Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2015/2016

MPSI 4 – Mathématiques

A. Troesch

Analyse 3 – Suites : convergence

Indications ou solutions pour l’exercice 1 – Par encadrement !

Indications ou solutions pour l’exercice 2 – Choisir ε < 12 , alors ]ℓ− ε, ℓ+ ε[ contient au plus 1 entier !

Indications ou solutions pour l’exercice 3 – Si ℓ < 1, comparer à une suite géométrique de raison ℓ′ ∈]ℓ, 1[, à partir

d’un certain rang.

Indications ou solutions pour l’exercice 4 –

1. Si ℓ fini, se ramener à 0 par translation. Contrôler les derniers termes par ε2 dès que possible ; le début de l’expression

tend vers 0, donc peut être mise dans un autre ε2 pour n assez grand. Principe à adapter pour une limite infinie.

2. Cesàro appliqué à un = vn+1 − vn.

3. Se ramener à 2 par ln

4. Utiliser 3. Réponse : 4.

Indications ou solutions pour l’exercice 5 –

1. Adapter Cesàro : contrôler les derniers termes par ε2 en utilisant la CV de (ωn) et les premiers en faisant tendre

n vers +∞. Cela peut même être vu comme une conséquence de Cesàro classique en définissant convenablement

une nouvelle suite.

2. Majorer t2 par t.

3. Intégrer an+1 par parties, puis réexprimer le résultat à l’aide de an+1 et an.

4. Montrer que 2vn+1 − vn = 1− an+1 + an, à l’aide de 3.

5. Utiliser la question 1, en remarquant que 2n+1un+1 − u0 =

n∑

k=0

2nvn.

Indications ou solutions pour l’exercice 6 – Développer sin(n + 1) et en déduire que si la limite existe, celle de

cos(n) aussi. Utiliser ensuite sin(2n) et cos(2n) pour conclure, sauf si ℓ = 0. Obtenir dans ce cas ℓ′ = 0 (limite du cos), et

conclure.

Indications ou solutions pour l’exercice 7 – Pour la minoration, isoler un petit intervalle sur lequel f est compris

entre M − ε et M , et minorer l’intégrale sur cet intervalle. Voir ce qu’il se passe lorsque n → +∞, et traduire cela par un

ε supplémentaire.

Indications ou solutions pour l’exercice 8 –

1. Étudier la monotonie de un+1 − un, et si la CV ne se fait pas vers 0, montrer que un franchit des marches trop

hautes (ou trop basses) pour rester bornée.

2. La question 1 fournit le signe de un+1 − un...

Indications ou solutions pour l’exercice 9 – Justifier que pour tout x ∈ [0, 1], x(1−x) 6 14 , et en déduire la monotonie

de (un).

Indications ou solutions pour l’exercice 10 – Le plus dur est d’exprimer de façon rigoureuse des faits qui semblent

évidents.

1

1. un(a) est une composée d’itérée de fonctions croissantes (définies en fonction de a0, . . . , an−1), appliquées à an ;

un+1(an) est la même itérée, appliquée à an +√an+1 qui est plus grand.

2. Remarquer que un+1((1)k) =√

1 + un((1)k).

3. De façon évidente, mais délicate à justifier rigoureusement, un((λ2k)k) = λun((1)k). Peut se justifier rigoureusement

en montrant par récurrence sur p > 0 que pour tout n,

up((λ2n+1+k

)k) = λ2nup((1)k)

(l’exprimer par radicaux pour comprendre).

4. Pour une comparaison rigoureuse, récurrence descendante pour chacun des termes un(k).

Ensuite, comparer à la suite de la question 3. Ces suites lui sont négligeable (montrer que le quotient tend vers 0).

5. Comparer à la suite dont les premiers termes sont tous nuls. Ensuite s’arranger pour que a1

2n+1

n diverge vers +∞.

Indications ou solutions pour l’exercice 11 – Montrer que les suites sont adjacentes. Pour la limite, trouver une CL

des deux qui soit constante.

