Bài giảng Độ đo và tích phân

thái thuần quang

Bài giảng

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục

Chương 1. Độ đo 1

1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Độ đo trên không gian Rk, (k > 1) . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26

1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chương 2. Tích phân Lebesgue 33

2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . 33

2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.3 Tích phân các hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Tính chất cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.3 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.4 Tính chất khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 Các kết quả về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46

2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47

2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo cácthiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54

2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Chỉ mục 60

Chương 1

Độ đo

1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1. Đại số tập hợp

Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước.

Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quảthực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.

1.1.1 Đại số

Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X,∅ và kín đối với mọi phép toán hữuhạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng).

Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điều

kiện

a) A,B ∈ C =⇒ A ∪B ∈ C,

b) A ∈ C =⇒ Ac = X \A ∈ C.

1.1. Đại số tập hợp 2

Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện đủ.

Với A,B ∈ C, theo b) ta có Ac, Bc ∈ C. Khi đó theo a) Ac ∪ Bc ∈ C và theo b)A∩B = (Ac ∪Bc)c ∈ C. Bằng quy nạp ta chứng minh được C đóng kín đối với phépgiao hữu hạn.

Vì A \B = A ∩Bc nên A \B ∈ C. Do đó A∆B = (A \B) ∪ (B \A) ∈ C.

Do C 6= ∅ nên có A ∈ C như vậy ∅ = A \A ∈ C và X = ∅c ∈ C.

Vậy C là một đại số.

Ví dụ 1.1.1.1. 1) P(X) = A : A ⊂ X là một đại số.

2) Nếu A ⊂ X thì C = X,A,Ac,∅ là một đại số.

Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớpM 6= ∅. Khi đó tồn tại một đại số duy nhất

C(M) bao hàmM và chứa trong tất cả các đại số bao hàmM.

C(M) gọi là đại số sinh bởi M.

Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàmM đó là P(X). Gọi C(M) là giaocủa tất cả các đại số trên X bao hàmM. Dễ thấy C(M) là một đại số. C(M) nhỏnhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàmM, và nó là duy nhất vì nếu có một đại sốC′(M) cũng có tính chất như C(M) thì ta sẽ có C(M) ⊂ C′(M) và C′(M) ⊂ C(M).

Vì vậy C′(M) = C(M).

1.1.2 σ-đại số

Một σ-đại số (hay σ-trường) là một lớp chứa X,∅ và kín đối với mọi phép toánhữu hạn hay đếm được về tập hợp. Một σ-đại số hiển nhiên là một đại số.

Định lý 1.1.2.1. Một lớp C là một σ-đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điều

kiện

a) Ai ∈ C (i ∈ N) =⇒⋃∞i=1Ai ∈ C,

b) A ∈ C =⇒ Ac ∈ C.

Chứng minh. Giả sử C 6= ∅ thỏa mãn a) và b). Khi đó tồn tại A ∈ C nên Ac ∈ C.

Xét A1 = Ac, Ai = A (i ≥ 2). Khi đó X =∞⋃i=1

Ai ∈ C. Do đó ∅ = X \ X ∈ C.

Nếu Ai ∈ C thì Aci ∈ C, nên theo a)( ∞⋂i=1

Ai

)c=

∞⋃i=1

Aci ∈ C.

Dễ dàng chứng minh điều ngược lại.

Tương tự như đối với một đại số ta có

1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 3

Định lý 1.1.2.2. Cho trước một lớpM 6= ∅. Khi đó tồn tại một σ-đại số duy nhất

F(M) bao hàmM và chứa trong tất cả các σ-đại số bao hàmM.

F(M) gọi là σ-đại số sinh bởi M.

1.1.3 σ-đại số Borel

Một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric X gọilà σ-đại số Borel của không gian X. Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợpBorel. Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ nhữngtập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợptrên các tập đó.

Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng Fσ nếu H là hợp củamột số đếm được các tập đóng.

Tập G trong không gian metric X được gọi là tập dạng Gδ nếu G là giao củamột số đếm được các tập mở.

Các tập dạng Fσ, Gδ đều là các tập Borel. Tập các số hữu tỷ trên đường thẳnglà tập dạng Fσ. Tập các số vô tỷ là tập dạng Gδ.

Định lý 1.1.3.1. Một σ-đại số Borel trong một không gian metric X cũng là một

σ-đại số nhỏ nhất bao hàm các tập đóng.

Chứng minh. GọiM,N tương ứng là lớp các tập mở và lớp các tập đóng trong X.Mỗi tập đóng là tập Borel nên N ⊂ F(M), do đó F(N ) ⊂ F(M). Ngược lại, mỗitập mở là phần bù của một tập đóng nênM ⊂ F(N ), do đó F(M) ⊂ F(N ). VậyF(M) = F(N ).

Vì mỗi một tập mở trên đường thẳng là hợp không quá đếm được những khoảngmở nên một σ-đại số trên R là σ-đại số nhỏ nhất chứa lớp các khoảng mở.

1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp

1.2.1 Hàm tập hợp

ChoM⊂ P(X). Một hàm f :M→ R được gọi là một hàm tập hợp.

Hàm tập f được gọi là cộng tính nếu

A1, . . . , An ∈M, Ai ∩Aj = ∅ (i 6= j),

n⋃i=1

Ai ∈M =⇒ f( n⋃i=1

Ai

)=

n∑i=1

f(Ai).

Hàm tập f được gọi là σ-cộng tính nếu

Aii∈N ⊂M, Ai ∩Aj = ∅ (i 6= j),

∞⋃i=1

Ai ∈M =⇒ f( ∞⋃i=1

Ai

)=

∞∑i=1

f(Ai).


Nếu f là σ-cộng tính và f(∅) = 0 thì f cũng cộng tính.

1.2.2 Độ đo

Định nghĩa 1.2.2.1. Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C → R được gọi làmột độ đo trên C nếu

a) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;

b) µ(∅) = 0;

c) µ là σ-cộng tính.

Hiển nhiên µ cũng là cộng tính.

Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo.

Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < +∞.

Độ đo µ được gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại dãy Xnn∈N ⊂ C sao cho X =∞⋃n=1

Xn

và µ(Xn) < +∞ với mọi n ∈ N.

Ví dụ 1.2.2.1. 1) µ : C → R cho bởi µ(A) = 0 với mọi A ∈ C là một độ đo trên C.Ta gọi độ đo này là tầm thường. Từ nay về sau để cho gọn ta sẽ viết µA thay choµ(A).

2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X)→ R cho bởi

µA =

n nếu A có n phần tử+∞ nếu A có vô hạn phần tử

thì µ là một độ đo. Ta gọi độ đo này là độ đo đếm.

3) Cho X là tập hợp khác rỗng. Cố định a ∈ X và định nghĩa δa : P(X) →[0,+∞] bởi δa(A) = 1 nếu a ∈ A và δa(A) = 0 nếu a /∈ A. Khi đó δa là một độ đovà gọi là độ đo Dirac tại điểm a ∈ X.

Định lý 1.2.2.2. Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì

a) A,B ∈ C, A ⊂ B =⇒ µA ≤ µB.

Nếu thêm điều kiện µA < +∞ thì µ(B \A) = µB − µA.

b) Aii∈N ⊂ C, A ∈ C, A ⊂∞⋃i=1

Ai ⇒ µA ≤∞∑i=1

µAi.

c) Aii∈N ⊂ C, Ai ∩Aj = ∅ (i 6= j), A ∈ C,∞⋃i=1

Ai ⊂ A ⇒∞∑i=1

µAi ≤ µA.

Chứng minh. a) Vì B = A ∪ (B \A) và A ∩ (B \A) = ∅ nên µB = µA+ µ(B \A).

Vì µ(B \A) ≥ 0 nên µA ≤ µB.


Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu đượcµ(B \A) = µB − µA.

b) Vì A ⊂∞⋃i=1

Ai nên A = A∩( ∞⋃i=1

Ai

)=∞⋃i=1

(A∩Ai), A =∞⋃i=1

Bi với Bi = A∩Ai.

Đặt

B′1 = B1, B′2 = B2 \B1, . . . , B

′n = Bn \

n−1⋃i=1

Bi.

Khi đó B′i ∈ C và đôi một rời nhau thỏa mãn

∞⋃i=1

Bi =

∞⋃i=1

B′i.

Như vậy A =∞⋃i=1

B′i nên µA =∞∑i=1

µB′i. Ta có

µB′i ≤ µBi = µ(A ∩Ai) ≤ µAi.

Vậy µA ≤∞∑i=1

µAi.

c) Vì∞⋃i=1

Ai ⊂ A nênn⋃i=1

Ai ⊂ A với mọi n ∈ N. Vì A,n⋃i=1

Ai ∈ C nên µ( n⋃i=1

Ai

)≤

µA với mọi n ∈ N. Cho n→∞ ta được µ( ∞⋃i=1

Ai

)≤ µA.

Hệ quả 1.2.2.3. Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn thì mọi A ∈ C đều có thể phân tích

thành hợp của một số đếm được tập hợp có độ đo hữu hạn.

Thật vậy, vì µ là σ-hữu hạn nên

X =∞⋃i=1

Xn, Xn ∈ C, µXn < +∞; A = A ∩( ∞⋃i=1

Xn

)=

∞⋃i=1

(A ∩Xn).

Và ta lại có µ(A ∩Xn) ≤ µXn < +∞.

Định lý 1.2.2.4. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó

a) µAi = 0,∞⋃i=1

Ai ∈ C =⇒ µ( ∞⋃i=1

Ai

)= 0.

b) A ∈ C, µB = 0 =⇒ µ(A ∪B) = µ(A \B) = µA.

Chứng minh. a) Đặt A =

∞⋃i=1

Ai. Khi đó 0 ≤ µA ≤∞∑i=1

µAi = 0. Vậy µA = 0.


b) Vì A ⊂ A ∪ B nên µ(A ∪ B) ≤ µA + µB = µA ≤ µ(A ∪ B). Do vậyµ(A ∪B) = µA.

Mặt khác, vì 0 ≤ µ(A ∩B) ≤ µB nên µ(A ∩B) = 0. Từ đó

µ(A \B) = µ(A \A ∩B) = µA− µ(A ∩B) = µA.

Định lý 1.2.2.5. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó

a) Ai ∈ C, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ,∞⋃i=1

Ai ∈ C =⇒ µ( ∞⋃i=1

Ai

)= lim

i→∞µAi.

b) Ai ∈ C, A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , µA1 < +∞,∞⋂i=1

Ai ∈ C =⇒ µ( ∞⋂i=1

Ai

)= lim

i→∞µAi.

Chứng minh. a) Đặt

B1 = A1, B2 = A2 \A1, . . . , Bn = An \An−1, . . .

Lúc đó các Bi ∈ C, rời nhau và∞⋃i=1

Bi =∞⋃i=1

Ai. Từ đó

µ( ∞⋃i=1

Ai

)=∞∑i=1

µBi = limn→∞

n∑i=1

µBi = limn→∞

µ( n⋃i=1

Bi

)= lim

n→∞µAn.

b) Theo công thức de Morgan

A1 \∞⋂i=1

Ai =

∞⋃i=1

(A1 \Ai).

Áp dụng phần a) cho các tập A′i = A1 \Ai ∈ C ta được

µ( ∞⋃i=1

A′i

)= lim

i→∞µA′i.

Do µA1 < +∞ nên µAi < +∞ và µ(⋂∞

i=1Ai

)< +∞. Ta có

µA1 − µ( ∞⋂i=1

Ai

)= µ

(A1 \

∞⋂i=1

Ai

)= µ

( ∞⋃i=1

A′i

)= lim

i→∞µA′i = µA1 − lim

i→∞µAi.

Như vậy µ( ∞⋂i=1

Ai

)= lim

i→∞µAi.


Định lý 1.2.2.6. (Đảo của định lý 1.2.2.5) Cho µ là một hàm tập không âm,

cộng tính trên đại số C sao cho µ(∅) = 0. Khi đó µ sẽ là một độ đo nếu một trong

hai điều kiện sau thỏa mãn:

a) Ai ∈ C, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ,∞⋃i=1

Ai ∈ C =⇒ µ( ∞⋃i=1

Ai

)= lim

i→∞µAi.

b) Ai ∈ C, A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ,∞⋂i=1

Ai = ∅ =⇒ limi→∞

µAi = 0.

Chứng minh. Chỉ cần chứng tỏ µ là σ-cộng tính.

a) Giả sử B =∞⋃i=1

Bi, Bi, B ∈ C và các Bi đôi một rời nhau. Đặt

A1 = B1, A2 = B1 ∪B2, . . . , Bn =n⋃i=1

Bi, . . .

Khi đó vì B =∞⋃n=1

An, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . nên µB = limi→∞

µAn. Do µ là cộng tính nên ta

có µAn =n∑i=1

µBi. Vậy

µB = limn→∞

n∑i=1

µBi =∞∑n=1

µBn.

b) Giả sử µBi < +∞ với mọi i (vì nếu có một µBi = +∞ thì đẳng thức cần chứngminh hiển nhiên đúng). Với các ký hiệu như trên ta có

∅ = B \∞⋃n=1

An =

∞⋂n=1

(B \An)

với A′n = B \An ∈ C và A′1 ⊃ A′2 ⊃ . . . . Vậy

limn→∞

µ(B \An) = limn→∞

µA′n = 0.

Nhưng do An ⊂ B và µAn =n∑i=1

µBi < +∞ nên ta có µ(B \ An) = µB − µAn. Từ

đó

µB = limn→∞

µAn = limn→∞

n∑i=1

µBi =

∞∑n=1

µBn.

1.3. Thác triển độ đo 8

1.3. Thác triển độ đo

Ta sẽ mở rộng một độ đo µ trên một đại số C thành một độ đo trên một σ-đạisố chứa C.

1.3.1 Độ đo ngoài

Định nghĩa 1.3.1.1. Hàm tập µ∗ : P(X)→ R được gọi là độ đo ngoài nếu:

a) µ∗A ≥ 0 với mọi A ⊂ X;

b) µ∗∅ = 0;

c) A ⊂∞⋃i=1

Ai =⇒ µ∗A ≤∞∑i=1

µ∗Ai.

Từ c) suy ra

c’) Nếu A ⊂ B thì µ∗A ≤ µ∗B.

Định lý 1.3.1.2. (Carathéodory) Cho µ∗ là độ đo ngoài trên X và L là lớp tất

cả các tập con A của X sao cho

µ∗E = µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) với mọi E ⊂ X. (1.1)

Khi đó L là một σ-đại số và hàm tập µ = µ∗∣∣L là một độ đo trên L.

Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗. Tập A thỏa mãn điềukiện (1.1) gọi là tập µ∗-đo được.

Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng điều kiện (1.1) tương đương với

µ∗E ≥ µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) với mọi E ⊂ X (1.1’)

vì bất đẳng thức ngược lại luôn đúng theo tính chất của độ đo ngoài.

Ta tiến hành chứng minh theo các bước sau:

• Bước 1. L là một đại số.

Ta có L 6= ∅ vì ∅ ∈ L. Thật vậy

µ∗E = µ∗E + µ∗∅ = µ∗(E ∩∅) + µ∗(E \∅) với mọi E ⊂ X.

Vì với mọi A ∈ L ta có (1.1) nên suy ra

µ∗E = µ∗(E \Ac) + µ∗(E ∩Ac).

Vậy L kín đối với phép toán lấy phần bù.

