1

5.1 Using Fundamental Identities Fundamental Trigonometric Identities (on page 376)Reciprocal Identitiessinu = 1/cscu cosu = 1/secu tanu = 1/cotu

Quotient Identitiestanu = sinu/cosu cotu = cosu/sinu

Pythagorean Identitiessin2u + cos2u = 1 1 + tan2u = sec2u 1 + cot2u = csc2u

Cofunction Identitiessin(π/2 ­ u) = cosu cos(π/2 ­ u) = sinutan(π/2 ­ u) = cotu cot(π/2 ­ u) = tanusec(π/2 ­ u) = cscu csc(π/2 ­ u) = secu

Even/Odd Identitiessin(­u) = ­sinu cos(­u) = cosu tan(­u) = ­tanucsc(­u) = ­cscu sec(­u) = secu cot(­u) = ­cotu

One use of trig identities is to use give values of trig functions to evaluate other trig functions.  We have already done a little of this.

Remember: If I know that sinu = 1/2, I can find cosu using the Pythagorean Identity sin2u + cos2u = 1.

(1/2)2 + cos2u = 1

Example: Use the values of secu = ­3/2 and tanu > 0 to find the values of the 6 trig functions without drawing a triangle.

Reciprocal Identity: cosu = 1/secu           cosu = ­2/3

Pythagorean Identity: sin2u + cos2u = 1  sin2u = 1 ­ (­2/3)2  sin2u = 5/9  sinu = √5/3

Because cosu < 0 and tanu > 0, we know that u is in Quadrant III.  Therefore sinu must be negative.

  sinu = ­√5/3

Reciprocal Identity: cscu = 1/sinu          cscu = ­3/√5 = ­3√5/5

Quotient Identity: tanu = sinu/cosu       tanu = ­√5/3/­2/3       tanu = √5/2

Reciprocal Identity: cotu = 1/tanu          cotu = 2/√5 = 2√5/5

We may also want to simplify a trigonometric function.  This will be helpful to practice before we get to proofs and verifying trig identities.

Example: Simplify sinxcos2x ­ sinxsinxcos2x ­ sinx Factor out what is alikesinx(cos2x ­ 1) Convert to use an identity­sinx(1­cos2x) Pythagorean Identity­sinx(sin2x) Multiply­sin3x

Independent PracticeUse the values and trig identities to find all 6 trig functions.1. secx = ­3 and tanx < 0

Simplify the expression using the fundamental identities.2. secθ/cscθ3. cot(π/2 ­ x)cosx

Now let's verify an identity. When you verify you can only change on side, just like a proof.  Start with the side with more "stuff" on it!

Example: Verify sinx/(1 + cosx) + cosx/sinx = cscxStart by making it one fraction with a common denominator.

Homework: pg381 #5­60 by 5's use trig identities NOT triangles

2

5.1 Using Fundamental Identities Continued

When factoring trigonometric expressions, it can be helpful to find a polynomial form that fits the expression.

Examples: Factor1. sec2x ­ 1

Difference of perfect squares(secx ­ 1)(secx + 1)

2. 4tan2x + tanx ­ 3   Factor just like it was 4x2 + x ­ 3

(4tanx ­ 3)(tanx + 1) 

Sometimes, it may help to rewrite the expression in terms of one trigonometric function, or in terms of sine or cosine alone so you can factor.

Examples:1. Factor csc2x ­ cotx ­ 3

Use the Pythagorean Identity csc2x = 1 + cot2x1 + cot2x ­ cotx ­ 3cot2x ­ cotx ­ 2(cotx ­ 2)(cotx + 1)

2. Simplify sinx + cotxcosxsinx + (cosx/sinx)cosx Quotient Identity(sin2x + cos2x)sinx Add fractions1/sinx Pythagorean Identitycscx Reciprocal Identity

There are also times we just may want to rewrite expressions into forms that we can use.