Indications ou solutions pour l’exercice 12 –

1. (a) Par récurrence immédiate, les suites sont strictement positives puis croissantes à partir du rang 2. Remarquer

qu’on a alors un minorant (4n+ 2)u2

(b) Par récurrence

(c) Exprimer αn

βn

comme somme d’une série alternée (utiliser un telescopage à partir de 2). Les deux suites sont

alors adjacentes (technique usuelle)

(d) Remarquer que la différence à la limite est majorée par la différence entre deux termes consécutifs.

2. Trouver λ et µ par les conditions initiales, puis récurrence

3. Exprimer 1(c) sous forme d’un équivalent, et en déduire en fonction de βn, un équivalent de un lorsque λℓ+µ 6= 0.

Discuter suivant le signe. Le cas où c’est nul nécessite qu’on y regarde de plus près. Utiliser pour cela 1(d). Das ce

cas, la limite est nulle.

Indications ou solutions pour l’exercice 13 – Utiliser les résultats et méthodes du cours. Pour les dernières, résoudre

d’abord l’équation homogène puis trouver une solution particulière.

Indications ou solutions pour l’exercice 14 – Montrer que la seule limite possible est 4 et former un+2−4 ; factoriser

par (a+ b)(a− b), et donner une inégalité satisfaite par les termes de la suite wn =√un − 2, après avoir justifié que un

est supérieure à 1 à partir d’un certain rang. Conclure par majoration.

Indications ou solutions pour l’exercice 15 – Études à savoir faire. S’entraîner. Les réponses ci-dessous :

1. • si u0 ∈ [− 32 , 3], (un) croit vers 3.

• si u0 ∈ [3,+∞[, (un) décroît vers 3.

2. Étudier (u2n) et (u2n+1) :

• si u0 ∈]0, 3√2[, u2n → 0 et u2n+1 → +∞

• si u0 ∈] 3√2,+∞[, de même en inversant le rôle de (u2n) et (u2n+1).

• si u0 = 3√2, la suite (un)n∈N est stationnaire, de valeur et donc de limite 3

√2.

3. Pas de point fixe, les seules limites possibles sont −∞, +∞ et 1. Vérifier que ce n’est pas le cas : (un) n’admet pas

de limite.

4. • Si u0 ∈]−∞,−4[, un → −∞.

• Si u0 ∈]0, 43 [, un → 1 (seul point fixe de f ◦ f dans l’intervalle fermé)

• Si u0 ∈]− 4, 0[, elle finit par dépasser 0 (sinon elle conevergerait sans point fixe). un → 1 1.

• si u0 ∈] 43 , 4[, (un) → 1.

2

• si u0 ∈]4,+∞[, un → −∞.

5. • Si u0 ∈]− 2,+∞[, alors un → 1.

• si u0 ∈]−∞,−5[, un → 1.

• si u0 ∈]− 5,−2[, on ne peut pas y rester, un → 1, sauf si on tombe sur −5

6. Utiliser l’IAF, et en déduire que (un) est de Cauchy. La limite est l’unique réel ℓ tel que cos(ℓ) = ℓ.

Indications ou solutions pour l’exercice 16 – Étudier u4n (étudier les composées de f et g.) Une étude un peu

pénible de point fixe (mais on pourra pour cela remarquer que f et g ont des points fixes communs, qui sont également

points fixes de leur composée, cela permet de trouver facilement une factorisation).

Indications ou solutions pour l’exercice 17 –

1. Calculer la dérivée (somme géométrique). Calculer le signe de Pn(2) en regroupant les termes 2 par 2.

2. Minorer t2n − 1 par t2 − 1.

3. Remarquer que l’intégrande est égale à P ′

n.

Indications ou solutions pour l’exercice 18 – Réponse : e et 1e .

Indications ou solutions pour l’exercice 19 – (Bolzano-Weierstrass)

1. Caractérisation du cours.

2. Sinon, (B(x, εx))x∈F est un recouvrement par des ouverts. En en extrayant un nombre fini, (un) n’a plus qu’un

nombre fini de termes...

