Capítulo 3docentes.fe.unl.pt/~mhalmeida/slides3.pdf3 3,2 3,4 0 5 10 15 20 ε= 0,2 9 3,11 10 3,1 11...

1

Capítulo 3

Sucessões e Séries Geométricas

2

�SUMÁRIO

� Definição de sucessão

� Monotonia de sucessões

Capítulo 3 - Sucessões

� Monotonia de sucessões

� Sucessões limitadas (majoradas e minoradas)

� Limites de sucessões

� Sucessões convergentes e divergentes

� Resultados sobre limites de sucessões

� Séries geométricas

3

• Definição de Sucessão:

Uma sucessão real é uma função que se designapor ou por outra expressão semelhante.


RNf →:

nU

+

=ímparn

n

parn

Cn

,2

1

,0

nU n

1= 15

2+= nVn

≥

<=

4,2

4,

nn

nnZn

4


...;5

4;

4

3;

3

2;

2

1

...;32;16;8;4;2 =U 21

Sucessão por recorrência

...;32;16;8;4;2

...;81;27;9;3;1 −−−

...;40

1;

20

1;

10

1;

5

1−−

=

=

+ nn UU

U

6

2

1

1

5

• Monotonia de uma Sucessão:

Uma sucessão é crescente se e só se para qualquerse verificar .


nU

Nn ∈ nn UU ≥+1

Se então a sucessão é estritamente crescente.

Exemplo:

Não é uma sucessão crescente, nem sempre é verdade que

nn UU >+1 nU

...4;3;2;1;4;3;2;1

nn UU ≥+1

6

Serão crescentes as sucessões?


)sin(nU n =

nnV 52

−= nnVn 52

−=

62

−= nWn

Para ver se uma sucessão é crescente não basta calcular alguns termos, é preciso provar pela definição!

7


Será uma sucessão crescente? nU n 2=

022)1(21 >=−+=−+

nnUU nnSIM

Será uma sucessão crescente? nnVn +=2

( ) 0221)1(22

1 >+=+−+++=−+

nnnnnVV nn SIM

8


Será uma sucessão crescente? n

Wn

1=

0)1(

11

1

11 <

+

−=−

+=−

+nnnn

WW nn NÃO)1(1 ++ nnnn

Será uma sucessão crescente? 2)4( −= nCn

52)4()41(22

1 −=−−−+=−+

nnnCC nnNÃO

Esta expressão tanto é positiva como negativa, depende do valor de n

9


Será uma sucessão crescente?

≥

<=

4,

4,2

nn

nnZn

Se n<3:

Se n>3:

Se n=3:

022)1(21 >=−+=−+

nnZZ nn

NÃO

01)1(1 >=−+=−+ nnZZ nn

0264341 <−=−=−=−+ ZZZZ nn

10


Será uma sucessão crescente?

+

=ímparn

n

parn

Cn

,2

1

,0

Se n par, n+1 ímpar:

Se n ímpar, n+1 par:

03

10

21

11 >

+=−

++=−

+nn

CC nn

NÃO

02

101 <

+−=−

+n

CC nn

11


parn,0

0,25

0,3

0,35

+

=ímparn

n

parn

Cn

,2

1

,0

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 5 10 15 20

12

Uma sucessão é decrescente se e só se para qualquerse verificar .

Se a sucessão é estritamente decrescente.


nU

Nn ∈ nn UU ≤+1

UU < USe a sucessão é estritamente decrescente.

Uma sucessão é monótona se for crescente oudecrescente. Uma sucessão é estritamente monótona se forestritamente crescente ou estritamente decrescente.

nn UU <+1 nU

13

Uma sucessão diz-se majorada se existir um certo númeroreal M tal que:


NnMUn ∈∀≤ ,

U1

2 −=n

U n

12 −=

99,1;...;67,1;5,1;1 100321 ==== UUUU

Facilmente se percebe que os termos da sucessão convergem para 2, nunca atingindo este valor. Logo existe uma “barreira superior” em 2. NnUn ∈∀≤ ,2

14

Se é verdade que também é verdade que

ou que .