Ta kiểm tra L kín đối với phép hợp hữu hạn.


Xét A,B ∈ L. Với E ⊂ X ta có

µ∗E = µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A)

µ∗(E ∩A) = µ∗(E ∩A ∩B) + µ∗((E ∩A) \B) (do B ∈ L)

µ∗(E \A) = µ∗((E \A) ∩B) + µ∗((E \A) \B) (do B ∈ L).

Do đó

µ∗E = µ∗(E ∩A∩B) +µ∗((E ∩A) \B) +µ∗((E \A)∩B) +µ∗((E \A) \B). (1.2)

Nhưng (E \A) \B = E \ (A ∪B) và

(E ∩A ∩B) ∪ ((E ∩A) \B) ∪ ((E \A) ∩B) = E ∩ (A ∪B)

nên từ (1.2) ta suy ra

µ∗E ≥ µ∗(E ∩ (A ∪B)) + µ∗(E \ (A ∪B)).

Vậy A ∪B ∈ L.

• Bước 2. Hàm tập µ = µ∗∣∣L là cộng tính.

Giả sử A,B ∈ L và A ∩B = ∅. Với mọi E ⊂ X và G = E ∩ (A ∪B) ta có

µ∗G = µ∗(G ∩A) + µ∗(G \A).

Mặt khác, G ∩A = E ∩A và G \A = E ∩B nên

µ∗G = µ∗(E ∩A) + µ∗(E ∩B). (1.3)

Chọn E = X ta sẽ được µ(A ∪B) = µA+ µB.

• Bước 3. L là một σ-đại số và µ là σ-cộng tính.

Xét Aii∈N đôi một rời nhau. Ta chứng minh∞⋃i=1

Ai ∈ L và với mọi E ⊂ X thì

µ∗(E ∩

( ∞⋃i=1

Ai

))=∞∑i=1

µ∗(E ∩Ai). (1.4)

Theo (1.3) ta có

µ∗(E ∩ (A1 ∪A2)) = µ∗(E ∩A1) + µ∗(E ∩A2).

Bằng quy nạp ta suy ra với mọi n

µ∗(E ∩

( n⋃i=1

Ai

))=

n∑i=1

µ∗(E ∩Ai).


Đặt A =

∞⋃i=1

Ai ta cón⋃i=1

Ai ∈ L và

µ∗E = µ∗(E ∩

( n⋃i=1

Ai

))+ µ∗

(E \

n⋃i=1

Ai

)=

n∑i=1

µ∗(E ∩Ai) + µ∗(E \

n⋃i=1

Ai

)≥

n∑i=1

µ∗(E ∩Ai) + µ∗(E \A) (do E \A ⊂ E \n⋃i=1

Ai).

Do n tùy ý ta suy ra

µ∗E ≥∞∑i=1

µ∗(E ∩Ai) + µ∗(E \A) ≥ µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A)

(vì E ∩A =

∞⋃i=1

(E ∩Ai) nên µ∗(E ∩A) ≤∞∑i=1

µ∗(E ∩Ai).)

Vậy A ∈ L. Chọn E = A ta có

µ∗A ≥∞∑i=1

µ∗Ai.

Bất đẳng thức ngược lại luôn đúng nên µ∗A =∞∑i=1

µ∗Ai.

Cuối cùng, nếu Aii∈N ⊂ L thì đặt

A′1 = A1, A′2 = A2 \A1, . . . , A

′n = An \

n−1⋃i=1

Ai,

ta sẽ có các A′i ∈ L đôi một rời nhau và

∞⋃n=1

A′n =∞⋃n=1

An.

Theo trên∞⋃i=1

A′n ∈ L nên∞⋃n=1

An ∈ L.

Vậy L là một σ-đại số và µ là độ đo trên L.


1.3.2 Định lý thác triển

Định lý 1.3.2.1. Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X). Với mỗi A ⊂ X

ta đặt

µ∗A = inf ∞∑i=1

mAi : Aii∈N ⊂ C,∞⋃i=1

Ai ⊃ A

(1.5)

thì µ∗ là một độ đo ngoài trên X và µ∗A = mA với mọi A ∈ C, đồng thời mọi tập

thuộc σ-đại số F(C) đều µ∗-đo được.

Chứng minh. Dễ thấy µ∗∅ = 0 và nếu A ⊂ B thì mỗi phủ của B bởi một họ đếmđược các phần tử của C cũng là một phủ của A nên µ∗A ≤ µ∗B.

Giả sử Ann∈N ⊂ P(X), ta chứng minh

µ∗( ∞⋃n=1

An

)≤∞∑n=1

µ∗An (lúc đó c’) sẽ đúng).

Với mỗi ε > 0, theo định nghĩa của µ∗An tồn tại họ Pnii∈N ⊂ C,∞⋃i=1

Pni ⊃ An sao

cho∞∑i=1

mPni ≤ µ∗An +ε

2n.

Khi đó∞⋃n=1

∞⋃i=1

Pni ⊃∞⋃n=1

An nên

µ∗( ∞⋃n=1

An

)≤∞∑n=1

∞∑i=1

mPni ≤∞∑n=1

µ∗An +∞∑n=1

ε

2n

hay

µ∗( ∞⋃n=1

An

)≤∞∑n=1

µ∗An + ε.

Do ε tùy ý nên

µ∗( ∞⋃n=1

An

)≤∞∑n=1

µ∗An.

Vậy µ∗ là một độ đo ngoài.

Bây giờ ta chứng minh µ∗A = mA với A ∈ C.

Nếu Pii∈N ⊂ C và∞⋃i=1

Pi ⊃ A thì mA ≤∞∑i=1

mPi nên mA ≤ µ∗A.

Hơn nữa ta có A = A ∪ ∅ ∪ ∅ . . . nên µ∗A ≤ mA + m∅ + m∅ + . . . , tức làµ∗A ≤ mA. Vậy µ∗A = mA.


Để chứng minh F(C) ⊂ L ta chỉ cần chứng minh C ⊂ L.

Xét A ∈ C. Với ε > 0 và E ⊂ X tồn tại Pii∈N ⊂ C để

∞⋃i=1

Pi ⊃ E,∞∑i=1

mPi ≤ µ∗E + ε.

Ta có

µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) ≤ µ∗(( ∞⋃

i=1

Pi

)∩A

)+ µ∗

(( ∞⋃i=1

Pi

)\A)

≤∞∑i=1

µ∗(Pi ∩A) +

∞∑i=1

µ∗(Pi \A) ≤∞∑i=1

(µ∗(Pi ∩A) + µ∗(Pi \A)

)Do Pi \A,Pi ∩A ∈ C nên

µ∗(Pi ∩A) = m(Pi ∩A) và µ∗(Pi \A) = m(Pi \A).

Như vậy

µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) ≤∞∑i=1

(m(Pi ∩A) +m(Pi \A)

)≤∞∑i=1

mPi ≤ µ∗E + ε.

Do ε tùy ý nên µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) ≤ µ∗E với mọi E ⊂ X. Vậy A ∈ L.

Định nghĩa 1.3.2.2. Ta nói rằng một độ đo µ trên một σ-đại số L là đủ nếu mọitập con của một tập bất kỳ thuộc L có độ đo 0 đều thuộc L và có độ đo 0, nghĩa lànếu

N ⊂ E,µE = 0 =⇒ N ∈ L, µN = 0.

Định lý 1.3.2.3. Độ đo µ cảm sinh bởi một độ đo ngoài µ∗ bao giờ cũng là độ đo

đủ (trên σ-đại số L các tập µ∗-đo được) và họ các tập có độ đo µ bằng 0 trùng với

họ các tập có độ đo ngoài µ∗ bằng 0.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mọi tập A có µ∗A = 0 đều µ∗-đo được. Lúc đóvới mọi E ⊂ X thì µ∗(E ∩A) ≤ µ∗A = 0 nên

µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) ≤ µ∗(E \A) ≤ µ∗E.

Theo (1.1′) ta suy ra A ∈ L.

Từ các kết quả trên ta suy ra định lý sau.


Định lý 1.3.2.4. độ đo m trên một đại số C. Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ-đại số

L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho

1) µA = mA với mọi A ∈ C, trong đó µ là mở rộng của m;

2) µ là hữu hạn (σ-hữu hạn) nếu m hữu hạn (σ-hữu hạn);

3) µ là đọ đo đủ;

4) Giả sử µ là σ-hữu hạn. Khi đó A ∈ L khi và chỉ khi

A = B \N hay A = B ∪N (1.6)

trong đó B ∈ F(C), µ∗N = µN = 0 với µ∗ là độ đo ngoài xác định từ m theo công

thức (1.5).

Chứng minh. Ta lấy µ là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ xác định từ m theocông thức (1.5) và L là σ-đại số các tập µ∗-đo được. Theo định lý 1.3.2.1 thì µ làmột mở rộng của m. Tính chất 2) là rõ ràng. Theo định lý 1.3.2.3 thì µ là đủ. Tachỉ cần chứng minh tính chất 4).

Nếu A có dạng (1.6) thì hiển nhiên A ∈ L.

Ngược lại, ta giả sử A ∈ L.

• Nếu µA < +∞ thì theo cách xây dựng µ∗ với mỗi k ∈ N tồn tại họ Pii∈N ⊂ C

sao cho∞⋃i=1

Pki ⊃ A và

∞∑i=1

mPki < µA+1

k.

Đặt Bk =∞⋃i=1

Pki và B =∞⋂k=1

Bk thì B ∈ F(C), B ⊃ A và

µB ≤ µBk ≤∞∑i=1

mPki ≤ µA+1

k, ∀k ∈ N.

Như vậy µB ≤ µA. Nhưng A ⊂ B nên µA = µB.

Đặt N = B \A. Khi đó µN = 0 và A = B \N.

• Ta xét trường hợp µA = +∞. Do µ là σ-hữu hạn nên A =∞⋃n=1

An với An ∈ L

và µAn <∞. Theo trường hợp trên, với mỗi n ∈ N ta có Dn ⊃ An với Dn ∈ F(C) để

cho µ(Dn\An) = 0. Đặt D =∞⋃n=1

Dn Lúc đó D ∈ F(C) và N = D\A =∞⋃n=1

(Dn\A).

Ta có

µN ≤∞∑n=1

µ(Dn \A) ≤∞∑n=1

µ∗(Dn \An) = 0.

1.4. Độ đo trên Rk 14

Vậy A = D \N với D ∈ F(C) và µN = 0.

Bây giờ, nếu A ∈ L thì X \A ∈ L nên

X \A = B′ \N ′ với B′ ∈ F(C), µN ′ = 0.

Ta suy raA = (X \B′) ∪N ′ hay A = B′′ ∪N ′,

với B′′ = X \B′ ∈ F(C) và µN ′ = 0.

Độ đo trong định lý 1.3.2.4 được gọi là mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m.

Như vậy σ-đại số L các tập µ∗-đo được không khác σ-đại số F(C) nhiều lắm vàcó thể hu được từ F(C) bằng cách thêm vào hay bớt đi một tập có độ đo ngoài bằng0 vào các phần tử của F(C).

1.4. Độ đo trên Rk

Dựa vào định lý thác triển độ đo, trong phần này ta sẽ xây dựng độ đo Lebesguetrên không gian Euclide k-chiều.

1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R

Ta gọi một gian trên đường thẳng R là một tập hợp có một trong các dạng sau:

(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞,+∞), (−∞, a), (−∞, a], (a,+∞), [a,+∞).

Như vậy giao của hai gian cũng là một gian, phần bù của một gian cũng là một gianhoặc là hợp của hai gian rời nhau.

Gọi C là tập hợp tất cả các tập con của R có thể biểu diễn thành hợp của mộtsố hữu hạn các gian đôi một rời nhau:

C =P ⊂ R : P =

n⋃i=1

∆i, ∆i là gian, ∆i ∩∆j = ∅, với i 6= j.

Bổ đề 1.4.1.1. C là một đại số.

Chứng minh bổ đề này xem như bài tập.

Xét hàm tập m : C → R xác định bởi: nếu P =⋃ni=1 ∆i (các gian rời nhau) thì

đặt m(P ) =∑n

i=1 |∆i| trong đó |∆i| chỉ độ dài của gian ∆i.

Bổ đề 1.4.1.2. Hàm tập m là một độ đo trên đại số C.


Chứng minh. Rõ ràng m không âm và m∅ = 0.

Trước hết ta nhận xét rằng:

a) Nếu có những gian ∆,∆1, . . . ,∆k mà ∆ ⊂k⋃i=1

∆i thì

|∆| ≤k∑i=1

|∆i|.

b) Nếu ∆ ⊃⋃ki=1 ∆i với ∆i ∩∆j = ∅ khi i 6= j thì

|∆| ≥k∑i=1

|∆i|.

Để chứng minh tính σ-cộng tính của hàm tập m ta chứng minh tính chất sau:

c) Nếu các gian ∆,∆1, . . . ,∆k, . . . thỏa mãn ∆ =

∞⋃i=1

∆i với ∆i ∩∆j = ∅ khi i 6= j

thì

|∆| =∞∑i=1

|∆i|.

Với mỗi n ∈ N ta luôn cón⋃i=1

∆i ⊂ ∆ nênn∑i=1

|∆i| ≤ |∆| do đó

∞∑n=1

|∆n| ≤ |∆|.

Ta cần chứng minh∞∑n=1

|∆n| ≥ |∆|.

Nếu có một gian ∆k mà |∆k| = +∞ thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiênđúng. Do đó ta xét trường hợp |∆k| < +∞ với mọi k.

Ta xét hai khả năng:

i) |∆| < +∞. Với ε > 0 ta chọn gian đóng ∆′ ⊂ ∆ sao cho |∆| < |∆′|+ ε2 , đồng

thời chọn gian mở ∆′k ⊃ ∆k sao cho |∆′k| < |∆k|+ ε2k+1 .

Các gian mở tạo thành một phủ mở của tập compact ∆′ nên phải có hữu hạngian ∆′ki (i = 1, . . . , p) còn phủ ∆′. Như vậy

|∆′| ≤p∑i=1

|∆ki | ≤∞∑k=1

|∆k|,


do đó

|∆| < |∆′|+ ε

2≤∞∑k=1

|∆k|+ ε.

Vì ε tùy ý nên

|∆| ≤∞∑n=1

|∆n|.

ii) |∆| = +∞. Với no là số tự nhiên tùy ý ta chọn gian đóng hữu hạn ∆′ ⊂ ∆

sao cho |∆′| > no. Tương tự như trường hợp i) ta suy ra

|∆′| ≤∞∑k=1

|∆′k|

nên

no < |∆′| <∞∑k=1

|∆′k|+ ε.

Do no tùy ý và ε tùy ý nên∞∑k=1

|∆′k| = +∞ = |∆|.

Bây giờ ta chứng minh tính σ-cộng tính của m.

Giả sử P =∞⋃i=1

Pi với các P, Pi ∈ C và các Pi đôi một rời nhau. Ta có

P =n⋃k=1

∆k, Pi =

ri⋃j=1

∆ij

∆k = ∆k ∩( ∞⋃i=1

Pi

)=

∞⋃i=1

(Pi ∩∆k) =

∞⋃i=1

ri⋃j=1

(∆k ∩∆ij).

Như vậy

|∆k| =∞∑i=1

ri∑j=1

|∆k ∩∆ij |.

