim

1.212 Ν

Α) xli

Β) xli

1.213 Ν

1.214 Ν

1.215 Ν

1.216 Γι

ισχύει xlim

x

ln f xlim

ln x


ναρτησης σ


im x x

2im x x 3

2im x x


2x 2im

x x

x x 1

x 2 x

e 3im

e 3

2

2

x 2xim

x 2x

0

3 2 log xm

1 2 log x


2 2

x 2ημim

x x

3

xσυνx ηim

x


α βρείτε το x

α βρείτε το t

ια την συνάρ

f xl 0

x

x


στο απειρο


x x

23 x

2x 2 2x


x

2

1

3

3 4

x 5


μx

3

2ημx

ετε το x

lnlim

ln

2

xlim ημ x

t

ln(t tlim

ln t

ρτηση f : 0,

0, Να βρ

δών

ο

x

x

x

n(1 3 )

n(1 2 )

1 x

2t 1)t

R

ρεθεί το

Π

1.

βρ

1.

α

1.

xli

1.

0

1.

xli

1.

x l

1.

x l

1.

α

f(

1.

βρ

x l

Παραμετρικ

.217 Αν f

ρεθεί το xlim

.218 Αν f

,β R ώστε x

.219 Αν f

im f(x)

για κ

.220 Αν f

φ ,ω π . Ν

.221 Να β

2im x 2x

.222 Για κ

-lim

x x

x xα 2α -2

.223 Για κ

lim

x x

x 1α 2α 2

.224 Να β

β γ 0 με

2(x) α x 1

.225 Έστω

ρείτε τα όρια

lim f(x) ln(

κά όρια στ

3(λ 1)xf(x)

f(x)

για κάθ

2x 2xf(x)

x 1

xlim f(x) 3β

2f(x) x 2x

κάθε λ R

2f(x) x 4

α βρείτε τα φ

βρεθούν οι α

3 αx β

κάθε α 0 , ν

1 1

,

κάθε α 0 , ν

1

x2

βρεθεί το όρι

α ,β,γ R κα

2β x 2 γ

ω η f x ln

α x 0lim f x

, x l

x) .

το απειρο

3 2(λ μ)x μx 1

θε λ ,μ R

3-αx-β

να

11

x 3 λx να

xημφ συνω

φ,ω ώστε xlim

α ,β R ώστε:

12

να υπολογίσε

να υπολογίσε

ιο xlim f(x)

Α

αι

2x 3

2 2x κx

κ

lim f x

19

μx 3

να

βρεθούν οι

βρεθεί το

με

3m f(x)

2

ετε το

ετε το

Αν

0 Να

9

20

http://users.s

…

1.226 Έσ

ισχύει: 2 2

βρείτε τα

A) x 2

f(x)-lim

x

Γ) 2

x 2

f (x)lim

x

1.227 Ν

2 2f x g x

x R .

1.228 Αν

τότε να απο

1.229 Aν

x R , να α

1.230 Αν

x 3lim f(x)

1.231 Η

στο ox 2 κ

x 2 f x

1.232 Ν

1.233 **Έ

ισχύει 2f x


1.234 Απ

sch.gr/mipap


x f(x) x

-42

B)

)-162

Δ)

α βρείτε ταxl

x 2f x 4


οδείξετε ότι xl

ν 2f x 2f x

ποδειχθεί ότ

ν x 3lim 12f(x)

συνάρτηση

και για κάθε

2x 7x 10


Έστω η συνά

ημf x x

ότι

x

f xlim

x


pagr

ηση f για τη

2 , για κάθε

x 2

f(x)-4lim

x 2

2x 2

f(x)-1 -3lim

x 4

x 0lim f x

, xlim

4g x 5 x

o

2

x xlim f x

ox x

lim f x

xli

2x συν x

τι x 0lim f(x)

2) 4f (x) 9

f έχει πραγ

ε x R ισχύε

0 .Βρείτε το xl

ετε το x 0

xlim

x

άρτηση f γι

x για κάθε

x 12

x

x συlim

x η

ν οποία

x 0 . Να

4

2

3

0

m g x

αν

x , για κάθε

2g x 0 ,

ox

im g x 0

0 για κάθε

1

9 να βρείτε τ

ματικό όριο

ει

x 2lim f(x)

2

2

1x ημ

xx x

α την οποία

x R . Nα

2υν x

1ημx

το

1.

