Beweis der Hölder-Ungleichungstemmler/files/hoelder.pdf · 1William Henry Young (1863–1942),...
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Matthias Stemmler SS 2007 [email protected] Beweis der H¨ older-Ungleichung Wir ben¨ otigen zun¨ achst einen Hilfssatz. Satz (Young 1 -Ungleichung) Sind A, B 0 und p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1, so gilt: A 1/p B 1/q A p + B q Beweis Wir benutzen die Konvexit¨ at der Exponentialfunktion, d. h. dass f¨ ur alle x, y ∈ R und λ ∈ [0, 1] gilt: exp ( (1 - λ)x + λy ) (1 - λ) exp(x)+ λ exp(y) (*) Seien ohne Einschr¨ ankung A,B > 0. W¨ ahle x := ln A, y := ln B und λ := 1 q . Wegen q> 1 ist λ ∈ [0, 1]. Außerdem gilt 1 - λ = 1 p + 1 q - 1 q = 1 p . Wir erhalten: A 1/p B 1/q = exp ( ln(A 1/p ) ) exp ( ln(B 1/q ) ) = exp 1 p ln A + 1 q ln B (*) 1 p exp(ln A)+ 1 q exp(ln B)= A p + B q Damit k¨ onnen wir die H¨ older-Ungleichung beweisen. Satz (H¨ older 2 -Ungleichung) Sind x =(x 1 ,...,x n ), y =(y 1 ,...,y n ) ∈ R n und p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1, so gilt: n j=1 |x j y j | x p y q Beweis Seien ohne Einschr¨ ankung x p , y q > 0. Sei j ∈{1,...,n} fest. W¨ ahle A := |xj | p x p p 0, B := |yj | q y q q 0. Wegen 1 p + 1 q =1 gilt nach der Young-Ungleichung: |x j y j | x p y q = |x j | x p · |y j | y q = A 1/p B 1/q A p + B q = |x j | p p x p p + |y j | q q y q q Aufsummieren ¨ uber j =1,...,n ergibt: 1 x p y q n j=1 |x j y j | 1 p x p p n j=1 |x j | p = x p p + 1 q y q q n j=1 |y j | q = y q q = 1 p + 1 q =1 = ⇒ n j=1 |x j y j | x p y q Bemerkung Speziell im Fall p = q = 2 (hier gilt 1 p + 1 q = 1) erh¨ alt man die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Ist n¨ amlich ·, · das Standard- skalarprodukt im R n , so gilt: x, y = n j=1 x j y j n j=1 |x j y j | H¨ older x 2 y 2 1 William Henry Young (1863–1942), britischer Mathematiker 2 Otto Ludwig H¨ older (1859–1937), deutscher Mathematiker
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Matthias Stemmler SS [email protected]
Beweis der Holder-Ungleichung
Wir benotigen zunachst einen Hilfssatz.
Satz (Young1-Ungleichung)
Sind A,B > 0 und p, q > 1 mit 1p + 1
q = 1, so gilt:
A1/pB1/q 6A
p+
B
q
Beweis
Wir benutzen die Konvexitat der Exponentialfunktion, d. h. dass fur alle x, y ∈ R und λ ∈ [0, 1] gilt:
exp((1 − λ)x + λy
)6 (1 − λ) exp(x) + λ exp(y) (∗)
Seien ohne Einschrankung A,B > 0. Wahle x := lnA, y := lnB und λ := 1q . Wegen q > 1 ist λ ∈ [0, 1]. Außerdem gilt
1 − λ = 1p + 1
q − 1q = 1
p . Wir erhalten:
A1/pB1/q = exp(ln(A1/p)
)exp
(ln(B1/q)
)= exp
(1p
lnA +1q
lnB
)(∗)6
1p
exp(lnA) +1q
exp(ln B) =A
p+
B
q�
Damit konnen wir die Holder-Ungleichung beweisen.
Satz (Holder2-Ungleichung)
Sind x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn und p, q > 1 mit 1p + 1
q = 1, so gilt:
n∑j=1
|xjyj | 6 ‖x‖p ‖y‖q
Beweis
Seien ohne Einschrankung ‖x‖p , ‖y‖q > 0. Sei j ∈ {1, . . . , n} fest. Wahle A := |xj |p‖x‖p
p> 0, B := |yj |q
‖y‖qq
> 0. Wegen 1p + 1
q = 1gilt nach der Young-Ungleichung:
|xjyj |‖x‖p ‖y‖q
=|xj |‖x‖p
· |yj |‖y‖q
= A1/pB1/q 6A
p+
B
q=
|xj |p
p ‖x‖pp
+|yj |q
q ‖y‖qq
Aufsummieren uber j = 1, . . . , n ergibt:
1‖x‖p ‖y‖q
n∑j=1
|xjyj | 61
p ‖x‖pp
n∑j=1
|xj |p︸ ︷︷ ︸= ‖x‖p
p
+1
q ‖y‖qq
n∑j=1
|yj |q︸ ︷︷ ︸= ‖y‖q
q
=1p
+1q
= 1 =⇒n∑
j=1
|xjyj | 6 ‖x‖p ‖y‖q �
Bemerkung
Speziell im Fall p = q = 2 (hier gilt 1p + 1
q = 1) erhalt man die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Ist namlich 〈·, ·〉 das Standard-skalarprodukt im Rn, so gilt: ∣∣ 〈x, y〉
∣∣ =
∣∣∣∣∣∣n∑
j=1
xjyj
∣∣∣∣∣∣ 6n∑
j=1
|xjyj |Holder
6 ‖x‖2 ‖y‖2
1William Henry Young (1863–1942), britischer Mathematiker2Otto Ludwig Holder (1859–1937), deutscher Mathematiker
![p-adische Galoisdarstellungen und ’; -Moduln · Ziel der Arbeit ist es, onFtaines teilweise skizzenhaften Beweis ([Fon90, Abschnitte A1 und A3]) genau auszuführen, dabei einige](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5e147d02a6eb11536a3de613/p-adische-galoisdarstellungen-und-a-moduln-ziel-der-arbeit-ist-es-onftaines.jpg)
