Κεφάλαιο5 Ιδιοτιµές,Ιδιοδιανύσµατα · Κεφάλαιο5...

Κεφάλαιο 5

Ιδιοτιmicroές Ιδιοδιανύσmicroατα

Σε αυτό το κεφάλαιο microελετούmicroε τις ιδιοτιmicroές και τα ιδιοδιανύσmicroατα ενός τετραγωνικούπίνακα Ως συνήθως k είναι το σώmicroα R ή το σώmicroα C

51 Ιδιοτιmicroές και Ιδιοδιανύσmicroατα

΄Εστω V ένας k-διανυσmicroατικός χώρος και φ V rarr V microία γραmicromicroική συνάρτηση Σε αυτήντην ενότητα ϑα δούmicroε πως εντοπίζουmicroε microη microηδενικά διανύσmicroατα v που οι εικόνες τουςφ(v) είναι διανύσmicroατα παράλληλα προς τα ίδια τα v Τα διανύσmicroατα αυτά τα ονοmicroάζουmicroειδιοδιανύσmicroατα της φ Στο Σχήmicroα 51 microε microπλε χρώmicroα απεικονίζεται ένα ιδιοδιάνυσmicroα vτης φ ενώ microε κόκκινο χρώmicroα απεικονίζεται η εικόνα του

0v

φ(v) = λv

Σχήmicroα 51 Ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή λ

Ορισmicroός 511 ΄Εστω V ένας k-διανυσmicroατικός χώρος και φ V rarr V microία γραmicromicroικήσυνάρτηση Το λ isin k λέγεται ιδιοτιmicroή (eigenvalue) της φ αν υπάρχει v isin V v 6= 0 έτσιώστε

φ(v) = λv (5111)

Το v της Σχέσης (5111) λέγεται ιδιοδιάνυσmicroα (eigenvector) της φ για την ιδιοτιmicroή λ

Παραδείγmicroατα 512

1 Η ταυτοτική συνάρτηση idV V rarr V idV (v) = v έχει το 1 για ιδιοτιmicroή ενώ κάθεv 6= 0 isin V είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή 1 Είναι ϕανερό ότι η γραmicromicroικήσυνάρτηση idV V rarr V δεν έχει άλλη ιδιοτιmicroή

129

130 Χ Χαραλάmicroπους Α Φωτιάδης Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα

2 Κάθε microη microηδενικό στοιχείο v του V είναι ιδιοδιάνυσmicroα για τη microηδενική (τετριmicromicroένη)συνάρτηση f V rarr V για την ιδιοτιmicroή 0 αφού f(v) = 0 Είναι ϕανερό ότι η microόνηιδιοτιmicroή της microηδενικής συνάρτησης είναι το 0

΄Εχοντας microελετήσει στο προηγούmicroενο κεφάλαιο τη στενή σχέση microεταξύ των γραmicromicroικώνσυναρτήσεων και των πινάκων δίνουmicroε στη συνέχεια τους αντίστοιχους ορισmicroούς για τουςτετραγωνικούς πίνακες

Ορισmicroός 513 Αν A isin Mn(k) τότε b =[b1 middot middot middot bn

]T isin Mntimes1(k) λέγεται ιδιοδιάνυ-σmicroα (eigenvector) του A για την ιδιοτιmicroή (eigenvalue) λ αν b 6= 0 και A b = λb δηλ

A

b1

bn

= λ

b1

bn

(5131)

Σύmicroφωνα microε το Θεώρηmicroα 4214 κάθε k-διανυσmicroατικός χώρος V διάστασης n εί-ναι ισόmicroορφος microε τον kn Για να απλοποιήσουmicroε λοιπόν τους συmicroβολισmicroούς microας ϑαπεριοριστούmicroε στην περίπτωση που V = kn Σηmicroειώνουmicroε την επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 514 ΄Εστω φ kn rarr kn microία γραmicromicroική συνάρτηση D microία διατεταγmicroένηϐάση του kn Το v isin kn είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φ για την ιδιοτιmicroή λ αν και microόνο αν οCD(v) είναι ιδιοδιάνυσmicroα του πίνακα AφDD για την ιδιοτιmicroή λ Ειδικότερα αν B είναιη κανονική ϐάση του kn τότε το (b1 bn) είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φ αν και microόνο αν

το b =[b1 middot middot middot bn

]Tείναι ιδιοδιάνυσmicroα του AφBB

Απόδειξη ΄Εστω ότι το v είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φ για την ιδιοτιmicroή λ δηλ φ(v) = λv Τότεv 6= 0 άρα CD(v) 6= 0 Είναι ϕανερό ότι CD(λv) = λ CD(v) Από την Πρόταση 414έχουmicroε ότι

AφDD CD(v) = CD(φ(v)) = CD(λv) = λ CD(v)

΄Αρα το CD(v) είναι ιδιοδιάνυσmicroα του AφDD Το αντίστροφο προκύπτει microε τον ίδιο ακριβώςτρόπο

Για το τελευταίο συmicroπέρασmicroα της πρότασης σηmicroειώνουmicroε ότι αν B είναι η κανονικήϐάση του kn και v = (b1 bn) τότε CB(v) =

[b1 middot middot middot bn

]T Στα επόmicroενο παραδείγmicroατα ϑα δούmicroε πως ϐρίσκουmicroε τα ιδιοδιανύσmicroατα και τις ιδιο-