Với chú ý rằng ∆ij =

n⋃k=1

(∆k ∩∆ij), theo định nghĩa của m thì

mP =

n∑k=1

|∆k| =n∑k=1

∞∑i=1

ri∑j=1

|∆k ∩∆ij |

=∞∑i=1

ri∑j=1

n∑k=1

|∆k ∩∆ij | =∞∑i=1

ri∑j=1

|∆ij | =∞∑i=1

Pi.


Vậy m là một độ đo trên C.

Định nghĩa 1.4.1.3. Mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m theo sơ đồ tổng quát củađịnh lý 1.3.2.4 được gọi là độ đo Lebesgue trên R.

Ta có một số nhận xét sau:

• Với mỗi A ⊂ R độ đo ngoài được xác định bởi công thức

µ∗A = inf ∞∑i=1

mPi :∞⋃i=1

Pi ⊃ A,Pi ∈ C. (1.7)

Định nghĩa này có thể thay bằng

µ∗A = inf ∞∑k=1

|∆k| :∞⋃k=1

∆k ⊃ A,∆k là khoảng mở. (1.8)

Thật vậy, gọi α và β là hai số xác định bởi vế phải của (1.7) và (1.8). Vì mỗi khoảng

mở ∆k đều thuộc C nên α ≤ β. Ngược lại, với mọi họ Pii∈N ⊂ A mà∞⋃i=1

Pi ⊃ A

thì∞⋃i=1

Pi có dạng∞⋃k=1

∆k với ∆k là một gian. Với ε > 0 bất kỳ ta chọn khoảng mở

∆′k sao cho ∆′k ⊃ ∆k và |∆′k| < |∆k|+ ε2k. Ta có

∞⋃i=1

∆′k ⊃ A và

∞∑k=1

|∆′k| ≤∞∑k=1

∆k|+∞∑k=1

ε

2k≤∞∑i=1

mPi + ε.

Do vậy β ≤ α+ ε. Do ε tùy ý nên β ≤ α.

• Một tập A được gọi là đo được Lebesgue nếu nó thỏa mãn điều kiện (1.1), tức là

µ∗E = µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A) với mọi E ⊂ X.

Lúc đó µA = µ∗A.

• Độ đo Lebesgue trên R là σ-hữu hạn và R =⋃∞n=1[−n, n]. Hiển nhiên nó là độ đo

đủ.

• Có thể thấy rằng σ-đại số F(C) ở đây chính là σ-đại số Borel trên R vì nếu gọi Blà σ-đại số Borel trên R thì F(C) ⊃ B (vì F(C) cũng chứa lớp các khoảng mở).Mặtkhác, vì B ⊃ C nên B ⊃ F(C). Vậy mọi tập Borel trên R đều đo được.

Tóm lại, độ đo Lebesgue là độ đo đủ, σ-hữu hạn và bất kỳ một tập đo được nàocũng là một tập Borel thêm hay bớt đi một tập có độ đo không.

Kết quả sau là một đặc trưng của một tập có độ đo không trên R. Đây là hệ quảcủa (1.8).


Định lý 1.4.1.4. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 có thể tìm

được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng mở ∆kk phủ N và có tổng độ dài

bé hơn ε : ⋃k

∆k ⊃ N ;∑k

|∆k| < ε.

Hệ quả 1.4.1.5. Mọi tập hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều đo được và

có độ đo bằng 0.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho tập một điểm x. Với mỗi ε > 0 tồn tạikhoảng mở ∆ = (x− ε

3 , x+ ε3) chứa x và |∆| < ε.

Như vậy tập Q các điểm hữu tỷ có độ đo bằng 0, do đó tập các điểm vô tỷ R \Qtrên mỗi đoạn [a, b] có độ đo bằng b − a. Tuy nhiên cũng có những tập có độ đo 0

mà không đếm được, chẳng hạn như tập Cantor.

Kết quả sau là một đặc trưng của một tập đo được theo Lebesgue (hay L-đođược).

Định lý 1.4.1.6. A ⊂ R, ta có các mệnh đề sau là tương đương:

1) A là L-đo được;

2) Với mỗi ε > 0 tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G \A) < ε;

3) Với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A \ F ) < ε.

Chứng minh. 1)⇒ 2). Ta xét hai trường hợp.

a) µA < +∞.

Với mỗi ε > 0 tồn tại hệ khoảng mở ∆kk∈N phủ A sao cho∞∑k=1

|∆k| < µA+ ε.

Đặt G =∞⋃k=1

∆k thì G ⊃ A,G mở và

µG ≤∞∑k=1

|∆k| < µA+ ε.

Do µA < +∞ nên µ(G \A) = µG− µA < ε.

b) µA = +∞.

Ta có A =∞⋃n=1

(A ∩ [−n, n]). Tập An = A ∩ [−n, n] có độ đo hữu hạn nên theo

trường hợp a) tồn tại Gn ⊃ An, Gn mở và µ(Gn \An) < ε2n+1 .


Tập G =

∞⋃n=1

Gn là tập mở chứa A và

µ(G \A) ≤∞∑n=1

µ(Gn \An) ≤∞∑n=1

ε

2n+1=ε

2< ε.

2) ⇒ 1). Với mỗi n ∈ N có tập mở Gn ⊃ A và µ∗(Gn \ A) < 1n . Đặt B =

∞⋂n=1

Gn.

Khi đó B ∈ L và B ⊃ A. Hơn nữa

µ∗(B \A) ≤ µ∗(Gn \A) <1

n, ∀n ∈ N

nên µ∗(B \A) = 0. Vì µ đủ nên B \A ∈ L. Khi đó A = B \ (B \A) đo được.

1) ⇔ 3). Tập A đo được khi và chỉ khi Ac đo được, tức là khi và chỉ khi với ε > 0

tồn tại G mở, G ⊃ Ac sao cho µ∗(G \ Ac) < ε. Khi đó tập F = Gc ⊂ A vàµ∗(A \ F ) = µ∗(G \Ac) < ε.

1.4.2 Độ đo trên không gian Rk, (k > 1)

Những kết quả ở phần trên có thể mở rộng cho không gian Rk, k > 1.

Trong Rk ta gọi gian là một tập bằng tích Descartes của k gian trong R, tức làtập hợp các điểm x = (ξ1, ξ2, . . . , ξk) trong đó ξi chạy trong một gian nào đó của R.Nếu ξi thuộc gian có hai đầu mút αi, βi(i = 1, 2, . . . , k) thì thể tích của gian ∆ bằng

|∆| =k∏i=1

(βi − αi).

Nếu có một gian mà αi = βi thì ta quy ước |∆| = 0, còn nếu có một gian trong Rvô hạn và không có gian nào có độ dài bằng 0 thì |∆| = +∞.

Gọi Ck là lớp các tập hợp của Rk có thể biểu diễn thành hợp của một số hữuhạn các gian rời nhau. Ta có kết quả tương tự như với đô đotrên R.

1) Ck là một đại số.

2) Nếu với mỗi P ∈ Ck có dạng P =n⋃i=1

∆i, trong đó ∆i là những gian ròi nhau,

ta đặt

m(P ) =n∑i=1

|∆i|.

Khi đó hàm tập m là một độ đo trên Ck.


3) Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo µk trên một σ-đại số Lk ⊃ F(Ck) ⊃Ck. Độ đo µk này gọi là độ đo Lebesgue trên Rk, và các tập thuộc Lk gọi là tập đođược theo Lebesgue trên Rk.

F(Ck) chính là σ-đại số Borel trong Rk (do đó mọi tập Borel trong Rk đều đođược.

Các định lý 1.4.1.4 và 1.4.1.6 cũng đúng đối với Rk và cũng được chứng minhtương tự.

Một đặc điểm đáng chú ý của độ đo Lebesgue trên Rk là nó bất biến qua phépdời, tức la nếu E′ là ảnh của E qua một phép dời nào đó và nếu tập này đo đượcthì tập kia cũng đo được và µE = µE′.

Tập hợp đo được theo Lebesgue cũng không bao gồm tất cả mọi tập con củaRk. Người ta chứng minh được rằng trong mỗi không gian Rk dều tồn tại tập khôngđo được theo Lebesgue. Điều này không có nghĩa là khái niệm đo được Lebesgue làchưa đủ rộng bởi vì người ta cũng chứng minh được rằng trong mỗi không gian Rk

không thể xây dựng một độ đo σ-hữu hạn sao cho

a) Độ đo xác định trên mọi tập con của Rk;

b) Đọ đo bất biến qua phép dời;

c) Độ đo cả mỗi gian trùng với thể tích của gian đó.

Ví dụ 1.4.2.1. (Tập không đo được trong R)

Để xây dựng ví dụ này ta cần nhắc lại tiên đề chọn: Nếu Aii∈I là một họ gồmcác tập khác rỗng, rời nhau từng đôi một thì tồn tại tập E ⊂

⋃i∈I Ai sao cho E∩Ai

chứa duy nhất một phần tử với mọi i ∈ I.

Gọi µ là độ đo Lebesgue trên R Trên [0, 1] ta xét quan hệ tương đương ∼ xácđịnh như sau: x, y ∈ [0, 1], x ∼ y khi và chỉ khi x− y ∈ Q. Dễ thấy ∼ là một quan hệtương đương trên [0, 1]. Khi đó [0, 1] được phân hoạch thành các lớp tương đương.Theo tiên đề chọn tồn tại tập E ⊂ [0, 1] sao cho giao của nó với mọi lớp tương đươngnói trên gồm đúng một điểm. Khi đó E không đo được Lebesgue.

Thật vậy, giả sử E đo được Lebesgue. ta đánh số tất cả các số hữu tỷ trong[−1, 1] là r1, r2, . . . . Với mỗi n ∈ N đặt En = rn + x : x ∈ E và nhận xét rằngEn là đo được Lebesgue. Dễ thấy rằng En ∩ Em = ∅ nếu n 6= m và µEn = µE với

mọi n ∈ N (vì µ bất biến đối với phép tịnh tiến). Hơn nữa, [0, 1] ⊂∞⋃n=1

En ⊂ [−1, 2].

Theo tính σ-cộng tính của µ ta có

µ( ∞⋃n=1

En

)=

∞∑n=1

µ(En) = limn→∞

nµE ≤ µ([−1, 2]) = 3.

1.5. Hàm số đo được 21

Từ đây ta được µE = 0 do đó µ( ∞⋃n=1

En

)= 0. Nhưng điều này là không thể xảy ra

vì [0, 1] ⊂∞⋃n=1

En và µ([0, 1]) = 1. Vậy E không đo được Lebesgue.

1.5. Hàm số đo được

Trong giải tích khi làm việc trên các hàm số liên tục người ta gặp phải một hạnchế lớn, đó là, giới hạn của một dãy hàm số liên tục không nhất thiết là liên tục. Đểtránh sự hạn chế này người ta xây dựng một lớp các hàm số, rộng hơn lớp các hàmsố liên tục, kín đối với các phép toán giải tích, gọi là lớp hàm số đo được.

1.5.1 Các định nghĩa và phép toán

Định nghĩa 1.5.1.1. Cho F là một σ-đại số các tập con của X và A ∈ F . Mộthàm số f xác định trên X được gọi là đo được trên tập A đối với σ-đại số F nếu

(∀a ∈ R), x ∈ A : f(x) < a ∈ F . (1.9)

Khi trên σ-đại số F có một độ đo µ ta bảo f đo được đối với độ đo µ hay µ-đo được.Nếu X = Rk,F = Lk thì ta nói f đo được theo nghĩa Lebesgue hay (L)-đo được.Nếu X = Rk,F = Bk (σ-đại số Borel trên Rk) ta nói f đo được theo nghĩa Borelhay f là một hàm Borel.

Điều kiện (1.9) trong định nghĩa trên có thể thay bằng một trong ba điều kiệnsau:

(∀a ∈ R), x ∈ A : f(x) > a ∈ F . (1.10)

(∀a ∈ R), x ∈ A : f(x) ≤ a ∈ F . (1.11)

(∀a ∈ R), x ∈ A : f(x) ≥ a ∈ F . (1.12)

Ta thấy (1.9) ⇔ (1.12) vì x ∈ A : f(x) < a = x ∈ A : f(x) ≥ ac và F là mộtσ-đại số.

Tương tự (1.10) ⇔ (1.11). Ta cần chứng minh (1.9) ⇔ (1.11).

(1.9) ⇒ (1.11). Ta có

f(x) ≤ a ⇔ ∀n ∈ N : f(x) < a+1

n.

Vì mỗi tập x ∈ A : f(x) < a+ 1n ∈ F nên

x ∈ A : f(x) ≤ a =∞⋂n=1

x ∈ A : f(x) < a+1

n ∈ F .


(1.11) ⇒ (1.9). Ta có

f(x) < a ⇔ ∃n ∈ N : f(x) ≤ a− 1

n.

Vì mỗi tập x ∈ A : f(x) ≤ a− 1n ∈ F nên

x ∈ A : f(x) < a =

∞⋃n=1

x ∈ A : f(x) ≤ a− 1

n ∈ F .

Từ định nghĩa suy ra một số tính chất sau:

1) Nếu f đo được trên A thì nó cũng đo được trên mọi tập con của A thuộc F .

Thật vậy, nếu B ⊂ A,B ∈ F thì

x ∈ B : f(x) < a = B ∩ x ∈ A : f(x) < a ∈ F .

2) Nếu f đo được trên A thì x ∈ A : f(x) = a ∈ F với mọi a ∈ R. Thật vậy,vì

x ∈ A : f(x) = a = x ∈ A : f(x) ≥ a ∩ x ∈ A : f(x) ≤ a.

3) Nếu f đo được trên dãy Enn (hữu hạn hay đếm được) thì f cũng đo đượctrên

⋃n

En,⋂n

En. Kết quả này thu được từ các đẳng thức sau:

x ∈

⋃n

En : f(x) > a

=⋃n

x ∈ En : f(x) > a

x ∈

⋂n

En : f(x) > a

=⋂n

x ∈ En : f(x) > a.

4) Nếu f đo được thì k.f cũng đo được. Nếu f(x) = c (hằng số) trên A thì f đođược. (Bài tập)

5) Nếu µA = 0 và µ đủ thì f xác định trên A sẽ đo được. (Bài tập)

Ví dụ 1.5.1.1. 1) Trên không gian Rk với độ đo Lebesgue nếu f là hàm liên tụctrên A ∈ Lk thì f sẽ đo được trên A.

Thật vậy, với mỗi a ∈ R thì

x ∈ A : f(x) < a = f−1(−∞, a) = A ∩G

với G là tập mở của Rk, do đó x ∈ A : f(x) < a ∈ Lk.

2) Với A ⊂ X, ta định nghĩa hàm đặc trưng của A như sau

χA(x) =

1, nếu x ∈ A0, nếu x /∈ A.


Với a ∈ R thì

x ∈ A : χA(x) > a) =

∅, nếu a ≥ 1

X, nếu a < 0

A, nếu 0 ≤ a < 1.

Do đó χA đo được trên X khi và chỉ khi A ∈ F .

Định lý 1.5.1.2. 1) Nếu f đo được trên A thì |f |α(α > 0) cũng đo được.

2) Nếu f, g đo được trên A và hữu hạn thì các hàm số f ± g, f.g,

maxf, g,minf, g cũng đo được, và nếu g(x) 6= với mọi x ∈ A thì fg cũng đo

được.

Chứng minh. Ta ký hiệu A[f > a] để chỉ x ∈ A : f(x) > a.