Indications ou solutions pour l’exercice 20 – Considérer une suite (an) de valeurs d’adhérences conevrgeant avec a,

et une suite extraite uϕ(n) telle que pour tout n, |uϕ(n) − an| 6 12n .

Indications ou solutions pour l’exercice 21 – Remarquer que pour tout n, An = {n | un > 12n } est fini. Parcourir

les An \An−1 dans l’ordre, rangés chacun par ordre décroissant.

Indications ou solutions pour l’exercice 22 –

1. Soit vn = un

nTout d’abord, en prenant n = m, on se rend compte que pour tout n, il existe n′ > n tel que v′n 6 vn.

Ainsi, si ℓ existe c’est nécessairement ℓ = inf(vn).

Fixer n tel que vn soit proche de un, puis, pour tout m = qn+ r, utiliser l’inégalité um 6 qun + ur.

2. Application de la question précédente en passant au logarithme.

Indications ou solutions pour l’exercice 23 – On peut couper la somme en deux, contrôler la moitié par la convergence

de an l’autre pa la convergence de bn (par ε). Il faut juste savoir où couper et comment utiliser l’hypothèse un peu

asymétrique. Cette hypothèse nous assurera un contrôle facile des termes pour an petit, et surtout en nombre aussi

important qu’on veut. On commence donc par trouver une module N pour an, contrôler les N premiers termes grâce à

(bn), et tous les autres grâce à la convergence de (an).

Indications ou solutions pour l’exercice 24 – Si |pn| admet une valeur d’adhérence finie, extraire une suite convergeant

vers cette valeur, et réextraire de sorte à assurer également la CV de (|qψ(n))| (dans R). Contredire l’irrationnalité de |x| ;On en déduit la limite de |pn| puis de |qn|.

Indications ou solutions pour l’exercice 25 – Entre K et K2 − 1, un parcourt [0, 1] à peu près en entier avec un

pas de plus en plus petit au fur et à mesure que K grandit. Si on se donne un trou ]x− ε, x+ ε[ dans [0, 1], pour chaque

parcours correspondant à K assez grand, on tombe dans le trou.

Indications ou solutions pour l’exercice 26 – Si a < b sont deux valeurs propres et x ∈]a, b[, on passe de presque-a

à presque-b et inversement une infinité de fois, avec un pas de plus en plus petit, insuffisant pour franchir une rivière

]x− ε, x+ ε[ se trouvant entre a et b. Ainsi, on passe une infinité de fois ε-proche de x.

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Indications ou solutions pour l’exercice 27 – Montrer que+∞∑

k=0

(−1)k

2k

(

u2kn +u2k+1

2

)

converge vers un. Retrancher

à cela la seule limite possible pour un et majorer.

Pour (un) non bornée, considérer un = (−2)v2(n).

Indications ou solutions pour l’exercice 28 –

• Si pour tout ε, {n | un < ε} est de densité nulle, montrer qu’on peut trouver une suite croissante N0 < N1 < N2 <

· · · telle que pour tout n > Nk, Bk = {m | um < 12k} vérifie

|Bk ∩ [[0, n− 1]]|n

> 1− 1

2k.

En considérant B′

k = Ak ∩ [[0, Nk+1 − 1]] et B =⋃

B′

k, montrer que le complémentaire A de B permet d’assurer

(ii).

• Ainsi, si (ii) n’est pas réalisé, il existe ε tel que {n | un < ε} ne soit pas de densité nulle. Écrire la somme de Cesàro

en isolant ces termes et contredire (i).

• (ii) =⇒ (i) est plus simple, en séparant dans le somme les indices de A : certains termes sont contrôlés par Cesàro

classique, les autres par le fait que un est borné et la densité de A est nulle.

Indications ou solutions pour l’exercice 29 – Justifier que l’ensemble des valeurs d’adhérence est un intervalle. Si

a < b sont valeurs d’adhérence, prendre x entre les 2, et une suite extraite uϕ(n) convergeant vers x. Remarquer que

uϕ(n)+1 → x aussi, et en déduire que x est point fixe. Conclure.

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