τιmicroές χρησιmicroοποιώντας την παρατήρηση αυτή και τη γεωmicroετρική εποπτεία για το πραγ-microατικό επίπεδο και τον πραγmicroατικό τρισδιάστατο χώρο


1 Ο microοναδιαίος πίνακας In έχει την ιδιοτιmicroή 1 microε ιδιοδιάνυσmicroα κάθε v 6= 0 isin knΣηmicroειώνουmicroε ότι ο In είναι ο πίνακας της ταυτοτικής συνάρτησης idkn kn rarr knid(v) = v ως προς την κανονική ϐάση

2 Ο microηδενικός ntimes n πίνακας

0 =

0 middot middot middot 0


έχει την ιδιοτιmicroή 0 microε ιδιοδιάνυσmicroα κάθε v 6= 0 isin kn Σηmicroειώνουmicroε ότι ο 0 είναι οπίνακας της microηδενικής συνάρτησης kn rarr kn v 7rarr 0 ως προς οποιαδήποτε ϐάση

Ιδιοτιmicroές και Ιδιοδιανύσmicroατα 131

3 Η γραmicromicroική συνάρτηση f R2 rarr R2 που περιστρέφει αριστερόστροφα κατά γωνίαπ4 τα στοιχεία του R2 (ϐλ Σχήmicroα 52) δεν έχει ιδιοτιmicroές και ιδιοδιανύσmicroατα Γιατο συmicroπέρασmicroα αυτό αρκεί να παρατηρήσουmicroε τη γραφική απεικόνιση της συνάρ-τησης όταν v 6= 0 τότε f(v) και v ορίζουν δύο ευθείες που σχηmicroατίζουν microεταξύ τουςγωνία π4 ΄Αρα δεν υπάρχει λ έτσι ώστε f(v) = λ v

v

π4

f(v)

0

Σχήmicroα 52 Αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία π4

΄Εστω

A = AfBB =

radic2

2

[1 minus11 1

]

Αφού η f δεν έχει ιδιοτιmicroές και ιδιοδιανύσmicroατα ούτε ο A έχει ιδιοτιmicroές και ιδιοδια-νύσmicroατα στον R

4 ΄Εστω f R2 rarr R2 η προβολή στην ευθεία y = mx όπως απεικονίζεται στο Σχήmicroα61

x

y

L

(1m)

(minusm 1)

0

Σχήmicroα 53 Προβολή στον R2 στην ευθεία y = mx

Η ευθεία y = mx περνά από την αρχή των αξόνων O(0 0) και το σηmicroείο (1m)Είναι λοιπόν παράλληλη προς το διάνυσmicroα (1m) και κάθετη προς το διάνυσmicroα(minusm 1) Από τη γραφική απεικόνιση της συνάρτησης συmicroπεραίνουmicroε ότι η f έχειδύο ιδιοτιmicroές το 1 και το 0 Πράγmicroατι αν v1 = (1m) τότε f(v1) = v1 και άρα τοv1 είναι ιδιοδιάνυσmicroα για το 1 Αντίστοιχα αν v2 = (minusm 1) τότε f(v2) = 0 και το v2

είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή 0 Γενικότερα τα πολλαπλάσια του v1 είναι όλαιδιοδιανύσmicroατα για την τιmicroή 1 ενώ τα πολλαπλάσια του v2 είναι ιδιοδιανύσmicroατα τηςf για την ιδιοτιmicroή 0

Στη συνέχεια ϑα ϐρούmicroε τον τύπο της f ΄Εστω D = (v1 v2) Ο πίνακας AfDDείναι διαγώνιος microε τις ιδιοτιmicroές να εmicroφανίζονται ως στοιχεία της κυρίας διαγωνίουΠράγmicroατι f(v1) = v1 και f(v2) = 0 εποmicroένως

CD(f(v1)) =

[10

]και CD(f(v2)) =

[00

]


΄Αρα

AfDD =

[1 00 0

]

΄Εστω τώρα B = (e1 e2)

S = SBlarrD =

[1 minusmm 1

]

Τότε

AfBB = S AfBB Sminus1 =

1

1 +m2

[1 mm m2

]

Αφού

AfBB

[ab

]=

1

1 +m2

[a+mbma+m2b

]

έπεται ότιf(a b) =

1

1 +m2(a+mbma+m2b)

5 ΄Εστω f R2 rarr R2 ο αντικατοπτρισmicroός ως προς την ευθεία y = mx όπως απεικο-νίζεται στο Σχήmicroα 54

x

yL

v1v2

0

Σχήmicroα 54 Αντικατοπτρισmicroός ως προς την ευθεία y = mx

Η f έχει την ιδιοτιmicroή 1 microε ιδιοδιανύσmicroατα τα πολλαπλάσια του v1 = (1m) και τηνιδιοτιmicroή -1 microε ιδιοδιανύσmicroατα τα πολλαπλάσια του v2 = (minusm 1) ΄Ετσι ως προς τηϐάση D = (v1 v2) έχουmicroε ότι

AfDD =

[1 00 minus1

]

΄Εστω B η κανονική ϐάση του R2 και S = SBlarrD Τότε

S =

[1 minusmm 1

]και

AfBB = S AfDD Sminus1 =1

1 +m2

[1minusm2 2m

2m m2 minus 1

]