1) Với a > 0 ta có

A[|f |α < a] = A[|f | < a1α ] = A[−a

1α < f < a

1α ] = A[f < a

1α ] ∩A[f < −a

1α ] ∈ F

vì mỗi tập A[f < a1α ], A[f < −a

1α ] ∈ F do f đo được.

Nếu a ≤ 0 thì A[|f |α < a] = ∅ ∈ F .

Vậy |f |α đo được trên A.

2) a) Cho a ∈ R và r1, r2, . . . , rn, . . . là dãy tất cả các số hữu tỷ. Ta có

f(x) + g(x) < a ⇔ f(x) < a− g(x) ⇔ ∃n ∈ N : f(x) < rn < a− g(x)

do đó

A[f + g < a] =∞⋃n=1

A[f < rn < a− g] =∞⋃n=1

(A[f < rn] ∩A[g < a− rn]).

Vì mỗi tập (A[f < rn], A[g < a− rn]) ∈ F nên A[f + g < a] ∈ F .

Chứng minh tương tự cho f − g.

b) Tính đo được của các hàm f.g,maxf, g,minf, g suy ra từ kết quả a) vàcác đẳng thức sau

f.g =1

4[(f + g)2 − (f − g)2];

maxf, g =1

2(f + g + |f − g|);

minf, g =1

2(f + g − |f − g|).

Nếu g(x) 6= 0 với mọi x ∈ A thì

A[ 1

g2< a

]=

∅ ∈ F , nếu a ≤ 0

A[

1g2> 1

a

], nếu a > 0


nên 1g2

đo được. Ta có fg = f.g. 1

g2nên f

g đo được.

Định lý 1.5.1.3. Nếu fnn∈N là một dãy các hàm số đo được và hữu hạn thì các

hàm số supnfn, inf

nfn, lim

n→∞fn, lim

n→∞fn cũng đo được, và nếu tồn tại lim

n→∞fn thì hàm

này cũng đo được.

Chứng minh. Với mỗi a ∈ R ta có

A[sup fn ≤ a] =∞⋂n=1

A[fnn ≤ a], A[inf fn ≤ a] =∞⋂n=1

A[fn ≤ a] ∈ F

nên supnfn, inf

nfn đo được. Do đó các hàm số lim

n→∞fn, lim

n→∞fn cũng đo được. Nếu

tồn tại limn→∞

fn thì limn→∞

fn = limn→∞

fn nên limn→∞

fn đo được.

Như vậy lớp các hàm đo được kín đối với phép toán giải tích. Theo trên, mọihàm số liên tục trên một tập A ∈ Lk đều (L)-đo được trên tập đó nên giới hạn củamột dãy hàm số liên tục là một hàm số đo được, mặc dù có thể không liên tục. Điềuđó cho thấy rằng lớp các hàm số đo được Lebesgue trong Rk rộng hơn nhiều so vớilớp các hàm số liên tục. Chẳng hạn, hàm số Dirichlet là hàm đo được mặc dù nógián đoạn tại mọi điểm trên R.

1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được

Định nghĩa 1.5.2.1. Một hàm số f xác định trên A ∈ F được gọi là hàm đơn giảnnếu f đo được và chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hữu hạn.

Giả sử f(A) = c1, c2, . . . , cn ⊂ R. Với mỗi i = 1, 2, . . . , n ta đặt Ai = x ∈ A :

f(x) = ci. Dễ thấy các tập Ai đo được, đôi một rời nhau và A =

n⋃i=1

Ai. Khi đó

f =n∑i=1

ciχAi .

Ngược lại, nếu f có dạng trên với các tập Ai đo được, rời nhau, A =n⋃i=1

Ai thì f sẽ

là một hàm đơn giản trên A.

Cấu trúc của một hàm số đo được thể hiện qua định lý dưới đậy.

Định lý 1.5.2.2. Mỗi hàm số đo được trên một tập A ∈ F đều là giới hạn của một

dãy fnn∈N các hàm số đơn giản trên A :

f = limn→∞

fn.

Nếu f ≤ 0 trên A thì có thể chọn các fn để cho 0 ≤ fn ≤ fn+1 với mọi n ∈ N.


Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng:

1) Nếu f là hàm số đo được trên A thì f = f+ − f− với

f+ = maxf, 0 và f− = minf, 0.

Hai hàm f+, f− đều không âm và đo được trên A. Hơn nữa, |f | = f+ + f−.

2) Nếu f là hàm số đơn giản trên A và a ∈ R thì f + a, a.f, f.g, fg đều là nhữnghàm đơn giản trên A.

Ta chứng minh cho trường hợp f ≥ 0 trên A.

Với mỗi n ∈ N ta đặt

C0n = x ∈ A : f(x) ≥ n

Cin = x ∈ A :i− 1

2n≤ f(x) ≤ i

2n, (i = 1, 2, . . . , n2n).

Khi đó các Cin đo được, đôi một rời nhau và A =n2n⋃i=0

Cin. Ta xác định hàm fn trên

A như sau:

fn(x) =

n nếu x ∈ C0

n (f(x) ≥ n)i−12n nếu x ∈ Cin ( i−1

2n ≤ f(x) ≤ i2n ).

Dễ thấy fn là hàm đơn giản trên A. và fn ≥ 0.

Ta chứng minh fn(x) ≤ fn+1(x) với mọi n ∈ N, với mọi x ∈ A.

Với x ∈ A tồn tại i ∈ 0, 1, 2, . . . , n2n để x ∈ Cin.

• Nếu i = 0 thì fn(x) = n.

Khi f(x) ≥ n+ 1 thì fn+1(x) = n+ 1 > fn(x).

Khi n ≤ f(x) < n+ 1 ta viết

n2n+1

2n+1≤ f(x) <

(n+ 1)2n+1

2n+1,

khi đó fn+1(x) ≥ n = fn(x).

• Nếu i ≥ 1 ta viết

Cin =x ∈ A :

2i− 2

2n+1≤ f(x) ≤ 2i− 1

2n+1

⋃x ∈ A :

2i− 1

2n+1≤ f(x) ≤ 2i

2n+1

.

Khi x ∈ C2i−1n+1 thì

fn+1(x) =2i− 2

2n+1=i− 1

2n= fn(x).

Khi x ∈ C2in+1 thì

fn+1(x) =2i− 1

2n+1>

2i− 2

2n+1=i− 1

2n= fn(x).


Vậy fn(x) ≤ fn+1(x) với mọi n ∈ N.

Bây giờ ta chứng minh limn→∞

fn = f.

Với x ∈ A mà f(x) < +∞ thì với n đủ lớn ta có fn < n cho nên tồn tạii ∈ 1, 2, . . . , n2n để

i− 1

2n≤ fn(x) <

i

2n.

Như vậy fn(x) = i−12n suy ra

|fn(x)− f(x)| ≤ 1

2n→ 0 khi n→∞.

Nếu f(x) = +∞ thì f(x) ≥ n với mọi n ∈ N nên fn(x) = n và limn→∞

fn(x) = +∞ =

f(x).

Xét f là hàm đo được trên A. Lúc đó f = f+ − f−. Theo chứng min trêntồn tại hai dãy hàm đơn giản f+

n , f−n xác định trên A để limn→∞

f+n = f+ và

limn→∞

f−n = f−. Đặt fn = f+n − f−n . Khi đó fn cũng là hàm đơn giản và

limn→∞

fn = f+ − f− = f.

Nhận xét rằng, trong trường hợp f ≥ 0, dãy hàm đơn giản fn trong chứngminh trên có tính chất 0 ≤ fn ≤ n với mỗi n ∈ N.

1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi”

Giả sử (X,A, µ) là một không gian độ đo với A là một σ-đại số. Ta nói một tínhchất P (x) nào đó thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A nếu tồn tại B ∈ A sao choµB = 0 và P (x) thỏa mãn với mọi x ∈ A \ B. Đôi khi để chỉ rõ độ đo µ (trongtrường hợp đang xét nhiều độ đo) ta viết “µ- h.k.n” thay cho “h.k.n”.

Ví dụ 1.5.3.1. 1) Hàm f : A → R là hữu hạn h.k.n trên A nếu f(x) ∈ R với mọix ∈ A ngoại trừ trên một tập B ⊂ A mà B ⊂ B0 và µB0 = 0.

2) Dãy fnn các hàm xác định trên A là hội tụ h.k.n trên A về hàm f nếu cótập B ⊂ A sao cho µB = 0 và fn(x)→ f(x) khi n→∞ với mọi x ∈ A \B.

3) Hai hàm f, g xác định trên A la bằng nhau h.k.n trên A nếu x ∈ A : f(x) 6=g(x) ⊂ B với µB = 0. Hai hàm bằng nhau h.k.n.trên A được gọi là tương đươngtrên A và thường ký hiệu là f ∼ g. Chú ý rằng quan hệ ∼ là một quan hệ tươngđương trên lớp các hàm xác định trên A.

Định lý 1.5.3.1. Nếu µ là độ đo đủ thì mọi hàm số g tương đương với một hàm f

đo được trên A cũng đo được trên A.


Chứng minh. Từ định nghĩa của hàm tương đương ta suy ra hai tập hợp A[f < a]

và A[g < a] chỉ sai khác nhau một tập có độ đo 0 (do µ đủ) nên nếu A[f < a] ∈ Athì A[g < a] ∈ A.

Trong giải tích cổ điển, khái niệm tương đương của các hàm số không có vai trògì quan trọng, vì khi đó ta chỉ xét các hàm số liên tục, mà đối với các hàm số đótính tương đương trùng với tính đồng nhất. Chính xác hơn, nếu hai hàm số liên tụctrên một đoạn mà tương đương (với độ đo Lebesgue) thì chúng đồng nhất. Thậtvậy, nếu f(x0) 6= g(x0) tại một điểm x0 thì bởi tính liên tục của f và g, tồn tại mộtlân cận của x0 trên đó f(x) 6= g(x). Vì độ đo của mỗi lân cận như vậy là dương nênđiều này mâu thuẫn với giả thiết tương đương của f và g.

Đối với các hàm đo được tùy ý, nói chung tính tương đương không kéo theo sựđồng nhất. Ví dụ, hàm số nhận giá trị 1 tại các điểm hữu tỷ và nhận giá trị 0 tạicác điểm vô tỷ là tương đương với hàm không.

1.5.4 Hội tụ theo độ đo

Định nghĩa 1.5.4.1. Một dãy hàm fnn∈N đo được trên A ∈ A được gọi là hộitụ theo độ đo về hàm đo được f trên A nếu

∀ε > 0, limn→∞

µx ∈ A : |fn(x)− f(x)| ≥ ε = 0.

Ký hiệu fnµ→ f.

Với giả thiết µ là độ đo đủ ta có các nhận xét:

1) Nếu fnµ→ f trên A và f ∼ g thì fn

µ→ g trên A. Thật vậy, đặt B = x ∈ A :

f(x) 6= g(x) ta có

x ∈ A : |fn(x)− g(x)| ≥ ε = x ∈ A \B : |fn(x)− f(x)| ≥ ε ∪B

⊂ x ∈ A : |fn(x)− f(x)| ≥ ε ∪B,

nhưng µB = 0 nên

0 ≤ µ(A[|fn − g| ≥ ε]) ≤ µ(A[|fn − f | ≥ ε])→ 0 khi ∈ n→∞.

Vậy fnµ→ g.

2) Nếu fnµ→ f và fn

µ→ g trên A thì f ∼ g. Thật vậy, với ε > 0 tùy ý ta có

A[|f − g| ≥ ε] ⊂ A[|fn − f | ≥ε

2] ∪A[|fn − g| ≥

ε

2]

vì nếu x không thuộc tập hợp ở vế phải thì

|fn(x)− f(x)| < ε

2và |fn(x)− g(x)| < ε

2


lúc đó |f(x)− g(x)| < ε tức là x cũng không thuộc tập hợp ở vế trái. Vậy

µ(A[|fn − g| ≥ ε]) ≤ µ(A[|fn − f | ≥ε

2]) + µ(A[|fn − g| ≥

ε

2]).

Vì độ đo của hai tập ở vế phải dần về 0 khi n→∞ nên

µ(A[|fn − g| ≥ ε]) = 0.

Nói riêng, µ(A[|fn − g| ≥ 1n ]) = 0 với mọi n ∈ N, do đó tập hợp

x ∈ A : f(x) 6= g(x) = x ∈ A : |f(x)− g(x)| > 0

=∞⋃n=1

x ∈ A : |f(x)− g(x)| ≥ 1

n

có độ đo bằng 0, tức là f ∼ g trên A.

Như vậy, nếu bỏ qua một tập có độ đo 0 (tức là không phân biệt hai hàm tươngđương) thì giới hạn của một dãy hàm đo được hội tụ có thể xem là duy nhất.

Kết quả dưới đây cho ta mối quan hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và sự hội tụh.k.n. Ta giả thiết µ là độ đo đủ.

Định lý 1.5.4.2. Nếu một dãy hàm số fnn∈N đo được trên A hội tụ h.k.n về một

hàm f thì f đo được trên A, và nếu µA < +∞ thì fnµ→ f.

Chứng minh. Đặt B = x ∈ A : fn(x) 9 f(x). Lúc đó µB = 0.

Do µ đủ nên f đo được trên B. Còn trên A \B thì fn → f nên f đo được trênA \B. Vậy f đo được trên A = B ∪A \B.

Bây giờ ta chứng minh fnµ→ f trên A nếu µA < +∞.

Với ε > 0 tùy ý ta đặt

Ai = x ∈ A : |fi(x)− (x)| ≥ ε; Cp =

∞⋃i=p

Ai; C =

∞⋂p=1

Cp.

Khi đó Cp ⊃ Cp+1 với mọi p. Ta có µCp < +∞ với mọi p nên µC = limp→∞

µCp.

Nếu x ∈ C thì x ∈ Cp với mọi p ∈ N. Do vậy với mỗi p ∈ N tồn tại i ≥ p đểx ∈ Ai, suy ra |fi(x)− f(x)| ≥ ε. Vậy fi(x) 9 f(x) nên x ∈ B. Suy ra C ⊂ B. MàµB0 nên µC = 0. Do đó lim

p→∞µCp = 0.

Vì Ap ⊂ Cp với mọi p nên µAp ≤ µCp và do đó limp→∞

µAp = 0, nghĩa là fnµ→ f

trên A.


Nhận xét.

a) Ở đây không những limp→∞

µAp = 0 mà limp→∞

µ( ∞⋃i=p

Ai

)= 0

b) Điều kiện µA < +∞ không thể bỏ qua. Chẳng hạn, lấy A = R và µ là độ đoLebesgue trên R. Xét

fn(x) =

1 nếu n ≤ x ≤ n+ 1

0 tại các điểm khác.

Khi đó fn(x)→ 0 tại mọi x ∈ R nhưng với mọi n ∈ N

µx ∈ R : |fn(x)− 0| ≥ 1

2 = 1 9 0

nghĩa là fnµ9 0.

c) Sự hội tụ theo độ đo của một dãy hàm nói chung không kéo theo sự hội tụh.k.n của dãy đó. Thật vậy, với mỗi k ∈ N ta xác định k hàm số fik, (i = 1, 2, . . . , k)

trên [0, 1] như sau:

fik(x) =

i nếu i−1

k ≤ x <ik

0 tại các điểm khác.

