6 Anhang - Springer978-3-540-44635-4/1.pdf · 6.1 Übersicht 449 6 Anhang 6.1 Übersicht Tabelle...

6.1 Übersicht 449

6 Anhang

6.1 Übersicht

Tabelle 6-1 Wichtige Normen für die Fluidme-chanik.

Tabelle 6-2 Volumenausdehnungskoffizientverschiedener Flüssigkeiten.

Tabelle 6-3 Begriffe nach DIN 2401, Bl. 1,Rohrleitungen

Tabelle 6-4 Zahlenwerte der Standardatmosphä-re.

Tabelle 6-5 Viskositäten η und ν von Wasser.Tabelle 6-6 Realgasfaktor Z = (p · �)/(R ·T )

trockener Luft, abhängig von Druckund Temperatur.

Tabelle 6-7 Dichte und kinematische Viskositätvon Wasser.

Tabelle 6-8 Normdichte und dynamischeViskosität von Gasen.

Tabelle 6-9 Dichte � von Flüssigkeiten bei15 ◦C.

Tabelle 6-10 Mittlere Strömungsgeschwindigkeit(Richtwerte).

Tabelle 6-11 Kritische REYNOLDS-Zahlen.Tabelle 6-12 Windgeschwindigkeit.Tabelle 6-13 Menschliche Schallgrößen.Tabelle 6-14 Rauigkeitswerte von Rohren.Tabelle 6-15 Zulässige Rauigkeitshöhe nach

Bild 6-43.Tabelle 6-15a Bezeichnungen und Zehnerpotenzen

als Faktoren zur Einheitenmultipli-kation.

Tabelle 6-16 Widerstandszahlen von Kugeln,Kreiszylindern und Kreisscheiben.

Tabelle 6-17 Widerstandszahlen von Fahrzeugen.Tabelle 6-18 Anstellwinkel und Gleitzahlen

verschiedener Körper.Tabelle 6-18a Griechisches Alphabet.Tabelle 6-18b Römische Ziffern (Zahlen).Tabelle 6-19 Thermische Stoffwerte κ und R.Tabelle 6-20 Stoffwerte verschiedener Gase.Tabelle 6-21 Zusammenstellung wichtiger vektor-

analytischer Rechenoperationen.Tabelle 6-22 Koordinatentransformationen.

Bild 6-1 Dynamische Viskosität von Wasser.Bild 6-2 Kinematische Viskosität und Dichte von

Wasser.Bild 6-3 Viskositätsbereiche der SAE-Klassen

von Ölen.Bild 6-4 Dynamische Viskosität von Fluiden.Bild 6-5 Dynamische Viskosität von Luft.Bild 6-6 Dynamische Viskosität von Gasen.Bild 6-7 Dynamische Viskosität von Wasser-

dampf.Bild 6-8 Kinematische Viskosität von Fluiden.Bild 6-9 Kinematische Viskosität von Gasen.Bild 6-10 Kinematische Viskosität von Wasser-

dampf.Bild 6-11 Widerstandsdiagramm nach MOODY

und COLEBROOK.Bilder 6-12 bis 6-20

Widerstandszahlen von Krümmern.Bild 6-21 Widerstandsbeiwerte von Norm-

Drosselgeräten.Bild 6-22 Widerstandszahlen von Lochblechgit-

tern.Bilder 6-23 bis 6-27

Widerstandsbeiwert verschiedenerKrümmer.

Bilder 6-28 bis 6-35Widerstandszahlen verschiedenerEinbauteile.

Bilder 6-36 und 6-37Widerstandsbeiwerte von Düsen undDiffusoren.

Bild 6-38 Druckverlustbeiwerte von Kreisbo-genkrümmern. Abhängig von Rauigkeitund REYNOLDSzahl.

Bild 6-39 Durchflusszahlen von Drosselgeräten.Bilder 6-40 und 6-41

Expansionszahlen von Norm-Blenden.Bild 6-42 Widerstandszahlen von Platten.Bild 6-43 Zulässige Rauigkeitshöhe von Platten

und Profilen.Bild 6-44 Technisch erreichbare Rauigkeiten.Bild 6-45 Diagramm zu Tabelle 6-16.Bild 6-46 Widerstandsbeiwerte von Widerstands-

und Profilkörpern.Bild 6-47 Tragflügelprofil G 387.Bild 6-48 (h,s)-Diagramm für Wasserdampf.Bild 6-49 Windkanäle.

450 6 Anhang

6.2 Tabellen und Bilder

Tabelle 6-1. Wichtige Normen für die Fluidmechanik.

DIN 1301 Einheiten; Einheitennamen, Einheiten-zeichen

DIN 1302 Mathematische ZeichenDIN 1303 Schreibweise von Tensoren (Vektoren)DIN 1304 Allgemeine FormelzeichenDIN 1305 Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbe-

schleunigungDIN 1306 Dichte, BegriffeDIN 1313 Schreibweise physikalischer Gleichun-

gen in Naturwissenschaft und TechnikDIN 1314 Druck; Begriffe, EinheitenDIN 1342 Viskosität NEWTONscher FlüssigkeitenDIN 1343 Normzustand, NormvolumenDIN 1345 Technische Thermodynamik; Formel-

zeichen, EinheitenDIN 1952 VDI-Durchflussmessregeln; Durchfluss-

messung mit genormten Düsen, Blendenund VENTURIdüsen

DIN 5492 Formelzeichen der StrömungsmechanikDIN 5494 Größensysteme und EinheitensystemeDIN 5497 Mechanik starrer Körper; Formelzei-

chenDIN 19 202 Durchflussmesstechnik; Kennzeichnung

und Prüfverfahren für DurchflussmesserDIN 19 204 Durchflusseinheiten und Skalen für die

Durchflussmesstechnik

DIN 51 511 Schmierstoffe: SAE-Viskositätsklassenfür Motoren-Schmieröle

DIN 51 512 SAE-Viskositätsklassen fürKraftfahrzeug-Getriebeöle

DIN 51 550 Viskosimetrie; Bestimmung der Visko-sität, Allgemeines

DIN 51 560 Prüfung von Mineralölen, flüssigenBrennstoffen und verwandten Flüs-sigkeiten. Bestimmung der relativenAusflusszeit mit dem ENGLER-Gerät

DIN 51 562 Viskosimetrie: Messung der kinemati-schen Viskosität mit dem UBBELOHDE-Viskosimeter

DIN 51 563 Prüfung von Mineralölen und ver-wandten Stoffen; Bestimmung desViskositäts-Verhaltens (VT-Kurve);Richtungskonstante m

DIN 53 012 Kapillarviskosimetrie NEWTONscherFlüssigkeiten; Fehlerquellen und Kor-rekturen

DIN 53 015 Messung der Viskosität mit demKugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER

DIN 53 016 Messung der Viskosität mit demFreifluss-Viskosimeter

Tabelle 6-2. Volumenausdehnungskoeffizient β ingrd−1 (Richtwerte) einiger Flüssigkeiten bei 1 barDruck und in dem üblichen mittleren Temperaturbe-reich (1 grad = 1 ◦C = 1 K).Abkürzung grd gemäß Abschnitt 5.3.1.2.1.

Fluid β [grd−1]

Azeton 0,00143Ether 0,00162Benzin 0,00100Benzol 0,00106Ethanol 0,00143Mineralöl 0,00078Quecksilber 0,00018Wasser 0,00035

Volumenausdehnung ΔV = β ·Δt ·V0bei Temperaturänderung Δt = t − t0Endvolumen bei konstantem Druck V = V0 +ΔV

Bemerkungen:Temperatur-Dimension grad ist Statthalter für GradCELSIUS ◦C und KELVIN K, da 1 ◦C = 1 K oderΔt[◦C] = ΔT [K].

�0 ·V0 = � ·V = m

�0 ·V0 = (�0 +Δ�) · (V0 +ΔV )�0 ·V0 = �0 ·V0 +�0 ·ΔV +Δ� ·V0 +Δ� ·ΔV

Mit Δ� ·ΔV als klein von 2. Ordnung in guter Näherungvernachlässigbar, wird:

ΔVV0

= −Δ�

�0= β ·Δt

Mit Index 0 vor und ohne nach der TemperaturänderungΔt = t − t0.

6.2 Tabellen und Bilder 451

Tabelle 6-3. Begriffe nach DIN 2401, Bl. 1, Rohrleitungen.

Nenndruck: Der Nenndruck ND einer Rohrleitungist der Druck, für den genormte Rohrleitungsteile beiZugrundelegung eines bestimmten, in den jeweiligenMaßnormen genannten Ausgangswerkstoffes bei derTemperatur 20 ◦C ausgelegt sind.

Druckstufen: Stufung der Nenndrücke in Anlehnungan die Normzahlen. Die Druckstufen der Nenndrückebilden die Grundlage für den Aufbau der Normen fürRohrleitungsteile.

Zulässiger Betriebsdruck: Der zulässige Betriebs-druck in einer Rohrleitung ist der höchste Druck, demfür einen bestimmten Nenndruck ausgelegte Rohr-leitungsteile im Betrieb unterworfen werden dürfen.Seine Höhe richtet sich nach der Betriebstemperaturund dem Werkstoff. Wird der in den Maßnormen vor-gesehene Ausgangswerkstoff verwendet, so ist bei derTemperatur 20 ◦C der zulässige Betriebsdruck gleichdem Nenndruck. Bei anderen Temperaturen ist seineAbhängigkeit vom Nenndruck für einzelne Werkstof-fe bzw. Werkstoffgruppen besonderen Normen zuentnehmen. Druckschwankungen, mögliche Tempe-raturerhöhungen sowie zusätzliche mechanische Be-anspruchungen sind bei der Ermittlung des zulässigenBetriebsdruckes zu berücksichtigen. In solchen Fällen

kann es zweckmäßig sein, eine höhere Nenndruckstufezu verwenden.

Prüfdruck: Der Prüfdruck ist der zur Prüfung der ein-zelnen Rohrleitungsteile vom Hersteller anzuwenden-de Druck bei Raumtemperatur. Soweit in einzelnenNormen nichts anderes festgelegt ist, ist seine Höhegleich dem 1,5-fachen Nenndruck.

Nennweite (nach DIN 2402): Die Nennweite NW isteine Kenngröße. Sie wird bei Rohrleitungssystemenals kennzeichnendes Merkmal zueinandergehören-der Teile, wie Rohre, Rohrverbindungen (Flansche),Formstücke, Armaturen usw. benutzt. Die Nennwei-te hat keine Einheit und darf nicht als Maßeintragungim Sinne von DIN 406 benutzt werden. Die Nennwei-ten entsprechen bei üblicher Wanddicke annähernd denlichten Durchmessern (lichte Weite) in mm der Rohr-leitungsteile. Da im Allgemeinen die Außenabmessun-gen der Rohre, Formstücke, Armaturen usw. mit Rück-sicht auf Anwendung, Herstellung und Verarbeitung(Montage) festliegen, können die lichten Durchmes-ser je nach den ausgeführten Wanddicken Unterschie-de gegenüber den Kenngrößen der Nennweite aufwei-sen, z. B. dickwandige Ausführung. Die Nenn-WeiteNW wird auch als Nenn-Durchmesser DN bezeichnet.

Tabelle 6-4. Zahlenwerte der Standardatmosphäre ICAO und Normatmosphäre nach DIN 5450 für Höhevon 0 bis 20 km über dem Meer (NN). ICAO, International Civil Aviation Organization (Abschnitt 2.2.8.1).z Höhe über NN, p Druck. � Dichte, T Kelvin-Temperatur und t Celsius-Temperatur, a Schallgeschwindigkeitsowie ν kinematische Viskosität.Bis z ≈ 10 km Höhe Troposphäre. Ab Höhe ca. z = 10 km bis etwa z = 50 km Stratosphäre. Darüber Mesosphäre(bis ca. 100 km) und danach Thermosphäre.

z p � T t a 106 ·ν z p � T t a 106 ·νkm bar kg/m3 K ◦C m/s m2/s km bar kg/m3 K ◦C m/s m2/s

0 1,0133 1,225 288,15 15 341 14,6 11 0,2270 0,365 216,5 −56,65 295 38,91 0,8988 1,112 281,7 8,55 337 15,8 12 0,1930 0,311 216,5 −56,65 295 45,62 0,7950 1,007 275,2 2,05 333 17,2 13 0,1650 0,265 216,5 −56,65 295 53,43 0,7012 0,909 268,7 −4,45 329 18,6 14 0,1410 0,227 216,5 −56,65 295 62,54 0,6166 0,819 262,2 −10,95 326 20,3 15 0,1200 0,194 216,5 −56,65 295 73,25 0,5405 0,736 255,7 −17,45 322 22,1 16 0,1030 0,165 216,5 −56,65 295 85,76 0,4722 0,660 249,2 −23,95 317 24,1 17 0,0879 0,141 216,5 −56,65 295 100,37 0,4111 0,590 242,7 −30,45 312 26,5 18 0,0751 0,121 216,5 −56,65 295 117,58 0,3565 0,526 236,2 −36,95 309 29,0 19 0,0641 0,103 216,5 −56,65 295 137,59 0,3080 0,467 229,7 −43,45 303 31,9 20 0,0547 0,088 216,5 −56,65 295 161,0

10 0,2650 0,414 223,3 −49,85 300 35,2

Bemerkung: Temperaturabfall bis 11 km Höhe (Troposphäre) ungefähr linear 6,5 ◦C je 1000 m Höhenzunahme.

452 6 Anhang

Tabelle 6-5. Viskositäten η[Pa · s] und ν[m2/s] von Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur t[◦C] unddem Druck p[bar] [102]. Werte des thermischen kritischen Punktes: pkr = 231 bar; tkr = 374,15 ◦C.

Temp. t Druck p1 bar 50 bar 100 bar 200 bar 300 bar

◦C 106 ·η 106 ·ν 106 ·η 106 ·ν 106 ·η 106 ·ν 106 ·η 106 ·ν 106 ·η 106 ·ν0 1827 1,792 1813 1,774 1804 1,761 1781 1,730 1760 1,702

10 1333 1,297 1330 1,302 1324 1,292 1316 1,278 1308 1,26820 1022 1,004 1021 1,001 1020 0,997 1018 0,991 1015 0,98430 813 0,801 813 0,799 814 0,798 814 0,795 815 0,79240 665 0,658 666 0,657 667 0,656 669 0,656 671 0,65550 557 0,553 558 0,553 560 0,553 563 0,554 566 0,55560 475 0,474 477 0,475 478 0,475 481 0,476 485 0,47870 412 0,413 414 0,414 416 0,415 419 0,418 424 0,42080 362 0,365 365 0,367 368 0,370 373 0,373 379 0,37790 321 0,326 325 0,329 330 0,334 337 0,339 344 0,345

100 288 0,295 293 0,299 299 0,304 307 0,311 315 0,318120 (bei p = 1,0136 bar) 243 0,252 250 0,259 258 0,266 267 0,274140 206 0,218 211 0,222 220 0,230 228 0,238160 178 0,192 182 0,195 189 0,202 197 0,209180 157 0,173 160 0,176 166 0,181 172 0,187

200 142 0,161 144 0,162 148 0,165 152 0,169220 129 0,150 131 0,152 134 0,154 137 0,156240 118 0,142 120 0,143 122 0,144 125 0,146260 110 0,137 111 0,138 113 0,138 116 0,140280 103 0,134 105 0,134 108 0,135

300 96 0,132 98 0,131 101 0,132320 91 0,129 95 0,131340 81 0,125 87 0,128360 68 0,123 78 0,125380 66 0,123400 44 0,121450 31 0,119

Tabelle 6-6. Realgasfaktor Z = (p · �)/(R ·T ) trockener Luft, abhängig von Druck und Temperatur [102].

Druck Temperatur in ◦C[bar] −50 0 50 100 200 300 500 1000

1 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Z

5 0,992 0,997 0,999 1,000 1,001 1,002 1,002 1,00110 0,985 0,994 0,999 1,001 1,003 1,004 1,004 1,00350 0,931 0,978 0,998 1,009 1,017 1,019 1,019 1,014

100 0,888 0,970 1,006 1,024 1,038 1,041 1,039 1,029150 0,884 0,980 1,023 1,045 1,061 1,063 1,059 1,045200 0,917 1,005 1,049 1,070 1,086 1,087 1,080 1,060300 1,042 1,090 1,120 1,135 1,141 1,137 1,121 1,089500 1,362 1,326 1,308 1,295 1,270 1,246 1,206 1,147

1000 2,167 1,972 1,842 1,749 1,625 1,542 1,432 1,289


Tabelle 6-7. Dichte �[kg/m3] und kinematische Viskosität ν[m2/s] von Wasser in Abhängigkeit von derTemperatur t[◦C]. Bis 100 ◦C bei 1 bar, darüber im Siedezustand [78]. ν = η/� → 1 ·10−6 m2/s = 1 mm2/s.

t � 106 ·ν t � 106 ·ν t � 106 ·ν t � 106 ·ν0 999,8 1,792 13 999,3 1,194 26 996,8 0,875 70 977,7 0,4121 999,9 1,730 14 999,2 1,163 27 996,5 0,856 75 974,8 0,3872 999,9 1,671 15 999,0 1,134 28 996,2 0,837 80 971,8 0,3653 1000,0 1,615 16 998,8 1,106 29 995,9 0,819 85 968,7 0,3454 1000,0 1,562 17 998,7 1,079 30 995,6 0,801 90 965,3 0,3265 1000,0 1,512 18 998,5 1,053 32 994,9 0,768 95 961,9 0,3106 999,9 1,464 19 998,4 1,028 35 994,0 0,723 100 958,3 0,2957 999,9 1,418 20 998,2 1,004 40 992,2 0,658 150 916,9 0,2058 999,8 1,375 21 998,0 0,980 45 990,2 0,601 200 864,7 0,1619 999,7 1,335 22 997,8 0,957 50 988,0 0,553 250 799,2 0,140

10 999,6 1,297 23 997,5 0,935 55 985,7 0,511 300 712,5 0,13211 999,5 1,261 24 997,3 0,914 60 983,2 0,474 350 572,4 0,12512 999,4 1,227 25 997,0 0,894 65 980,5 0,441 374,15 317,5 0,123

η(t) = a · eb/(t+c) �(t) = �0 · [1−β · (t − t0)] sowie Δ� = �−�0mit t[◦C] mit t[◦C] bis etwa t = 100 ◦Cund unda = 0,0318 mPs · s t0 = 10 ◦C; Δt = t − t0b = 484,3726 ◦C �0 = �(t0) = �(10 ◦C) = 999,6 kg/m3

c = 120,2202 ◦C β (t) = 0,00031 · (0,23+0,83 · (t/t0)0,06)

Tabelle 6-8. Normdichte und dynamische Viskosität η[Pa · s] von Gasen bei 1 bar Druck und verschiedenenTemperaturen.

Gas �n(kg/m3) �N(kg/m3) 106 ·η(20 ◦C; 1 bar) (0 ◦C; 1,0133 bar) −30 ◦C 0 ◦C 50 ◦C 100 ◦C 200 ◦C 300 ◦C

Luft 1,189 1,293 15,9 17,7 20,4 22,7 26,5 30,3O2 1,314 1,429 17,7 19,4 22,2 25,1 29,6 33,6N2,CO 1,126 1,149 15,5 17,0 19,4 21,7 25,7 28,5CO2 1,783 1,817 13,0 14,4 16,6 18,9 23,2 27,2NH3 0,695 0,709 8,5 9,5 11,5 13,4 17,2 21,0Cl2 2,9 3,002 11,6 12,8 15,0 17,2 21,4 25,6H2 0,0809 0,0826 8,2 8,9 9,9 10,9 12,6 14,2CH4 0,647 0,659 9,5 10,5 12,2 13,8 16,4 18,7H2S 1,387 1,415 10,7 12,0 14,2 16,4

Index n für Technischer Normzustand; Index N für Physikalischer Normzustand

Tabelle 6-9. Dichte �[kg/m3] (Richtwerte) von Flüssigkeiten bei 15 ◦C und 1 bar.

Ether 730Alkohole

Methanol 790Ethanol 710

BenzineFlugbenzin 720Fahrzeugbenzin 735

Diesel 850Glyzerin 1260

MineralöleSpindelöl 900Maschinenöl 910Zylinderöl 930

Natronlaugemit 22% NaOH 1250mit 66% NaOH 1700

Organische ÖleOlivenöl 920Rizinusöl 960

Salpetersäuremit 70% HNO3 1420

Salzsäuremit 20% HCl 1100

Schwefelsäuremit 65% H2SO4 1600

Spiritus, 90 Vol-% 820Steinkohlenteeröl 1200Teeröl (allgemein) 1100Terpentinöl 860

454 6 Anhang

Tabelle 6-10. Mittlere Strömungsgeschwindigkeit cin Rohrleitungen (Richtwerte).

Medium, Leitung c in m/s

Wasser (Flüssigkeiten)Kürzere Leitungen 1 bis 5Längere Leitungen 0,5 bis 2Trinkwasser-Verteilungsnetze 1 bis 3Pumpen-Saugleitungen 0,8 bis 2Pumpen-Druckleitungen 1,5 bis 5Turbinen-Zuleitungen 2 bis 9

Öl – Pipeline 1 bis 3Luft (Gase)Bei niedrigen Drücken (Niederdruck) 10 bis 50Bei mittleren Drücken (Mitteldruck) 3 bis 30Bei hohen Drücken (Hochdruck) 3 bis 10Pressluft (Druckgas) 3 bis 25Stadtgas-Verteilungsnetze 0,5 bis 2,5Gas-Fernleitungen (Erdgas, H2 u. a.) 10 bis 60

Abgas 15 bis 30Rauchgas (Kamine)natürlicher Zug (Schwerkraft) 4 bis 6künstlicher Zug (Gebläse) 10 bis 16

WasserdampfSattdampf-Leitungen 15 bis 35Heißdampf-Leitungen

Dampf mit �≈ 0,025 m3/kg 30 bis 40�≈ 0,05 m3/kg 40 bis 60�≈ 0,1 m3/kg 60 bis 80�≈ 0,2 m3/kg 80 bis 150

oderDampf mit p = 1 bis 10 bar 15 bis 25

p =10 bis 40 bar 20 bis 40p =40 bis 120 bar 30 bis 60

Bemerkungen:Die Richtwerte gelten nur für Rohrleitungen mit gleich-mäßigem Durchsatz, also stationärer Strömung.Bei steigendem Rohrdurchmesser D und/oder sinkenderRauigkeit k kann, da D/k, bzw. D/ks größer und da-mit die Rohrreibungszahl λ (Bild 6-11) kleiner wird, dieStrömungsgeschwindigkeit c entsprechend höher sein.Richtwerte gemäß Abschnitt 4.1.1.3.5, optimaler Rohr-durchmesser.

Tabelle 6-11. Kritische REYNOLDS-Zahlen Rekrverschiedener Rohrleitungsteile.

Rohrsystemteil Rekr

Rohre 2300 bis 2400Konzentrische Spalte 1100 bis 1200Exzentrische Spalte 1000 bis 1100Konzentrische Spalte mit

Aussparung ≈ 700Exzentrische Spalte mit

Aussparung ≈ 400Krümmer 500 bis 1000Drehschieber, Hähne 500 bis 800Steuerschlitz mit Kolbenschieber 200 bis 300Ventile mit Flach- oder Kegelsitz 20 bis 100

Tabelle 6-12. Windgeschwindigkeit cLu (Wind-stärke-Skala nach BEAUFORT).B . . . BEAUFORT-Grad (Windstärke).

B cLu Wirkung[−] [m/s]

0 0 bis 0,29 Windstille1 0,3 bis 1,59 Leiser Zug2 1,6 bis 3,39 Leichter Wind3 3,4 bis 5,49 Schwacher Wind4 5,5 bis 7,99 Mäßiger Wind5 8,0 bis 10,79 Frischer Wind6 10,8 bis 13,89 Starker Wind7 13,9 bis 17,19 Steifer Wind8 17,2 bis 20,79 Stürmischer Wind9 20,8 bis 24,49 Leichter Sturm

10 24,5 bis 28,49 Voller Sturm11 28,5 bis 32,69 Schwerer Sturm12 32,7 bis 36,99 Schwacher Orkan13 37,0 bis 41,99 Leichter Orkan14 42,0 bis 46,19 Mittlerer Orkan15 46,2 bis 50,99 Kräftiger Orkan16 51,0 bis 55,99 Schwerer Orkan17 ≥ 56 Schwerster Orkan

Umrechnungs-Faustformel für BereichB = 2 bis 7: cLu ≈ (2,5 ·B−1)[m/s] (ca. Mittelwert)Bemerkungen:Windstärke 9 → Wirbelsturm (Zweige werden ge-knickt). Windstärke ≥ 12 → Hurrikan (Atlantik),Taifun (Westpazifik), Zyklon (Indischer Ozean). Zerstö-rende und verwüstende Wirkungen.

Tabelle 6-13. Menschliche Schallgrößen für Fre-quenzen von 18 bis 18 000 Hz.

Schallintensität Schalldruck

Hör- J0 = p0 =grenze 1 ·10−12 W/m2 20 ·10−6 Pa

Schmerz- JSG = pSG =grenze 1 W/m2 20 Pa

Schallpegel: LSL = lg(JSL/J0) = lg(pSL/p0)2 [B] mitJSL . . . vorhandene SchallintensitätpSL . . . vorhandener SchalldruckB . . . Bei (Einheit); dB . . . Dezibel. 10 dB = 1 B(abgeleitet von A. B. BELL, 1847 bis 1922)

An Hörgrenze L0 = lg(10−12/10−12) = lg1 = 0 BAn Schmerzgrenze LSG = lg(1/10−12) = 12 B = 120 dB

Menschliches Empfinden:Geräusch . . . Schallgemisch verschiedener FrequenzenLärm . . . starkes Geräusch, das stört und evtl. schädigt(> 85 dB gehörschädigend; > 120 dB gehörzerstörend)Lärmpegel über 90 dB führen schon nach 2 bis 4 Stun-den Einwirkdauer zu irreversiblen, d. h. nicht heilbarenGehörschäden. Unter 85 dB erfolgt keine Schädigung.


Tabelle 6-14. Rauigkeitswerte von Rohren und Kanälen (Anhaltswerte für die absolute Rauheit k).

Rohrart, Werkstoffe Zustand k in mm

Neue gezogene oder gepresste Rohre ausNichteisenmetall, Glas, Kunststoff:

Hochwertige technisch glatt 0,001 bis 0,0015Handelsübliche 0,0015 bis 0,007

Neue Gummi-Druckschläuche technisch glatt ≈ 0,0016

Neue Stahlrohre: Nahtlos gewalzt oder gezogen Walzhaut 0,02 bis 0,06ungeheizt 0,02 bis 0,06gebeizt 0,02 bis 0,05enge Rohre bis 0,01rostfrei 0,08 bis 0,09

Aus Blech geformt und längsgeschweißt Walzhaut u. Schweißnaht 0,04 bis 0,10Mit Überzug Metallspritzung 0,08 bis 0,09

sauber verzinkt 0,07 bis 0,10handelsüblich verzinkt 0,1 bis 0,16bitumiert 0,02 bis 0,05zementiert ≈ 0,18galvanisiert ≈ 0,008

Gebrauchte Stahlrohre leicht angerostet ≈ 0,15mäßig angerostet 0,15 bis 0,4leicht verkrustet 0,15 bis 0,4mäßig verkrustet ≈ 1,5stark verkrustet 2,0 bis 4,0gereinigt 0,15 bis 0,20mehrjähriger Betrieb ≈ 0,5

Neue Gussrohre (Grauguss, Temperguss) Gusshaut 0,2 bis 0,6bitumiert 0,1 bis 0,13

Gebrauchte Gussrohre leicht angerostet 0,3 bis 0,8mäßig angerostet 1,0 bis 1,5stark angerostet 2 bis 5verkrustet 1,5 bis 4gereinigt 0,3 bis 1,5

Neue Steinzeugrohre (gebrannter Ton) 0,1 bis 0,8

Neue Zementrohre (z. B. Eternitrohre) 0,03 bis 0,2

Neue Betonrohre und -kanäle Glattstrich 0,3 bis 0,8geglättet (mittelrau) 1,0 bis 2,0sorgfältig geglättet 0,1 bis 0,15ungeglättet (rau) 2,0 bis 3,0geschleudert (glatt) 0,2 bis 0,7Rohrstrecken ohne Stöße ≈ 0,2Rohrstrecken mit Stöße ≈ 2,0

Gebrauchte Betonrohre und -kanäle (Wasser-Betrieb) mehrjähriger Betrieb 0,2 bis 0,3

Holzrohre und -kanäle glatt (neu) 0,2 bis 0,9rau (neu) 1,0 bis 2,5nach langem Betrieb ≈ 0,1

Backsteinkanäle Mauerwerk gut gefugt 1,2 bis 2,5

Bruchstein unbearbeitet 8 bis 15Mauerwerk bearbeitet 1,5 bis 3,0

Bei technisch erzeugten Rohren und gleichmäßigen Flächen gilt: ks ≈ (1 bis 1,6) · k. Vgl. Bild 6-44. k = Rt .

456 6 AnhangTa

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Tabelle 6-16. Widerstandszahlen ζW von Kugeln, Kreiszylindern und Kreisscheiben jeweils mitDurchmesser D, abhängig von REYNOLDS-Zahl Re∞.

REYNOLDS-Zahl ζW von

Re∞ =c∞ ·Dν

Kugel Kreiszylinder Kreisscheibe(quer angeströmt, L → ∞) (quer angeströmt)

1 ·10−1 = 0,1 250 60 250

5 ·10−1 = 0,5 50 171 ·100 = 1 30 10 25

5 ·100 = 5 7 3,81 ·101 = 10 4,5 3 4

5 ·101 = 50 1,7 1,61 ·102 = 100 1,2 1,5 1,5

5 ·102 = 500 0,6 1,31 ·103 = 1000 0,5 1 1,2

5 ·103 0,4 1 �1 ·104 0,4 1,3

5 ·104 0,5 1,31 ·105 0,45 1,3

2 ·105 0,4 1,23 ·105 0,1 1,04 ·105 0,09 0,85 ·105 0,09 0,36 ·105 0,1 0,338 ·105 0,13 0,35 �1 ·106 0,15 0,38 1,2

Bemerkung: Hinweis auf Bild 6-45

(Tabelle 6-17 siehe Seite 458 und 459)

Tabelle 6-18. Anstellwinkel δ und Gleitzahl ε sowie Gleitwinkel γ verschiedener Körper (Anhaltswerte) mitSeitenverhältnis λ gemäß (4-299).

Umströmter Körper Anstellwinkel Gleitzahl Gleitwinkelδ ε γ = arctanε

Ebene Platte 4◦ 0,5 27◦(λ = 0,17)Gewölbte Platte 4◦ 0,1 6◦(λ = 0,2, f /L = 0,04)Tragflügel 4◦ 0,02 bis 0,07 1◦ bis 4◦

458 6 Anhang

Tabelle 6-17. Widerstandszahlen ζW (bzw. CW) von Fahrzeugen (Richtwerte).

Fahrzeugart Stirnfläche Widerstandsbeiwerte ζW

ASt [m2] derzeit erreichbar

1. PKW:1.1 Ältere Form 0,6 bis 0,45

z. B. VW-Käfer 1,80 0,481.2 Ponton-Form (Mittelklasse-Wagen) 0,48 bis 0,40 0,241.3 Stromlinien-Form (windschnittig) 0,35 bis 0,24 0,20 bis 0,15

z. B. VW – Polo 2,06 0,30– Golf V 2,22 0,32– Jetta 2,20 0,31– Eos 2,16 0,33– Passat 2,25 0,29– Passat-Variant 2,29 0,30– Phaeton 2,35 0,31

OPEL – Corsa 2,13 0,30– Astra 2,10 0,32– Astra Twin Top 2,06 0,32– Vectra 2,18 0,29

AUDI – A2 1,98 0,25– A4 2,14 0,29– A6 2,05 0,30– A8 2,31 0,27

MERCEDES – A-Klasse 2,03 0,31– B-Klasse 2,43 0,31– C-Klasse 2,00 0,26– E-Klasse 2,17 0,27– S-Klasse 2,40 0,26

FORD – Fiesta 1,92 0,31– Focus 2,25 0,31– Focus C-Max 2,45 0,31– Mondeo 2,13 0,31– Cougar 1,96 0,31

BMW – 118 2,09 0,30– 316 und M 1,88 0,32– 320 2,11 0,28– 320 Touring 2,11 0,29– 525 2,12 0,28– 7er 2,38 0,29– X3 2.0d 2,50 0,35

SAAB – 9000 E 2,05 0,34VOLVO – C 30 2,18 0,31

– S 80 2,34 0,29– Experimental Hybrid

(Gasturbine, 70 kW; 90 000 min−1 2,00 0,23+ Elektromotor + Batterie)

JAGUAR – XJ 6 2,35 0,31FIAT – Punto 2,01 0,34PEUGEOT – 207 2,10 0,31

– 407 2,23 0,29CITROËN – C 6 2,37 0,31RENAULT – Clio 2,12 0,34


Tabelle 6-17. (Fortsetzung)

Fahrzeugart Stirnfläche Widerstandsbeiwerte ζW

ASt [m2] derzeit erreichbar

1.4 Offene Form (Kabriolett) 0,6 bis 0,3z. B. OPEL-Astra geschlossen 1,94 0,33

offen 1,86 0,42VW-Golf geschlossen 2,06 0,36

offen 2,01 0,421.5 Sport-Form 0,35 bis 0,22 0,17

z. B. PORSCHE – 911 1,98 0,31– 959 1,92 0,31– 968 1,88 0,34

AUDI – TT 2,09 0,30FERRARI – F40 1,90 0,34

1.6 Rennfahrzeug (Formel 1)1 1,5 . . . 0,91.7 Kombi-Form (ζW-Wert ca. 10 bis 15% 1,8 bis 2,2 0,40 bis 0,30 0,25

höher als bei Limousine)2. Motorräder – unverkleidet ohne Fahrer 0,75 bis 0,65

– verkleidet ohne Fahrer 0,45 bis 0,35– mit Fahrer bis ca. 2,5-mal größer

3. LKW – Lastzug ohne Anhänger• ohne Luftleitbleche 0,8 bis 0,6 0,5• mit Luftleitblechen 0,65 bis 0,45 0,35

– Lastzug mit Anhänger 1,0 bis 0,7 0,5– Sattelzug 0,9 bis 0,65 0,45

4. Omnibus 0,6 bis 0,5 0,355. Lokomotiven – Diesel 0,6 bis 0,5 0,35

– Elektro 0,5 bis 0,4 0,32– Zug ICE (Triebkopf) 0,23

6. Stromlinienkörper (zum Vergleich) 0,08 bis 0,051 Abtriebskraft durch Heckflügel ca. 10 . . . 14 kN wegen notwendiger Bodenhaftung (Fahrzeugmasse ca. 600 kg).

Kurven-Querbeschleunigung ca. 3g bis 4g wegen Fliehkraftwirkung.Bemerkung: Weltrekordfahrzeug 1239,8 km/h (Überschall). Dazu notwendige Antriebsleistung ca. 75 000 kW

durch zwei Turbinentriebwerke.

(Tabelle 6-18 siehe Seite 457)

460 6 Anhang

Tabelle 6-18a. Griechisches Alphabet.

A α a Alpha N ν n NyB β b Beta Ξ ξ (x) KsiΓ γ g Gamma O o o OmikronΔ δ d Delta Π π p PiE ε e Epsilon P � r RhoZ ζ (z) Zeta Σ σ s SigmaH η e Eta T τ t TauΘ ϑ th Theta ϒ υ y YpsilonI ι i Iota Φ ϕ ph PhiK κ k Kappa X χ ch ChiΛ λ l Lambda Ψ ψ ps PsiM μ m My Ω ω o Omega

Tabelle 6-18b. Römische Ziffern (Zahlen).

I = 1 IX = 9 LXXX = 80 DC = 600II = 2 X = 10 XC = 90 DCC = 700

III = 3 XX = 20 IC = 99 DCCC = 800IV = 4 XXX = 30 C = 100 CM = 900V = 5 XL = 40 CC = 200 XM = 990

VI = 6 L = 50 CCC = 300 IM = 999VII = 7 LX = 60 CD = 400 M = 1000

VIII = 8 LXX = 70 D = 500 MI = 1001

Tabelle 6-19. Thermische Stoffgrößen κ und R.

Isentropenexponent κ

Nach der kinetischen Gastheorie gilt für ideale Gase: κ = (2+ f )/ f .

Hierbei ist f die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade der Teilchen (Atome bzw. Moleküle).Die Teilchen werden dabei als starre Verbindungen der Atome betrachtet.

Nach der Beziehung ergeben sich für:Einatomige Moleküle, d. h. Atome (z. B. He, Ar): f = 3 → κ = 5/3 = 1,66

Zweiatomige Moleküle (z. B. Luft, H2, N2, O2): f = 5 → κ = 7/5 = 1,40

(Hantelmodell mit 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgraden, also f = 5)

Mehratomige Moleküle (z. B. H2O-Dampf, CH4, NH3): f = 6 → κ = 8/6 = 1,33 . . .1,30

Wasserdampf Heißdampf (TDa > TSi und x = 1) κ = 1,30Sattdampf (TDa = TSi und x = 1) κ = 1,135Nassdampf (TDa = TSi und x < 1) κ = 1,035+0,1 · x (nach ZEUNER)

Mit TDa . . . DampftemperaturTSi . . . Siedetemperatur, abhängig vom Druck p; TSi = F(p)x . . . Dampfgehalt (0 < x ≤ 1)

Gaskonstante R Universelle oder absolute Gaskonstante: R = 8315 [J/(kmol ·K)](Bezogene) Gaskonstante: R = R/M mit M[kg/kmol] . . . Molmasse.


Tabelle 6-20. Stoffwerte verschiedener Gase (Dämpfe), Bezugsdruck 1 bar.

Fluid Atom- M Bezugs- � cp cv R κ ld 106 ·ν Δcp/ΔpBenennung Chem. zahl kg temp. t J J J – kJ/kg m2/s J/(kg·K)

Symbol kmol ◦C kg/m3 kg ·K kg ·K kg ·K bar

Anorganische Gase (Dämpfe)Helium He 1 4,003 20 0,1751 5238 3160 2078 1,66 20,9 104,2Argon Ar 1 39,944 20 1,364 524 316 208 1,66 157,4 16,1Wasserstoff H2 2 2,016 50 0,0720 14 244 10 120 4124 1,40 460,6 128 1,28Stickstoff N2 2 28,016 0 1,2272 1039 742 297 1,40 199,3 13,3 2,13Sauerstoff O2 2 32,000 20 1,3136 915 655 260 1,40 21,4 18,4 2,56Luft – 2 28,964 20 1,1890 1005 718 287 1,40 196,8 15,1 1,71Kohlen- CO 2 28,010 0 1,1463 1051 754 297 1,40 216,1 13,3 2,56monoxidStickoxid NO 2 30,008 0 1,1315 996 719 277 1,40 460,6 13,4Kohlendioxid CO2 3 44,010 50 1,5852 819 630 189 1,30 531,8 10,0 9,36Wasserdampf H2O 3 18,016 100 0,5796 2135 1674 461 1,30 2257,2 22,1(Heißdampf)

Organische Gase (Dämpfe)Azetylen C2H2 4 26,036 100 1,1487 1641 1321 320 1,25 80,4 8,2 19,2Methan CH4 5 16,042 20 0,6440 2156 1637 519 1,32 548,5 10,8 8,54Ethan C2H6 8 30,068 0 2,011 1667 1390 277 1,20 540,1 4,19

KältemittelAmmoniak NH3 4 16,042 100 0,530 2230 1742 488 1,31 1369,2 24,1

Freone (bei Sättigungsdruck)Freon 11 CFCl3 5 137,38 0 2,43 540 478 62 1,13 181,7 4,1(R 11)Freon l3 CF3Cl 5 104,47 0 131,5 620 530 90 1,17 146,6 0,1(R 13)

Anmerkungen: Δcp in J/(kg · K), Änderungen von cp, bezogen auf die Druckänderung Δp in bar. Kennzeichnet dasthermodynamische Realgasverhalten.ld . . . Kondensations- bzw. Verdampfungswärme (latente Wärme)R ≈ konst;cp ≈ konst;cv ≈ konst bei p ≤ 50 bar und T > TSi mit TSi . . . Siedetemperaturspezifische Wärmekapazität von Wasser cWa = 4186,66 ≈ 4187 J/(kg·K).Da dq = du+ p · d�= dh− � · dp (1. Hauptsatz der Thermodynamik) ist bei Druck p = konst, alsodp = 0, dann dq = dh und deshalb nach Integration, wenn cp ≈ konst: q = Δh = cp ·Δt die sog.fühlbare Wärme.

462 6 Anhang

Tabelle 6-21. Zusammenstellung wichtiger vektoranalytischer Rechenoperationen, Matrix-Symbole undTransporttheorem in kartesischen Koordinaten x, y, z.Vektoroperationen:

�e;�ex;�ey;�ez Einheitsvektoren in der Vektorrichtungund den Koordinaten-Richtungen.

|�e| = |�ex| = |�ey| = |�ez| = 1

= e = ex = ey = ez

�nx =�e · cosαx Richtungscosinus des Einheitsvektors�ein der x-Richtung:

|�nx| = nx = |�e| · cosαx = cosαx ≤ 1

Entsprechend in den anderen Richtun-gen y und z mit Winkel αy und αz jezwischen Vektor und zugehöriger Ko-ordinatenrichtung.

C = �A ·�B Skalarprodukt C (Skalar) der beidenVektoren �A und �B

C = �A ·�B = |�A| · |�B| · cos(�A;�B)

= {Ax Ay Az} ·{

BxByBz

}

= Ax ·Bx +Ay ·By +Az ·Bz

(�A;�B) . . . eingeschlossener Winkelzwischen den beiden Vektoren �A und �B

�C = �A×�B Vektorprodukt �C (Vektor) der beidenVektoren �A und �B (Kennzeichen ×).Vektor �C steht senkrecht auf der durchdie beiden Ausgangs-Vektoren �A und �Baufgespannten Ebene und ist im Sinneeiner Schraubenlängsbewegung gerich-tet, wenn Vektor �A nach Vektor �B ge-dreht wird.