Example: Rewrite 1/(1 + sinx)  so it is not in fraction form.       1    * (1 ­ sinx) Multiply numerator and (1 + sinx) (1 ­ sinx) denominator by (1 ­ sinx) (1 ­ sinx) / (1 ­ sin2x) FOIL(1 ­ sinx) / cos2x Pythagorean Identity    1    ­  sinx  *   1   Write as separate cos2x    cosx    cosx fractionssec2x ­ tanxsecx Reciprocal and Quotient 

Identities

Independent Practice:1. Perform the subtraction and simplify.

      1        ­        1      secx + 1      secx ­ 1

2. Factor and simplifysin4x ­ cos4x

3. Rewrite so it is not in fractional form        3       secx ­ tanx

Homework pg 382 #65­85 by 5's and #110­125 by 5's

3

How can we check identities by graphing?

Graph both sides and see if they are the same.

Example: cos3x = 4cos3x ­ 3cosx

You can also look at the table

You can use trig substitution and triangles

Example:  If x = 2tanθ and 0 < θ < π/2 and the opposite of θ = x, adjacent = 2 and the hypotenuse = √(4 + x2), express √(4 + x2) as a trigonometric function of θ.Using the Pythagorean Theorem

√(4 + x2)2 = 22 + x2

Substitute in x = 2tanθ√(4 + x2)2 = 22 + (2tanθ)2

Solve for √(4 + x2)√(4 + x2) = √(22 + (2tanθ)2)√(4 + x2) = √(4 + 4tan2θ)√(4 + x2) = √(4(1 +tan2θ))√(4 + x2) = √(4sec2θ)√(4 + x2) = 2secθ

Independent Practice:The rate of change of the function 

f(x) = ­cscx ­ sinx is given by the expression cscxcotx ­ cosx.  Show that this expression can also be written as cosxcot2x.

4

More Techniques for Verifying Trig Identities

Guidelines (on page 384)1. Work with one side of the equation at a time.  it is often better to work with the more complicated side first.

2. Look for opportunities to factor an expression, add fractions, square a binomial, or create a monomial denominator.

3. Look for opportunities to use the fundamental identities.  Note which functions are in the final expression you want.  Sines and cosines pair up well, as do secants and tangents, and cosecants, and cotangents.

4. If the preceding guidelines do not help, try converting all terms to sines and cosines.

5.  Try something! Even making an attempt that leads to a dead end gives insight!

Examples: Verify the Identities1. sec2x ­ 1  =  sin2x Hint: The sec2x do not 

  sec2x cancel!

Of course there is more than one way to do proofs, so let's look at both ways.

2.     1      +     1      = 2sec2x      Hint: Combine 1­sinx     1+sinx fractions

3. (tan2x + 1)(cos2x ­ 1) = ­tan2x

Note: Although graphing utilities can be useful in helping to verify an identity, you must use algebraic techniques to produce a valid proof. For example the graphs of the two functions y1 = sin50x and y2 = sin2x in a trigonometric viewing window look identical.  However, sin50x ≠ sin2x.4. tanx + cotx = secxcscx   Hint: convert to 

sines and cosines.Note: Remember that rationalizing the denominator using conjugates is, on occasion, a powerful simplification technique.  A related form of this technique works for simplifying trig expressions as well.Independent Practice1. (tanxcotx)/cosx = secx2. (1/tanx) + (1/cotx) = tanx +cotx

5

Even more examples of verifying!

Remember there are numerous tricks and the more practice you get the better you will be at identifying which tricks will work with which problems. 

Examples: Verify the trig identities.1. secx + tanx =   cosx    Hint: Always start

   1­ sinx with the fraction.

The "illegal method"So we can only touch one side! Right?! Well 

not necessarily.  You can not jump the fence but on occasion it is practical to work with each side separately to obtain one common form equivalent to both sides.  This method works best if there is a fraction on both sides.

2.    cot2x    = 1 ­ sinx    1 + cscx       sinx

In the next example, the powers of trig functions are rewritten as more complicated sums of products of trig functions.  This is a common procedure used in calculus!

