Ariile suprafeţelor plane

1. Calculaţi aria subgraficului funcţiei f :

a) [ ] ( )3 2

: 0, 1 ,1

x xf f x

x

− +→ =

+� ; b) ( )

2

0, , sin2

x

f f x e xππ → = ⋅ � ; c) ( )2 2: 0, 1 , ln 1f e f x x − → = +

� ; d)

[ ] ( ) 2: 0, 1 , 1f f x x x→ = − +� ; e) ( )2 2: , , ln 1f e e f x x x → = +

� ; f) [ ] ( ) ( )2 2: 2, 2 , max 2,f f x x x x x− → = − − − −� ;

g) [ ] ( )[ )

[ ]

1, 1, 2: 1, 3 ,

3 , 2, 3

x xf f x

x x

− ∈→ =

− ∈� ; h) [ ] ( )

1: 1, 1 ,

1

x

x

ef f x

e

−− → =

+� .

2. Calculaţi aria suprafeţei delimitată de curbele:

a) ( ) ( ) [ ]3 , , 0, 1f x x g x x x= = ∈ b) ( ) ( ) [ ]1, 3, 1, 4f x x g x x= + = ∈ − c) 2 , 5 4y x y x= = − +

d) 2 26 , 4y x x y x= + = − − e) 2 1 , 4y x y= − = f) 2 4 ,y x y x= =

g) 2 28 ,y x y x= = h) 2

2

8,

4 4

xy y

x= =

+ i) 2ln , lny x y x= = −

j) 2 4

3 8 7 0, 1 03

y x x yx

+ − + = + − =−

k) ( ) ( ) ( ) [ ]2arctg , ln 1 , 0, 1f x x x g x x x= ⋅ = + ∈ l) 2 1, 1y x y x x= − = −

m) 2 , 2y x y x= = − n) 2 4 2 , 2y x x y= − + = o) 24 , 12 5 0x y x y= + + =

p) 2 2, 8y x y x= = ; q) 2

2

27 1,

69y y x

x= =

+ r) 2 2 216, 6x y y x+ = =

s) ( )2

2 21 , 12

yy x x= − − = ş) 2 2 22 ,x y x y x+ = = t) 2 2 2 24, 2 1x y x y+ = − =

ţ) ( ) ( ) [ ]2 2

3 3

3 1 3 1, , 0, 2

2 2

x xf x g x x

x x x x

− += = ∈

− + + +

3. Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între cercul de ecuaţie 2 2 9x y+ = şi dreptele 1, 2x x= − = .

4. Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între elipsa de ecuaţie 2 2

19 4

x y+ = şi dreptele 2, 1x x= − = .

5. Fie parabola de ecuaţie 2 6y x= . Determinaţi aria suprafeţei mărginită de parabolă, axa Oy şi dreapta 4x = .

6. Dreapta 2y x= − împarte interiorul elipsei de ecuaţie 2

2 14

xy+ = în două regiuni. Aflaţi aria fiecărei regiuni.

7. Fie ( )

1 1, 2, 1

1

: , 0, 1

3 , 2

x xx x

x

f f x x

x x

− ⋅ − < ≠

−

→ = = − ≥

� � . Calculaţi aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei, axa Ox

şi dreptele 1, 3x x= − = .

8. Fie ( ) ( ) 1: , 1

xf f x x e

− −→ = + ⋅� � . Determinaţi aria mulţimii cuprinsă între graficul funcţiei, axele de

coordonate şi dreapta 2x = .

9. Fie ( )2

2 1: , ln

2

xf D f x

x

−→ =

+ � .

a) Determinaţi domeniul maxim de definiţie al funcţiei;

b) Determinaţi aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele 3, 4x x= = .

10. Fie ( ) 2: , 2 2f f x x x x→ = + + −� � . Determinaţi aria mulţimii cuprinsă între graficul funcţiei, asimptota

orizontală şi dreptele 0, 1x x= = .

11. Fie { } ( )2

: 1 ,1

xf f x

x− − → =

+� � . Determinaţi aria suprafeţei mărginite de graficul funcţiei, asimptota oblică

spre +∞ şi dreptele 0, 2y y= = .

12. Fie ( ): (0, ) , 2 lnf f x x ax x+ ∞ → = +� . Determinaţi a ∈� astfel încât ( )' 1 1f = şi, în acest caz, calculaţi aria

mulţimii cuprinsă între graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele 1,x x e= = .

13. Fie ( )( )

2*

22: , ,

1

xf f x n

x nx→ = ∈

+ −� � � . Determinaţi aria mulţimii cuprinsă între graficul funcţiei, axa Ox şi

dreptele ,x a x b= = , unde x a= este abscisa punctului de intersecţie al graficulul funcţiei cu asimptota sa iar x b=

este abscisa punctului de extrem al funcţiei..

14. Interiorul cercului de ecuaţie 2 2 8x y+ = este despărţit de hiperbola de ecuaţie 2

2 12

xy− = în trei regiuni.