�C = �A×�B =

∣∣∣∣∣∣

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Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣=�ex · (Ay ·Bz −By ·Az)−�ey · (Ax ·Bz −Bx ·Az)+�ez · (Ax ·By −Bx ·Ay)

|�C| = |�A×�B| = A ·B · sin(�A;�B)

∇ . . . Nabla- oder HAMILTON1-Operator (formaleroder symbolischer Vektor → Vektoroperator)

∇ =�ex · ∂∂x

+�ey · ∂∂y

+�ez · ∂∂ z

Gradient:

grad F = ∇F

=(�ex · ∂

∂x+�ey · ∂

∂y+�ez · ∂

∂ z

)F

=�ex · ∂F∂x

+�ey · ∂F∂y

+�ez · ∂F∂ z

Gradient der skalaren Funktion F . Ist ein Vektor,der auf den Flächen F = konst senkrecht steht.

Divergenz:

div�c = ∇ ·�c ={

∂∂x

∂∂y

∂∂ z

}·{

cxcycz

}

=∂cx

∂x+

∂cy

∂y+

∂cz

∂ z

Grenzwert vom Durchfluss des Vektors �c übereine geschlossene Oberfläche auf das gegen nullkonvergierende, hiervon umschlossene Volumenbezogen, gemäß GAUSS-Satz (3-28).

Rotor:

rot�c = ∇×�c =

∣∣∣∣∣∣

�ex �ey �ez∂∂x

∂∂y

∂∂ z

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣

=�ex ·(∂cz

∂y− ∂cy

∂ z

)−�ey ·

(∂cz

∂x− ∂cx

∂ z

)

+�ez ·(∂cy

∂x− ∂cx

∂y

)

Grenzwert des Linienintegrals (Zirkulation,(4-232)) von Vektor �c längs einer geschlosse-nen Linie, auf die gegen null konvergierende,hiervon umschlossene Fläche bezogen, gemäßSTOKES-Satz (4-238). Falls Vektor �c eine Ge-schwindigkeit, ist rot �c gleich dem Zweifachender zugehörigen Winkelgeschwindigkeit �ω desFluidbereiches (3-22).

Δ . . . LAPLACE- oder Delta-Operator (formaler odersymbolischer Skalar → Skalaroperator)

Δ = div(grad) = ∇(∇ )Δ = ∇(∇ )

=∂∂x

(∂∂x

)+

∂∂y

(∂∂y

)+

∂∂ z

(∂∂ z

)

=∂ 2

∂x2 +∂ 2

∂y2 +∂ 2

∂ z2

Aussprache: Nabla von Nabla

1) HAMILTON, Rowan (1805 bis 1865), engl. Mathematiker


Tabelle 6-21. (Fortsetzung)

Beispiel:

Δφ =(∂ 2

∂x2 +∂ 2

∂y2 +∂ 2

∂ z2

)φ

=∂ 2φ∂x2 +

∂ 2φ∂y2 +

∂ 2φ∂ z2

Unterschied:

∇2 = ∇ ·∇ =

(∂∂x

∂∂y

∂∂ z

)·(∂ /∂x∂ /∂y∂ /∂ z

)

=(∂∂x

)2

+(∂∂y

)2

+(∂∂ z

)2

Aussprache: Nabla mal Nabla

Δ�a = (Δax) ·�ex +(Δay) ·�ey +(Δaz) ·�ez

Matrizen-Symbole:m⎡

⎢⎢⎢⎣

a11 a12 a13 a14 a15∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣∣∣∣∣

a21 a22 a23 a24 a25∣∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a31 a32 a33 a34 a35

⎤⎥⎥⎥⎦

∣∣∣∣∣∣∣∣∣n

Matrix:n Zeilen

(Erst-Index)m Spalten

(Zweit-Index)Nebendiagonale Hauptdiagonale{a1a2a3

}Vektor (Spaltenmatrixoder Spaltenvektor)

{a1a2a3

}T

= {a1 a2 a3}Transponierter Vektor(Zeilenmatrix oder Zeilen-vektor) Zur Unterscheidungvom Spaltenvektor werdenoft auch eckige Klammernverwendet.

( )Allgemeines Symbol für Matrizen,z. B. oft bei Matrix-Gleichungenverwendet. Verschiedentlich werdenhierfür jedoch auch eckige Klammerbenützt.{ }Allgemeines Vektorsymbol

Vektor . . . Matrixsonderform (Spalten- oder Zei-lenmatrix)

Übermatrix . . . Elemente der Matrix sind selbst wie-der Matrizen.

Bandmatrix . . . Matrix, bei der nur die Stellen (Ele-mente) um die Hauptdiagonale mitZahlen ungleich null besetzt sind.Bandbreite bezeichnet dabei die An-zahl der Reihen mit von null verschie-denen Elementen.

Schreibweise: Vektoren �a;�b . . . oder a; b . . .

Matrizen, Tensoren ��A; ��B . . .oder A; B . . .

SymmetrischeMatrizen: Diese sind gekennzeichnet durch die

Symmetrie ihrer Glieder zur Haupt-diagonalen, also bei m = n (Spalten-Anzahl = Zeilen-Anzahl), z. B. für m =n = 4:

a21 = a12; a31 = a13 a32 = a23a41 = a14; a42 = a24 a43 = a34

FALKsches Matrix-Multiplikationsschema Symbo-lisch dargestellte Matrizenduplikation

A ·B = C oder ��A ·��B = ��C

Hinweis: Unterstrich häufig Kennzeichen für Matrix

A (p,n)-Matrix; n Zeilen, p SpaltenB (p,m)-Matrix; p Zeilen, m SpaltenC (n,m)-Matrix; n Zeilen, m Spalten

Multiplikation nur möglich, wenn Spalten-Anzahl vonMatrix A mit Zeilen-Anzahl von Matrix B überein-stimmt.Multiplikationsablauf: Erste Zeile von A gliedweisemultipliziert mit erster Spalte von B ergibt dann addierterstes Glied von Ergebnis-Matrix C. Entsprechend dieanderen C-Glieder (ci j).

Tensor-Operator ⊗:

�A⊗�B =

⎧⎨⎩

AxAyAz

⎫⎬⎭ ·{Bx By Bz

}

=

⎛⎝

Ax ·Bx Ax ·By Ax ·BzAy ·Bx Ay ·By Ay ·BzAz ·Bx Az ·By Az ·Bz

⎞⎠

Hinweis auf Unterschied zu Skalarprodukt.

464 6 Anhang

Tabelle 6-21. (Fortsetzung)TransporttheoremDas vollständige Differenzial nach der Zeit t einer tran-sienten Feldgröße Θ wird in der EULER-Darstellungauch als Transporttheorem bezeichnet:

Θ = f (�s, t) = F(x,y, z, t)Dazu vollständiges oder totales Differenzial:

dΘ =∂Θ∂x

· dx+∂Θ∂y

· dy+∂Θ∂ z

· dz+∂Θ∂ t

· dt

Unter Verwenden von

Gradienten ∇Θ =gradΘ =∂Θ∂x

·�ex+∂Θ∂y

·�ey+∂Θ∂ z

·�ez

Wegvektor d�s = dx ·�ex + dy ·�ey + dz ·�ez

kann auch mit Hilfe des Skalarproduktes geschriebenwerden:

dΘ = d�s ·∇Θ +∂Θ∂ t

· dt

mit d�s ·∇Θ = {dx dy dz} ·⎧⎨⎩

∂Θ/∂x∂Θ/∂y∂Θ/∂ z

⎫⎬⎭

= dx · ∂Θ∂x

+ dy · ∂Θ∂y

+ dz · ∂Θ∂ z

Oder in Indexschreibweise mit xi = x;y; z:

dΘ = dxi · ∂Θ∂xi+

∂Θ∂ t

· dt

Die Differenziation nach der Zeit t ergibt letztlich:

dΘdt

=dxdt

· ∂Θ∂x

+dydt

· ∂Θ∂y

+dzdt

· ∂Θ∂ z

+∂Θ∂ t

= cx · ∂Θ∂x+ cy · ∂Θ∂y

+ cz · ∂Θ∂ z+

∂Θ∂ t

Entsprechend wieder in Vektoranalysis-Darstellung:

dΘdt

=�c ·∇Θ +∂Θ∂ t

Oder wieder in Indexschreibweise mit xi = x;y; z:

dΘdt

= ci · ∂Θ∂xi+

∂Θ∂ t

Das Transporttheorem dΘ/dt wird, um Verwechslun-gen mit ∂Θ/∂ t zu vermeiden, vielfach auch als DΘ/Dtgeschrieben.

Wenn die Feldgröße Θ kein Skalar, sondern ein Vektorist, ergeben sich die drei Komponenten-GleichungendΘ i/dt , bzw. DΘ i/Dt mit i = x;y; z für das Transport-theorem. Der Skalar-Term �c ·∇Θ führt auch die Be-nennung konvektive Ableitung von Feldgröße Θ und∂Θ/∂ t lokale Ableitung.

Tabelle 6-22. Koordinatentransformationen (→ bedeutet Umwandlung in).

(x;y) → (t;n)

t = a1 +a2 = x · cosϕ + y · sinϕn = b1 −b2 = y · cosϕ− x · sinϕweshalb analog:dt = dx · cosϕ + dy · sinϕdn = dy · cosϕ + dx · sinϕ

(n; t) → (x;y)

x = a3 −a4 = t · cosϕ−n · sinϕy = b3 +b4 = t · sinϕ +n · cosϕweshalb analog:dx = dt · cosϕ− dn · sinϕdy = dt · sinϕ + dn · cosϕ


Bild 6-1. Dynamische Viskosität η von Wasser, ab-hängig von Temperatur t und Druck p (Parameter).

Bild 6-2. Kinematische Viskosität ν und Dichte �von Wasser, abhängig von Temperatur t und Druck p.

Bild 6-3. Viskositätsbereiche der SAE-Klassen für Getriebeöle (DIN 51512) und Motorenöle (DIN 51511).Dabei gilt: Je größer die Zahl der SAE-Klasse, desto höher die Viskosität des betreffenden Öles.

466 6 Anhang

Bild 6-4. Dynamische Viskosität η[Pa · s] von Fluiden (Flüssigkeiten und Gasen), abhängig von der Tempe-ratur t[◦C] bei 1 bar Druck.


Bild 6-5. Dynamische Viskosität von Luft, abhängig von der Temperatur, η = f (t), bei 1 bar Druck.

Bild 6-6. Dynamische Viskosität η [Pa · s] von Gasen, abhängig von der Temperatur t [◦C] bei 1 bar Druck.

Bild 6-7. Dynamische Viskosität η [Pa · s] von Wasserdampf, abhängig von Temperatur t und Druck p.

468 6 Anhang

Bild 6-8. Kinematische Viskosität ν in m2/s von Fluiden (Flüssigkeiten und Gasen), abhängig von derTemperatur t in ◦C und dem bei den Gasen aufgeführten Druck.


Bild 6-9. Kinematische Viskosität ν [m2/s] von Gasen, abhängig von Temperatur t [◦C] und Druck p [Pa].ν = (p ·ν)/p [(Pa ·m2/s)/Pa = m2/s] mit dem zugehörigen Fluiddruck p [Pa].

470 6 Anhang

Bild 6-10. Kinematische Viskosität ν [m2/s] von Wasserdampf, abhängig von Temperatur t [◦C] (Abszisse)und Druck p [bar] (Parameter).


Bil

d6-

11.

Wid

erst

ands

diag

ram

mna

chM

OO

DY

und

CO

LE

BR

OO

K,s

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nann

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oder

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LE

BR

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San

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sR

ohre

sal

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ram

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lbau

chal

sR

ohrr

eibu

ngsz

ahl-

Dia

gram

mbe

zeic

hnet→

λ=

f(R

e,D

/ks)

.

472 6 Anhang

Bild 6-12. Widerstandsziffern ζ von glatten 90◦-Kreisrohrkrümmern für verschiedene Krümmungs-verhältnisse R/D, abhängig von der Re-Zahl, nachHOFMANN (Cu-Zn-Sn-Legierung, sorgfältig glatt).

Bild 6-14. Widerstandsziffern ζ von glatten undrauen 90◦-Kreisrohrkrümmern, abhängig vomKrümmungsverhältnis R/D, nach HOFMANN beiREYNOLDSzahl Re ≥ 2250 (auch Bild 4-15).

Bild 6-13. Widerstandsziffern ζ von rauen 90◦-Kreisrohrkrümmern für verschiedene Krümmungs-verhältnisse R/D, abhängig von der Re-Zahl, nachHOFMANN (Sandrauigkeit ks ≤ 0,25 mm).

Bild 6-15. Widerstandsziffern ζ von 90◦-Kreisrohr-Stahlkrümmern für verschiedene Krümmungsver-hältnisse R/D, abhängig von der Re-Zahl bei einerAblaufstrecke 50 ·D (GREGORIG).


Bild 6-16. Widerstandszahlen ζ von 90◦-Kreis-rohr-Stahlkrümmern mit KrümmungsverhältnisR/D = 2,24 und verschiedenen Ablaufstrecken(GREGORIG).


Bild 6-17. Widerstandszahlen ζ von 90 ◦-Kreis-rohr-Stahlkrümmern mit KrümmungsverhältnisR/D = 4,48 und verschiedenen Ablaufstrecken(GREGORIG).


474 6 Anhang


A . . . Gesamtfläche; A1 . . . freie Gitterfläche;c . . . Zuströmgeschwindigkeit in Querschnitt A.Handelsüblich: Lückengrad β = A1/A = 0,5, entsprichtdem Öffnungsverhältnis m gemäß (4-66a),Drahtgeflechtgitter: Tabellenwerte etwa halbierenVogelschutzgitter: β = A1/A = 0,8 für Gitter

20�/ ×2 mm und 10�/ ×1 mmc1 = c · A/A1 = c/(A1/A) = c/β Strömungsgeschwin-digkeit im Gitterquerschnitt A′

1, bzw. A1 = n · A′1 mit

n Anzahl der Öffnungen (Durchgänge, Löcher).Druckverlust ΔpV =�·YV =�·ζ ·c2

1/2=�·(ζ/β 2)·(c2/2)

Bild 6-22. Widerstandszahlen ζ von Lochblechgit-tern (Richtwerte).

Bild 6-21. Widerstandsbeiwerte ζ der Norm-Drosselgeräte.B Blende, D Düse, V Venturi-Düse kurz

Bild 6-23. Widerstandsbeiwerte ζ von technischglatten Kreisrohr-Krümmern, abhängig vom Um-lenkwinkel δ bei verschiedenen Krümmungsverhält-nissen R/D als Parameter (WASIELEWSKI).


Bild 6-24. Widerstandsbeiwerte ζ von Grauguss-Krümmern (rau) mit δ = 90◦ und Krümmungsver-hältnis R/NW = 3 bis 5 (Richtwerte). NW . . . Nenn-weite, d. h. bei normaler (üblicher) Wanddicke lichterDurchmesser in mm (Tabelle 6-3).

Bild 6-27. Widerstandszahlen ζ von üblich rauen90◦-Rechteckrohr-Krümmern.

Bild 6-25. Widerstandsbeiwerte ζ von rauen Stahl-Krümmern mit δ = 90◦ (Richtwerte).

Bild 6-28. Widerstandszahlen ζ von rauen, scharf-kantigen Kniestücken (THOMA).

Bild 6-26. Widerstandsbeiwerte ζ von rauenSegment-Krümmern (Richtwerte).

Bild 6-29. Widerstandszahlen ζ von zusammen-gesetzten Abknickungen (rau).

476 6 Anhang

Bild 6-30. Widerstandszahlen ζ von rauen T-Ver-zweigungsstücken.

Bild 6-33. Widerstandszahlen ζ von rauen, abge-winkelten Hosenrohren, abhängig vom Ablenkungs-winkel δ .

Bild 6-31. Widerstandszahlen ζ von rauenTrennungs-Abzweigstücken:————– ζa für Abzweigungsweg (Seitenweg)– – – – – – ζd für Durchgangsweg (Hauptweg).

Bild 6-34. Widerstandszahlen ζ von rauen,gekrümmten Hosenrohren mit dem Ablenkungswin-kel von δ = 60◦.

Bild 6-32. Widerstandszahlen ζ von rauenVereinigungs-Abzweigstücken:————– ζa für Abzweigungsweg (Seitenweg)– – – – – – ζd für Durchgangsweg (Hauptweg).

Bild 6-35. Widerstandszahlen ζ von rauen Deh-nungsausgleichern (Kompensatoren).


Bild 6-36. Widerstandsbeiwerte ζ von rauen,stetigen Querschnittsverengungen (Düsen) in Ab-hängigkeit von D1/D2 (Kehrwert des Durchmesser-Verengungsverhältnisses) für verschiedene Veren-gungswinkel δ als Parameter (RICHTER).

Bild 6-37. Widerstandsbeiwerte ζ von rauen,stetigen Querschnittserweiterungen (Diffusoren)in Abhängigkeit vom Durchmesser-Erweiterungs-verhältnis D2/D1 für verschiedene Erweiterungs-winkel δ als Parameter (RICHTER).

Bild 6-38. Widerstandsbeiwerte ζ von Kreisrohrkrümmern mit δ = 90◦, R/D = 4 und verschiedenen inver-sen relativen Rauigkeiten D/ks als Parameter-Kurven in Abhängigkeit von der Re-Zahl.

478 6 Anhang

Bild 6-39. Durchflusszahlen α von Normblenden und Normdüsen nach DIN 1952 mit Abszisse REYNOLDS-Zahl Re ≡ Re1 = c1 ·D1/ν1 und als Parameter das Öffnungsverhältnis m = A2/A1, gemäß Bild 4-31.


Bild 6-40. Expansionszahlen ε von Norm-Blenden und Norm-Düsen nach DIN 1952 für Wasserdampf(Heißdampf κ = 1,31), abhängig vom Wirkdruck ΔpWi, dem absoluten Zuströmdruck p1 und dem Öffnungs-verhältnis m = A2/A1.

Bild 6-41. Expansionszahlen ε von Norm-Blenden nach DIN 1952 für Luft (κ = 1,4) und Industriega-se (κ = 1,38), abhängig vom Wirkdruck ΔpWi mit Parametern, dem absoluten Zuströmdruck p1 und demÖffnungsverhältnis m = A2/A1.

480 6 Anhang

Bild 6-42. Widerstandszahlen ζW, R inkompressibel längs angeströmter ebener Platten, abhängig von derREYNOLDS-Zahl Re = c∞ ·L/ν für verschiedene relative Sandrauigkeiten ks/L (nach (4-112)).

Bild 6-43. Zulässige Rauigkeitshöhe kzul für längsangeströmte raue Platten und Profile, abhängig von derREYNOLDS-Zahl Re = c∞ ·L/ν für verschiedene Körperlängen L (Parameter) nach (4-114).


Bild 6-44. Technisch erreichbare Rauigkeiten k bei Flächen, abhängig von der Herstellung (Bearbeitung).Hinweis: k entspricht Rt bzw. Rz gemäß DIN 4760, bzw. DIN 4762. Also k ≡ Rt.

Bild 6-45. Diagramm zu Tabelle 6-16. Widerstandsbeiwert ζ von Kugel, Kreiszylinder und Kreisschei-be, abhängig von der auf den Durchmesser D und die ungestörte Anströmgeschwindigkeit c∞ bezogenenREYNOLDS-Zahl Re∞ = c∞ ·D/ν . Bis etwa Re = 60 keine Strömungsablösung auf der Leeseite (Rückseite)und deshalb keine Wirbelbildung bei Kreiszylinder und oft auch Kugel. Hinweis auf Bild 4-119.

Kreiszylinder oder Quader längs, d. h. stirnseitig in Achsrichtung angeströmt:

L/D 1 2 3 4ζW 0,91 0,85 0,87 0,99

L . . . Körperlänge in StrömungsrichtungD . . . Durchmesser bzw. Seitenkantenmaß

Bemerkung: Gemäß Versuchen fällt ζW bis etwa L/D = 2 ab, weil der Druck stärker zurückgeht, als der Reibungs-widerstand ansteigt. Anschließend, d. h. ab L/D > 2, ist es umgekehrt. Der Reibungswiderstand steigt jetzt stärkeran als der Druckwiderstand abfällt.Faustregel: Bei stumpfen Körpern ist der Reibungswiderstand um etwa eine Größenordnung (10-fach), also umeine Dekade kleiner als der Druckwiderstand.

482 6 Anhang

Bild 6-46. Widerstandsbeiwerte ζW von Widerstands- und Profilkörpern. Widerstandskörper Re = D ·c∞/ν;Stromlinienkörper Re = L · c∞/ν .


Bild 6-47. Tragflügel-Profil G 387 (Λ → ∞,Re ≥ 5 ·105), Profilwerte, Polaren.

Da Λ →∞ bei Profilwerten oft Zusatzindex ∞ beigefügt,also ζA,∞; ζW,∞; ζM,∞; ε∞; δ∞.a) Profilkonturb) Profilmaße (Profiltabelle).

Da Göttinger-Profil ist Profiltangente Bezugslinie.

c) Polarendiagramm nach LILIENTHAL

ζW-Linie: ζA = f (ζW) mit Parameter δ und zugehö-riger ζM-Linie: ζA = f (ζM)

d) Aufgelöstes Polarendiagramm.Linien ζA, ζW, ζM, als Funktion von δ .

484 6 Anhang

Bild 6-48. (h,s)-Diagramm (Ausschnitt) für Wasserdampf nach MOLLIER.


Bild 6-49. Windkanäle (Draufsicht) nach PRANDTL- oder Göttinger-Prinzip, d. h. in geschlossenerKreislauf-Ausführung (Unterschall-Kanäle).

a) Normalausführung für PKW in Originalgröße. Düsenaustrittsquerschnitt: Breite ca. 8 m, Höhe ca. 6 m.Wind-, d. h. Düsenaustritts-Geschwindigkeit bis ca. 280 km/h. Antriebsleistung ca. 4 MW. Sechskompo-nentenwaage für Kräfte Fx, Fy, Fz und Momente Mx, My, Mz.

b) Kryoausführung (Tieftemperaturbauweise) für Flugzeugmodell-Größe bis ca. 2 m Spannweite. Zur Einhal-tung der physikalischen Ähnlichkeitsbedingungen (Abschnitt 3.3.1), d. h. Ma- und Re-Zahl je unverändert,Temperatur-Absenkung auf ca. 100 K und Druckerhöhung bis auf etwa 4,5 bar Überdruck. NotwendigeAntriebsleistung deshalb bis ca. 50 MW bei Ma-Zahl etwa 0,9.

7 Lösungen der Übungsbeispiele 487

7 Lösungender Übungsbeispiele

Ü 1Wasserverlust

Bild 7-1. Lösungsskizze zu Ü 1: Rechtecktransport-behälter.

ΔV = VR −VD

VD =12· l ·H ·B

l = H/ tanα nach (2-1)

tanα =ag

=3

9,81= 0,3058

l = 2,5/0,3058 [m] = 8,175 m

VD =12·8,175 ·2,5 ·2,8 [m3] = 28,6 m3

ΔVΔVΔV === 50−28,6 = 21,450−28,6 = 21,450−28,6 = 21,4m3

Ü 21. Gleichung (2-11) mit H0 = 0,1 m,zR = H = 0,15 m und R = 0,125 m um-

gestellt und eingesetzt ergibt:

ω =

√4 ·g H −H0

R2

=

√4 ·9,81

0,15−0,10,1252

[√ms2 · m

m2

]

ω = 11,21 s−1

n =ω2π

=11,212 ·π = 1,78 · s−1 = 107 min−1

2. Mit (2-8)

H = h1 + h2 = 2 ·h1 =ω2

2g·R2 .

Hieraus

ω =1R·√

2 ·g ·H

=1

0,125·√

2 ·9,81 ·0,15

[1m

√ms2 ·m

]

ω = 13,72s−1

nnn =ω2π

= 2,18 s−1 = 131min−1

3. ΔV = V1 −V2 =π ·D2

4·H0,1 − π ·D2

4·H0,2

Mit H0,1 = H0 und H0,2 = H/2 wird:

ΔV =π ·D2

4·(

H0 − H2

)

=π ·0,252

4·(

0,1− 0,152

)[m2 ·m]

ΔVΔVΔV = 1,23 ·10−3 m3 = 1,23 l

4. zzzR = h1 + h2 = 2 ·H0 = 200 mm.

5. Wieder aus (2-11)

ω =1R·√

4 ·g(zR −H0)

=2R·√g ·H0 =

20,125

·√

9,81 ·0,1

ω = 15,85 s−1

nnn = 2,52 s−1 = 151min−1

Ü 31. Nach (2-62)

F = pS, ü ·A = � ·g · tS ·A mit

tS = yS · sinα = (y1 + HS)sinα= t1 + HS · sinα

HS =HDr

3=

√b2 − (a/2)2

3

=

√0,32 − (0,4/2)2

3

[√m2 m2

1

]

HS = (0,224/3) [m] = 0,075 m

tS = 0,6 + 0,075 · sin60◦ [m] = 0,665 m

A =12·HDr ·a =

12·0,224 ·0,4 = 0,045 m2

F = 103 ·9,81 ·0,665 ·0,045

[kgm3 · m

s2 ·m ·m2]

FFF = 294N

488 7 Lösungen der Übungsbeispiele

2. e = yD − yS =IS

yS ·AIS z. B. nach DUBBEL [109]:

IS =a ·H3

Dr

36=

0,4 ·0,2243

36[m4]

= 1,25 ·10−4 m4

yS = tS/sinα = 0,665/sin60◦ = 0,768 m

e =1,25 ·10−4

0,768 ·0,045

[m4

m ·m2

]

= 3,62 ·10−3 m ≈ 3,6 mm

Momentensatz:

F · (l1 + HS + e) = FG · l2 · sinα .

Hieraus:

FG = F · l1 + e + HS

l2 · sinα

= 2940,5 + 0,0036 + 0,075

0,8 · sin60

[N · m

m

]

FG = 245,5 N ≈ 246 N

mmm = FG/g = 246/9,81[N/(m/s2)

]= 25,1kg

Ü 4

Bild 7-2. Lösungsskizze zu Ü 4: rechteckiger Kanal

Mit (2-62), (2-63) und IS =112

·B ·H3

werden allgemein:

F = pS, ü ·A = � ·g · tS ·A= � ·g · h

2·h ·B =

12·� ·g ·B ·h2

tD = tS + e = tS +IS

A · tS =h2

+B ·h3/12B ·h ·h/2

=23

h

und damit für die Klappenseiten 1 sowie 2:

F1 =12·� ·g ·B ·h2

1

=12·103 ·9,81 ·2 ·12

[kgm3 · m

s2 ·m ·m2]

= 9810 N

tD, 1 =23·h1 =

23·1[m] = 0,67 m

F2 =12·� ·g ·B ·h2

2 =12·103 ·9,81 ·2 ·0,42

= 1570 N

tD, 2 =23·h2 =

23·0,4 [m] = 0,27 m

FG aus ΣM = 0 mit MP im Klappenlager:

F1 · (tD, 1 + l1)−F2 · [tD, 2 +(h1 −h2)+ l1]−FG · l2 = 0

Hieraus:

FG =1l2· [F1 · (tD, 1 + l1)

−F2(tD, 2 + h1 −h2 + l1)]

=12· [9810(0,67 + 0,3)

−1570(0,27 + 1−0,4 + 0,3)] ·[

1m

·N ·m]

= 3840 N

mmm = FG/g = 391,4 kg

Ü 5Nach (2-67):

F = � ·g ·VMit

V = R2 ·π ·H − 12· 4

3R3 ·π

= R2 ·π ·(

H − 23·R

)

= 0,22 ·π ·(

3− 23·0,2

)[m2 ·m] = 0,36 m3

wird:

F = 103 ·9,81 ·0,36

[kgm3 · m

s2 ·m3]

FFF === 3534 N


Ü 6Ebenfalls nach (2-67)

F = � ·g ·V

Mit

V = V1 +V2 +V3

= H ·D1 · l1 − 12· D2

1 ·π4

· l1

+ H ·D2 · l2 − 12· D2

2 ·π4

· l2

+ H ·D3 · l3 − 12· D2

3 ·π4

· l3= D1 · l1 ·

(H − π

8·D1

)

+ D2 · l2 ·(

H − π8·D2

)

+ D3 · l3 ·(

H − π8·D3

)

= 0,2 ·0,25 ·(

0,4− π8·0,2

)

+ 0,3 ·0,12 ·(

0,4− π8·0,3

)

+ 0,24 ·0,18 ·(

0,4− π8·0,24

)[m3]

V = 0,0395 m3

wird:

F = 7,25 ·103 ·9,81 ·0,0395

[kgm3 · m

s2 ·m3]

FFF === 2809N

Ü 7a) Vertikalkräfte (z-Richtung) nach(2-70) gemäß Bild 7-3:

Bild 7-3. Lösungsskizze zu Ü 7: Walzenwehr.

Fz,1 = � ·g ·V1 = � ·g(

R ·R ·L− 14·R2π ·L

)

=(

1− π4

)·� ·g ·R2 ·L

Fz,2 = � ·g ·V2 = � ·g(

R2 ·L+14·R2π ·L

)

=(

1 +π4

)·� ·g ·R2 ·L

Fz = Fz,2 −Fz,1 =π2·� ·g ·R2 ·L

(ARCHIMEDES!)

Horizontalkraft (y-Richtung) nach (2-68):

Fy = pS, y, ü ·Ay = � ·g · tS,y ·Ay

= � ·g ·R ·2 ·R ·L= 2 ·� ·g ·L ·R2

Exzentrizität von Fy nach (2-69):

ey =IS,y

Ay · tS,y=

L ·D3 ·212 ·D ·L ·D =

D6

=R3

b) Zwei Möglichkeiten bestehen:

Möglichkeit 1:Die Wirkungslinien von F1,z und F2,z fal-len nicht zusammen, da die Schwerpunktevon V1 und V2 infolge Verschiedenheit nichtauf der gleichen Linie liegen können. DerDruck wirkt jedoch überall senkrecht aufdie Walzenoberfläche. Die Wirkungslinienaller Kräfte je Flächeneinheit gehen daherdurch den Walzenmittelpunkt. Ein Momentauf die Walze kann somit nicht vorhandensein.

Möglichkeit 2:Da das Gesetz von ARCHIMEDES gilt, geht dieVertikalkraft Fz durch den Schwerpunkt desvon der Walze verdrängten Flüssigkeitsvolu-mens. Dieser liegt im Abstand ez (waagrechteExzentrizität) vom Walzenmittelpunkt entfernt.Nach Flächenschwerpunkts-Tabellen, z. B.Hütte [110], gilt:

ez =43· Rπ≈ 0,4244 ·R


Für das resultierende Drehmoment T ergibt sichdann:

T = −Fz · ez + Fy · ey

= −π2·� ·g ·R2 ·L · 4

3· Rπ

+� ·g ·2 ·L ·R2 · R3

TTT = −23·� ·g ·L ·R3 +

23·� ·g ·L ·R3 = 0

c) Das resultierende Moment muss null sein,sonst würde es sich um ein Perpetuum Mobilehandeln, d. h. um eine Maschine, die sich stän-dig unter Arbeitsabgabe dreht, d. h. Energie ausdem Nichts bereitstellt.

Ü 8Geometrische Zusammenhänge:Volumen von der im Wasser liegenden

„Kugelkalotte“ (Höhe H) gemäß Bild 7-4:

Bild 7-4. Lösungsskizze zu Ü 8: Bodenablass.

VKal =π3·H2 · (3R−H)

Radius r =√

R2 − (H −R)2 =√

2 ·R ·H−H2

a) Nach Lösungsskizze, Bild 7-4 gilt auch

Fz = Fz,1 −Fz,2 + FG

mit:

Fz,1 = �gV1 = �g

(VZyl− 1

2VKu

)

= �g

[R2π (H0 − (H −R))− 1

2· 4

3R3π

]

Fz,1 = �gπ H R2[

H0

H+

RH

−1− 23

RH

]

= �gπ H R2[

H0

H+

13

RH

−1

]

Fz,2 = �gV2

= �g

[VKal − 1

2VKu +VZyl,R −VZyl, r

]

= �g

[π3

H2(3R−H)− 12· 4

3R3π

+R2π(H0 + R−H)− r2πH0

]

= �gπ H R2[

13

HR2 (3R−H)− 2

3RH

+1H

(H0 + R−H)− r2

R2

H0

H

]

= �gπ H R2[

HR− 1

3H2

R2 − 23

RH

+H0

H

+RH

−1− 2RH −H2

R2

H0

H

]

= �gπ H R2[

HR− 1

3H2

R2 +13

RH

+H0

H−1

−2H0

R+

HH0

R2

]

Fz,1 und Fz,2 eingesetzt in Gl. für Fz ergibt:

Fz = �gπH R2[(

H0

H+

13

RH

−1

)

−(

HR− 1

3H2

R2 +13

RH

−1

−2 · H0

R+

HH0

R2

)]+ FG

Fz = �gπH R2[−H

R+

13

H2

R2 + 2H0

R− HH0

R2

]

+ FG

Fz = �gπH2 R

[−1 +

13

HR

+ 2H0

H− H0

R

]

+ FG

FzFzFz = � ·g ·π ·H2 ·R[

H0

H·(

2− HR

)= � ·g ·π ·H2 ·R

[H0

H·(

2− HR

)= � ·g ·π ·H2 ·R

[H0

H·(

2− HR

)

−(

1− H3 ·R

)]+ FG−

(1− H

3 ·R)]

+ FG−(

1− H3 ·R

)]+ FG


b) püpüpü =Fz

r2 ·π =Fz

(2 ·R ·H−H2) ·πFz

(2 ·R ·H−H2) ·πFz

(2 ·R ·H−H2) ·πmit Fz nach a)

c) Bedingung: Fz = FG

Dann muss sein:

� ·g ·π ·H2 ·R·[H0

H·(

2− HR

)−

(1− H

3 ·R)]

= 0

HierausH0

R·(

2− HR

)= 1− H

3 ·RMit

HH0

= 1 wird 7−3 · HR

= 3 · RH0

Hieraus (R/H0)+ (H/R) = (7/3)

Ü 9Bei der dichtesten Packung (Kugelnberühren sich) als günstigster Anord-

nung müsste sich die maximale Kraftwirkungergeben. Die Gegenüberstellung der beidenGrenzlagen (Bild 7-5) ergibt:

Bild 7-5. Lösungsskizze zu Ü 9: Perpetuum Mo-bile. Lagen der Kugeln im Wasser bei dichtesterPackung. Fa Aufkraft, Fv Abkraft (Index: a . . . ab;v . . . vertikal auf).

Lage a:

Fa =(

n− 12

)· π

6·d3 ·� ·g

Fv =(

n ·d · d2π4

− 12· π

6·d3

)·� ·g

=(

32·n− 1

2

)· π

6·d3 ·� ·g

also Fv > Fa

Lage b:

Fa = n · π6·d3 ·� ·g

Fv = 0

also Fv < Fa

Das System bewegt sich demnach nicht. Allen-falls führt es kurze Schwingungen aus, bis derGleichgewichtszustand, der zwischen den bei-den Grenzlagen a und b liegt, gefunden ist.Es handelt sich deshalb um kein Perpetuum Mo-bile.

Ü 10Momentenansatz gemäß Bild 7-6:

Bild 7-6. Lösungsskizze zu Ü 10 (s � L).

Für DP ΣM = 0: FG · xG −Fa · xa = 0 mit

xG = (L/2) · sinα FG = g ·mPl = g ·�Pl ·VPl

= g ·�Pl ·L ·B · sxa = (L− y/2) Fa = g ·mFl = g ·�Fl ·VFl

·sinα = g ·�Fl · y ·B · s

eingesetzt in Momenten-Ansatz:

g ·�Pl ·L ·B · s(L/2) · sinα−g ·�Fl · y ·B · s(L− y/2) · sinα = 0

�Pl ·L2/2−�Fl · y · (L− y/2) = 0

y · (L− y/2) = (�Pl/�Fl) ·L2/2

y ·L− y2/2 = (�Pl/�Fl) ·L2/2

y2 −2y ·L = −(�Pl/�Fl) ·L2


Quadratische Gleichung; Lösung durch Ergän-zen (addieren) von L2:

L2 −2 ·L · y + y2 = L2 − (�Pl/�Fl) ·L2

(L− y)2 = L2(1−�Pl/�Fl)

L− y = L ·√

1−�Pl/�Fl

Damit:

a) cosα = H/(L− y) = (H/L)· (1/

√1−�Pl/�Fl)

b) α = 0 → cosα = 1 → H = L ·√1−�Pl/�Fl

Es bestehen also nur Lösungen bei �Pl ≤ �Fl, dasonst Wurzel imaginär. Zudem ist b) Sonderfallvon a).Allgemein kann bei α = 0 Abstand H < L undLänge L beliebig sowie auch �Pl ≷ �Fl sein. Esbesteht dann jedoch labiles Gleichgewicht. Be-stätigung durch andere Herleitung überΣF = 0.

Ü 11

a) K 1©– 2©, 3©: V1 = V2 + V3

Mit V2 : V3 = 2 : 1 → V2 = 2 · V3

wird V3 = (1/3) · V1

und A3 · c3 = (1/3) ·A1 · c1

Da c3 = c1

ergibt sich: A3 = (1/3) ·A1

D3 = D1 ·√

1/3 = 0,58 ·D1

≈ 0,6 ·D1 = 60 mm

D3D3D3 === NW60

b) V2 = 2 · V3 = 2 · (1/3) · V1 = (2/3) · V1

A2 · c2 = (2/3) ·A1 · c1; da A2 = A1,

wird c2 = (2/3) · c1

Mit c1 =VA1

=V

D21 ·π/4

=42,4

0,12 ·π/4 ·3600

[m3

h· 1

m2 ·hs

]

c1 = 1,5 m/s

wird c2c2c2 = (2/3) · c1 = 1 m/s1 m/s1 m/s

Ü 12 m = V ·� = A · c · 1�

Mit 1. c = 3 . . .25 m/s lt. Tabelle 6-10.

2. p · �= R ·T → �= R ·Tp

Luft: R = 287N ·mkg ·K (Tabelle 6-20)

T = 273 + 22 = 295 K

p = 1 + 8 = 9 bar = 9 ·105 Nm2

�=287 ·295

9 ·105

[N ·m ·K

kg ·K ·N/m2

]

= 0,0941m3

kg

Mit diesen Werten, bei festgelegt c = 3 m/s (un-terer Betrag wegen Verlusten) ergibt sich:

A = m · �c

=225

3600· 0,0941

3

[kg/hs/h

· m3/kgm/s

]

A = 1,959 ·10−3 m2

A =D2π

4= 1959 mm2 → D =D =D = 50 mm

Ü 13

Bild 7-7. Lösungsskizze zu Ü 13.

E 1©– 2©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2

Mit z1 = H; z2 = 0

D 1©: c1 =V1

A1=

1703600 ·0,12 ·π/4

[m3

s ·m2

]

= 6,01 m/s


K 1©– 2©:c2 = c1

(D1

D2

)2

= 6,01

(100200

)2 [ms

]

= 1,5 m/s

wird: H ·g +p1

�+

c21

2=

p2

�+

c22

2

Hieraus Δp = p2 − p1 = � ·[

g ·H +c2

1

2− c2

2

2

]

Δp = 103[

9,81 ·0,5 +6,012

2− 1,52

2

]

[kgm3

(ms2 ·m m2

s2

m2

s2

)]

ΔpΔpΔp === 21,8 ·103[

Nm2

]=== 0,22 ·105 Pa

ΔpΔpΔp = 0,22 bar= 0,22 bar= 0,22 bar

Ü 14


E 1©– 2©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2

Mit z1 = 0; p1 = pü + pb

z2 = 0; p2 = pb

D 1©: c1 =VA1

=150 ·4

3600 ·0,12 ·π[

m3/hs/h ·m2

]

= 5,3 m/s

wird:pü + pb

�+

c21

2=

pb

�+

c22

2Hieraus:

a) c2 =√

c21 + 2 · pü

�

=

√5,32 + 2 · 4 ·105

103

[√m2

s2

N/m2

kg/m3

]

c2c2c2 = 28,8 m/s= 28,8 m/s= 28,8 m/s

b) D 2©: A2 =Vc2

=150

3600 ·28,8

[m3/h

(s/h) ·m/s

]

= 1,45 ·10−3 m2 Hieraus:

D2D2D2 === 0,0430 m ≈ 40 mm === NW40

Ü 15


E 1©– 2©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2

Mit

z1 = H1 + H2; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = 0; p2 = pb +� ·g ·H2; c2 =?

wird:

(H1 + H2) ·g +pb

�=

pb +� ·g ·H2

�+

c22

2

Hieraus:

c2

√2 ·g ·H1

c2 =√

2 ·9,81 ·4[√

ms2 ·m

]= 8,86

ms

Damit:

V = c2 ·A = 8,86 · 0,082 ·π4

[ms·m2

]

V = 0,0445 m3/s = 160 m3/hV = 0,0445 m3/s = 160 m3/hV = 0,0445 m3/s = 160 m3/h


Ü 16


a) E 1©– 3©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z3 ·g +

p3

�+

c23

2Mit

z1 = H1; p1 = pü + pb;

c1 ≈ 0

z3 = H1 +ΔH −H2; p3 = pb + H2 ·� ·g;

c3 = ?

wird:

H1 ·g +pü + pb

�= (H1 +ΔH −H2) ·g

+pb +� ·g ·H2

�+

c23

2

(pü/�) = ΔH ·g +(c23/2)

Hieraus:

c3 =

√2 ·

(pü

�−ΔH ·g

)

c3 =

√2 ·

(4 ·105

1 ·103 −28 ·9,81

)

·[√

Pakg/m3 m · m

s2

]

c3 = 15,83 m/s

Damit:

V = c3 ·A3 = c3 · (D2 ·π/4)

= 15,83 · 0,152 ·π4

[ms·m2

]

VVV === 0,28m3/s = 1008m3/h

b) E 1©– 2©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2Mit

z1 = H1; p1 = pü + pb; c1 ≈ 0

z2 = 0; p2 = ?; c2 = c3

wird:

H1 ·g +((pü + pb)/�) = (p2/�)+ (c23/2)

Hieraus

p2,ü = p2 − pb = pü +� ·(

H1 ·g− c23

2

)

p2,ü = 4 ·105 + 103 ·(

2 ·9,81− 15,832

2

)

·[

Pakgm3 ·

(m · m

s2

m2

s2

)]

ppp2,ü === 2,94 ·105 Pa === 2,94bar

Bemerkung zu a): Nach dem Austritt wirddie Ausströmungsgeschwindigkeit c3 verwir-belt, d. h., die zugehörige Energie c2

3/2 wirdin Wärme umgesetzt und ist daher mecha-nisch verloren. Deshalb muss Austrittsdruckp3 = pb + �gH2 sein, also so groß wie derhydrostatische Gegendruck. Wichtiger Unter-schied zum Eintritt, Stelle 2© in Bild 7-10.Hier ist der Druck wegen Teilumsetzungin Geschwindigkeitsenergie nicht durch dieFluidstatik festgelegt.

