AΣΚΗΣΕΙΣ MAZH 1973.pdf

ΑΛΚΙΝΟΟΥ Ε. ΜΑΖΗ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΑ ΤΑ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ Κ A I

ΔΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΑΣ ΤΩΝ ΑΝΩΤΑΤΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

ΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ - Α Κ Ο Υ Σ Τ ΙΚ Η

Ε Κ Δ Ο Σ Ι Ζ Δ Ε Κ Α Τ Η

Β ι β λ ι ο π ω λ ε ι ο ν Τ Η Σ “ Ε σ τ ί α ς ,,

Α Θ Η Ν Α Ι 1973

48 Προβλήματα Φυσικής

_ 1 kgr*>̂1 ~~ 0,2 cm 2

_ 2 kgr* P2 ~ 0,2 cm2

3 kgr* Pa = 0,2 cm 2

= 5 kgr* /cm 2

= 10 kgr* /cm 2

= 15 kgr* /cm 2

Pio —10 kgr*0,2 cm2

= 50 kgr* /cm 2

Έάν λάβωμεν δύο όρθογωνίους άξονας, ώς άξονας των δυνάμεων (F )καί των πιέσεων ( ρ ), τότε ή μεταβολή τής πιέσεως συναρτήσει τής δυνάμεως παριστάνεται μέ την εύθειαν Ο A ( σχ. 1 ).

106. Νά παρασταθή γραφικώς ή μεταβολή τής πιέσεως, την όποιαν έπιφέρει σταθερά δύναμις 10 kgr* ένεργοϋσα έπί έπιφανείας αύξανομένης συνεχώς άπό 10 cm2 εις 200 cm2.

Ή έκάστοτε πίεσις είναι ρ = F/S. 'Όταν ή έπιφάνεια S λαμβάνη τάς τιμάς 10, 20, 30, . . . 200 cm2, τότε ή πίεσις ρ λαμβάνει τάς τιμάς :

10 kgr*10 kgr*P l = ^ o ^ = l k g r / c m Ρ2 =

P3 ;10 kgr* 30 cm2

20 cm2

0,33 kgr*/cm :

= 0,5 kgr* /cm 2

p' * = S ^ 0'05 kgr*/cm2Έάν λάβωμεν δύο όρθογωνίους άξονας, ώς άξονας των επιφανειών ( S .) καί των πιέσεων ( ρ ), τότε ή μεταβολή τής πιέσεως συναρτήσει τής έπιφανείας παριστάνεται μέ τήν εύθειαν ΑΒ ( σχ. 2 ).

107. Βελόνη, φέρουσα έπ’ αυτής βάρος 200 gr*, είναι στερεωμένη κατακορύφως έπί όριζον- τίας έπιφανείας. Έ άν ή έπιφάνεια στηρίξεως είναι 0,01 mm2, νά εύρεθή ή έπιφερομένη πίεσις.

Έ πί τής βελόνης ένεργεΐ δύναμις F = 0,2 kgr*. Ή επιφάνεια στηρίξεως τής βελόνης είναι S = ΙΟ-4 cm2. ’Άρα ή έπιφερομένη πίεσις είναι :

Ρ == "ξγ = —— — ήτοι ρ = 2000 kgr* /cm2 b 10 cm2

Ι Σ Ο Ρ Ρ Ο Π Ι Α Τ Ω Ν Υ Γ Ρ Ω Ν

Υ Δ Ρ Ο Σ Τ Α Τ Ι Κ Η Π Ι Ε Σ Ι Σ

108. Πόσον είναι τό ύψος στήλης ύδραργύρου ή ΰδατος ή οινοπνεύματος, ή όποια έπιφέρει πίεσιν 5000 dy n /cm 2 ; Είδικά βάρη : Υ δραργύρου : 13,6 gr*/cm*. Ύ δατος : 1 g r* /cm s. Οίνοπνεύματος : 0,8 g r* /cm 3.

Είναι γνωστόν ότι στήλη υγρού, έχουσα ύψος h, άσκεί υδροστατικήν πίεσιν ρ ϊσην μέ :ρ = h · ε

όπου ε είναι τό ειδικόν βάρος τού υγρού. *Αν τό ύψος h τού υγρού μετρήται εις cm καί τό είδι- κόν βάρος ε τού υγρού μετρήται εις gr*/cms, τότε ή υδροστατική πίεσις μετρείται είς gr*/cm2, διότι έχομεν :

ρ = h cm ( t )ήτοι ρ = h · ε gr*/cm3

’Ισορροπία των υγρών 49

Γνωρίζομεν ότι 1 gr* = 981 dyn. Ά ρα ή διδομένη πίεσις ρ = 5000 dyn /cm 2 μετρημένη εις gr* /cm 2 είναι :

_ 5000 dyn /cm 2981 dyn /g r* = 5,097 g r* /cm 2

’Από την έξίσωσιν ( 1 ) δυνάμεθα νά εύρωμεν πόσον είναι το ύψος h στήλης ύγροΰ, ή οποία έπιφέ- ρει πίεσιν ρ. Ούτω εύρίσκομεν :

α ) Ή στήλη του υδραργύρου έχει ύψος :

h = J L a h 5·097 gr*/cm2ε η 13,6 gr*/cm a καί h = 0,37 cm = 3,7 mm

β ) Ή στήλη του ύδατος έχει ύψος :^ __ 5,097 gr* /cm 2

1 gr* /cm 3γ ) Ή στήλη του οινοπνεύματος έχει ύψος :

5,097 gr*/cm 2 0.8 gr*/cm 3

ήτοι h = 5,097 cm

ήτοι h = 6,37 cm

109. Νά έκφρασθή εις cm Hg ή πίεσις, την όποιαν έπιφέρει στήλη ϋδατος ύψους 1,36 m.

Ή υδροστατική πίεσις δίδεται από την έξίσωσιν : ρ = h · ε. Επομένως στήλ/j ύδατος, έχου- σα ύψος h = 136 cm έπιφέρει πίεσιν : ρ = 136 cm · 1 gr* /cm 3 = 136 gr*/cm 2Τό ειδικόν βάρος τού ύδραργύρου είναι εΑ = 13,6 gr*/cm 3. Συνεπώς ή άνωτέρω πίεσις ρ έπιφέ- ρεται άπό στήλην ύδραργύρου, έχουσαν ύψος h lf ίσον μέ :

ρ _ 136 g r* /cm 2 εΑ 13,6 gr* /cm 3 ήτοι hA = 10 cm

110. Δοχειον άποτελεΐται άπό δύο κυλινδρικά τμήματα, τά όποια έχουν άντιστοίχως διατο- μήν Σ = 16 cm2 καί σ = 8 cm2. Τά τμήματα αυτά συνδέονται μεταξύ των μέ όριζόντιον έπί- πεδον. Τό κατώτερον τμήμα έχει διατομήν Σ καί ύψος h = 5 cm. Κλείομεν τό κατώτερον άνοιγμα μέ άβαρή δίσκον καί βυθίζομεν τό δοχειον κατακορύφως έντός ύδατος. Τότε τοποθετοϋμεν έπί τού δίσκου τεμάχιον μολύβδου, τό όποιον έχει βάρος 304 gr*, καί άνυψώνομεν βραδέως τον σωλήνα, διατηροϋντες αυτόν κατακόρυφον. 1) Νά εύρεθή εις πόσον βάθος χ , μετρημένον άπό τήν έλευθέραν έπιφάνειαν τού ύγροϋ, θά εύρεθή ό πυθμήν τού δοχείου, τήν στιγμήν κατά τήν όποιαν ό δίσκος θά άποσπασθή άπό τό δοχειον. 2) Νά εύρεθή τό ίδιον βάθος χ , όταν έντός τού δοχείου είσαγάγωμεν όχι τό άνωτέρω τεμάχιον μολύβδου, άλλά 304 gr* ύδατος.

