Ukuran Pemusatan Data

Arum Handini Primandari, M.Sc

Notasi untuk Populasi dan Sampel

Notasi:

Sample Populasi

Mean (rata-rata) μxMean (rata-rata) μ

Variansi s2 σ2

Simpangan baku s σ

x

Ukuran Pemusatan Data

1. Mean (rata-rata)

2. Median

3. Modus

Mean

1. Mean untuk data tunggal

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn,dirumuskan:

1

n

ii

x

xn

• Contoh: The birth weights in pounds of five babies born in ahospital on a certain day are 9.2, 6.4, 10.5, 8.1, and 7.8.

• The mean birth weight for these data is

xn

9.2 6.4 10.5 8.1 7.8 428.4

5 5x

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn,yang mempunyai frekuensi berturut-turut f1, f2, f3, …, fn,

Nilai Frekuensi

x1 f1

x2 f2

dirumuskan:

1

1

n

i ii

n

ii

f x

x

f

x3 f3

… …

xn fn

Latihan: Mean

• Loss of calcium is a serious problem for older women. Toinvestigate the amount of loss, a researcher measured theinitial amount of bone mineral content in the radius bone ofthe dominant hand of elderly women and then the amountremaining after one year. The differences, representing theloss of bone mineral content, are given in the following tableloss of bone mineral content, are given in the following table(courtesy of E. Smith).

2. Estimasi Mean data berkelompok

a) Menghitung mean data kelompok dengan metode biasa

• Penyajian data berkelompok:

Interval/ Selang Titik Tengah (xi) Frekuensi (fi)

Limit kelas ke-1 X1 f1

Limit kelas ke-2 X f

• Mean dihitung dengan formula:

Limit kelas ke-2 X2 f2

… … …

Limit kelas ke-n Xn fn

1

1

n

i ii

n

ii

f x

x

f

• Contoh:

Interval Kelas Titik TengahKelas (xi)

Frekuensi(fi)

fixi

7 – 9 8 2 16

10 – 12 11 8 88

13 – 15 14 14 19613 – 15 14 14 196

16 – 18 17 19 323

19 – 21 20 7 140

Jumlah 50 763

1

1

76315.26

50

n

i ii

n

ii

f x

x

f

b) Menghitung mean data kelompok dengan metodesimpangan rata-rata

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperolehdari:

1

2nx x

A

x1: limit bawah kelas pertamax : limit atas kelas terakhir

• Maka rataan hitung dirumuskan:

2A

1

1

n

i ii

n

ii

f d

x A

f

xn: limit atas kelas terakhir

di: xi – Axi: nilai tengah masing-masing kelasfi: frekuensi kelas

• Contoh:

IntervalKelas

TitikTengah

Kelas (xi)

Deviasi(di)

Frekuensi(fi) fi di

7 – 9 8 -6 2 -12

10 – 12 11 -3 8 -24 Untuk banyakinterval kelas ganjil,13 – 15 14 0 14 0

16 – 18 17 3 19 57

19 – 21 20 6 7 42

Jumlah 50 63

7 2114

2A

1

1

6314 15.26

50

n

i ii

n

ii

f d

x A

f

interval kelas ganjil,‘0’ pasti terletak dikelas yang tengah

c) Mean berkelompok dengan metode coding

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperolehdari:

1

2nx x

A

x1: limit bawah kelas pertamaxn: limit atas kelas terakhir

• Mean dengan metode coding dirumuskan:

1

1

n

i ii

n

ii

f c

x A p

f

ci: kode untuk setiap kelasxi: nilai tengah masing-masing kelasfi: frekuensi kelasp: panjang kelas

• Contoh:

IntervalKelas

Kode(ci)

Frekuensi(fi)

fi ci

7 – 9 -2 2 -4

10 – 12 -1 8 -8

13 – 15 0 14 0

Untuk banyakinterval kelas ganjil,‘0’ pasti terletak di

13 – 15 0 14 0

16 – 18 1 19 19

19 – 21 2 7 14

50 21

7 2114

2A

1

1

2114 3 15.26

50

n

i ii

n

ii

f c

x A p

f

‘0’ pasti terletak dikelas yang tengah

3. Mean data gabungan

• Sample berukuran n1, n2, …, nk diambil dari k populasi,masing-masing memiliki mean , maka meangabungan:

1 2, ,..., kx x x

k

n x1

1

i ii

c k

ii

n x

x

n

4. Mean terboboti

• Terdapat k buah nilai x1, x2, …, xk dengan bobot masing-masing w1, w2, …, wk, maka mean dirumuskan:

1

k

i ii

w k

w x

x

• Contoh:

• Nilai akhir:

1

w k

ii

x

w

Komponen Tugas Quiz UTS UAS

Bobot 20% 10% 30% 40%

Nilai 80 75 65 75

0.2 80 0.1 75 0.3 65 0.4 7573

0.2 0.1 0.3 0.4wx

Latihan 1

• Tentukan mean dari data berikut:

Kelas Nilai Frekuensi (f)

30 – 39 5

Hasil Ujian Statistik Komunikasi

40 – 49 10

50 – 59 15

60 – 69 25

70 – 79 20

80 – 89 10

90 – 99 5

Median

1. Median data tunggal

• Median sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn,adalah nilai tengah dari observasi terurut dari yang terkecilhingga terbesar.

• Letak median:

– Ukuran data ganjil– Ukuran data ganjil

Median terletak di data ke-

– Ukuran data genap

Median terletak diantara data ke- dan data ke-

1

2

n

2

n1

2

n

• Contoh 1 (median):

Data 5 bobot bayi ketika lahir: 3.04; 4.20; 3.28; 3.12; 2.56

Diurutkan: 2.56, 3.04, 3.12, 3.28, 4.20 (n = 5)

Median terletak pada data ke- , yaitu 3.12.5 1

32

Median terletak pada data ke- , yaitu 3.12.

Data: 3, 15, 46, 64, 126, 623 (n = 6)

Median terletak pada data ke- dan ke- , yaitu:

32

63

2

61 4

2

46 6455

2

• Contoh 2 (median)

Lamanya enam pasien pencangkokan jantung adalah sebagai berikut: 15,3, 46, 623, 126, dan 64 hari.

Data terurut: 3, 15, 46, 64, 126, 623

Median-nya adalah 55, sementara mean-nya 146.2

Perhatikan: jika dilihat dari nilai mean, maka hanya ada 1 pasien yanghidup di atas 146.2 hari. Di sini median menjadi indikator yang lebih baik,yaitu ada 3 pasien yang bertahan hidup lebih dari 55 hari.

Bagi distribusi yang tidak simetrik, kiranya median akan menjadi ukuran nilai tengahyang lebih bermakna daripada mean

Contoh ini menunjukkan bahwa median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrempada sampel.

2. Estimasi median data berkelompok

• Rumus untuk median data berkelompok (data yang disajikandalam tabel distribusi frekuensi):

1

2kn f

Me b p

2

me

Me b pf

b: batas bawah kelas medianp: panjang kelasn: banyak datafk: frekuensi kumulatif sebelum kelas medianfme: frekuensi kelas median

Modus

• Modus suatu sampel adalah nilai yang paling banyak munculatau paling tinggi frekuensinya.

• Estimasi modus untuk data berkelompok:

1dMo b p

d d

• dimana:

1 2

Mo b pd d

1 1

2 1

mo mo

mo mo

d f f

d f f

b: batas bawah kelas modusp: panjang kelasfmo: frekuensi kelas modusfmo-1: frekuensi kelas sebelum kelas modusfmo+1: frekuensi kelas setelah kelas modus

Latihan 2

• Tentukan mean dan median dari data berikut:

Kelas Nilai Frekuensi (f)

30 – 39 5

Hasil Ujian Statistik Komunikasi

40 – 49 10

50 – 59 15

60 – 69 25

70 – 79 20

80 – 89 10

90 – 99 5

Persentil

• Persentil adalah nilai-nilai yang membagi seguguspengamatan menjadi 100 bagian yang sama.

• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1, P2, …, P99, yangbersifat 1% dari seluruh data terletak di bawah P1, 2% terletakdi bawah P ,…, dan 99% terletak di bawah P .di bawah P2,…, dan 99% terletak di bawah P99.

• Menghitung persentil ke-p:– Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.