Ü 17



a) D 3©: A3 =Vc3

=200

3600 ·25

[m3/h

(s/h) ·m/s

]

= 2,22 ·10−3 m2

D3D3D3 === 0,053m≈≈≈ 50mm

b) E 1©– 2©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2

Mit z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = H −H0; p2 = pb; c2 = ?

und

D 2©: c2 =VA2

=200 ·4

3600 ·0,082 ·π[

m3

s ·m2

]

= 11,05 (m/s)

wird:

H ·g +pb

�= g(H −H0)+

pb

�+

c22

2

Hieraus:

H0H0H0 =c2

2

2 ·g =11,052

2 ·9,81

[m2 · s2

s2 ·m]

= 6,23m

c) E 1©– 3©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z3 ·g +

p3

�+

c23

2

Mit z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z3 = 0; p3 = pb; c3 = 25 m/s

wird:

HHH =c2

3

2 ·g =252

2 ·9,81

[m2 · s2

s2 · m

]= 31,86m

Ü 18

Bild 7-12. Lösungsskizze zu Ü 18: Heberleitung.

a) E 1©– 4©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z4 ·g +

p4

�+

c24

2

Mit: z1 = H1; p1 = pb; c1 ≈ 0

z4 = H1 −H2; p4 = pb; c4 = ?

H1 ·g = (H1 −H2) ·g +(c24/2)

Hieraus:

c4 =√

2 ·g ·H2 =√

2 ·9,81 ·1,5

[√ms2 ·m

]

= 5,42ms

Damit:

V = c4 ·A4 = 5,42 · 0,052 ·π4

[ms·m2

]

= 0,0107m3

s

b) E 1©– 3©: z1 ·g +p1

�+

c21

2= z3 ·g +

p3

�+

c23

2Mit

z1 = H1; p1 = pb; c1 ≈ 0

z3 = H + H1; p3 ≥ pDa; c3 = 5,42 m/s

wird:

H1 ·g +pb

�≥ (H + H1) ·g +

pDa

�+

c23

2

Hieraus:

H ≤ 1g·(

pb − pDa

�− c2

3

2

)

Nach Tab. 2-1 für Wasser mit 50 ◦C:pDa = 0,123 bar und � = 988 kg/m3 (Tab. 6-7).Damit:

H ≤ 19,81

·(

1 ·105−0,123 ·105

0,988 ·103 − 5,422

2

)

[s2

m·(

N/m2

kg/m3

m2

s2

)]

HHH ≤≤≤ 7,55m


Ü 19Die Flüssigkeitsmasse in der Leitungmuss in 10 s von 1,5 m/s gleichmäßig

auf 0 verzögert werden ( dc/dt = Δc/Δt). Hier-für gilt gemäß Beispiel B4 nach NEWTON:F = m ·aMit a =

ΔcΔt

=ca − ce

Δt=

1,5−010

[m/s

s

]

= 0,15 m/s2

und m = � ·V = � ·A ·Lwird: F = � ·A ·L ·aAndererseits: F = Δp ·ADurch Gleichsetzen ergibt sich:

Δp = � ·L ·a = 103 ·2500 ·0,15

[kgm3 ·m · m

s2

]

ΔpΔpΔp = 3,75 ·105 N/m2 = 3,75 ·105 Pa= 3,75 ·105 N/m2 = 3,75 ·105 Pa= 3,75 ·105 N/m2 = 3,75 ·105 Pa

=== 3,75bar

Es treten also schon bei sehr geringen Verzöge-rungen große Drucksteigerungen auf.Die Druckerhöhungen bei großen Beschleuni-gungen (positive und negative), den sog. Was-serschlägen, sind meist unzulässig hoch. Diesemüssen, um Zerstörungen zu vermeiden, durchentsprechende Maßnahmen unterbunden, min-destens abgeschwächt werden (Ü 20).

Ü 20Mit ac ≈ a = 1437 m/s und � ≈103 kg/m3 (Tabelle 1-16) nach (3-82):

a) Δpmax = � ·ac · (Δc)max = � ·ac · c0 da c = 0

Δpmax = 103 ·1437 ·8[(kg/m3) · (m/s) ·m/s]

≈115 ·105 Pa =115 bar (unzulässig!!)

b) t ≤ 2 ·L/ac = 2 ·1850/1437[m/(m/s)]≈ 2,6 s

Ü 21Die Geschwindigkeit im Bereich 1©bis kurz vor 2© kann vernachlässigt


werden (großer Querschnitt). Zwischen 2© und3© im Abflussrohr ist, da D = konst, die Strö-

mungsgeschwindigkeit gleich groß. Ausgangs-punkt ist (3-81) zwischen 1© und 3©:

z1 ·g +(p1/�)+ (c21/2)+

s1∫

0

(∂c/∂ t)∂ s

= z3 ·g +(p3/�)+ (c23/2)+

s3∫

0

(∂c/∂ t)∂ s

mit

z1 = H = H0 −D/2; p1 = pb; c1 ≈ 0

z3 = 0; p3 = pb; c3 = c(t)s1∫0

= 0 → s1 = 0, Anfang der s-Koordinate

und:s3∫

0

=s3∫

s2

=L∫

0

da im Bereich 1©– 2© ∂c/∂ t = 0,

weilc = konst(≈ 0)

Im Abflussrohr ist, da D = konst, die Strö-mungsgeschwindigkeit nur zeitabhängig, alsoc = f (t). Deshalb ist entlang des Rohres ∂c/∂ twegunabhängig und damit im Wegintegraleine Konstante. Auch sind daher partielleDifferenziale nicht mehr notwendig.s3∫

0

(∂c/∂ t)∂ s =∂c∂ t

·L∫

0

ds =dcdt

· s∣∣∣∣L

0=

dcdt

·L

Alles in die Ausgangs-Gl. eingesetzt:

g ·H = c2/2 + L · dc/dt (D-Gl.)

Hieraus:

dc/dt = (g ·H − c2/2)/L

Integriert:

t∫

0

dt =c∫

0

Lg ·H − c2/2

dc

=L

g ·Hc∫

0

11− (c/

√2gH)2

dc

mit Substitution x = c/√

2g ·Halso c =

√2g ·H · x → dc =

√2g ·H · dx


t =L

g ·H ·√

2g ·H ·∫

11− x2 dx

=2 ·L√2g ·H · artanhx

t =L

g ·H ·√

2 ·g ·H · artanhc√

2g ·H∣∣∣∣c

0(7-1)

=2 ·L√2g ·H · artanh

c√2g ·H

Umgestellt nach c

c =√

2 ·g ·H · tanh[(√

2 ·g ·H/(2 ·L))· t]

Mit der stationären Ausflussgeschwindigkeitnach TORRICELLI, (3-94), cstat =

√2g ·H wird

c(t)/cstat = tanh[(cstat/2 ·L)) · t]

Ü 22


EE 1©– 2©:

z1 ·g+p1

�+

c21

2= z2 ·g+

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit

z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0 da D � d

z2 = 0; p2 = pb; c2 =?

und

YV, 1 2 = λ · Ld· c2

2

2

wird:

H =c2

2

2 ·g ·(

1 +λ · Ld

)(7-2)

Weiter aus D 2©: c2 = V/A2

wobei:

V =ΔVΔt

=15020

[cm3

min

]= 7,5

cm3

min

= 7,5 · cm3

min· 1 min

60 · s · 1 ·m3

106 · cm3

= 1,25 ·10−7 m3/s

A2 =d2π

4=

(1 ·10−3)2 ·π4

[m2]

= 0,785 ·10−6 m2

c2 =1,25 ·10−7

0,785 ·10−6

[m3

s· 1

m2

]= 0,159

ms

Bei dieser kleinen Geschwindigkeit kann er-wartet werden, dass laminare Strömungvorliegt, also:

λ =64Re

=64 ·νc2 ·d

Hieraus:

ν =λ64

· c2 ·d (7-3)

Aus (7-2) folgt:

λ =(

2 ·g ·Hc2

2

−1

)· d

L

=(

2 ·9,81 ·0,050,1592

[(m/s2) ·m

m2/s2

]−1

)1

100

λ = 0,378

Damit ergibt sich aus Beziehung (7-3)

ν =0,378

64·0,159 ·1 ·10−3

[ms·m

]

= 0,939 ·10−6 m2/s= 0,939 ·10−6 m2/s= 0,939 ·10−6 m2/s

Es könnte sich um Wasser von etwa 23 ◦C mitν = 0,935 ·10−6 m2/s handeln (Tabelle 6-7).

Überprüfung, ob Laminar-Strömung:

Re =c2 ·dν

=0,159 ·1 ·10−3

0,939 ·10−6

[m/s ·mm2/s

]

= 169 � Re kr


Ü 23


EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit

z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = 0; p2 = pb

YV, 1 2 = λ · LD· c2

2

2und D 2©

c2 =VA2

=5

0,62 ·π/4

[m3/sm2

]= 17,68

ms

wird:

H ·g =c2

2

2

(1 +λ · L

D

)

Hieraus:

L =(

2 ·g ·Hc2

2

−1

)· Dλ

Bestimmung von λ :

H2O/20 ◦CTab. 6-7−−−−→ ν = 1,004 ·10−6 m2/s

GG, mäßig

angerostet

⟩Tab. 6-14−−−−−→

⟨k = 1 . . .1,5 mm

angen. ks ≈ k ≈ 1,2 mm

Re =c2 ·Dν

=17,68 ·0,6

1,004 ·10−6

[(m/s) ·m

m2/s

]

= 1,06 ·107

D/ks = 600/1,2 = 500/1 = 500

Hierzu aus Bild 6-11: λ = 0,0235.

Oder:

(ks/D) ·Re0,875 = (1/500) · (1,06 ·107)0,875

= 2807 > 350

Deshalb nach (4-34) raues Verhalten, was auchBild 6-11 bestätigt. Hierfür λ nach (4-35):

λ =1

(2 · lg 500 + 1,14)2 = 0,0234

wie Diagramm-Wert!

Damit wird:

L =(

2 ·9,81 ·3517,682

[(m/s2) ·m

m2/s2

]−1

)0,6

0,0235[m]

LLL === 30,55m≈≈≈ 30,5m

Ü 24


EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit z1 = z2 = 0; c1 = c2 = c

wird: Δp = p1 − p2 = � ·YV, 1 2

Weiter mit YV, 1 2 = λ · LD· c2

2

und aus D: c =VA

=36000

2,42 ·π/4

[m3/h

m2

]· 1 ·h3600 · s

c = 2,21 m/s

Bestimmung der Rohrreibungszahl λ :

H2O/10 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,297 ·10−6 m2/s


Glattstrich-BetonTab. 6-14−−−−−→

k = 0,3 . . .0,8 mm

angenommen:

ks ≈ k ≈ 0,5 mm

Re=c ·Dν

=2,21 ·2,4

1,297 ·10−6 =4,1 ·106

D/ks =2400/0,5 = 4800

Bild 6-11−−−−−−→

→ λ ≈ 0,0142 (Übergang!)

Formelmäßige Prüfung von λ :

ks

D·Re0,875 =

14800

· (4,1 ·106)0,875 = 127

Nach (4-32) Übergangsbereich. Deshalb λ mit(4-33) überprüfen:

1√0,0142

!=−2 · lg(

2,514,1 ·106 ·√0,0142

+ 0,271

4800

)

8,39 ≈ 8,42 ,

genügend genau erfüllt, also bleibt λ = 0,0142.

Dann wird

YV, 1 2 = 0,0142·8002,4

· 2,212

2·[

m2

s2

]=11,56

m2

s2

und

Δp = 103 ·11,56 ·[

kgm3 · m2

s2

]= 11,56 ·103 N

m2

ΔΔΔppp≈≈≈ 0,12 ·105 Pa === 0,12bar

Ü 25


EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit z2 = 0; p1 = p2 = pb ;

c1 = c2 = c

und YV, 1 2 = λ · LD· c2

2

wird:z1

L=

λ2· c2

g ·DHierbei nach D: c = V/A

Mit

V =14· 15000

3600

[m3/hs/h

]= 1,042

m3

s

A =π4·D2 =

π4·0,82[m2] = 0,503 m2 wird:

c =1,0420,503

[m3/sm2

]= 2,07 m/s

Bestimmung von λ :

H2O/30 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 0,801 ·10−6 m2/s

Beton, geschleudert:

Tab. 6-14−−−−−−→⟨

k = 0,2 bis 0,7 mm

angen. ks = 1 mm

Re =c ·Dν

=2,07 ·0,8

0,801 ·10−6

[(m/s) ·m

m2/s

]

≈ 2,1 ·106

D/ks = 800/1 = 800

Hierzu nach Bild 6-11 λ = 0,021 (rau!).

Oder rechnerisch, (4-34):

ks

D·Re0,875 =

1800

(2,1 ·106)0,875 = 425 > 350

Dazu laut (4-34): raues Verhalten.Nach (4-35) ist dafür:

λ =1

(2 · lg(D/ks)+ 1,14)2

=1

(2 · lg800 + 1,14)2 = 0,0207

etwa wie Diagrammwert!


Damit wird:

z1

L= 0,021

2,072

2 ·9,81 ·0,8

[m2/s2

(m/s2) · m

]= 0,0057

Es gilt: sinα = (z1/L) = 0,0057 ≈ tanα

also: Gefälle: 0,57%Höhenunterschied Δz:

Δz = z1 = L · sinα = 3,42 m

Ü 26


EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit z1 = H; p1 = pb; c1 = 0, da A1 � A2

z2 = 0; p2 = pb; c2 =?

und YV, 1 2 = λ · LD· c2

2

2

wird: H ·g =c2

2

2+λ · L

D· c2

2

2

=c2

2

2·(

1 +λ · LD

)

Hieraus c2 =

√2 ·g ·H

1 +λ ·L/D

Bestimmung der Rohrreibungszahl λ :

H2O/20 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,004 ·10−6 m2/s

GG gebraucht

mäßig angerostet

⟩Tab. 6-14−−−−−−→

k = 1 bis 1,5 mm

angenommen:

ks = 1,2 mm

Re =c ·Dν

= ? da c unbekannt.

D/ks = 300/1,2

= 250

⟩Bild 6-11−−−−→

λ ≥ 0,0285 (rau!)1. Näherung:

λ = 0,0285

Damit wird in 1. Näherung:

c2 =

√2 ·9,81 ·25

1 + 0,0285 ·240/0,3

[√ms2 ·m

]

= 4,54 m/s

Überprüfung des λ -Wertes:

Re =4,54 ·0,3

1,004 ·10−6

= 1,36 ·106

D/ks = 250

Bild 6-11−−−−→⟨λ = 0,0285

wie 1. Näherung

Oder rechnerisch:

(ks/D) ·Re0,875 = (1/250) · (1,36 ·106)0,875

= 930 > 350(4-34)−→ rau

Nach (4-35) ist dafür:

λ = 1/(2 · lg250 + 1,14)2 = 0,0284

fast wie Diagramm-Wert

Also bleibt c2 = 4,54 m/s

Damit wird:

V = c2 ·A2 = c2 ·D2 ·π/4

= 4,54 ·0,32 π4

[ms·m2

]

VVV === 0,321m3/s === 1155m3/h

Ü 27Der Ansatz von Ü 21 ändert sichdahingehend, dass die auf dem Strö-

mungsweg von 2© nach 3© durch Reibungverlorengehende mechanische VerlustenergieYV = λ · (L/D) · c2/2, nach DARCY, (4-25),berücksichtigt werden muss.Zu bemerken ist, dass hierbei die von derREYNOLDS-Zahl abhängige Rohrreibungs-zahl λ = f (Re) nicht konstant bleibt, da sichRe = c · D/ν mit der Strömungsgeschwindig-keit c zeitlich ändert. Dies wird näherungsweise


als gering vernachlässigt (Annahme) und mitdem Stationärwert λstat (λ = λstat) gerechnet.

Die D’Gl. (Differenzialgleichung) von Ü 21entsprechend ergänzt, ergibt:

g ·H = c2/2 + L · dc/dt +λ · (L/D) · c2/2

Hieraus:

g ·H = (1 +λ ·L/D) · c2/2 + L · dc/dt

= K · c2/2 + L · dc/dt

Hierbei Abkürzungsfaktor:

K = (1 +λ ·L/D)

Beziehung umgestellt und integriert:∫ t

0dt =

∫ c

0

Lg ·H −K · c2/2

dc

=L

g ·H ·∫ c

0

1

1− (c/√

2gH/K)2dc

Mit der Substitution x = c/√

2 ·g ·H/K ergibtdie Integration entsprechend Ü 21, wenn√

2 ·g ·H durch√

2 ·g ·H/K ersetzt undumgestellt nach c(t)/cstat:

c(t)/cstat = tanh

(√2 ·g ·H · (1 +λ ·L/D)

2 ·L · t)

Hierbei jetzt:

cstat =√

2 ·g ·H/(1 +λ ·L/D)

Ü 28a) EE 1©– 3©:


z1 ·g +p1

�+

c21

2= z3 ·g +

p3

�+

c23

2+YV,13

Mit z1 = L · sinδ + H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z3 = 0; p3 = pb; c3 = ?

wird (L · sinδ + H) ·g =(c23/2)+YV,13

Weiter mit:

YV, 1 3 =3©∑

i= 1©YV, i = YV, E +YV, I +YV, V +YV, II

= ζE · c2I

2+λI · LI

DI· c2

I

2+ ζV · c2

II

2

+λII · LII

DII· c2

II

2

YV, 1 3 =(ζE +λI · LI

DI

)· c2

I

2

+(ζV +λII · LII

DII

)· c2

II

2

wobei aus K I–II:cI = cII ·AII/AI = cII · (DII/DI)2

Mit cII ≡ c3 eingesetzt ergibt:

YV, 1 3 =

[(ζE +λI · LI

DI

)·(

DII

DI

)4

+(ζV +λII · LII

DII

)]· c2

3

2

= K1 3 · (c23/2)

Bestimmung der λ - und ζ -Werte:

H2O/10 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,297 ·10−6 m2/s

Rohr, gebraucht,GG,

mäßig angerostet

⟩Tab. 6-14−−−−−−→

−→⟨

k = 1 bis 1,5 mm

angen. ks = 1,5 mm

λλλ -Werte: λ = f (Re,D/ks)λI: Re I = (DI · cI)/ν

nicht bestimmbar, da cI noch unbekannt.

DI/ks =160/1,5=107Bild 6-11−−−−→ λI ≥ 0,038


λII: Re II = (DII · cII)/νnicht bestimmbar, da cII noch unbekannt

DII/ks = 80/1,5 = 53Bild 6-11−−−−→ λII ≥ 0,048

1. Näherung: λI =0,038; λII =0,048 gesetzt

ζζζ -Werte:

ζE: δ = 30◦nach (4-63) −→ ζE = 0,7

ζV: m = (DII/DI)2 = (1/2)2

= 0,25Bild 4-25−−−−−−→ ζV = 0,4

Mit diesen Werten wird in 1. Näherung:

K1 3 =(

0,7 + 0,038 · 50,16

)·(

0,080,16

)4

+(

0,4 + 0,048 · 30,08

)

K1 3 = 0,1180 + 2,200 = 2,318

Eingesetzt in die Energiegleichung ergibt:

(L ·sinδ +H)g =c2

3

2+K1 3 · c2

3

2= (1+K1 3) · c2

3

2

Hieraus c3 =√

2 ·g · (L · sinδ + H)1 + K1 3

c3 =

√2 ·9,81 · (8 · sin30◦+ 2,5)

1 + 2,318

[√ms2 ·m

]

= 6,20 (m/s)

Überprüfung der λ -Werte:λ I : ReI = (c I ·D I)/ν

c I = cII · (D II/D I)2 = 6,2 · (1/2)2 m/s

= 1,55 m/s

ReI =1,55 ·0,16

1,297 ·10−6 ≈ 2 ·105

DI/ks,I = 107

Bild 6-11−−−−−−→

λ I = 0,038 (wie angen.)

λ II : Re II =6,2 ·0,08

1,297 ·10−6 ≈ 4 ·105

D II/k s, II = 53

Bild 6-11−−−−−−→

λII = 0,048 (wie angen.)

Somit bleibt c3 = 6,2 m/sc3 = 6,2 m/sc3 = 6,2 m/s

Damit ergibt sich der austretende Volumen-strom:

V = c3 ·A3 = c3 · (π/4) ·D2II

= 6,2 · π4·0,082

[ms·m2

]

VVV === 0,0312m3/s === 112,2m3/h

b) EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit

z1 = H + L · sinδ ; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = L · sinδ ; p2 =?; c2 = c1 = 1,55ms

YV, 1 2 = ζE · c2I/2

wird: H ·g +pb

�=

p2

�+

c21

2+ ζE · c2

1

2

Hieraus:

p2, ü = p2 − pb = �

(g ·H − (1 + ζE) · c2

1

2

)

= 103(

9,81 ·2,5− (1 + 0,7)1,552

2

)

[kgm3

(ms2 ·m m2

s2

)]

= 103(24,525−2,042)[N/m2]

= 22,48 ·103 N/m2

ppp2, ü === 0,22 ·105 Pa === 0,22bar

Ü 29

Bild 7-20. Lösungsskizze zu Ü 29: Heberanlage.


a) EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit z1 = H1; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = 0; p2 = pb; c2 = ?

wird c22/2 = H1 ·g−YV, 1 2

Weiterhin gilt V 1©– 2© (V. . . Verlust):

YV, 1 2 =2©∑

i= 1©YV, i = YV, E +YV, R I +YV, R II

+YV, K 1 +YV, K 2 +YV, R III

= ζEc2

I

2+λI

LI

DI

c2I

2+ ζK 1

c2I I

2+λII

LII

DII

c2II

2

+ ζK 2c2

III

2+λIII

LIII

DIII· c2

III

2

YV, 1 2 =(ζE +λI · LI

DI

)· c2

I

2

+(ζK 1 +λII · LII

DII

)· c2

II

2

+(ζK 2 +λIII · LIII

DIII

)· c2

III

2

Hierbei aus

K I–III: cI = cIII · (DIII/DI)2

K II–III: cII = cIII · (DIII/DII)2

und mit cIII = c2 wird:

YV, 1 2 =

[(ζE +λI

LI

DI

)·(

DIII

DI

)4

+(ζK 1 +λII

LII

DII

)·(

DIII

DII

)4

+(ζK 2 +λIII

LIII

DIII

)]· c2

2

2

= K1 2 · c22/2

Eingesetzt in Gl. für c22 ergibt:

c22/2 = H1 ·g−K1 2 · c2

2/2 hieraus

c2 =√

2 ·g ·H1

1 + K1 2

Ermittlung des Faktors K12:

Hierfür ist die Bestimmung der Verlustbeiwerteλ und ζ notwendig.

λ -Werte: λ = f (Re,D/ks)

H2O/20 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,004 ·10−6 m2/s

GG-Rohr, gebraucht,

leicht angerostet

⟩Tab. 6-14−−−−−−→

−→⟨

k = 0,3 . . .0,8 mm

angen. ks = 0,6 mm

λI : Re I = (cI ·DI)/νnicht bestimmbar, da cI noch unbekannt

DI/ks, I = 150/0,6

= 250Bild 6-11−−−−−−→ λI ≥ 0,0285

λ II : Re II =c II ·D II

ν

⟨nicht bestimmbar,

da cII noch unbekannt

D II/ks, II = 120/0,6

= 200Bild 6-11−−−−−−→ λII ≥ 0,03

λIII : Re III =cIII ·DIII

ν

⟨nicht bestimmbar,

da cIII noch unbekannt

DIII

ks, III=

1000,6

=167Bild 6-11−−−−−−→ λIII≥0,032

1. Näherung:

λλλ I === 0,0285;λλλ II === 0,03;λλλ III === 0,032

ζ -Werte: ζ = f (Form, k); rau

ζE : Nach Bild 4-19a. ζE = 0,5 (ungünstigerFall)

Die Kniestücke sind gleichzeitig mit Durchmes-serreduktion ausgebildet, scharfkantig und rau.

ζK 1: α1 = 45◦ =δ . Hierzu nachBild 6-23 → ζ = 0,24Bild 6-26 → ζ = 0,18Bild 6-28 → ζ = 0,32


Als unstetige Querschnittsverengungnach Bild 4-24.m = (D II/D I)2 = (120/150)2

= 0,64Bild 4-25−−−−−−→ ζ = 0,24

Da Kombination Kniestück + Quer-schnittsreduktion, erwartet: ζK 1 ≈≈≈ 0,45(Annahme)

ζK 2: α2 = 15◦ =δ . Hierzu nach

Bild 6-23 → ζ = 0,05Bild 6-26 → ζ = 0,08Bild 6-28 → ζ = 0,06 . . .0,08

Als unstetige Querschnittsverengungnach Bild 4-24.m = (D III/D II)2 = (100/120)2

= 0,69Bild 4-25−−−−−−→ ζ = 0,2

Da ebenfalls Kombination von Kniestückund Querschnittsreduktion, erwartet:ζζζ K 2 ≈≈≈ 0,25

Schätzungen, da exakte Werte nur experimentellermittelbar und keine zutreffenderen Diagram-me vorhanden.

Mit diesen Werten ergibt sich der Faktor K12 in1. Näherung:

K12 =(

0,5 + 0,0285 · 80,15

)·(

0,10,15

)4

+(

0,45 + 0,03 · 500,12

)·(

0,10,12

)4

+(

0,25 + 0,032 · 290,1

)

K12 = 0,399 + 6,245 + 9,530 = 16,174

Damit wird:

c2 =

√2 ·9,81 ·3,51 + 16,174

[√ms2 · m

]= 2 m/s

Überprüfung der λ -Werte:

λI: Re I = (cI ·DI)/νI = (cI ·DI)/νcI = cIII · (DIII/DI)2 = 2 · (0,1/0,15)2

= 0,89 m/s

H2O/20 ◦CTab. 6-7−−−−−→ν = 1,004 ·10−6 m2

s

ReI =0,89 ·0,15

1,004 ·10−6 = 1,32 ·105

DI/ks, I = 250

Bild 6-11−−−−−→

−→ λI = 0,0293λI etwa wie in 1. Näherung angenommen.Da, wie die bisherige Rechnung zeigt, vongeringem Einfluss auf K12, kann bleiben:λI = 0,0285

λII: Re II =cII ·DII

νII=

cII ·DII

νda ν(t) = konst

cII = cIII · (DIII/DII)2 = 2 · (0,1/0,12)2

= 1,39 m/s

ReII =1,39 ·0,12

1,004 ·10−6 = 1,66 ·105

DII/ks, II = 200

Bild 6-11−−−−→

−→ λII = 0,0307 ≈ 0,03 (wie angen.)

λIII: ReIII =2 ·0,1

1,004 ·10−6 ≈ 2 ·105

DIII/ks, III = 167

Bild 6-11−−−−→

−→ λIII = 0,0325 ≈ 0,032 (wie angen.)

Es bleibt deshalb c2 = 2 m/sc2 = 2 m/sc2 = 2 m/s.

Damit wird der Volumenstrom im Rohrsystem:

V = c2A2 = c2π4

D2III = 2

π4

0,12[m

sm2

]

=== 0,0157m3/s

b) Der kleinste Druck tritt im Rohr auf derDammkrone (höchster Punkt) auf. Infolge derReibungsverluste wird der niedrigste Druckkurz vor (Fall 1) oder eher kurz nach (Fall 2)dem zweiten Kniestück K2 auftreten (Stelle A).Grund:Der Durchmesser ändert sich im Kniestück von120 auf 100 mm, weshalb der Druck gemäßE-Gl. ebenfalls sinkt.Der Druck in Stelle A ergibt sich wieder aus derEnergiegleichung, angesetzt zwischen Stelle 1©und A© oder zwischen den Stellen A© und 2©.Mit Berücksichtigen der Abströmenergie →EE A©– 2©:

zA ·g +pA

�+

c2A

2= z2 ·g +

p2

2+

c22

2+YV, A2


Mit:

zA = H1 + H2; pA = ?; cA = cII

= cIII(DIII/DII)2

z2 = 0; p2 = pb; c2 = cIII

Fall 1:Fall 1:Fall 1: Stelle A kurz vor K2 → cA = cIII = c2

YV, A2 = YV,K2 +YV, III =(ζK2 +λIII · LIII

DIII

)c2

III

2

= (0,25 + 0,032 · (29/0,1)) · c2III/2

= 9,53 · c22/2 (lt. K1 2; Frage a)

ergibt:

(H1 + H2) ·g +pA

�+

c22

2·(

DIII

DII

)4

=pb

�+

c22

2+ 9,53 · c2

2

2

Hieraus:

pA − pb

�=

(10,53−

(DIII

DII

)4)· c2

2

2

− (H1 + H2)g

=

(10,53−

(0,1

0,12

)4)· 22

2

[m2

s2

]

− (3,5 + 4) ·9,81[m · m

s2

]

= −53,48 m2/s2

pb − pA = 53,48 ·[

m2

s2

]·�

= 53,48 ·103[

m2

s2 · kgm3

]

= 0,53 ·105 Pa = 0,53bar === pppA, u

Fall 2:Fall 2:Fall 2: Stelle A kurz nach K2 → cA = cIII = c2

YV, A2 = λIII · LIII

DIII· c2

III

2

= 9,28 · c2III

2(lt. K1 2; Frage a)

Damit wird:

(H1 + H2) ·g +pA

�+

c22

2=

pb

�+

c22

2+ 9,28 · c2

2

2

pA − pb

=(9,28 · c2

2/2− (H1 + H2) ·g) ·�

=(9,28 ·22/2− (3,5 + 4) ·9,81

) ·103 [Pa]

= −55,02 ·103 Pa = −0,55 bar (Unterdruck!)

Ergebnis: Kleinster Druck bei Stelle A nachK2; Unterschied jedoch gering (0,02 bar).

Ohne Berücksichtigen der Abströmenergiec2

2/2:

Die kinetische Austrittsenergie c22/2 könnte

nur dann weitgehend zurückgewonnen, d. h.in Druckenergie umgesetzt werden, wenn andas Rohr ein Diffusor angebaut würde. Dannergäbe sich bei:

Fall 1:

(H1 + H2) ·g +pA

�+

c2III

2·(

DIII

DII

)4

= (pb/�)+ 9,53 · c2III/2 hieraus

pA − pb

= � ·[(

9,53− (DIII/DII)4)· (c2

III/2)

−(H1 + H2) ·g]

= 103 [(9,53− (0,1/0,12)4)(22/2)

−(3,5 + 4) ·9,81]

[Pa]

= −55,48 ·103 Pa ≈−0,55 bar

Fall 2:

(H1 + H2) ·g +(pA/�)+ c2III/2

= (pb/�)+ 9,28 · c2III/2 hieraus

pA − pb

= � · [8,28 · (c2III/2)− (H1 + H2) ·g

]

= 103 [8,28 · (22/2)− (3,5 + 4) ·9,81][Pa]

= −57,02 ·103 Pa ≈−0,57 bar

pA, u = pb − pA ≈ 0,57 bar (Unterdruck)

Ergebnis: Unterschied in beiden Fällen gegen-über den vorhergehenden Berechnungen jeweilsetwa 0,02 bar.


c) α) EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = 0; p2 = pb; c2 = ?

und

YV,12 = YV,E +YV,R I +YK 1 +YV,R II

+YK 2 +YV,R III

=(ζE +λ · Lges

D+ ζK 1 + ζK 2

)· c2

2

2

wird:

H1 ·g =[

1 +λ · Lges

D+ ζE + ζK 1 + ζK 2

]· c2

2

2

Hieraus:

c2 =

√2 ·g ·H1

1 +λ ·Lges/D+ ζE + ζK 1 + ζK 2

Mit den λ - und ζ -Werten von Frage a) ergibtsich in 1. Näherung:

c2 =√√√√√2 ·9,81 ·3,5

1 + 0,0285 · 8 + 50 + 290,15

+ 0,5 + 0,32 + 0,08

[√(m/s2) ·m

]

c2 = 1,93 m/s

(nur wenig verschieden von Frage a)


Re =c2 ·Dν

=1,39 ·0,15

1,004 ·10−6

= 2,9 ·105

D/ks = 150/0,6 = 250

Bild 6-11−−−−−−→

−→ λ = 0,0285 (wie angen.)

Es bleibt deshalb c2 = 1,93 m/s. Damit wird:

V = c2 · (π/4) ·D2

= 1,93 · (π/4) ·0,152 [(m/s) ·m2]

V = 0,0341 m3/s = 122,8 m3/h

V ist also fast doppelt so hoch wie bei Frage a).

β ) Druck in Stelle A:

EE 1©– A©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= zA ·g +

pA

�+

c2A

2+YV,1A

Mit

z1 = H1; p1 = pb; c1 ≈ 0

zA = H1 + H2; pA = ?; cA = c2

und

YV, 1 A =(λ · LI + LII

D+ ζK 1 + ζK 2

)· c2

A

2

=(

0,0285 · 8 + 500,15

+ 0,08 + 0,25

)· c2

2

2= 11,42 · (c2

2/2)

wird:

pA = pb −(

H2 ·g + 12,42 · c22

2

)·�

pA = 1 ·105−(

4 ·9,81 + 12,42 · 1,962

2

)·103

[Nm2

] [(m · m

s2

m2

s2

)· kg

m3

]

pA = 1 ·105−0,62 ·105 [N/m2]pA = 0,38 ·105 Pa = 0,38 bar

undpA, u = pb − pA = 0,62 bar (Unterdruck!)

Ü 30



EEEEEE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit

z1 = 0; p1 = pP = pP, ü + pb; c1 = cI = ?

z2 = H; p2 = pb; c2 ≈ 0

wird:

pP

�+

c21

2= H ·g +

pb

�+YV, 1 2

Annahme: Kinetische Energie c2II/2 am Über-

tritt von Rohr II in OW-Behälter wird – wiebei einem Diffusor – zurückgewonnen, d. h. inDruck umgesetzt. Ist in der Praxis jedoch oft-mals nicht der Fall.

Weiter gilt:

YV, 1 2 =2©∑

i= 1©YV, i = YV, V +YV, R I +YV, K I

+YV, Sp +YV, R II + 2 ·YV, K II

=(ζV + ζK I +λI · LI

DI

)· c2

1

2

+(ζSp +λII · LII

DII+ 2 ·ζK II

)· c2

II

2aus K I–II:

cII = cI ·(

DI

DII

)2

= cI ·(

200125

)2

= 2,56 · cI

Eingesetzt ergibt:

YV, 1 2 =

[ζV + ζK I +λI · LI

DI

+(ζSp +λII · LII

DII+ 2 ·ζKII

)·(

DI

DII

)4]· c

2I

2

YV, 1 2 = K1 2 · c2I /2

Hierbei Abkürzung K1 2 für gesamten Ausdruckder eckigen Klammer.


H2O/10 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,297 ·10−6 m2/s

Rohr, St leicht

verkrustet

⟩Tab. 6-14−−−−→

⟨k=0,15 bis 0,4 mm

angen. ks = 0,4 mm

λ -Werte:

λI : ReI = cI ·DI/ν =?, da cI unbekannt.

DI/ks = 200/0,4

= 500Bild 6-11−−−−−−→ λI ≥ 0,0235

λII : ReII = cII ·DII/ν =?, da cII unbekannt.

DII/ks = 125/0,4

= 313Bild 6-11−−−−−−→ λII ≥ 0,027

1. Näherung: λI = 0,0235;λII = 0,027 gesetzt

ζ -Werte:

ζV: NW200; Bild 4-30 −→ ζV = 3,85

ζKI: R/D = 4, rau; Bild 4-15 −→ ζKI = 0,23

ζSp: m = (125/200)2 = 0,39;

Bild 4-25 −→ ζSp = 0,35

ζKII: R/D = 3, rau; Bild 4-15 −→ ζKII = 0,26

Eingesetzt ergibt sich in 1. Näherung fürReibungs-Faktor K1 2:

K1 2 = 3,85 + 0,23 + 0,0235 · 400,2

+(

0,35 + 0,027 · 600,125

+ 2 ·0,26

)·2,562

K1 2 = 8,78 + 90,64 = 99,4.

Damit wird:

YV, 1 2 = 99,4 · c2I /2 = 49,7 · c2

I

Eingesetzt in E-Gl.:

pP

�+

c2I

2= H ·g +

pb

�+ 49,7 · c2

I

1�· pP, ü =

1�(pP − pb) = H ·�+ 49,2 · c2

I

Hieraus:

cI =

√1

49,2· ((pP, ü/�)−g ·H)


cI =

√1

49,2· ((5 ·105/103)−9,81 ·12)

·[√

N/m2

kg/m3

ms2 ·m

]

cccI === 2,78m/s≈≈≈ 2,8m/s


λI : ReI =cI ·DI

ν=

2,78 ·0,21,297 ·10−6 = 4,3 ·105

DI/ks = 500

Damit nach Bild 6-11: λI = 0,0238

λII : ReII =cII ·DII

νcII = 2,56 · cI = 2,56 ·2,78 = 7,12 m/s

ReII =7,12 ·0,1251,297 ·10−6 = 6,9 ·105

DII/ks = 313

Damit bleibt nach Bild 6-11: λII = 0,027

λ -Werte etwa wie angenommen, deshalb bleibtcI = 2,78 m/s. Damit wird:

V = AI · cI =π4·D2

1 · cI

=π4·0,22 ·2,78 [m2 ·m/s]

VVV = 0,0873 m3/s = 314 m3/h= 0,0873 m3/s = 314 m3/h= 0,0873 m3/s = 314 m3/h

EE UW- 1© mit Energiezufuhr YP (Pumpe):

zUW ·g +pUW

�+

c2UW

2

= z1 ·g +p1

�+

c21

2+YV, P −YP

Mit

zUW = 0; pUW = pb; cUW ≈ 0

z1 = 0; p1 = pb; c1 = cI

wird:

YP =pP − pb

�+

c21

2+YV, P =

1�

pP, ü +c2

I

2+YV, P

Da PumpenverlusteYV, P nicht bekannt, wird mitden theoretischen Werten gerechnet (YV, P = 0):

YP, th =1�· pP, ü +

c2I

2

=5 ·105

103

[N/m2

kg/m3

]+

2,82

2

[m2

s2

]

= 500 + 3,92[m2/s2] = 503,92 m2/s2

Damit wird:

PP, th = m ·YP, th = � · V ·YP, th

= 103 ·0,086 ·503,92

· [(kg/m3) · (m3/s) · (m2/s2)]

PPPP, th === 43 ·103 N ·ms

=== 43 ·103 W === 43kW

Die tatsächliche, d. h. notwendige Leistungder Pumpe ist um deren Verluste größer;PP, e = PP, th/ηe, effektiver Wert. Hierbei effek-tiver Wirkungsgrad gemäß Erfahrung und/oderVersuchen.

Ü 31


EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV, 1 2

Mit

z1 = 0; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = H −h; p2 = pb − pu +� ·g ·h; c2 = ?

wird:


pb

�= (H −h) ·g +

pb − pu +� ·g ·h�

+(c22/2)+YV, 1 2

0 = H ·g− pu

�+

c22

2+YV, 1 2

Bemerkung: Kinetische Energie c22/2 kann

nicht zurückgewonnen, d. h. in Druck um-gesetzt werden, da kein Ausströmdiffusorvorhanden. Sie geht daher über Wirbelbildungverloren, d. h. wird in Wärme umgesetzt.

Mit

YV, 1 2 =(ζS +λ · L

D+ 5 ·ζK + ζV

︸︷︷︸K12

)· c2

2

2

= K1 2 · c22/2

folgt:

0 = H ·g =pu

�+(1 + K12)

c22

2

Hieraus:

c2 =

√2

1 + K1 2

(pu

�−H ·g

)


λ : λ = f (Re,D/ks)

Rohr, St mäßig

angerostet

⟩Tab. 6-14−−−−→

⟨k = 0,15 . . .0,4 mm

angen. ks =0,3 mm

Re = c2 ·D/ν =? da c2 noch unbekannt

D/ks = 150/0,3 = 500Bild 6-11−−−−−−→ λ ≥ 0,0235

1. Näherung: λ = 0,0235 gesetzt

ζ -Werte:

ζS: nach Tab. 4-2 ζS = 2 bis 3, angen. ζS = 2,5

ζK: nach Bild 4-15 für R/D = 3 → ζK = 0,26

ζV: nach Bild 4-30 für NW150 → ζV = 0,6

Mit diesen Werten wird Faktor K1 2 in 1. Nähe-rung:

K1 2 = 2,5+0,0235 · 250,15

+5 ·0,26+0,6 = 8,32

Damit ergibt sich die Ausflussgeschwindigkeit:

c2 =

√2

1 + 8,32·(

0,72 ·105

103 −4,2 ·9,81

)

[√N/m2

kg/m3 m · ms2

]

= 2,57 m/s


H2O/15 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,134 ·10−6 m2/s

Re =c2 ·Dν

=2,57 ·0,15

1,134 ·10−6 = 3,4 ·105

D/ks = 500

Bild 6-11−−−−−−→ λ = 0,024

Dann wird in 2. Näherung:

K1 2 = 2,5 + 0,024 · 250,15

+ 5 ·0,26 + 0,6 = 8,4

Damit:

c2 =

√2

1 + 8,4·(

0,72 ·105

103 −4,2 ·9,81

)

= 2,56 m/s

Nur geringfügige und deshalb vernachlässig-bare Veränderung von c2, so dass eine zweiteNachprüfung von λ nicht mehr notwendig.

Der angesaugte Volumenstrom wird dann:

V = A · c2 = (π/4) ·D2 · c2

mit c2 = 2,56 m/s folgt:

V = (π/4) ·0,152 ·2,56[m2 · m

s

]

VVV === 0,045m3/s === 162,8m3/h


Ü 32


a) Die beiden Strömungszweige, Kurz-schlussweg II und Heizkörperweg I sind paral-lel geschaltet. Deshalb Druckverlust in beidenZweigen gleich groß (Abschnitt 4.1.1, 5.1):

YV, I = YV, II

Außerdem gilt die Kontinuitätsbedingung:

Vzu = VI + VII = Vab

Auswertung:

YV, I =(ζT, I +λI · LI

DI+ ζH + ζHK + ζK

)· c2

I

2

+ ζV, I · c2ab

2

YV, II ≈(ζT, II +λII · LII

DII+ ζW

)· c2

II

2+ ζV, II · c2

ab

2Strömungsgeschwindigkeit in allen Bauteilenvon Weg I (außer HK) und auch von Weg IInäherungsweise jeweils etwa gleich groß→ cI ≈ cII ≈ cab.Also Zu- und Abflussgeschwindigkeit gleichgesetzt (czu ≈ cab), wie in Heizungszweigenüblich (Isokinetik). Falls Unterschied vorhan-den, wirkt sich dieser erfahrungsgemäß kaumaus, weshalb auch dann meist vernachlässigbar.