Lúc đó dãy hàm

ϕ1 = f11, ϕ2 = f12, ϕ3 = f22, ϕ4 = f13, ϕ5 = f23, ϕ6 = f33, . . .

hội tụ theo độ đo về hàm 0 nhưng không hội tụ về 0 tại bất kỳ điểm nào của [0, 1].

Tuy nhiên ta có

Định lý 1.5.4.3. Nếu dãy hàm đo được fnn∈N hội tụ theo độ đo về hàm f thì

có dãy con fnk của dãy fnn∈N hội tu h.k.n về f

Chứng minh. Chọn dãy số dương εk sao cho∞∑k=1

εk < +∞. Khi đó limk→∞

εk = 0. Do

fnµ→ f trên A nên với mỗi k ∈ N tồn tại nk ∈ N sao cho với mọi n ≥ nk ta có

µx ∈ A : |fn(x)− f(x)| ≥ εk < εk.

Có thể chọn sao cho n1 < n2 < . . . < nk < . . . và nk →∞ khi k →∞. Ta có

µx ∈ A : |fnk(x)− f(x)| ≥ εk < εk.

Đặt

B =

∞⋃k=1

µx ∈ A : |fnk(x)− f(x)| ≥ εk; B =

∞⋂i=1

Bi.


Lúc đó µB ≤ µBi ≤∞∑k=i

εk. Do vậy limi→∞

µBi ≤ limi→∞

( ∞∑k=i

εk

)= 0, nên µB = 0.

Bây giờ, nếu x ∈ A \ B thì có i ∈ N để x /∈ Bi, tức là với mọi k ≥ i ta có|fnk(x)− f(x)| < ε. Do εk → 0 nên fnk(x)→ f(x). Vì µB = 0 nên fnk hội tụ h.k.nvề f trên A.

Hai định lý được trình bày (không chứng minh) dưới đây nêu lên những tínhchất sâu sắc của các hàm số đo được.

Định lý 1.5.4.4. (Egorov) Cho một dãy hàm số fnn∈N đo được, hữu hạn h.k.n

và hội tụ h.k.n trên một tập hợp A với µA < +∞. Khi đó với mỗi ε > 0 tồn tại một

tập hợp đo được B ⊂ A sao cho µ(A \B) < ε và dãy fnn∈N hội tụ đều trên B.

Định lý 1.5.4.5. (Lusin) Cho tập hợp A ⊂ Rk có µA < ∞. Một hàm số f xác

định và hữu hạn trên A là đo được khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng

F ⊂ A sao cho µ(A \ F ) < ε và f liên tục trên F.

Bài tập

... 1.1. Chứng minh rằng một lớp C các tập con của X là một đại số khi và chỉ khiC 6= ∅ và

a) A ∈ C, B ∈ C ⇒ A ∩B ∈ C.

b) A ∈ C ⇒ Ac = X \A ∈ C.

... 1.2. Chứng minh rằng họ tất cả các tập A ⊂ X sao cho A hoặc Ac hữu hạn tạothành một đại số trên X. Họ tất cả các tập A ⊂ X sao cho A hoặc Ac không quáđếm được tạo thành một σ-đại số trên X.

... 1.3. Cho µ là một độ đo trên đại số C và A,B ∈ C. Chứng minh rằng

µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µA+ µB.

... 1.4. Cho µ là một độ đo trên đại số C. Nếu A,B ∈ C thì ta viết A ∼ B nếuµ(A∆B) = 0. Chứng minh rằng “∼" là một quan hệ tương đương và nếu A ∼ B thì

µA = µB = µ(A ∩B).

... 1.5. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X. Chứng minh rằng với mọi A,B ⊂ X tacó

|µ∗A− µ∗B| ≤ µ∗(A∆B).


... 1.6. Cho đại số C = ∅, X và độ đo µ xác định trên C như sau: µ(∅) = 0 vàµ(X) = 1. Hãy tìm độ đo ngoài µ∗ và σ-đại số các tập µ∗-đo được.

... 1.7. Cho m là một độ đo hữu hạn trên đại số C, µ∗ là độ đo ngoài cảm sinh bởim. Chứng minh A ⊂ X là µ∗-đo được khi và chỉ khi với mỗi ε > 0, tồn tại C ∈ Csao cho µ∗(A∆B) < ε.

... 1.8. Cho m là một độ đo trên đại số C, µ là một mở rộng tiêu chuẩn của m lênσ-đại số L các tập µ∗-đo được. Chứng minh

µ∗E = infµA : A ⊃ E,A ∈ L.

Từ đó suy ra rằng tồn tại G ∈ L sao cho G ⊃ E và µ∗E = µG.

... 1.9. Trên Rk với độ đo Lebesgue, hãy chứng minh ba mệnh đề sau tương đương:

a) E là L-đo được.

b) Tồn tại tập K loại Gδ, K ⊃ E sao cho µ∗(K \ E) = 0.

c) Tồn tại tập H loại Fσ, H ⊂ E sao cho µ∗(E \H) = 0.

... 1.10. Cho A ⊂ [0, 1] có độ đo lớn hơn 12 . Chứng minh rằng A phải chứa một tập

con có độ đo dương và đối xứng qua điểm giữa của đoạn [0, 1].

... 1.11. Chứng minh rằng tập hợp A ⊂ R có độ đo 0 khi và chỉ khi có thể tìm đượcmột dãy những khoảng mở (∆n)n∈N sao cho mỗi x ∈ A đều thuộc về vô số khoảng

∆n và∞∑n=1

|∆n| < +∞.

... 1.12. Cho n tập A1, . . . , An trên [0, 1] sao cho µA1 + · · · + µAn > n − 1. Chứng

minh µ( n⋂i=1

Ai

)> 0.

... 1.13. Cho A là một tập con đo được của [a, b]. Xét hàm số f : [a, b]→ R mà

f(x) = µ(A ∩ [a, x]) với x ∈ [a, b].

Chứng minh f liên tục trên [a, b].

... 1.14. Cho A là tập con đo được của R với µA = p > 0. Chứng minh rằng nếu0 < q < p thì tồn tại một tập con đo được của A có độ đo bằng q.

... 1.15. Cho (X,A) là một không gian đo được, A ∈ A, f : A → R là một hàm đođược và p là một số nguyên dương. Chứng minh rằng hàm số sau đo được trên A.

h(x) =

|f(x)|p nếu f(x) hữu hạnβ− nếu f(x) = −∞β+ nếu f(x) = +∞


trong đó β−, β+ tuỳ ý thuộc R.

... 1.16. Chứng minh rằng nếu hàm số [f(x)]3 là hàm số đo được trên E thì f(x)

cũng đo được trên E.

... 1.17. Chứng minh rằng nếu hàm số [f(x)]2 là hàm số đo được trên E thì khôngthể suy ra f(x) đo được trên E.

... 1.18. Giả sử f : Rn → R là hàm liên tục, còn g1, . . . , gn : R → R là những hàmđo được. Chứng minh rằng hàm h(x) = f(g1(x), . . . , gn(x)) là hàm đo được.

... 1.19. Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) đo được trên doạn bất kỳ [α, β], vớia < α, β, b, thì f(x) đo được trên toàn [a, b].

... 1.20. Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) là hàm số đo được trên E thì hàm sốsau đo được trên E.

[f(x)]ba =

a với mọi x mà f(x) < a

f(x) với mọi x mà a ≤ f(x) ≤ bb với mọi x mà f(x) > b,

trong đó a < b.

Chương 2

Tích phân Lebesgue

2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . 432.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1. Tích phân Lebesgue

Trong chương này ta xét không gian độ đo (X,A, µ).

2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm

Giả sử f là hàm đơn giản không âm xác định trên một tập hợp A ∈ A. Khi đó

f =n∑i=1

ciχAi

với các tập Ai đo được, rời nhau vàn⋃i=1

Ai = A, ci ≥ 0.

Ta định nghĩa tích phân của hàm f với độ đo µ trên tập A là∫Afdµ =

n∑i=1

ciµAi.

2.1. Tích phân Lebesgue 34

Ta sẽ kiểm tra giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợptuyến tính các hàm đặc trưng. Thật vậy, giả sử

f =

n∑i=1

ciχAi =

s∑j=1

djχBj .

Vì Ai = Ai ∩A = Ai ∩( s⋃j=1

Bj

)=

s⋃j=1

(Ai ∩Bj) và các tập Ai ∩Bj đôi một rời nhau

nênn∑i=1

ciµAi =n∑i=1

[ s∑j=1

µ(Ai ∩Bj)]

=n∑i=1

s∑j=1

ciµ(Ai ∩Bj).

Tương tự ta cũng có

s∑ij=1

djµBj =s∑j=1

n∑i=1

djµ(Ai ∩Bj).

Nếu Ai ∩Bj 6= ∅ thì ci = dj vì f(x) = ci trên Ai và f(x) = dj trên Bj . Do đó

n∑i=1

ciµAi =s∑

ij=1

djµBj .

2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm

Để chuẩn bị cho định nghĩa ta cần các bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.2.1. Nếu f, g là các hàm đơn giản không âm trên A mà f ≤ g thì∫Af ≤

∫Ag.

Chứng minh. Giả sử

f =n∑i=1

aiχAi ; g =

m∑j=1

bjχBj

trong đó các Ai đôi một rời nhau, các Bj đôi một rời nhau và A =n⋃i=1

Ai =m⋃j=1

Bj

Đặt Cij = Ai ∩Bj . Khi đó Ai =

m⋃j=1

Cij , Bj =

n⋃i=1

Cij và

∫Afdµ =

n∑i=1

aiµAi =

n∑i=1

ai

( m∑j=1

µCij

)=

n∑i=1

m∑j=1

aiµCij .


Tương tự ∫Agdµ =

m∑j=1

n∑i=1

bjµCij .

Trên Cij ta có f(x) = ai, g(x) = bj nên theo giả thiết f ≤ g nên ai ≤ bj , do đó∫Af ≤

∫Ag.

Bổ đề 2.1.2.2. Nếu hai dãy hàm đơn giản không âm fnn, gnn trên A có tính

chất fn ≤ fn+1, gn ≤ gn+1 với mọi n và limn→∞

fn = limn→∞

gn = f trên A thì

limn→∞

∫Afn = lim

n→∞

∫Agn.

Chứng minh. a) Giả sử f là hàm đơn giản trên A, tức là f =n∑i=1

αiχAi . Ta chứng

minh limk→∞

∫Afk =

∫Af.

Lấy t ∈ (0, 1) tùy ý và đặt

Aik = x ∈ Ai : fk(x) ≥ tαi.

Do fk ≤ fk+1 nên Aik ⊂ Ai,k+1 và Ai =∞⋃k=1

Aik. Thật vậy, rõ ràng∞⋃k=1

Aik ⊂ Ai.

Nếu x ∈ Ai thì f(x) = αi. Vì dãy fk(x)k tăng và hội tụ về f(x) và t ∈ (0, 1) nên

sẽ tồn tại k đủ lớn để fk(x) ≥ tαi, vậy x ∈ Aik. Do đó∞⋃k=1

Aik ⊃ Ai. Như vậy

µAi = limk→∞

µAik.

Vì các Ai đôi một rời nhau nên các Aik (với i thay đổi) rời nhau. Đặt Φk =n∑i=1

tαiχAik . Lúc đó Φk ≤ fk ≤ f trên A. Theo bổ đề 2.1.2.1

∫A

Φk ≤∫Afk ≤

∫Af.

Cho k →∞ ta được∫A

Φk =n∑i=1

tαiµAik →n∑i=1

tαiµAi = t

∫Af

nênt

∫Af ≤ lim

k→∞

∫Afk ≤

∫Af.


Cho t→ 1 ta được limk→∞

∫Afk =

∫Af.

b) Xét một số tự nhiên m và đặt hn = minfn, gm. Lúc đó hn cũng là hàm đơngiản không âm trên A. Theo giả thiết fn f = limn→∞ gn ≥ gm nên hn gm

khi n → ∞. Theo phần a) ta suy ra limn→∞

∫Ahn =

∫Agm. Nhưng hn ≤ fn nên∫

Ahn ≤

∫Afn Cho n→∞ ta có

∫Agm ≤ lim

n→∞

∫Afn. Cho m→∞ ta được

limm→∞

∫Agm ≤ lim

n→∞

∫Afn.

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được bất đẳng thức ngược lại. Do đó bổ đề đượcchứng minh.

Bây giờ ta xét hàm f đo được, không âm xác định trên A. Khi đó tồn tại dãyhàm đơn giản, không âm fnn đơn điệu tăng sao cho limn→∞ fn = f. Tích phâncủa hàm f trên A được định nghĩa∫

Afdµ = lim

n→∞

∫Afn.

Nhờ vào các bổ đề 2.1.2.1, 2.1.2.2 thì limn→∞

∫Afn tồn tại và xác định duy nhất

khồng phụ thuộc vào cách chọn dãy hàm fnn.

2.1.3 Tích phân các hàm đo được

Với hàm đo được f ta có f = f+ − f− với f+ = maxf, 0, f− = −minf, 0.Nếu hiệu

∫Af+ −

∫Af− có nghĩa (tức là không có dạng ∞−∞) thí ta định nghĩa

đó là tích phân của hàm f trên A và viết∫Af =

∫Af+ −

∫Af−.

Nếu∫Af hữu hạn ta nói f khả tích trên A. Như vậy f khả tích trên A nếu và chỉ

nếu f+, f− cùng khả tích trên A.

Trong trường hợp X = Rk,A = Lk, µ = µk (độ đo Lebesgue) tích phân xây dựngnhư trên gọi là tích phân Lebesgue và được ký hiệu

(L)

∫Af(x)dx

hay

(L)

∫ ∫. . .

∫A

f(ξ1, ξ2, . . . , ξk)dξ1dξ2 . . . dξk.

2.2. Các tính chất sơ cấp 37

Từ định nghĩa của tích phân ta nhận được

a)∫Acdµ = cµA, (c là hằng số)

b)∫A

(αχB)dµ = αµ(A ∩B),

c)∫A

( n∑i=1

αiχBi

)dµ =

n∑i=1

αiµ(A ∩Bi).

Định lý 2.1.3.1. a) Nếu µA = 0 và f đo được trên A thì

∫Af = 0.

b) Nếu µA < +∞ và f là hàm đo được, bị chặn trên A thì f khả tích trên A.

Chứng minh. a) Nhận thấy rằng, nếu f là hàm đơn giản, không âm thì∫Af = 0 (vì

mọi tập con của A đều có độ đo 0). Từ đó dễ dàng suy ra∫Af = 0 với f là hàm đo

được không âm, và do đó suy ra kết quả cho hàm f đo được tùy ý.

b) Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp f ≥ 0. Từ giả thiết, tồn tại K > 0 để0 ≤ f ≤ K trên A. Gọi fnn là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng hội tụ

về f. Khi đó 0 ≤ fn ≤ K và∫Afn ≤ KµA. Do vậy

0 ≤∫Af = lim

n→∞

∫Afn ≤ KµA < +∞.

Từ định lý này ta thấy rằng mọi hàm bị chặn và liên tục h.k.n trên một hìnhhộp đóng và bị chặn ∆ của Rk đều khả tích Lebesgue trên Rk. Như vậy, lớp các hàmkhả tích Lebesgue trên Rk bao gồm tất cả các hàm khả tích Riemann và ngoài racòn nhiều hàm số khác nữa. Chẳng hạn như hàm Dirichlet trên [0, 1] là không khảtích Riemann, trong khi đó tích phân Lebesgue của nó bằng 0.