3.  Verify each identity starting with the less complex side!

a. tan4x = tan2xsec2x ­ tan2xb. sin3xcos4x = (cos4x ­ cos6x)sinxc. sec4xtan2x = (tan2x + tan4x)sec2x

Writing About Math Error AnalysisSuppose you are tutoring a friend in trig.  

One of the homework problems asks whether the following statement is an identity.

tan2xsin2x = (5/6)tan2x    Your friend does not attempt to verify the equivalence algebraically, but mistakenly uses only a graphical approach.  Using window settings of ­3π < x < 3π with an x­scale of π/2, and ­20 < y < 20 with a y­scale of 1.  They graph both sides of the expression on the graphing utility and conclude that the statement is an identity.      Write a short paragraph explaining what is wrong with you friend's reasoning. 

Homework pg 389 #5­80 by 5's skip #55 & 60

6

5.3 Solving Trigonometric ExpressionsTo solve a trig equation, used methods such as collecting like terms and factoring.  Your goal is to isolate the trig function involved in the equation.Solving a Trig equationExample: Solve 2sinx ­ 1 = 0

2sinx = 1sinx = 1/2

where is the sinx = 1/2?  at x = π/6 and x = 5π/6so there is an infinite number of solutions at

x = π/6 + 2nπ and x = 5π/6 + 2nπ also note that any angles that are co­terminal to these 

two are also solutionsCollecting Like TermsExample: Find all solutions of sinx + √2 = ­sinx 

in the interval [0, 2π).sinx + sinx = ­√2 Isolate sinx on one side2sinx = ­√2 Combine like termssinx = ­√2/2The solutions on the interval are x = 5π/4 and x = 7π/4.

Extracting a Square RootExample: Solve 3tan2x ­ 1 = 0

3tan2x = 1tan2x = 1/3tanx = ±√(1/3) = ±√3/3The solutions are x = π/6 + nπ and x = 5π/6 + nπ 

because tanx has a period of [0, π). Factoring with Two Different Trig Functions

Try to separate the functions by factoring or using appropriate identities.

Example: Solve cotxcos2x = 2cotxcotxcos2x ­ 2cotx = 0cotx(cos2x ­ 2) = 0

Just like factoring put each part equal to zerocotx = 0  cos2x ­ 2 = 0x = π/2 cosx = ±√2

This is outside the range of cosineSo x = π/2 + nπ so there is no solution for this part.Note: Do not divide out cotx or you lose solutions.

Equations of the Quadratic Type Factoring an EquationExample: Find all the solutions of 2sin2x ­ sinx ­1 from [0, 2π).

2sin2x ­ sinx ­1 = (2sinx + 1)(sinx ­ 1)2sinx + 1 = 0 sinx ­ 1 = 0    sinx = ­1/2     sinx = 1

Solutions are x = π/2 + 2nπ, x = 7π/6 + 2nπ, x = 11π/6 + 2nπRewriting with a Single Trig FunctionExample: 2sin2x + 3cosx ­ 3 = 0

2(1 ­ cos2x) + 3cosx ­ 3 = 02 ­ 2cos2x + 3cosx ­ 3 = 02cos2x ­ 3cosx +1 = 0(2cosx ­ 1)(cosx ­ 1) = 0    2cosx ­ 1 = 0 cosx ­ 1 = 0

cosx = 1/2     cosx = 1Solutions are x = 2nπ, x = π/3 + 2nπ, x = 5π/3 + 2nπSquaring and Converting to a Quadratic TypeExample: cosx + 1 = sinx

(cosx + 1)2 = sin2x Square Both Sidescos2x + 2cosx +1 = 1 ­ cos2x  Convert to cos2cos2x + 2cosx = 0 Factor2cosx(cosx + 1) = 0  2cosx = 0 cosx +1 = 0

  cosx = 0 cosx = ­1x = π/2, 3π/2 x = π 

Because we square the original we check for extraneous solutions and find the 3π/2 is extraneous.