H2O/70 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 0,412 ·10−6 m2/s

Rohr, St leicht angerostetTab. 6-14−−−−→ ks ≈ 0,15 mm

λI:ReI =

1,1 ·0,0250,412 ·10−6 = 6,7 ·104

DI/ks = 25/0,15 = 167

Bild 6-11−−−−−→

λI = 0,0335

λII:ReII =

1,2 ·0,0320,412 ·10−6 = 9,3 ·104

DII/ks = 32/0,15 = 213

Bild 6-11−−−−−→

λII = 0,0315

ζT: VI = cI ·AI = 1,1 · π4·0,0252

[ms·m2

]

= 5,4 ·10−4 m3/s

VII = cII ·AII = 1,2 · π4·0,0322

[ms·m2

]

= 9,7 ·10−4 m3/s

Vzu = VI + VII = 15,1 ·10−4 m3/s

VI/Vzu = 0,36Bild 6-31−−−−−→δ=90◦

⟨ζT, I = ζa = 0,9

ζT, II = ζd = −0,15

ζV: VI/Vab = 0,36Bild 6-31−−−−−→δ = 90◦

⟨ζV, I = ζa = 0,05

ζV, II = ζd =0,32

ζH: NW 25Bild 4-30−−−−−−→ ζH = 2,8

ζK: angen. R/D = 1, rauBild 4-15−−−−−−→ ζK = 0,5

Mit diesen Werten ergibt sich:

YV, I =(

0,9 + 0,0335 · 0,90,025

+ 2,8 + 2,75

+ 0,5 + 0,05

)· 1,12

2= 4,965 m2/s2

YV, II =(−0,15 + 0,0315 · 1,8

0,032+ 0,32

+ ζW

)· 1,22

2= 1,398 + 0,72 ·ζW

[m2

s2

]

Gleichgesetzt: YV, I = YV, II

4,965 = 1,398 + 0,72 ·ζW

Hieraus: ζζζW === 4,95

Nach Bild 4-30 erreichen Durchgangsventilevon NW 32 solche ζ -Werte (geöffnet oderteilweise geschlossen).

b) Aus D : A = V/c

mit Azu = Aab, da Vzu = Vab und czu = cab


wird Azu = Aab = 1,51 ·10−3/1,2

[m3/sm/s

]

= 1,258 ·10−3 m2

und DDDzu = DDDab = 0,04 m = 40mm

c) ΔΔΔpppV = � ·YV, I = � ·YV, II

= 977,7 ·4,965

[kgm3 · m2

s2

]

= 0,04850,04850,0485 ·105 Nm2 ≈≈≈ 0,05 ·105 N/m2N/m2N/m2

ΔΔΔpppV === 0,05 ·105 Pa === 0,05 bar

PPPV = ΔpV · (VI + VII) = ΔpV · Vzu

= 0,05 ·105 ·15,1 ·10−4[

Nm2 · m3

s

]

= 7,55 W

Ü 33


a) EE 3©– 4©:

z3 ·g +p3

�+

c23

2= z4 ·g +

p4

�+

c24

2+YV,34

Mit z3 = 0; p3 = p3, ü + pb; c3 =?

z4 = 0; p4 = pb; c4 =?

und

YV, 3 4 =(λ ′

I ·L′

I

DI+ ζA, I

)· c2

4

2wird:

p3, ü

�+

c23

2=

(1 +λ ′

I ·L′

I

DI+ ζA, I

)· c2

4

2

EE 3©– 5© ergibt entsprechend:

p3, ü

�+

c23

2=

(1 +λII · LII

DII+ ζA, II

)· c2

5

2

Gleichgesetzt:(

1 +λ ′ · L′I

D′I+ ζA, I

)· c2

4

2

=(

1 +λII · LII

DII+ ζA, II

)· c2

5

2


H2O/20 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,004 ·10−6 m2/s

λ ′I

λI

λII

⎫⎪⎬⎪⎭

Re =?,da c unbekannt

D/ks = 100/1 = 100

⟩Bild 6-11−−−−→ λ ≥ 0,038

1. Näherung λ ′I = λI = λII = 0,038 gesetzt:

ζA, I

ζA, II

}δ = 45◦

angen. VII/VI =0,6

⟩Bild 6-31−−−−−−→

−→⟨ζA, I = ζd = 0,07

ζA, II = ζa = 0,37

Eingesetzt ergibt 1. Näherung:

(1 + 0,038 · 22

0,1+ 0,07

)· c2

4

2

=(

1 + 0,038 · 120,1

+ 0,37

)· c2

5

2→

c5 = 1,26 · c4

K I–I′–II: VI = V ′I + VII

AI · cI = A′I · c′I + AII · cII

Mit AI = A′I = AII; c′I = c4; cII = c5

wird cI = c4 + c5

Hieraus mit der Gl. für c5: c4 =c4 =c4 = 0,44 ·cccI


Damit Überprüfung von VII/VI:

VII

VI=

AII · cII

AI · cI=

cII

cI=

c5

cI=

1,26 · c4

c4/0,44

= 0,55 ≈ 0,6

Etwa wie angenommen, also bleiben ζA, I undζA, II.

EE 1©– 4©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z4 ·g +

p4

�+

c24

2+YV,14

Mit z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z4 = 0; p4 = pb; c4 = ?

wird: H ·g = (c24/2)+YV, 1 4

Hierbei:

YV, 1 4 =(ζE +λI · LI

DI

)· c2

I

2

+(ζA, I +λ ′

I ·L′

I

D′I

)· c′2I

2


Wie unter Frage a) in 1. Näherung angenom-men:

λI = λ ′I = 0,038 und ζA, I = 0,07

ζE: scharfkantigBild 4-19a−−−−−−→ ζE = 0,5

Eingesetzt ergibt in 1. Näherung mit D′I = DI:

YV,14 =(

0,5 + 0,038 · 100,1

)· (c4/0,44)2

2

+(

0,07 + 0,038 · 220,1

)· c2

4

2

= 15,81 · c24

Damit wird:

H ·g = (c24/2)+ 15,81 · c2

4 = 16,31 · c24

Hieraus:

c4 =√

H ·g16,31

=

√8 ·9,8116,31

[√m

ms2

]= 2,19

ms

Damit: cccI = c4/0,44 = 4,98 m/s4,98 m/s4,98 m/s

ccc′I = c4 = 2,19 m/s2,19 m/s2,19 m/s

cccII = c5 = cI − c4 = 2,79 m/s2,79 m/s2,79 m/s


H2O/20 ◦CTab. 6-7−→ ν = 1,004 ·10−6 m2/s

λI :ReI =

4,98 ·0,11,004 ·10−6 = 5,0 ·105

DI/ks = 100

Bild 6-11−−−−−→

λI = 0,038

λ ′I :

Re′I =2,19 ·0,1

1,004 ·10−6 = 2,2 ·105

D′I/ks = 100

Bild 6-11−−−−−→

λ ′I = 0,038

λII :ReII =

2,79 ·0,11,004 ·10−6 ≈ 2,8 ·105

DII/ks = 100

Bild 6-11−−−−→

λII = 0,038Die λ -Werte stimmen mit den angenommenenüberein. Die ermittelten Geschwindigkeitensind deshalb richtig.

b) D: V = c ·AAI = A′

I = AII = (π/4) ·D2 = (π/4) ·0,12 m2

= 7,85 ·10−3 m2

VI = cI ·AI = 4,98 ·7,85 ·10−3[

ms·m2

]

= 0,04m3/s0,04m3/s0,04m3/s

V ′I = c′I ·A′

I = 2,19 ·7,85 ·10−3[

ms·m2

]

= 0,017m3/s0,017m3/s0,017m3/s

VII = cII ·AII = 2,79 ·7,85 ·10−3[

ms·m2

]

= 0,022m3/s0,022m3/s0,022m3/s


Ü 34


EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV,12

Mit z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z2 = 0; p2 = ?; c2 = c = V/A

und

YV, 1 2 =(ζE + ζK, 7 0 + 2 ·ζK +λ · L

D+ ζS

)· c2

2

2

= K1 2 · c22

2mit

K1 2 =(ζE + ζK, 7 0 + 2 ·ζK +λ · L

D+ ζS

)

wird:

p2, ü = p2 − pb = � ·[

H ·g− (1 + K12) · c22

2

]



Re =c ·Dν

c =VA

=2000

0,52 ·π/4· 1

3600

[m3/h

m2 · hs

]

= 2,83 m/s

H2O/10 ◦CTab. 6-7−−−−→ ν = 1,297 ·10−6 m2/s

Rohr, St leicht

angerostet

⟩Tab.−−−→

6−14

k ≈ 0,15 mm

angenommen

ks ≈ 0,15 mm

Re =2,83 ·0,5

1,297 ·10−6 = 1,1 ·106

D/ks = 500/0,15 = 3333

Bild 6-11−−−−−−→

λ = 0,016

ζE:δE = 20◦

scharfkantig

⟩(4-63)−→

−→⟨ζE = 0,5 + 0,3 · sin20◦

+ 0,2 · sin2 20◦ = 0,63

ζK:R/D = 4

rau

⟩ Bild 4-15−−−−−−→ ζ = 0,22

Bild 6-14−−−−−−→ ζ = 0,22Bild 6-25−−−−−−→ ζ = 0,23

−→

ζK ≈ 0,23

ζK, 7 0: (4-58) ζK, 7 0 =(

7090

)3/4

·0,23 = 0,19

ζS: NW 500Bild 4-30−−−−−−→ ζS = 0,31

Mit diesen Werten ergibt sich für Faktor K1 2:

K1 2 = 0,63 + 0,19 + 2 ·0,23

+ 0,016 · (730/0,5)+ 0,31

= 0,63 + 0,65 + 23,36 + 0,31

= 1,59 + 23,36

= 24,95

Es ergibt sich: Reibfaktor K12 wird also fastausschließlich durch die Rohrreibung bestimmt.Der Anteil aller Einbauten beträgt nur etwa 6%.Eingesetzt:

p2, ü = 103 ·[

300 ·9,81− (1 + 24,95) · 2,832

2

]

[kgm3 ·

(m · m2

s2

m2

s2

)]

ppp2, ü = 28,4 ·105N/m2 = 28,4 ·105 Pa

= 28,4 bar


Der Turbine zugeführte Leistung:

P = p2, ü · V = 28,4 ·105 · 20003600

[Nm2 · m3

s

]

= 1,58 ·106 Nm/s

PPP === 1,58 ·106106106 W = 1,58 MW

Kinetische Leistung m · c2/2 des strömendenMediums hierbei, da vergleichsweise klein, ver-nachlässigt.

Rohrleitungswirkungsgrad:

ηR =Pnutz

Pth=

PPth

=V · p2, ü

V · pth, ü=

p2, ü

� ·g ·H

ηR =28,4 ·105

103 ·9,81 ·300

[N/m2

(kg/m3) · (m/s2) ·m]

= 0,96

Ü 35


a) EE 1©– 3©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z3 ·g +

p3

�+

c23

2+YV, 1 3

Mit z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

z3 = 0; p3 = pb; c3 = cII = ?

YV, 1 3 = YV, E +YV, K +YV, I +YV, K +YV, II

=(ζE + ζK, I +λI · LI

DI

)· c2

I

2

+(ζK, II +λII · LII

DII

)· c2

II

2

und K I–II : AI · cI = AII · cII

cI = cII · AII

AI= cII ·

(DII

DI

)2

= cII ·(

4060

)2

=1

2,25· cII = 0,444 · cII

YV, 1 3 =

[(ζE + ζK, I +λI · LI

DI

)·(

DII

DI

)4

+ ζK, II +λII · LII

DII

]· c2

II

2= K1 3 · c2

II

2

wird H ·g = (1 + K1 3) · c23

2

Hieraus c3 =√

2 ·g ·H1 + K1 3


H2O/20 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,004 ·10−6 m2/s

λI: ReI =cI ·DI

ν=?,da cI unbekannt.

DI/ks, I = 60/0,1 = 600Bild 6-11−−−−−−→

λI ≥ 0,023

λII: ReII =cII ·DII

ν=?,da cII unbekannt.

DII/ks, II = 40/0,1 = 400Bild 6-11−−−−−−→λII ≥ 0,025

1. Näherung: λI = 0,023; λII = 0,025

ζE: scharfkantigBild 4-19a−−−−−−→ ζE = 0,5

ζK, I : angen. R/D = 3Bild 4-15−−−−−−→ ζK, I = 0,26

ζK, II :Ri/DI = 0,25; Ra/DI = 1,5

AA/AE = (DII/DI)2 = 0,44 ≈ 0,5

⟩−→

Bild 4-16−−−−−−→ ζK, II = 0,36

Mit diesen Werten ergibt sich für Faktor K1 3:

K1 3 =(

0,5 + 0,26 + 0,023 · 30,06

)·(

4060

)4

+ 0,36 + 0,025 · 20,04

= 1,987


Eingesetzt ergibt 1. Näherung für c3:

c3 =

√2 ·9,81 ·4,51 + 1,987

[√ms2 · m

]= 5,44 m/s


cII = c3 = 5,44 m/s; cI = 0,444 · cII

= 2,39 m/s

λI: ReI =2,39 ·0,06

1,004 ·10−6 = 1,4 ·105

DI/ks, I = 60/0,1 = 600→

Bild 6-11−−−−−−→ λI = 0,024

λII: ReII =5,44 ·0,04

1,004 ·10−6 = 2,2 ·105

DII/ks, II = 40/0,1 = 400→

Bild 6-11−−−−−−→ λII = 0,0255

Damit ergibt sich der endgültige Wert für K1 3:

K1 3 =(

0,5 + 0,26 + 0,024 · 30,06

)·(

4060

)4

+ 0,36 + 0,0255 · 20,04

= 2,022

Eingesetzt ergibt sich letztlich für c3:

c3c3c3 =

√2 ·9,81 ·4,51 + 2,022

= 5,41m/s5,41m/s5,41m/s

Damit folgt für den ausfließenden Volumen-strom:

V3V3V3 = c3 ·A3 = 5,41 · π4·0,042

[ms·m2

]

= 6,80 ·10−36,80 ·10−36,80 ·10−3 m3/s

b) EE 1©– x©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= zx ·g +

px

�+

c2x

2+YV, 1 x

Mit

z1 = H; p1 = pb; c1 ≈ 0

zx = H −Hx; px = ?; cx = cI = 0,444 · c3

YV, 1 x =(ζE + ζK, I +λI · Lx

DI

)· c2

I

2

=(

0,5 + 0,26 + 0,024 · 20,06

)· c2

I

2

= 1,56 · c2I /2

wird:

H ·g +pb

�= (H −Hx) ·g +

px

�+

c2I

2+ 1,56 · c2

I

2

Hieraus:

px, ü = px − pb = � · (Hx ·g−1,28 · c2I

)

Zahlenwerte eingesetzt ergibt:

px, ü =103 (9,81 ·3−1,28 · (0,444 ·5,41)2)

·[

kgm3 (m2/s2)

]

pppx, ü = 0,220 ·105 N/m2 ≈ 0,22 ·105 Pa

= 0,22 bar

Ü 36


Bestimmung der λ - und ζ -Werte

λI: ReI =? da cI noch unbekannt

DI/ks = 150/0,5

= 300Bild 6-11−−−−−−→ λI ≥ 0,0275

λII: ReII =?

DII/ks = 100/0,5

= 200Bild 6-11−−−−−−→ λII ≥ 0,0305


λIII: ReIII =?

DIII/ks = 250/0,5

= 500Bild 6-11−−−−−−→ λIII ≥ 0,0235

In 1. Näherung gesetzt:

λI =0,0275; λII = 0,0305; λIII = 0,0235

ζE: ScharfkantigBild 4-49a−−−−−−→ ζE, I = ζE, II

= ζE = 0,5

ζK: R/D = 5, rauBild 4-15−−−−−−→ ζK, I = 0,20

Näherungsweise nach Bild 6-32, obwohlDurchmesser D ungleich.

ζT: δ = 90◦ angenommen

VII/VIII = Va/V = 0,35

⟩Bild 6-32−−−−−−→

−→⟨ζT, I = ζd = 0,35

ζT, II = ζa = 0,1

EE 1©– 3©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z3 ·g +

p3

�+

c23

2+YV, 1 3

Mit

z1 = H1; p1 = pb; c1 ≈ 0

z3 = 0; p3 = pb; c3 = cIII = ?

und

YV, 1 3 =(ζE, 1 + 2 ·ζK, I +λI · LI

DI

)· c2

I

2

+(ζT, I +λIII · LIII

DIII

)· c2

III

2

=(

0,5 + 2 ·0,2 + 0,0275 · 5000,15

)· c2

I

2

+(

0,35 + 0,0235 · 8000,25

)· c2

III

2

= 46,28 · c2I + 37,75 · c2

III

wird:

H1 ·g = 0,5 · c2III +YV, 1,3

H1 ·g = 46,28 · c2I + 38,25 · c2

III (A)

EE 2©– 3©:

z2 ·g +p2

�+

c22

2= z3 ·g +

p3

�+

c23

2+YV, 2 3

Mit z2 = H2; p1 = pb; c2 ≈ 0

z3 = 0; p3 = pb; c3 = cIII = ?

und

YV, 2 3 =(ζE, II +λII · LII

DII

)· c2

II

2

+(ζT, II +λIII · LIII

DIII

)· c2

III

2

=(

0,5 + 0,0305 · 3000,1

)· c2

II

2

+(

0,1 + 0,0235 · 8000,25

)· c2

III

2

= 46 · c2II + 37,7 · c2

III

wird:

H2 ·g = (c2III/2)+YV,23

H2 ·g = 46 · c2III + 38,2 · c2

III (B)

K I–II–III: VI + VII = VIII

cI ·D2I + cII ·D2

II = cIII ·D2III (C)

Damit sind drei Gleichungen (A, B, C) für diedrei unbekannten Geschwindigkeiten cI,cII undcIII verfügbar. Dieses Gleichungssystem mussgelöst werden, wobei 0,05 ·c2

III vermutlich alsgering vernachlässigt:

(A)− (B): (H1 −H2) ·g = 46,28 · c2I −46 · c2

II

Hieraus:

c2I =

146,28

· [(H1 −H2) ·g + 46 · c2II

]

aus (B) c2III =

138,2

· [H2 ·g−46 · c2II

]

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

→ (C)

D2I ·

√1

46,28· [(H1 −H2) ·g + 46 · c2

II

]+ D2

II · cII

= D2III ·

√1

38,2· [H2 ·g−46 · c2

II

]


DI = 0,15 m, DII = 0,1 m, DIII = 0,25 m sowieH1 = 25 m, H2 = 30 m und g = 9,81 m/s2 ein-gesetzt liefert Wurzelgleichung für cII in m/s:

0,152 ·√

146,28

· [(25−30) ·9,81 + 46 · c2II

]

+ 0,12 · cII

= 0,252 ·√

138,2

· ( 30 ·9,81−46 · c2II

)

·[√

m · ms2

(m2

s2

)]

0,0225 ·√

0,994 · c2II−1,06+ 0,01 · cII

= 0,0625 ·√

7,704−1,204 · c2II

2,25 ·√

0,994c2II −1,06+ cII

= 6,25 ·√

7,704−1,204 · c2II

Die Gleichung quadriert liefert:

5,063(0,994 · c2

II−1,06)

+ 4,5 · cII ·√

0,994 · c2II−1,06+ c2

II

= 39,063 · (7,704−1,204 · c2II

)

4,5 · cII ·√

0,994 · c2II−1,06

= 306,308−53,064 · c2II

cII ·√

0,994 · c2II−1,06 = 68,068−11,792 · c2

II

Die Gleichung nochmals quadriert ergibt:

c2II ·

(0,994 · c2

II−1,06)

= 4633,253−1605,316 · c2II + 139,051 · c4

II

138,057 · c4II−1604,256 · c2

II + 4633,253 = 0

c4II −11,620 · c2

II + 33,560 = 0

c2II =

11,620±√

11,6202 −4 ·33,5602

= 5,81±0,44

Mathematisch bestehen zwei Lösungen:

1. Lösung:

c2II = 6,25 → cII = 2,50 m/s

Damit werden:

cI =

√1

46,28· [(25−30) ·9,81 + 46 ·2,502]

·[√

m ·m/s2

]

cI = 2,27 m/s

cIII =

√1

38,2· [30 ·9,81−46 ·2,502]

[√m · m

s2

]

=√

0,178 = 0,42 m/s

2. Lösung:

c2II = 5,37 → cII = 2,32 m/s

Damit werden (Dimensionen wie vorher):

cI =

√1

46,28· [(25−30) ·9,81 + 46 ·2,322]

= 2,07 m/s

cIII =

√1

38,3· [30 ·9,81−46 ·2,322]

= 1,10 m/s

Prüfung der Lösungen:

Mit Rohrquerschnitten A = D2π/4 →AI = 17,67 ·10−3 m2; AII = 7,85 ·10−3 m2;AIII = 49,08 ·10−3 m2

Tabelle 7-1. Lösungsvarianten

1. Lösung 2. Lösung

VI = cI ·AI 0,040 m3/s 0,037 m3/sVII = cII ·AII 0,020 m3/s 0,018 m3/sVIII = cIII ·AIII 0,020 m3/s 0,054 m3/sVI +VII 0,060 m3/s 0,055 m3/sVII/VIII 1 0,33

Ergebnis: Die 2. Lösung erfülltK I–II–III→ VI + VII = VIII


Vorhandene geringfügige Abweichung durchRundungsfehler bedingt. Auch wird Aus-gangsannahme VII/VIII = 0,35 gut erfüllt.Neurechnung daher nicht notwendig, wasjedoch nur selten auf Anhieb der Fall. Meistsind wegen unzulänglicher Anfangsschätzung(Startwert) mehrere Rechengänge erforderlich(Iteration).


H2O/10 ◦CTab. 6-7−−−−−→ ν = 1,297 ·10−6 m2/s

λI: ReI =2,07 ·0,15

1,297 ·10−6 = 2,4 ·105

DI/ks = 150/0,5 = 300−→

Bild 6-11−−−−−−→ λI = 0,0275

λII: ReII =2,32 ·0,1

1,297 ·10−6 = 1,8 ·105

DII/ks = 100/0,5 = 200−→

Bild 6-11−−−−−−→ λII = 0,0305

λIII: ReIII =1,10 ·0,25

1,297 ·10−6 = 2,1 ·105

DIII/ks = 250/0,5 = 500−→

Bild 6-11−−−−−−→ λIII = 0,0244Die geringfügigen Abweichungen der λ -Wertekönnen ebenfalls näherungsweise unbeachtetbleiben.Korrektur-Rechnung also auch wegen λ -Wertennicht notwendig. Es gilt somit die 2. Lösungunverändert.

Ü 37


a) EE 1©– 2©:

g · z1 +p1

�+

c21

2= g · z2 +

p2

�+

c22

2+YV, 1 2

Mit

z1 = z2 = 0; c1 = c2 = c; p1 − p2 = Δp

und

YV, 1,2 = λ · LDgl

· c2

2;

wird:

Δp = � ·YV, 1 2 = � ·λ · LDgl

· c2

2= ΔpV

Bestimmung von �,c,Dgl und λ :

�: � = 1/�

�=R ·T

paus dem Gasgesetz

R = 287 J/(kg · K) nach Tab. 6-20

�=287 ·3531,2 ·105

[(J/kg · K) · K

N/m2

]

= 0,8443 m3/kg

� = 1,184 kg/m3

c: c =VA

=V

a ·b=

10 0000,2 ·0,3

· 13600

[m3/hm · m

· hs

]

c = 46,29 m/s

Dgl: Dgl =4 ·AU

=4 ·a ·b

2(a + b)=

2 ·a ·ba + b

=2 ·0,2 ·0,30,2 + 0,3

[m · mm

]

Dgl = 0,24 m


St, verzinktTab. 6-14−−−−−−→

⟨k = 0,1 bis 0,16 mm

angen. ks = 0,15 mm

Luft 80 ◦CTab. 6-9−−−−−→ p ·ν = 2,05 Pa · m2/s

Hieraus:

ν =p ·ν

p=

2,051,2 ·105

[Pa · m2/s

Pa

]

= 1,71 ·10−5 m2

s


Re =c ·Dgl

ν=

46,29 ·0,241,71 ·10−5 = 6,5 ·105

Dgl/ks = 240/0,15 = 1600−→

Bild 6-11−−−−−−→ λ = 0,018

Die Werte eingesetzt ergibt für Δp:

Δp =1,184 ·0,018 · 1200,24

· 46,292

2

·[

kgm3 · m

m· m2

s2

]

ΔpΔpΔp = 0,114 ·105 N/m2 = 0,114 ·105 Pa

= 0,114 bar

P = m ·Y = � · V ·Δp/� = V ·Δp

P =10 0003600

·0,114 ·105[

m3/hs/h

· Nm2

]

PPP = 0,3167 ·105 W = 31,67 kW

Ü 38

Bild 7-29. Lösungsskizze zu Ü 38. Tiefenkoordina-te t

Berechnung als große Öffnung, gemäß (4-80),wobei wichtig: Nicht verwechseln Tiefe t mitZeit t. Hier Tiefe t.

V = μ · Vth = μ ·√

2gsinα

·t2∫

t1

Δx(t) · t1/2 dt

Mit (nach Skizze, Bild 7-29):

t2 = t1 + H · sinα H =√

b2 − (a/2)2

Δx/a = h/H h = (t2 − t)/sinαΔx = a ·h/H = [a/(H · sinα)] · (t2 − t) wird:

V = μ√

2 ·gsinα

· aH · sinα

·∫ t2

t1(t2 − t) · t1/2 dt

Integral-Auswertung:

J =∫ t2

t1(t2 · t1/2 − t3/2)dt =

(t2 · t3/2

3/2− t5/2

5/2

)∣∣∣∣t2

t1

= 2

[(13· t2 · t3/2

2 − 15· t5/2

2

)

−(

13· t2 · t3/2

1 − 15· t5/2

1

)]

= 2 ·(

215

· t5/22 − 1

3· t2 · t3/2

1 +15· t5/2

1

)

Eingesetzt:

V = μa ·√2 ·g

H · (sinα)2

·2 ·(

215

· t5/22 − 1

3· t2 · t3/2

1 +15· t5/2

1

)

Zahlen-Auswertung: μ = 0,63 (Bild 4-42):

H =√

302 − (40/2)2 [√

cm2]

= 22,36 cm ≈ 22,4 cm

t2 = 60 + 22,36 · sin60 [cm]= 79,36 cm ≈ 79,4 cm

V = 0,630,4 ·√2 ·9,81 ·20,224 · (sin60)2 ·

(2

15·0,7945/2

− 13·0,794 ·0,63/2 +

15·0,65/2

)

·[

m ·√m/s2

m· (m5/2 m ·m3/2 m5/2)

]

V = 0,102 m3/s

Zum Vergleich: Berechnung als kleine Öffnung,(4-78),

V = μ ·AM ·√

2g ·TAM = (1/2) ·a ·H = (1/2) ·0,4 ·0,224 [m ·m]

= 0,0448 m2


T = tS = t1 +13·H · sinα

= 0,6 +13·0,224 · sin60 = 0,665 m

V = 0,63 ·0,0448 ·√

2 ·9,81 ·0,665

·[

m2 ·√

(m/s2) ·m]

V = 0,102 m3/s

Also praktisch keine Abweichung, Öffnung da-her noch „klein“.

Ü 39

Bild 7-30. Lösungsskizze zu Ü 39. Nullpunkt vonz-Koordinate unterwasserfest angeordnet (Relativsy-stem), d. h., er steigt mit dem Spiegel im Behälter-teil 2©.

Instationäres Problem, da Spiegelhöhe unddamit Strömungsgeschwindigkeit zeitlich nichtkonstant, also Funktionen der Zeit t (Bild 7-30).Bemerkung: Wieder Zeit t nicht verwechselnmit Tiefe t.Spiegelabstand z(t) → von H bis 0.Zeitabhängige differenzielle Gesamthöhenän-derung der Spiegel um dz = dz1 + dz2:

dz = dz1 + dz2 = dV/A1 + dV/A2

= dV (1/A1 + 1/A2)dz = dV ·K mit K = 1/A1 + 1/A2

Hieraus:

dz/dt = K · dV/dt = K · V Mit (4-86)

dz/dt = K ·μ ·AM ·√

2 ·g · z= K ·μ ·AM ·

√2 ·g · z1/2

D’Gl. umgestellt und integriert, mit Abkürzung:

B = (K ·μ ·AM ·√

2 ·g)−1

=[(1/A1 + 1/A2) ·μ ·AM ·

√2 ·g

]−1

dt =(

K ·μ ·AM ·√

2 ·g)−1 · z−1/2 · dz

= B · z−1/2 · dz

T∫

0

dt =∣∣∣∣B ·

0∫

H

z−1/2 · dz

∣∣∣∣

t

∣∣∣∣T

0=∣∣∣∣B · [z1/2/(1/2)]

∣∣∣∣0

H

∣∣∣∣

Integration entgegenKoordinatenrich-tung z. Deshalb wirdIntegral negativ.Da nur Wert benö-tigt, Betragsstrichegesetzt.

Grenzen eingesetzt, ergibt für Ausflusszeit T ;

T = B ·2 ·√

H

=2

(1/A1 + 1/A2) ·μ ·AM ·√2g·√

H

T =1μ· A2

AM· 1

1 + A2/A1·√

2 · Hg

Bei aufgestautem Gewässer (See, A1 → ∞) mitSolenablauf (Querschnitt AM), jedoch Querflä-che A2 endlich, ergibt sich durch Grenzüber-gang (lim-Bildung).

T =1μ· A2

AM·√

2 · Hg· lim

A1→∞

(1

1 + A2/A1

)

=1μ· A2

AM·√

2 · Hg

Ü 40Gleichung (4-108)FW, R = ζW, R ·� · (c2

∞/2) ·A0

mit c∞ = 20 m/s

A0 = 2 ·b ·L = 2 ·1,5 ·0,2 = 0,6 m2

� = 1,189 kg/m3 nach Tab. 6-8

ν = 1,55 ·10−5 m2/s nach Bild 6-8

ζW, R = f (ReL)

ReL =c∞ ·Lν

=20 ·0,2

1,55 ·10−5 = 2,6 ·105

ReL < Rekr = (3 bis 5) ·105, also laminareGrenzschicht auf ganzer Plattenlänge.


Deshalb nach (4-107)

ζW, R =1,328√

ReL=

1,328√2,6 ·105

= 2,60 ·10−3

Nach Bild 6-42 für ks ≈ 0: ζW, R = 6 · 10−3 →also mehr als doppelt so groß!Welcher Wert der Wirklichkeit entspricht, istletztlich nur experimentell klärbar.

Mit ζW, R = 2,60 ·10−3 wird:

FW, R = 2,60 ·10−3 ·1,189 · (202/2) ·0,6

·[

kgm3 · m2

s2 ·m2]

FFFW, R === 0,37 N bzw. 0,85 N bei ζW, R = 0,006

Ü 41Es gilt:

PW, R = FW, R, ges · cP

mit FW, R, ges = FW, R, Wa + FW, R, Lu

cP = 10 m/s

Wasserseite: Kraft FW, R, Wa nach (4-108)

FW, R, Wa =ζW, R, Wa ·� · (1/2) · c2∞,Wa ·A0, Wa

ζW, R, Wa = f

(ReL,

ks

L

)

H2OTab. 6-7−−−−−→10 ◦C

⟨νWa = 1,297 ·10−6 m2/s

�Wa = 103 kg/m3

Holz, rauTab. 6-14−−−−−−→

⟨k = 1 bis 2,5 mm

angen. ks = 2 mm

ks/L = 2 ·10−3/8 = 0,25 ·10−3

c∞,Wa = cP = 10 m/s

ReL, Wa =c∞,Wa ·LνWa

=10 ·8

1,297 ·10−6

= 6,2 ·107

ReL, Wa > Rekr = 5 ·105,

also turbulente Grenzschicht mit lami-narer Anlaufstrecke.Da 10−2 > ks/L > 10−6, gilt (4-112):

ζW, R, Wa = [1,89−1,62 · lg(ks/L)]−2,5

= [1,89−1,62

· lg(0,25 ·10−3)]−2,5

= 6,03 ·10−3

Oder nach Bild 6-42: ζW, R, Wa = 6 ·10−3

A0, Wa = b ·L = 5 ·8 = 40 m2

FW, R, Wa = 6 ·10−3 ·103 · (1/2) ·102 ·40

·[

kgm3 · m2

s2 ·m2]

= 12 000 N

Luftseite: Kraft FW, R, Lu ebenfalls nach (4-108):

FW, R, Lu = ζW, R, Lu ·�Lu · (1/2) · c2∞,Lu ·A0, Lu

c∞,Lu = 10 + 18 = 28 m/s

Luft 20 ◦C/1 bar:

Nach Tab. 6-8: � = 1,189 kg/m3

Nach Bild 6-9: ν = 1,55 ·10−5 m2/s

ReL, Lu =218

1,55 ·10−5 = 1,4 ·107 > Rekr

Da gleiche relative Rauigkeit wie auf Wasser-seite und überkritische Strömung, gilt wieder(4-112) und Bild 6-42:

ζW, R, Lu = [1,89−1,62 · lg(ks/L)]−2,5

= [1,89−1,62 · lg(0,25 ·10−3)]−2,5

= 6,03 ·10−3

Oder nach Bild 6-42: ζW, R, Lu =6 ·10−3

Es ergibt sich, da gleiche relative Rauigkeit,zwangsläufig der gleiche ζ -Wert wie auf derWasserseite.

Gerechnet mit ζW, R, Lu = 6 ·10−3

A0, Lu = A0, Wa = 40 m2

FW, R, Lu = 6 ·10−3 ·1,189 · (1/2) ·282 ·40

·[

kgm3 · m2

s2 ·m2]

= 111,9 N ≈ 112 N


Damit werden:

FW, R, ges = 12 000 + 112≈ 12 110 N

PW, R = FW, R, ges · cP

PW, R = 12 110 ·10 [N ·m/s]= 121 100 W = 121 kW

Ü 42Plattenreibung mit A0 = L ·TGleichung (4-108)

FW, R = ζW, R ·A0 ·� · c2∞/2

(4-115) kzul ≤ 100 ·L/ReL und k = kvorh

Tab. 6-7: Bei angen. 10 ◦Cν = 1,297 ·10−6 m2/sTab. 6-14: Beton, ungeglättet k = 2 bis 3 mm

ks = (1 bis 1,6) · k = (1 bis 1,6) · (2 bis 3)= 2 bis 4,8 mm

ks = 3,4 mm gesetzt (Mittelwert!)

ks/L = 3,4/200 000 = 1,7 ·10−5

ReL = c∞ ·L/ν = 7 ·200/(1,297 ·10−6)

= 1,08 ·109

kzul ≤ 100 ·200/(1,08 ·109)[m]

= 1,85 ·10−5 m ≈ 0,02 mm

kzul � kvorh (kvorh =2 . . .3 mm)→ raue Platte

ζW, R = (1,89−1,62lg(ks/L))−2,5 (4-112)

ζW, R = (1,89−1,62lg(1,7 ·10−5))−2,5

= 0,0035

Oder aus Bild 6-42: ζW, R ≈ 3,2 ·10−3 (rau!)

FW, R =0,0035 ·200 ·4 ·103 ·72/2

· [m ·m · (kg/m3)m2/s2]

FW, R =68,6 ·103 N ≈ 70 kN

Ü 43Freie Scheibe zugrunde gelegt, dahierbei Radreibung höher als bei

umschlossener.

TR = ζT ·A0 ·R ·� ·u2/2 nach (4-119) je Rad

k = 0,02 bis 0,05 mm nach Bild 6-44 und

Tab. 6-14 für gebeizte Flächen.

ks = (1 bis 1,6)·k = (1 bis 1,6)·(0,02 bis 0,05)= 0,02 bis 0,08 mm

ks = 0,05 gesetzt (Mittelwert)

Luft

1 bar,20 ◦C

⟩Tab. 6-8−−−−−→Bild 6-8

⟨� = 1,19 kg/m3

ν = 1,6 ·10−5 m2/s

(4-116) Re =R ·uν

=0,3 ·180/3,6

1,6 ·10−5

[m ·m/sm2/s

]

= 9,37 ·105

(4-123) ζT =0,023

5√

Re=

0,0235√

9,37 ·105=1,5 ·10−3

(4-124) ζT =0,11

(1,12 + lg(R/ks))2,5

=0,11

(1,12 + lg(300/0,05))2,5

= 2,1 ·10−3 (verwendet!)

Mantel-Berücksichtigung:

Möglichkeit 1, durch (4-125):A0 = 2 ·R ·π(R + b)= 2 ·0,3 ·π(0,3 + 0,2)[m2]

A0 = 0,942 m2 damit

TR = 2,1 ·10−3 ·0,942 ·0,3 ·1,19 · (180/3,6)2/2

· [m2 ·m · (kg/m3) · (m/s)2]TR = 0,883 Nm ≈ 0,88 Nm

Möglichkeit 2, durch (4-127):

ζT +ΔζT = (1 + 1,15 ·b/R) ·ζT

= (1 + 1,15 ·20/30) ·2,1 ·10−3

= 3,71 ·10−3

A0 = 2 ·R2 ·π = 2 ·0,32 ·π [m2] = 0,565 m2

TR = 3,71 ·10−3·0,565 ·0,3 ·1,19 (180/3,6)2/2

· [m2 ·m · (kg/m3) · (m/s)2]TR = 0,935 Nm ≈ 0,94 Nm (≈ 7% größer!)

Vier Räder:

TTT R, ges = 4 ·TR = 4 ·0,94 Nm = 3,76 N m

Reib-, d. h. Verlustleistung, (4-120):

PPPR = TR, ges ·ω = TT, ges ·u/R

= 3,76 ·50/0,3 [Nm · (m/s)/m]= 626,7 W ≈ 0,63 kW


Ü 44Umschlossene Scheibe, (4-119),(4-120) mit (4-129) bis (4-134).

H2O-Sattdampf 1 bar → t = 100 ◦C

Bild 6-10−−−−−−→Tab. 6-20

⟨ν = 22,1 ·10−6 m2/s

� = 0,5796 kg/m3 ≈ 0,58 kg/m3

Bild 6-44 k = 0,0005 bis 0,001 mm;

ks = (1 bis 1,6) · kks = (1 bis 1,6) · (0,0005 bis 0,001)

= 0,0005 bis 0,0016 mm

ks = 0,001 gesetzt (etwa Mittelwert)

Re = R ·u/ν (4-116) mit n = 4800/60 = 80 s−1

u = D ·π ·n = 0,7 ·π ·80 [m ·1/s]= 175 ,93 m/s

Re =0,35 ·175,9322,1 ·10−6

= 2,79 ·106 > Rekr → turbulent

ζT = [1,1 · lg(R/ks)−0,7 · (s/R)0,25]−2 (4-133)

=

[1,1 · lg 350

0,001−0,7 ·

(20

350

)0,25]−2

= 0,0302 ≈ 0,03

Mantel-Berücksichtigung:

1. Möglichkeit, durch (4-125):

A0 = 2 ·R ·π(R + b)

= 2 ·0,35 ·π · (0,35 + 0,03)[m2] = 0,836 m2

TR = ζT ·A0 ·R ·� ·u2/2

= 0,03 ·0,836 ·0,35 ·0,58 ·175,932/2

· [m2 ·m · (kg/m3) · (m/s)2]= 78,8 Nm

2. Möglichkeit, durch (4-134)

ΔζT =bR

(2

Re· R

t+

0,15√

Re· (R/t)+ 1

2 · (R/t)+ 1

)

=30

350

(2

2,79 ·106 ·3501,5

+0,1

5√

2,79 ·106· (350/1,5)+ 1

2 · (350/1,5)+ 1

)

= 2,35 ·10−4

ζT, kor = ζT +ΔζT = 0,03 + 2,35 ·10−4

= 0,0302

A0 = 2 ·R2 ·π = 2 ·0,352 ·π [m2]

= 0,7697 ≈ 0,77 m2

TR = 0,0302 ·0,77 ·0,35 ·0,58 ·175,932/2

= 73 Nm (Unterschied zu 1. ca. 7,3%)

PT = TR ·ω = TR ·2 ·π ·n= 78,8 ·2 ·π ·80 [Nm · s−1]

PR ≈ 39 609 W ≈ 40 kW

ηR = Pe/(Pe + PR) = 180/(180 + 40)≈ 0,82 = 82%

→ Verlust 18% (hoch, obwohl poliert!)