ισ

g

xli

τα

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

στ

γι

1.

x

κά

1.

.235 Δίνο

σχύουν x 2

2lim

(x) f(x) x

2

x 2im 1

h(x)

κ

α x 2limg(x)

,

.236 Βρεί

.237 Να β

.238 Να β

.239 Να β

.240 Να β

.241 Να β

.242 Να β

.243 Να β

.244 Η συ

το ox 2 κα

ια κάθε x R

.245 Για τ

2 2xf x f

άθε x R , ν

.246

ΣΥΝΑΡΤ


2g(x) 42

x 2

ημ(xx 2

(x 2

και για κάθε

x 2lim h(x)

και

ίτε το xlim

βρεθεί το







υνάρτηση f

αι ισχύει x

R . Να βρεθεί


2 2f x ημ

να αποδείξετε


αρτήσεις f , g

2)h(x) 2

2)

ε x R 2 .

ι x 2lim f(x)

2x ημx 1

x

x ημxlim

x ημx

2ημx συim

x

2 2

x 2ημxm

x x

3

xσυνx ηm

x

2x 3m

3 ημx σ

4ημx

3 συm

2

xημx 3συm

x 2x

έχει πραγμα

22 f x x

ί το x 2lim f(x)

.

ση f : R R

x 2xf x

ε ότι: x 0lim f x


g, h ώστε να

2 και

Να βρείτε

x

xx

υν2x

x

3

2μx

3συνx

μxυνx

υνx

2

ατικό όριο

7x 10

ισχύει

2ημ x για

x 0 f 0 .

α

α


ΣΥΝ1.247 Ν


2xf(x) 5x

1.248 Αν

συνεχής, βρ

1.249 Δί

x

αf(α)= lim

εξετάσετε ως

1.250 Αν

2ημ x 2xf(


1.251 Γι

ότι 2f x g

x R . Απ

0x /2

1.252 Μ

ιδιότητα 5f

ότι είναι συ

1.253 **

0 και ισχύε

βρείτε το f(

1.254 Αν

συνεχής, να


ΝΕΧα βρεθεί ο τύ

ς f αν ισχύε

2 ημx (x

ν x 2

f(x)-2xlim

x-2

ρείτε το x 2

xlim


2x 1 2

2x

α α

α 1

γι

ς προς τη συ


2x) f (x) η

ότι η f είνα

ια τις συναρτ

2g x 2f x

ποδείξτε ότι ο

Μια συνάρτησ

x f x x

νεχής στο ox

Αν η συνάρ

ει xxf(x) e

0)

ν 1f x l

x

α δείξετε ότι xl


ΧΕΙΑύπος της συν

ει ότι

x 1)(x 2) ,

x1 και η f

2xf(x)-2x 3fx-2

άρτηση f : 0

ια κάθε α 0

νέχεια τη συ

x R ισχύει ό

2ημ x x x 2

αι συνεχής στ

τήσεις f ,g : R

5 4g x

οι f , g είναι σ

ση f : R R

x x R . Ν

o 0 .

ρτηση f είνα

1 για κάθε

ln x και η f

1

1x 0

f x xlim

x f x

δών

Α νεχούς

x R

είναι

(2)-6x

, R με

0, . Να

νάρτηση f .

τι

2f(x) .Να

το ox 0 .

R R ισχύει

2συν x ,

συνεχείς στο

έχει την


ι συνεχής στο

x R , να

1 είναι

2x1

x

ε

ι

ο

ε

ο

1.

Α

ασ

Β)

1.3f

f

εί

1.

οπ

Α

Β)

Γ)

1.

Α

x l

Β)

1.

x

x

1.