Αφού

AfBb

[ab

]=

1

1 +m2

[a(1minusm2) + 2bm2am+ b(m2 minus 1)

]

ο αναλυτικός τύπος της f είναι

f(a b) =1

1 +m2(a(1minusm2) + 2bm 2am+ b(m2 minus 1))


Αν το λ είναι ιδιοτιmicroή της γραmicromicroικής συνάρτησης φ kn rarr kn τότε ο ιδιοχώρος(eigenspace) της φ Vλ(φ) είναι το σύνολο

Vλ(φ) = v isin kn φ(v) = λv

Ο Vλ(φ) είναι λοιπόν το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσmicroάτων της φ για την ιδιοτιmicroή λ microαζίmicroε το 0 Αντίστοιχα αν A είναι ένας ntimes n πίνακας

Vλ(A) = b isinMntimes1(k) Ab = λb

Αφού σε κάθε n times n πίνακα αντιστοιχεί microία γραmicromicroική συνάρτηση φ kn rarr kn καιαντίστροφα είναι ϕανερό ότι ιδιότητες του Vλ(φ) microεταφράζονται σε ιδιότητες του Vλ(A)και τανάπαλιν Παρατηρούmicroε ότι ο Vλ(φ) είναι διανυσmicroατικός χώρος Πράγmicroατι

bull αν v1 v2 isin Vλ(φ) τότε φ(v1 + v2) = φ(v1) + φ(v2) = λv1 + λv2 = λ(v1 + v2) καιεποmicroένως v1 + v2 isin Vλ(φ)

bull Επίσης αν v isin Vλ(φ) και κ isin k τότε φ(κv) = κφ(v) = κ(λv) = (κλ)v = λ(κv) =λφ(v) και εποmicroένως κv isin Vλ(φ)

Τέλος microία ενδιαφέρουσα ιδιότητα των χώρων Vλ(φ) είναι ότι παραmicroένουν αναλλοίωτοι(invariant) από τη δράση της φ δηλ

φ (Vλ(φ)) sub Vλ(φ)


1 ∆ίνεται η γραmicromicroική συνάρτηση

φ R2 rarr R2 (x y) 7rarr (2x+ y 4x+ 2y)

΄Εστω B = (e1 e2) η κανονική ϐάση του R2 Τότε

AφBB =

[2 14 2

]Παρατηρούmicroε ότι

φ(1minus2) = (0 0) = 0(1minus2)

δηλ το 0 είναι ιδιοτιmicroή και v1 = (1minus2) είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φ για την ιδιοτιmicroή 0όπως ϐέβαια και κάθε άλλο (microη microηδενικό) στοιχείο του Kerφ Επίσης

φ(1 2) = (4 8) = 4(1 2)

δηλ το 4 είναι ιδιοτιmicroή του φ και v2 = (1 2) είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή 4Τα v1 v2 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα και παράγουν τον R2 ΄Αρα D = (v1 v2) είναιϐάση του R2 Εποmicroένως

AφDD =

[0 00 4

]

και

AφDD = Sminus1 AφBB S όπου S = SBlarrD =

[1 1minus2 2

]

Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι V0(φ) = S((v1) και ότι V4(φ) = S(v2)



φ R2 rarr R2 (x y) 7rarr (2x 3y)

΄Εστω B = (e1 e2) η κανονική ϐάση του R2 Παρατηρούmicroε ότι

A = AφBB =

[2 00 3

]είναι διαγώνιος πίνακας φ(e1) = 2e1 και φ(e2) = 3e2 Εποmicroένως e1 είναι ιδιο-διάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή 2 ενώ το e2 είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή 3 Οαναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι

V2(φ) = S(e1) και V3(φ) = S(e2)

3 ΄Εστω φ R3 rarr R3φ(x y z) = (3x 3y z) και B = (e1 e2 e3) η κανονική ϐάση τουR3 Παρατηρούmicroε ότι

AφBB =

3 0 00 3 00 0 1

Ο AφBB είναι διαγώνιος και τα e1 e2 είναι ιδιοδιανύσmicroατα για την ιδιοτιmicroή 3 ενώ τοe3 είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή 1 Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι

V3(φ) = S(e1 e2) V1(φ) = S(e3)

4 Θα γενικεύσουmicroε τις παρατηρήσεις microας για τους διαγώνιους πίνακες και τις ιδιοτιmicroέςτους ΄Εστω ότι f kn rarr kn είναι γραmicromicroική συνάρτηση microε την ιδιότητα ότι υπάρχειD = (v1 vn) διατεταγmicroένη ϐάση του kn έτσι ώστε το vi να είναι ιδιοδιάνυσmicroα τηςf για i = 1 n ΄Εστω ότι λi είναι η ιδιοτιmicroή της f που αντιστοιχεί στο vi γιαi = 1 n Αφού f(vi) = λivi ο πίνακας των συντεταγmicroένων του f(vi) ως προς τηϐάση D έχει την εξής microορφή

CD(f(vi)) =[0 middot middot middot λi middot middot middot 0

]Tuarr

i-ϑέση

και εποmicroένως ο AfDD είναι διαγώνιος πίνακας

AfDD =

λ1 0

0 λn

Αντίστροφα αν D = (v1 vn) είναι ϐάση του kn f kn rarr kn και

AfDD =

λ1 O

O λn

τότε f(vi) = λivi για i = 1 n Εποmicroένως το vi είναι ιδιοδιάνυσmicroα της f για τηνιδιοτιmicroή λi για i = 1 n