Ü 45


IS 1©– 2©→∑�F = 0↗∑Fx = 0

↘∑Fy = 0

1. ∑Fx = 0: F1 −FWd, x −F2, x = 0 →FWd, x = F1 −F2, x

= F1 −F2 · cosα2. ∑Fy = 0: −FWd, y + F2, y = 0 →

FWd, y = F2, y = F2 · sinα


Mit F1 = I1 + Fp1,ü = m · c1 + A1 · p1, ü

= A1 · (� · c21 + p1, ü)

F2 = I2 + Fp2,ü = m · c2 + A2 · p2, ü

= A2 · (� · c22 + p2, ü)

und

D 1©: c1 =VA1

=750/36000,32 ·π/4

[m3/sm2

]

= 2,95 m/s

D 2©: c2 =VA2

=750/36000,22 ·π/4

[m3/sm2

]

= 6,63 m/s

EE 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+

c21

2= z2 ·g +

p2

�+

c22

2+YV, 1 2

wobei

z1 = 0; p1 = 2,5 ·105 Nm2 ; c1 = 2,95 m/s

z2 = 0; p2 =?; c2 = 6,63 m/s

YV, 1 2 = ζ75 · c22

2

Ra/bE =900300

= 3

Ri/bE =600300

= 2

AA/AE =(

200300

)≈0,5

Bild 4-16−−−−−→ ζ90 = 0,10

ζ75 =(

7590

)3/4

·ζ90 = 0,087 ≈ 0,09

Eingesetzt in E 1©– 2© liefert:

p2 = p1 +�

[c2

1

2− c2

2

2(1 + ζ75)

]

= 2,5 ·105+103[

2,952

2−6,632

2· (1 + 0,09)

]

·[

Nm2

kgm3

(m2

s2

m2

s2

)]

≈ 2,3 ·105 N/m2 =2,3 ·105 Pa=2,3 bar

p1, ü = p1 − pb = 2,5−1 [bar]

= 1,5 bar = 1,5 ·105 N/m2

p2, ü = p2 − pb = 2,3−1 [bar]

= 1,3 bar = 1,3 ·105 N/m2

Mit diesen Werten ergeben sich für die Kräfte:

F1 =π4·0,32(103 ·2,952 + 1,5 ·105)

·[

m2(

kgm3 · m2

s2

Nm2

)]

= 0,1122 ·105 N = 11,22 kN

F2 =π4·0,22 · (103 ·6,632 + 1,3 ·105) [N]

= 0,0547 ·105 N = 5,47 kN

Damit werden:

FWd, x = 11,22−5,47 · cos75◦[kN] = 9,80 kN

FWd, x = 5,47 · sin75◦[kN] = 5,28 kN

FFFWd =√

F2Wd, x + F2

Wd, y =√

9,802 + 5,282

= 11,13 kN

tanβ = FWd, y/FWd, x = 5,28/9,80 = 0,5388 →βββ === 28,3◦

Ü 46a) Nach (4-151):

FWd = � · V1 · (cDü −u) · (1 + cosβ )Mit u = 0 und deshalb V1 = VDü

wird: FWd, 0 = � · VDü · cDü(1 + cosβ )

Nach TORRICELLI-Beziehung (3-92); (3-94):

cDü = ϕDü · cDü, th = ϕDü ·√

2 ·Δp/�

= ϕDü ·√

2 · (pDü − pb)/�

= ϕDü ·√

2 · pDü, ü/�

Bei guten Düsen nach Tab. 4-3:ϕDü = 0,97 bis 0,99, Mittelwert ϕDü = 0,98

Damit:

cDü = 0,98 ·√

2 · 9 ·105

103

⎡⎣√

N/m2

kg/m3

⎤⎦

= 41,58 m/s


und mit Index 0 bei u = 0 (Stillstand):

FWd, 0 = 103 · 15003600

·41,58 (1 + cos 4◦)

·[

kgm3 · m3

s· m

s

]

FFFWd, 0 = 34,61 ·103 N = 34,61 kN

b) Nach (4-159):u = cDü/2 = 41,58/2 = 20,79 m/s

Hieraus n =u

D ·π =20,791,2 ·π

[m/sm

]=5,51s−15,51s−15,51s−1

Frequenz-Drehzahl ist jedoch:

n = 5,5 s−1

bei 18-poligem Generator (n = (50/9) s−1)

Nach (4-160):

Pmax =14·� · VDü · c2

Dü · (1 + cosβ )

=14·103 · 1500

3600·41,582 · (1 + cos 4◦)

·[

kgm3 ·

m3/hs/h

· m2

s2

]

Pmax = 359,7 ·103 Nms

≈ 360 ·103 W

PPPmax = 360 kW

c) umax = cDü = 41,58 m/s

nnnmax =umax

D ·π =41,581,2 ·π

[m/sm

]= 11,03 s−111,03 s−111,03 s−1

d) DDü =√

ADü ·4/π mit

ADü = VDü/(cDü ·αDü) aus

VDü = αDü ·ADü · cDü

Zahlenauswertung:

VDü =15003600

[m3/hs/h

]= 0,4167

m3

s

αDü ≈ 1 nach Tab. 4-3

ADü =0,416741,58

[m3/sm/s

]= 0,0100 m2

DDü =√

0,0100 ·4/π[√

m2]

= 0,113 m

Ü 47


DS 2© → ∑T = 0 mit MP in DP:− L2 + TWd,0 = 0 Hieraus:

TWd,0 = L2 = 2 · I2 ·R = 2 · I2,u · r= 2 · I2 · sinβ · r= 2 · m2 ·�2 · sinβ · r= 2 ·� ·A2 ·�2

2 · sinβ · rHierbei β = α− γ = 65◦−20◦ = 45◦

Aus E 1©– 2©:

z1 ·g +p1

�+�2

1

2= z2 ·g · p2

�+�2

2, th

2

wobei z1 = 0; p1 = p1,ü + pb

z2 = 0; p2 = pb

K 1©– 2©: �1 = �2, th · (D2/D1)2

folgt:p1,ü

�=�2

2, th

2· [1− (D2/D1)4]

Hieraus

�2, th =1√

1− (D2/D1)4·√

2 · p1,ü

�

=1√

1− (15/30)4·√

2 · 3 ·105

103

·[√

N/m2

kg/m3

]

= 25,3 m/s

�2 = ϕDü ·�2, th hierbei

nach Tab. 4-3: ϕDü = 0,96

�2 = 0,96 ·25,3 = 24,29 m/s


Damit folgt für das Festhaltemoment TWd,0:

TWd,0 = 2 ·103 · π4· (15 ·10−3)2

·24,292 · sin45◦ ·0,1

[kgm3 ·m2 · m2

s2 ·m]

TWd,0 === 15,27 N m

b) Gleichgewicht besteht, wenn T = TR ist(TR . . . Reibungsmoment). Mit (4-204) wird:

TR = 2 ·Aa ·R · pü ·√

1 +Ω 2 · (√

1 +Ω 2 −Ω)

Dabei ist die dimensionslose Winkelgeschwin-digkeit Ω nach (4-194):

Ω =ω

(1/R) ·√2pü/�

ω = 2 ·π ·n = 2 ·π · 150060

[1/mins/min

]

= 157,1 s−1

R = r · sinβ = 100 · sin45◦ [mm]= 70,7 mm

Ω =157,1

(1/0,0707) ·√

2 ·3 ·105/ 103

=

[1/s

(1/m) ·√

(N/m2) / (kg/m3)

]

= 0,4

Ausströmquerschnitt Aa (2 Düsen):

Aa = 2 ·ADü = 2 · π4·D2

Dü

= 2 · π4· (15 ·10−3)2 [m2] = 3,534 ·10−4 m2

Mit diesen Werten wird das Reibungsmoment:

TR = 2 ·3,534 ·10−4 ·0,0707

·3 ·105 ·√

1 + 0,4532

· (√

1 + 0,4532 −0,453)[m2 ·m ·N/m2]TTT R = 14,99 ·0,708[Nm] = 10,61 N m

Das dimensionslose Drehmoment nach (4-206)

ΘΘΘ = T/T0 =√

1 +Ω 2 · (√

1 +Ω 2 −Ω)

ΘΘΘ =√

1 + 0,4532 · (√

1 + 0,4532 −0,453)

= 0,7079 ≈ 0,710,710,71

c) PRPRPR = TR ·ω = 10,61 ·157,1 [Nm · s−1]= 1667 W

d) Nach (4-208) und mit (4-200):

Pth ≈ m · pü/� = � ·Aa ·�a · pü/� = Aa ·�a · pü

Mit (4-195) wird:

Pth = Aa · pü ·√

2 · pü/� ·√

1 +Ω 2

= 3,534 ·10−4 ·3 ·105 ·√

2 · 3 ·105

103

·√

1 + 0,4532

[m2 · N

m2 ·√

N/m2

kg/m3

]

PPPth = 2851 W

e) ηηη th = PR/Pth = 1667/2851 = 0,58

Oder nach (4-209):

ηth = 2 ·Ω(√

1 +Ω 2 −Ω)

= 2 ·0,453(√

1 + 0,4532−0,453)ηth = 0,58

f) Nach (4-200): m = � · V = � ·�a ·Aa und mit(4-195) wird:

m = � ·Aa ·√

2 · pü/� ·√

1 +Ω 2

= 103 ·3,534 ·10−4 ·√

2 · 3 ·105

103

·√

1 + 0,4532

[kgm3 ·m2 ·

√N/m2

kg/m3

]

m = 9,50kg/s

g) Mit Index e Eintritt; a . . . Austritt:

ce =VAe

=m

� ·Ae=

m� ·2 ·D2

e ·π/4

=9,5

103 ·2 ·0,032 ·π/4

[kg/s

(kg/m3) ·m2

]

ce = 6,72m/s


h) �a, 0 = ca = c2, th = 25,3m/s

Nach (4-195)

�a =√

2 · pü

�·√

1 +Ω 2

=

√2 · 3 ·105

103 ·√

1 + 0,4532

[√N/m2

kg/m3

]

�a = 26,89m/s

Damit �a/�a, 0 = 26,89/25,3 = 1,06

i) c22 = u2

2 +�22−2 ·u2 ·�2 ·cosβ (Cosinus-Satz)

1. Ideale Strömung, d. h. reibungsfrei:�2

2 = u22 + 2 · pe, ü/� gemäß (4-193) bei ce ≈ 0

c22 = 2 · pe, ü/� nach TORRICELLI aus E e©– 2©

mit pe, ü = pe − pa und 2©≡ a©Eingesetzt im Cosinus-Ansatz:

2 · pe, ü/� = u22 + u2

2 + 2pe, ü/�

−2 ·u2 ·√

u22 + 2pe, ü/� · cosβ

u2 =√

u22 + 2 · pe,ü/� · cosβ

u22 = (u2

2 + 2pe, ü/�) · cos2β

u22(1− cos2β ) = (2 · pe, ü/�) · cos2β

= c22 · cos2 β

uuu2 = c2 · cosβ/√

1− cos2β = c2 · cosβ/sinβ= c2 ·c2 ·c2 ·cotβ2β2β2

2. Reale Strömung, also reibungsbehaftet (YV):Nach (3-104) mit YV → EER e©– 2©:

ze ·g+ pe/�+�2e/2−u2

e/2

= z2 ·g + p2/�+�22/2−u2

2/2 +YV

mit

ze ≈ z2; pe = pb + pe, ü; ue = 0; �e≈0 gesetzt

p2 = pb; �2 = c? (Ae � A2)

folgt:

pü/� = (�22/2)− (u2

2/2)+YV

wobei:

YV = λe(Le/De) · (�2e/2)+ ζ ·�2

2/2 mit

�e = (A2/Ae) ·�2, falls nicht vernachlässigbar.

YV = [λe(Le/De) · (A2/Ae)2 + ζ ] ·�22/2

= K ·�22/2

Ergibt letztlich:

pe,ü/� = �22/2−u2

2/2 + K ·�22/2

Hieraus:�2

2 = (2 · (pe, ü/�)+ u22)/(1 + K)

EE e©– 2©:ze/g + pe/�+ c2

e/2 = z2g + p2/�+ c22/2 +YV

Hieraus mit ce ≈ 0 und den Bedingungen vonzuvor:

pe, ü/� = c22/2 + K ·�2

2/2 Umgestellt:

c22 = 2 · pe, ü/�−K ·�2

2 Mit �22 von vorher:

c22 = 2 · pe, ü/�−K

(2 · pe, ü/�+ u2

2

)/(1 + K)

c22 = [1−K/(1 + K)] · (2 · pe,ü)/�

− [K/(1 + K)] ·u22

c22 = [1/(1 + K)] · (2 · pe,ü)/�− [K/(1 + K)] ·u2

2

Eingesetzt in Ausgangsgleichung (Cosinus-satz):

11 + K

· 2 · pe, ü

�− K

1 + K·u2

2

= u22 +

2 · pe, ü/�+ u22

1 + K

−2 ·u2 ·√

2 · pe, ü/�+ u22

1 + K· cosβ

−K − (1 + K)−11 + K

·u22

= 2 ·u2 ·√

2 · pe, ü/�+ u22

1 + K· cosβ

Quadriert:

u2 =√[

2 · pe, ü/�+ u22

]/(1 + K) · cosβ

u22 =

{[2/(1 + K)] · pe,ü/�

+[1/(1 + K)] ·u22

}cos2β

u22[1− cos2β/(1 + K)]

= [cos2β/(1 + K)] ·2 · pe,ü/�


u2 =

√cos2β/(1 + K)

1− cos2β/(1 + K)·√

2 · pe, ü

�

u2 =cosβ√

K + sin2 β·√

2 · pe, ü

�

Mit c2, th =√

2 · pe, ü/� (TORRICELLI)

u2 =[

cosβ/

√K + sin2 β

]· c2, th

Sonderfall: β = 0, d. h. tangentialer Austritt,

u2/c2, th = 1/√

K > 0, da K > 0 und Abkürzung

K = λe(Le/De) · (A2/Ae)2 + ζ von vorher.

Ü 48a) Fp = 3000 N;czu = cFl = 240 km/h = 66,67 m/s

Aus (4-178) mit � = 1,189 nach Tab. 6-8:

CS =2 ·FP

AP ·� · c2zu

=2 ·3000

π4·22 ·1,189 ·66,672

[N

m2 ·kg/m3 ·m2/s2

]

CS = 0,361CS = 0,361CS = 0,361

b) Aus (4-177)

cabcabcab === czu ·√

CS + 1 = 66,67 ·√

0,361 + 1

= 77,8 m/s77,8 m/s77,8 m/s

c) Nach (4-176)

cPcPcP === (cab + czu)/2 = (77,8 + 66,67)/2

= 72,24 m/s72,24 m/s72,24 m/s

d) Nach (4-180)

ηP, thηP, thηP, th =2

CS· (√

1 +CS−1)

=2

0,361· (√

1 + 0,361−1)

= 0,9230,9230,923

e) Pth, nutzPth, nutzPth, nutz = FP · czu = 3000 ·66,67

[N · m

s

]

= 200 kW

Ü 49a) Nach (4-169)

FS = (mLu + mBr) · cDü − mLu · cFlug

mit mBr = 0,015 · mLu

und cFlug = 1000 km/h = 277,78 m/s

FS = mLu · (1,015 · cDü− cFlug) Hieraus:

cDü =1

1,015·(

FS

mLu+ cFlug

)

=1

1,015·(

32 ·103

55

[N

kg/s

]+ 277,78

[ms

])

cDücDücDü = 846,9 m/s = 3049 km/h3049 km/h3049 km/h

b) Nach (4-171)

FS = mGa · cDü = (mLu + mBr) · cDü

= 1,015 · mLu · cDü

Hieraus:

cDü =FS

1,015 · mLu=

32 ·103

1,015 ·55

[N

kg/s

]

cDücDücDü = 573,22 m/s = 2064 km/h2064 km/h2064 km/h

Ü 50


a) Ableitungen

1. Druckverlauf

E r©– a©: z ·g =pi

�+

c2

2= za ·g +

pa

�+

c2a

2


Mit z = za und

K r©– a©: A · c = Aa · ca

2 · r ·π ·H · c = 2 · ra ·π ·H · ca

c = ca · ra/r

wirdpi

�+

c2a

2·(

ra

r

)2

=pa

�+

c2a

2

pi = pa −� · c2a

2·[(

ra

r

)2

−1

]pi = pa −� · c2

a

2·[(

ra

r

)2

−1

]pi = pa −� · c2

a

2·[(

ra

r

)2

−1

](Parabel!)

pi ≤ pa da r ≤ ra

Mit ca =VAa

=V

2 ·π · ra ·H

2. Kräfte:

Druck-KräfteBereich r0 ≤ r ≤ ra:

dF1 = dFa − dFi = pa · dA− pi · dA

= (pa − pi) · dA

dF1 = � · c2a

2·[(

ra

r

)2

−1

]· dA

dF1 = � · c2a

2·[(

ra

r

)2

−1

]·2r ·π · dr

dF1 = π ·� · c2a ·

[r2

a

r− r

]· dr

Hiermit:

F1 =ra∫

r0

dF1 = π ·� · c2a ·

ra∫

r0

(r2

a

r− r

)dr

F1 = π ·� · c2a

(r2

a · lnr− r2

2

)∣∣∣∣ra

r0

F1 = π ·� · c2a ·

[(r2

a · lnra − r2a

2

)

−(

r2a · lnr0 − r2

0

2

)]

F1 = π ·� · c2a ·

[r2

a · lnra

r0− r2

a

2+

r20

2

]

F1 = π ·� · c2a ·

r2a

2

[2 · ln ra

r0−1 +

(r0

ra

)2]

Mit ca = V/(2 · ra ·π ·H) wird letztlich:

F1 =1

8 ·π ·� ·(

VH

)2

·[(

r0

ra

)2

− ln

(r0

ra

)2

−1

]

F1 wirkt in z-Richtung:

Bereich r ≤ r0:

F0 = A0(pa − pi, 0)

= r20 ·π · (pa − pi, 0) in z-Richtung.

Mit pi, 0 aus Druckverlauf, wobei r = r0:

F0 = r20 ·π ·� · c2

a

2·[(

ra

r0

)2

−1

]

F0 = r20 ·π ·� · 1

2·(

V2 ·π · ra ·H

)2

·[(

ra

r0

)2

−1

]

F0 =1

8 ·π ·� ·(

r0

ra

)2

·(

VH

)2

·[(

ra

r0

)2

−1

]

F0 =1

8 ·π ·� ·(

VH

)2

·[

1−(

r0

ra

)2]

Resultierende Druckkraft in z-Richtung

F = F1 + F0

Impulskraft (Impulsstrom) in (−z)-Richtung

I0 = m0 · c0 = � · V · c0 = � · V · V

π · r20

I0 =1π·� · V 2

r20

=1π·� ·

(Vr0

)2

Wandkraft Fwd in z-Richtung

Fz = F − I = F1 + F0 − I0

Fz =1

8 ·π ·� ·(

VH

)2

·{[(

r0

ra

)2

− ln

(r0

ra

)2

−1

]

+[

1−(

r0

ra

)2]}

− 1π·� · V 2

r20


FzFzFz =111

8 ·π8 ·π8 ·π ·� ··� ··� ·(

VVVr0r0r0

)222

···[222

(r0r0r0

HHH

)222

··· ln(

rarara

r0r0r0

)−8−8−8

]

Die notwendige Wandkraft Fwd muss so großwie die Fluidkraft Fz sein und zu dieser entge-gengesetzt wirken, also:

FWd = Fz in (−z)-Richtung wirkend.

b) Zahlenrechnungen:

1.

V = 282,75 m3/h = 0,0785 m3/s

c0 = V/A0 = V/(r20 ·π) =

0,0785π ·0,052

[m3/sm2

]

= 10 m/s

K 0©− i©: c0 ·A0 = ci ·Ai

Da c0 = ci wird A0 = Ai

A0 = r20 ·π

Ai = 2 · ri ·π ·H= 2 · r0 ·π ·H

H =r0

2= 25 mm

2.

ca =VAa

=0,0785

2 ·0,5 ·π ·0,025

[m3/sm ·m

]

= 0,999 ≈ 1 m/s

oder aus K i©− a©ca = ci · ri/ra = 10 ·50/500 = 1 m/s

pi = 105 −103 · 12

2·((

0,5r

)2

−1

)

[Pa][(kg/m3)·(m2/s2)

]

pppi = 105 −103= 105 −103= 105 −103 ···111222···[(

0,50,50,5rrr

)222

−1−1−1

]

in Pa mit r in m

3.

F1 =1

8 ·π ·103 ·(

0,07850,025

)2

·[(

0,050,5

)2

− ln

(0,050,5

)2

−1

]

·[

kgm3 ·

(m3/s

m

)2]

F1 = 1418 N

F0 =1

8 ·π ·103 ·(

0,07850,025

)2

·[

1−(

0,050,5

)2][ kgm3 ·

(m3/s

m

)2]

F0 = 388 N

I0 =1π·103 ·

(0,0785

0,05

)2[ kgm3 ·

(m3/s

m

)2]

= 784 N

F = 1418 + 388 = 1806 N

Hiermit FFFWd = Fz = 1806−784 [N]

= 102210221022 N

oder FWd =1

8 ·π ·103 ·(

0,07850,05

)2

·[

2 ·(

0,050,025

)2

· ln 0,50,05

−8

][N]

FFFWd === 102210221022N

4. Mit r = ri = r0 folgt aus Gleichung für denDruckverlauf nach Frage b2):

pi, 0 = 105 −103 · 12·[(

0,50,05

)2

−1

][Nm2

]

= 0,505 ·105 Pa = 0,505 bar

c) Der Raum zwischen den Scheiben ist nurdann vollständig mit Fluid gefüllt, wenn pi unddamit pi, 0 = pi entsprechend der Energieglei-chung geringer sind als der Außendruck pa. Istdies nicht der Fall, löst sich die Strömung ab.


Bild 7-34. Lösungsskizze zu Ü 50, Frage c).

Die Strömung hat dann etwa den Verlauf nachBild 7-34.

Ü 51

FW = ζW ·� · c2∞2

·ASt nach (4-289)

Mit ASt = H · 12(DF + DK)

= 100 · 12(4 + 2)[m2]

= 300 m2

Luft 20 ◦C,1 bar

� = 1,189 kg/m3 Tab. 6-8

p ·ν = 1,5 Pa ·m2/s Bild 6-9

ν = (p ·ν)/p = 1,5 ·10−5 m2/s

c∞ = cLu = 25 m/s

ζW = f (Re,L/Dm) mit

Dm =12(DF + DK)

Re =c∞ ·Dm

ν=

25 ·31,5 ·10−5 = 5 ·106

L/Dm = 100/3 = 33 sehr groß!

Deshalb näherungsweise nach Tab. 6-16;

bzw. Bild 6-45 extrapoliert:

ζW ≈ 0,5

FW = 0,5 ·1,189 · 252

2·300

·[

kgm3 · m2

s·m2

]

FWFWFW = 55 734 N ≈ 56 kN56 kN56 kN

Ü 52

PW, 0 = ζW · �2·ASt · c3

F nach (4-293) mit

PW, 0 = PM ·η = 110 ·0,8 = 88 kW

ζW = 0,28 bis 0,40 nach Tab. 6-17

ζW = 0,35 (angenommen etwa Mittelwert)

ASt = B ·H = 1,6 ·1,2 = 1,92 m2

Mit diesen Werten und � = 1,189 (Tab. 6-8) er-gibt sich:

cF = 3

√2 ·PW,0

ζW ·� ·ASt

= 3

√2 ·88 ·103

0,35 ·1,189 ·1,92

[√Nm/s

(kg/m3) ·m2

]

cFcFcF = 60,39 m/s = 217 km/h= 60,39 m/s = 217 km/h= 60,39 m/s = 217 km/h

Ü 53


PF = cF ·FF = cF · (FH ·FW) . Mit

FH = m ·g · sinβ wobei

sinβ ≈ tanβ = 5/100 = 0,05

FH = 1200 ·9,81 ·0,05 [kg ·m/s2] = 589 N

FW = ζW ·� · �2

2·ASt nach (4-290)

ζW = 0,32 nach Tab. 6-17

� = 1,189 nach Tab. 6-8

�= cF + cLu · cosα

=1003,6

+ 10 · cos 30◦ [m/s]

= 36,43 m/s


ASt ≈ B ·H = 1,61 ·1,41 = 2,27 m2

FW = 0,32 ·1,189 · 36,432

2·2,27

·[

kgm3 · m2

s2 · m2]

= 573 N

FF = FH + FW = 573 + 589 = 1162 N

PF =1003,6

·1162 [m/s ·N] = 32,3 ·103 W

= 32,3 kW

PPPM = PF/ηG = 32,3/0,85 = 383838kW

Ü 54


Gleichgewichtsbedingung: ∑F = 0, also:FG −Fa −FW = 0.Mit FW nach (4-294) wird:VK · �K · g−VK · �F · g− 3 · π ·η ·DK · cK = 0.

Hieraus bei vertikalem Fallweg Δh in Fall-zeit Δt:

η =VK ·g(�K −�F)

3 ·π ·DK · cK

Mit VK = D3K · π

6und cK =

ΔhΔt

wird:

η =1

18· gΔh

·D2K · (�K −�F) ·Δt und

ν =η�F

=1

18· gΔh

·D2K ·

(�K

�F−1

)·Δt

Die Zahlenwerte eingesetzt, ergibt:

ν =1

18· 9,81

0,6· (10 ·10−3)2

(2,5

0,85−1

)·3,8

·[

m/s2

m· m2 · s

]

ννν = 6,70 ·10−4 m2/s= 6,70 ·10−4 m2/s= 6,70 ·10−4 m2/s

Ü 55Nach (4-296) bei vernachlässigtemstatischen Auftrieb Fa, da sicher

vergleichsweise gering:

FW = FG mit FG = m ·g und (4-289):

ζW ·� · (c2∞/2) ·ASt = m ·g hieraus

ASt = m ·g/[ζW ·� · c2∞/2] mit

Bild 6-46 ζW = 1,34

Tab. 6-20 � ≈ 1,19 kg/m3 ;

ν = 15,1 ·10−6 m2/s

ASt =120 ·9,81

1,34 ·1,19 ·82/2

[kg ·m/s2

(kg/m3) · (m/s)2

]

= 23,07 m2

D =√

ASt ·4/π = 5,42 m

Re = c∞ ·D/ν = 8 ·5,42/(15,1 ·10−6)

= 2,9 ·106

Gemäß (3-52) überkritische Umströmung undsomit ζW etwa unabhängig von der Re-Zahl.

Ü 56 a) Reiseflug-Geschwindigkeit:Nach Tab. 6-4 in z = 11 km Höhe:a∞ = 295 m/s.

Damit: c∞ = Ma ·a∞ = 0,9 ·295 [m/s]= 265,5 m/s

Gleichgewichtsbedingung: FA = FG

Aus (4-301) ζA =FA

�∞ ·AFl · c2∞/2

=m ·g

�∞ ·AFl · c2∞/2

Mit der Luftdichte in z = 11 km Höhe von imMittel � = 0,365 kg/m3 laut Tab. 6-4 wird:


ζA, R =3,2 ·105 ·9,81

0,365 ·511 ·265,52/2

·[

kg ·m/s2

(kg/m3) ·m2 ·m2/s2

]

ζA, RζA, RζA, R = 0,478= 0,478= 0,478 (Reiseflugwert −→ Index R)

b) Abhebegeschwindigkeit beim Start:c∞ = 234/3,6 = 65 m/sLuftdichte am Boden (Tab. 6-4):� = 1,225 kg/m3.Dazu notwendig (Startwert −→ Index S):

ζζζA, S =3,2 ·105 ·9,81

1,225 ·511 ·652/2= 2,3742,3742,374

Beim Abheben des Flugzeuges muss in Wirk-lichkeit der ζA, S-Wert nicht ganz so hochsein, da durch die Flugneigung die vertikaleSchubkomponente der Triebwerke mitträgt. DieSchubkraft der Triebwerke beträgt 800 kN, alsoetwa ein Viertel der Gewichtskraft FG = m · gdes Flugzeuges.

Ü 57a) ζA = f (δ ). Aus (4-301)

ζA =FA

�∞ ·AFl · c2∞/2

Dabei für die zwei Tragflächen

FA = FG = m ·g = 4200 ·9,81 [kg ·m/s2]= 41 202 N

Da notwendigerweise zwei Tragflächen, ist:

AFl = 2 ·b ·L = 2 ·λ ·b2 = 2 · 16·6,42 [m2]

= 13,66 m2

�∞ =1�∞

=p∞

R ·T∞ =0,88 ·105

287 ·285

[N/m2

J/(kg ·K) ·K]

= 1,076 kg/m3

c∞ = 350 km/h = 97,22 m/s

ζA =41 202

1,076 ·13,66 ·97,222/2

·[

N(kg/m3) ·m2 ·m2/s2

]

ζζζA = 0,593= 0,593= 0,593

Dieser Auftriebsbeiwert wird nach der zum Pro-fil gehörenden Polaren (Bild 6-47) bei einemAnstellwinkel von δ ≈ 1,8◦ erreicht.

b) PW = FW · c∞ Hierbei nach (4-302)

FW = ζW ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl

ζW ≈ 0,035 nach Bild 6-47

beiδ ≈ 1,8◦

FW = 0,035 ·1,076 · 97,222

2·13,66

·[

kgm3 · m2

s2 · m2]

FFFW = 2431,15 N ≈ 243124312431N

PW = 2431,15 ·97,22 [N · (m/s)]= 236 356,67 W

PPPW ≈ 236≈ 236≈ 236 kW

c) Re =c∞ ·Lν

L = b ·λ = 6,4 ·1/6 = 1,067 m

Luft 12 ◦CBild 6-9−−−−−→ p ·ν = 1,4 Pa·m

2

sHieraus:

ν =p ·ν

p=

1,40,88 ·105

[Pa ·m2/s

Pa

]

= 1,6 ·10−5 m2/s

Re =97,22 ·1,067

1,6 ·10−5

[m/s ·mm2/s

]= 6,6 ·1066,6 ·1066,6 ·106

d) M = ζM ·�∞ ·c2∞2

·AFl ·L nach (4-304)

ζM ≈ 0,24 nach Bild 6-47

für δ = 1,8◦

M = 0,24 ·1,076 · 97,222

2·13,66 ·1,067

·[

kgm3 · m2

s2 ·m2 ·m]

MMM === 17787,717787,717787,7N m

e) Nach (4-309)

s ≈ MFA

=17 787,741 202

[N ·m

N

]= 0,4320,4320,432m


Oder nach (4-310):

s ≈ ζM

ζA·L =

0,240,593

·L = 0,405 ·Ls ≈ 0,405 ·1,067 [m] = 0,432 m

Druckmittelpunktsrücklage:

s/Ls/Ls/L ≈ ζM/ζA = 0,4050,4050,405

f) Ma∞ = c∞/a∞

a∞ =√

κ ·R ·T∞

=√

1,4 ·287 ·285

[√m2

s2 ·K ·K]

a∞ = 338,4 m/s

Ma∞ = 97,22/338,4 = 0,29

Ma∞ < 0,3, also inkompressibles Verhalten!

g) ζA =FA

�∞ ·AFl · c2∞/2

wieder aus (4-301)

c∞ = 240 km/h = 66,67 m/s

ζA =41 202

1,076 ·13,66 ·66,672/2= 1,26 oder

ζA = 0,593

(97,2266,67

)2

= 1,26

Hierzu aus Polare (Bild 6-47) δ ≈ 12,5◦.

Bei δ ≈ 12,5◦ sind: ζW ≈ 0,136; ζM ≈ 0,42Damit:

FW = ζW ·�∞ ·c2∞2

·AF1

= 0,136 ·1,076 · 66,672

2·13,66 [N]

FWFWFW = 4442,55= 4442,55= 4442,55 N ≈ 4443 N

PW = FW · c∞ = 4442,55 ·66,67 = 296 185 W

PPPW = 296= 296= 296 kW

M = ζM ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl ·L nach (4-304)

MMM = 0,42 ·1,076 · 66,672

2·13,66 ·1,067 [N m]

= 146391463914639 N m

sss =ζM

ζA·L =

0,421,26

·L = 0,333 ·L= 0,333 ·1,067 [m] = 0,357 m0,333 ·1,067 [m] = 0,357 m0,333 ·1,067 [m] = 0,357 m

s/L = 0,333

Re =c∞ ·Lν

=66,67 ·1,067

1,6 ·10−5 = 4,4 ·1064,4 ·1064,4 ·106

Ma∞ = c∞/a∞ = 66,67/338,4 = 0,2

h) Laut Polare (Bild 6-47):ζA, max ≈ 1,4 bei δ ≈ 16,8◦

Hierbei außerdem:

Bild 6-47,d ζW ≈ 0,21; ζM ≈ 0,45

Bild 6-47,c ζW ≈ 0,17; ζM ≈ 0,45

Die beiden Polarendiagramme des Profils stim-men somit zumindest an dieser Stelle in den ζW-Linien nicht überein. Grund unbekannt. Wahr-scheinlich Zeichnungsfehler. Der ungünstigereWert wird der Berechnung zugrundegelegt.

Wieder aus (4-301):

c∞,min =

√2 ·FA

ζA, max ·�∞ ·AFl

=

√2 ·41 202

1,4·1,076·13,66

[√N

(kg/m3)·m2

]

c∞,minc∞,minc∞,min = 63,28m/s ≈ 228km/h= 63,28m/s ≈ 228km/h= 63,28m/s ≈ 228km/h

Dabei:

FW = ζW ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl

= 0,21 ·1,076 · 63,282

2·13,66

[kgm3 · m2

s2 · m2]

FWFWFW = 6180= 6180= 6180 N

PW = FW · c∞ = 6180 ·63,28 = 391 070 W

PWPWPW = 391= 391= 391 kW

Diese Leistung ist also etwa das 1,6-fache derReiseflugleistung.


M = ζM ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl ·L

= 0,45 ·1,076 · 63,282

2·13,66 ·1,067 [Nm]

MMM = 14130= 14130= 14130 N m

sss =ζM

ζA·L =

0,451,4

·L = 0,321 ·L = 0,3430,3430,343m

s/L = 0,321

Abhängig vom Flugzustand verschiebt sich alsoder Druckmittelpunkt. Das Flugzeug muss des-halb ausgetrimmt werden. Das Profil ist somitnicht druckpunktfest.

i) Auftriebskraft bei Landegeschwindigkeit undmaximaler Anstellung:

Mit c∞ = 190 km/h = 52,78 m/s wird

FA = 1,4 ·1,076 · 52,782

2·13,66 = 28 662 N

Die Fallbeschleunigungskraft FF ist gleich dernichtkompensierten Gewichtskraft FG −FA, al-so:

FF = FG −FA = 41 202−28 662 = 12 540 N

Hiermit Fallbeschleunigung aF bei vollbelade-nem Flugzeug:

aFaFaF = FF/m =12 5404200

[Nkg

]= 2,99m/s22,99m/s22,99m/s2

aaaF = 0,3 ·g= 0,3 ·g= 0,3 ·gDiese Fallbeschleunigung ist für den üblichenzivilen Flugbetrieb im Normalfall zu groß. Sol-che Werte für aF (bei Berücksichtigen des Rand-einflusses noch größer, d. h. ungünstiger) wer-den praktisch nur in Notfällen oder gewolltemSturzflug erreicht. Zur Verringerung von aF sindentsprechende Maßnahmen notwendig, wie hö-here Landegeschwindigkeit, oder besser, höhe-res ζA durch stärkere Anstellung δ und Vergrö-ßern der Tragfläche AFl über ausfahrbare Lan-deklappen mit Krümmungsverstärkung.

Ergänzung: Das Berücksichtigen des Einflussesder endlichen Spannweite ergibt folgende Än-derungen:

zu a) Mit (4-311):

Δδ = λ ·ζA,∞/π wobei vorerst ζA,∞ = ζA, ges

Δδ = (1/6) ·0,593/π = 0,0316 → Δδ = 1,8◦

→ so groß wieδ∞, also großer Einfluss!

δ = δ∞ +Δδ = 1,8◦ + 1,8◦ = 3,6◦ (4-312)

Hierzu aus Bild 6-47:

ζA,∞ ≈ 0,762; ζW,∞ ≈ 0,05

zu b) (4-315):

ζW, i = ζ 2A,∞ ·λ/π = 0,7622 · (1/6)/π = 0,03

Oder aus Bild 4-156 bei Λ = 1/λ = 6:ζW, i = 0,02Grund für Abweichung unbekannt.

ζW, ges = ζW,∞ + ζw, i (4-314)

= 0,05 + 0,03 = 0,08

ergibt ζW, i/ζw, ges = 0,03/0,08 ≈ 0,38 = 38%Erhöhung (Verschlechterung) also 38%.

FW, ges = ζW, ges ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl

= 0,08 ·1,076 · (97,222/2) ·13,66

· [(kg/m3) · (m/s)2 · m2]FW, ges = 0,08 ·69 461,5 N = 5557 N

PW = FW, ges · c∞ = 5557 ·97,22 [Nm/s]= 540 252 W ≈ 540 kW

zu d) Näherungsweise aus Bild 6-47,c oder d,da weder Diagramm noch Beziehung (Formel)für Einfluss von Randwirbel auf Moment, bzw.Momentenbeiwert ζM verfügbar.

Bei δ = 3,6◦ → ζM ≈ 0,28

zu g):

δ = δ∞ +Δδ = 1,25 + 1,8 = 14,3◦(ungünstig groß → Ablösegefahr)

Hierzu aus Bild 6-47:

ζA,∞ = 1,35; ζW,∞ = 0,16; ζM = 0,45

ζw, i = 1,352 · (1/6) ·π = 0,097 ≈ 0,1 (4-315)

ζW, ges = 0,16 + 0,1 = 0,26 (4-314)

ζW, i/ζW, ges = 0,1/0,26 = 0,38

= 38% Erhöhungsanteil


FW, ges = ζW, ges ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl

= 0,26 ·1,076 · (66,672/2) ·13,66

· [(kg/m3) · (m/s)2 · m2]= 8493 N

PW = FW, ges · c∞ = 8493 ·66,67 [N ·m/s]= 566 228 W ≈ 566 kW

s ≈ ζM

ζA·L =

0,451,35

·L = 0,333 ·Ls = 0,333 ·1,067[m] = 0,356 m

s/L = 0,333 (wie zuvor!)

Entsprechend bei den restlichen Fragen.

Oder entsprechende Tragflächen-Vergrößerung,damit Betrieb bei Anstellung δ = 1,8◦ möglich:

δ∞ = δ −Δδ = 1,8◦ −1,8◦ = 0◦

Aus Bild 6-47, Teil d für

δ = 1,8◦: ζA,∞ = 0,6 ; ζW,∞ = 0,04

δ∞ = 0◦: ζA,∞ = 0,5

und aus (4-315) sowie (4-314):

ζW, i = ζ 2A,∞ ·λ/π = 0,62 · (1/6)/π = 0,02

ζW, ges = ζW,∞ + ζW, i = 0,04 + 0,02 = 0,06

Aus (4-301) mit ζA,∞ = 0,5 für δ = 0◦:

AFl =FA

ζA,∞ ·�∞ · c2∞/2

=41 202

0,5 ·1,076 ·97,222/2

[N

(kg/m3) · (m/s)2

]

= 16,21 m2

Nach (4-302):

FW, ges = ζW, ges ·AFl ·�∞ · c2∞/2

= 0,06 ·16,21 ·1,076 · 97,222

2

·[m2 · kg

m3 ·(

ms

)2]

= 4945 N

Unterschied zur Anstellungs-Vergrößerung:

(5557−4975)/5557 = 0,10 = 10%

Somit 10% günstiger und keine Ablösegefahr,weshalb bessere Ausführung.

Bemerkung: Der Randeinfluss infolge endlicherFlügellänge führt also etwa zu einer Verdoppe-lung des Widerstandes (Kraft und Leistung) derTragflächen.

Ü 58Anfangszustand (Index 1):Druck: p1 = 75 bar = 75 ·105Pa; Tem-

peratur: T1 = 793 K; Dichte: �1 = 1/�1

1. Aus Gasgleichung mit R = 461 J/(kg · K)nach Tab. 6-20; da Heißdampf zulässig.

�1 =R ·T1

p1=

461 ·79375 ·105

[J/(kg ·K) ·K

N/m2

]

= 0,0487 m3/kg

2. Aus (h,s)-Diagramm: �1 = 0,047 m3/kg

Gerechnet mit Diagramm-Wert, weil dieser dieAbweichungen vom thermodynamischen idea-len Gasverhalten berücksichtigt.

Damit �1 = 1/�1 = 1/0,047 = 21,28 kg/m3

Viskositäten:Dynamische: Nach Bild 6-7:

η1 ≈ 34 ·10−6 Pa · sKinematische: Nach Bild 6-10:

ν1 ≈ 1,5 ·10−6 m2/s

Oder

ν1 =η1

�1=

34 ·10−6

21,28

[Pa · s

kg/m3

]

= 1,59 ·10−6 m2/s

Mittlere Strömungsgeschwindigkeit aus Durch-fluss:

c1 =m

�1 ·A1=

41,6721,28 ·0,0707

[kg/s

(kg/m3) ·m2

]

= 27,7 m/s

Rohrreibungsziffer λ1 = f (Re1,D/ks)


Re1 =c1 ·Dν

=27,7 ·0,31,5 ·10−6

= 5,5 ·106

D/ks = 300/0,6 = 500

Bild 6-11−−−−−−→λ1 = 0,0235

(rau)

Oder mit Formel für raues Verhalten nachKÁRMÁN-NIKURADSE, (4-35):

λ1 =1

(2 · lgD/ks + 1,14)2

=1

(2 · lg500+ 1,14)2

= 0,0234 (etwa wie Diagrammwert!)

Näherungsverfahren:

I. Durchlauf

1. Schritt: Isotherme Strömung (5-74)

ΔpV = �1 ·YV = �1 ·λ1 · LD· c2

1

2

= 21,28 ·0,0235 · 7000,3

· 27,72

2

[kgm3 · m2

s2

]

ΔpΔpΔpV = 4,48 ·105 N/m2 ≈ 4,5 ·105 Pa

= 4,54,54,5bar

2. Schritt: Enddruck

p2 = p1 −ΔpV = 75−4,5 = 70,5 bar

3. Schritt: Endtemperatur

T2 ≈ T1(p2/p1)κ−1

κ

Mit κ = 1,3 für Heißdampf (Tab. 6-20)

T2 ≈ 793 · (70,5/75)1,3−1

1,3 = 781,8 K ≈ 782 K

4. Schritt: Mittlere Temperatur

T =12· (T1 + T2) =

12· (793 + 782)= 787,5 K

5. Schritt: Polytrope Rohrströmung (5-71)

ΔpV = �1 ·λ1 · LD· c2

1

2· T

T1

= 21,28 ·0,0235 · 7000,3

· 27,72

2· 787,5

793[Pa]

ΔpΔpΔpV = 4,45 ·105 Pa = 4,454,454,45bar

Dieser Wert stimmt praktisch überein mit demdes ersten Schrittes. Ein zweiter Durchlauf desNäherungsverfahrens ist daher nicht mehr not-wendig. Die Iteration kann deshalb abgebro-chen werden.Ergebnis: ΔpΔpΔpV = 4,5= 4,5= 4,5 bar

Ü 59Es handelt sich um eine polytropeRohrströmung. Der Enddruck p2

ergibt sich aus:

(5-70)p2

1 − p22

2 · p1≈ �1 ·λ1 · L

D· c2

1

2· T

T1

Oder mit:

(5-71) p2=p1−ΔpV=p1−�1 ·λ1 · LD· c2

1

2· TT1

Anfangszustand (Index 1):

Druck: p1 = 25 bar = 25 ·105 Pa

= 25 ·105 N/m2

Temperatur: T1 = 273 + t = 693 K

Dichte: �1 = 1/�1

1. Aus GasgleichungMit R = 461 J/(kg · K) aus Tab. 6-20:

�1 =R ·T1

p1=

461 ·69325 ·105

[J/(kg ·K) ·K

N/m2

]

= 0,128 m3/kg

2. Aus (h,s)-Diagramm: �1 = 0,127m3/kg

�1 = 1/0,127 = 7,87 kg/m3

Viskositäten mit Pa · s = kg/(m · s)Dynamische: Nach Bild 6-7:

η1 ≈ 27 ·10−6 Pa · sKinematische: Nach Bild 6-10:

ν1 ≈ 3,2 ·10−6 m2/s

oder ν1 = η1 · �1 = 27 ·10−6 ·0,127= 3,4 ·10−6 m2/s

Mittlere Strömungsgeschwindigkeit:Aus Durchfluss

c1 =m

A1 ·�1=

m · �1A1

=20 ·0,1270,04908

[kg/s ·m3/kg

m2

]

= 51,7 m/s


Rohrreibungszahl λ1 = f (Re1,D1/ks)

Re1 =c1 ·D1

ν

=51,7 ·0,253,2 ·10−6 = 4 ·106

D1/ks = 250/0,05 = 5000

Bild 6-11−−−−−−→λ = 0,014

(praktisch rau)

Kontrolle mit Formel:1. Für raues Verhalten gilt nach KÁRMÁN-NIKURADSE, (4-35):

λ1 =1

(2 · lg(D/ks)+ 1,14)2

=1

(2 · lg5000+ 1,14)2

= 0,0137 ≈ 0,014

2. Für Übergangsgebiet nach COLEBROOK,d. h. (4-33):

1√λ1

= −2 · lg(

2,51

Re1 ·√λ1

+ 0,27 · ks

D1

)

1√0,014

?= −2 · lg(

2,514 ·106 ·√0,014

+ 0,27 · 0,05250

)

8,452 ≈ 8,454 → Gleichung gut erfüllt, also

λ1 = 0,014.