Na verdade temos infinitas barreiras à sucessão.


NnUn ∈∀≤ ,2

NnUn ∈∀≤ ,4 NnUn ∈∀≤ ,67

Na verdade temos infinitas barreiras à sucessão.

Qualquer número real igual ou superior a 2 serve de barreirasuperior à sucessão.

A sucessão é majorada sendo o conjunto dos

majorantes dado porn

U n

12 −=

[ [∞+;2

15

A sucessão é majorada pois um

coseno (independentemente do argumento) nunca

ultrapassa o valor 1, logo é verdade que:


( )nnnVn ln7cos3

+−=

ultrapassa o valor 1, logo é verdade que:

Assim, a sucessão é majorada.

NnVn ∈∀≤ ,1

nV

NneVn ∈∀≤ , NnVn ∈∀≤ ,100

16

Uma sucessão diz-se minorada se existir um certo númeroreal m tal que:


NnmUn ∈∀≥ ,

U6

=n

U n

6=

06,0;...;2;3;6 100321 ==== UUUU

Facilmente se percebe que os termos da sucessão convergem para zero, nunca atingindo este valor. Logo existe uma “barreira inferior” em 0. NnUn ∈∀≥ ,0

17

Se é verdade que também é verdade que

ou que .

Na verdade temos infinitas barreiras inferiores à sucessão.


NnUn ∈∀−≥ ,100

NnUn ∈∀≥ ,0

NnUn ∈∀−≥ ,4

Na verdade temos infinitas barreiras inferiores à sucessão.

Qualquer número real igual ou inferior a 0 serve de barreira àsucessão.

A sucessão é minorada sendo o conjunto dos

minorantes dado porn

U n

1=

] ]0;∞−

18

Uma sucessão é limitada se for majorada e minorada.


NnMUm n ∈∀≤≤ ,

)5sin( −= nU n

NnUn ∈∀≤≤− ,11

É uma sucessão limitada

52

+= nVn

NnVn ∈∀+∞<≤ ,6

Não é uma sucessão limitada, é apenas minorada

19

Exercícios:

1. Prove que a sucessão é limitada.


1)1(

+−=

n

nU

2. Prove pela definição que a sucessão éestritamente monótona.

3. Prove que se é limitada, também o será a sucessão

132

++= nnVn

nW

25 −= nn WC

20


nU n

13 +=

• Limites de Sucessões:

n

Não é difícil perceber que o limite da sucessão é 3. Mas como provar pela definição o limite de uma sucessão?

