[B][Lukeiou] Mathimatika Kateuthinsis Kefalaio 3 - Theoria-Askiseis
askiseis sae
-
Upload
anna-peristeri -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
Transcript of askiseis sae
![Page 1: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/1.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 1 Αθήνα 1999
Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς ενός αυτόματου συστήματος πλοήγησης
υπερηχητικού αεροπλάνου , το οποίο επικουρεί στην αεροδυναμική ευστάθεια του , κάνοντας την πτήση ποιο σταθερή και ποιο άνετη . Ζητείται να μελετηθεί με την βοήθεια του Comprehensive Control .
)2()1(2)( 2 +∗+∗=ssssG
Συγκεκριμένα ζητείται : ( α ) . Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter . ( β ) . Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να
αποδειχθεί Θεωρητικά . ( γ ) . Να σχεδιαστεί η βηματική και η κρουστική απόκριση του
συστήματος ανοιχτού και κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηση . Θεωρητική απόδειξη .
( δ ) . Να ελεγχθεί ως προς την ευστάθεια το σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηση ( routh – stability ) . Και θεωρητική απόδειξη .
( ε ) . Να χαραχθεί το διάγραμμα Bode του κλειστού συστήματος μοναδιαίας ανατροφοδότησης και έπειτα να σχεδιαστούν οι ασύμπτωτες πάνω στο διάγραμμα Bode . Να αποδειχθεί και θεωρητικά .
( στ ) . Να χαραχθεί το διάγραμμα τόπου ριζών του κλειστού συστήματος μοναδιαίας ανατροφοδότησης και να αποδειχθεί συνοπτικά θεωρητικά .
( ζ ) . Να μετασχηματιστεί η G(s) σε G(z) με όλους τους δυνατούς τρόπους και να αποδειχθούν θεωρητικά .
( η ) . Να σχεδιαστεί η βηματική και η κρουστική απόκριση του συστήματος ανοιχτού και κλειστού βρόχου G(z) με μοναδιαία ανατροφοδότηση . ( μέθοδος Sampled inverse Laplace transform ) Θεωρητική απόδειξη .
( θ ) . Να χαραχθεί το διάγραμμα Bode της Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου . ( ι ) . Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. του κλειστού συστήματος . Να μελετηθεί ως
προς την ευστάθεια . Θεωρητική απόδειξη . ( ια ) . Να μελετηθεί η G(z) στο χώρο κατάστασης . Κανονική μορφή . Να
εξαχθούν οι πίνακες ελεγξιμότητας – παρατηρησιμότητας και να εξαχθούν συμπεράσματα για την ευστάθεια μέσω της εντολής poles . Να εφαρμοστεί η εντολή Fadeeva Θεωρητική απόδειξη .
![Page 2: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/2.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 2 Αθήνα 1999
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ :
Α – Β . Ερώτημα :
Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη : Η G(s) αναλύεται σε κλάσματα .
)2()1()1()2()1(2)( 2
21211
2 ++
++
+=
++=
sk
sk
sk
ssssG
Όπου :
[ ]
[ ]
[ ] 4)2(
2lim)2)((lim
4)2(
2)2(2lim)1)((lim
22
2lim)1)((lim
22222
1221
2
112
111
2
111
−=⇒
+
=+=
=⇒
+−+=+=
−=⇒
+
=+=
−→−→
−→−→
−→−→
kssssGk
ks
ssdsssGdk
kssssGk
ss
ss
ss
Οπότε :
ttttt etetgeetetgsGL
ssssG
221
2
4)42()(442)()]([
)2(4
)1(4
)1(2)(
−−−−−− −+−=⇒−+−==
+−
++
+−=
![Page 3: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/3.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 3 Αθήνα 1999
Γ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη : Βηματική απόκριση ανοιχτού βρόχου .