5 ΄Εστω φ V rarr V microία γραmicromicroική συνάρτηση του V και έστω ότι το 0 είναι ιδιοτιmicroήτου φ Υπάρχει λοιπόν 0 6= v isin V έτσι ώστε φ(v) = 0 v = 0 Εποmicroένως v isin Kerφκαι Kerφ 6= 0 Αντίστροφα αν v isin Kerφ και v 6= 0 τότε φ(v) = 0 και τοv είναι ιδιοδιάνυσmicroα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιmicroή 0 Καταλήγουmicroε έτσι στο εξήςσυmicroπέρασmicroα

Το 0 είναι ιδιοτιmicroή της γραmicromicroικής συνάρτησης φ V rarr V αν και microόνο αν ηφ δεν είναι ένα προς ένα Ισοδύναmicroα το 0 είναι ιδιοτιmicroή του τετραγωνικούπίνακα A αν και microόνο αν detA = 0

6 ΄Εστω ότι φ V rarr V είναι ισοmicroορφισmicroός Αν το λ είναι ιδιοτιmicroή της φ και v είναιιδιοδιάνυσmicroα της φ για το λ τότε (όπως ϑα δούmicroε) το λminus1 είναι ιδιοτιmicroή της φminus1 και τοv είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φminus1 για το λminus1 Πράγmicroατι έστω ότι το v είναι ιδιοδιάνυσmicroατης φ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιmicroή λ Αφού η γραmicromicroική συνάρτηση φ V rarr Vείναι ισοmicroορφισmicroός έπεται ότι λ 6= 0 Εποmicroένως

φminus1(v) = φminus1((λminus1λ)v) = λminus1φminus1(φ(v)) = λminus1 idV (v) = λminus1v

∆είξαmicroε λοιπόν ότι

Αν ο φ V rarr V είναι ισοmicroορφισmicroός και το λ είναι ιδιοτιmicroή της φ microε ιδιο-διάνυσmicroα v τότε το λminus1 είναι ιδιοτιmicroή του φminus1 V rarr V microε ιδιοδιάνυσmicroα τοv

7 ∆ίνεται η γραmicromicroική συνάρτηση φ R2 rarr R2 microε φ(x y) = (yminus2x+ 3y) Ο πίνακαςA της φ ως προς την κανονική ϐάση B του R2 είναι

A =

[0 minus21 3

]

Ο αναγνώστης καλείται να επιβεβαιώσει ότι το 2 είναι ιδιοτιmicroή του A και της φ και ότικάθε microη microηδενικό διάνυσmicroα επί της ευθείας t(1minus1) t isin R είναι ιδιοδιάνυσmicroα

για την ιδιοτιmicroή 2 Η φminus1 R2 rarr R2 δίνεται από τον τύπο φminus1(x y) =1

2(3xminusy 2x)

Ο αναγνώστης καλείται να επιβεβαιώσει ότι το1

2είναι ιδιοτιmicroή της φminus1

8 ΄Εστω ο 2times 2 microιγαδικός πίνακας

A =

[i 10 1 + i

]

Το e1 είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή i και το (1 1) είναι ιδιοδιάνυσmicroα για τηνιδιοτιmicroή 1 + i


A =

[0 iminusi 1

]

Ο αναγνώστης καλείται να επιβεβαιώσει ότι plusmn1 είναι ιδιοτιmicroές του A


10 ΄Εστω A isin Mn(C) και λ ιδιοτιmicroή του A Τότε το λ είναι ιδιοτιmicroή του A Πράγmicroατιέστω ότι b είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή λ Τότε A b = λb και συνεπώς

A b = λbrArr A b = λ b

δηλ το b είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή λ

11 ΄Εστω A isin Mn(C) ένας πίνακας τέτοιος ώστε A = AT Ο A λέγεται αυτοπροσαρ-

τηmicroένος (self-adjoint) Θα αποδείξουmicroε ότι οι ιδιοτιmicroές του A είναι πραγmicroατικοίαριθmicroοί

Απόδειξη ΄Εστω ότι το b είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή λ isin C Για να δεί-ξουmicroε ότι το λ είναι πραγmicroατικός αριθmicroός ϑα αποδείξουmicroε ότι λ = λ Υπολογίζουmicroετο γινόmicroενο (Ab)T b

(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)

Από το προηγούmicroενο παράδειγmicroα γνωρίζουmicroε ότι λ είναι ιδιοτιmicroή του A και ότι bείναι ιδιοδιάνυσmicroα για το λ Από την υπόθεση A

T= A Συνεπώς A = AT Θα

υπολογίσουmicroε τώρα το γινόmicroενο (Ab)T b χρησιmicroοποιώντας αυτές τις παρατηρήσεις

(Ab)T b = (bTAT )b = bT (A b) = bT (λ b) = λ(bT b) (5162)

Από τις Εκφράσεις (5161) και (5162) προκύπτει ότι

λ(bT b) = λ(bT b)rArr (λminus λ)(bT b) = 0

΄Οmicroως bT b 6= 0 (ϐλ Παράδειγmicroα 21102) και άρα λ = λ Αυτό σηmicroαίνει ότι λ isin Rκαι το Ϲητούmicroενο αποδείχθηκε