7

Functions Involving Multiple Angles And Inverse Functions

Functions of Multiple AnglesExample: Find all the solutions of 2cos3t ­ 1 = 0

Write the original equation 2cos3t ­ 1 = 0Add 1 to each side 2cos3t = 1Divide each side by 2 cos3t = 1/2

In the interval [0, 2π), you know that 3t = π/3 and 3t = 5π/3 are the only solutions.  So in general you have

  3t = π/3 + 2nπ and 3t = 5π/3 + 2nπ Divide by 3 (or multiply by 1/3) and you get

t = π/9 + (2nπ)/3 and t = 5π/9 + (2nπ)/3

Example: Find all solutions of 3tan(x/2) + 3 = 0Write the original equation 3tan(x/2) + 3 = 0Subtract 3 from each side 3tan(x/2) = ­3Divide each side by 3 tan(x/2) = ­3/3 = ­1In the interval [0, 2π), you know that x/2 = 3π/4 is the only 

solution.  So in general you have  (x/2) = 3π/4 + nπ

Multiply by 2 and you getx = 3π/2 + 2nπ 

Using Inverse FunctionsExample: Find all solutions of sec2x ­ 2tanx = 4

Write the original equation sec2x ­ 2tanx = 4Pythagorean Identity (1 + tan2x) ­ 2tanx ­ 4 = 0Combine like terms tan2x ­ 2tanx ­ 3 = 0Factor (tanx ­ 3)(tanx + 1) = 0Setting each factor equal to zero, you obtain two solutions in 

the range of tangent (­π/2, π/2).tanx ­ 3 tanx + 1x = arctan3 x = arctan(­1) = ­π/4

Add multiples of π, to obtain the general solutionx = arctan3 + nπ  x = ­π/4 + nπ 

There are some trig equations that have no reasonable way to solve algebraically.  In these cases, you have to use a graph to approximate the solutions.  You will not be assessed on this type.

Application of Solving Trig EquationsExample: The surface area of a honeycomb is given by the equation S = 6hs +(3/2)s2 [(√3­ cosθ)/(sinθ)], 0 < θ < 90owhere h = 2.4 inches, s = 0.75 inch and θ is the angle needed.a. What value of θ gives a surface area of 12 square inches?b. What value of θ) gives the minimum surface area?

When we trace the graph we find the x­intercepts to be θ ≈ 59.9o and θ ≈ 49.9o

Here is the minimum point found through the trace feature of the calculator.

HOMEWORK: pg 400 #5­40 by 5's & #60, 72, 77, 80

8

Verify that the x­values are solutions of the equation5. 2cos2x + 3 cosx + 1 = 0

(a) x = 4π/3 (b) x = π

Do #10 at home to look at book picture

Solve the equation for 0 < x < 2π15. 3csc2x ­ 4 = 0 20. cosx(cosx ­ 1) = 0

Find all Solutions of the equation in the interval [0, 2π) algebraically.25. cos3x = cosx 30. (secx)(cscx) = 2cscx35. cos(x/2) = √(2)/2 40. cosx + sinxtanx = 2

Approximate the solutions(to 3 decimal places) of the equation in the given interval.

60. 2sec2x + tanx ­ 6 = 0 [­π/2, π/2]

#72, 77, & 80 do at home with book and pictures

9

Sum and Difference Formulas(Proofs are in Appendix A)sin(u + v) = sinucosv + cosusinvsin(u ­ v) = sinucosv ­ cosusinvcos(u + v) = cosucosv ­ sinusinvcos(u ­ v) = cosucosv + sinusinvtan(u + v) = (tanu + tanv) / (1­tanutanv)tan(u ­ v) = (tanu ­ tanv) / (1 + tanutanv)

THINGS TO NOTE1. For sin the sign stays the same and sin and cos are together.2. For cos the sign switches and sines and cosines are together.3. For tan the top sign stays the same and tangents are added and for the bottom the sign switches and tangents are multiplied and added or subtracted from 1.

Evaluating Trig Functions with Sum and Difference FormulasExample: Find the exact value of cos75o.