:)(,0 εε n∃>∀ εε <−⇒>∀ LUnn n)(

21


3,6

3,8

4

4,2

n Un

1 4

2 3,5

3 3,3333

4 3,25

5 3,2

6 3,17

7 3,14

8 3,125

nU n

13 +=

2,8

3

3,2

3,4

0 5 10 15 20

2,0=ε

8 3,125

9 3,11

10 3,1

11 3,09

12 3,083333

13 3,076923

14 3,071429

15 3,066667

16 3,0625

17 3,058824

18 3,055556

19 3,052632

20 3,05

A partir da ordem 6 os termos distam do limite menos que 0,2

22


51

2,01

2,01

2,031

32,03

>⇔>⇔

⇔<⇔<⇔<−+⇔<−

nn

nnnU n

52,0

1>⇔>⇔ nn


23


3,6

3,8

4

4,2

n Un

1 4

2 3,5

3 3,3333

4 3,25

5 3,2

6 3,17

7 3,14

8 3,125

nU n

13 +=

2,8

3

3,2

3,4

0 5 10 15 20

1,0=ε

8 3,125

9 3,11

10 3,1

11 3,09

12 3,083333

13 3,076923

14 3,071429

15 3,066667

16 3,0625

17 3,058824

18 3,055556

19 3,052632

20 3,05


24


101

1,01

1,01

1,031

31,03

>⇔>⇔

⇔<⇔<⇔<−+⇔<−

nn

nnnU n

101,0

1>⇔>⇔ nn


25


3,6

3,8

4

4,2

n Un

1 4

2 3,5

3 3,3333

4 3,25

5 3,2

6 3,17

7 3,14

8 3,125

nU n

13 +=

2,8

3

3,2

3,4

0 5 10 15 20

07,0=ε

8 3,125

9 3,11

10 3,1

11 3,09

12 3,083333

13 3,076923

14 3,071429

15 3,066667

16 3,0625

17 3,058824

18 3,055556

19 3,052632

20 3,05


26


29,141

07,01

07,01

07,031

307,03

>⇔>⇔

⇔<⇔<⇔<−+⇔<−

nn

nnnU n

29,1407,0

1>⇔>⇔ nn


27


nU n

13 +=

3,8

4

4,2

Qualquer que seja o valor de encontramos sempre uma ordem a partir

ε)(εn

2,8

3

3,2

3,4

3,6

0 5 10 15 20

uma ordem a partir da qual todos os termos distam do limite menos que .

Quanto mais pequeno for o valor de maior é

ε

ε )(εn

)(εn

28


nU n

13 +=

εεεε <−⇒>∀∃>∀ LUnnn n)(:)(,0

εεεεε

1113

133 >⇔<⇔<⇔<−+⇔<− n

nnnU n

εε

1)( =n

A partir da primeira ordem natural superior a adistância entre os termos e o limite é menor que . Está provado que o limite é 3 pois há termos tão próximos do limite tanto quanto possamos imaginar.

ε

1

ε

29


nVn

16 −−=

εεεε <−−⇒>∀∃>∀ )5()(:)(,0 nVnnn

Prove pela definição que o limite da sucessão não é -5.

1

11

11

1

11

51

65

−>⇔−<⇔<+⇔

⇔<−−⇔<+−−⇔<+

εεε

εεε

nnn

nnVn

Resultado absurdo, logo o limite não é -5!

30


Uma sucessão é um infinitamente grande positivo se o seu limite for mais infinito, ou seja:

nU

• Limites Infinitos de Sucessões:

Por maior que seja o número real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão são superiores a L. Tal resultado ilustra que a sucessão não para de crescer, logo é um infinitamente grande positivo.

LULnnLnL n >⇒>∀∃>∀ )(:)(,0

nU

nU

31


40

60

80

100

120

nU n 5=90=L

50=L

Quanto maior for Lmaior a ordem a partir da qual os

0

20

0 5 10 15 20 25

partir da qual os termos são

superiores a L.

LULnnLnL n >⇒>∀∃>∀ )(:)(,0

55

LnLnLUn >⇔>⇔>

5)(

LLn =

32


Uma sucessão é um infinitamente grande negativo se o seu limite for menos infinito, ou seja:

LULnnLnL n <⇒>∀∃<∀ )(:)(,0

nU

Por mais negativo que seja o número real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão são inferiores a L. Tal resultado ilustra que a sucessão não para de decrescer, logo é um infinitamente grande negativo.

LULnnLnL n <⇒>∀∃<∀ )(:)(,0

nU

nU

33


nU n 3−=

35−=LQuanto menor for L maior a ordem

a partir da qual os -40

-30

-20

-10

00 5 10 15 20 25

55−=L

a partir da qual os termos são

inferiores a L.

LULnnLnL n <⇒>∀∃<∀ )(:)(,0

33

LnLnLUn −>⇔<−⇔<

3)(

LLn −=

-70

-60

-50

34


Uma sucessão é um infinitamente grande positivo em módulo se , ou seja:

LULnnLnL >⇒>∀∃>∀ )(:)(,0

nU

+∞=n

Ulim

Por mais positivo que seja o número real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão em módulo são superiores a L.

LULnnLnL n >⇒>∀∃>∀ )(:)(,0

nU

35


nUn

n )1(−=

15

20

25

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

36


nnUn

n =−= )1(

16

18

20

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20

37


Assim, a sucessão é um infinitamente grande em módulo.