2.2. Các tính chất sơ cấp

Trong phần này ta luôn giả thiết các hàm số và các tập hợp dề cập đến đều đođược.

2.2.1 Tính chất cộng tính

Định lý 2.2.1.1. Nếu A ∩B = ∅ thì

∫A∪B

f =

∫Af +

∫Bf nếu vế phải và vế trái

có nghĩa.


Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp vế trái có nghĩa, trường hợp kia đượcchứng minh tương tự.

a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A thì

f =

n∑i=1

αiχEi ,

n⋃i=1

Ei = A ∪B

và các Ei đôi một rời nhau. Ta có Ei = (A ∩Ei) ∪ (B ∩Ei) và hai tập ở vế phải rờinhau. Do đó∫

A∪Bf =

n∑i=1

αiµEi =

n∑i=1

αiµ(A ∩ Ei) +

n∑i=1

αiµ(B ∩ Ei) =

∫Af +

∫Bf.

b) Nếu f ≥ 0 trên A∪B thì tồn tại dãy hàm fnn đơn giản, không amm, tăngvà hội tụ về f. Ta có ∫

A∪Bfn =

∫Afn +

∫Bfn.

Cho n→∞ ta được ∫A∪B

f =

∫Af +

∫Bf.

c) Nếu f là hàm đo được ta viết f = f+ − f−. Theo b) ta có∫A∪B

f+ =

∫Af+ +

∫Bf+,

∫A∪B

f− =

∫Af− +

∫Bf−.

Nếu∫A∪B

f có nghĩa thì vế trái của một trong hai đẳng thức trên là hữu hạn, do

đó∫Af+ −

∫Af− và

∫Bf+ −

∫Bf− có nghĩa. Khi đó trừ vế theo vế hai đẳng thức

trên ta được ∫A∪B

f =

∫Af +

∫Bf.

Hệ quả 2.2.1.2. Nếu E ⊂ A và tồn tại

∫Af thì tồn tại

∫Ef ; nếu f khả tích trên

A thì f cũng khả tích trên E.

Chứng minh. Ta có A = (A \ E) ∪ E. Bởi tính cộng tính, nếu tồn tại∫Af ta sẽ có∫

Ef và ∫

Af =

∫Ef +

∫A\B

f.


Nếu∫Ef vô hạn thì

∫Ef +

∫A\B

f không thể hữu hạn, do đó nếu f khả tích trên

A thì f cũng khả tích trên E.

Hệ quả 2.2.1.3. µB = 0 thì

∫A∪B

f =

∫Af.

Bạn đọc tự chứng minh (xét các trường hợp A ∩B = ∅ và A ∩B 6= ∅).

2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự

Định lý 2.2.2.1. a) Nếu f ∼ g trên A thì

∫Af =

∫Ag. Nói riêng, nếu f = 0 h.k.n

trên A thì

∫Af = 0.

b) Nếu f ≤ g trên A thì

∫Af ≤

∫Ag. Nói riêng, nếu f ≥ 0 trên A thì

∫Af ≥ 0.

Chứng minh. a) Đặt B = x ∈ A : f(x) = g(x). Khi đó µ(A \ B) = 0. Theo hệquả 2.2.1.3 ta có ∫

Af =

∫Bf ;

∫Ag =

∫Bg.

Suy ra điều phải chứng minh.

b) Nếu f, g đều là các hàm đơn giản thì tính chất đã được chứng minh bởibổ đề 2.1.2.1. Nếu f, g ≤ 0 trên A thì tồn tại các dãy hàm đơn giản, không âmfn f, gn g trên A. Do f ≤ g ta có thể giả sử fn ≤ gn với mọi n ∈ N. Khi đó∫

Afn ≤

∫Agn.

Cho n→∞ ta được∫Af ≤

∫Ag.

Nếu f ≤ g thì ta có f+ ≤ g+ và f− ≥ g− nên∫Af+ ≤

∫Ag+,

∫Af− ≥

∫Ag−.

Từ đó suy ra ∫Af+ −

∫Af− ≤

∫Ag+ −

∫Ag− hay

∫Af ≤

∫Ag.

Hệ quả 2.2.2.2. Nếu f khả tích trên A thì f hữu hạn h.k.n. trên A.


Chứng minh. Đặt B = x ∈ A : f(x) = +∞. Khi đó f khả tích trên B. Nhưng

trên B thì f ≥ K với mọi K > 0 nên∫Af ≥ KµB. Đẳng thức này đúng với mọi

K nên ta phải có µB = 0 Tương tự, µx ∈ A : f(x) = −∞ = 0. Vậy f hữu hạnh.k.n. trên A.

Hệ quả 2.2.2.3. Nếu f ≥ 0 trên A và

∫Af = 0 thì f = 0 h.k.n. trên A.

Chứng minh. Đặt B = x ∈ A : f(x) > 0. Khi đó B =⋃∞n=1Bn với Bn = x ∈ A :

f(x) ≥ 1n. Ta có

0 =

∫Af ≥

∫Bn

f ≥ 1

nµBn

nên µBn = 0 với mọi n. Vậy µB = 0.

Chú ý rằng, nếu bỏ điều kiện f ≥ 0 thì kết quả trên không còn đúng.

2.2.3 Tính chất tuyến tính

Định lý 2.2.3.1. a)

∫Acf = c

∫Af, (c ∈ R);

b)

∫A

(f + g) =

∫Af +

∫Ag nếu vế phải có nghĩa.

Chứng minh. a) Nếu f là hàm đơn giản thì đẳng thức là hiển nhiên. Nếu f ≥ 0 thìtồn tại dãy hàm đơn giản, không âm fn f. Lúc đó cfn cúng đơn giản và

• Nếu c ≥ 0 thì cfn cf và do∫Acfn = c

∫Afn nên khi nto∞ ta được∫

Acf = c

∫Af.

• Nếu c < 0 thì cf ≤ 0 nên (cf)+ = 0, (cf)− = −cf và theo định nghĩa∫Acf = 0−

∫A

(−cf). Theo trên ta có∫A

(−cf) = −c∫Af nên

∫Acf = c

∫Af

Trường hợp f tùy ý ta có

• f = f+ − f− và (cf)+ = cf+, (cf)− = cf− nếu c ≥ 0,

• (cf)+ = −cf−, (cf)+ = −cf+ nếu c < 0. Như vậy trong mỗi trường hợp ta

đều có∫Acf = c

∫Af.

b) • Trường hợp f, g ≥ 0 và đơn giản trên A. Lúc đó

f =

n∑i=1

αiχAi , g =

m∑j=1

βiχBj .


Đặt Cij = Ai ∩Bj ta sẽ có

f =n∑i=1

m∑j=1

αiχCij , g =m∑j=1

n∑i=1

βiχCij .

Như vậy

f + g =n∑i=1

m∑j=1

(αi + βj)χCij

nên ∫A

(f + g) =

n∑i=1

m∑j=1

(αi + βj)µCij =

∫Af +

∫Ag.

• Trường hợp f, g ≥ 0. Lúc đó tồn tại hai dãy hàm đơn giản không âm fn f,

gn g trên A. Dễ thấy fn + gn f + g. Vì vậy∫A

(f + g) = limn→∞

∫A

(fn + gn) = limn→∞

∫Afn + lim

n→∞

∫Agn =

∫Af +

∫Ag.

• Trường hợp tổng quát ta sẽ có phân tích f = f+ − f−, g = g+ − g− và∫Af +

∫Ag =

(∫Af+ −

∫Af−)

+(∫

Ag+ −

∫Ag−).

Nếu∫Af+ = +∞ (hay

∫Af− = +∞) thì

∫Af− (hay

∫Af+) phải hữu hạn để

∫Af

có nghĩa. Nếu∫Ag+ = +∞ (hay

∫Ag− = +∞) thì

∫Ag− (hay

∫Ag+) phải hữu hạn

để∫Ag có nghĩa. Do đó để

∫Af,

∫Ag có nghĩa và

∫Af +

∫Ag có nghĩa thì hoặc là

bốn tích phân đều hữu hạn hoặc nhiều lắm là∫Af+ =

∫Ag+ = +∞ và hai tích

phân còn lại phải hữu hạn (hoặc ngược lại). Vì vậy ta viết được∫Af +

∫Ag =

(∫Af+−

∫Ag+)−(∫

Af−+

∫Ag−)

=

∫A

(f+ + g+)−∫A

(f−+ g−).

Bây giờ ta chứng minh nếu f, g ≥ 0 và∫Af −

∫Ag có nghĩa thì∫

A(f − g) =

∫Af −

∫Ag.

Đặt h = f − g = h+ − h−. Khi đó f ≥ h+, g ≥ g−, vì vậy f − h+ = g− h− = k ≥ 0.

Ta suy ra f = h+ + k và g = h− + k và∫Af =

∫A

(h+ + k) =

∫Ah+ +

∫Ak,

∫Ag =

∫A

(h− + k) =

∫Ah− +

∫Ak.


Vì∫Af −

∫Ag có nghĩa nên∫

Af −

∫Ag =

∫Ah+ −

∫Ah− =

∫Ah =

∫A

(f − g).

Nhờ kết quả vừa chứng minh ta viết∫A

(f+ + g+)−∫A

(f− + g−) =

∫A

[(f+ + g+)− (f− + g−)]

=

∫A

[(f+ − f−) + (g+ − g−)] =

∫A

(f + g)

hay ∫A

(f + g) =

∫Af +

∫Ag.

2.2.4 Tính chất khả tích

Định lý 2.2.4.1. a) Nếu

∫Af có nghĩa thì

∣∣∣ ∫Af∣∣∣ ≤ ∫

A|f |.

b) f khả tích trên A khi và chỉ khi |f | khả tích trên A.

c) Nếu |f | ≥ g h.k.n. trên A và g khả tích thì f cũng khả tích trên A.

d) Nếu f, g khả tích thì f ± g cũng khả tích. Nếu f khả tích và g bị chặn thì f.g

khả tích.

Chứng minh. a) Ta có∫Af =

∫Af+ −

∫Af− nên

∣∣∣ ∫Af∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Af+ −

∫Af−∣∣∣ ≤ ∫

Af+ +

∫Af− =

∫A

(f+ − f−) =

∫A|f |.

b) Do f = f+ − f− và |f | = f+ + f− nên f khả tích trên A khi và chỉ khi |f |khả tích trên A.

c) Vì |f | ≤ g h.k.n. trên A nên∫A|f | ≤

∫Ag < +∞. Vậy |f | khả tích, do đó f

khả tích.

d) Từ tính chất tuyến tính của tích phân ta suy ra f ± g khả tích khi và chỉ khif, g khả tích. Ngoài ra, nếu f khả tích và g bị chặn thì |f.g| ≤ K|f |, nên∫

A|f.g| ≤ K

∫A|f | < +∞.

2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 43

2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân

2.3.1 Các kết quả về giới hạn

Định lý 2.3.1.1. (Levi) Nếu 0 ≤ fn f thì

∫Afn →

∫Af.

Chứng minh. Nếu mọi fn đều là hàm đơn giản thì điều cần chứng minh chính làđịnh nghĩa của tích phân. Trường hợp fn bất kỳ thì với mõi n tồn tại một dãy hàmđơn giản không âm g

(n)m fn. Do fn+1 ≥ fn nên ta có thể xem g

(n+1)m ≥ g

(n)m . Vậy

với k ≤ n ta có g(k)n ≤ g(n)

n ≤ fn và do đó∫Ag(k)n ≤

∫Ag(n)n ≤

∫Afn.

Cho n→∞ ta được

fk ≤ limn→∞

g(n)n ≤ f,

∫Afk ≤ lim

n→∞

∫Ag(n)n ≤ lim

n→∞

∫Afn.

Cho n→∞ ta lại được

f ≤ limn→∞

g(n)n ≤ f, lim

n→∞

∫Afk ≤ lim

n→∞

∫Ag(n)n ≤ lim

n→∞

∫Afn.

Như vậy

limn→∞

g(n)n = f và lim

n→∞

∫Afn = lim

n→∞

∫Ag(n)n .

Nhưng g(n)n đơn giản và g(n)

n ≤ g(n+1)n+1 với mọi n nên

limn→∞

∫Ag(n)n =

∫A

limn→∞

g(n)n =

∫Af.

Tóm lại ∫Af = lim

n→∞

∫Afn.

Định lý 2.3.1.2. (Sự hội tụ đơn điệu) Nếu fn f và f1 khả tích trên A thì∫Afn →

∫Af.

Chứng minh. Ta có 0 ≤ fn − f1 f − f1 nên theo định lý Levi

limn→∞

∫A

(fn − f1) =

∫A

(f − f1).


Do∫Af1 hữu hạn nên

limn→∞

∫Afn −

∫Af1 =

∫Af −

∫Af1.

Từ đó suy ra limn→∞

∫Afn =

∫Af.

Chú ý rằng nếu fn f và f khả tích thì định lý vẫn đúng.

Hệ quả 2.3.1.3. Nếu un ≥ 0 trên A thì∫A

∞∑n=1

un =

∞∑n=1

∫Aun.

Nếu thêm giả thiết

∞∑n=1

∫Aun < +∞ thì chuỗi

∞∑n=1

un(x) hội tụ h.k.n. và hàm

∞∑n=1

un

khả tích trên A.

Thật vậy, đặt fn =n∑k=1

uk. Khi đó 0 ≤ fn ∞∑n=1

un. Theo định lý Levi ta có

limn→∞

∫Afn =

∫A

∞∑n=1

un.

Nhưng ∫Afn =

∫A

n∑k=1

uk =

n∑k=1

∫Auk

nên

limn→∞

n∑k=1

uk =

∫A

∞∑n=1

un hay∫A

∞∑n=1

un =∞∑n=1

∫Aun.

Nếu∞∑n=1

un < +∞ thì∫A

∞∑n=1

un < +∞ nên hàm∞∑n=1

un khả tích trên A, và do đó

nó hữu hạn h.k.n. trên A, tức là chuỗi∞∑n=1

un(x) hội tụ h.k.n. trên A.

Bổ đề 2.3.1.4. (Fatou) Nếu fn ≥ 0 trên A thì∫A

limn→∞

fn ≤ limn→∞

∫Afn.


Chứng minh. Đặt gn = inffn, fn+1, . . .. Lúc đó 0 ≤ gn lim fn nên

limn→∞

∫Agn =

∫A

lim fn.

Nhưng gn ≤ fn nên∫Agn ≤

∫Afn do đó

limn→∞

∫Agn = lim

n→∞

∫Agn ≤ lim

n→∞

∫Afn.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý. 1) Nếu fn ≥ g và g khả tích trên A thì bổ đề Fatou vẫn còn đúng.

2) Nếu fn ≤ g và g khả tích trên A thì∫A

limn→∞

fn ≥ limn→∞

∫Afn.

Định lý 2.3.1.5. (Lebesgue - Sự hội tụ bị chặn) Nếu |fk| ≤ g với g khả tích

trên A và fn → f (h.k.n. hay theo độ đo) thì

limn→∞

∫Afn =

∫Af.

Chứng minh. a) Trường hợp fn → f h.k.n.

Vì |fn| ≤ g nên −g ≤ fn ≤ g. Theo bổ đề Fatou ta có∫A

limnfn ≥ lim

n

∫Afn,

∫A

limnfn ≤ lim

n

∫Afn.

Như vậy ∫A

limnfn ≤ lim

n

∫Afn ≤ lim

n

∫Afn ≤

∫A

limnfn.