στ

x

.255 Έστω

Α) Να αποδεί

συνεχής στο

) Να εξετάσε

.256 Έστω

3 x 3f x

2x(x) e 1

ίναι συνεχής

.257 Έστω

ποία ισχύει

Α) Να α

) Απο

) Να β

.258 Δίνε

Α) Να υ

lim f x

, x l

) Υπάρχει τ

.259 Η συ

0 1 και ισχ

, y R . Να α

.260 Έστω

το κα

, y R . Δείξτ

α R

ω 3

1x

2f xx

ίξετε ότι αν α

ox α .

ετε τη συνέχε

ω f : R R μ

2xe 1 , για

, x R κα

στο μηδεν


2f(x) 2f(x)



βρείτε το όρι

εται η f x


-lim f x

, x li

ιμή του α ώ

υνάρτηση f

χύει ότι f(xy)


ω ότι η συνάρ

ι ισχύει f x

τε ότι η f είν

2 1x ημ , αν x

xx, αν x

α 0 τότε η

εια της f για

με

α κάθε x R

αι να εξετάσετ

ση f : R R

2) συν x 0

ότι f(x) 1

f είναι συνε

ιο x 0

1lim xf

x

1x

1x

2 2, x

2 1 α, x

τα όρια:

0

im f x

, x lim

ώστε η f να είν

είναι συνεχή

) f(x) f(y)

τι είναι συνε

ρτηση f είνα

x y f x

ναι συνεχής σ

21

x α

x α

f είναι

α α 0

. Δείξτε ότι

τε αν η f

R , για την

, x R

x

εχής στο 0

x 0

0

0

m f x

ναι συνεχής;

ής στο

για κάθε

εχής στο R

αι συνεχής

f y 1 ,

στο R

1

22

http://users.s

Βασικά Θ

1.261 Ν

2

x 1εφ

x 2x


1.262 Ν

2 2κ λx x 1

δύο ρίζες, τι

μάλιστα ισχ

1.263 Έσ

α,β R , β

έχει δύο του

1.264 'Ε

συνάρτηση,

ότι υπάρχει

1.265 Εσ

ώστε f(0)

ox 0,π ,

1.266 Η

και για κάθ


B) Υπάρχο

1.267 Δί

το είν


f(x) 20 α

(α,β)

(α,β) 0,0

ox 0,1

sch.gr/mipap

Θεωρήματα


φx έχει στο δ

ν μια ρίζα


2μ0

x - 1 μ

ις 1 2ρ , ρ

χύει ότι 1

1ρ

στω η εξίσωσ

0 , α β 1

υλάχιστον ρί

στω f : α,β

, ώστε f(α)

ι ox [α,β] ,

στω f : [0,π]

f(π) . Να απ

ώστε of(x )

συνάρτηση

ε x R είνα

ότι: A) Η

ουν άπειροι α

ίνονται οι συ

,

ναι σημείο τη

, αποδείξτε

ν κοινό σημε

xx e g(x)

0

pagr

α

ε ότι η εξίσωσ

διάστημα 12


με κ , λ,μ 0

1,1 για τις

2 2

22

μ -λ1ρ κ

ση 3 2x αx

1 0 . Να απο

ίζες στο 1,

R , συνεχ

2α και f(β)

ώστε of(x )

R συνεχή

οδείξετε ότι υ

oπ

f x2

.


ι f(x) f(x

Η f είναι πε

α R ώστε f

υναρτήσεις μ

ης ευθείας

ε ότι οι ,

είο με τετμημ

21 β (ημx

2

fC

ση

π,

2 2

ση

έχει ακριβώς

οποίες

β 0 , με

οδειχτεί ότι

1

χής

2β . Δείξτε

2ox .


υπάρχει

εχής στο R

2) 0 Να

εριοδική

(α) f(α 2)

με τύπους

. Αν

, με

έχουν έν

μένη

συνx)

1y 20x

gC

ς

η,

ε

να

1.

εί

κα

f

1.

x

1.

f

Δε

7

1.

εξ

απ

1.

ότ

εξ

1.

1

απ

f

1.

συ

f

ώ

1.