Pela definição:

nUn

n )1(−=

LULnnLnL n >⇒>∀∃>∀ )(:)(,0 LULnnLnL n >⇒>∀∃>∀ )(:)(,0

LnLnLUn

n >⇔>−⇔> )1(

LLn =)(

A partir da primeira ordem natural superior a L os termos da sucessão são, em módulo, maiores

que L.

38


Mostre, pela definição, que +∞≠

n

1lim

LULnnLnL n >⇒>∀∃>∀ )(:)(,0

LnL

nLU n

11<⇔>⇔>

Resultado totalmente absurdo, não faz sentido o sinal, nem faz sentido que quanto maior for Lmenor a ordem a partir do qual

os termos são maiores que L.

39


eConvergent

• Classificação de Sucessões:

∞

∞−

∞+

DivergentetePropriamen

Oscilante

DivergenteSucessão

40


Sucessão convergente: sucessão que tem limite finito

n

nU n

2

cos=

nn

nVn

+−=

6

34

nW

n

n

6)1(

1+−=

Sucessão divergente oscilante: sucessão com sub-sucessões com limites diferentes

nU

n

n

1)1(2 +−=

9

)1(

+

−=

n

nV

n

n

Sucessão propriamente divergente: infinitamente grande positivo, negativo, ou em módulo.

nUn 5=1

)1(3

+

−=

n

nV

n

n

41


1. O limite, se existir, é único.

2. Sejam duas sucessões e tais que , e U V aU =lim bV =lim VU ≤

• Propriedades dos Limites de Sucessões:

2. Sejam duas sucessões e tais que , e a partir de uma certa ordem. Então

3. Se a sucessão tem limite a , então qualquer subsucessão de tem ainda limite a.

4. Se a partir de se puderem formar duas subsucessões com limites diferentes, então é uma sucessão divergente.

nU nV aU n =lim bVn =lim nn VU ≤

nn VU limlim ≤

nU nU

nU

nU

42


5. Toda a sucessão convergente é limitada.

6. A soma de dois infinitamente grandes positivos é ainda um infinitamente grande positivo.

7. A soma de dois infinitamente grandes negativos é ainda um infinitamente grande negativo.

8. A soma de um infinitamente grande positivo com um infinitamente grande negativo origina uma sucessão com limite indeterminado.

9. Se e é minorada, então

10. Se e é majorada, então

+∞→nUn

V +∞→+ nn VU

−∞→nU nV −∞→+ nn VU

43


11.

12. Sejam e , então:

nn UU limlnlnlim =

aU n → bVn → baVU nn +=+ )lim(

baVU nn .).lim( =

se

nn

b

a

V

U

n

n =

lim 0lim ≠

nV

pp

n aU =lim

aUkk n =lim

kakUn =lim

44


13. Se e é limitada, então .

14. (desde que não dê indeterminação)

0→nU nV ( ) 0.lim =nn VU

nV

n

nV

nUU

lim

)(limlim =∞

1 ∞

∞ 00

0∞

Outras indeterminações:

1 ∞ 0

0

01

5

25

2

→

n

n 02

34

→

n

n+∞→

6

5

4

n

n

∞

45


∞

∞+∞→

+−

+−

7

452

n

n2

3

62

2

→−

+

πn

en0

37

→+−

n

n

∞×0 11

→× nn

+∞→×2

2

1n

n0

1 3

5→× n

n

46


∞−∞+ −∞→−2

nn 066

→− nn +∞→−26

nn∞−∞+ −∞→−2

nn 066

→− nn +∞→−26

nn

47


e

...71828,21

1lim ==

+ e

n

Um caso particular, o número

100...71828,21lim ==

+ en

705,2100

11

100

=

+

717,21000

11

1000

=

+

7181,210000

11

10000

=

+

É um caso de indeterminação do tipo ∞

1

48


k

n

en

k=

+1lim

Com base no resultado anterior demonstra-se que…

331lim e

n

=

+33

1lim en

=

+

ee

nn

nn15,0

1lim2

11lim

5,0==

−=

−

−

6

16ln1lim

6ln==

−

−e

n

n

49


Demonstração… k

n

en

k=

+1lim

Seja kanan

k=⇔=

1

k

ka

kakan

ea

aan

k

=

+=

=

+=

+=

+

11lim

11lim

11lim1lim

Notar que se n tende para infinito, também a tende para

infinito pois k é uma constante.

