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Computational Physics Praktikum:Numerische Hydrodynamik
Wilhelm KleyInstitut fur Astronomie & Astrophysik
& Kepler Center for Astro and Particle Physics Tubingen
Hydrodynamik: Hydrodynamische GleichungenDie Euler-Gleichungen der Hydrodynamik lauten in Erhaltungsform
∂ρ
∂t+∇·(ρ~u) = 0 (1)
∂(ρ~u)
∂t+∇·(ρ~u ⊗ ~u) = −∇p + ρ~k (2)
∂(ρε)
∂t+∇·(ρε~u) = −p∇·~u (3)
~u: Geschwindigkeit, ~k : außere Krafte, ε innere spezifische EnergieDie Gleichungen beschreiben die Erhaltung der Masse, Impuls und Energie.Vervollstandigung durch Zustandsgleichung:
p = (γ − 1) ρε (4)
Forme damit die Energie-Gleichung (3) in eine Gl. fur den Druck um
∂p∂t
+∇·(p~u) = −(γ − 1)p∇ · ~u (5)
W. Kley Computational Physics Praktikum 2
Hydrodynamik: UmschreibenEntwickle die Divergenzen auf der linken Seite und benutze fur die Impuls-und Energiegleichung die Kontinuitatgleichung
∂ρ
∂t+ (~u · ∇)ρ = −ρ∇ · ~u (6)
∂~u∂t
+ (~u · ∇)~u = −1ρ∇p + ~k (7)
∂p∂t
+ (~u · ∇)p = −γp∇·~u (8)
Da alle Großen Funktionen von Ort (~r ) und Zeit (t) sind, z.B. ρ(~r , t), kann furdie linke Seite die totale Zeitableitung geschrieben werden.z.B. fur die Dichte
DρDt
=∂ρ
∂t+ (~u · ∇)ρ = −ρ∇ ·~u (9)
der OperatorDDt
=∂
∂t+ ~u · ∇ (10)
heißt substantielle Zeitableitung (entspricht der totalen Zeitableitung, d/dt)W. Kley Computational Physics Praktikum 3
Hydrodynamik: Lagrange-Formulierung
Benutze die substantielle Ableitung
DρDt
= −ρ∇ · ~u (11)
D~uDt
= −1ρ∇p + ~k (12)
DpDt
= −γp∇·~u (13)
Beschreibt zeitliche Anderung der Großen in einem mit der Stromungmitbewegten System = Lagrange-FormulierungDie Lagrangeformulierung kann z.B. gut bei radialenStern-Oszillationen verwendet werden.Ist 1D Problem. Hier durch mitbewegte Masseschalen
Bei Euler-Formulierung (auf Gitter): orstfest !
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Numerische Hydrodynamik: Problemstellung
Betrachte die volle Entwicklung der zeitabhangigen hydrodynamischenGleichungen. Die nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen derHydrodynamik werden numerisch gelost: Kontinuum ⇒ Diskretisierung
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Numerische Hydrodynamik: Losungsverfahren
Gitter-Methoden (Euler)
festes Gitter- Stromung durch Gitter
ρ
(∂~u∂t
+ ~u · ∇~u)
= −∇p
Methoden:• Finite Differenzen
keine Erhaltungseigenschaften• Control Volume
Erhaltungseigenschaften• Riemann-Loser
Welleneigenschaften• Problem: Diskontinuitaten
Teilchen-Methoden (Lagrange)
bewegtes Gitter/Teilchen- Stromung bewegt Gitter
ρd~udt
= −∇p
Bekannte Methode:Smoothed Particle Hydrodynamics,SPH
’ausgeschmierte Teilchen’Gut fur freie Rander, Eigengraviation
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Numerische Hydrodynamik: betrachte: 1D Eulergleichungen
Beschreiben Erhaltung von: Masse, Impuls und Energie
∂ρ
∂t+∂ρu∂x
= 0 (14)
∂ρu∂t
+∂ρuu∂x
= −∂p∂x
(15)
∂ρε
∂t+∂ρεu∂x
= −p∂u∂x
(16)
ρ: Dichteu: Geschwindigkeitp: Druckε: innere spezifische Energie (Energie/Masse)Mit Zustandsgleichung
p = (γ − 1)ρε (17)
γ: AdiabatenexponentPartielle Dgl. in Raum und Zeit.→ Brauche Diskretisierung in Raum und Zeit.