Αποδείξαmicroε λοιπόν ότι

Αν ο A isin Mn(C) είναι αυτοπροσαρτηmicroένος πίνακας τότε οι ιδιοτιmicroές του Aείναι πραγmicroατικοί αριθmicroοί Αν ο A isinMn(R) είναι συmicromicroετρικός πίνακας τότεοι οι ιδιοτιmicroές του A είναι πραγmicroατικοί αριθmicroοί

12 Ο συmicromicroετρικός πίνακας

A =

[i 00 2i

]δεν είναι αυτοπροσαρτηmicroένος (προσοχή A = AT όmicroως A isinMn(R)) Οι ιδιοτιmicroέςτου A είναι οι microιγαδικοί αριθmicroοί i 2i

Στη συνέχεια γενικεύουmicroε το συmicroπέρασmicroα του Παραδείγmicroατος 5155

Πρόταση 517 ΄Εστω ο πίνακας A isin Mn(k) Το λ είναι ιδιοτιmicroή του A αν και microόνο ανdet(Aminus λIn) = 0 Αντίστοιχα αν φ kn rarr kn είναι microία γραmicromicroική συνάρτηση και A είναι οπίνακας της φ ως προς οποιαδήποτε διατεταγmicroένη ϐάση του kn τότε το λ είναι ιδιοτιmicroή της φαν και microόνο αν det(Aminus λIn) = 0 Αν το λ είναι ιδιοτιmicroή του A τότε τα ιδιοδιανύσmicroατα τουA για την ιδιοτιmicroή λ είναι οι microη microηδενικές λύσεις του Aminus λIn = 0


Απόδειξη ΄Εστω ότι b είναι ιδιοδιάνυσmicroα για τον A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιmicroή λ Τονί-Ϲουmicroε ότι b 6= 0 Ισχύει ότι

Ab = λbhArr Abminus λb = 0hArr Abminus λIn = 0hArr (Aminus λIn)b = 0

Συνεπώς το οmicroογενές σύστηmicroα (A minus λIn)X = 0 έχει τη microη microηδενική λύση b Αυτόmicroπορεί να γίνει microόνο όταν A minus λIn δεν είναι αντιστρέψιmicroος και det(A minus λIn) = 0 Γιατην αντίστροφη κατεύθυνση παρατηρούmicroε ότι όλες οι συνεπαγωγές στον συλλογισmicroό microαςαντιστρέφονται


1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)

δεν έχει ιδιοτιmicroές και ιδιοδιανύσmicroατα στον R Πράγmicroατι

det(Aminus λI2) = det

([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2

δεν έχει ϱίζες στον R αφού η διακρίνουσα του λ2minus 2λ+ 2 είναι αρνητικός αριθmicroόςΤο πολυώνυmicroολ2 minus 2λ + 2 έχει όmicroως δύο microιγαδικές ϱίζες τις 1 plusmn i ΕποmicroένωςA isinM2times2(C) έχει δύο ιδιοτιmicroές στον C Ο αναγνώστης καλείται να διαπιστώσει ότι(i 1) isin C2 είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή 1 + i ενώ (minusi 1) isin C2 είναιιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή 1minus i

2 ΄Εστω ότι AB είναι δύο όmicroοιοι n times n πίνακες και ότι B = Pminus1AP για κάποιοναντιστρέψιmicroο πίνακα P Αν b είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή λ τότε Pminus1bείναι ιδιοδιάνυσmicroα του B για την ιδιοτιmicroή λ

Απόδειξη Αφού b είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή λ Ab = λb Εποmicroένως

B(Pminus1b) = (Pminus1AP )(Pminus1b) = (Pminus1A)(P Pminus1b) = (Pminus1A)(In b)

= Pminus1(A b) = Pminus1(λb) = λ(Pminus1b)

Σηmicroειώνουmicroε το συmicroπέρασmicroα που προκύπτει από τα προηγούmicroενα

΄Οmicroοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιmicroές

Παρατηρούmicroε ότι σύmicroφωνα microε την Πρόταση 517

Vλ(φ) = null(Aminus λIn)

και microάλιστα αφού ο Vλ(φ) περιέχει ένα τουλάχιστον microη microηδενικό ιδιοδιάνυσmicroα ισχύειότι

dimkVλ(φ) ge 1


Ασκήσεις Ενότητας 51

1 ΄Εστω η γραmicromicroική συνάρτηση φ R2 rarr R2 που περιστρέφει τα διανύσmicroατα α-ϱιστερόστροφα κατά γωνία π Να ϐρεθούν οι ιδιοτιmicroές και τα ιδιοδιανύσmicroατα τηςφ

2 ΄Εστω η γραmicromicroική συνάρτηση φ R3 rarr R3 που αντικατοπτρίζει τα διανύσmicroατα ωςπρος το επίπεδο y = 0 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιmicroές και τα ιδιοδιανύσmicroατα της φ

3 Να υπολογισθούν οι ιδιοτιmicroές και τα ιδιοδιανύσmicroατα των εξής γραmicromicroικών συνάρτη-σεων

(αʹ) φ C2 rarr C2 (x y) 7rarr (x+ 4y 2x+ 3y)

(ϐʹ) ψ R3 rarr R3 (a b c) 7rarr (b c a)

(γʹ) f R3 rarr R3 (x y z) 7rarr (2x+ y y minus z 2y + 4z)