50


k

U

n

eU

kn

=

+1lim

Mais um resultado…

e

n

=

+

81

1lim

en

=

+

8

11lim

2

4

4

21lim

−

+

=

+− e

n

n

55ln

1lim =

+

n

n

+∞→nU

51


9

ln

ln

91lim e

n

n

=

+

2

12

12

22

1lim3

lim en

nn

=

+=

+

++

221

1lim1

lim enn

=

+

+=

+

33

1

3

1111

1

31lim

1

1

31lim

1

31lim

1

31lim

1

31lim

1

31lim

−−

−

−

−+−+

=

+−

×=

+−×=

=

+−×

+−=

+−=

+−

e

n

en

e

nnnn

nnn

52


• Resultados importantes sobre Limites de Sucessões:

Resultado 1:

Se então aU n =+1lim aUn =lim nU é uma sucessão de Se então aU

U

n

n =+1lim aUnn =lim

?4lim =n n

14lim14

41lim

4

)1(4limlim 1 =⇒=

+=

+=+ n

n

n nnn

n

U

U

nU é uma sucessão de termos não negativos

53


?!

lim =n

n

n

( )11 ++ nn

( )

0!

lim

01

lim

!

!)1(

1

lim

!

!1

1

limlim 1

=⇒

⇒==+

+

=+

+

=+

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

U

U

54


Resultado 2:

Se então

)42ln( +n

( ) aUU nn =−+1lim a

n

Un =lim

?)42ln(

lim =+

n

n

( ) ( )

01ln2

2limln

42

62limln

42

62lnlim

)42ln()4)1(2ln(limlim 1

==

=

+

+=

+

+=

=+−++=−+

n

n

n

n

n

n

nnUU nn

55


( ) 0)42ln(

lim0lim 1 =+

⇒=−+

n

nUU nn

Faz sentido porque n cresce muito mais depressa do que )1ln( +n

56


Resultado 3:

Seja crescente. Sejam e infinitamente grandesn

V

UU − U

nV nU

Se então aVV

UU

nn

nn →−

−

+

+

1

1 aV

U

n

n →

?)5ln(

lim =+

n

n

57


?)5ln(

lim =+

n

n

0)5ln(

lim0

1lnlimln5

6lnlim

1

)5ln()6ln(lim

=+

⇒=

==

=

+

+=

−+

+−+

n

n

n

n

n

n

nn

nn

58


?12

lim =+n

n

2

1lim

)12(1)1(2

1lim =

−+=

+−++

−+ nn

nn

nn

( )( )( ) ( )

( )0

12lim0

12

1lim

12

1lim

12

11lim

2lim

)12(1)1(2lim

=+

⇒=++

=

=++

−+=

++

++−+=

==+−++

n

n

nn

nn

nn

nn

nnnn

nn

59


Resultado 4: Teorema das Sucessões Enquadradas

Dada uma sucessão , se existirem duas subsucessões e tais que:

nU nV nW

WUV ≤≤ nnn WUV ≤≤

Então teremos necessariamente :

nnn WUV limlimlim ≤≤

60


?2

)sin(lim =

n

n

nn

n

nWUV nnn

2

1

2

)sin(

2

1≤≤

−⇔≤≤

Sabendo que sin(n) está sempre entre -1 e 1 podemos enquadrar a sucessão dada.

61


Pelo Teorema das Sucessões Enquadradas:

2

1lim

2

)sin(lim

2

1lim ⇔

≤

≤

−

nn

n

n

02

)sin(lim0

222

≤

≤⇔

n

n

nnn

Logo: 02

)sin(lim =

n

n

62


nnnnnU n

+++

++

++

+=

2222

1...