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Numerische Hydrodynamik: Diskretisierung
Xj−1 j j+1
ψ
Betrachte Funktion: ψ(x , t)Diskretisierung im RaumUberdeckung mit Gitter
∆x =xmax − xmin
N
ψnj Zellmittelwert von ψ(x , t) am Gitterpunkt xj zum Zeitpunkt tn
ψnj = ψ(xj , tn) ≈ 1
∆x
∫ (j+1/2)∆x
(j−1/2)∆xψ(x ,n∆t)dx
ψnj ist stuckweise konstant. j raumlicher Index, n Zeitschritt.
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Numerische Hydrodynamik: Zeitintegration
Betrachte allg. Gleichung∂ψ
∂t= L(ψ(x , t)) (18)
mit einem (raumlichen) Differentialoperator L.Typische Diskretisierung (1. Ordnung in der Zeit), z.Zt.: t = tn = n∆t
∂ψ
∂t≈ ψ(t + ∆t)− ψ(t)
∆t=ψn+1 − ψn
∆t= L(ψn) (19)
Jetzt am Ort, dem Gitterpunkt xj mit Umformung
ψn+1j = ψn
j + ∆tL(ψnk ) (20)
L(ψnk ): diskretisierter Differentialoperator L (hier explizit)
- k in L(ψk ): Satz von raumlichen Indizes:- typisch bei 2. Ordnung: k ∈ {j − 2, j − 1, j , j + 1, j + 2}
(brauche Information von links und rechts, 5 Punkt ’Stencil’)
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Numerische Hydrodynamik: Operator-Splitting
∂~A∂t
= L1(~A) + L2(~A) (21)
Li (~A), i = 1,2 einzelne (Differential-)Operatorenangewandt auf die Großen ~A = (ρ,u, ε).Hier bei 1D idealer Hydrodynamik
L1 : Advektion
L2 : Druck, bzw. ext. Krafte
Zur Losung in einzelne Unterschritte unterteilt
~A1 = ~An + ∆tL1(~An)
~An+1 = ~A2 = ~A1 + ∆tL2(~A1) (22)
Li ist Differenzenoperator zu Li .
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Numerische Hydrodynamik: Advektions-Schritt
∂ρ
∂t= −∂ρu
∂x∂(ρu)
∂t= −∂(ρuu)
∂x∂(ρε)
∂t= −∂(ρεu)
∂x
In expliziter Erhaltungsform
∂~u∂t
+∂~f (~u)
∂x= 0 (23)
Fur ~u = (u1,u2,u3) und ~f = (f1, f2, f3) gilt:
~u = (ρ, ρu, ρε) und ~f = (ρu, ρuu, ρεu).
Dieser Schritt ergibt: ρn → ρ1 = ρn+1, un → u1, εn → ε1
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Numerische Hydrodynamik: Kraftterme
Impulsgleichung∂u∂t
= −1ρ
∂p∂x
(24)
un+1j = uj −∆t
1ρn+1
j
(pj − pj−1
)∆x
fur j = 2,N (25)
Energiegleichung∂ε
∂t= −p
ρ
∂u∂x
(26)
εn+1j = εj −∆t
pj
ρn+1j
(uj+1 − uj
)∆x
fur j = 1,N (27)
auf der rechten Seite werden jeweils die momentanen Werte fur u, εund p eingesetzt, also hier u1,p1, ε1.Dieser Schritt ergibt: u1 → un+1, ε1 → εn+1
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Numerische Hydrodynamik: Modellgleichung fur Advektion
Kontinuitatsgleichung lautete
∂ρ
∂t+∂ρu∂x
= 0 (28)
Hier ist F m = ρu der Massenfluss
Geht mit ρ→ ψ und u → a = const . uber in die LineareAdvektionsgleichung
∂ψ
∂t+ a
∂ψ
∂x= 0 . (29)
Bei konstantem a ist die Losung eine nach rechts laufende Welle
mit ψ(x , t = 0) = f (x) wird ψ(x , t) = f (x − at)
Hierbei ist f (x) die Anfangsbedingung zur Zeit t = 0, welche durchAdvektion mit konstanter Geschwindigkeit a verschoben wird.
Die Numerik sollte diese Eigenschaft bestmoglichst erhalten.
