Sieć przestrzenna

ar

br

cr

cbar vrrr wvuuvw ++=

komórka elementarna

)( cbaV vrr ×⋅=

Układy krystalograficzne (7)i

Sieci Bravais (14)

Monoclinic (P) a ≠ b ≠ c, α = γ = 90ο, β ≠ 90ο

Monoclinic (C) a ≠ b ≠ c, α = γ = 90ο, β ≠ 90ο

Triclinic (P)a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90ο

Orthorhombic (C) a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90ο

Orthorhombic (P) a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90ο

Orthorhombic (I) a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90ο

Orthorhombic (F) a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90ο

Hexagonal (P) HCPa= b ≠ c, α = β = 90o, γ = 120o

Rhombohedral (R) a = b = c, α = γ = β ≠ 90ο

Tetragonal (P) Tetragonal (I)a= b ≠ c, α = β = γ =90o

Cubic (P) a= b = c, α = β = γ = 90o

Cubic (I) BCCa= b = c, α = β = γ = 90o

Cubic (F) FCCa= b = c, α = β = γ = 90o

Grupy punktowe (32)zbiór przekształceń symetrii, w których węzeł pozostaje nieruchomy a sieć

przechodzi sama w siebie

obroty, odbicie zwierciadlane, inwersja

Grupy przestrzenne (230)

sieci Bravais + grupy punktowe

Proste sieciowe [u,v,w]

kierunki symetrycznie równoważne<u,v,w>

[1,1

,2] np. w układzie regularnym:

<100> = [100], [-1 0 0], [010]......

Płaszczyzny sieciowe - wskaźniki Millera

arbrcr

x

y

z

2

3

2

•znaleźć współrzędne przecięcia płaszczyzny z osiami : 2, 3, 2

•utworzyć odwrotności tych liczb: 1/2, 1/3, 1/2

•znaleźć trzy najmniejsze liczby całkowite o tym samym stosunku: 3, 2, 3

•liczby te zapisane w nawiasie są wskaźnikami płaszczyzny (hkl) - (323)

też (323)

Płaszczyzny sieciowe - wskaźniki Millera

Przykłady u układzie regularnym

• Punkt przecięcia: a, 0, 0• Wskaźniki Millera: (111)

(222)

• Punkt przecięcia: a, a, ∞• Wskaźnik Millera: (110)

• Punkt przecięcia: a, ∞, ∞• Wskaźnik Millera: (100)

• Punkt przecięcia: (1/2)a, a, ∞•w jednostkach a: 1/2, 1, ∞• Wskaźnik Millera: (210)

trzy zaznaczone płaszczyzny są dzięki symetrii równoważne,w układzie regularnym jest ich 6:

(100), (010), (001), (100), (010), (001),

zbiór równoważnych płaszczyzn oznaczamy:{hkl}, np. {100}

W układach regularnych kierunek [hkl] jest prostopadły do płaszczyzny (hkl)

Sieć płaska - dwuwymiarowa

arbr

baruvrrr vu +=

Sieć ukośna

komórka elementarna

)( cbaV vrr ×⋅= baSrr×= )( banS

rrr ×⋅=

Dwuwymiarowe sieci Bravais (5)

γar

br

ukośna

prostokątna centrowana

arbr

'arbr

arbr

prostokątna

heksagonalna a=b

arbr

60o

arbr

kwadratowa, a=b

Dwuwymiarowe grupy punktowe (10)

ukośna

1 2

prostokątna (centrowana)

m 2mm 2mm

kwadratowa

4mm4

heksagonalna

3 6 6mm3mm 3 6

Sieci dwuwymiarowe, dwuwymiarowe grupy punktowe (10), grupy przestrzenne (17)