)2()1(21)()()()( 2 ++
=∗=∗=sss
sGsUsGsY
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace :
)2()1()1()( 212
211
++
++
+=
sk
sk
sksY
Οπότε έχουμε :
![Page 4: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/4.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 4 Αθήνα 1999
[ ]
[ ]
[ ] 2)1(
2lim)2)((lim
2)2(
2lim)1)((lim
2)2(
2lim)1)((lim
22222
1221
2
112
111
2
111
=⇒
+
=+=
−=⇒
+−=+=
=⇒
+
=+=
−→−→
−→−→
−→−→
ks
ssYk
ksds
ssYdk
ks
ssYk
ss
ss
ss
Άρα έχουμε :
)2(2
)1(2
)1(2)( 2 +
++
−+
=sss
sY
Εφαρμόζουμε αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace :
[ ]
<≥+−=
=
+−==
−−−
−−−−
0t 00 t222)(
)(
222)()(1
ttt
ttt
eetetyty
eetetysYL
Δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα και παρατηρούμε ότι οι τιμές
επαληθεύουν την γραφική παράσταση
t Y(t) 0 0
0.5 0.13 1 0.27 1.5 0.32 2 0.31
2.5 0.26 3 0.20
3,5 0.15 4 0.11
4.5 0.08 5 0.05
Κρουστική απόκριση ανοιχτού βρόχου :
![Page 5: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/5.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 5 Αθήνα 1999
<≥−+−
=
=⇒∗=
−−
0 t 00 t4)42(
)(
)()(1)()(
2tt eetty
tgtysGsY
Δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα και παρατηρούμε ότι οι τιμές
επαληθεύουν την γραφική παράσταση
t Y(t) 0 0
0.5 0.35 1 0.20 1.5 0.02 2 -0.07
2.5 0.11 3 -0.11
3,5 -0.09 4 -0.07
4.5 -0.06 5 -0.04
Δ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη :
![Page 6: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/6.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 6 Αθήνα 1999
Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου για Κ=1 ( stability ) δίνεται από την σχέση p(s) στην οποία θα εφαρμόσω το κριτήριο Routh
02740)(.. 23 =+++⇒=⇒ sssspEX
Πίνακας Routh
3s 1 7 2s 4 2 1s 6.5 0 0s 2
Το σύστημα είναι ευσταθές
Προφανώς το σύστημά για Κ=1 είναι ευσταθές αφού άλλωστε οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο .
Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου για άπειρες τιμές
του Κ ( Routh ) δίνεται από την σχέση p(s) στην οποία θα εφαρμόσω το κριτήριο Routh
02)25(40)(.. 23 =++++⇒=⇒ sKssspEX
Πίνακας Routh
3s 1 5+2Κ 2s 4 2 1s 2Κ+4.5 0 0s 2
Το σύστημα είναι ευσταθές Από τον πίνακα Routh Θα βρούμε το κρίσιμο Kcr . Έτσι θα είναι
(2Κ+4,5)=0 οπότε Kcr=-2.25
Το σύστημα κλειστού βρόχου θα είναι ΕΥΣΤΑΘΕΣ για τιμές του Κ μεγαλύτερες του –2.5 . Δηλαδή Κ : ( -2.5 , +00 )
Ε . Ερώτημα .
![Page 7: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/7.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 7 Αθήνα 1999
Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη : Αν θέσω s=j*ω στην συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s)H(s)
+
+
=++
=1
2ω1
1ω
1ω
)2ω()1ω()ω(2)ω()ω( 22
jj
j
jjjjHjG
Οπότε έχουμε : Τρεις πόλους ω2= ω3=1 rad/sec ω4= 2 rad/sec
![Page 8: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/8.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 8 Αθήνα 1999
( ) 40db- κκλίσμε ευθεία
jω1 G(s)H(s) η ωω Για
20db- κκλίσμε ευθεία 1 G(s)H(s) η ωωωω Για
0db) , secrad 1 ( τταπό διερχόμενη 20db κκλίσμε ευθεία (jωj G(s)H(s) η ωω Για
24
432
2
→<
→<<=
+→<
Η φάση δίνεται από τον παρακάτω τύπο .
−∗−= −−
2ωtan)ω(tan290Φ 11ο
Έτσι για διάφορες τιμές του ω προκύπτει ο ποιο κάτω πίνακας . Οι τιμές αυτές
επαληθεύουν το διάγραμμα φάσης .