– Tentukan hasil kali: banyak data × proporsi = np.• Jika np bukan bilangan bulat, maka lakukan pembulatan ke atas dan tentukan data

pada urutan tersebut.

• Jika np adalah bilangan bulat (misalkan: k), hitung rata-rata dari data ke-k dan ke-(k+1).

Desil

• Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatanmenjadi 10 bagian yang sama.

• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D1, D2, …, D9 yangbersifat 10% data berada di bawah D1, 20% di bawah D2, …,dan 90% di bawah D .dan 90% di bawah D9.

Kuartil

1. Kuartil data tunggal

• Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatanmenjadi 4 bagian sama besar.

• Dilambangkan dengan:– Q1 (25% data jatuh di bawah nilai Q1)

– Q2 (50% data jatuh di bawah nilai Q2)

– Q3 (75% data jatuh di bawah nilai Q3)

• Contoh:

1 3

2 8.5

2 5 7 7 8 9 9 11 13 15Q QQ

• Contoh:

Data Pengukuran Tingkat Kebisingan Lalu Lintas (Decibel)

52 55.9 56.7 59.4 60.2 61 62.1 63.8 65.7 67.9

54.4 55.9 56.8 59.4 60.3 61.4 62.6 64 66.2 68.2

54.5 56.2 57.2 59.5 60.5 61.7 62.7 64.6 66.8 68.9

55.7 56.4 57.6 59.8 60.6 61.8 63.1 64.8 67 69.4

55.8 56.4 58.9 60 60.8 62 63.6 64.9 67.1 77.1

• Kuartil ke-1:

– letak: 0.25 × 50 = 12.5 (pecahan), maka bulatkan ke atasmenjadi 13. Kuartil pertama adalah data ke-13 yaitu 57.2.

• Persentil ke-10:• Persentil ke-10:

– letak: 0.1 × 50 = 5 (bilangan bulat), sehingga letak persentilke sepuluh adalah di antara data ke 5 dan 6 yaitu: (55.8 +55.9)/2 = 55.85

2. Estimasi Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok

Rumus menghitung kuartil data berkelompok:

4k

i

Q

in f

Q b pf

Qi: kuartil ke-i, Di: desil ke-i, Pi: persentil ke-ib: batas bawah kelas kuartil, desil, ataupersentilp: panjang kelasQf

p: panjang kelasn: banyak datafk: frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil,desil, atau persentil.fQ: frekuensi kelas kuartil, fD: frekuensi kelasdesil, fP: frekuensi kelas persentil.

10k

i

D

in f

D b pf

100k

i

P

in f

P b pf

Latihan

1. Delapan peserta lomba sepeda mencatat waktu tempuhsebagai berikut: 28, 22, 26, 33, 21, 23, 37, 24. Hitunglahmean dan mediannya.

2. Perhatikan tabel banyak anak pada setiap keluarga diKampung Sejahtera.Kampung Sejahtera.

Banyak anak Frekuensi

1 2

2 4

3 21

4 18

5 10

6 4

7 1

Tentukan mean danmediannya.

3. Perhatikan diagram tangkai-daun skor ujian akhir matakuliah statistika berikut:

2 48

3 155

4 002

Hitunglah:a. Meanb. Median4 002

5 03368

6 0124479

7 22355689

8 004577

9 0025

b. Medianc. Kuartil: Q1, Q2, dan Q3

4. Berdasarkan dari data berikut:

Hitung:a) Meanb) Medianc) Modusd) Kuartil pertamae) Pe) P45

5. Berdasarkan data berikut:

Hitung:a) Meanb) Medianc) Modusd) Kuartil pertamad) Kuartil pertamae) P45

6. Seorang mahasiwa mendapatkan nilai 87.4 untuk matakuliah Metode Statistika. Nilai yang diperoleh mahasiswatersebut dan bobot nilai pada mata kuliah Metode Statistikaadalah sebagai berikut:

Penilaian Bobot Nilai

Berapakah nilai UAS yang diperoleh mahasiswa tersebut?

Tugas 20% 88

Quiz 10% 75

UTS 30% 85

UAS 40% x

Referensi

• Bhattacharya, G. K., dan R. A., Johnson, 1997,Statistical Concept and Methods, John Wileyand Sons, New York.

• Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisike-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri,Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.