To find the value we are going to use the fact that 75o = 30o + 45o.

So consequently, cos(u + v) = cos(30o + 45o)cos(30o + 45o) = cos30ocos45o ­ sin30osin45o

      = (√3/2)(√2/2) ­ (1/2)(√2/2)      = (√6 ­ √2) / 4

You can check this by plugging the answer in the calculator and finding the decimal value and then plugging in cos75o making sure that it is in degrees on the calculator.

Example: Find the exact value of sin(π/12).To find the value we are going to use the fact that

π/12 = π/3 ­ π/4.So consequently, sin(u ­ v) = sin(π/3 ­ π/4).

sin(π/3 ­ π/4) = sin(π/3)cos(π/4) ­ cos(π/3)sin(π/4)     = (√3/2)(√2/2) ­ (1/2)(√2/2)     = (√6 ­ √2) / 4

Notice the correction!This is because π/12 is actually 15o.  Lke 30o and 60o switch there sin and cos values, so do any two angles that add up to 90o.  This is because of there relationship in the triangle.

Independent Practice1. Find the sine, cosine, and tangent for 195o = 225o ­ 30o.2. Use the sum and difference formulas to write the expression 

cos(π/7)cos(π/5) ­ sin(π/7)sin(π/5).

Example: Find the exact value of sin(u + v) given that sinu = 4/5, where 0 < u < π/2 and cosv = ­12/13, where π/2 < v < π.

Because sinu = 4/5 and u is in Quad I, cos u = 3/5 if we draw a triangle.  Because cosv = ­12/13 and v is in Quad II, sin v = 5/13 if we draw a triangle.Now you can find sin(u + v) = sinucosv + cosusinv

 = (4/5)(­12/13) + (3/5)(5/13) = (­48/65) + (15/65) = ­33/65

Applications of the Sum FormulaExample: Evaluate cos(arctan1 + arccosx)

This expression fins the formula for cos(u + v). Angles u = arctan1 & v = arccosx can be drawn as triangles.Then use the values of the triangles to solve.

cos(u + v) = cos(arctan1)cos(arccosx) ­ sin(arctan1)sin(arccosx)     = (1/√2)(x) ­ (1/√2)(√(1­x2))     = (x ­ √(1­x2)) / √2

Independent Practice1. If sinu=5/13, where 0< u<π/2 & cosv=­3/5 where π/2<v<π.  

Find cos(v ­ u)HOMEWORK: pg 408 #5­40 by 5's

10

More with the Sum and Difference Formulas

Proving IdentitiesExample: Prove the cofunction identity cos(π/2 ­ x) = sinx.Use the formula for cos(u ­ v) 

cos(π/2 ­ x) = cos(π/2)cosx + sin(π/2)sinx = 0(cosx) + 1sinx = sinx

Note: Sum and difference formulas can be used to derive reduction formulas involving expressions such as sin(θ + nπ/2) and cos(θ + nπ/2) where n is an integer!

Example: Simplify each expression1. cos(θ ­ 3π/2) 

Use the formula for cos(u ­ v) = cosucosv + sinusinvcos(θ ­ 3π/2) = cosθcos(3π/2) + sinθsin(3π/2)

    = cosθ(0) + sinθ(­1)    = ­sinθ 

2. tan(θ + 3π)Use the formula for tan(u + v) = (tanu + tanv) / (1 ­ tanutanv)tan(θ + 3π) = (tanθ + tan3π) / (1 ­ tanθtan3π)

= (tanθ + 0) / (1 ­ tanθ(0))= tanθ / 1

Note that the period of tanθ is π, so the period of tan(θ­3π) is the same.