συ

ώ

.268 Έστω

ίναι συνεχής

αι f x 0 γ

x f x 0

.269 Η συ

1,2 με f

o 1,2 ώ

.270 Eστω

: α,β R ,

είξτε ότι υπά

0f x f

.271 Αν α

ξίσωση αημx

πόλυτη τιμή

.272 Αν η

τι f x f 2

ξίσωση f x

.273 Αν η

1, 2 με f 2


2o o ox x x

.274 Η συ

υνεχής και υ

γβαf f

β γ α

στε of x x

.275 'Εστ

υνάρτηση. Δ

στε o of x x

ΣΥΝΑΡΤ


στο R και ι

για κάθε x R

για κάθε x

υνάρτηση f

1 f 2 , δε

στε 3f( 1) 4

ω η συνεχής σ

με f f

άρχει ox (α

2f 4f

α,β 0 , να

x β x έχει

δεν υπερβαί

η f είναι συνε

x 0 για κ

0 έχει μία τ


6 , και ακό

ι υπάρχει, ox

2o .


πάρχουν 0

γ1

α

. Να δ

2010ox

ω

είξτε ότι υπά

(S. Banach)

f : 0,1 0

o


η f : R R η

ισχύουν f 4

*R . Δείξτε ότ

*R και βρ


είξτε ότι υπάρ

o4f(2) 7f(x

συνάρτηση

, και γ

α,β) , ώστε


ρίζα της οπ

ίνει τον α β

εχής στο R κ

κάθε x ,δείξτ


η f είναι συν

όμη f 1 f 2

o 1,2 ώστ

: 0, 0

α β γ ώσ

δείξετε ότι υπ

συνεχής

άρχει

)

0,1

ox 0,


η οποία

f 4 0

τι

ρείτε το f 0

ής στο

ρχει

)

α,β .

ότι η

ποίας η

β .

και ισχύει

τε ότι η

ν ρίζα στο R

νεχής στο

2 8 , να

τε

0, είναι

στε

πάρχει ox

ς

τέτοιο 1


1.276 Ν

αν ισχύει

και

1.277 Αν


ox 0,1 ώ

o 1x α x

1.278 Ν

συναρτήσει

2f x 2f x

1.279 *∆

με 2f x 9


1.280 N


την ανίσωση

1.281 Έσ

οποία ισχύε

x 3,3 .


1.282 Βρ


Α) f

Β) f

1.283 Μ

ικανοποιεί τ

μπορούσε η

R

f 0 l


α βρείτε τη σ

ι

ν 1 2α ,α , ...,α

ότι υπάρχει,

ώστε

o 2x α .....

α βρεθούν όλ

ις f : R R α

x ημx 1 ,

∆ίνεται συνάρ

για κάθε x

ότι f x 3 γ

βρείτε το σύ

ς f x 4

η f x 0

στω η συνεχή

ει ότι 24x 9

ον τύπο της


ων

21 x

x , x

3x x συν

Μια συνεχής σ

τη σχέση: f

η f να είναι α

f xe 4x 4

ln 2


συνάρτηση

γι

1994α 0,1 .

ένα τουλάχι

o 1994x α

λες οι συνεχε

αν ισχύει ότι

x R

ρτηση f : R

R και f 0

για κάθε x R

ύνολο τιμών

x 2 x κα

ής συνάρτησ

29 f(x) 36

αν f 0 2

ολα τιμών τω

0 x 1

νx , x 0,π


1 f 2 f

αντιστρέψιμ

f

f x4e 0

δών

, συνεχή στο

ια κάθε

Να

ιστον

997.

είς

ι

R συνεχής

3 . Να

R

της

αι να λύσετε

η f για την

για κάθε

2

ων

/2

f : R R

3 f 4 . Θα

μη;

f

x R

ο

α

1.

υπ

η

1.

πα

g

δι

1.

συ

Έ

0

ω

1.

f

1.

f

1.

γν

x l

απ

ώ

1.

κα

απ

1.