4 Να υπολογισθούν οι ιδιοτιmicroές και τα ιδιοδιανύσmicroατα των εξής πινάκων

(αʹ)[1 23 2

]

(ϐʹ)[minus2 2minus2 3

]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]

5 ΄Εστω A ένας ntimesn πίνακας λ microία ιδιοτιmicroή του A και X είναι ένα ιδιοδιάνυσmicroα τουA που αντιστοιχεί στην ιδιοτιmicroή λ Να αποδείξετε ότι το λ+ k είναι microία ιδιοτιmicroή τουA+ kIn και ότι X είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A+ kIn Επίσης να αποδείξετε ότι το λm

είναι microία ιδιοτιmicroή του Am και ότι X είναι ιδιοδιάνυσmicroα του Am που αντιστοιχεί στολm

6 ΄Εστω A ένας n times n πίνακας και λ είναι microία ιδιοτιmicroή του 3A Να αποδείξετε ότι τολ2 minus λ+ 2 είναι microία ιδιοτιmicroή του πίνακα 3A2 minus A+ 2In

52 Ιδιοχώροι και το Χαρακτηριστικό Πολυώνυmicroο

΄Εστω φ kn rarr kn microία γραmicromicroική συνάρτηση Για να ϐρούmicroε τις ιδιοτιmicroές της φ ϐασιζό-microαστε στις Προτάσεις 514 και 517 και προχωράmicroε ως εξής

bull ϐρίσκουmicroε τον πίνακα A της φ ως προς την κανονική (ή οποιαδήποτε άλλη διατε-ταγmicroένη ϐάση) του kn

bull υπολογίζουmicroε την ορίζουσα του πίνακα Aminus xIn

bull ϐρίσκουmicroε τις τιmicroές των λ που microηδενίζουν την ορίζουσα det(Aminus xIn)

Ιδιοχώροι και το Χαρακτηριστικό Πολυώνυmicroο 139

Για να ϐρούmicroε τα τα ιδιοδιανύσmicroατα της φ όταν γνωρίζουmicroε τις ιδιοτιmicroές microπορούmicroε ναλύσουmicroε τα συστήmicroατα AX = λX για κάθε ιδιοτιmicroή του A Υπάρχει microήπως κάποιοςαποτελεσmicroατικότερος τρόπος Για να απαντήσουmicroε σε αυτό το ερώτηmicroα ϑα ορίσουmicroε τοχαρακτηριστικό πολυώνυmicroο του A Σηmicroειώνουmicroε ότι ο πίνακας A minus xIn είναι ο n times nπίνακας

Aminus xIn =

α11 minus x α12 middot middot middot α1n

α21 α22 minus x middot middot middot α2n

αn1 αn2 middot middot middot αnn minus x

Εποmicroένως det(A minus xIn) είναι ένα πολυώνυmicroο στον k[x] ϐαθmicroού n Το πολυώνυmicroο αυτόσυmicroβολίζεται microε PA(x) και λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο (characteristic polyno-mial) του A δηλ

PA(x) = det(Aminus xIn)

Γράφουmicroε Pφ(x) για το PA(x) όταν ϑέλουmicroε να δώσουmicroε την έmicroφαση στην φ Οιιδιοτιmicroές του A microηδενίζουν το PA(x) και είναι οι ϱίζες του PA(x) Παρατηρούmicroε ότι τοPA(x) έχει την εξής microορφή

PA(x) = (minus1)nxn + αnminus1xnminus1 + middot middot middot+ α1x+ α0

Ο σταθερός όρος του PA(x) a0 είναι ίσος microε την ορίζουσα του A Πράγmicroατι

PA(0) = α0 = det(Aminus 0In) = detA

Ενδιαφέρον επίσης έχει ο συντελεστής anminus1 του PA(x) Από τον υπολογισmicroό της ορίζουσαςτου Aminus xIn προκύπτει ότι ο anminus1 είναι microε προσέγγιση προσήmicroου το ίχνος του A

αnminus1 = (minus1)nminus1(α11 + middot middot middot+ αnn) = (minus1)nminus1 Tr(A)


1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x

]rArr PA(x) = (1minus x)(iminus x) = x2 minus (1 + i)x+ i

Οι ιδιοτιmicroές του A είναι οι 1 και i ΄Εστω φ C2 rarr C2 φ(a b) = (a 2a + ib) Αν Bείναι η κανονική ϐάση του C2 τότε A = AφBB Εποmicroένως

Pφ(x) = x2 minus (1 + i)x+ i

2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =

1minus x 0 20 2minus x 30 2 3minus x

και det(Aminus xI3) =

(1minus x)((2minus x)(3minus x)minus 6

)= minusx(xminus 1)(xminus 5) = minusx3 + 6x2 minus 6x

3 ΄Εστω A isinMn(k) Τότε

det(Aminus xIn) = det(Aminus xIn)T = det(AT minus xIn)


Οι πίνακες A και AT έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο

4 Είδαmicroε ότι ο σταθερός όρος του πολυωνύmicroου PA(x) είναι ίσος microε την ορίζουσα τουAΣύmicroφωνα microε την Πρόταση 517 το 0 είναι ιδιοτιmicroή του A αν και microόνο αν detA = 0Εποmicroένως

Ο πίνακας A είναι αντιστρέψιmicroος αν και microόνο αν ο σταθερός όρος του PA(x)είναι διάφορος του microηδενός