1 ) Τό τεμάχιον τού μολύβδου έξασκεΐ έπί τού δίσκου πίεσιν :304 gr*

P = T 6 ^ = 19g r*/Cm2

Τήν στιγμήν, κατά τήν οποίαν ό δίσκος θά άποσπασθή άπό τό δοχειον, ή πίεσις τήν οποίαν έξασκεί τό ύδωρ έπί της κάτω έπιφανείας τού δίσκου είναι : ρ = 19 gr*/cm2. ’Άρα κατά τήν στιγμήν έκείνην ό πυθμήν τού δοχείου εύρίσκεται εις βάθος x ίσον μέ :

ρ _ 19 gr*/cm2χ = χ = 19 cmε 1 gr*/cm 3 *

2 ) Τό ύδωρ, τό οποίον περιέχει τό δοχειον, έχει όγκον Υ = 304 cm3 καί σχηματίζει δύο κυλινδρικάς στήλας. Ή κατωτέρα στήλη έχει ύψος hA = 5 cm καί όγκον VA = 16 cm2 · 5 cm = = 80 cm3. Ή δέ άνωτέρα στήλη έχει όγκον Υ 2 = 304 — 80 = 224 cm3. ’Άρα ή άνωτέρα στήλη

τού ύδατος έχει ύψος h2, τό όποιον είναι : h2 = —- =σ

ύδατος έντός τού δοχείου είναι :ϊίο λ = h i + h 2

224 cm3 8 cm 2

28 cm. Τό ολικόν ύψος τού

ήτοι hoX = 5 cm -f 28 cm = 33 cm

4


Ή πίεσις ρ', την οποίαν επιφέρει το ύδωρ έπι τού πυθμένος είναι :ρ' = hox · ε = 33 cm · 1 gr*/cm3 ήτοι ρ' = 33 gr*/cm2

"Ωστε εις τήν περίπτωσιν αύτήν ό πυθμήν τού δοχείου εύρίσκεται είς βάθος :X = ϊίολ ήτοι χ = 83 cm

111. Δοχεΐον έχει σχήμα U και περιέχει ύδωρ έως τό μέσον του. Οί δύο βραχίονες αύτοϋ έχουν τήν ιδίαν διάμετρον. Χύνομεν ε ίς τόν ένα βραχίονα τοϋ δοχείου παραφινέλαιον είδικοϋ βάρους 0,8 gr*/cm3. Τούτο σχηματίζει στήλην ύψους 5 cm. Πόσον θά ύψωθή είς τόν άλλον βραχίονα ή έπιφάνεια τοϋ ΰδατος ;

Άρχικώς ή έλευθέρα έπιφάνεια τού ύδατος έντός των δύο βραχιόνων τού δοχείου είναι τό οριζόντιον έπίπεδον ΑΑ' ( σχ. 1 ). "Οταν έντός τού ένός βραχίονος είσαχθή τό παραφινέλαιον, τούτο σχηματίζει στήλην ύψους ΒΓ = hx = 5 cm. Τα δύο διαφορετικά υγρά (πα- ραφινέλαιον καί ύδωρ ) ισορροπούν, καί συνεπώς έπί της όριζοντίας διαχω- ριστικής έπιφανείας ΒΒ' άσκοΰνται ίσαι πιέσεις έκ μέρους των άνωθεν της έπιφανείας ταύτης υγρών. Τά ειδικά βάρη τού παραφινελαίου καί τού ύδατος, είναι άντιστοίχως :

εΧ = 0,8 gr*/cm3 καί ε2 = 1 gr*/cm2 Κατά τήν ισορροπίαν τών δύο υγρών έντός τών δύο συγκοινωνούντων δοχείων ή πίεσις είς τά σημεία της έπιφανείας ΒΒ' είναι :

ρ = hi · εχ == h2 · ε2’Από τήν άνωτέρω έξίσωσιν δυνάμεθα νά εύρωμεν τό ύψος h 2 τού ύδατος άνωθεν της διαχωριστικής έπιφανείας ΒΒ'. Ούτω λαμβάνομεν :

ει ά ν» ε 0,8 gr*/cmr — ή h. = 5 cm · ° 'ε,

ι

W $

π

1

(1

h i ΎH - - h -

r

: h i : 4 cm W

Δ

A'B '

2 1 gr*/cm3Ζητείται νά εύρεθή πόσον θά άνυψωθή ή έπιφάνεια τού ύδατος, όταν έν- £χ. \τός τού άλλου βραχίονος είσαχθή τό παραφινέλαιον, δηλαδή ζητείται τόύψος Α'Δ = X. Δίδεται οτι οί δύο βραχίονες έχουν τήν αύτήν διατομήν σ. Έ ξ άλλου είναι γνωστόν δτι τά υγρά είναι άσυμπίεστα. "Οταν λοιπόν είσαχθή τό παραφινέλαιον, έπειδή τό ύδωρ είναι άσυμπίεστον, έκδιώκεται άπό τόν βραχίονα I ένας όγκος ύδατος V, ό όποιος είναι :

V = σ · ΒΑΌ όγκος αύτός τού ύδατος έρχεται είς τόν βραχίονα II καί προκαλεί τήν άνύψωσιν τής έπιφανείας τού ύδατος άπό τήν στάθμην Α' είς τήν στάθμην Δ. Ούτω ό άνωθεν τής έπιφανείας Α' όγκος τού ύδατος είναι : V = σ · Α'Δκαί είναι ίσος μέ τόν όγκον τού ύδατος, τό όποιον έξεδιώχθη άπό τόν βραχίονα I. "Αν γράψωμεν τήν ισότητα αύτήν τών δύο όγκων, λαμβάνομεν :

σ · ΒΑ = σ · Α'Δ άρα ΒΑ = Α'Δ ( 1 )Ή άρχική έπιφάνεια ΑΑ' τού ύδατος καί ή διαχωριστική έπιφάνεια ΒΒ' τών δύο υγρών είναι οριζόντια έπίπεδα ( συνεπώς είναι παράλληλα ). Έ κ τούτου συνάγομεν ότι ΒΑ καί Β Ά ' είναι ίσα, δηλαδή είναι :

ΒΑ = Β'Α' ( 2 )

Ά πό τάς έξισώσεις ( 1 ) καί ( 2 ) εύρίσκομεν οτι είναι :Β'Δ h 2

2 2Β Ά ' = Ά Δ άρα Α'Δ =

Ή ζητουμένη λοιπόν άνύψωσις Α'Δ = x τής έπιφανείας τού ύδατος είναι :

χ = - ήτοι 4 cm2 καί χ = 2 cm

’Ισορροπία των υγρών 51

Π α ρ α τ ή ρ η σ ι ς . Καθ’ δμοιον τρόπον σκεπτόμεθα καί άν οί δύο βραχίονες δέν έχουν την αυτήν διατομήν. Τό ούσιώδες είς την περίπτωσιν αύτήν είναι ότι λόγφ του άσυμπιέστου των υγρών ό όγκος του υγρού, τό όποιον έκδιώκεται άπό τόν ένα βραχίονα, είναι ίσος μέ τόν όγκον τού υγρού, τό όποιον εύρίσκεται άνωθεν της παλαιάς έλευθέρας έπιφανείας τού υγρού είς τόν άλλον βραχίονα.

112. Ε ντός σωλήνος σχήματος U χύνομεν όλίγον υδράργυρον. Έ πειτα χύνομεν έντός τοϋ ένός σκέλους θειικόν όξύ, είδικοϋ βάρους 1,84 gr*/cm 8, τό όποιον σχηματίζει στήλην ύψους 20 cm, έντός δέ τοϋ άλλου σκέλους χύνομεν ύδωρ, έως δτου αί έλεύθεραι έπιφάνειαι τοϋ θειικοϋ όξέος και τοϋ ΰδατος εύρεθοϋν είς τό αυτό όριζόντιον έπίπεδον. Νά εύρεθή τό ύψος τής στήλης τοϋ ύδατος.

Έντός τού σκέλους I χύνομεν θειικόν όξύ, τό όποιον σχηματίζει στήλην ύψους hx = 20 cm. Έντός δέ τού άλλου σκέλους II χύνομεν ύδωρ ( σχ. 1 ). 'Όταν αί έλεύθεραι έπιφάνειαι τού θειι- κοϋ όξέος καί τού ύδατος εύρεθοϋν είς τό αυτό οριζόντιον έπίπεδον ΓΤ', τότε τό ύδωρ σχηματίζει στήλην ύψους X, ό δέ υδράργυρος έντός τού αύτοΰ σκέλους σχηματίζει στήλην ύψους h2 άνωθεν της οριζόντιας διαχωριστικής έπιφανείας ΑΑ'. Κατά την ισορροπίαν τού συστήματος τών τριών υγρών, έπί της οριζόντιας διαχωριστικής έπιφανείας ΑΑ' άσκοΰνται ίσαι πιέσεις.Τά είδικά βάρη τών υγρών είναι : τού θειικοΰ όξέος : εΧ = 1,84 gr*/cm3τού υδραργύρου : ε2 = 13,6 gr*/cm3τού ύδατος: ε = 1 gr*/cm3Ούτω κατά τήν ισορροπίαν τού συστήματος ισχύει ή έξίσωσις :

hi · εΧ = h 2 · ε2 + χ · ε ( 1 )Είς τήν άνωτέρω έξίσωσιν έχομεν δύο ά γ ν ω σ τ ο υ ς , τό ύψος h2 καί τό ύψος X. Παρατηροϋμεν όμως είς τό σχήμα ότι είναι :

χ + h2 = hx άρα h 2 = hx — x Ούτω ή έξίσωσις ( 1 ) γράφεται:

hi * εχ = ( h ! — χ ) · ε2 + χ · ε

"Αν λύσωμεν τήν εύρεθείσαν έξίσωσιν ως πρός χ λαμβάνομεν : χ = hi

Σχ. 1.