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Numerische Hydrodynamik: Lineare AdvektionFTCS: Forward Time Centered Space Algorithmus
∂ψ
∂t+ a
∂ψ
∂x= 0 (30)
Spezifiziere Gitter :
x xxj+1jj−1
ψψj j+1
ψj−1
und schreibe∂ψ
∂t
∣∣∣∣nj
=ψn+1
j − ψnj
∆t(31)
∂ψ
∂x
∣∣∣∣nj
=ψn
j+1 − ψnj−1
2 ∆x(32)
es folgt
ψn+1j = ψn
j −a∆t2∆x
(ψn
j+1 − ψnj−1)
(33)
Methode sieht gut motiviert aus: ist aber Instabil fur alle ∆t !W. Kley Computational Physics Praktikum 14
Numerische Hydrodynamik: Upwind-Methode I∂ψ
∂t+∂aψ∂x
= 0 (34)
oder∂ψ
∂t+ a
∂ψ
∂x= 0 (35)
a: Konstante (Geschwindigkeit) > 0ψ(x , t) beliebige Transportgroße
Anderung von ψ in Zelle j
ψn+1j ∆x = ψn
j ∆x+∆t(Fin−Fout ) (36)
Der Fluss Fin ist fur konstante ψj
Fin = aψnj−1 (37)
Fout = aψnj (38)
Upwind-MethodeInformation kommt von Stromaufwarts
outin
∆ψ tα
X
a
j−1 j j+1
Violette Bereiche werden inNachbarzelle transportiert.
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Numerische Hydrodynamik: Upwind-Methode IIErweiterung fur nicht konstanteZustande
Fin = aψI
(xj−1/2 −
a∆t2
)(39)
ψI(x) Interpolationspolynom.Hier lineare Interpolation (Gerade)Damit
Fin = a[ψn
j−1︸ ︷︷ ︸1st Order
+12
(1− σ)∆ψj−1
]︸ ︷︷ ︸
2nd Order
(40)
mit σ ≡ a∆t/∆x
∆ψj ≈∂ψ
∂x
∣∣∣∣xj
∆x
out
in
∆ψ tα
X
a
j−1 j j+1
ψ (x)I
ψI(x) = ψnj +
x − xj
∆x∆ψj (41)
∆ψj undividierte Differenz, ap-proximiert Ableitung
Zweite Ordnung UpwindψI(x) wird jeweils in der Mitte dervioletten Bereiche ausgewertet.
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Numerische Hydrodynamik: Undividierte Differenz
Verschiedene Methoden:
a) ∆ψj = 0 Upwind, 1st Order, stuckweise konstant
b) ∆ψj = 12
(ψj+1 − ψj−1
)Fromm, zentrierte Ableitung
c) ∆ψj = ψj − ψj−1 Beam-Warming, Upwind Steigungd) ∆ψj = ψj+1 − ψj Lax-Wendroff, Downwind Steigung
Meist 2nd Order Upwind (van Leer Schema) Geometric Mean(erhalt die Monotonizitat)
∆ψj =
2 (ψj+1−ψj )(ψj−ψj−1)
(ψj+1−ψj−1) falls (ψj+1 − ψj)(ψj − ψj−1) > 0
0 sonst.(42)
Die Ableitungen werden jeweils zum entsprechenden Zeitschrittlevelbzw. Zwischenschritt berechnet.