Endtemperatur: T2 = t2 + 273 = 623 K

Mittlere Temperatur:

T =12· (T1 + T2) =

12· (693 + 623)= 658 K

Mit diesen Werten ergeben:

1. Gl. (5-70)

p21 − p2

2

2 · p1≈ 7,87 ·0,014 · 400

0,25· 51,72

2· 658

693

·[

kgm3 · m2

s2

]

≈ 2,237 ·105 Pa

Hieraus

p21 − p2

2 =p2

1 − p22

2 · p1·2 · p1

≈ 2,237 ·105 ·2 ·25 ·105 Pa2

≈ 111,85 ·1010 Pa2

p22 = p2

1 − (p21 − p2

2)

= (25 ·105)2 −111,85 ·1010

= 513 ·1010 Pa2

p2p2p2 = 22,65 ·105 Pa = 22,6522,6522,65bar

2. Gl. (5-71)

ΔpV ≈ 7,87 ·0,014 · 4000,25

· 51,72

2· 658

693[N/m2]

ΔpV ≈ 2,24 ·105 Pa = 2,24 bar

Damit p2p2p2 = p1 −ΔpV = 25−2,24

= 22,7622,7622,76bar (etwa wie zuvor!)

Ü 60 a) YV =ΔpV

�1= λ1 · L

D· c2

1

2nach (5-74)

Anfangszustand (Index 1):

Druck: p1 = 60 bar = 60 ·105 N/m2

Temperatur: T1 = t1 + 273 = 283 K

Dichte: �1 = 1/�1

Aus Gasgleichung mit R = 4124 J/(kg · K)(Tab. 6-20):

�1 =1�1

=p1

R ·T1=

60 ·105

4124 ·283

[N/m2

J/(kg ·K) ·K]

= 5,141 kg/m3

Kinematische Viskosität:

Nach Bild 6-9 p1 ·ν1 ≈ 10,2 Pa · m2

sHieraus

ν1 =p1 ·ν1

p1=

10,260 ·105

[Pa ·m2/s

Pa

]

= 0,17 ·10−5 m2/s

Mittlere Geschwindigkeit. Aus Durchfluss:


c1 =m

�1 ·A1

=0,333

5,141 ·7,854 ·10−3

[kg/s

kg/m3 ·m2

]

= 8,25 m/s

Rohrreibungszahl λ1 = f (Re1,D/ks)

Re1 =c1 ·D1

ν1

=8,25 ·0,1

0,17 ·10−5

= 4,85 ·105

D1/ks = 100/0,05 = 2000

Bild 6-11−−−−−−→λ1 = 0,0178

(Übergang)

Oder mit Formel für Übergang nach COLE-BROOK, also (4-33):

1√λ1

= −2 · lg(

2,514,85 ·105 ·√0,0178

+ 0,27 · 0,05100

)

1√λ1

= 7,5199 →λ1 = 0,0177 (etwa wie Diagrammwert)

Mit diesen Zahlenwerten ergeben sich:

YV = 0,0178 · 2500,1

· 8,252

2

[mm

· m2

s2

]

= 1514,4 m2/s2

ΔpV = �1 ·YV = 5,141 ·1514,4

[kgm3 · m2

s2

]

= 7785,5 [N/m2]

ΔpV ≈ 7,79 ·103 Pa = 7,79 kPa = 0,078 bar

b) Nach (5-75) YV, ges =(λ1 · L

D+

n∑

i−1ζi

)c2

1

2ζ -Werte:

Schieber NW 100: Bild 4-30 ζS = 0,3

Krümmer R/D = 4: Bild 4-15 ζK = 0,22

n

∑i−1

ζi = 4 ·ζK + 2 ·ζS = 4 ·0,22 + 2 ·0,3 = 1,48

Damit werden:

YV, ges =(

0,0178 · 2500,1

+ 1,48

)8,25 2

2

[m2

s2

]

= (44,5 + 1,48)8,25 2

2= 1564 m2/s2

Die Verlustenergie wird also fast ausschließ-lich durch die gerade Rohrleitung bestimmt. DieKrümmer und Schieber sind von geringem Ein-fluss.

ΔpV, ges = �1 ·YV, ges

= 5,141 ·1564,8

[kgm3 · m2

s2

]

ΔpΔpΔpV, ges = 8044,6 N/m2 = 8,04 kPa

= 0,080,080,08bar

Ü 61 ΔpV = �1 ·YV = �1 ·λ1 · LD· c2

1

2nach (5-74)

ΔpV = 7,87 ·0,014 · 4000,25

· 51,72

2

[kgm3 · m2

s2

]

ΔpΔpΔpV = 2,36 ·105 N/m2 = 2,36 ·105 Pa

= 2,362,362,36bar

p2p2p2 = p1 −ΔpV = 25−2,36 = 22,6422,6422,64bar

Nur wenig verschieden vom Druckverlust(ΔpV = 2,24 bar) nach Ü 59.

Ü 62Es handelt sich ebenfalls um polytropeRohrströmung.

Anfangszustand:

Temperatur: T1 = t1 + 273 = 160 + 273 [K]= 433 K

Druck: p1 = 2,2 bar = 2,2 ·105 N/m2

Dichte: �1 = 1/�1

1. Aus Gasgleichung mit R = 461 J/(kg · K)nach Tab. 6-20:

�1 =R ·T1

p1=

461 ·4332,2 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,907 m3/kg


2. Aus (h,s)-Diagramm �1 = 0,92 m3/kgGerechnet mit �1 = 0,91 m3/kg →

�1 = 1,1 kg/m3

Viskositäten:Dynamische: Nach Bild 6-7:

η1 ≈ 15,5 ·10−6 Pa · sKinematische: Nach Bild 6-10:

ν1 ≈ 14 ·10−6 m2/s

Oder

ν1 =η1

�1=

15,5 ·10−6

1,1

[Pa · s

kg/m3

]

= 14,1 ·10−6 m2/s

Mittlere Geschwindigkeit c1: Aus Durchfluss

c1 =m

A1 ·�1=

8,20,196 ·1,1

[kg/s

m2 ·kg/m3

]

= 38,0 m/s

Reibungszahl: λ1 = f (Re1,D/ks)

Re1 =c1 ·Dν1

=38 ·0,5

14 ·10−6

= 1,4 ·106

D/ks = 500/0,6 = 833

Bild 6-11−−−−−−→λ1 = 0,0205

(rau)

Mit der Formel für raues Verhalten nachKÁRMÁN-NIKURADSE, (4-35):

λ1 =1

(2 · lg(D/ks)+ 1,14)2

=1

(2 · lg833+ 1,14)2

= 0,0205 (wie Diagrammwert)

Endtemperatur:Der Temperaturabfall infolge der durchDruckverlust bedingten Dampfexpansion istrechnerisch nur schwer zu fassen. Deshalbwird näherungsweise nur der Wärmeverlustberücksichtigt:

Q = A0 · q und andererseits Q = m · cp ·Δt

Gleichgesetzt und umgeformt ergibt:

Δt =A0 · qm · cp

=Da ·π ·L · q

m · cp

Mit cp = 2135 J/(kg · K) nach Tab. 6-20 wird:

Δt =0,7 ·π ·2450 ·72

8,2 ·2135

[m ·m · J/(s ·m2)

(kg/s) · J/(kg ·K)

]

= 22,2 K

T2 = T1 −Δt = 433−22 = 411 K

Mittlere Temperatur:

T = T1 − (1/2) ·Δt = 433− (1/2) ·22 = 422 K

Damit wird nach (5-71):

ΔpV = 0,0205 ·1,1 · 24500,5

· 382

2· 422

433

·[

kgm3 · m

m·(m

s

)2· KK

]

ΔpΔpΔpV = 7,78 ·104 N/m2 ≈ 0,8 ·105 Pa

= 0,80,80,8bar

p2p2p2 = p1 −ΔpV = 2,2−0,8 = 1,41,41,4bar

Ü 63

Bild 7-37. Lösungsskizze zu Ü 63:Druckverlauf in und außerhalb des Bewetterungsroh-res.

Hydrostatischer Druckverlauf (ohneStrömung)

−−−− Druckverlauf bei Strömung

Bei dem großen Höhenunterschied kann diepotenzielle Energie und damit der Druckanteil


infolge der Gewichtskraft der Luftsäule nichtmehr vernachlässigt werden.Die durch Reibungsverluste entstehende Wär-me wird infolge fehlender Isolierung überdas Bewetterungsrohr durch Wärmeleitungnach außen abgeführt, wodurch sich etwaisothermes Verhalten ergibt. Infolge dieserWärmeverluste ist es nicht sinnvoll, die Ener-giegleichung in Solentiefe anzuwenden. Umandererseits die unhandliche Beziehung fürisotherme Luftschichtung, (2-52) u. Abschnitt2.2.8.2, zu umgehen, kann näherungsweise mitdem hydrostatischen Grundgesetz gerechnetwerden, da – wegen gleichbleibendem Quer-schnitt – die Strömungsgeschwindigkeit imRohr etwa konstant ist. Dabei wird an Stelleder veränderlichen Luftdichte die mittlere imBewetterungsrohr zugrundegelegt. In Bild 7-37ist der prinzipielle Druckverlauf aufgetragen.

Nach dem hydrostatischen Grundgesetz gilt un-ter Berücksichtigung des Druckverlustes:

p2 ≈ p1 +� ·g ·H−ΔpV Hierbei

� =12(�1 +�2) =

12·(

1�1

+1�2

)

Nach Gasgesetz �2 = R ·T2/p2 = R ·T/p2

� = (1/2) · (�1 + p2/(R ·T))

ΔpV = �1 ·λ1 · (L/D) · (c21/2) Eingesetzt:

p2 ≈ p1 +g ·H

2·(

�1 +p2

R ·T)−�1 ·λ1 · L

D· c2

1

2

p2

(1− g ·H

2 ·R ·T)

= p1 +�1

·(

g ·H2

−λ1 · LD· c2

1

2

)

p2 ≈ 1

1− g ·H2 ·R ·T

·[

p1 +�1

(g ·H

2−λ1 · L

D· c2

1

2

)]

Anfangszustand:

Druck: p1 = p1,ü + pb = 1,2 + 1,02 = 2,22 bar

= 2,22 ·105 N/m2

Temperatur: T1 = T = 273 + t = 273 + 22= 295 K

Dichte: Mit R = 287 J/(kg · K) (Tab. 6-20)

�1 =p1

R ·T =2,22 ·105

287 ·295

[N/m2

(J/(kg ·K)) ·K]

= 2,622 kg/m3

Viskosität: Nach Bild 6-9 ν1 · p1 ≈ 1,5 Pa · m2/s

Hieraus ν1 =ν1 · p1

p1=

1,52,22 ·105

= 6,76 ·10−6 m2/s

Mittlere Strömungsgeschwindigkeit:

c1 =m

�1 ·A1=

0,8892,622 ·0,1257

[kg/s

kg/m3 ·m2

]

= 2,7 m/s

Rohrreibungszahl λ1 = f (Re1,D1/ks) :

Re1 =c1 ·D1

ν1

=2,7 ·0,4

6,76 ·10−6

= 1,6 ·105

D/ks = 400/0,4 = 1000

Bild 6-11−−−−−−→λ1 = 0,0213

(Übergang)

Mit Formel für Übergang nach COLEBROOK,also (4-33):

1√λ1

= −2 · lg(

2,51

Re1 ·√λ1

+ 0,27ks

D

)

1√λ1

= −2 · lg(

2,511,6 ·105 ·√0,0213

+ 0,27 · 0,4400

)

1√λ1

= 6,846

√λ1 = 0,146

λ1 = 0,0213 (wie Diagrammwert)


Die Zahlenwerte in die Beziehung für p2 einge-setzt ergibt:

p2 ≈1

1− 9,81 ·900

2 ·287 ·295

·[

2,22 ·105 + 2,622

(9,81 ·900

2

−0,021 · 9000,4

· 2,72

2

)]

·

⎡⎢⎢⎣

1

1(m/s2) ·m

(m2/(s2 ·K)) ·K

⎤⎥⎥⎦

·[

Nm2

kgm3

(ms2 ·m m2

s2

)]

p2p2p2 ≈ 2,46 ·105 N/m2 = 2,46 ·105 Pa

= 2,462,462,46bar

Ü 64Das vorhandene Druckverhältnisp2/p1 = 1/3,5 = 0,286 ist kleiner

als das LAVALdruckverhältnis PL = 0,528(Tab. 5-1). Deshalb treten im Austrittsquer-schnitt der „Mündung“ die LAVALwerteauf.a) mmax = ϕM · mL nach (5-108) mit

ϕM = 0,97 (Abschnitt 5.3.3.2.1)

mL = AM ·ΨA, L ·√

2 · (p1/�1) nach (5-104)

ΨA, L = 0,484 nach Tab. 5-1

�1 =R ·T1

p1=

287 ·2983,5 ·105

[J

kg ·K · KN/m2

]

= 0,244 m3/kg

mL = 2 ·10−4 ·0,484 ·√

2 · 3,5 ·105

0,244

·[

m2 ·√

N/m2

m3/kg

]

= 0,164 kg/s Dann wird:

mmmmax = 0,97 ·0,164 = 0,159 kg/s0,159 kg/s0,159 kg/s

= 572,5 kg/h= 572,5 kg/h= 572,5 kg/h

b) Nach (5-10):c2 = ckr = ϕM · cL = ϕM ·ΨG, L ·

√2 · p1 · �1

mit ΨG, L = 0,764 gemäß Tab. 5-1

c2 = 0,97 ·0,764 ·√

2 ·3,5 ·105 ·0,244

·[√

(N/m2) · (m3/kg)

]

c2c2c2 = 0,97 ·315,75 m/s = 306,3 m/s306,3 m/s306,3 m/s

c) p2,Mp2,Mp2,M = pL = p1 ·PL = 3,5 ·0,528 [bar]= 1,8481,8481,848bar

Aus p1 · �κ1 = p2,M · �κkrund p1/p2,M = 1/PL

folgt:

��kr = �1 ·(

p1

p2,M

)1/κ

= 0,244 ·(

10,528

)1/1,4

= 0,385 m3/kg0,385 m3/kg0,385 m3/kg

�2,M > �kr infolge Reibung, jedoch meist�kr ≈ �2,M

TTT kr =pL · �kr

R

=1,848 ·105 ·0,385

287

[(N/m2) ·m3/kg

J/(kg ·K)

]

= 284284284K

c2 =√

2 ·Δh aus (5-80) bei c1 ≈ 0.

Hieraus:

Δh =c2

2

2=

306,32

2

[m2

s2

]= 46 910 m2/s2

Aus Δh = cp(T1−T2) mit cp = 1005J

kg · Knach Tab. 6-20, folgt:

T2 = T1 − Δhcp

= 298 K− 46 9101005

[m2/s2

J/(kg ·K)

]

T2T2T2 = 251,3= 251,3= 251,3 K Hiermit:

�2�2�2 =R ·T2

pL=

287 ·251,31,848 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,390 m3/kg0,390 m3/kg0,390 m3/kg

d) Der Leistungsverlust ist identisch dem Ener-giestromverlust.


P = mmax ·Δhs

Δhs =κ

κ−1·R ·T1 ·

[1−

(p2

p1

) κ−1κ

]

nach (5-36)

Δhs =1,4

1,4−1·287 ·298

[1−

(1

3,5

) 1,4−11,4

]

·[

Jkg ·K ·K

]

= 90 065,6 J/kg ≈ 90,07 kJ/kg

PPP = 0,159 ·90,07

[kgs· kJ

kg

]= 14,32 kJ/s

= 14,3214,3214,32kW

e) W = P · ta. Mit ta = 8760 h/a wird:

W = 14,32 ·8760 [kW ·h/a] = 125 443 kWh/a

WWW ≈ 125 MWh/a≈ 125 MWh/a≈ 125 MWh/a

f) Wel =Wη

=125 443

0,6= 209 071 kWh/a

K = Wel · kel = 209 071 ·0,1 [kWh/a ·AC/kWh]KKK = 20907 EUR/a= 20907 EUR/a= 20907 EUR/a

Ü 65a) Austrittsgeschwindigkeit c2: Nach

Abschnitt 5.3.3.2.1 mit Tab. 7-2 gilt:

c2 = ϕM · cL mit ϕM = 0,97

cL =ΨG, L

√2 · p1 · �1 nach (5-99)

�1 = R ·T1/p1

oder aus Anhang (Abschnitt 6).

Tabelle 7-2. Laut Tabelle 5-1 sowie Tabelle 6-20LAVAL- und Stoffwerte:

Stoff κ PL ΨG, L ΨA, L R cp− − − − J/(kg·K) J/(kg·K)

Luft 1,4 0,528 0,764 0,484 287 1005

Heiß-

dampf 1,3 0,546 0,752 0,472 461 2135

1. Heißluft

�1 =287 ·63325 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,0727 m3/kg

cL = 0,764 ·√

2 ·25 ·105 ·0,0727

·[√

(N/m2) ·m3/kg

]

= 460,6 m/s

c2c2c2 = 0,97 ·460,6 = 446,8 m/s446,8 m/s446,8 m/s

2. Heißdampf

�1 =461 ·63325 ·105 = 0,117 m3/kg

Oder aus (h,s)-Diagramm: �1 ≈ 0,116 m3/kgbzw. aus Dampf-Tafel: �1 = 0,1141 m3/kg (ge-nauer Wert)

cL = 0,752 ·√

2 ·25 ·105 ·0,1141 = 568 m/s

c2c2c2 = 0,97 ·568 = 551 m/s551 m/s551 m/s

b) Mengenstrom bei DM = 2,5 cm:

mmax = ϕM · mL (5-108) mit Tab. 7-2

mL = AM ·ΨA, L ·√

2 · p1/�1 (5-104)

AM = D2M ·π/4 = 2,52 ·π/4 = 4,909 cm2

1. Heißluft

mL = 4,909 ·10−4 ·0,484 ·√

2 · 25 ·105

0,0727

·[

m2 ·√

N/m2

m3/kg

]

mL = 1,970 kg/s = 7093,5 kg/h

mmmmax = 0,97 ·1,97 ·1,91 kg/s1,91 kg/s1,91 kg/s = 6876 kg/h

2. Heißdampf

mL = 4,909 ·10−4 ·0,472 ·√

2 · 25 ·105

0,1141

= 1,534 kg/s

mmmmax = 0,97 ·1,534 = 1,488 kg/s1,488 kg/s1,488 kg/s

= 5356 kg/h


c) Schubkraft (Rückstoß) FS = FWd

IS: FWd − I = 0 → FWd = I = m · c1. Heißluft

FWdFWdFWd = 1,91 ·446,8 [(kg/s) · m/s] = 853,4853,4853,4N

2. Heißdampf

FFFWd = 1,488 ·551 [(kg/s) · m/s] = 819,9819,9819,9N

d) Gefälleverlust (Verlustenergie; m2/s2 =J/kg):

ΔhV =c2

L

2(1−ϕ2

M) nach (5-87)

1. Heißluft

ΔhΔhΔhV =460,62

2· (1 ·0,972)

[m2

s2

]= 6269

m2

s2

= 6,36,36,3 kJ/kgkJ/kgkJ/kg

2. Heißdampf

ΔhΔhΔhV =5682

2· (1−0,972) = 9534

m2

s2

= 9,59,59,5 kJ/kgkJ/kgkJ/kg

e) Umgesetztes Wärmegefälle, gemäß (5-55)

Δhs =c2

2,s

2=

c2L

2und

Δh = Δhs −ΔhV = ϕ2M ·Δhs

1. Heißluft

Δhs =460,62

2

[m2

s2

]= 106 078

m2

s2

= 106 078m2

s2 · kgkg

Δhs = 106 ·103 J/kg = 106 kJ/kg

ΔhΔhΔh = 0,972 ·106 = 99,7 ≈ 100 kJ/kg100 kJ/kg100 kJ/kg

2. Heißdampf

Δhs =5682

2

[m2

s2

]= 161 312

m2

s2

= 161 312m2

s2 · kgkg

= 1,61 ·105 J/kg = 161 kJ/kg

ΔhΔhΔh = 0,972 ·161 = 151,5 kJ/kg151,5 kJ/kg151,5 kJ/kg

f) Wirkungsgrad ηV, M = ϕ2M (Abschnitt

5.3.3.2.1)

Heißluft und HeißdampfηηηV, M = 0,972 = 0,940,940,94

g) Zustandswerte im AustrittsquerschnittDruck: p2 = pL = PL · p1

Spezifisches LAVAL-Volumen:�L = �1 · (p1/pL)1/κ

Oder aus (h,s)-Diagramm bzw. DampftafelTemperatur: TL = (pL · �L)/R oder(LAVAL) TL = T1 − (Δhs/cp)

bzw. aus (h,s)-DiagrammEndtemperatur: T2 = T1 −Δh/cp

bzw. aus (h,s)-Diagramm

Spezifisches Endvolumen: �2 = R ·T2/p2

1. Heißluft:

p2 = pL = 0,528 ·25[bar] = 13,2 bar

�L = 0,0727 · (25/13,2)1/1,4[m3/kg]

= 0,1147 m3/kg

TL =13,2 ·105 ·0,1147

287

[(N/m2) ·m3/kg

J/(kg ·K)

]

= 527,5 K

oder

TL = 633 K− 1,06 ·105

1005

[J/kg

J/(kg ·K)

]

= 527,5 K

T2 = 633 K− 1 ·105

1005

[J/kg

J/(kg ·K)

]= 533,5 K

�2 =287 ·533,513,2 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,1160 m3/kg

2. Heißdampf:

p2 = pL = PL · p1 = 0,546 ·25 = 13,65 bar

�L = 0,117 · (25/13,65)1/1,3 = 0,1864 m3/kg

TL =13,65 ·105 ·0,1864

461= 552 K bzw.

TL = 633− 1,61 ·105

2135= 557,5 K →

tL = 284,5 ◦C


T2 = 633− 1,515 ·105

2135= 562 K → t2

= 289 ◦C

�2 =461 ·562

13,65 ·105 = 0,1898 m3/kg

Bemerkung: cp, κ und R jeweils nicht konstant,da reales Gasverhalten.Bei Wasserdampf ist es besser, die Werte ausdem (h,s)-Diagramm zu entnehmen, da diesesdas reale Verhalten des Dampfes berücksichtigt.In Bild 7-38 ist die Zustandsänderung mit denzugehörigen Werten im (h,s)-Diagramm darge-stellt (prinzipiell).

Bild 7-38. Lösungsskizze zu Ü 65:Darstellung der Zustandsänderung im Ausschnittvom (h,s)-Diagramm.−−−− theoretische (isentrope) Entspannung

tatsächliche (polytrope) EntspannungBemerkung: �-Werte nur ungenau aus

(h,s)-Diagramm ablesbar

Ü 661. Näherung: Annahme ideale, d. h.isentrope Entspannung.

a)

p1 · �κ1 = p2 · �κ2,s Mit �= R ·T/p wird:

p1 ·(

R ·T1

p1

)κ

= p2 ·(

R ·T2,s

p2

)κ

Hieraus:

p1 = p2 · (T1/T2,s)κ

κ−1

CO2, 3-atomig:κ = 1,3 (Tab. 6-19 und 6-20)

T2,s = 273−78,5 = 194,5 K

T1 = 273 + 25 = 298 K

p1p1p1 = 1 · (298/194,5)1,3

1,3−1 [bar] = 6,356,356,35bar

Infolge der Strömungsverluste muss der tat-sächliche Mindestdruck in der Flasche größersein als 6,35 bar.

b)p2/p1 = 1/6,35 = 0,16 < PL → LAVALdüsenotwendig (PL = 0,54 nach Tab. 5-1)

c) Nach (5-114), bei c1 vernachlässigt

c2,s =

√2 · κ

κ−1·R ·T1 ·

[1− (p2/p1)

κ−1κ

]

Mit R = 189 J/(kg · K) (Tab. 6-20) wird

c2,s =

√2 · 1,3

1,3−1·189 ·298 ·

[1−0,16

1,3−11,3

]

·[√

Jkg ·K ·K

]

c2,s = 410,3 m/s

c2 = ϕDü · c2,s

ϕDü = f ( fDü) mit fDü nach (5-117)

und pL = PL · p1 = 0,54 ·6,35 = 3,43 bar

fDü =(

13,43

) 11,3

·√

1,3 + 11,3−1

[1−0,16

1,3−11,3

]

fDü = 0,63

Hierzu nach Bild 5-17: ϕDü = 0,94 Damit

c2c2c2 = 0,94 ·410,3 = 385,7m/s385,7m/s385,7m/s

d) Ma2 = c2/a2 mit

a2 =√

κ ·R ·T2

=√

1,3 ·189 ·194,5[√

(J/(kg ·K)) ·K]

a2 = 218,6 m/s

Ma2Ma2Ma2 = 385,7/218,6 = 1,761,761,76


Ü 67a) mit Tab. 5-1; bzw. Tab. 7-2:p2/p1 = 1/1,5 = 0,67 > PL

Also unterkritische Ausströmung, d. h. nur ein-fache Düse notwendig.

b) Nach (5-79)

c2,s =

√√√√√√√√

602 +(

2 · 1,41,4−1

·287 ·298

)

·[

1−(

11,5

) 1,4−11,4

]

·[√

m2

s2

Jkg ·K ·K

]

c2,s = 262,85 m/s

c2c2c2 = ϕM · c2,s = 0,97 ·262,85 = 255 m/s255 m/s255 m/s

c) m =V�

=A1 · c1

�1mit

�1 =R ·T1

p1=

287 ·2981,5 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,570 m3/kg

A1 =D2

1 ·π4

=502 ·π

4[mm2] = 1963,5 mm2

= 1,964 ·10−3m2

mmm =1,964 ·10−3 ·60

0,570

[m2 ·m/sm3/kg

]

= 0,2067 kg/s0,2067 kg/s0,2067 kg/s

d) T2 = T1 −Δh/cp aus Δh = cp · (T1 −T2)

Δh = ϕ2M ·Δhs

Δhs = wt, s =κ

κ−1·R ·T1 ·

[1− (p2/p1)

κ−1κ

]

Δhs =1,4

1,4−1·287 ·298

·[

1− (1/1,5)1,4−1

1,4

][J

kg ·K ·K]

Δhs = 32 744,5 J/kg

Δh = 0,972 ·32 744,5 = 30 809,3 J/kg

T2 = 298 K− 30 809,31005

[J/kg

J/(kg ·K)

]

= 267,3 K

t2t2t2 = −5,7= −5,7= −5,7 ◦◦◦C

T2,s = T1 −Δhs/cp

= 298 [K]− 32 744,51005

[J/kg

J/(kg ·K)

]

T2,s = 265,4 K Oder

T2,s = T1 · (p2/p1)κ−1

κ = 298 · (1/1,5)1,4−1

1,4 [K]

= 265,4 K

Zwischen T2 und T2,s vernachlässigbarer Unter-schied.

�2 =R ·T2

p2=

287 ·267,31 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,7672 m3/kg

�2,s =R ·T2,s

p2=

287 ·265,41 ·105

= 0,7617 m3/kg. Oder

�2,s = �1 · (p1/p2)1/κ

= 0,570 · (1,5/1)1/1,4[

m3/kg

]

= 0,7615 m3/kg

e) A2 =m · �2

c2

=0,2067 ·0,7672

255

[(kg/s) ·m3/kg

m/s

]

A2 = 6,218 ·10−4 m2

= 621,8 mm →D2 = 28D2 = 28D2 = 28mm

A2/A1 = 621,8/1963,5 = 0,317

f)

Bild 7-39. Lösungsskizze zu Ü 67, Frage f).

tanδ/2 = ΔR/L =ΔD/2

LHieraus

L =ΔD2

· 1tanδ/2

=D1 −D2

2· 1

tanδ/2

LLL =50−28

2· 1

tan10◦[mm] = 62,462,462,4mm


Ü 68a) p2/p1 = 1/25 = 0,04 < PL → über-kritisch, also LAVALdüse bei Helium-

und Dampfströmung (Tab. 7-3).

Tabelle 7-3. Nach Tabelle 5-1 mit Tabelle 6-20 LA-VALgrößen und Stoffwerte für Helium sowie H2O-Heißdampf.

Stoff κ PL ΨG, L ΨA, L R cp

– – – – Jkg·K

Jkg·K

Helium 1,67 0,487 0,791 0,514 2078 5238

Heiß- 1,3 0,546 0,752 0,472 461 2135dampf

b) A1 =m · �1

c1. Hieraus b1 =

√A1

1. Helium:

�1 =R ·T1

p1=

2078 ·69325 ·105

[J

kg ·K ·K · m2

N

]

= 0,576m3

kg

A1 =0,1 ·0,576

20

[m2 ·m3/kg

m/s

]

= 2,88 ·10−3 m2

b1b1b1 =√

2,88 ·103 = 0,0537 m = 53,7 mm

≈ 545454mm

2. Wasserdampf:�1 = 0,1266 m3/kg (aus Dampftafel [75])

A1 =0,1 ·0,1266

20= 0,633 ·10−3 m2

b1b1b1 =√

0,633 ·103 = 0,0252 m = 25,2 mm

≈ 252525mm

c) cM = ϕM · cL nach (5-82)

ϕM = 0,97 (Abschnitt 5.3.3.2.1)

Mit Berücksichtigung der Zuströmgeschwin-digkeit c1:

cL =√

c21 + 2 · κ

κ + 1· p1 · �1 nach (5-97)

Ohne Berücksichtigung der Zuströmgeschwin-digkeit c1:

cL =√

2 · κ

κ + 1· p1 · �1 =ΨG, L ·

√2 · p1 · �1

(5-97)

1. Helium:Mit Zuströmgeschwindigkeit c1:

cL =

√202 + 2 · 1,67

1,67 + 1·25 ·105 ·0,576

·[√

m2

s2

Nm2 · m3

kg

]

cL = 1342,29 m/s

cMcMcM = 0,97 ·1342,29 = 1302,02 m/s1302,02 m/s1302,02 m/s

Ohne Zuströmgeschwindigkeit c1:

cL =

√2 · 1,67

1,67 + 1·25 ·105 ·0,576

·[√

Nm2 · m3

kg

]

cL = 1342,14 m/s

cMcMcM = 0,97 ·1342,14 = 1301,88 m/s1301,88 m/s1301,88 m/s

2. Wasserdampf: (Heißdampf):Mit Zuströmgeschwindigkeit c1:

cL =

√202 ·2 · 1,3

1,3 + 1·25 ·105 ·0,1266

= 598,48 m/s

Ohne Zuströmgeschwindigkeit c1:

cL =

√2 · 1,3

1,3 + 1·25 ·105 ·0,1266

= 598,15 m/s

cMcMcM = 0,97 ·598,15 = 580,21 m/s580,21 m/s580,21 m/s

Der Unterschied durch die Berücksichtigungder Zuströmgeschwindigkeit ist also vernach-lässigbar klein, das bedeutet c1 kann hierbeimeist unberücksichtigt bleiben.

Oder nach (5-98) mit ld,1 = 1839 kJ/kg ausDampftafel [109] für p1 = 25 bar.


cL =√

2[(κ−1)/(κ+ 1)] · (h1− ld,1)

=

√2 · [(1,3−1)/(1,3 + 1)]·(3,287−1,839) ·106 [

√J/kg]

= 614,6 m/s (etwa wie zuvor!)

d) Zuströmgeschwindigkeit c1 wieder vernach-lässigbar. Nach (5-128) gilt dann:

AM =m

ϕM ·ΨA, L·√

12· �1

p1

1. Helium:

AM =0,1

0,97 ·0,514·√

12· 0,576

25 ·105

·[

kgs·√

m3/kgN/m2

]

= 68,08 ·10−6 m2 = 68,08 mm2

bMbMbM =√

68,08[√

mm2]

= 8,25 mm ≈ 8,38,38,3mm

2. Wasserdampf:

AM =0,1

0,97 ·0,472·√

12· 0,1266

25 ·105

= 34,76 ·10−6 m2

bMbMbM =√

34,76 [√

mm2] = 5,9 mm ≈ 666mm

e) c2 = ϕDü · c2,s (5-115), wobei nach (5-114)für Gas (Helium), aber nicht bei Dampf, da hierκ = konst; R = konst.

c2,s =

√√√√c21 + 2 · κ

κ−1·R ·T1 ·

[1−

(p2

p1

)κ−1κ

]

ϕDü = f ( fDü) nach Bild 5-17 mit (5-116) oder(5-117)

1. Helium:

c2,s =

√√√√√√√√√

202 +(

2 · 1,671,67−1

·2078 ·693

)

·[

1−(

125

) 1,67−11,67

]

·[√

m2/s2 (m2/(s2 ·K)) ·K]

c2,s = 2281,63 m/s

pL = PL · p1 = 0,487 ·25 = 12,18 bar

Bild 7-40. Lösungsskizze zu Ü 68, Frage e).

Nach (5-116):

fDü =(

112,18

) 11,67

·√√√√ 1− (1/25)

1,67−11,67

1− (12,18/25)1,67−1

1,67

= 0,38

Oder nach (5-117):

fDü =(

112,18

) 11,67

·√

1,67 + 11,67−1

·(

1− (1/25)1,67−1

1,67

)

= 0,38

Hierzu aus Bild 5-17 extrapoliert: ϕDü ≈ 0,87

c2c2c2 = 0,87 ·2281,63 = 1985 m/s1985 m/s1985 m/s

2. Wasserdampf:pL = 0,546 ·25 = 13,65 bar

Aus (h,s)-Diagramm, Bild 6-48 (Auszug davonenthält Bild 7-40):

ΔhL = ΔhM, s = Δhkr, s = h1 −hM, s

= 3287−3109 [kJ/kg]

= 178 kJ/kg = 178 ·103 m2/s2

ΔhDü = h1 −h2,s = 3287−2575 = 712 kJ/kg

Damit wird nach (5-114) für Dampf:


c2,s =√

c21 + 2 ·ΔhDü, s

=√

202 + 2 ·712 000

[√m2/s2 J/kg

]

c2,s = 1193,48 m/s

und nach (5-116):

fDü = (p2/pL)1/κ ·√

ΔhDü, s/ΔhL

fDü = (1/13,65)1/1,3 ·√

712/178

fDü = 0,27

Hierzu aus Bild 5-17 extrapoliert: ϕDü ≈ 0,83

c2c2c2 = 0,83 ·1193,48 = 991 m/s991 m/s991 m/s

Die Zuströmgeschwindigkeit c1 könnte alsoauch hier wieder vernachlässigt werden.

f) ΔhV = Δhs −Δh = Δhs(1−ϕ2Dü)

Bei der zulässigen Vernachlässigung von c1:

ΔhV = (c2s /2) · (1−ϕ2

Dü)

1. Helium:

ΔhV = (2281,632/2) · (1−0,872) [m2/s2]

= 632 769,3 m2/s2

ΔhVΔhVΔhV = 632 769,3 J/kg

≈ 633 kJ/kg633 kJ/kg633 kJ/kg (sehr hoch!)

2. Wasserdampf:

ΔhVΔhVΔhV = ΔhDü, s · (1−ϕ2Dü) = 712 · (1−0,83)2

= 222 kJ/kg222 kJ/kg222 kJ/kg

Verlustenergie in vorigen Fällen sehr groß. Dü-senbeiwert ϕDü muss deshalb vergrößert, alsoDüsenqualität erhöht werden. Dies zeigt auchder Düsenwirkungsgrad ηV, Dü = ϕ2

Dü:

1. Helium: ηV, Dü = 0,872 ≈ 0,76

2. Wasserdampf: ηV, Dü = 0,832 ≈ 0,69

g) b2 =√

A2

A2 = (m · �2)/c2 aus Durchflussgleichung

�2 = R ·T2/p2 aus Gasgleichung

T2 = T1 −Δh/cp aus Isentropengleichung

ΔhDü = ϕ2Dü ·ΔhDü, s

Bei Gas (c1 wieder vernachlässigt):

ΔhDü = ϕ2Dü ·

κ

κ−1·R ·T1 ·

[1−

(p2

p1

)κ−1κ

]

Bei Dampf ΔhDü, s aus dem zugehörigem(h,s)-Diagramm

1. Helium (Gas):

ΔhDü = 0,872 · 1,671,67−1

·2078 ·693

·[

1− (1/25)1,67−1

1,67

][(J/(kg ·K)) ·K]

ΔhDü = 1,97 ·106 J/kg = 1970 kJ/kg

cp = 5238 J/(kg ·K) aus Tab. 6-20

T2 = 693 [K]− 1,97 ·106

5238

[J/kg

J/(kg ·K)

]

= 317 K

�2 =2078 ·317

1 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 6,59 m3/kg

A2 =0,1 ·6,59

1985

[(kg/s) ·m3/kg

m/s

]

= 332 ·10−6 m2

b2b2b2 =√

332 mm2 = 18,2 mm ≈ 181818mm

2. Wasserdampf:Aus (h,s)-Diagramm (Punkt 2):

h2 = h2,s +ΔhV = 2575 + 222 = 2797 kJ/kg

Hierzu aus (h,s)-Diagramm mit p2 = 1 bar:

t2 = 160 ◦C und �2 = 2,05 m3/kg. Damit

A2 =0,1 ·2,05

991

[(kg/s) ·m3/kg

m/s

]

= 206,9 ·10−6 m2

= 206,9 mm2

b2b2b2 =√

206,9 mm2 = 14,4 mm ≈ 14,514,514,5mm


Bild 7-41. Lösungsskizze 2 zu Ü 68, Frage h).

h) Nach Bild 7-41 gilt:

L = LV + LE mit

LV =b1 −bM

2· 1

tanδV/2und

LE =b2 −bM

2· 1

tanδE/2

1. Helium:

LV =54−8,3

2· 1

tan(45◦/2)[mm] = 55,16

≈ 55 mm

LE =18−8,3

2· 1

tan(45◦/2)[mm] = 36,84

≈ 37 mm

LLL = 55 + 37 = 929292mm

2. Wasserdampf:

LV =25−6

2· 1

tan(45◦/2)[mm] = 22,94

≈ 23 mm

LE =14,5−6

2· 1

tan(45◦/2)[mm] = 32,28

≈ 32 mm

LLL = 23 + 32 = 555555mm

i) Ma2 = c2/a2 mit a2 =√

κ ·R ·T2

=√

κ · p2 · �21. Helium:

a2 =√

1,67 ·2078 ·317[√

(J/(kg ·K)) ·K]

= 1049 m/s

Ma2Ma2Ma2 = 1985/1049 = 1,91,91,9

Theoretisch, also isentrop:

T2,s = T1 · (p2/p1)κ−1

κ =693·(1/25)1,67−1

1,67 [K]

= 190,5 K

R = 2078 J/(kg ·K)

= 2078 m2/(s2 ·K); Tab. 7-3

a2,s =√

1,67 ·2078 ·190,5 = 813 m/s

Ma2,sMa2,sMa2,s = c2,s/a2,s = 2281,63/813 = 2,82,82,8

2. Wasserdampf:

a2 =√

1,3 ·1 ·105 ·2,05

[√(N/m2) ·m3/kg

]

= 516,2 m/s

Ma2Ma2Ma2 = 991/516,2 = 1,91,91,9

Theoretisch, also isentrop:κ = 1,17, geschätzter Mittelwert (Bild 5-10), daExpansion ins Nassdampfgebiet:

a2,s =√

κ · p · �2,s

=√

1,17 ·1 ·105 ·1,62

[√N/m2·m3/kg

]

a2,s = 435,36 m/s ≈ 435,4 m/s

Ma2,sMa2,sMa2,s = c2,s/a2,s = 1193,48/435,4=2,74≈2,72,72,7

Ü 69 a)

m = ϕM ·AM ·ΨA, L ·√

2 · p1/�1 nach (5-123)

Mit ϕM = 0,97 (Abschnitt 5.3.3.2.1)

ΨA, L = 0,484 (Tab. 5-1)

�1 =R ·T1

p1=

287 ·29820 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,0428 m3/kg

AM = a ·b = 20·30 = 600 mm2 = 0,6 ·10−3 m2

m = 0,97 ·0,6 ·10−3 ·0,484

·√

2 ·20 ·105/0,0428

·[

m2 ·√

(N/m2) ·kg/m3

]

mmm = 2,723 kg/s = 9803 kg/h9803 kg/h9803 kg/h


b) Nach (5-115) mit c1 ≈ 0

c2 = ϕDü · c2,s

wobei

c2 , s =√

2 · κ

κ−1· p1 · �1 ·

[1− (p2/p1)

κ−1κ

]

und ϕDü = f ( fDü):

fDü =(

p2

pL

)1/κ

·√

κ + 1κ−1

·[

1− (p2/p1)κ−1

κ

]

wobei pL = PL · p1 = 0,528 ·20 = 10,56 bar

fDü =(

410,56

)1/1,4

·√

1,4 + 11,4−1

·[

1− (4/20)1,4−1

1,4

]

= 0,74

Hierzu aus Bild 5-17: ϕDü = 0,955

c2,s =

√√√√√√√2 · 1,4

1,4−1·20 ·105 ·0,0428

·[

1− (4/20)1,4−1

1,4

]

·[√

Nm2 ·

m3

kg

]

c2,s = 469,97 m/s

c2c2c2 = 0,955 ·469,97 = 448,8 m/s ≈ 449 m/s449 m/s449 m/s

c)

ΔhV =c2

2,s

2· (1−ϕ2

Dü)

=469,972

2· (1−0,9552)[m2/s2]

ΔhVΔhVΔhV = 9715,6 m2/s2 = 9715,6 J/kg

≈ 9,7 kJ/kg9,7 kJ/kg9,7 kJ/kg

ηV, DüηV, DüηV, Dü = ϕ2Dü = 0,9552 = 0,910,910,91 nach (5-119)

d) A2 = AM · ϕM

ϕDü·ΨA, L/ΨA,2

nach (5-130) mit (5-90):

ΨA,2 =

√√√√ 1,41,4−1

·[(

420

) 21,4

−(

420

) 1,4+11,4

]

= 0,36

A2A2A2 = 600 · 0,970,955

· 0,4840,36

[mm2]

= 819,3819,3819,3mm222

e)

�2 =c2 ·A2

m=

449 ·819,3 ·10−6

2,723

[(m/s) ·m2

kg/s

]

�2�2�2 = 0,1351 m3/kg0,1351 m3/kg0,1351 m3/kg

T2 =p2 · �2

R=

4 ·105 ·0,1351287

[N/m2 ·m3/kg

J/(kg ·K)

]

T2T2T2 = 188,3= 188,3= 188,3 K

t2t2t2 = −84,7= −84,7= −84,7 ◦C◦C◦C

Oder aus ΔhDü = cp(T1 −T2)

T2 = T1 −ΔhDü/cp. Mit

ΔhDü = ηV, Dü ·ΔhDü = ϕ2Dü ·ΔhDü, s

ΔhDü, s = c22,s/2 = 469,972/2 [m2/s2]

= 110 436 m2/s2

= 110 436 J/kg = 110,4 kJ/kg

ΔhDü = 0,9552 ·110,4 [kJ/kg]= 100,7 kJ/kg oder

ΔhDü = c22/2 = 4492/2 = 100 800 m2/s2

= 100,8 kJ/kg

T2T2T2 = 298 K− 100 8001005

[J/kg

J/(kg ·K)

]= 197,7197,7197,7K

Unterschied infolge Vernachlässigung von�L/c2,kr bei Berechnung von m und der Nicht-konstanz von cp.