Symbole grupprzestrzennych

Nr grupyprzestrzennejUk ład i symbol sieci

Grupapunktowa

pe łne skrócone

1 p1 p1 1skośny(p) 2 p211 p2 2

mp1m1p1g1c1m1

pmpgcm

345

prostokątny (p)

prostokątnycentrowany

(c)2mm

p2mmp2mgp2ggc2mm

pmmpmgpggcmm

6789

4 p4 p4 10kwadratowy (p) 4mm p4mm

p4gmp4mp4g

1112

3 p3 p3 133m p3m1

p31mp3m1p31m

1415

6 p6 p6 16heksagonalny (p)

6m p6mm p6m 17

Przykłady struktur powierzchniowych dla kryształów regularnych

(100)

(110)

(111)

FCC BCC

FCC a HCP

A A CHCP

ABAB

FCC

ABCABC

B

Energie powierzchniowe, gęstość upakowania, koordynacja

upakowaniefcc (111) > fcc (100) > fcc (110)

(100)

fcc(110)

bcc

(111)

Powierzchnie wicynalne

0nrpłaszczyzna wysoko-wskaźnikowa=tarasy płaszczyzny nisko-wskaźnikowej + stopnie

nr

nr

Powierzchnie wicynalne

FCC(811)

Struktura podłoże/powierzchnia (adsorbat)

a’

b

a

b’

Notacja Wood’aAdsorbat ‘A’ na powierzchni (hkl) podłoża ‘S’

bqb

aparr

rr

=

=

'

'

AqphklS −×+)(fcc(100) na 22×

ARqphklS −×+ φ)()(

)22( ×c45)22( R× nieelementarna komórka

baba

G rr

rr

×

×=

''det Mówi o względnej symetrii

Notacja macierzowaW ogólnym przypadku wektory a i b oraz a’ i b’ można zapisać jako:

a = P11 i + P12 j a’ = S11 i + S12 jb = P21 i + P22 j b’ = S21 i + S22 j

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

GGGG

ba

rr

rr

2221

1211

''

Transformację między a i b oraz a’ i b’ określa macierz G

S = GP, lub G = SP-1

Notacja macierzowa

a’b

a

b’

fcc(001) na 22×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2002

G

45)22( R×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1111

G

Struktura podłoże/powierzchnia (adsorbat)

fcc(111) na 30)33( R×fcc(110) na )22( ×c

Notacja Wood’a ograniczona tych samych skręceń

fcc(111) na 30)33( R×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1112

G

)22( ×c 45)22( R×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2002

G

(3x1)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3001

G(1x3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1002

G

(2x1) na fcc(110) nierównoważne z (1x2) na fcc(110)

fcc(111) na 30)33( R×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1112

G

2x2

2x2

Relaksacja

•Gęsto upakowane powierzchnie: FCC(111), BCC(110)- mała relaksacja ∆d1-2≅1%

•Otwarte powierzchnie FCC(110), BCC(100)- duża relaksacja ∆d1-2≅5-10%

Np. Cu(110) ∆d1-2≅5-8% (-)∆d2-3≅2-3% (+)

Rekonstrukcja

Rekonstrukcja może prowadzić do podobnych zmian co adsorpcja

Si (struktura diamentu)2x FCC

Niezrekonstruowana powierzchniaSi(100)-(1x1)

Atomy powierzchniowe krzemu tworzą wiązanie kowalencyjne z powierzchniowymi sąsiadami

Zrekonstruowana powierzchniaSi(100)-(2x1)

Si(111)

Rekonstrukcja Si(111)-7x7

Rekonstrukcja Si(111) -(7x7)

Rekonstrukcja Au(100)-hex (20x5)

1.44 n

m

Rekonstrukcja Au(111)

1x1µm2 400x400nm

Rekonstrukcja Au(111)–23x√3

7 nm

S. Schneider et al., Langmuir 2002

idealna powierzchnia

Relaksacja

Rzeczywiste struktury powierzchniowe

DomenyRekonstrukcja

Defekty....Adsorpcja

taras monoatomowystopieńad-atom załom

luka

krawędź załomu

monoatomowystopień

załom (kink)

Miejsca adsorpcyjne

1-krotne (on-top) 2-krotne (bridge) 3-krotne (hollow) 4-krotne (hollow)

fcc(100) fcc(111) bcc(110)