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Numerische Hydrodynamik: Lax-Wendroff-Methode
n
n+1
nn
t
t
tn
n+1
n+1/2 ~ ~
ψ
ψ ψ
ψψ ψ
n+1/2n+1/2
j
j+1jj−1
j−1/2 j+1/2
Schematischer Uberblick uberdas Verfahrenverwendet raumlich und zeitlichzentrierte DifferenzenDadurch zweite Ordnung inRaum und Zeit
Durch zwei Schritte:Pradiktor-Schritt (z.Zt. tn+1/2)
ψn+1/2j+1/2 =
12
(ψn
j + ψnj+1
)− σ
2
(ψn
j+1 − ψnj
)(43)
Dann Korrektor-Schritt (auf Zt. tn+1)
ψn+1j = ψn
j − σ(ψ
n+1/2j+1/2 − ψ
n+1/2j−1/2
)(44)
W. Kley Computational Physics Praktikum 18
Numerische Hydrodynamik: Beispiel: Linare Advektion(x)ψ
Rechteckfunktion:Breite 0.6 im Intervall [−1,1]Geschwindigkeit a = 1, bis t = 40periodische Randbedingungσ = a∆t/∆x = 0.8 - (Courantzahl)
Upwind - (Diffusiv)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 -0.5 0 0.5 1
Ph
i-A
ch
se
X-Achse
Linear Advection (N=600,t=40): Upwind, sigma=0.8
AnalyticUpwind
Van Leer
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 -0.5 0 0.5 1
Ph
i-A
ch
se
X-Achse
Linear Advection (N=600,t=40): Van Leer, sigma=0.8
AnalyticVan Leer
Lax-Wendroff - (Dispersiv)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-1 -0.5 0 0.5 1
Ph
i-A
ch
se
X-Achse
Linear Advection (N=600,t=40): Lax Wendroff, sigma=0.8
AnalyticLax Wendroff
W. Kley Computational Physics Praktikum 19
Numerische Hydrodynamik: Stabilitatsanalyse ISetze fur Losung eine Fourier-Reihe ein (von Neumann 1940/50er)Betrachte vereinfachend eine Komponente, untersuche deren Wachstum
ψnj = V n eiθj (45)
mit der Definition von θ uber die Gittergroße ∆x und der Gesamtlange L
θ =2π∆x
L(46)
Betrachte jetzt Upwind Verfahren mit σ = a∆t/∆x
ψn+1j − ψn
j + σ(ψnj − ψn
j−1) = 0 (47)
Einsetzen von Gleichung (45)
V n+1eiθj = V neiθj + σV n[eiθ(j−1) − eiθj
]Teilen durch V n und eiθj liefert
V n+1
V n = 1 + σ(
e−iθ − 1)
(48)
W. Kley Computational Physics Praktikum 20
Numerische Hydrodynamik: Stabilitatsanalyse IIFur das Betragsquadrat erhalt man
λ(θ) ≡∣∣∣∣V n+1
V n
∣∣∣∣2 =[1 + σ
(e−iθ − 1
)] [1 + σ
(eiθ − 1
)]= 1 + σ
(e−iθ + eiθ − 2
)− σ2
(e−iθ + eiθ − 2
)= 1 + σ(1− σ)(2 cos θ − 2)
= 1− 4σ(1− σ) sin2(θ
2
)(49)
Ein Verfahren ist stabil, falls der Betrag des Verstarkungsfaktors λ(θ) kleinerals eins ist. Das Upwind-Verfahren ist also stabil fur 0 < σ < 1, dann ist|λ(θ)| < 1. Umgeschrieben
∆t < fCFL∆xa
(50)
mit dem Courant-Faktor fCFL < 1. Ublich ist fCFL = 0.5. (in 1D auch großer)Satz: Courant-Friedrich-LevyEs existiert kein explizites, konsistentes, stabiles finites Differenzenschema,welches bedingungslos stabil ist (d.h. fur alle ∆t).
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Numerische Hydrodynamik: Modifizierte Gleichung I
Betrachte Upwind Verfahren mit σ = a∆t/∆x
ψn+1j − ψn
j + σ(ψnj − ψ
nj−1) = 0 (51)
Ersetze Differenzen durch Ableitungen, d.h. Taylor-Entwicklung (bis 2.Ordnung)
∂ψ
∂t∆t+
12∂2ψ
∂t2 ∆t2+O(∆t3)+σ
(∂ψ
∂x∆x − 1
2∂2ψ
∂x2 ∆x2)
+O(∆t∆x2) = 0
(52)Teile durch ∆t , ersetze σ
∂ψ
∂t+ a
∂ψ
∂x+
12
(∂2ψ
∂t2 ∆t − a∂2ψ
∂x2 ∆x)
+O(∆t2) +O(∆x2) = 0 (53)
Benutze Wellengleichung ψtt = a2ψxx ⇒ modifizierte Gleichung (Index M)
∂ψM
∂t+ a
∂ψM
∂x=
12
a∆x (1− σ)∂2ψM
∂x2 (54)
D.h. die FDG addiert einen diffusiven Term zur ursprunglichen PDGW. Kley Computational Physics Praktikum 22
Numerische Hydrodynamik: Modifizierte Gleichung II
mit Diffusions-Koeffizienten
D =12
a∆x (1− σ) (55)
Bem: Nur fur D > 0 ist dies eine Diffusionsgleichung, woraus σ < 1fur die Stabilitat folgt (Hirt-Methode). Fur Upwind-Methode istD > 0 ⇒ Diffusion.