Πόσες ιδιοτιmicroές έχει microία γραmicromicroική συνάρτηση φ kn rarr kn Αντίστοιχα πόσες ιδιοτιmicroέςέχει ένας ntimesn πίνακας A Σύmicroφωνα microε τα όσα έχουmicroε εξετάσει προηγουmicroένως ο αριθmicroόςτων ιδιοτιmicroών του φ και αντίστοιχα τουA είναι ακριβώς ο ο αριθmicroός των ϱιζών του Pφ(x) καιαντίστοιχα του PA(x)) Πόσες λοιπόν ϱίζες έχει ένα πολυώνυmicroο ϐαθmicroού n Η απάντησηεξαρτάται από το σώmicroα επάνω από το οποίο δουλεύουmicroε και δίνεται από την επόmicroενηπρόταση

Πρόταση 522 Αν φ Cn rarr Cn είναι microία γραmicromicroική συνάρτηση τότε η φ έχει ακριβώς nmicroιγαδικές ιδιοτιmicroές Αν φ Rn rarr Rn είναι microία γραmicromicroική συνάρτηση τότε η φ έχει το πολύn πραγmicroατικές ιδιοτιmicroές Αντίστοιχα αν A isin Mn(C) τότε ο A έχει ακριβώς n microιγαδικέςιδιοτιmicroές Αν A isinMn(R) τότε ο A έχει το πολύ n πραγmicroατικές ιδιοτιmicroές

Απόδειξη Για την απόδειξη πρέπει να αναφερθούmicroε στο Θεmicroελιώδες Θεώρηmicroα της ΄Αλ-γεβρας Σύmicroφωνα microε το ϑεώρηmicroα αυτό ένα πολυώνυmicroο p(x) isin C[x] ϐαθmicroού n microε συντε-λεστές από το C έχει ακριβώς n ϱίζες στο C microετρηmicroένες σύmicroφωνα microε την πολλαπλότητάτους Βεβαίως αν p(x) isin R[x] τότε p(x) isin C[x] Εποmicroένως το p(x) έχει ακριβώς deg p(x)microιγαδικές ϱίζες και κάποιες από αυτές microπορεί να είναι πραγmicroατικοί αριθmicroοί ίσως όmicroωςόχι όλες Συνεπώς αν p(x) isin R[x] τότε p(x) έχει το πολύ deg p(x) πραγmicroατικές ϱίζεςΑφού PA(x) έχει ϐαθmicroό n το συmicroπέρασmicroα της πρότασης και για τις δύο περιπτώσειςπροκύπτει από τις προηγούmicroενες παρατηρήσεις

Στα επόmicroενα παραδείγmicroατα ϑα κάνουmicroε χρήση αυτής της πληροφορίας



1 ΄Εστω ότι A isinMn(C) και ότι οι ιδιοτιmicroές του A είναι οι λ1 λn isin C Αφού λοιπόνο αρχικός συντελεστής του PA(x) είναι το (minus1)n έπεται ότι

PA(x) = (minus1)n(xminus λ1) middot middot middot (xminus λn)

Αναπτύσσοντας αυτό το γινόmicroενο προκύπτει ότι ο συντελεστής του όρου xnminus1 είναιίσος microε το

(minus1)nminus1(λ1 + middot middot middot+ λn)

ενώ ο σταθερός όρος του PA(x) ο PA(0) είναι ίσος microε το γινόmicroενο

(minus1)n(0minus λ1) middot middot middot (0minus λn) = (minus1)n(minus1)n(λ1 middot middot middotλn) = λ1 middot middot middotλn

Προηγουmicroένως είδαmicroε ότι ο συντελεστής του όρου xnminus1 είναι (minus1)nminus1 Tr(A) και ότιο σταθερός όρος του PA(x) είναι ίσος microε την ορίζουσα του A Εποmicroένως αποδείξαmicroετην επόmicroενη σχέση microεταξύ της ορίζουσας του A και της ιδιοτιmicroής του A

Αν A isinMn(C) και οι ιδιοτιmicroές του A είναι οι λ1 λn τότεTr(A) = λ1 + middot middot middot+ λn και detA = λ1 middot middot middotλn

2 ∆ίνεται ο πίνακας

A =

3minus a 3b cc a ii c+ i minus1

microαζί microε την πληροφορία ότι detA = 2 και ότι microία ιδιοτιmicroή του A είναι ίση microε 2 Απότην Πρόταση 522 γνωρίζουmicroε ότι ο A έχει τρεις συνολικά microιγαδικές ιδιοτιmicroές Θαυπολογίσουmicroε τις άλλες δύο

΄Εστω ότι λ1 λ2 είναι οι άλλες δύο ιδιοτιmicroές του A Τότε

2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2

Εποmicroένωςλ1 = minusλ2 και λ2

1 = minus1

και οι άλλες δύο ιδιοτιmicroές του A είναι plusmni

΄Οπως έχουmicroε δει όmicroοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιmicroές ϐλ Παράδειγmicroα 5182Ισχύει όmicroως κάτι πιο ισχυρό όπως δείχνει η επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 524 ΄Οmicroοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο

Απόδειξη ΄Εστω ότι AB isinMn(k) είναι δύο όmicroοιοι πίνακες Θα αποδείξουmicroε ότι det(AminusxIn) = det(B minus xIn) Αφού AB είναι όmicroοιοι υπάρχει αντιστρέψιmicroος πίνακας S τέτοιοςώστε