Calculaţi aria fiecărei regiuni.

15. Pentru ce valori ale lui a ∈� , aria suprafeţei mărginită de curbele 2 23 4 4, 0, 0, 1y a x ax y x x= + = = = = este cea

mai mică?

16. Aflaţi a ∈� pentru care aria suprafeţei mărginită de curbele 1 1

, , 2,3 2

y y x x ax x

= = = =−

este egală cu 3

ln2

.

17. Calculaţi aria limitată de curba 2

1

4y

x=

+ şi:

a) asimptota sa;

b) asimptota sa şi paralelele duse la Oy prin punctele de inflexiune.

18. Determinaţi ,a b∈� astfel încât aria domeniului plan cuprins între parabolele de ecuaţii

2 2,y x ax b y x ax b= − + = − + + să fie egală cu 8

3.

19. Să se determine λ ∈� astfel încât graficul funcţiei ( ) 3 2: ,f f x x x xλ λ→ = − − +� � şi axa 'xx să delimiteze

două domenii având aceeaşi arie.

20. Să se afle aria domeniului situat în cadranul I, delimitat de prima bisectoare a axelor de coordonate şi de graficele

curbelor de ecuaţii 2 6y x= şi 2 22 3 20 0x y+ − = .

21. Fie funcţia [ ] ( ) ( )2

20

, 14

: 1, 1 , , 1, 11

, 14

x

x

tf f x dt x

t

x

π

π

− = −

− → = ∈ − − =

∫� . Să se calculeze aria suprafeţei mărginită de graficul

funcţiei şi axa Ox.

22. Fie ( ) 2: , 1f f x x x→ = − −� � . Determinaţi aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele

1 1,

2 2x x= − = .

23. Fie { } ( )1

: 1 , ln 11

f f xx

− → = + − � � . Calculaţi aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei, axele Ox şi Oy

şi dreapta 1

2x = .

24. Fie ( )( )1

: ,1

x xf D f x

x

−→ =

+� .

a) Determinaţi domeniul maxim de definiţie al funcţiei;

b) Determinaţi aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei, asimptota oblică şi dreptele 2, 3x x= = .

25. Fie { } ( )2

2: 1 , , , , , 4 141

ax bx cf f x a b c b ac

x

+ +− → = ∈ − =

−� � � . Ştim că tangentele la graficul funcţiei duse în

punctele de intersecţie cu axa Ox trec prin punctul ( )4, 8M .

a) determinaţi valorile , ,a b c ;

b) determinaţi ariile suprafeţelor mărginite de asimptotele graficului şi tangentele la grafic duse prin punctele de

intersecţie ale axei Ox cu Gf respectiv la axele Ox, Oy şi grafic.

26. Fie ( ) ( )( )2 2

: 0, , ln1

xf f x x

x

−+ ∞ → = −

+� .

a) demonstraţi că ( ) [ )0, 1,f x x≤ ∀ ∈ + ∞ ;

b) determinaţi aria mulţimii ( ) ( ){ }, /1 , 0x y x e f x y≤ ≤ ≤ ≤ .

27. Fie [ ] ( ): 0, 1 , , , 2nf f x x n n→ = ∈ ≥� � şi fie [ ]0, 1t ∈ . Prin punctul ( )( ),D t f t se duce o paralelă la axa Ox

care determină două suprafeţe de arii 1 2,S S . Determinaţi valoarea lui t pentru care suma 1 2S S+ este minimă.

28. Fie ( ) 2: , 1f f x x→ = −� � . Notăm cu S aria suprafeţei cuprinsă între graficul funcţiei şi axa Ox.

a) determinaţi ( )1, 1a ∈ − astfel încât dreapta x a= să împartă S în două suprafeţe de arii egale;

b) determinaţi ( )0, 1b∈ astfel încât dreapta y b= să împartă S în două suprafeţe de arii egale.

29. Fie ( ) 2: , 3f f x x→ = +� � . Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei, tangenta la grafic în punctul

de abscisă 2 şi dreptele 0, 2x x= = .

30. Fie ( ) 2: , 2f f x x→ =� � . Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei, axa Ox, tangenta la grafic în

punctul de abscisă 2 şi dreptele 0, 2x x= = .

31. Fie funcţia { } ( )2

: 1 , , ,1

x ax bf f x a b

x

+ +− → = ∈

−� � � .

a) determinaţi ,a b∈� astfel încât funcţia f să admită un extrem egal cu 1 în punctul de abscisă 0;

b) calculaţi aria suprafeţei limitată de graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele 2, 4x x= = .

32. Fie ( )2

2: ,

1

xf f x

x

−→ =

+� � . Graficul funcţiei intersectează axele Ox şi Oy respectiv în punctele A şi B.

Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei şi dreapta AB.

33. Fie ( ) ( ): , 1 xf f x x e

−→ = +� � . Calculaţi aria suprafeţei limitate de graficul funcţiei, dreapta y x= şi dreapta

1x = .