Ω rad/sec
Φ(ω) μοίρες
0.1 75.7 0.5 22.8 1.0 -26.6 5.0 -135.6 10.0 -157.3 50,0 -175.4 100.0 -177.8 500.0 -179.5
![Page 9: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/9.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 9 Αθήνα 1999
ΣΤ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη :
Η )2()1(
2)( 2 +∗+∗=ssssG έχει τρεις πόλους ( ένα διπλό και ένα απλό ) και ένα
μηδενικό
0z2p , 1
1
321
=−=−== pp
Άρα ο τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους . Στον πραγματικό άξονα θα
έχουμε τόπο μεταξύ του 1z και του 1p και μεταξύ του 2p και του 3p
Ασύμπτωτες :
=⇒=
=⇒==∗+∗=
−∗+∗=Φ
0α2
0α10
p
0
270φ 1μ
90φ 0μ091)μ2(
n1801)μ2(
znα
Άρα υπάρχουν δύο ασύμπτωτες στις 00 270 , 90 . Σημείο τομής των
ασύμπτωτων με τον πραγματικό άξονα .
![Page 10: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/10.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 10 Αθήνα 1999
2σ13
0)211(σ αα −=⇒−−−−−=
−Σ−Σ=zp nnzp
Σημείο αποχωρισμού από τον πραγματικό άξονα . break way point
( ) ( )
−=
=⇒=−∗−∗
⇒=−∗−−+−∗
⇒=−
+−
αι απορρίπτετ 618.0σ
62.1σ02σ2σ2
σ1
1σ1σ1σ4σ2
σ1
2σ1
1σ2
b
bb
2b
bbb
bb
bbb
Άρα τελικά 62.1σ b −= .
![Page 11: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/11.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 11 Αθήνα 1999
Ζ . Ερώτημα : Προσομοίωση : Forward rectangle :
Backward rectangle :
Bilinear :
![Page 12: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/12.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 12 Αθήνα 1999
Pole – Zero mapping :
Sampled inverse Laplace transform
Zero order hold :
![Page 13: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/13.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 13 Αθήνα 1999
Θεωρητική απόδειξη : Forward rectangle :
Θέτω στην G(s) την σχέση 1T , 1 =−=Tzs οπότε και παίρνω την παρακάτω
διακεκριμένη συνάρτηση .
)1()1()( 21 +
−∗= ∗ zzzzzF
Backward rectangle :
Θέτω στην G(s) την σχέση 1T , 1 =∗−=Tz
zs οπότε και παίρνω την παρακάτω
διακεκριμένη συνάρτηση .
)33.0()5.0()1(166.0)(
)21()11()1(2)( 2
2
2121
1
2 −∗−−∗∗=⇒
+−∗+−−= −−
−
zzzzzF
zzzzF
Bilinear :
Θέτω στην G(s) την σχέση 1T , )1()1(2
)1()1(2
1
1
=+∗−∗=
+∗−∗= −
−
zTz
zTzs οπότε και
παίρνω την παρακάτω διακεκριμένη συνάρτηση .
2
2
323 )333.0()1()1(111.0)
21121
112
114
)−∗
+∗−∗=⇒
+
+−∗∗
+
+−∗
+−∗
=zz
zzzF
zz
zz
zz
zF
Pole – Zero mapping : Εφαρμόζοντας την μεθοδολογία που αναπτύξαμε σε σχετική ενότητα ( εντολή
CONVERT )
)()()()1()1(
)( 2
2
4 TTTdc
ezezezzzKzF −−− −∗−∗−−∗+∗
=
Θέτουμε T=1 και υπολογίζουμε την dcK βάση της σχέσης
014 )()(==
=sz
sGzF Οπότε 086.0=dcK . Η τελική μορφή της συνάρτησης θα είναι .
![Page 14: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/14.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 14 Αθήνα 1999
)135.0()368.0()1()1(086.0)( 2
2
4 −∗−+∗−∗=
zzzzzF
Sampled inverse Laplace transform :
tt etesssLsGL 2
211 4)24(
)2()1(2)]([ −−−− ∗−∗−∗=
+∗+
∗=
Θέτω t=kT οπότε και έχουμε :
kTkTkTkTkT ekTeeTkgeTkeTkg 22 424)(4)24()( −−−−− −−=∗⇒∗−∗∗−∗=∗
Σύμφωνα με το τυπολόγιο .