Zum Vergleich:Theoretische Werte bei idealer, d. h. isentroperEntspannung:


�2,s = �1 · (p1/p2)1/κ

= 0,0428 · (20/4)1/1,4 [m3/kg]

�2,s�2,s�2,s = 0,13510,13510,1351m333/kg

T2,s = p2 · �2,s/R

=4 ·105 ·0,1351

287

[(N/m2) ·m3/kg

J/(kg ·K)

]

T2,sT2,sT2,s = 188,3188,3188,3K oder

T2,s = T1 −Δhs/cp

= 298 K− 110 4001005

[J/kg

J/(kg ·K)

]

T2,s = 188,1 K (praktisch gleich!)

Ü 70


a) Aus K 1©– 2©:c1 ·A1/�1 = c2 ·A2/�2folgt für das Flächenverhältnis:

A2

A1=�2

�1· c1

c2. Mit

c1 = Ma1 ·a1

a1 =√

κ ·R ·T1

N2 : κ = 1,4; R = 297J

kg ·K (Tab. 6-20)

a1 =√

1,4 ·297 ·303[√

K · J/(kg ·K)]

= 354,9 m/s

c1 = 0,95 ·354,9 = 337,2 m/s

�1 =R ·T1

p1=

297 ·3032 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,450 m3/kg

�2 =R ·T2

p2mit p2 aus (5-145)

(p2

p1

)κ−1κ

−1 =ηV, DF

2· κ−1

κ

· 1p1·�1

(c2

2 − c21

)

=0,85

2· 1,4−1

1,4· 1

2 ·105 ·0,45

· (337,22 −602)

·[

m2 ·kgN ·m3 ·m2/s2

]

= 0,1485 Hieraus

p2/p1 = (0,1485 + 1)κ

κ−1 = 0,14851,4

1,4−1

= 1,6238

p2 = 1,6238·p1 =1,6238 ·2 [bar]=3,25 bar

T2 nach (5-147)

T2 = 303 ·[

1 +1

0,85·((

3,252

) 1,4−11,4

−1

)]

· [K]T2T2T2 = 356= 356= 356 K → t2 = 83 ◦C

�2 =297 ·3563,25 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,3253 m3/kg

A2A2A2

A1A1A1=

0,32530,450

· 337,260

= 4,064,064,06

b) Ma2 = c2/a2

a2 =√

κ ·R ·T2

=√

1,4 ·297 ·356

[√J

kg ·K ·K]

a2 = 384,74 m/s

Ma2Ma2Ma2 = 60/384,74 = 0,1560,1560,156

Ü 71

Bild 7-43. Lösungsskizze 1 zu Ü 71.


a) m =A1 · c1

�1mit

A1 =π4·D2

1 = 78,5 cm2 = 78,4 ·10−4 m2

R = 4124 J/(kg ·K); κ = 1,4 (Tab. 6-20)

�1 =R ·T1

p1=

4124 ·3132,4 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 5,378 m3/kg

c1 = Ma1 ·a1

a1 =√

κ ·R ·T1

=√

1,4 ·4124 ·313

[√m2

s2 ·K ·K]

a1 = 1344,3 m/s

c1 = 1,8 ·1344,3 = 2419,7 m/s

mmm =78,5 ·10−4 ·2419,7

5,378

[m2 ·m/sm3/kg

]

= 3,5323,5323,532kg/s

b) Kompressionstemperatur T2:

Lt. Aufg. Ma2 = 1 (LAVAL-Punkt).Da also Ma2 = c2/a2 = 1 folgt:

c2 = a2 Mit

a2 =√

κ ·R ·T2

c2 =√

c21 −2 ·Δh =

√c2

1 −2 · cp(T2 −T1)

κ ·R ·T2 = c21 −2 · cp(T2 −T1) Umgestellt:

T2(κ ·R + 2 · cp) = c21 + 2 · cp ·T1 Hieraus:

T2 =c2

1 + 2 · cp ·T1

κ ·R + 2 · cp(A)

Oder mit cp = (κ/(κ−1)) ·Raus κ = cp/cv und R = cp − cv:

T2 =c2

1 + 2 · cp ·T1

κ ·R(

1 +2

κ−1

)

=κ−1

κ(κ + 1)· c2

1 + 2 · cp ·T1

R(B)

Zahlenwerte eingesetzt, ergibt mit cp ausTab. 6-20:

Nach erster Beziehung (A):

T2 =2419,72 + 2 ·14 244 ·313

1,4 ·4124 + 2 ·14 244

·[

m2/s2 (J/(kg ·K)) ·KJ/(kg ·K)

]

T2 = 431 K

Oder nach zweiter Gleichung (B):

T2 =1,4−1

1,4(1,4 + 1)

· 2419,72 + 2 ·14 244 ·3134124

[m2/s2

J/(kg ·K)

]

T2 = 426 K

Mittelwert: T2 = 429T2 = 429T2 = 429KUnterschied infolge Ungenauigkeiten bei denStoffwerten κ, R, cp, cv (reales Gas).

Verdichtungsenddruck p2 aus (5-147):

T2 = T1

[1 +

1ηV,DF

((p2/p1)

κ−1κ −1

)]

Umgestellt:

(p2/p1)κ−1

κ −1 = ηV, DF

(T2

T1−1

)

Hieraus:

p2

p1=

[ηV, DF

(T2

T1−1

)+ 1

] κ

κ−1

Zahlenwerte wieder eingesetzt:

p2

p1=

[0,8

(429313

−1

)+ 1

] 1,41,4−1

= 2,48 ≈ 2,5

p2p2p2 = 2,5 · p1p1p1 = 2,5 ·2,4[bar] = 666bar

Spezifisches Verdichtungsendvolumen:

�2�2�2 =R ·T2

p2=

4124 ·4296 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 2,952,952,95m333/kg

c) c2 = a2 =√

κ ·R ·T2

=√

1,4 ·4124 ·429[√

(J/(kg ·K)) ·K]

c2c2c2 = 1574 m/s= 1574 m/s= 1574 m/s


Oder zur Kontrolle nach (5-145):

c22 = c2

1 −2

ηV, DF· κ

κ−1· p1 · �1

·[(p2/p1)(κ−1)/κ −1

]

c22 = 2419,72 − 2

0,8· 1,4

1,4−1·2,4 ·105 ·5,378

·[(

62,4

) 1,4−11,4

−1

][m2

s2

Nm2 · m3

kg

]

c2c2c2 = 1573,3 m/s= 1573,3 m/s= 1573,3 m/s

Abweichung wieder infolge Rechnungsunge-nauigkeiten und Rundungen bei den Stoffgrö-ßen.

d) Δh = cp · (T2 −T1)

= 14 244(429−313)[

Jkg ·K ·K

]

ΔhΔhΔh = 1 652 300 J/kg ≈ 1652 kJ/kg1652 kJ/kg1652 kJ/kg

Hiermit aus (5-142):

Δhs = ηV, DF ·Δh = 0,8 ·1652 = 1322 kJ/kg

P = m ·Δh = 3,532 ·1652

[kgs· kJ

kg

]

= 5835 kJ/s

PPP = 5835 kW ≈ 5,85,85,8MW

PthPthPth = Ps = ηV, DF ·P = 0,8 ·5,8 = 4,64,64,6MW

e) ΔhV = Δh−Δhs

Mit Δhs = ηV, DF ·Δh wird

ΔhV = Δh(1−ηV, DF) = Δhs

(1

ηV, DF−1

)

ΔhVΔhVΔhV = 1652(1−0,8) = 330 kJ/kg330 kJ/kg330 kJ/kg

Hiermit folgt die Verlustleistung:

PV = m ·ΔhV = 3,532 ·330 [(kg/s) ·kJ/kg]

PVPVPV = 1167 kW ≈ 1,21,21,2MW

Temperaturerhöhung infolge der Energieverlu-ste aus:

ΔhV = Δh−Δhs = cp (T2 −T1)− cp (T2,s −T1)ΔhV = cp (T2 −T2,s)

Umgestellt, ergibt:

T2 −T2,sT2 −T2,sT2 −T2,s = ΔhV/cp =330

14,244

[kJ/kg

kJ/(kg ·K)

]

= 232323K

T2,sT2,sT2,s = T2 − (T2−T2,s) = 429−23 = 406406406K

Oder aus Isentropengleichung:

T2,s = T1 ·(p2/p1)κ−1

κ = 313 ·2,51,4−1

1,4 = 406,7 K

f) Aus Durchfluss D 2:

A2 =m · �2

c2=

3,532 ·2,961577,5

[(kg/s) ·m3/kg

m/s

]

A2 = 66,27 ·10−4 m2 = 66,27 cm2 →D2D2D2 = 9,19 cm ≈ 929292mm

Flächenverhältnis:

A2/A1 = 66,27/78,5 = 0,84

Durchmesserverhältnis:

D2/D1 = 92/100 = 0,92

g) Um die Bedingung Ma2 = 1 zu verwirk-lichen, müsste nach Frage b) auch bei idea-ler Strömung die Endtemperatur 429 K erreichtwerden, also:

T2′,s = 429 K

Der dabei theoretisch erzielte Druck wäre nachder Isentropengleichung:

p2′,s = p1 · (T2′,s/T1)κ

κ−1

= 2,4(429/313)1,4

1,4−1 [bar]p2′,sp2′,sp2′,s = 7,23 bar ≈ 7,27,27,2bar

Druckverlust der realen Strömung demnach:

ΔpV = p2′,s − p2 = 7,2−6 = 1,2 bar

ΔpV/p2′,sΔpV/p2′,sΔpV/p2′,s = 1,2/7,2 = 0,17 = 17%17%17%

h)

�2′,s�2′,s�2′,s =R ·T2′,s

p2′,s=

4124 ·4297,2 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 2,4572,4572,457m333/kg

c2′,s = a2 =√

κ ·R ·T2′,s= c2 nach Frage c), also:

c2′,sc2′,sc2′,s = c2 = 1577,5= c2 = 1577,5= c2 = 1577,5 m/s


Oder entsprechend (5-136):

c2′,s =

√√√√√c2

1 −2 · (κ/κ−1) · p1 · �1·[(p2′,s/p1)

κ−1κ −1

]

c22′,s = 2419,72 −2 · 1,4

1,4−1·2,4 ·105 ·5,378

·[(

7,22,4

) 1,4−11,4

−1

][m2

s2

Nm2 · m3

kg

]

c2′,s =√

c22, s = 1588,5 m/s

Abweichung wieder bedingt durch Rechen- undStoffwertungenauigkeiten. Mit größerem Wert(sichere Seite) Berechnung fortgesetzt:

Austrittsquerschnitt aus Durchflussgleichung:

A2′,s =m · �2′,s

c2′,s

=3,532 ·2,457

1588,5

[kg/s ·m3/kg

m/s

]

A2′,s = 54,6 ·10−4 m2 = 54,6 cm2 →D2′,sD2′,sD2′,s = 8,34 cm ≈ 838383mm

i)

Bild 7-44. Lösungsskizze 2 zu Ü 71, Frage i).

j)

Δh′sΔh

=�′t, s

1

ηV, DF·�t, s

=

κ

κ−1· p1 · �1 ·

[(p2′,s/p1)

κ−1κ −1

]

1

ηV, DF· κ

κ−1· p1 · �1 ·

[(p2/p1)

κ−1κ −1

]

Δh′sΔh

= ηV, DF ·(p2′,s/p1)

κ−1κ −1

(p2/p1)κ−1

κ −1

Δh′sΔh

= ηV, DF · (7,2/2,4)1,4−1

1,4 −1

(6/2,4)1,4−1

1,4 −1= 1,23·ηV, DF

≈ 1,25 ·ηV, DF = 1,25 ·0,8 = 1

Hieraus folgt Δh = Δh′s, das bedeutet, dieZustandsänderung liegt in dem Bereich deszugehörigen (h,s)-Diagrammmes, in welchemdie Temperaturlinie T2 parallel zur s-Achseverläuft, also zugleich Isenthalpe ist.

Weiter gilt: ηV, DF = Δhs/Δhund im vorliegenden Fall ist:

Δhs/Δh = Δhs/Δh′s = 1/1,25 = 0,8 = ηV, DF

Ü 72

Bild 7-45. Lösungsskizze 1 zu Ü 72.

a) Ma1 = c1/a1

a1 =√

κ ·R ·T1

κ = 1,3 und R = 189J

kg ·K (Tab. 6-20)

a1 =√

1,3 ·189 ·333[√

J/(kg ·K) ·K]= 286 m/s

Ma1Ma1Ma1 = 600/286 = 2,12,12,1


b) Nach (5-170):

c2 =c1

κ + 1· [κ−1 + 2/Ma2

1]

=600

1,3 + 1· [1,3−1 + 2/2,12]

[ms

]

c2c2c2 = 196,6 m/s= 196,6 m/s= 196,6 m/s

Oder nach (5-177):

c2 = c2L/c1 mit

c2L = 2 · κ−1

κ + 1·hR aus (5-176)

hR =c2

1

2+

κ

κ−1·R ·T1 nach (5-173)

hR =6002

2+

1,31,3−1

·189 ·333

[m2

s2

]

= 452 727 m2/s2

c2L = 2 · 1,3−1

1,3 + 1·452 727

m2

s2

= 118 102,7 m2/s2

c2 = 118 102,7/600

= 196,8 m/s (fast wie zuvor!)

c) Nach (5-185):

Ma22 =

(κ−1) ·Ma21 + 2

2 ·κ ·Ma21 − (κ−1)

=(1,3−1) ·2,12 + 2

2 ·1,3 ·2,12 − (1,3−1)

Ma22 = 0,3

Ma2Ma2Ma2 =√

0,3 = 0,550,550,55

d) Enddruck p2 nach (5-180):

p2 = p1 ·[

1 +2 ·κκ + 1

(Ma21 −1)

]

= 5 ·[

1 +2 ·1,3

1,3 + 1(2,12 −1)

][bar]

p2p2p2 = 24,27= 24,27= 24,27 bar

Spezifisches Endvolumen �2 nach (5-182):

�2 =�1

κ + 1·[κ−1 + 2/Ma2

1

]

Hierbei nach Gasgleichung

�1 =R ·T1

p1=

189 ·3335 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,1259 m3/kg

�2 =0,12591,3 + 1

· [1,3−1 + 2/2,12][

m3

kg

]

�2�2�2 = 0,0412 m3/kg= 0,0412 m3/kg= 0,0412 m3/kg

Endtemperatur T2 nach (5-184):

T2 =T1

κ + 1· [κ−1 + 2/Ma2

1]

·[

1 +2 ·κκ + 1

· (Ma21 −1)

]

T2 =333

1,3 + 1· [1,3−1 + 2/2,12]

·[

1 +2 ·1,3

1,3 + 1· (2,12 −1)

][K]

T2T2T2 = 529,6 K ≈ 530530530K → t2 = 257 ◦C

Oder nach Gasgleichung:

T2 =p2 · �2

R

=24,75 ·105 ·0,0412

189

[(N/m2) ·m3/kg

J/(kg ·K)

]

= 529,7 K

Kontrollrechnung:

Nach (5-189):

�2

�1=

(κ−1)+ (κ+ 1) · p2/p1

(κ + 1)+ (κ−1) · p2/p1

=(1,3−1)+ (1,3 + 1) ·24,27/5(1,3 + 1)+ (1,3−1) ·24,27/5

= 3,052

Andererseits:�2

�1=�1

�2=

0,12590,0412

= 3,056

Ma2 = c2/a2 mit R [m2/(s2 ·K)] und T2 [K] :

a2 =√

κ ·R ·T2 =√

1,3 ·189 ·529,6

= 360,7 m/s

Ma2 = 196,8/360,7 = 0,55 (wie bei Frage c)


e) EE 1©– 2©: h1 + c21/2 = h2 + c2

2/2 = hR

Mit: hR = 452 727 m2/s2 nach Frage b)

wird: h2 = hR − c22/2

= 452 727−196,82/2 [m2/s2]

h2h2h2 = 433 362 m2/s2 = 433362 J/kg433362 J/kg433362 J/kg

oder: h2 = cp ·T2

wenn h = 0 bei T = 0 und mit

cp = 819 J/(kg ·K) (Tab. 6-20) wird:

h2 = 819 ·529,6 [(J/(kg ·K)) ·K]h2 = 433 742 J/kg (etwa wie zuvor)

f) Nach (5-186):

Δs = cp · ln[

T2

T1· (p1/p2)

κ−1κ

]

= 819 · ln[

529,6333

· (5/24,27)1,3−1

1,3

][J

kg ·K]

ΔsΔsΔs = 81,42 J/(kg ·K)= 81,42 J/(kg ·K)= 81,42 J/(kg ·K)

g) Aus Isentropenbeziehung mit Gasgleichung:

p2,s = p1 · (T2,s/T1)κ

κ−1

Mit T2,sT2,sT2,s = T2 = 529,6 K529,6 K529,6 K wird:

p2,sp2,sp2,s = 5 · (529,6/333)1,3

1,3−1 [bar] = 37,3437,3437,34bar

Aus Gasgleichung:

�2,s�2,s�2,s =R ·T2,s

p2,s=

189 ·529,637,34 ·105

[(J/(kg ·K)) ·K

N/m2

]

= 0,0268 m3/kg0,0268 m3/kg0,0268 m3/kg

h) Exergieverlust ΔhV nach Bild 7-46:

ΔhV = h2 −h2′,s

mit h2′,s = cp ·T2′,s

T2′,s = T1(p2′,s/p1)κ−1

κ = T1 · (p2/p1)κ−1

κ

= 333 · (24,27/5)1,3−1

1,3 [K]= 479,48 K

h2′,s = 819 ·479,48 [(J/(kg ·K)) ·K]= 392 694 J/kg

ΔhVΔhVΔhV = 433 362−392 694 = 40 668 J/kg

≈ 41 kJ/kg41 kJ/kg41 kJ/kg

Bild 7-46. Lösungsskizze 2 zu Ü 72, Frage h).

i)

ηV =Δh−ΔhV

Δh= 1− ΔhV

Δh

= 1− ΔhV

h2 −h1Mit:

h1 = cp ·T1 = 819 ·333 [(J/(kg ·K)) ·K]= 272 727 J/kg

Δh = h2 −h1 = 433 362−272 727 [J/kg]= 160 635 J/kg

ηVηVηV = 1− 40 668160 635

= 0,747 ≈ 0,750,750,75 = 75%

Ü 73 a) Ma1 = c1/a1 mit κ = 1,4;R = 287 m2/(s2 ·K); T1 = 313 K:

a1 =√

κ ·R ·T1 =√

1,4 ·287 ·313 [m/s]= 354,6 m/s

Ma1Ma1Ma1 = 540/354,6 = 1,521,521,52

b) Nach (5-196):

tanδ =2

tanα1· Ma2

1 · sin2α1 −1

(κ + 2 · cos2α1) ·Ma21 + 2

tan10◦ =2

tanα1· 1,522 · sin2α1 −1(1,4 + 2 · cos2α1) ·1,522 + 2

0,18 · tanα1

2=

sin2α1 −0,431,4 + 2 · cos2α1 + 0,86


Tabelle 7-4. Systematische Auswertung der Glei-chung f (α1) = F(α1).

α1 50◦ 60◦ 55◦ 52◦ 53◦ 52,5◦ 52,9◦f (α1) 0,429 0,624 0,514 0,460 0,478 0,469 0,476F(α1) 0,325 1,00 0,604 0,425 0,481 0,453 0,475

0,09 · tanα1 =sin2 α1 −0,43

2,26 + 2 · cos2α1

0,18 · tanα1 =sin2α1 −0,431,13 + cos2α1

Mit cos2α1 = cos2α1 − sin2 α1

= 1−2 · sin2α1:

0,18 · tanα1 =sin2α1 −0,43

2,13−2 · sin2α1

0,36 · tanα1 = − sin2α1 −0,43

sin2α1 −1,07

Näherungsweise Lösung dieser implizitentranszendenten Gleichung:

Mit f (α1) = 0,36 · tanα1

und F(α1) = − sin2α1 −0,43

sin2α1 −1,07

gilt f (α1) = F(α1)

Auswertung mithilfe von Tabelle 7-4 er-gibt:Lösung α111 = 52,9◦ ≈ 53◦53◦53◦

c) Nach (5-197) mit

α2 = α1 − δ = 53◦−10◦ = 43◦ :

Ma22 · sin2α2 =

(κ−1) ·Ma21 · sin2α1 + 2

2 ·κ ·Ma21 · sin2α1 − (κ−1)

Ma22 · sin2 43◦

=(1,4−1) ·1,522 · sin2 53◦+ 2

2 ·1,4 ·1,522 · sin2 53◦− (1,4−1)= 0,69

Hieraus Ma2 = 1,22Ma2 = 1,22Ma2 = 1,22

d) Nach (5-198) und (5-199):

c1,n · c2,n = c2L = c2

1,∞ · (κ−1)/(κ+ 1)

Hierbei nach Bild 5-37:

c21,∞ = c2

1,n + 2 ·h1 = 2(c21,n/2 + h1) = 2 ·hR, n

c1,n = c1 · sinα1 = 540 · sin53◦[m/s]= 431 m/s

h1 = cp ·T1 = 1005 ·313 [(J/(kg ·K)) ·K]

h1 = 314 565 J/kg = 314 565 m2/s2

c21,∞ = 4312 + 2 ·314 565 [m2/s2]

= 814 891 m2/s2

c1,∞ = 903 m/s

c2L = 814 891 · 1,4−1

1,4 + 1= 135 815 m2/s2

cL = 369 m/s

c2,n = c2L/c1,n = 135 815/431 = 315 m/s

c2c2c2 = c2,n/sinα2 = 315/sin43◦ = 462 m/s462 m/s462 m/s

Oder nach (5-200):

c2

c1=

cosα1

cosα2=

cos53◦

cos43◦= 0,82

c2 = 0,82 · c1 = 0,82 ·540 = 444 m/s

Abweichung (ungefähr 4%) relativ groß. Be-dingt durch Rundungen und auch Stoffwertun-genauigkeiten.

Bei Betrachtung als kleine AblenkungΔδ ergibt(5-205):

Δcc1

= −Δδ · tanα1 = −10 · 2π360

· tan53◦

= −0,23

Δc = −0,23 · c1 = −0,23 ·540 = −124 m/s

Andererseits: Δc = c2 − c1 Hieraus:

c2 = c1 +Δc = 540−124 = 416 m/s

Die Abweichung gegenüber der Rechnung zu-vor ist zu groß. Die 10◦-Ablenkung kann des-halb nicht mehr als klein angesehen werden.

e) Dichten nach (5-202) mit α2 = α1 − δ :


�2

�1=

tanα1

tanα2=

tan53◦

tan43◦= 1,42

�2 = 1,42 ·�1

�1 =1�1

=p1

R ·T1=

1,8 ·105

287 ·313

[N/m2

J/(kg ·K) ·K]

= 2,004 kg/m3

�2�2�2 = 1,42 ·2,004 = 2,846 kg/m32,846 kg/m32,846 kg/m3 oder

�2�2�2 = 1/�2 = 0,352 m3/kg0,352 m3/kg0,352 m3/kg

Drücke nach (5-203):

p2

p1= 1 +κ ·Ma2

1 · sin2 α1 ·(

1− tanα2

tanα1

)

= 1 + 1,4 ·1,522 · sin2 53◦ ·(

1− tan43◦

tan53◦

)

= 1,64

p2p2p2 = 1,64 · p1 = 1,64 ·1,8 [bar] = 2,952,952,95bar

Temperatur T2 nach Gasgleichung:

T2 =p2 · �2

R

=2,95 ·105 ·0,352

287

[(N/m2) ·m3/kg

J/(kg ·K)

]

T2T2T2 = 362362362K

Kontrollrechnung:

a2 =√

κ ·R ·T2 =√

1,4 ·287 ·362 = 381 m/s

Ma2Ma2Ma2 = c2/a2 =462380

= 1,221,221,22 (wie bei Frage c)

f) Nach (5-186):

Δs = cp · ln[

T2

T1· (p1/p2)

κ−1κ

]

= 1005 · ln[

362313

· (1,8/2,95)1,4−1

1,4

]·[

Jkg ·K

]

Δs = 4,3 J/(kg ·K)(sehr wenig, also fast reversibel)

g) Nach (5-191):

ΔhV =κ

κ−1·R ·

[T2 −T1(p2/p1)

κ−1κ

]

ΔhV =1,4

1,4−1·287

·[

362−313(2,95/1,8)1,4−1

1,4

]

·[

Jkg ·K ·K

]

ΔhVΔhVΔhV = 1558 J/kg= 1558 J/kg= 1558 J/kg

h) Nach (5-192):

ηV =Δh−ΔhV

Δh= 1− ΔhV

Δhmit

Δh = cp · (T2 −T1) = 1005 · (362−313)[(J/(kg ·K)) ·K]

Δh = 49 245 J/kg

ηVηVηV = 1− 155849 245

= 0,970,970,97 (fast ideal!)

Ü 74a) c∞ = Ma∞ ·a∞

a∞ =√

κ ·R ·T∞Nach Tab. 6-4, Standardatmosphäre in 10 000 mHöhe:

p = 0,2650 bar = p∞; T = 223,3 K� = 0,414 kg/m3 = �∞

a∞ =√

1,4 ·287 ·223,3

[√(m2/(s2 ·K)) ·K

]

a∞ = 299,5 m/s

c∞ = 1,47 ·299,5 = 440,3 m/s = 1585 km/h

b) Gleichgewichtsbedingung: FA = FG = m ·gHiermit aus (4-301) je Flügel mit FA = FG/2:

AFl =FG/2

ζA ·�∞ · c2∞/2

=(m ·g)/2

ζA ·�∞ · c2∞/2

b1) Nach Bild 5-61 für δ = 4◦:ζA = 0,265; ζW = 0,105 Hiermit:

AFl =24 000 ·9,81/2

0,265 ·0,414 ·440,32/2

[kg ·m/s2

kg/m3 ·m2/s2

]

AFl = 11,07 m2 Hieraus mit (4-299):


b =√

AFl/λ =√

11,07 ·10[√

m2]

= 10,52 m ≈ 10,5 m

LLL = λ ·b = (1/10) ·10,5 [m] = 1,051,051,05m

Spannweite BBB ≈ 2 ·b = 2 ·10,5 = 212121m

b2) Ebenfalls nach Bild 5-61 für δ = 4◦

ζA = 0,145; ζW = 0,175. Damit:

AFl =24 000 ·9,81/2

0,145 ·0,414 ·440,32/2

= 20,23 m2 oder:

AFlAFlAFl =0,2650,145

·11,07 m2 = 20,2320,2320,23m222

bbb =√

20,23 ·10 = 14,22 m ≈ 14,214,214,2m

LLL = λ ·b = (1/10) ·14,2 = 1,421,421,42m

Spannweite BBB ≈ 2 ·b = 2 ·14,2 = 28,428,428,4mInfolge schlechterem ζA größere Tragflächenotwendig.

c) PW =FW · c∞ Hierbei nach (4-302):

FW = ζW ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl

c1) FW = 0,105 ·0,414 · 440,32

2·22,14

[kgm3 · m2

s2 ·m2]

FW = 93 290 N ≈ 93,3 kN

PWPWPW = 93,3 ·440,3

[kN · m

s

]= 41 080 kW

≈ 414141MW

c2) FW = 0,175 ·0,414 · 440,32

2·40,46

·[

kgm3 · m2

s2 ·m2]

FW = 284 140 N ≈ 284 kN

PWPWPW = 284 ·440,3

[kN · m

s

]= 125 045 kW

≈ 125125125MW

Bei stumpfer Profilnase wäre also etwa die drei-fache Vortriebsleistung PW notwendig.

d) Nach (5-231):

q = pS − p∞ = �∞ · (c2∞/2) ·β

β ≈ 1,52 für

Ma∞ = 1,47 nach Tab. 5-5:

q = 0,414 · 440,32

2·1,52 [kg/m3 ·m2/s2]

qqq = 0,61 ·105 Pa = 0,610,610,61bar

pSpSpS = pges = p∞ + q = 0,265 + 0,61

= 0,8750,8750,875bar

Wäre die Staustrom-Verdichtung isentrop, wür-de sich nach (5-233) für den Staudruck ergeben:

pS, s = p∞ ·[

1 +κ−1

2·Ma2

∞

] κ

κ−1

pS, s = 0,265 ·[

1 +1,4−1

1,4·1,472

] 1,41,4−1

[bar]

pS, s = 0,932 bar

Infolge der Exergieverluste durch den vorder Profilnase auftretenden Verdichtungsstoß(Entropiezunahme) muss am Staupunkt einDruckverlust vonΔpV = pS, s − pS = 0,932−0,875−0,057 barhingenommen werden. Das sind etwa 6,5% desStaudrucks pS (Transschall!).

e) Nach (5-232):

TS = T∞[1 +((κ−1)/2)Ma2∞]

TS = 223,3[1 +((1,4−1)/2) ·1,472][K]TSTSTS = 319,8 K ≈ 320320320K → tS = 47 ◦C

Ü 75

a) c∞ = Ma∞ ·a∞ mit

a∞ =√

κ ·R ·T∞ =√

1,4 ·287 ·473

a∞ = 435,95 m/s ≈ 436 m/s

c∞ = 2,8 ·435,95 = 1220,66 m/s

= 4394 km/h4394 km/h4394 km/h


b) Re∞ = c∞ ·L/ν∞ mit ν∞ ≡ νLuft 200 ◦C; 1,1 bar. Hierzu nach Bild 6-9:

p ·ν = 3,85 ·Pa ·m2/s Hieraus:

ν = (p ·ν)/p = 3,85/(1,1 ·105) [m2/s]

= 3,5 ·10−5 m2/s

Re∞ =1220,66 ·0,8

3,5 ·105

[m/s ·mm2/s

]= 2,8 ·1072,8 ·1072,8 ·107

c) Auftrieb: Beiwert nach (5-227):

ζA = 4 ·√

Ma2∞−1

Ma2∞

· )

δ

= 4 ·√

2,82 −12,82 ·5 · 2π

360

= 0,1160,1160,116

Auftriebskraft nach (4-301):

FA = ζA ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl

�∞ =1�∞

=p∞

R ·T∞ =1,1 ·105

287 ·473

[N/m2

(J/(kg ·K)) ·K]

= 0,810 kg/m3

AFl = b ·L = 0,8 ·1,8 [m2] = 1,44 m2

FA = 0,116 ·0,810 · 1220,662

2·1,44

·[

kgm3 ·

m2

s2 ·m2]

FAFAFA = 1,008 ·105 N ≈ 100100100kN

Widerstände:

1. (Wellen-)Widerstand:Beiwert nach (5-230):

ζW, We =14· Ma2

∞√Ma2

∞−1·ζ 2

A

=14· 2,82√

2,82 −10,1162

ζW, We = 0,010 .= 0,010 .= 0,010 . Oder nach (5-229):

ζW, We = ζA · )

δ = 0,116 ·5 · 2π360

= 0,010

Kraft entsprechend (4-302) bzw. (5-234):

FW, We = ζW, We ·�∞ · (c2∞/2) ·AFl

= 0,01 ·0,810 · 1220,662

2·1,44

[Dimension wie zuvor

]

FW, WeFW, WeFW, We = 8690 N ≈ 8,78,78,7 kN

2. Flächenwiderstand: Beiwert nach (4-111):

ζW, R =0,455

(lgReL)2,58 − BReL

Da Konstante B, Tab. 4-6, für ReL > 3 · 106

nicht bekannt, wird näherungsweise (ungünstig-ster Fall) gesetzt: B = 0. Dann ergibt sich:

ζW, R =0,455

(lg2,8 ·107)2,58 = 2,56 ·10−3 ≈ 0,003

Kraft nach (4-108):

FW, R = ζW, R ·�∞ · (c2∞/2) ·A0

A0 = 2 ·b ·L = 2 ·AFl = 2,88 m2

FW, R = 2,56 ·10−3 ·0,810 · 1220,662

2·2,88

·[

kgm3 · m2

s2 ·m2]

FW, RFW, RFW, R = 4449 N ≈ 4,54,54,5 kN

3. Gesamtwiderstandskraft:

FW = FW, We + FW, R = 8,7 + 4,5 = 13,2 kN

Widerstandsleistung:

PW = FW · c∞ = 13,2 ·1220,66 [kN ·m/s]PWPWPW = 16 112 kW ≈ 161616MW

Ü 76a) Ma∞ = c∞/a∞

a∞ =√

κ ·R ·T∞=

√1,4 ·287 ·298

[√(m2/(s2 ·K)) ·K

]

= 346 m/s

Ma∞Ma∞Ma∞ = 1000/346 = 2,89 ≈ 2,92,92,9


b) Nach (5-234):

FW = ζW ·�∞ · (c2∞/2) ·ASt

ASt = D2 ·π/4 = 0,0252 · (π/4) [m2]

= 4,91 ·10−4 m2

�∞ =1�∞

=p∞

R ·T∞�∞ =

0,98 ·105

287 ·298

[N/m2

(J/(kg ·K)) ·K]

= 1,146 kg/m3

Nach Bild 5-60 für Ma∞ = 2,9

1.Angespitztes Geschoss ζW = 0,3

2.Stumpfes Geschoss ζW = 1,3

⟩4,3-fach

Damit ergeben sich:

1. Angespitztes Geschoss:

FW = 0,3 ·1,146 · 10002

2·4,91 ·10−4

·[

kgm3 · m2

s2 ·m2]

FWFWFW = 84,4= 84,4= 84,4 N

2. Stumpfes Geschoss:

FWFWFW = (1,3/0,3) ·84 N = 365,7365,7365,7N

Der Fortbewegungswiderstand stumpfer Ge-schosse ist also bedeutend größer als derangespitzter (≈ 4-fach wegen ζW).

c) Staudruck und StaupunktdruckNach (5-231):

q = pS − p∞ = �∞ ·c2∞2

·ββ = 1,74 für Ma∞ = 2,9 nach Tab. 5-5.

q = 1,146 · 10002

2·1,74

[kgm3 ·m2/s2

]

q = 9,975 ·105 N/m2

qqq = 9,975 ·105 Pa ≈ 101010bar. Damit:

pSpSpS = pges = p∞ + q = 0,98 + 9,975 ≈ 111111bar

Bei isentroper Staupunktströmung ergäbe sichnach (5-233):

PS, s = p∞

[1 +

κ−12

·Ma2∞

] κ

κ−1

= 0,98 ·[

1 +1,4−1

2·2,92

] 1,41,4−1

[bar]

pS, spS, spS, s = 0,98 ·31,59 bar = 30,96 ≈ 313131bar

Der Druck- und damit Exergieverlust (Entro-piezunahme) infolge des Verdichtungsstoßes(Stirnwelle) ist demnach erheblich.

d) Stautemperatur nach (5-232):

TS = T∞ ·[

1 +κ−1

2Ma2

∞

]

= 298 ·[1 +

1,4−12

·2,92][K]

TSTSTS = 298 ·2,682 K = 799,2 K ≈ 800800800K

Ü 77Ma∞ = c∞/a∞ = 152,8/338,4

= 0,45 > 0,3

Die Luft kann also nicht mehr als inkompressi-bel betrachtet werden.

Für 0,3 ≤ Ma∞ ≤ 0,85 gilt nach (5-217):

ζA, kompr =ζA, inkompr√

1−Ma2∞

=ζA, inkompr√

1−0,452

= 1,12 ·ζA, inkompr

Mit ζA, inkompr = ζA = 0,593 für den Reiseflugnach Ü57, Frage a) wird:

ζA, kompr = 1,12 ·0,593 = 0,664

Die Anstellung könnte entsprechend herabge-setzt, oder die Tragflächen verkleinert werden.

Erforderliche Größe der Tragfläche entspre-chend aus (4-301) mit FA = FG:

AFl, ges =FG

ζA, kompr ·�∞ · c2∞/2

AFl, ges =41 202

0,664 ·1,076 ·152,82/2

·[

N(kg/m3) ·m2/s2

]

AFl, ges = 4,94 m2


Je Tragfläche: AFl = AFl, ges/2 = 2,47 m2

Mit λ = 1/6 nach (4-299):

bbb =√

AFl/λ =√

2,47 ·6 [√

m2] = 3,853,853,85m

LLL = b ·λ = 3,85 · 16

= 0,640,640,64m

Nach der PRANDTL-GLAUERT-Analogie (Ab-schnitt 5.5.2) ist ζW bis etwa Ma∞ = 0,85 nähe-rungsweise unabhängig von Ma∞. Deshalb hier,da Ma∞ = 0,45:

ζW, kompr = ζW, inkompr = 0,035

Damit wird der Flugwiderstand der Tragflächenentsprechend (4-302):

FW = ζW, kompr ·�∞ · c2∞2

·AFl

FW = 0,035 ·1,076 · 152,82

2·4,94

·[

kgm3 ·

m2

s2 ·m2]

FWFWFW ≈ 2172≈ 2172≈ 2172 N

Und die notwendige Vortriebsleistung:

PW = FW · c∞ = 2172 ·152,8 [N ·m/s]

PWPWPW = 331 882 W ≈ 332332332kW

Bei niedrigem Unterschallflug (Ma ≤ 0,3) unddeshalb etwa Inkompressibilität ist nach Ü 57,Frage b, eine Vortriebsleistung von ca. 236 kWnotwendig, also nur etwa 70% von 332 kW beihier Ma = 0,45 (höherer Unterschall).

8. Schrifttum 565

8 Schrifttum

8.1 Lehrbücher

[1] Rödel, Heinrich: Hydromechanik, Carl Hanser Ver-lag, München.

[2] Kalide, Wolfgang: Technische Strömungslehre,Carl Hanser Verlag, München.

[3] Bohl, Willi: Technische Strömungslehre, Vogel-Verlag, Würzburg.

[4] Jogwich, Albert: Strömungslehre, Verlag W. Girar-det, Essen.

[5] Estel; Pohlenz; Boesler: Mechanik der Flüssigkei-ten und Gase, Wilhelm Heyne Verlag.

[6] Gersten, Klaus: Einführung in die Strömungstech-nik, Vieweg Verlag, Wiesbaden.

[7] Windemuth, Eberhard: Strömungstechnik,Springer-Verlag, Berlin.

[8] Hackeschmidt, Manfred: Grundlagen der Strö-mungstechnik, VEB Deutscher Verlag für Grund-stoffindustrie, Berlin.

[9] Neunass, Ewald: Praktische Strömungslehre, VEB-Verlag Technik, Berlin.

[10] Becker, Ernst: Technische Strömungslehre, VerlagB. G. Teubner, Stuttgart.

[11] Leiter, Erich: Strömungstechnik, Vieweg-Verlag,Braunschweig.

[12] Eck, Bruno: Technische Strömungslehre, Springer-Verlag, Berlin, Zwei Bände.

[13] Wieghardt, Karl: Theoretische Strömungslehre,Verlag B. G. Teubner, Stuttgart.

[14] Eppler, Richard: Strömungsmechanik, Akademi-sche Verlagsgesellschaft, Wiesbaden.

[15] Böswirth, L.: Technische Strömungslehre, Vieweg-Verlag, Braunschweig.

[16] Pálffy, S.: Fluidmechanik, Birkhäuser Verlag, Stutt-gart.

[17] Ritter, R.; Tasca, D.: Fluidmechanik in Theorie undPraxis, Harri Deutsch-Verlag, Frankfurt.

[18] Truckenbrodt, E.: Lehrbuch der angewandtenFluidmechanik, Springer-Verlag, Berlin.

[19] Käppeli, Ernst: Strömungslehre und Strömungsma-schinen, Selbstverlag, Rüti (Schweiz).

[20] Böss, P.: Grundlagen der technischen Hydromecha-nik, Verlag Oldenbourg, München.