γι

βρ

R

.284 Αν α

πάρχει ox

2oμ x α

.285 Να α

αραστάσεις τ

g x συν2x

ιαστήματος

.286 Οι σ

υνεχείς και ισ

στω ακόμα ό

0,1 . Να απο

ωστε of x

.287 Να β

αν f x

.288 Έστω

1 2 , να α

.289 Αν η

νησίως αύξου

0

lim f x γ


στε of x e

.290 Η συ

αι ισχύει f f


.291 Έστω

ια κάθε x R

ρείτε το f 5

α,β,γ R , ν

π0,

2

ώστε

2oημ x α


των συναρτή

τέμνονται σ

π0,

4

.


σχύει f g g


οδειχθεί ότι υ

ox και og x


24x 5πx π

ω συνεχής συ



υσα στο (0, +

R και x lim

ι υπάρχει μό

ox 1oe ln x

υνάρτηση f

(x) x για κ

ι υπάρχει α

ω f : R R σ

R ισχύει ότι f

να αποδείξετε

2oημ x α

ότι οι γραφικ

ήσεων f x

σε ένα μόνο σ

f,g : 0,1

g f για κάθ

γνησίως φθί

υπάρχει (τε)

ox

όσημο της συ

2π ημx , 0


τι f x 2 ,

η f είναι συν

+ ) με

m f x δ

όνο ένας αριθ

1 .


κάθε x R . Ν

R ώστε f α

συνεχής με f

f x ·f f x

23

ε ότι

3α

2

ές

x και

σημείο του

0,1 είναι

θε x 0,1 .

ίνουσα στο

ox 0,1

υνάρτησης

x 2π

R Z και

x R .

νεχής και

R , να

θμός οx 0

ής στο R

Να

α α

10 9 και

1 . Να

3

24

http://users.s

1.292 Α)

Β) Δί

R , να βρείτ

1.293 Έσ

συνεχής

1.294 Έσ

Α) Απ

Β) Αν

1.295 Έσ

, f 1 f 2

Α) f x 0

Β) Η συνάρ

Γ) Η f δεν

1.296 Έσ

είναι μία συ

1.297 Έσ

Α) Ν

Β) Αν

έχει μια του

β)

1.298 Έσ

x 0

f(x) 3lim

x

Α) Ν

Β) Ν

μόνο σημείο

sch.gr/mipap

) Να αποδείξ


τε την τιμή το

στω g x x

στω f : R R


ν η f είναι σ

στω συνεχής

f 3 f 4 Ν

0 για κάθε x

ρτηση g x

είναι αντιστ


υνεχής συνάρ

στω οι συνεχ

α βρείτε το f

ν f x 0 για

υλάχιστον ρίζ

) g x 0 γ

στω η συνεχή

3 και 2ημ

α βρείτε το σ


ο με τετμημέν

pagr

ξετε ότι η εξί

άρτηση f x

ου α R

2x xημx κα

R συνάρτηση

η f είναι συ

συνεχής στο

συνάρτηση


1, 4 ,

2f x f 1

τρέψιμη.

τηση g(x)

ρτηση ορισμ

χείς συναρτήσ

f 0

α κάθε x 0

ζα στο 0,2

ια κάθε x

ής και γνησίω

μ(x 1) (x

σύνολο τιμών

ι η γραφική π

νη 0x (0,1)

Γεν

ίσωση ln x 2

3

2

x 2 α

x x ln

αι 3x

f x

η, ώστε 2f x

υνεχής στο 0

R και ισχύει

f στο 1, 4

ε ότι:

f 2 έχει μια

β -αx

5 ορι

ένη στο R , ν

σεις f,g : 0,

0, 4 να δείξε

.

0, 4 .


21)f(x) x

ν της h(x) f

παράσταση τ

)

νικές Ασκή

2 x 1 0 έ

21 x 1 α

nα 1 α

3 2x συνx, α

g(x)α α

2 2x ημ x x

ι f α f β

για την οπο

α τουλάχιστο

ισμένη στο α

να δείξετε ότι

R με

ετε ότι: α)

α συνάρτηση

1 για κάθε x

f(x) ln x 3

της συνάρτησ

ήσεις

έχει μοναδικ

αν x 1

αν x 1

μ

αν g(x) 0

ν g(x) 0

2 , x R .