( ) ( ) ( )
)135.0()368.0()24.1(194.0)(
424)(
25
1225
−∗−−∗∗=
→−
−−
∗∗−−
= =−−
−
−
zzzzzF
ezz
ezezT
ezzzF T
TT
T
T
Zero order hold :
( ) )135.0()368.0()071.0270.0)(1(270.0)(2221)(
)2(2
)1(2
)1(2)1()()1()(
262121
1
6
12
116
−−+−=⇒
−∗+
−∗−
−
∗∗∗−=
→
+
++
−+
∗−=
∗−=
−−−
−
=−−
zzzzzF
ezz
ezz
ezez
zzzF
sssZz
ssGZzzF T
Παρατήρηση : Όπου βλέπουμε ‘Ε(n) εννοείται η δ(n) κρουστική συνάρτηση.
![Page 15: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/15.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 15 Αθήνα 1999
Η . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Παρατήρηση : Με την βοήθεια της εντολής WINDOWS μπορέσαμε και χωρίσαμε το παράθυρο γραφικών σε τέσσερα ίδια κομμάτια έτσι ώστε να μπορούμε να έχουμε τέσσερις γραφικές παραστάσεις ταυτόχρονα στο ίδιο παράθυρο .
Θεωρητική απόδειξη : Βηματική διέγερση ανοιχτού συστήματος .
14.062.0)49.015.1()(
)1(14.0
)135.0(62.0
)368.0(64.1
)368.0(159.1)(
1)135.0()368.0()24.1(194.0)()(Y(z)
2
1T , ] [2
2
25
1
−+−∗=
→−∗−
−∗+
−∗−
−∗=
⇒−
∗−∗−−∗∗=∗=
−−
=−
nn
Z
eneny
zz
zz
zz
zzzY
zz
zzzzzUzF
Το ίδιο αποτέλεσμα θα παίρναμε εάν εκτελούσαμε την εντολή IZT για την Y(z).
![Page 16: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/16.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 16 Αθήνα 1999
Από την y(n) εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος συμπίπτει με τις τιμές της γραφικής του παράθυρου ( 3 ) .
n Y(n) 0 -0.010 1 0.180 2 0.110 3 0.009 4 -0.060 5 -0.100 6 -0.120 7 -0.133 8 -0.137 9 -0.138 10 -0.139
Κρουστική διέγερση ανοιχτού συστήματος . Ομοίως :
nn
Z
eneny
zFzY
2
1T , ] [5
97.3)98.3991.1()(
1)()(1
−−
=
∗−+∗−∗=
→∗=−
Από την y(n) εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος συμπίπτει με τις τιμές της
γραφικής του παράθυρου ( 3 ) .
n Y(n) 0 0.0100 1 -0.1900 2 -0.0700 3 -0.1100 4 -0.0700 5 -0.0400 6 -0.0200 7 -0.0100 8 -0.0040 9 -0.0010 10 -0.0007
![Page 17: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/17.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 17 Αθήνα 1999
Θ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
![Page 18: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/18.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 18 Αθήνα 1999
Ι . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Παρατήρηση : Το διάγραμμα τόπου ριζών με την μαύρη γραμμή είναι ο Γ.Τ.Ρ. του F5(z) για Κ>0 . Ενώ αυτό με την κόκκινη γραμμή είναι της F5(z) για K<0
![Page 19: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/19.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 19 Αθήνα 1999
Θεωρητική απόδειξη : Διάγραμμα τόπου ριζών : Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου δίνεται από την σχέση :
)135.0()368.0()24.1(194.0)()( 25 −∗−
−∗∗∗=zzzzKzHzF
έχει τρεις πόλους ( ένα διπλό και ένα απλό ) και δύο μηδενικά
24.1z0135p , 368.0
1
321
=−=== pp
Άρα ο τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους . Στον πραγματικό άξονα θα
έχουμε τόπο μεταξύ του 1z και του 1p και μεταξύ του 2p και του 3p και −∞→1z
Ασύμπτωτες : 00μ0
p
0
1800181)μ2(n
1801)μ2( =Φ→∗+∗=−∗+∗=Φ =
ααzn
Άρα υπάρχει μία ασύμπτωτες στις 180 μοίρες . Σημείο τομής των
ασύμπτωτων με τον πραγματικό άξονα .