[21] Stock, H.: Hydrodynamik, Harri Deutsch-Verlag,Frankfurt, Zwei Bände.

[22] Giles, R.: Strömungslehre und Hydraulik, McGrawHill, Hamburg.

[23] Zierep, J.; Bühler, K.: Strömungsmechanik,Springer-Verlag, Berlin.

[24] Lüst, R.: Hydromechanik, Bibl. Institut, Mannheim.

[25] Schade, H.; Kunz, E.: Strömungslehre, Verlag W.de Gruyter, Berlin.

[26] Kneser, H.D.: Physik, Springer-Verlag, Berlin.

[27] Hering, E.; Martin, R.; Stohrer, M.: Physik für In-genieure, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[28] Pawlowski, J.: Die Ähnlichkeitstheorie in derphysikalisch-technischen Forschung – Grundlagenund Anwendungen, Springer-Verlag, Berlin.

[29] Zierep, J.: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregelnder Strömungslehre, Verlag G. Braun, Karlsruhe.

[30] Görtler, H.: Dimensionsanalyse – Theorie derphysikalischen Dimensionen mit Anwendungen,Springer-Verlag, Berlin.

8.2 Übungsbücher

[40] Kalide, Wolfgang: Aufgabensammlung zur techni-schen Strömungslehre, Carl Hanser Verlag, Mün-chen.

[41] Bohl, W.; Wagner, W.: Technische Strömungslehre;Aufgaben und Lösungen, Vogel-Verlag, Würzburg.

[42] Becker, E.; Plitz, E.: Übungen zur TechnischenStrömungslehre, Verlag B. G. Teubner, Stuttgart.

[43] Federhofer, Karl: Aufgaben aus der Hydromecha-nik, Springer-Verlag, Berlin.

[44] Szabó, István: Repetitorium und Übungsbuch derTechnischen Mechanik, Springer-Verlag, Berlin.

[45] Oswatitsch, K.; Schwarzenberger, R.: Übungen zurGasdynamik, Springer-Verlag, Wien.

566 8. Schrifttum

8.3 Weiterführende Literatur

[50] Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik, Springer-Verlag,Berlin, Zwei Bände.

[51] Prandtl, L.; Oswatitsch, K.; Wieghardt, K.: Führerdurch die Strömungslehre, Vieweg-Verlag, Wiesba-den.

[52] Albring, W.: Angewandte Strömungslehre, VerlagTheodor Steinkopff Dresden.

[53] Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie, Springer-Verlag, Berlin.

[54] Pfleiderer, C.: Die Kreiselpumpen für Flüssigkeitenund Gase, Springer-Verlag, Berlin.

[55] Szabó, István: Einführung in die Technische Me-chanik, Springer-Verlag, Berlin.

[56] Timm, Joachim: Hydromechanisches Berechnen,Verlag B. G. Teubner, Stuttgart.

[57] Hutarew, Georg: Einführung in die Technische Hy-draulik, Springer-Verlag, Berlin.

[58] Spurk, I: Strömungslehre, Springer-Verlag, Berlin.

[59] Dubs, F.: Hochgeschwindigkeits-Aerodynamik,Birkhäuser-Verlag, Stuttgart.

[60] Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strömungen, Sprin-ger-Verlag, Berlin.

[61] Böhme, G.: Strömungsmechanik nicht-newton-scher Fluide, Teubner-Verlag, Stuttgart.

[62] Grahl, K.; Schwarz, M.: Strömungstechnik, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[63] Ebert, Fritz: Strömungen nicht-newtonscher Medi-en, Vieweg-Verlag, Braunschweig.

[64] Tietjens, O.: Strömungslehre, Springer-Verlag, Ber-lin, Zwei Bände.

[65] Zoebl, H.; Kruschik, J.: Strömung durch Rohre undVentile, Springer-Verlag, Berlin.

[66] Richter, H.: Rohrhydraulik, Springer-Verlag, Ber-lin.

[67] Piwinger, F.: Stellgeräte und Armaturen für strö-mende Stoffe, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[68] Herning, F.: Stoffströme in Rohrleitungen, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[69] Wuest, Walter: Strömungsmeßtechnik, Vieweg-Verlag, Braunschweig.

[70] Herning, F.: Grundlagen und Praxis der Durchfluß-messung, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[71] Kretzschmer, F.: Taschenbuch der Durchflußmes-sung mit Blenden, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[72] Orlicek, Reuther: Zur Technik der Mengen- undDurchflußmessung von Flüssigkeiten, Oldenbourg-Verlag, München.

[73] Ubbelohde, L.: Viskositäts-Temperatur-Blätter,Hirzel-Verlag, Stuttgart.

[74] Ubbelohde, L.: Zur Viskosimetrie, Hirzel-Verlag,Stuttgart.

[75] Schmidt, E.: Thermodynamik, Springer-Verlag,Berlin.

[76] Baehr, H.-D.: Thermodynamik, Springer-Verlag,Berlin.

[77] Böswirth, L.; Plint, A.: Technische Wärmelehre,VDI-Verlag, Düsseldorf.

[78] Gröber; Erk; Grigull: Grundgesetze der Wärme-übertragung, Springer-Verlag, Berlin.

[79] Dubs, Fritz: Aerodynamik der reinen Unterschall-strömung, Birkhäuser Verlag, Stuttgart.

[80] Becker, Ernst: Gasdynamik, Verlag B. G. Teubner,Stuttgart.

[81] Oswatitsch, Klaus: Grundlagen der Gasdynamik,Springer-Verlag, Berlin.

[82] Ganzer, U.: Gasdynamik, Springer-Verlag, Berlin.

[83] Zierep, J.: Theoretische Gasdynamik, G. Braun-Verlag, Karlsruhe.

[84] Schlichting, H.; Truckenbrodt, E.: Aerodynamikdes Flugzeuges, Springer-Verlag, Berlin.

[85] Riegels, Friedrich, W.: Aerodynamische Profile,Verlag Oldenbourg, München.

[86] Wortmann, F. X.; Althaus, D.: Stuttgarter Profilka-talog, Vieweg-Verlag, Wiesbaden.

[87] Betz, A.: Konforme Abbildung, Springer-Verlag,Berlin.

[88] Trutnovsky, Karl: Berührungsfreie Dichtungen,Grundlagen und Anwendung der Strömung durchSpalte und Labyrinthe, VDI-Verlag, Düsseldorf.

8. Schrifttum 567

[89] Böswirth, L.: Mollier-(h,s)-Diagramm von Wasser-dampf, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[90] Scheffler, K.; Straub, J.; Grigull, U.: Wasserdampf-tafeln, Springer-Verlag, Berlin.

[91] Sigloch, H.: Strömungsmaschinen, Hanser-Verlag,München.

[92] Zielke, W.: Die elektronische Berechnung vonRohr- und Gerinneströmung.

[93] Chung, T. J.: Finite Elemente der Strömungstech-nik, Hanser-Verlag, München.

[94] Kirchgraber, U.; Stiefel, E.: Methoden der analyti-schen Strömungsrechnung und ihre Anwendungen,Teubner-Verlag, Stuttgart.

[95] Antes, Heinz: Anwendungen der Methode der Ran-delemente in der Elastodynamik und der Fluiddy-namik, Springer-Verlag, Berlin.

[96] Schneider, W.: Mathematische Methoden der Strö-mungsmechanik, Vieweg-Verlag, Wiesbaden.

[97] Traupel, W.: Thermische Strömungsmaschinen,Springer-Verlag, Berlin. Zwei Bände.

[98] Schönung, B. E.: Numerische Strömungsmechanik,Springer-Verlag, Berlin.

[99] Zurmühl, R.: Praktische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin.

[100] Marsal, O.: Finite Differenzen und Elemente,Springer-Verlag, Berlin.

[101] Zienkiewicz, O. C.: Methode der finiten Elemente,Hanser-Verlag, München.

[102] Vreugdenhil, C. B.: Computational Hydraulics,Springer-Verlag, Berlin.

[103] Kämel, Franeck, Recke: Einführung in die Methodeder finiten Elemente, Hanser-Verlag, München.

[104] Leder, A.: Abgelöste Strömungen; PhysikalischeGrundlagen, Vieweg-Verlag, Wiesbaden.

[105] Noll, B.: Numerische Strömungsmechanik.Springer-Verlag, Berlin.

[106] Oertel, H.; Laurin, E.: Numerische Strömungsme-chanik. Springer-Verlag, Berlin.

[107] Ferzinger, J.-H.; Periè: Numerische Strömungsme-chanik. Springer-Verlag, Berlin.

[108] Lewinsky-Kesslitz, H.-P.: Druckstoßberechnung fürdie Praxis. Fortis-Verlag FH, Mainz.

8.4 Handbücher

[109] Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau,Springer-Verlag, Berlin.

[110] Hütte: Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaf-ten. Springer-Verlag, Berlin.

[111] VDI-Wärmeatlas, VDI-Verlag, Düsseldorf.

[112] Energietechnische Arbeitsmappe, VDI-Verlag,Düsseldorf.

[113] Landolt-Börnstein: Zahlenwerte und Funktionenaus Physik, Chemie, Astronomie, Geophysik undTechnik; 4. Band Technik, 1. Teil, Springer-Verlag,Berlin.

[114] Klein, Martin: Einführung in die DIN-Normen,Verlag B. G. Teubner, Stuttgart.

[115] DIN-Taschenbuch, Band 9: Gußrohrleitungen,Beuth-Verlag, Berlin.

[116] DIN-Taschenbuch, Band 12: Wasserversorgungs-Normen, Beuth-Verlag, Berlin.

[117] DIN-Taschenbuch, Band 13: Abwassernormen,Beuth-Verlag, Berlin.

[118] DIN-Taschenbuch, Band 15: Normen für Stahlrohr-leitungen, Beuth-Verlag, Berlin.

[119] Bussel van, P. W. E. A.: Gas-Zentralheizungen,VDI-Verlag, Düsseldorf.

[120] Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.; Musiol, G.;Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik, VerlagHarri Deutsch, Frankfurt/M.

Sachverzeichnis

Abbildungkonforme 240

Abbruchfehler 286Ablenkung

konkave 431konvexe 431

Ablöseblase 196Ablösegebiet 100, 101Ablösepunkt 101Abrasiv-Verfahren 201Abreißkante 98Abreißstelle 342Absaugung 339Absolutdruck 47Absolutströmung

Energiegleichung 115Absolutsystem 218Absperrorgan 161ACKERET-Formel 201Adhäsion 12Adsorption 12Aero-Akustik 327Aerodynamik 327Aerosol 10Aggregatzustand 9Ähnlichkeit

geometrische 79physikalische 79

Ähnlichkeitsgröße 79Ähnlichkeitstheorie 78Anergie 368Anfahrmoment 219Anfahrwirbel 336, 348Anfangswertproblem 293ANGLER-Kurve 147Anlaufstrecke 145, 165Ansatz

kubischer 298linearer 298quadratischer 298

Ansatzfunktion 283, 297, 298Anstellwinkel 331Approximation 288Approximationsfunktion 297Äquipotentialfläche 31Äquipotenziallinie 236Arbeit

technische 364ARCHIMEDES-Auftrieb 58Armatur 161Atmosphäre 35Aufkraft 54

dynamische 209Aufschlämmung 10Auftrieb 58

dynamischer 209, 254fluidstatischer 256

Auftriebsbeiwert 334Auftriebserzeugung 256Auftriebskörper 94, 320Auftriebskraft 334

dynamische 331Auftriebsverteilung 349

elliptische 349Aufwindverfahren 290Ausdehnungskoeffizient 9Ausfluss-Formel 122Ausflussfunktion 382Ausflussgesetz 173Ausflussquerschnitt 172Ausflusszahl 172Aussage

globale 66lokale 66

Ausstoßungsgeräusch 328AVOGADRO-Gesetz 11

Bahnbeschleunigung 68Bandmatrizen 284Bar 35Barometerdruck 44Basiseinheit 1Basisfunktion 302BEAUFORT-Grad 454Begrenzungsfläche 31Belastungsgrad 213BERNOULLI-Gleichung 116Beruhigungsstrecke 154, 165Beschleunigung 68, 71

konvektive 68lokale 68materielle 68

Beschränktheit 281Betriebsdruck, zulässiger 451

570 Sachverzeichnis

Bewegungsgröße 190Bezugsbasis 363Bezugslinie 332Bezugsraum 192Bilanz-Ansatz 6Bilanzbetrachtung 281BINGHAM-Fluid 20BLASIUS-Formel 141BLASIUSsches Widerstandsgesetz 181Blende 164Blockierung 447Bodenkraft 50BOLTZMANN-Konstante 23BOOLEsche Matrix 297, 301BORDA-CARNOTsche Gleichung 157BORDA-Mündung 156BORDA-Stoß 157BOUSSINESQ-Approximation 274BOUSSINESQ-Hypothese 92BOYLE-MARIOTTE-Gesetz 7Bremszaun 352BUCKINGHAM-Theorem 80

CARNOT-Stoß 157CAUCHY-RIEMANNsche Differenzialgleichung

236CFD 280Chaostheorie 90Charakteristikendiagramm 423CHÉZYsche Fließformel 177Choking 447COANDA-Effekt 104COLEBROOK-Diagramm 140, 471COLEBROOK-Formel 142Computational Fluid Dynamics 280, 314Computer-Programm 293COOK-Formel 202CORIOLIS-Kraft 113COUETTE-Strömung 17, 108COULOMB-Kraft 20, 29CRANK-NICHOLSON-Differenz 288

D’ALEMBERTsches Paradoxon 120DALTON-Gesetz 11Dampfbildung 124Dampfdruck 49, 124Dampfdruckhöhe 49Dampfkern 245DARCY-Formel 139Deflagration 396Deformation 72

Deformationsgeschwindigkeit 18, 93Delta-Flügel 436Determinanten-Verfahren 83Detonation 26, 355, 432Dickenrücklage 316Dickenverhältnis 331Differenzdruck 119Differenzen-Ansatz 289Differenzenapproximation 286Differenzen-Verfahren

finite 286Differenzialgleichung

Klassifizierung 283Diffusions-Term 279, 292Diffusionsgleichung 281Diffusor 119, 157Diffusoreffekt 319Diffusorwirkungsgrad 401Dilatation 73Dimensionsanalyse 79Dipol 286Dipolströmung 248DIRICHLET-Bedingung 313DIRICHLET-Randbedingung 294Diskontinuitätsfläche 320diskretisieren 284Diskretisierung 286Diskretisierungsschema 290Dispersion 10Dissipation 89, 131, 369Dissipationsrate 278Dissipations-Term 279Dissoziation 438Divergenz 462Doppelkeilbogenprofil 332Doppelkeilprofil 439Doppelwirbel 153DOPPLER-Effekt 92, 362Drall 371Drallsatz 214Drehklang 328Drehmomentbeiwert 187Drehströmung 244Drehungsfreiheit 75Drosselgerät 163Drosselung 377Druck 35

dimensionsloser 385dynamischer 117statischer 117

Druckbegriff 47

Sachverzeichnis 571

Druckbeiwert 323, 427Druckenergie 38, 116, 132Druckenergiespeicher 39Druckfortpflanzungsgesetz 37Druckhöhe 44, 117Druckkraft 87, 194Druckliniengefälle 132Druckmittelpunkt 52, 333Druckstoß 115, 162Druckstufe 451Druckverhältnis, kritisches 385Druckwiderstand 317Druckwiderstandskraft 320Durchfluss 68Durchflussbeziehung 362Durchflussmessung 120Durchflusszahl 119, 164, 478Durchflutungsgesetz von MAXWELL 231Durchgangsdrehzahl 219Durchmesser

gleichwertiger 148Düse 119, 159

einfache 380erweiterte 389

Düsenabmessung 394Düsenbeiwert 392Düsenfaktor 392Düsengefälle 392Düsen-Wirkungsgrad 393dynamische Adiabate 419

Ebenekomplexe 237

Einbauten 150Eingleichungsmodell 275Einheitsmatrix 83Einheitsvektor 64Einlaufstrecke 145EINSTEINsche Summationskonvention 72Elastizitätsmodul 7Element 297

eindimensionales 298finites 297isoparametrisches 297

Elementarströmung 242Emulsion 10Energie

kinetische 116mechanische 116potenzielle 41, 116

Energiebilanz 166

Energieentwertung 368Energieerhaltungs-Satz 116Energiegefälle 132Energiegleichgewicht 131Energiegleichung

erweiterte 131Energiekaskade 93Energieliniengefälle 132Energieminimum-Prinzip 6, 284Energiesatz 362Englergrad 24Entdimensionierung 264Enthalpie 365Entropie 364Ergiebigkeit 243Erhaltungsprinzip 78Erhaltungssatz 131, 281Ersatzrundrohr 149Erstarrungsprinzip 31Erweiterung 157

stetige 157unstetige 157

EULER-Druck 35EULER-Gleichung 221EULER-LANGRANGE-Gleichung 302EULER-Zahl 85EULERsche Betrachtungsweise 67EULERsche Bewegungsgleichung 28, 67, 108,

224EULERsche Kreiselradgleichung 221Exergie 368Expansionsströmung 379Expansionszahl 119, 164, 479Explosion 26, 362Exzentrizität 52

Fahrzeugwiderstand 324FALKsches Matrix-Schema 463Fall

kritischer 181überkritischer 182unterkritischer 180

FANNO-Kurve 414FDM 314Felddichte 262Feldgröße 67Feldkraft 262Feldstärke 262FEM 314Fernwirkungskraft 29Finite-Elemente-Methode 293, 314

572 Sachverzeichnis

Finite-Volumen-Verfahren 314Flächensatz 244Flächenverhältnis 196Flächenwiderstand 315Flächenwiderstandzahl 317FLETTNER-Rotor 256Fließformel 177Fließzahl 177Flugbedingung 352Flügel 330Flügelfläche 320Flügelgitter 257Flügelstreckung 331Fluid 4

elastoviskoses 20elektroviskoses 20inkompressibles 63kompressibles 63viskoelastisches 20

Fluidart 63Fluidballen 199, 275Fluide

ideale 28reale 28

Fluide mit Gedächtnis 20Fluidik 6Fluidität 21Fluidkraft 50Fluidmechanik

numerische 260Fluidmodell 63Fluidreibungs-Gesetz 16Formänderungsgeschwindigkeit 18Formfunktion 283, 298Formteile 150Formwiderstand 315, 316Formwiderstandzahl 320Freilegungsprinzip 34Freistrahl 105Frontspoiler 326FROUDE-Theorem 213FROUDE-Zahl 85Funktion

analytische 239Funktional 6, 302Fußventil 163FVM 314

Gabelungsstoß 412GALERKIN-Methode 296GALERKIN-Verfahren 302

Gasarbeit 364Gasdynamik 355Gasstrahlen

freie 432GAUSS-Algorithmus 84GAUSS-Ebene 237GAUSSscher Integralsatz 78GAY-LUSSAC-Gesetz 11Gebiet

laminares 140turbulentes 140

Gefälleverlust 381, 393Gefäß

kommunizierendes 47Gegenwind 324, 353Geräusch

aeropulsives 327Geräuscherzeugung 144, 327Gerinne 175Gerinneströmung 175Gesamtdruck 117Gesamtenergie 116Gesamtgefälle 132Gesamthöhe

ideale 117Gesamtviskosität 93, 260Gesamtwiderstand 315, 322Gesamtwiderstandsziffer 323Geschiebebewegung 175Geschwindigkeit 67, 71Geschwindigkeitsdelle 317Geschwindigkeitsfunktion 381Geschwindigkeitsgefälle 17Geschwindigkeitshöhe 117Geschwindigkeitspotenzial 76, 235Geschwindigkeitsprofil 138Geschwindigkeitsverteilung 134, 137Geschwindigkeitszahl 172, 370Gesetz der kleinsten Wirkung 146Gesetz von STOKES 134Gewichtungsfunktion 302GIBBSsche Gleichung 363Gitter

strukturierte 289Gitterstruktur 285Glattheitsbedingung 303GLAUERT-Analogie 434Gleitflug 339Gleitwinkel 331Gleitzahl 331Göttinger Profilsystematik 332

Sachverzeichnis 573

Grad 297Gradient 462GREEN-GAUSS-Integral 294GREEN-GAUSSscher-Integralsatz 295GREEN-Theorem 286, 295, 309Grenzfläche 12Grenzflächenenergie 13Grenzflächenkraft 12Grenzgeschwindigkeit 393Grenzschicht 91, 95

turbulente 102Grenzschichtablösung 103Grenzschicht-Absaugung 104Grenzschichtdicke 186Grenzschicht-Gleichung 266, 268Grenzschichtströmung 96Grenzschichttheorie 28, 95Grenzschichtzaun 437Grobstruktursimulation 274Größe

intensive 6spezifische 6

Großturbulenz 90, 100Grundgesetz

dynamisches 190fluidstatisches 43hydrostatisches 43

Grundgleichung der Fluidmechanik 28Gütegrad 213

(h,s)-Diagramm 365, 484Haftbedingung 16, 95Haftbedingungs-Modell 106HAGEN-POISEUILLEsches Gesetz 135Hähne 162Halbkörperumströmung 252HAMEL-OSEEN-Wirbel 245Hauptgleichung der Strömungsmaschinen 222Hauptschicht

turbulente 98Hauptströmungswert 285Heberleitung 168Heckspoiler 326Heißdampf 380HELMHOLTZsche Bedingung 75HELMHOLTZsche Unstetigkeitsfläche 105, 107HENRY-Gesetz 11HERMITE-Element 298Hintereinanderschaltung 152Hinterkantenruder 343Hitzdrahtanemometer 92

Hodograf 65Höhenformel

barometrische 45Hohlwirbel 245HOOKEsches Gesetz 18Hufeisenwirbel 348Hütchenfunktion 298Hybrid-Verfahren 291Hydraulik 5Hydro-Cutting 201Hyperschall 400Hypersonic 356, 438

Impuls 190Impulsaustausch 89, 199Impulssatz 190Impulsstrom 192Indiz

freies 72gebundenes 72

Injektor 121Innenströmung 134Integralsatz von STOKES 233Interferenzwiderstand 319, 352Interpolationsfunktion 294, 297Ionisation 438Isenthalpe 378Isentrope 364Isentropenexponent 365isoenergetisch 367Isotachen 65

JACOBI-Matrix 297, 301JOUKOWSKY-Profil 241JOUKOWSKY-Stoß 115JOULE-THOMSON-Effekt 378

kε -Modell 277kV -Wert 162Körper-Umströmung 314KÁRMÁNsche Wirbel 107KÁRMÁNsche Wirbelstraße 322Kaminzug 48Kanalerweiterung 119Kanalverengung 119Kapillarität 13Kapillarkraft 13Kapillarspannung 13Kapillarströmung 95Kapillarviskosimeter 24, 134Kapillarwirkung 13

574 Sachverzeichnis

Kennzahlen 79Kernmatrix 83Kerntotgebiet 146Kerntotraum 247Kesselenthalpie 416Kleinturbulenz 90Kniestück 196Knotenpunkt 284, 293KNUDSEN-Zahl 4, 100Kohäsion 12Kolloid 10KOLMOGOROW-Längenmaß 285Kompass-Notation 289Kompressibilität 6Kompressibilitätseinfluss 280Kompressionsmodul 6Konfusor 159Konservativität 41, 281Konsistenz 281Kontigleichung 69, 76Kontinuität 69, 76Kontinuitätsgleichung 69, 362Kontinuum 4Kontraktion 172Kontraktionszahl 171Kontrollraum 192, 257Konvektions-Term 279Konvektionsgleichung 281Konvergenz 281Konvergenzbedingung 294Koordinate

natürliche 297Koordinatensystem

lokales 298Kopfwelle 424Korkenzieherströmung 146Kornkennzahl 143, 184Kraft

äußere 192innere 192intermolekulare 29konservative 41

Kräfteenergieerhaltende 41

Kräftemaßstab 87Kraft-Potenzial 41Kraftstoß 191Kreisrohr-Strömung 197Kreisströmung 244Kreiszylinderumströmung 254Krümmer 152

düsenförmige 154Krümmerverlust 153Krümmungsdruck 14Kugelfallviskosimeter 24, 329KUTTA-Abflussbedingung 256KUTTA-Bedingung 336KUTTA-JOUKOWSKY-Gesetz 258

Lageenergie 116LAGRANGE-Element 297LAGRANGEsche Betrachtungsweise 66LAGRANGEsche Bewegungsgleichung 66Laminardelle 347Laminarisieren 348Laminarprofil 316, 346Landeklappe 345Längsrille 323Langzeitaufnahme 64LAPLACE-Gleichung 25, 77, 357LAPLACE-Operator 25, 77Laser-Anemometer 362LASER-DOPPLER-Anemometrie 92LAVAL-Druckverhältnis 385LAVAL-Düse 389LAVAL-Erweiterung 392LAVAL-Geschwindigkeit 359, 387LAVAL-Massenstrom 388LAVAL-Querschnitt 390LAVAL-Wert 386LAVAL-Zahl 359, 388Leeseite 318Leistungszahl 190Leitschaufel 319LES 274LILIENTHAL-Diagramm 341Linearisierung 289Linearkombination 83linearviskos 17Linie

flüssige 232Linienintegral 227Linsenprofil 439, 441Logarithmusgesetz 97, 139Longitudinalwelle 24LOSCHMIDT-Zahl 15, 23Lösungsalgorithmen 284, 295Luftfahrt-Norm 335Luftschall 327Luftwiderstand 324Luftwiderstandsbeiwert 325Luvseite 318

Sachverzeichnis 575

MACH-Zahl 8, 85, 359MACHsche Linie 361MACHscher Kegel 361MACHscher Winkel 362Magnetohydrodynamik 232MAGNUS-Effekt 254Makrobetrachtungsweise 192Mammutpumpe 48Massenerhaltungssatz 8, 69Massenstrom 381Matrix-Methode 81, 289Matrix-Symbole 462Matrizen 300Matrizenrechnung 293Matrizen-Symbole 463MAXWELLsche Diagonalmethode 250Mehrphasen-Strömung 9Mehrstoff-Strömung 9Mengenstrom 69Messorgan 163Messsonde 92Meteorologie 355Methode

direkte 283finite 283, 284

Methode der gewichteten Residuen 301MHD-Technik 232Mikrobetrachtungsweise 193Minimalprinzip 302Mischstrahl 202Mischungsweg 275mks-System 1Modellansatz 262, 274, 283Modellgleichung 280modellieren 284Molekularbewegung 89Molekularviskosität 23MOLLIER-Diagramm 365Momentaufnahme 64Momentenbeiwert 334MOODY-Diagramm 140Mündung 171, 380Mündungsgrad 381

Nablaoperator 262NACA-Profilsystematik 332Nachlauf-Delle 107, 317Näherungsansatz 289Nahwirkungskraft 29Nassdampf 380Naturumlauf 48

NAVIER-STOKES-Gleichung 28, 101, 259Nebel 10Nenndruck 451Nennweite 451Netz 296

unstrukturiertes 296NEUMANN-Bedingung 313NEUMANN-Randbedingung 294NEWTON-Zahl 189NEWTONsche Fluide 17Nicht-NEWTONsche Fluide 17NIKURADSE-Formel 142Niveaufläche 31Normalenthalpie 363Normalzustand 4Normatmosphäre 46, 451Normdichte 453Normzustand 8Notation 289Nullauftriebsrichtung 332Nullauftriebswinkel 331Nullgleichungsmodell 275

Oberflächefreie 31

Oberflächenkraft 27, 224Oberflächenspannung 13Oberflächenwelle 176Oberschicht

turbulente 98Öffnungsverhältnis 122, 157, 164Ortshöhe 116Ortsvektor 215Osmose 11OSTWALD-Verhalten 20

PANEL-Verfahren 286Panelisation 286Parabelprofil

bikonvexes 441Paradoxon

hydrostatisches 51Parallelschaltung 152Parallelströmung 242PASCAL 35PASCALsches Paradoxon 51PELTON-Turbine 205Pfeilflügel 436Pfeilhöhe 331Piezo-Rohr 118PITOT-Rohr 118

576 Sachverzeichnis

Platten-Reibungszahl 136Plattenströmung 180Pneumatik 5POISSON-Gleichung 77Polare 340Polarendiagramm 334, 340Polymerbeimischung 146Potenzgesetz 97, 138Potenzial 41

komplexes 237Potenzialfunktion 236Potenzialgleichung 28, 77Potenzialströmung 76, 242Potenzialtheorie 78, 242Potenzialwirbel 244PRANDTL-Grenzschichtgleichung 267PRANDTL-KOLMOGOROW-Formel 278PRANDTL-MEYER-Expansion 428PRANDTL-Rohr 118PRANDTL-SCHLICHTINGsches

Widerstandsgesetz 182PRANDTLsche Grenzgleichung 101PRANDTLsche Grenzschichtgleichung 28, 99PRANDTLsche Regel 434PRANDTLsche universelle Widerstandsbeziehung

141PRANDTLscher Mischungsweg 275Presse

hydraulische 37Prinzip des Opfers 256Produktions-Term 279Profil

druckpunktfestes 339superkritisches 436transsonisches 436

Profilbeiwert 334Profil-Bezeichnung 331Profilgitter 257Profillänge 331Profilsehne 332Profilsystematik 332Profiltabelle 332Profiltangente 332Profilwiderstand 337Projektionsquerschnitt 320Propellerschub 211Propellertheorie 211Propellerwirkungsgrad 213Propulsionswirkungsgrad 213Prüfdruck 451Pulsationsfrequenz 328

Quadratkleinstes 302

Qualitätsgrößen 6Quelldichte 77Quelle

numerische 314Quellenströmung 243Quell-Senke 254Quell/Senken-Term 292Quellverteilung 286Querkraft 254, 325Querschnittserweiterung 196Querwirbel 153

Radiusgleichwertiger 177

Radseitenreibung 186Raketentriebwerk 211Randbedingung 294Randgradient 305Randschicht 95Randumströmung 348Randwirbel 348RANKINE-HUGONIOT-Beziehung 419RANKINE-HUGONIOT-Kurve 419RANKINE-Wirbel 245RANKINEsche Strahltheorie 214Rauch 10Rauigkeit 140

inverse relative 140kritische 185natürliche 184zulässige 184

Rauigkeitshöhe, zulässige 456Rauigkeitsströmung 183Rauigkeitswert 455Raum

einfach zusammenhängender 230mehrfach zusammenhängender 230

RAYLEIGH-Linien 414RAYLEIGH-RITZ-Verfahren 296Realgasfaktor 366Rechenoperation, vektoranalytische 462Redwood-Sekunden 24Regelorgan 161Reibleistung 187Reibung

laminare 139turbulente 139

Reibungsansatz 259Reibungsfaktor 160

Sachverzeichnis 577

Reibungsglied 263Reibungswiderstand 316Relativdruck 47Relativgeschwindigkeit 204Relativkontrollraum 204Relativstrombahn 114Relativströmung

Energiegleichung 128Relativströmungsgeschwindigkeit 217Relativsystem 204, 218Relaxations-Methode 280Relevanzliste 82Residuen 294, 302

gewichtete 302Restwiderstand 352REYNOLDS-Beziehung 273REYNOLDS-Gleichung 271REYNOLDS-Spannung 199, 276, 280REYNOLDS-Tensor 277REYNOLDS-Zahl 85

kritische 93, 454REYNOLDsche Bewegungsgleichung 28Rheologie 17Rheopexie 20Richtungscosinus 64RIEMANNscher Abbildungssatz 241Rilleneffekt 323Rinnen 175Rinnengefälle 176Rohrausläufe 157Rohrdurchmesser

optimaler 146Rohreinbauten 150Rohreinlauf 156, 199Rohrführungsarten 151Rohrleitungskennlinie 167Rohrreibungsdiagramm 140Rohrreibungszahl 135, 139, 377, 471Rohrströmung 372

adiabate 376isotherme 375laminare 132transsonische 405turbulente 137

Rohrverzweigung 160Rollwiderstand 324Rotation 73Rotationsviskosimeter 24Rotor 462Rückenwind 324, 353Rückstau 173

Rückstoß 209Rückwärtsdifferenz 287Ruhe 364Ruhewert 386Ruhezustand 357Ruhezustandsgröße 411

S-Schlag 339SAE-Viskositätsklasse 24Sandrauigkeit 140

äquivalente 140, 183Sattdampf 380Saugdruck 50Saughöhe 49Saugkörbe 163Saugwirkung 49Saybold-Sekunden 24Schall 356Schallgeschwindigkeit 8, 24, 356

kritische 280Schallgröße 454Schallmauer 361, 436Schallpegel 145, 327Schattenfläche 320Schaufel

wirkungsfreie 252Schaufelkraft 204Scheibe

freie 186rotierende 186umschlossene 188

Scheinkraft 333Scheinviskosität 92, 278Schergefälle 18Scherkraftgebläse 186Scherrate 17Scherspannung 18Scherviskosität 21Schicht

viskose 97Schichtenströmung 17, 89Schichtung

barotrope 45isotherme 45isotrope 45

Schieber 162Schießen 179Schleppströmung 269Schließungsproblem 274Schmierschichtströmung 95Schmierschichttheorie 268

578 Sachverzeichnis

fluiddynamische 268Schnellflugprofil 338Schockwelle 201, 396, 412Schubbelastungsgrad 213Schubspannungsgeschwindigkeit 144Schwall 175Schwallgeschwindigkeit 179Schwankungsbewegung 199Schwankungsgeschwindigkeit 91Schwerewirkung 43Schwerpunktsatz 193Schwimmen 59SEGNER-Rad 216Seitenkraft 51, 325Sekundärströmung 153semiempirisch 277Senkenströmung 243SERsche Scheibe 118SI-Einheiten 1Siedegrenze 9Simulation

direkte numerische 285Singularität 247Singularitätenmethode 249Singularitäten-Verfahren 78Skalierung 78, 264Skelettlinie 331Spaltenvektor 300Spannungszustand

fluidstatisch 36Spannweite 331Spantfläche 320Spiegelfläche 32Spoiler 325Stabilität 281Stabilitätsbedingung 61Stabwelle 360Standardatmosphäre 451Startklappe 345Statthalterindex 72Staubereich 317Staudruck 8, 117, 443Staudruckbeiwert 443Staupunkt 65, 317Staupunktdruck 445Staupunktströmung 117Staupunkttemperatur 444Staurohr 118Staustromlinie 117Stirnfläche 320Stoffgröße, thermische 460

Stoffwert 362STOKESsche Formel 329STOKESsche Kugelumströmung 95STOKESscher Reibungsansatz 17STOKESscher Satz 233Stolperdraht 102Stolperstelle 102, 343Störbewegung 285Stoß

schiefer 203senkrechter 200

Stoßdiffusor 405, 420Stoßdruck 202Stoßkombination 428Stoßkomponente 197Stoßpolarendiagramm 423Stoßpolaren-Methode 423Stoßstrahl 202Stoßwelle 356, 408Strahldüse 210Strahleinschnürung 171Strahlgeschwindigkeit 171Strahlkraft 200, 205, 210Strahlstoß 203Strahltheorie 211Strahltriebwerk 210, 220Streichlinie 64Streuteilchen 92Strom 66Strombahn 64Stromdichte 409Stromfaden 65Stromfadentheorie 65Stromfläche 65Stromfunktion 228, 235Stromlinie 64Stromlinienbild 65Stromlinienkörper 103Stromröhre 65Stromstoß 115Strömung

eindimensionale 67, 108gestörte 397homotrope 428hypersonische 438instationäre 63laminare 28, 89mehrdimensionale 71nichtquellfreie 77quellfreie 77reibungsfreie 28

Sachverzeichnis 579

schleichende 95, 261stationäre 63supersonische 438träge 95turbulente 28, 89ungestörte 397viskose 95wirbelfreie 77

Strömung mit Energiezufuhr 165Strömungs-Ablösung 100Strömungs-Abreißgefahr 123Strömungsart 63Strömungsform 63Strömungsgeräusch 144, 327Strömungsgeschwindigkeit 63

mittlere 454turbulente 91

Strömungsgrenzschicht 100Strömungsgruppe 63Strömungsklasse 63, 242Strömungskraft 190Strömungsmechanik

numerische 280Strömungspotenzial 76

komplexes 239Strömungs-Reibungskraft 181Strömungsüberlagerung 249Strömungsumschlag 93Strömungsverlust 132Strömungswirkungsgrad 370STROUHAL-Zahl 85, 322Stufenarbeit 222Stutzenarbeit 222Sublimation 9Subsonic 356Substanzgröße 66Sunk 175Superposition 73, 249Supersonic 437Suspersion 10Symmetriestromlinie 251System

adiabates 364

TAYLOR-Entwicklung 286TAYLOR-Reihe 286TAYLOR-Reihenentwicklung 290TAYLOR-Wirbel 108Teilchenabstand 29Teilchenkraft 11Temperaturgleichung 281, 377

Temperaturgrenzschicht 100Tensor 300Tensor-Operator 463Tera-Rechner 285Term

instationärer 291konvektiver 291

Thixotropie 20THOMSON-Satz 232TOLLMIN-SCHLICHTING-Instabilität 98TORRICELLIsche Formel 122Totalenergie 116, 132, 364Totaltemperatur 366Totraum 100, 196Totraumbildung 103Totraumgebiet 317Tragflächen

verstellbare 345Tragflügel 330Tragflügel-Profil 483Tragflügeleigenschaft 338Tragflügelfamilie 332Tragflügeltheorie 256Trägheitsablösung 146Trägheitskraft 87Transiens-Term 279Translation 71Translationsströmung 242Transportgleichung 281Transporttheorem 464Transsonic 356Trennfläche 31, 105Treppenfunktion 290Triebwerksgondel 353Tripelpunkt 9Turbulenz 89

isotrope 91Turbulenzenballen 275Turbulenzenergie 277Turbulenzfrequenz 92Turbulenzgrad 91Turbulenzkante 98Turbulenz-Modell 274Turbulenzsieb 108Turbulenzstelle 103Turbulenzstruktur 92Turbulenztheorie 277Turbulenzviskosität 92

UBBELOHDE 134Überdruck 47

580 Sachverzeichnis

Überdruckkraft 257Übergangsbereich 142Übergangszone 98Überisentrope 371Überlagerung 78Überlagerungsgesetz 249Überschall 356, 390, 434

örtlicher 435reiner 437

Überschallblase 435, 436Überschalldiffusor 404Überschall-Flugzeug 353Überschallkante 437Überschallverbrennung 432Übertragungsfunktion 241Umlenkflächen 319Umlenkschaufel 153Umlenkung

konkave 431konvexe 431

Umschlagspunkt 94Umströmung

überkritische 319Universalprofil 338Unstetigkeitsfläche 102, 105Unterdruck 47Unterisentrope 371unterkritisch 346Unterschall 356Unterschalldiffusor 400Unterschall-Flugzeug 353Unterschallkante 437Unterschallverbrennung 432Unterschicht

laminare 97, 100, 138viskose 98

Upwindverfahren 290

Vakuum 47Valenzbindung 20VAN-DER-WAALSsche Kraft 29Variable

abgeleitete 296primitive 286, 296

Variationsprinzip 302Variationsrechnung 6Vektoroperation 462Ventil 162VENTURI-Rohr 119Verbrennung 27Verdampfungswärme 387

Verdichtungsstoß 394, 398, 408, 412schräger 420senkrechter 413

Verdichtungsströmung 400Verdichtungswelle 408Verdrängungsdicke 96Verdünnungsfächer 429Verdünnungswelle 408, 428Verengung 159

stetige 159Verengungsverhältnis 159Verfahren

explizite 289implizite 289schwache 302

Verformungsgeschwindigkeit 16, 259Verhalten

dilatantes 19plastisches 19pseudoplastisches 19

Verlustenergie 131, 139Verlustleistung 165Verpuffung 27Versperrungseffekt 96Verzerrungsverhältnis 241Viereck-Element 300Viskoses Fluid 19Viskosität 15, 452, 466

absolute 21dynamische 21kinematische 22scheinbare 92

Viskositätsbereich 465Viskositätsindex VI 24Viskositätskraft 87Viskositätsströmung 261Viskositäts-Temperatur-Blatt 134Viskosschicht 138Volumen-Methode

finite 289Volumendilatation 6Volumenelastizitätsmodul 7Volumenkraft 27, 41, 224Volumenstrom 68Vorflügel 104, 319Vortex 142Vortriebsleistung 325Vortriebswirkungsgrad 214Vorturbulenzgrad 343Vorwärtsdifferenz 287VT-Diagramm 22, 134

Sachverzeichnis 581

Wandfunktion 279Wandkraft 194Wandrauigkeit 142Wandschubspannung 144Wärmedichte 368Wasserdampf 380Wasserhammerdruck 201Wassersprung 179Wasserstrahlpumpe 121Water-Jet 201, 210Wechselsprung 179Wellenwiderstand 315, 435Wichtungsfunktion 302Widerstand

induzierter 349, 350Widerstandsaufteilung 352Widerstandsbeiwert 334, 481

induzierter 350Widerstandsfläche 322Widerstands-Formel 322Widerstandsgesetz

STOKESsches 328Widerstandskörper 94, 320Widerstandskraft 180, 194, 315, 333

induzierte 350Widerstandsleistung 325Widerstandszahl 151, 370, 457Widerstandsziffer 472Windgeräusch 327, 328Windkessel 39, 115Windstärke-Skala 454Windstille 324Wirbel 66

freier 337gebundene 336

Wirbel mit starrem Kern 245Wirbelbewegung 75Wirbelfaden 248Wirbelfläche 348Wirbelfluss 249

Wirbelkegel 349Wirbelkeule 352Wirbellinie 248Wirbelmoment 249Wirbelquelle 252Wirbelröhre 248Wirbelsatz 248Wirbelschicht 105Wirbelsenke 253Wirbelstärke 75, 106, 245Wirbelstraße 107Wirbelströmung 89, 248Wirbeltransportgleichung

261, 265Wirbelvektor 75, 248Wirbelviskosität 93, 278Wirbelviskositätsprinzip 92, 274Wirbelzopf 348Wirkdruck 119, 164Wirkungsgrad 381

X-Stoß 433

Zähigkeit 16Zeitapproximation 288Zeitdiskretisierung 313Zeitschrittverfahren 313Zentraldifferenz 288Zirkulation 229ZOELLY-Düse 380Zusatzspannung

turbulente 199Zustandsgleichung

thermische 362Zustandsgröße 362

primäre 276, 362sekundäre 362

Zweigleichungsmodell 275Zwischenwertsatz 291Zylinderströmung 255

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