6.9. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий составляющих его материальных точек

2

к 2i i

i

mE ∆=∑ υ , (6.43)

где — масса im∆ i-й точки; iυ — ее скорость. Рассмотрим сначала случай вращения тела вокруг неподвижной оси

(см. рис. 6.8). Выразив в формуле (6.43) линейную скорость i-й точки через угловую скорость и расстояние от оси вращения через , после суммирования по всем элементам получим

ω ir

2 22 2

к 2 2i i i ii i

E m r m rω ω= ∆ = ∆∑ ∑ .

Учитывая, что сумма равна моменту инерции тела 2i i

im r∑ I относительно

выбранной оси, окончательное выражение для кинетической энергии тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, имеет вид:

2

к 2IE ω

= . (6.44)

Можно сказать, что формула (6.44) аналогична соответствующей формуле кинетической энергии поступательного движения. Различие между ними заключается в том, что роль линейной скорости υ играет угловая скорость ω , а массы m — момент инерции тела относительно оси вращения I.

Рассмотрим плоское движение тела. Его можно представить как сумму поступательного движения со скоростью центра масс cυ и вращательного с угловой скоростью ω вокруг оси, которая проходит через центр масс (рис. 6.16). Суммарная скорость точек тела i

rυ будет складываться из скорости центра масс c

rυ и относительной скорости i′rυ :

Рис. 6.16

i c iυ υ υ′= +r r r .

Подставляя irυ в выражение (6.43), находим

2 2к

1 12 2i c i i i c i

i i i

E m m m′ ′= ∆ + ∆ + ∆∑ ∑ ∑ r rυ υ υ υ .

mУчитывая, что масса тела ii

m = ∆∑ , а относительная скорость cii

drdt

′ =r

rυ ,

получаем:

2 2к

1 12 2c i i c

i i

di ciE m m m

dt⎛ ⎞′= + ∆ + ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ rr rυ υ υ .

Первое слагаемое представляет кинетическую энергию поступательного движения тела, второе — кинетическую энергию вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс. Как и в предыдущем случае, она равна 2 2cI ω . Третье слагаемое равно нулю, поскольку для центра масс в соответствии с формулой (3.4) 0i ci

im r∆ =∑ r .

Таким образом, полная кинетическая энергия плоского движения тела массой m складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, которая проходит через центр масс

2 2

к 2 2c cm IE ω

= +υ . (6.45)

Рассмотрим изменение кинетической энергии при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пусть сила Fr

приложена в точке A на расстоянии r от оси, лежит в плоскости траектории и направлена по касательной к ней (рис. 6.17). Именно касательная сила создает момент M Fr= относительно оси OZ и вызывает изменение угловой скорости.

При повороте на бесконечно малый угол dϕ перемещение точки можно считать равным длине дуги

. Тогда элементарная работа ds rd= ϕ dA Fds Frd= = ϕ , или

Рис. 6.17

dA Md= ϕ . (6.46) Работа при повороте на конечный угол ϕ равна интегралу

0

A Mdϕ

= ϕ∫ , или 0

A Mdϕ

= ϕ∫r r . (6.47)

Если момент силы не изменяется, то работа равна произведению момента силы и угла поворота тела A M= ϕ . (6.48)

Запишем уравнение динамики вращательного движения ( )M I d dt= ω . Пусть за бесконечно малый интервал времени dt произошел поворот тела относительно оси вращения на угол . Умножив обе части уравнения на угол поворота

, получим: dϕ =ωdt

dϕ

dMd I ddt

tωϕ = ω .

Проинтегрировав левую и правую части последнего соотношения, получим:

2 2

1 1

Md I dϕ = ω ω∫ ∫

или

2 22 1

12 к2 к12 2I IA E Eω ω

= − = − . (6.49)

Изменение кинетической энергии при вращательном движении тела равно работе момента внешних сил, который сообщает телу угловое ускорение.