Applications from CalculusExample:Verify sin(x+h)­sinx = cosx[(sinh)/h] ­ sinx[(1­cosh)/h]

    hUse the formula for sin(u + v) = sinucosv + cosusinvsin(x+h) ­ sinx = sinxcosh + cosxsinh ­ sinx

     h h     = cosxsinh ­ sinx(­cosh + 1)

h     = cosx[(sinh)/h] ­ sinx[(1­cosh) / h]

Solving a Trigonometric EquationExample: Find all solutions of sin(x + π/4) + sin(x ­ π/4) Using both the sum and difference formulas of sin we can say[sinxcos(π/4)+cosxsin(π/4)]+[sinxcos(π/4)­cosxsin(π/4)] = ­1

2sinxcos(π/4) = ­12sinx(√2/2) = ­1√2sinx = ­1sinx = ­1/√2sinx = ­√2/2

Therefore, the solutions are x = 5π/4 + 2nπ and x = 7π/4 + 2nπ

Independent Practice1. Verify the identity

sin(x + y) + sin(x ­ y) = 2sinxcosy2. Find all the solutions in the interval [0, 2π)

tan(x + π) + 2sin(x + π) = 0

HOMEWORK: pg 409 #45­60 by 5's & #67, 70, 88, 92

11

Multiple­Angle and Power Reducing FormulasDouble Angle Formulas (Proofs in Appendix A)

1. sin2u = 2sinucosu2. cos2u = cos2u ­ sin2u = 2cos2u ­ 1 = 1 ­ 2sin2u3. tan2u =    2tanu   

     1 ­ tan2uNOTE: sin2u ≠ 2sinu, cos2u ≠ 2cosu, tan2u ≠ 2tanuSolving a Multiple­Angle EquationExample: Find all solutions of 2cosx + sin2x = 0

2cosx + sin2x = 0 2cosx + 2sinxcosx = 02cosx(1 + sinx) = 0

cosx = 0 1 + sinx = 0x = π/2, 3π/2 sinx = ­1

x = 3π/2Therefore: x = π/2 + 2nπ and x = 3π/2 +2nπ 

Using Double­Angle Formulas in Sketching GraphsExample: Analyze the graph of y = 4cos2x ­ 2 from [0, 2π]

y = 4cos2x ­ 2   = 2(2cos2x ­1)

     = 2(cos2x)We can graph this knowing that the new amplitude is 2  and the new period is 2π/2 = π. Now graph!

Evaluating Functions Involving Double AnglesExample: Use the following to find the sin2x, cos2x, and tan2x.

cosx = 5/13,  (3π)/2 < x < 2π * Using the Pythagorean Theorem, we find that the other side is 12, so the sinx = ­12/13, since it is in the 4th quadrant!Therefore, sin2x = 2sinxcosx = 2(­12/13)(5/13) = ­120/169

     cos2x = 2cos2 ­ 1 = 2(25/169) ­ 1 = ­119/169     tan2x = (sin2x)/(cos2x) = 120/119

NOTE: These are not restricted to angles 2θ and θ.  They work for combinations such as 4θ and 2θ, or 6θ and 3θ.

Examples: sin4x = 2sin2xcos2x and cos6x = cos23x­sin23xDeriving Triple Angle FormulasExample: Express sin3x in terms of sinx.

   sin3x = sin(2x + x)= sin2xcosx + cos2xsinx= 2sinxcosxcosx + (1­2sin2x)sinx= 2sinxcos2x + sinx ­ 2sin3x= 2sinx(1 ­ sin2x ) + sinx ­ 2sin3x= 2sinx ­ 2sin3x + sinx ­ 2sin3x= 3sinx ­ 4sin3x

Power­Reducing Formulas1. sin2u = 1­cos2u     2. cos2u = 1+cos2u     3. tan2u = 1­cos2u

          2          2       1+cos2uReducing a PowerExample: Rewrite sin4x as a sum of first powers of the cosines of 

multiple angles.sin4x = (sin2x)2 = [(1 ­ cos2x)/ 2]2 

   = (1/4)[1 ­ 2cos2x + cos22x]    = (1/4){1 ­ 2cos2x + [(1 + cos4x)/2]}   = (1/4) ­ (1/2)cos2x + (1/8) + (1/8)cos4x   = (3/8) ­ (1/2)cos2x + (1/8)cos4x   = (1/8)(3 ­ 4cos2x + cos4x)

HOMEWORK: pg418 #3­30 by 5's

12

Half­Angle, Product­to­Sum, and Sum­to­Product FormulasHalf­Angle Formulas

1. sin(u/2) = ±√[(1 ­ cosu)/2]2. cos(u/2) = ±√[(1 + cosu)/2]3. tan(u/2) = (1 ­ cosu) / sinu = sinu / (1 + cosu)

NOTE: the signs of sin(u/2) and cos(u/2) depend on quadrant!Using a Half­Angle FormulaExample: Find the exact values of sin105o.