Lax-Wendroff liefert
∂ψM
∂t+ a
∂ψM
∂x=
∆t2aσ
(σ2 − 1
) ∂3ψM
∂x3 (56)
Die Gleichung hat also die Form
ψt + aψx = µψxxx (57)
µ =∆t2aσ
(σ2 − 1
)(58)
Dies verursacht Dispersion. Hier: Wellen zu langsam (µ < 0)⇒ Oszillationen hinter Diskontinuitat (vgl. Rechteckfunktion)
W. Kley Computational Physics Praktikum 23
Numerische Hydrodynamik: Zeitschrittgroße
Aus obiger Analyse folgt, dass die Zeitschrittgroße ∆t limitiert seinmuss fur eine stabile numerische Entwicklung.Bei der linearen Advektion (mit der Geschwindigkeit a) gilt
∆t <∆xa
(59)
Im allgemeinen Fall geht die Schallgeschwindigkeit (cs) ein, und esergibt sich die Courant-Friedrich-Lewy-Bedingung
∆t <∆x
cs + |~u|(60)
Anschaulich heißt dies, dass sich die Information in einem Zeitschrittnicht uber eine Gitterzelle hinweg ausbreiten darf. Man schreibtublicherweise
∆t = fC∆x
cs + |~u|(61)
mit dem Courant-Faktor fC . Typisch ist: fC ∼ 0.5.Nur bei impliziten Verfahren gibt es (theoretisch) keine Beschrankung von ∆t .
W. Kley Computational Physics Praktikum 24
Numerische Hydrodynamik: Zeitschrittgroße graphisch
Der numerische Abhangigkeitsbereich (gestrichelter Bereich) mussgroßer als der physikalische (grauer Bereich) sein (∆x/∆t > a).Die gesamte Information des physikalischen ’Schallkegels’ mussberucksichtigt werden.
W. Kley Computational Physics Praktikum 25
Numerische Hydrodynamik: Multi-dimensional
Gitterdefinition (in 2D, staggered):Skalare in Zellzentren(hier: ρ, ε,p, v3, ψ)Vektoren an Interfaces(hier: v1, v2 )
Flusse uber Zellrander:Oben: MasseflusseUnten: X-Impuls (Gitter verschoben)
aus: ZEUS-2D: A radiation magnetohydrodynamics code for astrophysical flows intwo space dimensions. I in The Astrophysical Journal Suppl., von Jim Stone undMike Norman, 1992.Benutze Operator-Splitting und Directional Splitting: Die x und y Richtung werdennacheinander abgehandelt. Erst x-scans, dann y -scans.
W. Kley Computational Physics Praktikum 26
Numerische Hydrodynamik: ZusammenfassungNumerische Methoden sollten Erhaltungseigenschaften wiedergeben.
Gleichungen in Erhaltungsform schreibenNumerische Methoden sollten Welleneigenschaften wiedergeben.
Shock-Capturing Methoden, Riemann-LoserNumerische Methoden mussen Diskontinuitaten unter Kontrolle halten.