4

1

3

1

2

1

( ) ( )12

11

1

2

1...

2

1

2

11...

11

22

222222

−+

≤≤−+

⇔

⇔+

+++

++

≤≤+

+++

++

⇔

⇔≤≤

nn

Unnn

nnnU

nnnnnn

WUV

n

n

nnn

63


Pelo Teorema das Sucessões Enquadradas:

( ) ( ) ⇔

−

+≤≤

−

+22

12

1limlim1

1lim n

nUn

nnn

⇔

−≤≤

−⇔

⇔

+

−≤≤

+

−⇔

+ +

22

22

1limlim

1lim

2

1limlim

1lim

2

n

nU

n

n

n

nU

nn

n

nnn

n

n

64


11

1limlim

1lim

22

≤≤⇔ −

≤≤ −

⇔

⇔

−≤≤

−⇔ n

nn

n

nU

n

n

1lim11

limlim1

lim ≤≤⇔

−≤≤

−⇔ nn U

n

nU

n

n

Logo: 11

...4

1

3

1

2

1lim

2222=

+++

++

++

+ nnnnn

65


Séries:

Seja uma sucessão. Chamamos série numérica (ou série infinita) à soma descrita da seguinte forma:

na

Ou seja, uma série é formada pela soma dos sucessivos termos de uma sucessão.

......321

1

+++++=∑+∞

=

n

n

n aaaaa

66


Sequência das Somas Parciais:

Chamamos de sequência das somas parciais à sequência:

aS = 11 aS =

212 aaS +=

nnnn aSaaaS +=+++=−121 ...

...

67


Série convergente:

Seja uma série e a sequência das suas somas parciais.na nS

Se , a série é convergente e tem soma .

Caso contrário a série diverge.

∞<= SSSn ,lim S

68


Critério Geral de Convergência:

Se é uma série convergente então .∑ na 0lim =na

Logo:

Se a série diverge.0lim ≠na ∑ na

Condição suficiente para uma série divergir!

69


Exercícios:

Quais das seguintes séries são à partida divergentes, pelo critério geral de convergência?

∑≥1

6n

n

∑≥

2 3

1

n

n

( )[ ]∑≥

−1

1.9n

n

∑≥

+

−

1 8

1

n n

n

∑≥

−

+

12

4

1000

n n

n

n

n n∑

≥

−

1

51

70


Propriedades das séries:

Sejam e duas séries convergentes, então também converge.

∑ na ∑ nb

( )∑ ∑∑ ±=± nnnn baba∑ ∑∑

Se converge (diverge) e , então também converge (diverge). Se então e por isso converge.

∑ na 0≠k ∑∑ = nn akak.

0=k 0.∑ =nak

Se converge e diverge, então diverge.∑ na ∑ nb ( )∑ ± nn ba

71


Séries Geométricas:

São séries do tipo:

....2

1

1

1

+++==∑∑+∞

=

−+∞

=

arararaan

n

n

n

n

n

a

ar 1+=

72


Uma série geométrica converge se:

• 0=a

∑+∞

=

−

1

1.

n

nra

ou

• 111 <<−⇔< rr

r

ara

n

n

−=∑

+∞

=

−

1.

1

1

73


Se uma série geométrica converge então r

ara

n

n

−=∑

+∞

=

−

1.

1

1

aa

ra

rara

nn

=−

×=−

×=−

×=

+∞+∞−∑

0111.

1

r

a

ra

r

ra

r

rara

n

n

−=

−

−×=

−

−×=

−

−×=

=

−∑11

01

1

1

1

1. 1

1

1

Soma dos termos de uma progressão

geométrica de razão r

Como a série converge, -1<r<1

logo r elevado a mais infinito é zero

74


Exercícios:

Quais das seguintes séries são séries geométricas? Serão convergentes? Se sim, calcule a sua soma.

∑≥1

2n

n

∑≥

2 4

1

n

n

( )∑≥

−

1

1.3

1

n

n

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