377.0σ248.1871.0σ αα −=⇒−=−Σ−Σ=zp nnzp
Σημείο αποχωρισμού από τον πραγματικό άξονα . break way point
+−
=⇒−
=−
+− 198.0
150.0σ
248.1σ1
135.0σ1
368.0σ2
bbbb
Άρα τελικά έχω δύο σημεία αποχωρισμού από τον πραγματικό άξονα . Ευστάθεια : Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος F5(z) με μοναδιαία
ανατροφοδότηση H(z) = 1 ( κλειστό σύστημα ) δίνεται από την σχέση θεωρούμε ότι Κ=1 ( stability ).
0018.0008.0677.00)()(10)( 235 =−∗−∗−⇒=∗+⇒= zzzzHzFzp
Εφαρμόζουμε Jury test για την παραπάνω εξίσωση .
z0 z1 z2 z3 -0.018 -0.008 -0.677 1 1 -0.677 -0.008 -0.018
-0.999 0.677 0.020
![Page 20: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/20.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 20 Αθήνα 1999
1a , 677.0a , -0.008a , -0.018a : Προφανώς
020.0b , 677.0b , 999.0b 3n ,
3210
2100
=−===
==−=⇒== −
kn
knk aa
aab
Παίρνω τις εξής ανισώσεις :
b
068.1)1()1(
029.0)1(
20
30
b
aap
pn
>
<>=−∗−
>=
Όλες οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν άρα μπορούμε να πούμε ότι για Κ=1 το
σύστημα κλειστού βρόχου μοναδιαίας ανατροφοδότησης είναι ευσταθές .
![Page 21: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/21.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 21 Αθήνα 1999
ΙΑ . Ερώτημα : ( * ) . Σ’ αυτήν την ενότητα πρώτα θα ακολουθήσει η θεωρητική απόδειξη
και έπειτα η προσομοίωση στο CC . Θεωρητική απόδειξη : Περιγραφή του συστήματος : Η συνάρτηση του ψηφιακού συστήματος δίχως ανατροφοδότηση ( ανοιχτό
σύστημα ) δίνεται από την F5(z) T=1 . Η F5(z) μπορεί να αναλυθεί και σε κλάσματα
)135.0(537.0
)368.0(733.0
)368.0(272.0
)135.0()368.0()248.1(194.0)( 225 −
−+−
+−−=
−−−∗∗=
zzzzzzzzF
Από την παραπάνω σχέση προκύπτει το block διάγραμμα .
z-1z -̂1
z -̂1-0.537
0.135
0.368 0.368
-0.272
0.733R(z)
Y(z)
+
+
+
+
+
+
Δομικό διάγραμμα κανονικής μορφής
r(k)y(k)
x2(k+1) x2(k) x1(k+1) x1(k)
x3(k+1) x3(k)
+
+
+
Από το παραπάνω block διάγραμμα προκύπτει ότι .
)(537.0)(733.0)(272.0)()(135.0)()1()(368.0)()1()(368.0)()1(
321
33
22
121
kxkxkxkykxkrkxkxkrkxkxkxkx
∗−∗+∗−=∗+=+∗+=+∗+=+
Οπότε οι εξισώσεις κατάστασης υπό κανονική μορφή δίνονται από τις
παρακάτω εξισώσεις .