0 να δείξετε

οία ισχύουν:

ον ρίζα στο

α,β . Αν ισχύ

ι υπάρχει οx

g 0 1 κα

Η εξίσω

f : (0,1) R

x (0,1)

3

σης fg(x) e

ΣΥΝΑΡΤ

κή ρίζα

με α R Αν


ε ότι αβ 0 .

f x 0 για

1, 2 .

ύει 4α

f g5

ο [α ,β] ώστ

ι x f(x) g(

ωση x 2 f

R για την οπο

(x) 3 τέμνει τ


ν η f είναι συ

το α R αν

κάθε x 1,

βf(α)

5

τε οf(x ) f(g

(x) x 3f(x

x xf x 2

οία ισχύουν

την ευθεία y


υνεχής στο

η f είναι

4 , f 1 0

όπου f

οg(x ))

x) g(x)

2 x x 2

y x σε ένα


1.299 A)


B) Αν

Δ .

1.300 Έσ

κάθε x R .

1.301 Η

ότι:

Α. η

Β. Aν

Γ. υπ

Δ. f

1.302 Η

ορειβάτης ξ

Την άλλη μέ

επιστρέφει σ

ίδια ώρα κα

1.303 Η

να αποδείξε

ν2f ξ f

1.304 Έσ

A) Αν

B) Ν

1.305

Έσ

Α) Ν

Β) Ν


) Η συνάρτη

ότι θα είναι ε

ν η συνάρτη


Να αποδείξ

συνάρτηση

f είναι 1 1

ν η f είναι γ

πάρχει ox R

1 1

ανάβαση - ό

ξεκινάει την α

έρα ξεκινάει

στη βάση. Ν

αι τις δύο ημέ

συνάρτηση

ετε ότι υπάρ

1 2x f x f


ν η συνάρτη


στω συνεχής


α μελετηθεί ω


ηση f είναι σ

είτε f(α) f(β

ση f είναι σ

ηση f , συνεχ

ξετε ότι η εξίσ

f είναι συν

1

γνήσια μονό

R ώστε of x

όπως και η κ

ανάβαση στι

ι στις 6 το πρ

Να δείξετε ότι

έρες


ρχουν 1 2ξ ,ξ

3 vx ... f x

τηση f : IR

ση f είναι σ



ε ότι 3x f

ως προς τη σ

δών

συνεχής και 1

β) f(γ) είτε

συνεχής και 1

χής στο R κα

σωση f x 0

νεχής στο R ,

ότονη τότε είν

ox

ατάβαση - στ

ις 6 το πρωί κ

ωί την κατάβ

ι υπάρχει ένα

εχής στο α,

α,β ώστε

v

IR ώστε f

συνεχής στο σ

ρτηση f δεν

f : 0,

x 0

συνέχεια η συ

1 1 σε διάσ

ε f(γ) f(β)

1 1 στo Δ ,

αι ισχύει η σχ

0 έχει τουλά

και ισχύει f

ναι γνήσια φ

την ψηλότερ

και χωρίς να

βαση, σε 6 ώ

α τουλάχιστο

,β με f x

11

f xf ξ

2f x f f(x)

σημείο 0x 1


IR για την

υνάρτηση g

στημα Δ . Αν

f(α)

να αποδείξετ

χέση 3f x 4

άχιστον μια ρ

f f(x) x 4

φθίνουσα

ρη κορυφή το

α σταματήσει

ώρες, ακολου

ον σημείο τη

0 , x α,β

1 2f x f

v

4 για κά

1 , να υπολογ

ής στο 1, 2

ν οποία ισχύε

f x ημ

x

α,β,γ Δ μ

τε ότι είναι γ

24f x 6f x

ρίζα στο 0,1

4 2f x για

ου Ολύμπου

βρίσκεται σε

θώντας την ί

ς διαδρομής

. Για κάθε x

3x ... f

v

θε x IR κα

γίσετε το όριο

ει 3f x xf

2

f x2μ 1

x x1

f x

x

με α β γ

γνησίως μονό

3 2x x 2x

1

κάθε x R .