’Άρα τό ζητούμενον ύψος χ είναι : χ = 20 cm (1 3 ,6 - 1 ,8 4 ) gr* /cm 3 (13,6 — 1) gr*/cm 3 καί χ = 18,67 cm

113. Έ ν υποβρύχιον έκτελεΐ τήν μεγίστην δυνατήν κατάδυσιν και κατέρχεται είς βάθος 120 m. Πόση πίεσις, έπί πλέον τής άτμοσφαιρικής, άπαιτειται διά νά έκδιωχθή τό ύδωρ άπό τάς ύδατα- ποθήκας τοϋ σκάφους ; Ειδικόν βάρος θαλασσίου ύδατος : 1,03 gr* /cm 8.

Είς βάθος h == 120 m κάτωθεν τής έπιφανείας τής θαλάσσης έπικρατεΐ πίεσις : ρ = h · εή οποία είναι ίση μέ :

ρ = 12 000 cm · 1,03 gr*/cm8 ήτοι ρ = 12 360 gr*/cm2 = 12,36 a t "Ωστε, διά νά έκδιωχθή τό ύδωρ άπό τάς ύδαταποθήκας τού σκάφους, άπαιτειται πίεσις, έπί πλέον τής άτμοσφαιρικής. ίση μέ : ρ = 12,36 a t

114. Δύο κυλινδρικά δοχεία Α και Β έχουν άντιστοίχως διατομήν 90 cm 2 και 10 cm 2. Τά δοχεία συγκοινωνούν μεταξύ των μέ σωλήνα, ό όποιος έχει χωρητικότητα άσήμαντον, οί δέ έπίπεδοι πυθμένες των εύρίσκονται είς τό αύτό οριζόντιον έπίπεδον. Κατ’ άρχάς χύνομεν έντός τοϋ δοχείου Α έν λίτρον ύδραργύρου. Πόσον όγκον ΰδατος πρέπει νά προσθέσωμεν είς τό δοχεΐον Α, ώστε ή άπόστασις τών έλευθέρων έπιφανειών τών ύγρών είς τά δύο δοχεία νά είναι 20 c m ;


Ό ύδράργυρος θά σχηματίση εντός έκάστου δοχείου στήλην. ή οποία έχει ύψος ΟΓ = Ο Τ ' = 1 0 cm. To ύδωρ θά σχηματίση εντός του δοχείου Α στήλην, ή οποία έχει ύψος Η, 6 δέ υδράργυρος θά σχηματίση άνωθεν της διαχωριστικής έπι- φανείας των δύο ύγρών στήλην, ή οποία έχει ύψος h ( σχ. 1 ). Ή άπόστασις των ελευθέρων έπιφανειών των δύο ύγρών είναι α = 20 cm. Τότε ισχύει ή έξίσωσις της ισορροπίας των δύο ύγρών :

Ηh

13,6 gr*/cm 3άρα είναι : Η = 13,6 · h1 g r* /cm 3

’Από τό δοχείον Α εξέρχεται όγκος ύδραργύρου :

Δ'

γ '

ο'

V = 90 cm2 · χ cm = 90 χ cm3Ό ύδράργυρος αύτός σχηματίζει εντός τού δοχείου Β στήλην, ή οποία έχει ύψος : Γ 'Δ ' = h — xΕπειδή οί δύο αυτοί όγκοι τού ύδραργύρου είναι ίσοι, έχομεν την άκόλουθον έξίσο^σιν :

90 χ = 10 ( h — χ ) άρα είναι : h = 10 x καί Η = 136 χΕπειδή δίδεται ότι είναι α = 20 cm, λαμβάνομεν τήν έξίσωσιν :

Η — h = α

ήτοι 136 χ — 10 χ = 20 άρα είναι : χ = cm ή χ = cmΛ. Ζ ό Ο ο

Τό ύψος της στήλης τού ύδατος εις τό δοχείον Α είναι :

Η = 136 X = 136 · 10 136063 °m = ~63^ Cm

καί επομένως ό ζητούμενος όγκος τού ύδατος είναι :

ΥΧ = 90 cm2 · Η cm ήτοι V t =90 cm2 · 1360 cm

63 1943 cm3

115. Ή έπιφάνεια του μικρού έμβόλου ένός ύδραυλικοϋ πιεστηρίου είναι 3 cm2, ή δέ έπιφά- νεια τού μεγάλου έμβόλου είναι 1,8 dm 2. Έ π ι τοϋ μικρού έμβόλου ένεργεί δύναμις 4 kgr*. Πόση δύναμις άναπτύσσεται έπι τοϋ μεγάλου έμβόλου ;

Ή έπιφάνεια τού μικρού έμβόλου είναι S = 3 cm2, ή δέ έπιφάνεια τού μεγάλου έμβόλου είναι : S = 1,8 dm 2 = 180 cm2. Έ πι τού μικρού έμβόλου ένεργεί δύναμις f = 4 kgr* καί συνεπώς έπι τού μικρού έμβόλου έπιφέρεται πίεσις :

ρ = 4 ήτοι ρ = ^ = kgr*/cm ’

Τόση όμως πίεσις έπιφέρεται καί έπι τού μεγάλου έμβόλου. ’Άρα έπι τού μεγάλου έμβόλου ένεργεί δύναμις F, ή οποία είναι :

F = ρ · S ήτοι F = - | - — ? · 180 cm* καί F = 240 kgr*1 * 3 cm2 ®

Δ Υ Ν Α Μ Ε Ι Σ ΕΠΙ Τ Ω Ν Τ Ο Ι Χ Ω Μ Α Τ Ω Ν Δ Ο Χ Ε Ι Ο Υ

116. Κυλινδρικόν δοχείον, τοϋ όποιου ή βάσις είναι 100 cm 2, περιέχει εν λίτρον ύδραργύρου και §ν λίτρον ΰδατος. Νά εύρεθί| ή πίεσις ή έπιφερομένη έπι έκάστου σημείου τοϋ πυθμένος τοϋ δοχείου και ή δύναμις ή ένεργοϋσα έπι τοϋ πυθμένος.

Ή βάσις τοϋ δοχείου έχει έπιφάνειαν S = 100 cm2. Έκαστον τών δύο ύγρών, τά όποια εύρί- σκοντοιι έντός τού δοχείου, σχηματίζει κύλινδρον έχοντα βάσιν S καί όγκον :

Υ = 1 dm 3 = 1000 cm3

Κ Ι Ν Η Σ Ι Σ Τ Ω Ν Ρ Ε Υ Σ Τ Ω Ν

Ν Ο Μ Ο Ι Τ Η Σ Ρ Ο Η Σ

540. Διά μέσου όριζοντίου σωλήνος κινείται ύδωρ. Ό σωλήν έχει τομήν Sx = 4 cm2, έπειτα δμως στενοϋται καί ή τομή του γίνεται S2 = 1 cm2. Είς τάς δύο αύτάς τομάς τοϋ σωλήνος είναι στερεωμένοι κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες καί είς τόν πρώτον έξ αύτών τό ύδωρ σχηματίζει στήλην ύψους h i = 15 cm. Έάν ή ταχύτης τοϋ ϋδατος διά τής τομής τοϋ στενοϋ σωλήνος είναι 80 cm /sec, νά εύρεθή πόσον είναι τό ΰψος h 2 τής στήλης τοϋ ϋδατος είς τόν άλλον κατακόρυφον σωλήνα.

Ή τομή Α του σωλήνος ( σχ. 1) έχει εμβαδόν Sx = 4 cm2, ή δέ τομή Β του σωλήνος 'έχει εμβαδόν S2 = 1 cm2. Ή ταχύτης του ϋδατος είς τάς δύο αύτάς τομάς Α καί Β του σωλήνος είναι άντι- στοίχως καί υ2 = 80 cm /sec. Σύμφωνα μέ τόν νόμον τής συνεχείας έχομεν τήν έξίσωσιν :

Sj · υΧ = S , · u , Spa υ1 = υ ,·

Ή ταχύτης του ϋδατος είς τήν τομήν Α είναι :1 cm2ux = 80 cm/sec · ■■ ήτοι = 20 cm/sec

Ή πυκνότης του ϋδατος είναι ρ = 1 gr/cm 3. Ή πίεσις είς τάς τομάς Α καί Β του σωλήνος είναι άντιστοίχως :

Pi = hiPg καί ρ 2 = h 2pg Σύμφωνα μέ τόν νόμον τοϋ Bernoulli έχομεν τήν έξί- σωσιν :

1 2 - Ί Γ Ρ ν *

. 1 2Pi + - y pwi = ρ2 +

’Από τήν άνωτέρω έξίσωσιν λαμβάνομεν :

Ρ ι- •Ps = -S-P(wa — Ά ) %οι ( V

Σχ. 1.