Begin by noting that 105o is half of 210o.  Then using the half­angle formula for sin(u/2) and the fact that 105o lies in Quadrant II, you have the following:

sin105o = + √[(1 ­ cos210o) /2] = + √{[1 ­ (­cos30o)] /2} = + √{[1 + (√3/2)] /2} = + √(2 + √3) / 2

You can then use a calculator to verify!Solving a Trigonometric EquationExample: Find all solutions of 2 ­ sin2x = 2cos2(x/2) in [0, 2π)

2 ­ sin2x = 2cos2(x/2)2 ­ sin2x = 2{±√[(1 + cosx) / 2]}22 ­ sin2x = 2[(1 + cosx) / 2]2 ­ sin2x = 1 + cosx2 ­ (1 ­ cos2x) = 1 + cosxcos2x ­ cosx = 0cosx(cosx ­ 1) = 0

cosx = 0 cosx ­ 1 = 0x = π/2, 3π/2, and 0

Product­to­Sum Formulas1. sinusinv = (1/2)[cos(u ­ v) ­ cos(u + v)]2. cosucosv = (1/2)[cos(u ­ v) + cos(u + v)]3. sinucosv = (1/2)[sin(u + v) + sin(u ­ v)]4. cosusinv = (1/2)[sin(u + v) ­ sin(u ­ v)]

Writing Products as SumsExample: Rewrite the product cos5xsin4x as a sum or difference. 

cos5xsin4x = (1/2)[sin(5x + 4x) ­ sin(5x ­ 4x)]= (1/2)[sin9x ­ sinx]

Sum­to­Product Formulas1. sinx + siny = 2 sin[(x + y) / 2] cos[(x ­ y) / 2]2. sinx ­ siny = 2 cos[(x + y) / 2] sin[(x ­ y) / 2]3. cosx + cosy = 2 cos[(x + y) / 2] cos[(x ­ y) / 2]4. cosx ­ cosy = 2 sin[(x + y) / 2] sin[(x ­ y) / 2]

Using a Sum­to­Product FormulaExample: Find the exact value of cos195o + cos105o.

cos195o + cos105o = 2cos[(195o+105o)/2]cos[(195o­105o)/2]= 2cos150ocos45o = 2(­√3/2)(√2/2) = ­√6/2

Solving a Trigonometric EquationExample: Find all solutions of sin5x+sin3x = 0 from [0, 2π).

sin5x+sin3x = 2 sin[(5x + 3x) / 2] cos[(5x ­ 3x) / 2] = 0  2sin4xcosx = 0

sin4x = 0  cosx = 0    x = π/2, 3π/2sin4x = 2sin2xcos2x = 0sin2x = 2sinxcosx = 0  and cos2x = 2cos2x­ 1 = 0

sinx = 0  and cosx = 0 cosx = ±√2/2x = 0, π and x = π/2, 3π/2  and x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4

Verifying a Trigonometric IdentityExample: Verify the identity (sint + sin3t)/(cost + cos3t) = tan2t.

 sint + sin3t  =  2sin[(t+3t)/2]cos[(t­3t)/2]  =  2sin2tcos(­t)  cost + cos3t     2cos[(t+3t)/2]cos[(t­3t)/2]     2cos2tcos(­t)= sin2t / cos2t = tan2t

HOMEWORK: pg 418 #35­90 by 5's &REVIEW: pg 422 #1­125 odd due Monday

Extra Credit: Evens due Wednesday!