διαρκεί 6 ώρ

σε 6 ώρες στην

ίδια διαδρομ

ς όπου βρίσκε

1 2 3x ,x ,x ,..., x

vx και

αι f 2 1

ο x 1lim f(x)

3x x 0 ,

1 , x 0

, x 0

, x 0

25

, να

ότονη στο

6x 1 για

Να δείξετε

ρες. Ένας

ν κορυφή.

μή,

εται την

vx α,β

13 ημ

x 1

x 0,

5

26

http://users.s

1.306 Δί

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

1.307 Γι


1.308 Έσ

3f x 3f x

Α) ότ

Β) ότ

Δ) Ν

Ε) xlim

1.309 **

οποίου τα ά

ορισμού το

Α) Ν

Β) N

1.310 Δί

Η συνάρτησ

f f(x)

f f(x) 2

Για τη συνά

Α) f

Β) Υπ

Γ) f

Δ) υπ

Ε) οι

sch.gr/mipap

ίνεται η συνε


α βρείτε το σ


ια τη συνεχή

ε το και


x x για κά

τι η f είναι 1

τι η f είναι γ


0

f x 1m

x 3

* Αν f είναι

άκρα ανήκου

0,1 και με



ίνονται οι συ

ση f είναι συ

f f(x) 1

f f(x) 1

,

άρτηση g ισχ

x 0 , για κ

πάρχει ω R

1 f 2 f 3

πάρχει μια το

ι f και g δεν

f(0)

pagr

εχής συνάρτη

ε ότι η είνα

σύνολο τιμών



ι να αποδείξε

ηση f ορισμέ

άθε x R . Να

1 1 και να β

γνήσια αύξου


μια συνάρτη

υν στη γραφι

ε f 0 f 1

ε ότι υπάρχει

ε ότι υπάρχει


υνεχής στο R

, για κάθε x

χύει ότι g x

κάθε x R

R ώστε f ω

3 f 4

ουλάχιστον ρ

ν είναι αντισ

f

ηση με

αι αντιστρέψ

ν της συνάρτ

ση

f, ισχύει ότι:

ετε ότι υπάρχ

ένη στο R με


βρείτε τον τύ

υσα.

αι συνεχής στ

ηση, τότε λέγ

ική παράστα

0 .

ι οριζόντια χ

ι οριζόντια χ

f και g για τ

R με f x 0

R .

2f x f 1

2

ρίζα της g σ

στρέψιμες.

f f x

xf x e

ψιμη και να ο

τησης

έχει μο

χει, ένα τουλ

ε σύνολο τιμ

ε ότι

ύπο της αντίσ

Γ) f x

το μηδέν

γοντας χορδή

αση της f . Έσ

χορδή της f

χορδή της f

τις οποίες ισχ

0 , για κάθε x

1 f 2 , για κ

στο 1,2

x ln x ln

g x

1 0

32 x 4

ορίσετε την

οναδική λύσ

λάχιστον

μών το R , γι

στροφής της.

2

xx

f x 3

ή της f εννοο

στω ότι f είν

με μήκος 12

.

με μήκος 1ν

,

χύουν ότι:

x R , f 0

κάθε x R .

x 1

f

xf x e

2x 8 xf(

κ

ΣΥΝΑΡΤ

ση μεγαλύτερ

ώστε

ια την οποία

3 για κάθε x

ούμε ένα ευθ

ναι μια συνεχ

.

, όπου ν 1

1 , f 2009

Ν' αποδειχθε

1f

x(x) ημ x

6

(0,1] f


ρη του ένα

, . Ν

ισχύει ότι

x R

θύγραμμο τμ

χής συνάρτη

1, 2, 3...

2009 και

εί ότι :

6 x 4

κf κ ημ

6


Να

.

μήμα του

ση με πεδίο

6κ

Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a

Documents

Transcript of Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a