' h2 ) Pg = ~Ί £~ Ρ (ua wi )

*Άρα τό ζητούμενον ϋψος h 2 είναι :

■νί )h 2 = hx-(ν ν

2gήτοι

καί

h 2 = 15 cm · 802 — 202 ) ( cm/sec '

h 2 = 11,94 cm2 · 981 cm /sec2

541. Είς τό ,προηγούμενον πρόβλημα 540 νά εύρεθή ή ταχύτης τοϋ ϋδατος είς τήν τομήν S τοϋ σωλήνος, έάν τό μέν ύψος h x είναι πάλιν 15 cm, τό δέ ύψος h 2 είναι μηδέν.

Είς τάς τομάς Α καί Β του σωλήνος ( σχ. 1 ) αί πιέσεις του ϋδατος είναι άντιστοίχως : ρΧ = hxpg καί ρ 2 = h 2pg ή ρ 2 = 0

διότι δίδεται δτι είναι h 2 = 0. Σύμφωνα μέ τόν νόμον του Bernoulli θά ίσχύη ή έξίσωσις :i_ αι|.

2ή 2hlg + υ ΐ = υ2

Σύμφωνα μέ τόν νόμον τής συνεχείας θά ίσχύη έπίσης ή έξίσωσις :

Sx · Vi = S2 · u2 άρα = u2

Επειδή είναι Sx = 4 cm2 καί S2 = 1 cm2, έπεται δτι είναι :1 cm2

Pi + \ P !̂ = Pi + ~ ~ puj ήτοι Pi + ~ γ Ρυϊ

°2Sx

1 2 -pu2

1

Ui = u24 cm2 Spa v

Κίνησις των ρευστών 309

Έάν θέσωμεν την άνωτέρω τιμήν της ταχύτητος υΧ εις τήν έξίσωσιν ( 1 ), λαμβάνομεν :

“ Λ.+ ΐ β — «ί άρα 2hxg : 15 2" Τ Η “ υ 216

Ή ζητουμένη λοιπόν ταχύτης υ2 είναι :

ΐ / 32 hjg „ -ΐ/32~Τ= \ 15 ^ τ°1 ν 2 = V — -

15 cm · 981 cm /sec215 καί u2 = 177,2 cm /sec

Σ ' η μ ε ί ω σ ι ς : Ή ταχύτης του ϋδατος εις τήν τομήν Α είναι : υΧ = υ2/4 = 44,3 cm /sec.

542. "Υδωρ ρέει διά μέσου όριζοντίου σωλήνος έχοντος τομήν 25 cm2. Εντός τοϋ σωλήνος τό ΰδωρ έχει ταχύτητα 60 cm /sec καί πίεσιν 0,4 kgr*/cm2. Ό σωλήν παρουσιάζει στένωσιν, ή όποια έχει τομήν 5 cm2. Να εύρεθή ή ταχύτης καί ή πίεσις τοϋ ϋδατος είς τήν στένωσιν τοϋ σωλήνος.

’Ά ς καλέσωμεν Α καί Β δύο τομάς τοϋ σωλήνος, αί όποΐαι έχουν άντιστοίχως έμβαδόν Sx = 25 cm2 καί S2 == 5 cm2. ’Εντός τοϋ σωλήνος, τοϋ έχοντος τομήν Α, τό ύδωρ έχει ταχύτητα νΧ = 60 cm /sec καί πίεσιν ρ Χ = 400 gr* /cm 2 ήτοι ρΧ = 400 · 981 dyn/cm 2. Είς τήν στένωσιν τοϋ σωλήνος τό ύδωρ έχει ταχύτητα υ2 καί πίεσιν ρ 2. Σύμφωνα μέ τόν νόμον τής συνεχείας θά ίσχύη ή έξίσωσις :

SSi · υΧ = S2 · u2 άρα u2 = ua ·fo2

Ούτω εύρίσκομεν ότι είναι :25 cm2

u2 — ux · - ^ em2 = ^ui ήτο«· ua = 5.· 60 cm/sec καί u2 = 800 cm/sec

’Επίσης σύμφωνα μέ τόν νόμον τοϋ Bernoulli λαμβάνομεν τήν έξίσωσιν :

Pi +1 2 . — pui = p a + ■1 2 ήτοι Pa = Pi +

1 / # 2 2 - 2 - P ( wi — w,

ή, 1

Pt = Pi + - p ( v i - - 25u? ) καί p 2= Pi — 12pUi

Ά ρα έχομεν : ρ 2 = 400 · 981 dyn/cm 2 — 12 · 1 gr/cm 8 · 602 cm2/sec2ήτοι p2 = 349 200 dyn/cm 2 καί p a = 356 gr*/cm 2

543. Σωλήν, τοϋ όποιου ή τομή έλαττώνεται άπό Sx είς S2, διαρρέεται άπό ρεϋμα άέρος. Νά έκφρασθή ή διαφορά πιέσεως μεταξύ τών δύο τομών τοϋ σωλήνος συναρτήσει τής ταχύτητος υΧ τοϋ ρεύματος είς τήν μεγαλυτέραν τομήν.Εφαρμογή : Sx/Sa = 3 καί πυκνότης άέρος ρ = 1 /800 gr/cm 8.

Είς τήν μεγαλυτέραν τομήν Sx τό ρεϋμα τοϋ άέρος έχει πίεσιν ρΧ καί ταχύτητα υΧ, είς δέ τήν μι- κροτέραν τομήν S2 τό ρεϋμα τοϋ άέρος έχει πίεσιν ρ2 καί ταχύτητα υ2. Σύμφωνα μέ τόν νόμον τής συνεχείας καί τόν νόμον τοϋ Bernoulli έχομεν τάς άκολούθους εξισώσεις :νόμος τής συνεχείας : Sx · ux = S2 · u2 ( 1 )

1 1νόμος τοϋ Bernoulli : Pi + -γρυ® = pa + — pu2 (2 )

s’Από τήν έξίσωσιν ( 1 ) λαμβάνομεν : u2 = ux · ~Ά~b2Ά πό δέ τήν έξίσωσιν (2) εύρίσκομεν 6τι ή διαφορά πιέσεως Δρ = ρ Χ — ρ 2 είναι :

Δρ = Ρι — ρ* = - | - ρ ( υ ί — υ? ) ήτοι Δρ = ~ ρ [ u? · v* j

*Ρα A p ^ i p u j f d l - ) 8- ! ]


gΕ φ α ρ μ ο γ ή . Είναι = 3

ο2

Ά ρ α έχομεν : ΔΡ = Τ - 800

καί

• υί

1r 800

3a — 1 )

g r/cm 3.

καί Δρ = 200 dyn /cm 2

544. Χωνίον άπό διηθητικόν χάρτην ένεσφηνώθη έντός ύαλίνου χωνιού. Είναι δυνατόν νά έκδιώξωμεν τόν διηθητικόν χάρτην, έάν προσφυσήσωμεν άέρα διά τοϋ στενού άκρου τοϋ ύαλίνου σ ω λή νο ς;

Ά ν προσφυσήσωμεν άέρα διά του στενού άκρου του ύαλίνου χωνιού, θά παρατηρήσωμεν δτι δσον ίσχυρότερον προσφυσώμεν άέρα, τόσον ίσχυρότερον ό διηθητικος χάρτης προσκολλάται έπί τού ύαλίνου χωνιού. Τούτο είναι συνέπεια τού νόμου τού Bernoulli. Συμφώνως προς τον νόμον τούτον ή πίεσις εις έν ρεύμα άέρος ύποβιβάζεται, όταν τό ρεύμα τού άέρος συσφίγγεται. Επομένως εις τά στενά χάσματα, τά όποια ύπάρχουν μεταξύ τού διηθητικοΰ χάρτου καί τής ύάλου, ή πίεσις τού ρεύματος τού άέρος ύποβιβάζεται κατά πολύ καί ή έξωθεν ύπάρχουσα άτμοσφαιρική πίεσις συγκρατεί τόν διηθητικόν χάρτην προσκεκολλημένον έπί τής ύάλου. Ά ρα ό διηθητικος χάρτης δ έ ν δ ύ ν α τ α r ν ά έ κ δ ι ω χ θ ή έκ τού χωνιού διά προσφυσήσεως άέρος.