![Page 22: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/22.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 22 Αθήνα 1999
[ ] )(0)()()(
537.0733.0272.0)(
)(110
)()()(
135.0000368.0001368.0
)1()1()1(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
krkxkxkx
ky
krkxkxkx
kxkxkx
∗+
∗−−=
∗
+
∗
=
+++
Παρατήρηση : Η πίνακες κατάστασης του συστήματος F5(z) προέκυψαν βάση
της ανάλυση κλασμάτων - κανονική μορφή . Δεν κάναμε χρήση των τύπων κανονικής μορφής φάσης ή ελέγξιμης κανονικής μορφής ή της παρατηρήσιμης κανονικής μορφής ή της διαγώνιας κανονικής μορφής . Παρόλα αυτά όποια και μέθοδο και αν επιλέξουμε για να περιγράψουμε το σύστημα θα μας επιστέψουν τα ίδια αποτελέσματα ως προς την ευστάθεια – ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα του συστήματος .
Οι τέσσερις πίνακες με την σειρά όπως τους βλέπουμε παραπάνω δηλώνονται ως A , B , C , D με τους οποίους θα περιγράφουμε το σύστημα από εδώ και στο εξής . Δηλαδή P = [ A ,B ; C , D ] .
Μελέτη ευστάθειας συστήματος με την χρήση του πίνακα Α : Παίρνω την χαρακτηριστική εξίσωση και αν οι ρίζες της είναι εντός μοναδιαίου
μιγαδικού κύκλου z τότε το σύστημά μας είναι ευσταθές .
ΣΥΣΤΗΜΑ 1λ368.0λ
1λ135.0λ0.135)-λ(0.368)-λ(
00.135-λ0000.368-λ001-0.368-λ
0Α-Ιλ0p(z) :..
33
1,21,22 ΕΥΣΤΑΘΕΣ⇒
<⇒=
<⇒==∗
⇒=⇒=∗⇒=EX
Μελέτη Ελεγξιμότητας του συστήματος : Ύστερα από υπολογιστικές πράξεις προκύπτει ότι :
=∗
=∗
018.0135.0736.0
A , 135.0368.01
2 BBA
Οπότε σύμφωνα με την γνωστή σχέση για τον πίνακα ελεγξιμότητας του
διανύσματος κατάστασης ενός συστήματος θα έχουμε .
![Page 23: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/23.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 23 Αθήνα 1999
[ ]
=⇒∗∗=
018.0135.01135.0368.01736.010
2 SBABABS
Η ορίζουσα του πίνακα S ισούται με –0.054 δηλαδή διάφορη του μηδενός άρα
το rank(S)=3 οπότε το σύστημα είναι ελέγξιμο . Ομοίως ο πίνακας παρατηρησιμότητας διανύσματος κατάστασης δίνεται .
0002.001.0073.0537.0
099.010138.1733.0037.0099.0272.0
4 ≠−=⇒
−−−−∗−−−−
= − TT RR
Η ορίζουσα του πίνακα R^T είναι δηλαδή διάφορη του μηδενός άρα το
rank(Τ)=3 οπότε το σύστημα είναι παρατηρήσιμο . Μετάβαση από τους πίνακες κατάστασης στην συνάρτηση μεταφοράς του
συστήματος : Παίρνουμε την γνωστή σχέση [ ] DBAIzzCzzT +∗∗−∗∗∗= −1)( . Μετά
από πράξεις καταλήγουμε στην .
)()135.0()368.0(
104.1241970.0193718.0)( 52
52
zFzz
zzzT ≅−∗−
∗−∗−∗=−
Οι αποκλίσεις που υπάρχουν μεταξύ της T(z) , F5(z) οφείλονται σε διάφορες
στρογγυλοποιήσεις πράξεων .
![Page 24: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/24.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 24 Αθήνα 1999
Προσομοίωση :
![Page 25: askiseis sae](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022051012/5438f83bafaf9fbe2e8b4baa/html5/thumbnails/25.jpg)
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 25 Αθήνα 1999
Γενικές Παρατηρήσεις : Διαπιστώνουμε ότι τα αποτελέσματα της προσομοίωσης επαληθεύουν τα αποτελέσματα των θεωρητικών αποδείξεων . Αυτό λοιπόν επιβεβαιώνει ότι το Comprehensive Control αποτελεί ένα αξιόπιστο πρόγραμμα ώστε να βγάζουμε τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματά μας γρήγορα και με απόλυτη ακρίβεια .