Nhưng lim fn = lim fn = f nên∫Af ≤ lim

n

∫Afn ≤ lim

n

∫Afn ≤

∫Af.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Trường hợp fnµ→ f trên A.

Theo định nghĩa của giới hạn trên tồn tại mọt dãy nk sao cho∫Afnk → lim

∫Afn.

Dãy fnkk hội tụ theo đọ đo về f nên có dãy con fnki hội tụ h.k.n. về f. Theophần a) ta có

lim

∫Afn = lim

k→∞

∫Afnk = lim

i→∞

∫Afnki =

∫Af.


Tương tự ta chứng minh được

lim

∫Afn =

∫Af

nên ta có điều phải chứng minh.

2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue

Định lý 2.3.2.1. Nếu f là một hàm khả tích Riemann trên một hình hộp đóng và

bị chặn ∆ của Rk thì f cũng khả tích Lebesgue và hai tích phân đó bằng nhau

(R)

∫∆f = (L)

∫∆f.

Chứng minh. Ta giới hạn việc chứng minh cho trường hợp k = 1 và ∆ = [a, b]. Xétphân hoạch [a, b] thành 2n đoạn bởi các điểm chia xk = a + k

2n (b − a) và các tổngDarboux tương ứng

Ωn =b− a

2n

2n∑k=1

Mnk, ωn =b− a

2n

2n∑k=1

mnk

trong đóMnk = sup

x∈[xk−1,xk)f(x), mnk = inf

x∈[xk−1,xk)f(x).

Theo định nghĩa tích phân Riemann ta có

I = (R)

∫ b

af(x)dx = lim

n→∞Ωn = lim

n→∞ωn.

Ta định nghĩa các hàm fn và fn xác định bởi

fn(x) = Mnk, fn(x) = mnk nếu x ∈ xk−1, xk),

còn tại x = b chúng được xác định một cách tùy ý. Khi đó

(L)

∫[a,b]

fn = Ωn, (L)

∫[a,b]

fn = ωn.

Do dãy fnn không tăng và dãy fnn không giảm và fn(x) ≤ f(x) ≤ fn. h.k.ntrên [a, b] nên

fn(x) f(x) ≥ f(x), fn(x) f(x) ≤ f(x).

Do đó(L)

∫[a,b]

f = limn→∞

Ωn = I = limn→∞

ωn = (L)

∫[a,b]

f.


Ta suy ra

(L)

∫[a,b]|f − f | = (L)

∫[a,b]

(f − f) = 0

nên f = f h.k.n. trên [a, b], tức là f = f = f h.k.n. trên [a, b]. Vậy

I = (L)

∫[a,b]

f.

2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập

Trên không gian độ đo (X,A, µ) ta cho hàm tập f xác định và có tích phân trênX. Ta xây dựng hàm tập

λ : A → R

A 7→ λ(A) =

∫Afdµ.

Hàm tập λ được gọi là tích phân bất định của f.

Định lý 2.3.3.1. Hàm tập λ là σ-cộng tính, tức là, nếu có An ∈ A, các An đôi một

rời nhau và A =

∞⋃n=1

An thì ∫Af =

∞∑n=1

∫An

f.

Chứng minh. a) Xét f ≥ 0. Đặt Bn =⋃nk=1Ak. Khi đó∫

Bn

=

n∑k=1

∫Ak

f và limn→∞

∫Bn

=

i∑k=1

nfty

∫Ak

f.

Do B1 ⊂ B2 ⊂ . . . ⊂ A và A =∞⋃n=1

Bn nên 0 ≤ χBnf f trên A. Như vậy∫Bn

f =

∫AχBnf, suy ra lim

n→∞

∫Bn

f =

∫Af. Vậy

∫Af =

∞∑n=1

∫An

f.

b) Với f có dấu bất kỳ ta có f = f+ − f−. Theo a) thì∫Af+ =

∞∑n=1

∫An

f+ và∫Af− =

∞∑n=1

∫An

f−.


Vì∫Af có nghĩa nên vế trái của một trong hai đẳng thức trên phải hữu hạn, do đó

vế phải tương ứng cũng hữu hạn nên ta viết được∫Af =

∫Af+ −

∫Af− =

∞∑n=1

(∫An

f+ −∫An

f−)

=∞∑n=1

∫An

f.

Nhận xét. 1. Nếu f ≥ 0 và đo được trên X thì hàm tập λ là một độ đo trên σ-đạisố A.

2. Nếu∞∑k=1

∫Ak

|f | < +∞ thì f sẽ khả tích trên A. Thật vậy, lúc đó

∫A|f | =

∞∑k=1

∫Ak

||f | < +∞

nên |f |, và do đó f khả tích trên A.

Định lý 2.3.3.2. (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân) Nếu hàm f khả tích

trên A thì với mọi ε > 0 tồn tại σ > 0 sao cho∣∣∣ ∫Efdµ

∣∣∣ < ε

với mọi E đo được chứa trong A mà µE < σ.

Chứng minh. Vì∣∣∣ ∫

Efdµ

∣∣∣ ≤ ∫E|f |dµ nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp

f ≥ 0. Lấy dayc hàm đơn giản fn sao cho 0 ≤ fn f trên A và 0 ≤ fn ≤ n với mọin. Khi đó

limn→∞

∫Afn =

∫Af

nên với ε > 0 tồn tại n0 ∈ N để∫A

(f − fn) <ε

2với moi n ≥ n0. Chọn σ = ε

2n0. Lúc

đó nếu E ⊂ A mà µE < σ thì∫Ef =

∫E

(f − fn0) +

∫Efn0 ≤

∫A

(f − fn0) +

∫Afn0 <

ε

2+ n0µE <

ε

2+ε

2= ε.

Chú ý. Đối với tích phân Riemann đối với mọi hàm không bị chặn đều không (R)-khả tích nhưng lại có nhiều hàm (L)-khả tích. Đặc biệt mọi hàm f ≥ 0 mà tích phân


Riemann∫ b

a+εf(x)dx tồn tại với mọi ε > 0 và nhận giá trị hữu hạn I khi ε→ 0 đều

(L)-khả tích trên [a, b] và ta có

(L)

∫[a,b]

f(x)dx = limε→0

∫ b

a+εf(x)dx.

Thật vậy, ta có thể chứng minh được lúc đó hàm f sẽ đo được trên [a, b] và

(L)

∫[a,b]

f(x)dx = (L)

∫(a,b]

f(x)dx.

Ta viết (a, b] =

∞⋃n=1

[a+1

n, b] trong đó các tập [a+ 1

n , b] tạo thành một dãy tăng. Do

f ≥ 0 nên hảm tập tích phân là một đọ đo trên σ-đại số các tập con đo được của[a, b]. Do vậy

(L)

∫[a,b]

f(x)dx = limn→∞

(L)

∫[a+ 1

n,b]f(x)dx = lim

n→∞

∫ b

a+ 1n

f(x)dx = I.

Khi một hàm số được xét trên toàn R (hay trên nửa đường thẳng số) thì tích phânRiemann của một hàm như vậy chỉ có thể tồn tại như một tích phân suy rộng. Ở đâycũng như vậy, nếu một tích phân như vậy hội tụ tuyệt đối thì tích phân Lebesguetương ứng tồn tại và có cùng giá trị. Nhưng ngược lại, nếu tích phân đó hội tụcó điều kiện thì khi đó hàm đang xét không (L)-khả tích. Ví dụ hàm sinx

x không(L)-khả tích trên R vì

(L)

∫ +∞

−∞

∣∣∣sinxx

∣∣∣dx = +∞,

nhưng tích phân suy rộng∫ +∞

−∞

sinx

xdx tồn tại như ta đã biết và có giá trị bằng π.

Ví dụ 2.3.3.1. Tính (L)

∫[0,+∞)

1

1 + x2dx.

Ta có [0,+∞) =

∞⋃n=1

[0, n] và dãy [0, n] tăng, f(x) > 0 nên

∫[0,+∞)

1

1 + x2dx = lim

n→∞

∫[0,n]

1

1 + x2dx

= limn→∞

(R)

∫ n

0

1

1 + x2dx = lim

n→∞[arctann− arctan 0] =

π

2.

Rõ ràng (L)

∫[0,+∞)

1

1 + x2dx chính là giá trị của tích phân suy rộng trên [0,+∞).

2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 50

2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp

Cho hai không gian độ đo (X,A1, µ1), (Y,A1, µ1). Đặt

C = A1 ×A2 : A1 ∈ A1, A2 ∈ A2.

Dễ kiểm tra C là một đại số trên X × Y. Xét hàm tập µ0 : C → R cho bởi

µ0(A1 ×A2) = µ1A1 × µ2A2.

Định lý 2.4.0.3. µ0 là một độ đo trên C.

Chứng minh. i) C là một đại số.

ii) µ0 ≥ 0 và nếu A1 × A2 = ∅ thì ít nhất một trong hai tập A1 và A2 bằng ∅,nên µ1A1 × µ2A2 = 0. Do đó µ0(∅) = 0.

iii) Hàm tập µ0 cộng tính.

Giả sử P, Pn ∈ C mà P =

∞⋃n=1

Pn với các Pn đôi một rời nhau. Khi đó

P = A×B,Pn = An ×Bn với A,An ∈ A1, B,Bn ∈ A2.

Với mỗi x ∈ X ta đặt

xP = y ∈ Y : (x, y) ∈ P, xPn = y ∈ Y : (x, y) ∈ Pn

và với mỗi y ∈ Y ta đặt

P y = x ∈ X : (x, y) ∈ P, P yn = x ∈ X :: (x, y) ∈ Pn.

Các tập xP và P y lần lượt gọi là lát cắt của P tại x, y. Ta có

xP =

B nếu x ∈ A∅ nếu x /∈ A

xPn =

Bn nếu x ∈ An∅ nếu x /∈ An.

Do P =

∞⋃n=1

Pn nên xP =

∞⋃n=1

xPn, hơn nữa các xPn đôi một rời nhau. Do vậy

µ2(xP ) =

∞∑n=1

µ2(xPn). (2.1)

Xét các hàm đơn giản ϕ,ϕn trên X

ϕ(x) =

µ2B nếu x ∈ A0 nếu x /∈ A,

ϕn(x) =

µ2Bn nếu x ∈ An0 nếu x /∈ An.


Do (2.1) ta suy ra

ϕ(x) =∞∑n=1

ϕn(x).

Như vậy ∫Xϕdµ1 =

∞∑n=1

∫Xϕndµ1.

Ta có∞∑n=1

∫Xϕndµ1 =

∞∑n=1

∫An

µ2Bndµ1 =∞∑n=1

(µ1An × µ2Bn) =∞∑n=1

µ0Pn∫Xϕdµ1 =

∫Aµ2Bdµ1 = µ2B × µ1A = µ0P.

Do đó µ0P =

∞∑n=1

µ0Pn. Vậy µ0 là một độ đo trên C.

Định nghĩa 2.4.0.4. Thác triển tiêu chuẩn của độ đo µ0 từ đại số C lên σ-đại sốthành độ đo µ được gọi là tích của hai độ đo µ1 và µ2 (theo thứ tự đó) và ký hiệu

µ = µ1 ⊗ µ2, A = A1 ⊗A2.

Tương tự, có thể định nghĩa tích của n độ đo trên những đại số A1, . . . ,An vàký hiệu

µ = µ1 ⊗ . . .⊗ µn, A = A1 ⊗ . . .⊗An.

Đặc biệt, nếu µ1 = . . . = µn = ν thì độ đo tích sẽ gọi là lũy thừa bậc n của ν và kýhiệu νn. Ví dụ, độ đo Lebesgue trên Rn là lũy thừa bậc n của độ đo Lebesgue trênR. Ta thấy rằng độ đo tích luôn là độ đo đủ cho dù các độ đo µ1, . . . , µn có đủ haykhông.

Dễ dàng chứng minh rằng nếu µ1, . . . , µn hữu hạn (σ-hữu hạn) thì độ đo tích µcũng hữu hạn (σ-hữu hạn).

2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiếtdiện của nó

Giả sử G là một miền thuộc mặt phẳng xOy giới hạn bởi các đường x = a, x = b,

y = ϕ(x), y = ψ(x) trong đó ψ(x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ [a, b]. Lúc đó diện tích củamiền G được tính bằng

S(G) =

∫ b

a[ϕ(x)− ψ(x)]dx.


Hiệu ϕ(x0) − ψ(x0) biểu diễn độ dài của thiết diện của miền G theo đường hẳngx = x0. Ta sẽ mở rộng công thức đo diện tích này cho trường hợp độ đo tích tùy ýµ = µ1 ⊗ µ2.

Sau đây ta sẽ xét µ = µ1 ⊗ µ2, với µ1 là độ đo đủ, σ-hữu hạn trên σ-đại sốA1 ⊂ P(X) và µ2 là độ đo đủ, σ-hữu hạn trên σ-đại số A2 ⊂ P(X), và A = A1⊗A2.

Định lý 2.4.1.1. A ∈ A thì

a) xA ∈ A2 hầu khắp x ∈ X, Ay ∈ A1 hầu khắp y ∈ Y ;

b) Hai hàm ϕA, ψA xác định dưới đây là đo được lần lượt trên X,Y :

ϕA(x) =

µ2(xA) nếu xA ∈ A2

0 nếu xA /∈ A2,ψA(x) =

µ1(Ay) nếu Ay ∈ A1

0 nếu Ay /∈ A1,.

c) µA =

∫XϕAdµ1 =

∫YϕAdµ2.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh tập xA,ϕA đo được và µA =

∫XϕAdµ1. Phần

còn lại được chứng minh tương tự.

1) Trường hợp µA < +∞.

i) A = C ×D với C ∈ A1, D ∈ A2. Khi đó

xA =

D nếu x ∈ C∅ nếu x /∈ C,

nên xA ∈ A2 với mọi x ∈ X;

ϕA(x) =

µ2D nếu x ∈ C0 nếu x /∈ C.

Hàm ϕA đo được trên X và∫AϕAdµ1 =

∫Cµ2Ddµ1 = µ2D × µ1C = µA.

ii) A =∞⋃n=1

An trong đó An ⊂ An+1 và An có dạng ở 1.i). Khi đó

xA =

∞⋃n=1

xAn và xAn ⊂ xAn+1.

Theo 1.i) thì xAn ∈ A2 với mọi x ∈ X nên xA ∈ A2 và

ϕA(x) = µ2(xA) = limn→∞

µ2(xAn).


Nhưng ϕnA(x) = µ2(xAn) theo 1.i) nên ϕnA đo được, hơn nữa 0 ≤ ϕnA ϕA do đóhàm ϕA đo được trên X. Theo định lý Levi thì∫

XϕAdµ1 = lim

n→∞

∫XϕnAdµ1 = lim

n→∞µ2An = µA.

iii) A =∞⋂n=1

An với An ⊃ An+1 và An có dạng ở 1.ii) (trong đó µA1 < +∞). Khi

đóxA =

∞⋂n=1

xAn và xAn ⊃ xAn+1.