545. Εις βεντουρίμετρον, διαρρεόμενον άπό ύδωρ, ή διάμετρος τοΟ στενού σωλήνος είναι τό ήμισυ τής διαμέτρου τοϋ εύρυτέρου σωλήνος. Μεταξύ τών δύο θεωρουμένων τομών τών σωλήνων ύπάρχει διαφορά πιέσεως 0,1 kgr* /cm a. Πόση είναι ή ταχύτης τού ύδατος είς τήν μεγαλυ- τέραν το μ ή ν ;

’Έστω R x ή άκτίς τού εύρυτέρου σωλήνος τού οργάνου καί R 2 ή άκτίς τού στενωτέρου σωλήνος. Τότε τό εμβαδόν τής τομής έκάστου σωλήνος είναι άντιστοίχως :

Sx = u R j καί S2 =

Είς τάς τομάς Sx καί S2 άντιστοιχεί πίεσις ρΧ καί ρ2, ή δέ ταχύτης τού ρεύματος είναι άντιστοίχωςR

ι/Χ καί υ2. Δίδεται ότι είναι : R 2 = —Ά Ά ρα έχομεν :ζ

S2 = τγR ?

52 — » ^

’Από τόν νόμον τής συνεχείας : Si · ux = S2 ♦ u2

εύρίσκομεν : TrRj · v x = 'R l

■ u2 άρα u2 = 4u!

1 1 2 Ά πό τόν νόμον τού Bernoulli : px -f- — pux = ρ 2 — — ρυ^

εύρίσκομεν ότι ή διαφορά πιέσεως είναι :

2Pi Ps — Ρ(υ« — υϊ ήτοι Ρ! — Pa = - γ Ρ ( 16\J* — )

15καί ρ! — ρ , = — - ρυ,

Ή ζητουμένη ταχύτης τοϋ ρεύματος είναι :

ν, = ] / 2 (Ρ11Γ Ρ7> ^ u, ^ V 2̂ :-f 1 /dyn/ Cm2^ ui = 114 cm/sec“ 15 p y 15 · 1 g r/cm 8

546. Ά εροπλάνον πετμ είς ύψος 3000 m, όπου ή πυκνότης τοϋ άέρος είναι ρ — 8,87 · 10“ 4 g r/cm 3. Ό σωλήν P ito t δεικνύει τότε διαφοράν πιέσεως 4,78 cm Hg. Πόση είναι ή ταχύτης τοϋ άεροπλάνου ;


Εις τό σημειον άνακοπής Α του σωλήνος P ito t ( σχ. 1 ) προκαλεΐται στοιβασμός του άέρος καί ή ταχύτης υΧ των μορίων του άέρος συνεχώς έλαττουμένη γίνεται ’ίση μέ μηδέν, ήτοι εις τό σημειον Λ είναι υΧ = 0. Είς τα πλάγια του σωλήνος, ήτοι εις τό σημειον Β, ό άήρ έχει την επικρατούσαν εξωτερικήν πίεσιν ρ καί τα μόρια του άέρος έχουν έν σχέσει μέ τόν σωλήνα τήν ταχύτητα ν του άε- ροπλάνου. Οΰτω σύμφωνα μέ τόν νόμον του Bernoulli έχομεν :

Ρι + γ-Ρ̂ Ι = ρ + - γ ρυ2 ή Ρι - ρ = — ρυ*

διότι είναι υ χ — 0. Ά ρα ή ζητουμένη ταχύτης υ τού άεροπλάνου είναι :

u _ ΐ / 2 ( Ρ ι - Ρ ' Γ ήτοι ,, _ Τ / 2 · 4,78 · 13,6 ■ 981 d y n / ^^ Ρ * 8,87 · 10~4gr/cm3

ή u — 12 · 103 urn/sec και u = 432 km/h

547. Δεξαμενή, περιέχουσα ΰδωρ, φέρει είς τό κατακόρυφον τοίχωμά της μίαν όπήν, ή όποια έχει εμβαδόν 5 cm2 και ευρίσκεται 10 m κάτωθεν τής έλευθέρας έπιφανείας τοϋ ϋδατος τής δεξαμενής. Έάν υποτεθή, ότι τό σχηματιζόμενον ρεύμα τού ύδατος έχει τομήν ΐσην μέ τά 0,80 τής έπιφανείας τής όπής, πόσος όγκος ϋδατος έκρέει κατά λεπτόν άπό τήν όπήν ; g = 10 m/sec2.

Σύμφωνα μέ τόν νόμον τού Toricelli ή ταχύτης u έκροής υγρού διά μιας όπής, εύρισκομένης είς 3άθος h υπό τήν έλευθέραν έπιφάνειαν τού ύγροΰ, είναι ίση μέ τήν ταχύτητα, τήν οποίαν θά είχε τό υγρόν, αν έπιπτεν έλευθέρως άπό ύψος h.

Αρα είναι : u = l / 2 g · h ήτοι u = f 2 · ΙΟ3 cm /sec2 · 103 cm

ή u = 103 f2 cm/secΉ τομή τού σχηματιζομένου ρεύματος τού ϋδατος έχει έμβαδόν S = 0,80 · 5 cm2 = 4 cm2.Είς χρόνον t = 60 sec έκρέει άπό τήν όπήν όγκος V ϋδατος, ό όποιος είναι :

V = S · vt ή V = 4 c m 2 -10s y2 cm/ se c -6 0se c ήτοι V = 3384 · ΙΟ2 cm3/min καί V = 338,4 dm8/min

548. Ρεύμα ϋδατος έχει ταχύτητα 20 m/sec. Πόσην κινητικήν ένέργειαν έχει έκαστον κυβικόν μετρον τοϋ κινουμένου ϋδατος ;

Τό 1 m3 ύδατος έχει μάζαν m = 103 kgr καί κινείται μέ ταχύτητα ν = 20 m/sec. ’Άρα έκαστον κυβικόν μέτρον τού κινουμένου ϋδατος έχει κινητικήν ένέργειαν :

W == ~ mu2 ήτοι W = · ΙΟ3 kgr · 202 ( m /sec )2

καί W = 200 000 JouleΚατά προσέγγισιν έκαστον κυβικόν μέτρον τού ϋδατος έχει κινητικήν ένέργειαν :

W = 20 000 kgr*m

Μ> Ρ

549. Ύδωρ ρέει διά μέσου σωλήνος, έχοντος τομήν 10 cm2. Ό σωλήν παρουσιάζει στένωσιν, ή όποια έχει τομήν 2 cm2. Μέ εν βεντουρίμετρον εύρίσκεται ότι μεταξύ τών δύο τομών τού ρεύματος τού ύδατος ύπάρχει διαφορά πιέσεως ίση μέ 24 gr*/cm 2. Πόση είναι ή ταχύτης τοϋ ύδατος εις έκάστην τομήν τού ρεύματος καί πόσος όγκος ύδατος διέρχεται κατά δευτερόλεπτον άπό έκά- στην τομήν;

Τό έμβαδόν τής τομής τού σωλήνος είναι Sx = 10 cm2, είς δέ τήν στένωσιν ή τομή τού σωλήνος έχει έμβαδόν S2 = 2 cm2. Είς έκάστην τομήν τού σωλήνος άντιστοιχεΐ πίεσις ρΧ, ρ2 καί ταχύτης u*, υ2. Σύμφωνα μέ τόν νόμον τής συνεχείας έχομεν τήν έξίσωσιν :

Sj · = S2 · u2 άρα u 2 = U j ·S iS8

10 cm2καί υ 2 — υ χ · 2 em!= 5uj


Ά πό τον νόμον του Bernoulli :

Ρι + -γ Ρυι = Pa + ρυΐ εύρίσκομεν : Pi — Pa = ^ - ρ ( Wa — υ! )

ή Pi — Pa = - |~ P (25υί — uj ) καί Ρι — ρ 2 = 12 ρυί

"Ωστε ή ταχύτης υΧ τοϋ ρεύματος τοΟ ΰδατος εις τό πλατύτερον τμήμα του σωλήνος είναι :

« , - V ^ id y n /c ” ‘U i = καί ux = 44,3 cm /sec12 p r 1 M gr/cm 8Ή ταχύτης u2 του ρεύματος του ΰδατος εις την στένωσιν του σωλήνος είναι :

ν 2 = 5υχ = 5 · 44,3 cm /sec καί u2 = 221,5 cm/sec

’Από έκάστην τομήν του σωλήνος διέρχεται κατά δευτερόλεπτον όγκος V ΰδατος, ό όποιος είναι : V ==S1 · ι/χ ήτοι V = 10 cm2 · 44,3 cm /sec καί V = 443 cm3/sec

550. ’Από τήν όπήν μιάς δεξαμενής έκρέουν 2 λίτρα ΰδατος κατά δευτερόλεπτον, όταν ή όπή εύρίσκεται 3,60 m κάτωθεν τής έλευθέρας έπιφανείας τοΰ ΰδατος τής δεξαμενής. Νά εΰρεθή πόσος όγκος ΰδατος έκρέει άπό τήν όπήν κατά δευτερόλεπτον, όταν έπΐ τής έλευθέρας έπιφανείας τοϋ ΰδατος έξασκήται μία πρόσθετος πίεσις ίση μέ 8 kgr*/cm2.