Brauche dazu Diffusion (⇒ Stabilitat)entweder explizit (kunstliche Viskositat) oder intrinsisch (durch Verfahren)
Numerische Methoden sollten genau seinmind. 2. Ordnung in Zeit und Raum
Frei verfugbare Codes:ZEUS: http://www.astro.princeton.edu/~jstone/zeus.html
klassischer Upwind-Code, zweiter Ordnung, staggered grid, RMHDATHENA: https://trac.princeton.edu/Athena/
Nachfolger von ZEUS: Riemann Loser, zentriertes Gitter, MHDNIRVANA: http://nirvana-code.aip.de/
3D, AMR, Finite Volume Code, MHDPLUTO: http://plutocode.ph.unito.it/
3D, relativistisch, Riemann-Loser/Finite Volume, MHDGADGET: http://www.mpa-garching.mpg.de/galform/gadget/
SPH-Code, Tree-Code, Eigengrav. (Galaxien)W. Kley Computational Physics Praktikum 27
Hydrodynamik: Wellenstruktur
Betrachte eindimensionale Gleichungen (Bewegung in x-Richtung):
Aus Eulergleichungen: Mit p = (γ − 1)ρε und Trennen der Ableitungen
∂ρ∂t + ∂ρu
∂x = 0∂ρu∂t + ∂ρuu
∂x = −∂p∂x
∂ρε∂t + ∂ρεu
∂x = −p ∂u∂x
=⇒
∂ρ∂t + u ∂ρ∂x + ρ∂u
∂x = 0∂u∂t + u ∂u
∂x + 1ρ∂p∂x = 0
∂p∂t + u ∂p
∂x + γp ∂u∂x = 0
Als Vektorgleichung∂W∂t
+ A∂W∂x
= 0 (62)
mit
W =
ρup
und A =
u ρ 00 u 1/ρ0 γp u
(63)
Gleichungen sind nichtlinear und gekoppelt.Versuche Entkopplung: ⇒ Diagonalisierung von A
W. Kley Computational Physics Praktikum 28
Hydrodynamik: DiagonalisierungEigenwerte (EW)
det(A) =
∣∣∣∣∣∣u − λ ρ 0
0 u − λ 1/ρ0 γp u − λ
∣∣∣∣∣∣ = (u − λ)
∣∣∣∣ u − λ 1/ργp u − λ
∣∣∣∣= (u − λ)
[(u − λ)2 − γp/ρ
]= 0 (64)
Es folgt:λ0 = u
λ± = u ± cs(65)
mit der Schallgeschwindigkeitc2
s =γpρ
(66)
Die Eigenwerte geben charakteristische Geschwindigkeiten,mit denen sich die Information ausbreitet.Setzt sich aus Fluid- (u) und Schallgeschwindigkeit (cs) zusammen3 reelle Eigenwerte ⇒ A diagonalisierbar
Q−1AQ = Λ (67)
Q setzt sich aus Eigenvektoren zu EW (λi , i = 0,+,−) zusammen, Λ istDiagonalmatrix.
W. Kley Computational Physics Praktikum 29
Hydrodynamik: Charakteristische VariablenFur Q folgt
Q =
1 12ρcs
− 12ρcs
0 12
12
0 12ρcs − 1
2ρcs
und Q−1 =
1 0 − 1c2
s
0 1 1ρcs
0 1 − 1ρcs
Hatten
∂W∂t
+ A∂W∂x
= 0 (68)
undQ−1AQ = Λ
Definiere:dv ≡ Q−1dW also dW = Qdv (69)
Multipliziere Gl. (68) mit Q−1
∂v∂t
+ Λ∂v∂x
= 0 (70)
v = (v0, v+, v−) sind charakteristische Variable: vi = const . auf Kurven
dxdt
= λi
W. Kley Computational Physics Praktikum 30
Hydrodynamik: Variable v0
aus den Definitionendv0 = dρ− 1
c2s
dp (71)
∂v0
∂t+ λ0
∂v0
∂x= 0 mit λ0 = u (72)
was ist dv0 ?Aus Thermodynamik (1. Hauptsatz fur spezifische Großen)
Tds = dε+ p d(
1ρ
)= dε− p
ρ2 d(
1ρ
)(73)
mit p = (γ − 1)ρε, ε = cv T , γ = cp/cv folgt
ds = −cp
ρ
[dρ− dp
c2s
]= −cp
ρdv0 (74)
=⇒ ∂s∂t
+ u∂s∂x
= 0 (75)
d.h. s ist const . entlang Stromlinien, also
dsdt
= 0 (76)
W. Kley Computational Physics Praktikum 31
Hydrodynamik: Riemann-Invarianten
Fur weitere Variablen∂v±
∂t+ (u ± cs)
∂v±
∂x= 0 (77)
mitdv± = du ± 1
ρcsdp (78)
folgt
v± = u ±∫
dpρcs
. (79)
Sei Entropie uberall konstant (d.h. p = Kργ)
=⇒ v± = u ± 2cs
γ − 1(80)
Riemann-Invarianten: v± = const . auf Kurven
dxdt
= u ± cs
W. Kley Computational Physics Praktikum 32
Hydrodynamik: Aufsteilen von SchallwellenLinearisierung der Euler-Gleichungen fuhrt auf Wellengleichung fur Storung:
∂2ρ1
∂t2 = c2s∂2ρ1
∂x2 (81)
aber: cs nicht konstant⇒ Aufsteilen