Theo 1.ii) thì xAn ∈ A2xA ∈ A2 và

ϕA(x) = µ2(xA) = limn→∞

µ2(xAn) = limn→∞

ϕnA(x),

mà hàm ϕnA đo được nên ϕA đo được. Ta có 0 ≤ ϕnA ϕA và ϕ1A khả tích nên∫

XϕAdµ1 = lim

n→∞

∫XϕnAdµ1 = lim

n→∞µAn = µA.

iv) µA = 0. Khi đó tồn tại B ∈ A, B có dạng 1.iii), B ⊃ A để µA = µB. Với mỗi

x ∈ X thì xB ∈ A2 và xA ⊂ xB. Ta có ϕB(x) = µ2(xB) ≥ 0 và∫XϕBdµ1 = µB = 0

nên ϕB = 0 hầu khắp X và µ2 đủ nên xA ∈ A2 hầu khắp x ∈ X và µ2(xA) = 0.

Lúc đó ϕA(x) = 0 trên X nên ∫XϕAdµ1 = 0 = µA.

v) Với A ∈ A, µA < +∞ thì tồn tại B,E ∈ A mà B có dạng 1.iii) còn E có dạng1.iv) để cho A = B \ E. Khi đó xA = xB \ xE nên xA ∈ A2 hầu khắp X.

Vì µ2(xA) = µ2(xB) − µ2(xE) nên ϕA = ϕB − ϕE đo được, và ϕA = ϕB hầukhắp X. ∫

XϕAdµ1 =

∫XϕBdµ1 = µB = µA.

2) Trường hợp A ∈ A và µA = +∞. Do µ là σ-hữu hạn nên

A =∞⋃p=1

Ap, Ap ∈ A, Ap ⊂ Ap+1

và µAp < +∞ với mọi p ∈ N. Lúc đó xA =

∞⋃p=1

xAp,xAp ∈ A2 hầu khắp X,

xAp ⊂ xAp+1 nên xA ∈ A2 hầu khắp x ∈ X và µ2(xA) = limp→∞

µ2(xAp). Như vậy


0 ≤ ϕAp ϕA hầu khắp X nên∫XϕAdµ1 = lim

p→∞

∫XϕApdµ1 = lim

p→∞µAp = µA.

Định lý được chứng minh.

2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue

Bây giờ ta xét Y = R và µ2 là độ đo Lebesgue trên R. Cho M ⊂ X là tập thuộcσ-đại số A1 và f là hàm khả tích không âm trên M. Xét tập

Af = (x, y) ∈ X × R : x ∈M, 0 ≤ y ≤ f(x)

và goi là đồ thị dưới của hàm f .

Định lý 2.4.2.1. Đồ thị dưới Af của f là một tập đo được và µAf =

∫Mfdµ1.

Chứng minh. Ta thấy rằng nếu Af ∈ A thì

µ2(xAf ) =

f(x) nếu x ∈M0 nếu x /∈M.

Theo định lý trên ta có

µAf =

∫Mfdµ1.

Do vậy chỉ cần chứng minh Af ∈ A.

1) Trường hợp µ1M < +∞.

a) f ≥ 0 đơn giản trên M, tức là f =

n∑i=1

ciχMi . Đặt Ai = Mi × [0, ci]. Lúc đó

Ai đo được và Af =⋃ni=1Ai nên Af đo được.

b) f ≥ 0 và bị chặn trên M. Đặt

ψk(x) =

k + 1 nếu f(x) ≥ ki

2knếu i−1

2k≤ f(x) < i

2k

với i = 1, 2, . . . , k2k. Khi đó ψn là hàm đơn giản, không âm và ψn f.

Hơn nữa trong trường hợp này có thể thấy rằng dãy hàm fnn trong cấu trúccủa hàm đo được và dãy hàm ψnn hội tụ đều về hàm f. Do vậy với mỗi ε > 0

ta chọn được hai hàm đơn giản, không âm ϕ,ψ sao cho ϕ ≤ f ≤ ψ trên M vàψ − ϕ < ε

µM . Lúc đó Aϕ ⊂ Af ⊂ Aψ và∫Xϕdµ1 ≤

∫Xfdµ1 ≤

∫Xψdµ1;

∫Xψdµ1 −

∫Xϕdµ1 < ε.


Ta cóµ(Aψ \Aϕ) = µAψ − µAϕ =

∫Xψdµ1 −

∫Xϕdµ1 < ε

nên tập Af là đo được.

c) f ≥ 0 không bị chặn.

Với mỗi n ∈ N và x ∈M ta đặt

fn(x) =

f(x) nếu f(x) ≤ nn nếu f(x) > n.

Khi đó fn đo được, không âm, bị chặn và limn→∞

fn = f trên M. Ta có

Af =∞⋃n=1

Afn .

Theo phần b) thì Afn đo được nên Af đo được.

2) Trường hợp µ1M = +∞.

Vì µ1 là σ-hữu hạn nên M =∞⋃i=1

Mi với µ1Mi < +∞ với mọi i và Mi ⊂ Mi+1.

Khi đó A =∞⋃i=1

Aif với Aif là đồ thị dưới của hàm f trên tập Mi có độ đo hữu hạn,

Theo phần 1) thì Aif đo được, do đó Af cũng đo được.

Khi X = R còn M là một đoạn và f là một hàm khả tích Riemann thì định lýnàu mô tả cách biểu diễn hình học của tích phân như là diện tích của hình phẳnggiới hạn bởi đồ thị của hàm và trục hoành.

2.4.3 Định lý Fubini

Ta nhận xét rằng nếu trên X,Y, Z đã cho ba độ đo µ1, µ2, µ3 hì độ đo tíchµ = µ1 ⊗ µ2 ⊗ µ3 có thể định nghĩa là (µ1 ⊗ µ2)⊗ µ3 hay µ1 ⊗ (µ2 ⊗ µ3).

Định lý 2.4.3.1. (Fubini) Cho hai không gian với độ đo đủ, σ-hữu hạn

(X,A1, µ1), (Y,A2, µ2) và µ = µ1 ⊗ µ2,A = A1 ⊗ A2. Giả sử f là hàm đo được

trên A ∈ A. Nếu f ≥ 0 hay f khả tích trên A thì∫Afdµ =

∫X

(∫xAfdµ2

)dµ1 =

∫Y

(∫Ayfdµ1

)dµ2. (2.2)

Chứng minh. Gọi µ3 là dộ đo Lebesgue trên R và ký hiệu

λ = µ1 ⊗ µ2 ⊗ µ3, ξ = µ2 ⊗ µ3, µ = µ1 ⊗ µ2.


Giả sử f ≥ 0, ta đặt

W = (x, y, z) ∈ X × Y × R : (x, y) ∈ A, 0 ≥ z ≥ f(x, y).

Theo định lý 2.4.2.1 ta có

λ(W ) =

∫Afdµ. (2.3)

Mặt khác, theo định lý 2.4.1.1 ta có

λ(W ) =

∫Aξ(W x)dµ1 (2.4)

trong đóW x = (y, z) ∈ Y × R : (x, y, z) ∈W

= (y, z) ∈ Y × R : (x, y) ∈ A, 0 ≤ z ≤ f(x, y)

= (y, z) ∈ Y × R : y ∈ xA, 0 ≤ z ≤ f(x, y).

Do đó theo định lý 2.4.2.1 ta có

ξ(W x) =

∫xAfdµ2. (2.5)

So sánh ba đẳng thức (2.3), (2.4), (2.5) ta được∫Afdµ =

∫X

(∫xAfdµ2

)dµ1.

Trường hợp với f khả tích ta viết f = f+ − f− và áp dụng điều vừa chứng minhđối với hai hàm không âm f+, f− ta được điều cần chứng minh. Việc chứng minhbất đẳng thức còn lại của định lý là tương tự.

Trong điều kiện đã nêu, định lý Fubini cho phép ta thay một tích phân bội bằngmột tích phân lặp hay thay đổi thứ tự lấy tích phân trong một tích phân lặp.

Nhận xét. Các ví dụ dưới đây chứng tỏ ằng sự tồn tại của hai tích phân lặp nóichung không kéo theo tính khả tích của hàm f trên A. Tuy nhiên nếu ít nhất mộttrong hai tích phân ∫

X

(∫xA|f |dµ2

)dµ1,

∫Y

(∫Ay|f |dµ1

)dµ2

hữu hạn thì f sẽ khả tích trên A và ta sẽ có đẳng thức (2.2).

Thật vậy, giả sử∫X

(∫xA|f |dµ2

)dµ1 hữu hạn và bằng M. Hàm |f | đo được,

không âm trên A nên theo định lý Fubini ta có∫X|f |dµ =

∫X

(∫xA|f |dµ2

)dµ1 = M < +∞.

Vậy |f | khả tích trên A, do đó f khả tích trên A và đẳng thức (2.2) xảy ra.


Ví dụ 2.4.3.1. 1) Giả sử

f(x, y) =

xy

(x2+y2)2nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

với (x, y) ∈ A = [−1, 1]2. Khi đó∫ 1

−1f(x, y)dx = 0 với mọi y và

∫ 1

−1f(x, y)dy = 0

với mọi x. Do đó∫ 1

−1

(∫ 1

−1f(x, y)dx

)dy =

∫ 1

−1

(∫ 1

−1f(x, y)dy

)dx = 0.

Nhưng ∫ 1

−1

∫ 1

−1|f(x, y)|dxdy =

∫ 1

0dr

∫ 2π

0

| sinϕ cosϕ|r

dϕ = 2

∫ 1

0

dr

r= +∞

nên hàm f không khả tích trên A.

2) Giả sử A = [−1, 1]2 và

f(x, y) =

22n nếu 1

2n ≤ x ≤1

2n−1 ; 12n ≤ y ≤

12n−1

22n+1 nếu 12n+1 ≤ x ≤ 1

2n ; 12n ≤ y ≤

12n−1

0 trong các trường hợp còn lại.

Có thể chứng tỏ rằng∫ 1

0

(∫ 1

0f(x, y)dx

)dy = 0,

∫ 1

0

(∫ 1

0f(x, y)dy

)dx = 1.

Bài tập

... 2.1. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên A. Đặt An = x ∈ A : |f(x)| ≥ n. Chứngminh rằng lim

n→∞nµ(An) = 0.

... 2.2. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên A thì với mọi ε > 0 ta có

µx ∈ A : |f(x)| ≥ ε <∞.

... 2.3. Cho f là hàm số không âm, bị chặn và đo được trên A. Giả sử µx ∈ A :

f(x) ≥ α = β. Chứng minh rằng (L)

∫Afdµ ≥ αβ.


... 2.4. Giả sử f, g là các hàm L khả tích trên A và α ≤ f(x) ≤ β h.k.n. Chứng minhrằng tồn tại γ ∈ [α, β] để ∫

Af |g|dµ = γ

∫A|g|dµ.

... 2.5. Cho chuỗi số dương∑

an và hàm f : [0,+∞) → R với f(x) = an khi

n ≤ x < n+ 1. Chứng minh rằng f là (L)-khả tích khi và chỉ khi∑

an hội tụ.

... 2.6. Cho A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ . . . là dãy tăng các tập đo được và f là hàm sốkhông âm xác định trên A =

⋃n≥1An. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên

mọi An và tồn tại giới hạn của dãy tích phân (L)

∫An

fdµ thì f khả tích trên A và∫Afdµ = lim

n→∞

∫An

fdµ.

... 2.7. Giả sử An là dãy giảm các tập đo được và f là hàm không âm (L)-khả tích

trên A1. Đặt A = ∩n≥1An. Chứng minh rằng∫Afdµ = lim

n→∞fdµ.

... 2.8. Cho hàm số f khả tích trên A Chứng minh rằng limnto∞

∫An

fdµ =

∫Afdµ với

mọi dãy tăng An các tập đo được của A sao cho A = ∪n≥1An.

... 2.9. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên A. Chứng minh rằng nếu f(x) > 0 trên A

và µ(A) > 0 thì∫Afdµ > 0.

... 2.10. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên [a, b]. Chứng minh rằng nếu∫ t

af(x)dµ = 0

với mọi t ∈ [a, b] thì f(x) = 0 h.k.n.

... 2.11. Cho f ≥ 0 trên A. Đặt

fn(x) =

f(x) nếu f(x) ≤ n0 nếu f(x) > n.

Chứng minh rằng limn

∫Afndµ =

∫Afdµ.

... 2.12. Chứng minh rằng nếu hàm f : [a, b] → R có đạo hàm bị chặn h.k.n trên[a, b] thì đạo hàm của nó (L)-khả tích trên [a, b].

... 2.13. Xét tính (R) và (L)-khả tích và tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên[0, 1] :

f(x) =

cosx+ x nếu x vô tỷ0 nếu x hữu tỷ


... 2.14. Tính (L)

∫ 1

0fdµ với

f(x) =

10x2 nếu x hữu tỷx nếu x vô tỷ < 1

2

ex nếu x vô tỷ > 12

... 2.15. Xét tính (L)-khả tích và tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên miềnđã chỉ ra

a) f(x) =1√

1− x, x ∈ [0, 1);

b) f(x) =1

x2, x ∈ (0, 1];

c) f(x) =sinx

x, x ∈ (1,∞).

... 2.16. Tính tính phân của các hàm số sau trên [0, 1].

a) f(x) =

sinx nếu x hữu tỷcosx nếu x vô tỷ

b) f(x) =

sinx nếu cosx hữu tỷsin2 x nếu cosx vô tỷ

... 2.17. Tính các tính phân sau

a) (L)

∫[0,1]

dx√1− x2

; b) (L)

∫[1,2]

dx3√x− 1

... 2.18. Cho hàm số f(x) =1

xcos

1

x. Xét tính (L)-khả tích của hàm f trên (0, 1).

... 2.19. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên [0, 1] thì hàm f(αx) là (L)-khảtích trên [0−, 1/α], với α > 0 và∫

[0,1]f(x)dµ =

∫[0,1/α]

f(αx)dµ.

... 2.20. Cho hàm số f(x) =sinαx

xvới α là hằng số. Chứng minh rằng

a) Tồn tại limA→∞

∫ A

0f(x)dx.

b) f không (L)-khả tích trên (0,∞).

Chỉ mục

(X, C, µ), 4Af , 54L-đo được, 18χA, 22A1 ⊗A2, 51C(M), 2F(M), 3L, 8µ∗, 8µ1 ⊗ µ2, 51σ-đại số, 2

Borel, 3sinh bởiM, 3

σ-cộng tính, 3σ-trường, 2f ∼ g, 26f+, 25f−, 25fn

µ→ f , 27đồ thị dưới, 54độ đo, 4

σ-hữu hạn, 4đếm, 4đủ, 12cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗, 8Dirac, 4hữu hạn, 4Lebesgue, 17ngoài, 8tích, 51tầm thường, 4

đại số, 1sinh bởiM., 2

định lýCarathéodory, 8Egorov, 30Fubini, 55hội tụ đơn điệu, 43

Lebesgue về sự hội tụ bị chặn, 45Levi, 43Lusin, 30thác triển, 11

bổ đề Fatou, 45

cộng tính, 3

gian, 14, 19

hầu khắp nơi (h.k.n.), 26hàm

đặc trưng, 22đơn giản, 24đo được, 21bằng nhau h.k.n., 26tập hợp, 3tương đương, 26

hội tụh.k.n, 26theo độ đo, 27

hữu hạn h.k.n, 26

không gian độ đo, 4

tích phânbội, 56lặp, 56Lebesgue, 33Riemann, 46

tậpµ∗-đo được, 8Borel, 3dạng Fσ, 3dạng Gδ, 3

trường, 1

Chỉ mục 61

Bài giảng Độ đo và tích phân

Documents

Transcript of Bài giảng Độ đo và tích phân