Ή όπή τής δεξαμενής εύρίσκεται εις βάθος h = 360 cm κάτωθεν τής έλευθέρας έπιφανείας τοΰ ΰδατος. Ή ταχύτης u έκροής τοΰ ΰδατος δίδεται, σύμφωνα μέ νόμον τοΰ Toricelli, άπό τήν έξίσώσιν.

u = f2 g h’Εάν τό έμβαδόν τής τομής είναι S, τότε κατά δευτερόλεπτον έκρέει άπό τήν όπήν όγκος ΰδατος V = 2 dm8. Ό όγκος οΰτος είναι :

V = S · u ήτοι V = S · f2gh (1 )Ή έπΐ τής έλευθέρας έπιφανείας τοΰ ΰδατος έξασκουμένη πρόσθετος πίεσις p = 8kgr*/cm 2 είναι ίση μέ τήν πίεσιν τήν όποίαν έπιφέρει στήλη ΰδατος όχουσα ΰψος h ' τό όποιον είναι :

8000 gr*/cm2 καί h' = 8000 cmρ 1 gr*/cm8'Ώστε ή προσθήκη τής πιέσεως ρ ίσοδυναμεΐ μέ τήν προσθήκην μιας στήλης ΰδατος h '. Τότε ή όπή εύρίσκεται είς βάθος Ιΐχ = h + h ', κάτωθεν τής έλευθέρας έπιφανείας τοΰ ΰδατος καί ή νέα ταχύτης έκροής τοΰ ΰδατος είναι :

Vi = f2 g h i ή Ux = f2 g { h + h ' )Τότε κατά δευτερόλεπτον έκρέει όγκος ΰδατος Υ ΐ9 6 όποιος είναι :

Vt = S · υ, ήτοι V , = S · ( h + h ' ) ( 2 )’Εάν διαιρέσωμεν κατά μέλη τάς έξισώσεις (1 ) καί (2), εύρίσκομεν :

Vi ί / Ε + Τ υ h ή Vx = 2 dm8 /sec ■ ν

8360 cm360 cm

καί Υχ = 9,64 dm8 /sec

551. Πόσος όγκος ΰδατος έκρέει κατά λεπτόν άπό τήν όπήν μιάς δεξαμενής, έάν ή όπή £χη διάμετρον 2,50 cm καί εύρίσκεται 5 m κάτωθεν τής έλευθέρας έπιφανείας τοϋ ΰδατος ;

Ή όπή τής δεξαμενής έχει διάμετρον δ = 2,50 cm καί έμβαδόν S = π δ 2/4. Ή όπή εύρίσκεται εις βάθος h = 500 cm κάτωθεν τής έλευθέρας έπιφανείας τοΰ ΰδατος. Συνεπώς, σύμφωνα μέ τόν νόμον τοΰ Toricelli, ή ταχύτης έκροής τοΰ ΰδατος ε ίνα ι:

u = /2 g h


Κατά δευτερόλεπτον έκρέει άπό τήν όπήν όγκος ΰδατος :

V = S · u = ̂ · l/2gh ήτοι V = — ---- cm2 · 1/2 · 981 cm/sec2 · 500 cm

ή Υ = 4853 cm8/sec = 4,853 dm8/sec Κατά λεπτόν εκρέει άπό τήν οπήν όγκος ΰδατος :

Vx = 4,853 dm3/sec ·· 60 sec καί Vj = 291,18 dm3/min

552. Μέ πόσην ταχύτητα θά έκρεύση τό ύδωρ ένός λέβητος άπό μίαν όπήν αύτοϋ, έάν έντός τού λεβητος ή πίεσις είναι κατά 25 at μεγαλυτέρα άπό τήν έξωτερικήν πίεσιν ;

Σύμφωνα μέ τόν νόμον τού Bernoulli τό άθροισμα της στατικής πιέσεως ρ καί τής δυναμικής 1πιέσεως ρυ2 τού έξερχομένου άπό τήν όπήν ΰδατος είναι σταθερόν, ήτοι :

1ρ Η— — ρυ2 = σταθ.

Μ

νΑρα ή αΰξησις τής κατά μονάδα όγκου τού υγρού κινητικής ένεργείας είναι ίση μέ τήν άντίστοιχον έλάττωσιν Δρ τής κατά μονάδα όγκου τού ύγροΰ στατικής πιέσεως. "Ωστε είναι :

Δρ = - i - ρυ2 ήτοι υ = Υ

Δίδεται ότι είναι : Δρ = 25 kgr*/cm 2. "Αρα κατά προσέγγισιν είναι: Δρ ~ 25 · 10® dyn/cm 2. Ή πυκνότης τού όδατος είναι ρ = 1 gr/cm 3. "Ωστε ή ζητουμένη ταχύτης u τού ΰδατος είναι :

V2 « 25 · ΙΟ6 dyn/cm2 „ κ &.. -,ιττ ,-------r gr/ci^, ή υ = 5 · 10»-/2 cm/sec

καί u = 7050 cm/sec = 70,50 m/sec

553. Μία άντλία άνυψώνει 1400 λίτρα ΰδατος κατά 7 m καί τό άναγκάζει νά συγκεντρωθώ έντός δεξαμενής, ύπό πίεσιν 3 at. Πόσον έργον έκτελεΐ ή άντλία ;

Σύμφωνα μέ τόν νόμον τού Bernoulli είς ένα ρεύμα ύγροΰ τό άθροισμα τής κινητικής ένεργείας μιας μάζης m τού ύγροΰ, τής δυναμικής ένεργείας τής μάζης m καί τής ένεκα τής στατικής πιέσεως ένεργείας είναι σταθερόν είς οίανδήποτε τομήν τού ρεύματος, ήτοι είναι :

— muj + mghx + Pi — = - γ mua + mgh2 + p 2 — (1 )

όπου ρ είναι ή πυκνότης τού ύγροΰ, v l9 h 1} ρ Χ καί υ2, h 2, ρ 2 είναι ή ταχύτης, τό ΰψος, ή πίεσις είς δύο διαφόρους τομάς τού ρεύματος. Παρατηρούμεν ότι έκαστος όρος τής έξισώσεως ( 1) έχει διαστάσεις έργου. Ή άντλία άνυψώνει όγκον ΰδατος Υ = 14 · 10δ cm3 είς ΰψος h = 700 cm καί ύπό πίεσιν ρ = 3 kgr*/cm 2. Τό όλικόν έργον ( \ ν ολ ), τό όποιον έκτελεί ή άντλία είναι ίσον μέ τό άθροισμα τού έργου, τό όποιον δαπανάται διά τήν άνύψωσιν, καί τής ένεργεας τήν όποίαν άπο- κτφ τό ΰδωρ ένεκα τής στατικής πιέσεως. "Αρα είναι :

W 0x = mgh + p —Ρ

όπου m είναι ή μάζα τού ΰδατος, τό όποιον έχει όγκον Υ = 14 · 10δ cm8, ήτοι είναι m = 14 · 10δ gr. Έάν κατά προσέγγισιν λάβωμεν g ~ ΙΟ8 cm/sec2, τότε είναι ρ = 3 · ΙΟ6 dyn/cm2. Οΰτω άπό τήν άνωτέρω έξίσωσιν λαμβάνομεν :

14 · 10δ grWoλ = 14 · 10δ gr · ΙΟ8 cm/sec2 · 700 cm + 3 · 10® dyn/cm2 · ̂gr/cm8

ή W o \ = 518 · 1010 erg καί W 0\ = 518 000 Joule Ή άνωτέρω εύρεθεΐσα όλική ένέργεια είναι κατά προσέγγισιν :

W<a χ 51 800 kgr*m


Π α ρ α τ ή ρ η σ ι ς : Έάν διαιρέσωμεν άμφότερα τά μέλη τής έξισώσεως ( 1 ) διά m/p, λαμβάνομεν :

Λ Λ

2 )- γ Pui + hlP£ + Pi = γ - PU2 + h2Pg + Ρ2

Εις την έξίσωσιν ( 2) έκαστος δρος έχει διαστάσεις πιέσεως. Έάν δέ άμφότερα τά μέλη τής έξισώσεως ( 1 ) διαιρέσωμεν διά mg, λαμβάνομεν :

2gh2 +

Pg(3 )

Εις την έξίσωσιν ( 3) έκαστος δρος έχει διαστάσεις μήκους.