⇒ Diskontinuitaten≡ Sprung: Uber- Unterschall
Bspl. fur (rucklaufende) Stoßwelle
W. Kley Computational Physics Praktikum 33
Beispiele: Stoßrohr - Shocktube
Anfangsdiskontiuitat in einem Rohr am Ort x0 (eindimensional)Riemann-Problem
0
P
P
ρ
ρ
2
2
1
1
Bereich 1
Diskontinuität
Bereich 2
x
Sprung in Druck (p) und Dichte (ρ)es entwickelt sich:- eine Stoßwelle nach rechts (X4)
(mit Uberschall ush > cs)- eine KontaktdiskontinuitatDichtesprung (entlang X3)- eine Verdunnungswelle
(zwischen X1 und X2)
W. Kley Computational Physics Praktikum 34
Beispiele: Sod-ShocktubeStandard Testproblem fur numerische Hydrodynamik, x ∈ [0,1] mitX0 = 0.5, γ = 1.4ρ1 = 1.0, p1 = 1.0, ε1 = 2.5,T1 = 1 und ρ2 = 0.1, p2 = 0.125, ε2 = 2.0,T2 = 0.8Hier Losung mit van Leer Verfahren (z.Zt. t = 0.228 nach 228 Zeitschritten:)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Ve
loci
ty
Shock-Tube: Sod; Mono: Geometric Mean; Nx=100, Nt=228, dt=0.001
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
De
nsi
ty
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Te
mp
era
ture
X-Axis
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Pre
ssu
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X-Axis
Rot: ExaktGrun: NumerikLosung ist:selbstahnlichgehen durchStreckungauseinanderhervor.
W. Kley Computational Physics Praktikum 35
Beispiele: Sedov-ExplosionAls Beispiel fur Bombenexplosionen (Sedov & Taylor, 1950er), analytische Losung(Sedov)Grundproblem fur Supernovae-Ausbruche, z.B. Abschatzung der Remnant-GroßeStandard Testproblem mehr-dimensionale Hydrodynamik fur x , y ∈ [0, 1]× [0, 1]Energie-Input am Ursprung, E = 1, in ρ = 1, γ = 1.4, 200× 200 GitterpunkteHier Losung mit van Leer Verfahren (lose fur totale Energie-Variable). Dargestellt:Dichte
W. Kley Computational Physics Praktikum 36
Beispiele: Wassertropfen: SPHWasserkugel (R=30cm), Wanne (1x1 m, 60cm hoch) Incl.Oberflachenspannung, Zeit in Sekunden (TU-Munchen, 2002)
(Website)W. Kley Computational Physics Praktikum 37
Beispiele: Sternentstehung: SPH
Molekulare Wolke
Masse:50 M�
Durchmesser:1.2 LJ = 76,000 AE
Temperatur:10 K
(M. Bate, 2002)
W. Kley Computational Physics Praktikum 38
Beispiele: Kelvin-Helmholtz Instabilitat: Prinzip
Die KHI ist eine Scherinstabilitat. Sprung in Tangential-Geschwindigkeit.
W. Kley Computational Physics Praktikum 39
Beispiele: KH-Instabilitat: In Atmosphare
(Boulder (NCAR), USA)W. Kley Computational Physics Praktikum 40
Beispiele: KH-Instabilitat: Simulation
Direkter Vergleich: Bewegtes < − > Festes Gitter
Links: Gitter bewegt (Voronoi-Tesselation)Rechts: festes quadratisches Gitter (Euler)
mit Gitterbewegung
(Kevin Schaal, Tubingen)
Youtube channel
W. Kley Computational Physics Praktikum 41
Beispiele: Rayleigh-Taylor Instabilitat
PPM Code, 128 Knoten, ASCI Blue-Pacific ID System at LLNL
5123 Gitterpunkte (LLNL, 1999)
(Web-Link)W. Kley Computational Physics Praktikum 42
Beispiele: Diesel Injektion
Finite Volumen Methode (FOAM)
Geschwindigkeit, Temperatur, Teilchen (+Isoflache) (Nabla Ltd, 2004)
W. Kley Computational Physics Praktikum 43
Beispiele: Kataklysmische Variable: Gitter
−1 −.8 −.6 −.4 −.2 0 .2 .4 .6−.6
−.4
−.2
0
.2
.4
.6
x
y
W. Kley Computational Physics Praktikum 44