554. Εις μίαν ύδατόπτωσιν τό ύδωρ πίπτει έπι του ύδροστροβίλου από ύψος 30 m. Ή παροχή τής ύδατοπτώσεως είναι 60 m 3/min. Ό ταν τό ύδωρ έγκαταλείπη τον υδροστρόβιλον, έχει ταχύτητα 10 m/sec. Πόση είναι ή άπόδοσις τοϋ ύδροστροβίλου ; Πόση είναι ή άναπτυσσομένη είς τον υδροστρόβιλον Ισχύς ;

60 000 kgrΚατά δευτερόλεπτον πίπτει είς τον στρόβιλον μάζα υδατος m = - • = 1000 kgr /sec.60 sec

Ή μάζα αύτή του υδατος, πίπτουσα άπό ύψος h = 30 m φθάνει είς τον στρόβιλον έχουσα κινητικήν ένέργειαν W ίσην μέ την δυναμικήν ένέργειαν, τήν οποίαν είχεν είς τό ύψος h, ήτοι είναι :

W = mgh ή W = ΙΟ3 kgr /sec · 9,81 m /sec2 · 30 m καί W = 294,3 · 103 Joule /sec

Ό ταν τό ύδωρ έγκαταλείπη τόν υδροστρόβιλον, έχει ταχύτητα υ = 10 m/sec καί συνεπώς ή κατά δευτερόλεπτον πίπτουσα είς τόν υδροστρόβιλον μάζα m, δταν έγκαταλείπη τόν ύδροστρόβιλον, περικλείει κινητικήν ένέργειαν W l5 ή οποία είναι :

W i =1mu2 ήτοι W x = — · ΙΟ3 kgr /sec · (10 m/sec ]y m u 4 ήτοι Wi = 2

ή W 1 = 50 · 103 Joule/sec’Άρα κατά δευτερόλεπτον ό υδροστρόβιλος παραλαμβάνει ένέργειαν , ή οποία είναι ίση μέ τήν διαφοράν των ένεργειών W καί Wj. ’Ή τοι είναι :

W T : W — W, \ΥΣ — 244,3 · ΙΟ3 Joule /secΉ άπόδοσις Α του ύδροστροβίλου είναι :

W t ^ 244,3 · ΙΟ3 Joule/secA = - = 0,83W ~ 294,3 · 103 Joule/sec Ή άναπτυσσομένη είς τόν υδροστρόβιλον ίσχύς είναι :

Ρ = 244,3 · ΙΟ3 W att καί Ρ = 244,8 kW

A = 88%

Α Ν Τ Ι Σ Τ Α Σ Ι Σ Τ Ο Υ Α Ε Ρ Ο Σ

555. Κυκκλικός δίσκος, εχων έπιφάνειαν 16 cm2, είναι κάθετος προς τήν διεύθυνσιν ρεύματος άέρος* ή πυκνότης τοϋ άέρος είναι ρ = 1 /800 gr/cm 3, ή ταχύτης τοϋ ρεύματος είναι 10 m/sec, ό δέ συντελεστής άντιστάσεως είναι G = 1,3 C.G.S. Πόση είναι ή έπί τοϋ δίσκου άναπτυσσομένη άντίστασις τοϋ άέρος ; (1 gr* = 1000 d y n ).

Ή ταχύτης του ρεύματος τοϋ άέρος είναι u = ΙΟ3 cm /sec. Σύμφωνα μέ τόν νόμον τής άντιστά- σεως τοϋ άέρος ή άναπτυσσομένη έπί τοϋ δίσκου άντίστασις F είναι :

- F = ' C · - £ - · $ · υ*


714. Έ πί μιας σιδηράς δοκοΰ ένεργει δύναμις 10 tn*. Με πόσην έπιφάνειαν πρέπει νά στηρίζεται ή δοκός έπί των υποστηριγμάτων της, έάν αυτά άντέχουν εις μεγίστην πίεσιν έκ φορτίσεως ΐσην με 8 kgr*/cm2 ;

Ή δύναμις F = 10 000 kgr* θά ενεργή έπί μιας επιφάνειας, ή οποία έχει έμβαδδν S καί τότε ή δύναμις F θά έπιφέρη πίεσιν ρ = 8 kgr* /cm 2. Ά πό την έξίσωσιν ορισμού τής πιέσεως ρ = F /S εύρίσκομεν :

F _ 10 000 kgr* ρ — 8 kgr* /cm 2 καί S = 1250 cm2

715. Μία σιδηροδρομική γέφυρα στηρίζεται έπί στύλων έκ σιδήρου, έκαστος των όποιων δύ- ναται νά άνθέξη εις πίεσιν 5000 kgr*/cm 2. Πόσον πρέπει νά είναι τό έμβαδόν τής τομής έκάστου στύλου, ώστε ό στύλος νά δύναται νά φέρη φορτίον 80 tn* καί νά παρουσιάζη δεκαπλασίαν άσφά- λειαν άπό τήν ανωτέρω καθοριζομένην ;

Ό στύλος άντέχει εις πίεσιν 5000 kgr* /cm 2. Διά νά παρουσιάζη δεκαπλασίαν άσφάλειαν άπό τό άνωτέρω δριον, πρέπει ή έπιφερομένη άπό τό φορτίον F = 80 000 kgr* πίεσις νά είναι δέκα φοράς μικροτέρα άπό τό άνωτέρω δριον πιέσεως, ήτοι πρέπει νά είναι ίση μέ ρ = 500 kgr* /cm2. ’Άρα τό έμβαδόν S τής τομής τού στύλου πρέπει νά είναι :

F_ _ 80 000 kgr* ρ ~ 500 kgr*/cm 2 καί S = 160 cm2

716. Εις τό δίκτυον ύδρεύσεως ή πίεσις τοϋ ύδατος εις τήν στάθμην τής όδοϋ είναι 4 at. Πόση είναι ή πίεσις τοϋ ύδατος εις τον 4ον όροφον μιας πολυκατοικίας, εύρισκόμενον εις ύψος 14 m άνωθεν τής όδοϋ ;

Εις τήν στάθμην τής οδού ή πίεσις τού ύδατος είναι : ρ0 = 4 a t = 4 kgr* /cm 2. Τό ειδικόν βάρος τού ύδατος είναι : ε = 0,001 kgr* /cm 3. Επομένως εις ύψος h = 14 m = 1400 cm άνωθεν τής οδού ή πίεσις τοϋ ύδατος θά είναι :ρ = Ρο — sh — 4 kgr*/cm 2 — ( 0,001 kgr*/cm 3 · 1400 cm ) καί p = 2,6 kgr*/cm 2 = 2,6 at

717. Σώμα, βάρους 2000 kgr*, πρόκειται νά άνυψωθή μέ ύδραυλικόν πιεστήριον, τοϋ οποίου αί έπιφάνειαι των δύο έμβόλων του έχουν άντιστοίχως έμβαδόν 80 cm2 καί 12 cm2. Πόση δύνα- μις πρέπει νά ένεργήση έπί τοϋ μικροΰ έμβόλου, έάν ληφθή ύπ’ όψιν ότι τά 20 % τής δυνάμεως αυτής χρησιμοποιοϋνται διά τήν ύπερνίκησιν τής τριβής;

Αί έπιφάνειαι των δύο έμβόλων έχουν άντιστοίχως έμβαδόν Sx = 12 cm2 καί S2 = 80 cm2. Έ π ί τοϋ μεγάλου έμβόλου ένεργει δύναμις F 2 = 2000 kgr*. ’Άν δέν υπήρχε τριβή, ή έπί τοϋ μικροΰ έμβόλου έφαρμοζομένη δύναμις F x έπρεπε νά ήτο ίση μέ :

F j = F 2 · = 2000 kgr* · 4 1 - — !- κ*1 F , = 300 kgr*S2 ° 80 cm8Επειδή δμως υπάρχει τριβή, ή έπί τοϋ μικροΰ έμβόλου έφαρμοζομένη δύναμις Fx πρέπει νά είναι ίση μέ :

F i = Fx · ~ = 300 kgr* · καί F[ = 876 kgr*

718. Έ ν σώμα πρέπει νά κατασκευασθή άπό σίδηρον καί ξύλον ούτως, ώστε τό σώμα νά Ισόρροπη έντός τοϋ ύδατος. Πόσον τοΐς έκατόν τοϋ βάρους τοϋ σώματος άντιστοιχεΐ εις έκαστον των δύο ύλικών αύτοϋ ; Ειδικά βάρη : ξύλου 0,65 gr*/cm3, σιδήρου 7,9 gr*/cm3.

Έ στω ότι τό ξύλον καί ό σίδηρος έχουν άντιστοίχως όγκον Vx καί V2, καί οτι τά ειδικά βάρη αύτών είναι ex καί ε2. Τότε έχομεν τάς έξισώσεις :

βάρος ξύλου : ΒΧ = ΥΧ · εΧ ( 1 ) βάρος σιδήρου : Β2 = Υ2 · ε2 ( 2 )βάρος σιδήρου : Β2 = Υ2·ε2

Κίνησις των ρευστών — ’Αντίστασις του άέρος 455

Εφαρμογή : Σύμφωνα μέ τα δεδομένα είναι :R + h = 6 370 km + 900 km = 7 270 km ή R + h = 727 · 106 cmR -f 2h — 6 370 km -f- 1 800 km = 8 170 km ή R + 2h = 817 · 10e cm

Ούτω άπό τάς εξισώσεις ( 1 ) καί ( 2 ) έύρίσκομεν :

v.=y.6,66 · 10 dyn · cm2/gr2 6 · ΙΟ27 gr- = 10 5 " | / -

666 · 60 727727 · ΙΟ6 cm

ήτοι — 7,414 · ΙΟ5 cm /sec καί υ ± — 7,414 km /sec‘Ομοίως εύρίσκομεν δτι είναι :

cm /sec

ί -666 · 60

cm/sec = 6,993 · 10s cm/sec καί u2 ~ 7 km/sec

Ή περίοδος τής κινήσεως του δορυφόρου εις έκάστην των άνωτέρω δύο περιπτώσεων εύρίσκεται άντιστοίχως άπό τάς έξισώσεις :

2 T r ( R + h ) λ 2π ( R + 2h )u, = -----L·— !---- L καί Ug = ------L

’Άρα είναι :

Τ. _ 2π ( R + h ) ήτοι Τ — 2π · 7 270 kmκαί Ti = 6160 sec ~ 111 42 min 40 sec1 1 11 — 7,414 km/sec

Τ 22ττ ( R + 2h ) ήτοι Τ 2 =

2ττ · 8 170 km καί T 2 = 7 840 sec ^ 2 h 0 min 20 secu2 7 km /sec

Κ Ι Ν Η Σ Ι Σ Τ ΩΝ Ρ ΕΥΣ Τ ΩΝ — Α Ν Τ Ι Σ Τ Α Σ Ι Σ Τ Ο Υ AJEPOZ

811. Ή έγκαρσία τομή μιας διώρυγος έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Είς εν ση- μεϊον τό πλάτος τής διώρυγος είναι 10 m, τό βάθος τοϋ υδατος είναι 2 m και ή ταχύτης του ϋδα- τος είναι 1,2 m/sec. Πόσον είναι τό βάθος τοΰ υδατος εις εν άλλο σημεΐον τής διώρυγος, όπου τό μεν πλάτος τής διώρυγος είναι 12 m, ή δέ ταχύτης τοϋ υδατος είναι 0,5 m/sec ;

Είς τά δύο θεωρούμενα σημεία τής διώρυγος τό έμβαδόν τής τομής τοΰ ρεύματος τοΰ ΰδατος είναι άντιστοίχως : Si = 20 m 2 καί S2 = 15x rn2, όπου χ είναι τό ζητούμενον βάθος τοΰ ΰδατος. Ή δέ ταχύτης τοΰ ρεύματος είς τά θεωρούμενα σημεία είναι άντιστοίχως : = 1,2 m/sec καίu2 — 0,5 m/sec. Συμφώνως πρός τον νόμον τής συνεχείας θά ίσχύη ή έξίσωσις :

Si · Ui = S2

’Άρα είναι :

ήτοι S2 = Si ■

48 m2 15m

— = 20 m2 · '2

καί

1,2 m /sec 0,5 m /sec

8,2 m

S2 — 48 m2

812. Μέ πόσην ταχύτητα εκρέει υγρόν άπό μικράν όπήν άνοικτοϋ δοχείου, έάν ή όπή εύρί- σκεται 0,5 m κάτωθεν τής έλευθέρας έπιφανείάς τοϋ ύγροΰ ; Πόσος όγκος ύγροϋ έξέρχεται κατά δευτερόλεπτον άπό τήν όπήν, άν αυτή έχη έμβαδόν S = 30 mm2, άλλ’ ένεκα τής συσφίγξεως τής ύγράς φλεβός ή χρήσιμος διατομή άνέρχεται είς S' = 0,64 S ; Αί τριβαί παραλείπονται.

Συμφώνως πρός τόν νόμον τοΰ Torricelli ή ταχύτης u έκροής τοΰ ύγροΰ είναι :

u = V2g · h ήτοι u = V2 · 9,81 m /sec2 · 0,5 m καί u = 8,13 m/sec

Ή χρήσιμος διατομή τής ύγράς φλεβός είναι : S' = 0,64-0,3 cm2 = 0,192 cm2. Ά ρα 6 έξερχόμε- νος άπό τήν όπήν όγκος V τοΰ ύγροΰ είναι :

V = S' · u ήτοι Υ = 0,192 cm2 · 313 cm/sec καί Υ = 60 cm3/sec

456 Προβλήματα Φυσική;

813. Δι’ ένα σωλήνα, έχοντα διάμετρον δ = 6 cm, ό άριθμός Reynolds είναι N R = 2300. Έάν διά μέσου τοϋ σωλήνος ρέη ύδωρ, τό όποιον έχει συντελεστήν έσωτερικής τριβής η = 1,1 · 10“ 3

ksrr— ------- , νά εύρεθή διά ποιαν τιμήν τής παροχής ( είς λίτρα κατά δευτερόλεπτον) άντιστοιχεΐ ήΐϊΐ · secμετάπτωσις από την στρωτήν είς τήν στροβιλώδη ροήν.

Είναι γνωστόν ότι, αν δ είναι ή διάμετρος του σωλήνος, τότε ή κρίσιμος ταχύτης uKp του ύγροΰ, είς τήν οποίαν άντιστοιχεΐ ή μετάπτωσις άπό τήν στρωτήν είς τήν στροβιλώδη ροήν, προσδιορίζεται άπό τήν έξίσωσιν :

Ν Η% · s · ρ

δπου ρ είναι ή πυκνότης του ύγροΰ. ’Άρα διά τόν θεωρούμενον σωλήνα ή κρίσιμος ταχύτης του ύδατος είναι :

Ν*% = ■ ήτοι 2 300 · 1,1 10 8 kgr/(m · sec)

6 · 10 m · 103 kgr/m 3

καί υκρ= 4’21 10 2 m/sec

Είς αυτήν τήν κρίσιμον ταχύτητα άντιστοιχεΐ παροχή ( ήτοι όγκος Υ ύδατος διερχόμενος άπό μίαν τομήν του σωλήνος κατά δευτερόλεπτον ) ΐση μέ :

π · δ2Y = S . υ, άρα V = ■ υ = ■.* 36 m2 · 4.21 · 10 2 m/secΚΡ 4 · ΙΟ 4Κρ — 4

καί Υ ~ 118 · ΙΟ-6 m3/sec ήτοι Υ = 0,118 λίτρα/sec

814. Άλεξίπτωτον έχει μετωπικήν έπιφάνειαν 60 m2, ό δε συντελεστής άντιστάσεως του άέροςΝ · sec2είς τό σύστημα M.K.S. είναι G = 1,35 . Τό ολικόν βάρος τής συσκευής είναι 64,8 kgr*.m · kgr *

α) Έάν po είναι ή πυκνότης τοϋ άέρος είς τήν έπιφάνειαν τής Γής, νά εύρεθή ποία σχέσις δίδει τήν όρικήν ταχύτητα τοϋ άλεξιπτώτου συναρτήσει τής πυκνότητος ρ τοϋ άέρος είς ύψος 5500 m, δπου ή πυκνότης τοϋ άέρος είναι : ρ = ρ0/2 ; β) Πόση είναι ή όρική ταχύτης τοϋ άλεξιπτώτου είς ύψος 5500 m καί είς ύψος 11 000 m, δπου ή πυκνότης τοϋ άέρος είναι : ρΧ = ρ0/4 ; g = 10 m /sec2. Po == 1,23 kgr/m 3.

α) Τό όλικόν βάρος τής συσκευής είναι Β = 648 Ν. Είς ύψος 5500 ιη,όπου ή πυκνότης του άέρος είναι ρ = ρ0/2, ή όρική ταχύτης υορ του άλεξιπτώτου δίδεται άπό τήν σχέσιν :

άντίστασις του άέρος = βάρος συσκευής

ήτοι: — ■ C · ρ · S · υ’ρ = Β άρα

ήτοι % = V -2 · 648 m/sec

1,35 · ρ · 60 β) Είς ύψος 5500 m ή όρική ταχύτης είναι :

4 4

- ν16_Ρ

m /se c :V p „/ 2 V o , 615

Είς τό ύψος 11 000 m ή όρική ταχύτης είναι : 4 , 4

m /sec

Vpo/4m /sec :

V 0 , 3075m /sec

u - 1 / 2Β°Ρ V C · ρ . S

m /sec καί C II

καί u == 5,1 m /sec

: καί u == 7,8 m /sec

m/sec

815. Άεροπλάνον έχει μάζαν 200 kgr και έκτελεΐ πτήσιν όλισθήσεως. Ή γωνία όλισθήσεως είναι α — 3° 30'. α) Πόση είναι ή δυναμική άνωσις, ή δυναμική άντίστασις καί ή άεροδύναμις;

AΣΚΗΣΕΙΣ MAZH 1973.pdf

Documents

Transcript of AΣΚΗΣΕΙΣ MAZH 1973.pdf