B = Sminus1A S

Θα δείξουmicroε ότι det(B minus xIn) = det(Aminus xIn) Πράγmicroατι

det(B minus xIn) = det(Sminus1A S minus xSminus1S) = det(Sminus1A S minus Sminus1xInS) =

= det(Sminus1(Aminus xIn)S) = det(Sminus1| det(Aminus xIn) det(S) = det(Aminus xIn)

Αποδείξαmicroε λοιπόν ότι οι όmicroοιοι πίνακες A και B έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυ-microο


΄Εστω φ kn rarr kn microία γραmicromicroική συνάρτηση Οι πίνακες της φ ως προς διαφορετικέςϐάσεις του kn είναι όmicroοιοι (Πόρισmicroα 434) Σύmicroφωνα microε την προηγούmicroενη πρότασηmicroπορούmicroε να επιλέξουmicroε οποιαδήποτε ϐάση του kn και ϑα ϐρούmicroε ακριβώς το ίδιο πο-λυώνυmicroο Pφ(x) Ο επόmicroενος αλγόριθmicroος συγκεντρώνει τα ϐήmicroατα για τον υπολογισmicroότων ιδιοτιmicroών και των ιδιοδιανυσmicroάτων της φ

Αλγόριθmicroος 521 Αλγόριθmicroος υπολογισmicroού ιδιοχώρων της γραmicromicroικής συνάρτησηςφ kn rarr kn

Είσοδος Η γραmicromicroική συνάρτηση φ kn rarr kn΄Εξοδος Μία ϐάση για τους ιδιοχώρους της φ

Βήmicroα 1 ΄ΕστωA =

[φ(e1) middot middot middot φ(en)

]

Βήmicroα 2 Βρίσκουmicroε το πολυώνυmicroο PA(x) = Pφ(x) υπολογίζοντας την ορίζουσα

det(Aminus xIn)

Βήmicroα 3 Βρίσκουmicroε τις ιδιοτιmicroές του A στον k λύνοντας την εξίσωση

PA(x) = 0

Βήmicroα 4 Για κάθε λ που είναι ιδιοτιmicroή του A ϐρίσκουmicroε microία ϐάση για το microηδε-νοχώρο του Aminus λIn


Στα παραδείγmicroατα που ακολουθούν ϑα δούmicroε τον αλγόριθmicroο στη πράξη


1 ΄Εστω φ C2 rarr C2 φ(a b) = (a + 2b ib) Υπολογίζουmicroε τις εικόνες φ(e1) καιφ(e2) Αφού φ(e1) = (1 i) και φ(e2) = (2 i) αν B είναι η κανονική ϐάση του C2

και A = AφBB τότε

A =

[1 20 i

]

΄Οπως είδαmicroε στο Παράδειγmicroα 5211

PA(x) = (1minus x)(iminus x)

και A έχει τις ιδιοτιmicroές 1 και i ΄Ετσι

V1(A) = null(Aminus I2) = null

[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ

Vi(A) = null(Aminus iI2) = null

[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0

]= t(minus1minus i 1) t isin C


Παρατηρούmicroε ότι αν v1 = (1 0) v2 = (minus1minusi 1) τότεD = (v1 v2) είναι διατεταγmicroένηϐάση του C2 από ιδιοδιανύσmicroατα της φ και άρα

AφDD =

[1 00 i

]

Αφού ο πίνακας AφDD είναι διαγώνιος η γραmicromicroική συνάρτηση φ είναι διαγωνιοποι-ήσιmicroη

2 Θα προσδιορίσουmicroε τους ιδιοχώρους της γραmicromicroικής συνάρτησης

φ R2 rarr R2 (x y) 7rarr (2x+ y x+ 2y)

Ο πίνακας του φ ως προς τη συνήθη ϐάση του R2 είναι ο

A =

[2 11 2

]

Αφού A = AT ο A έχει ακριβώς δύο πραγmicroατικές ιδιοτιmicroές ϐλ Παράδειγmicroα51511 Πράγmicroατι υπολογίζουmicroε και παραγοντοποιούmicroε το χαρακτηριστικό πο-λυώνυmicroο της φ

Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x

]= (2minus x)2 minus 1 = x2 minus 4x+ 3 = (xminus 1)(xminus 3)

Εποmicroένως οι ιδιοτιmicroές του A είναι το 1 και το 3 Φέρνουmicroε τον πίνακα A minus 1I2 σεελαττωmicroένη κλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών[

1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]

Ο ιδιοχώρος του φ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιmicroή 1 είναι ο

V1(φ) = (minusx2 x2) x2 isin k = S((minus1 1)) = S(v)

όπου v = (minus1 1)

Για τον χώρο V3(φ) ϕέρνουmicroε τον πίνακα Aminus 3I2 σε ελαττωmicroένη κλιmicroακωτή microορφήγραmicromicroών [

minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]

άραV3(φ) = (x2 x2) x2 isin k = S((1 1)) = S(u)

όπου u = (1 1)

Τα ιδιοδιανύσmicroατα v u είναι ϐάση για τον R2 και ο A είναι διαγωνιοποιήσιmicroοςκαι όmicroοιος microε τον [

1 00 3

]


3 Θα προσδιορίσουmicroε τις ιδιοτιmicroές και τους ιδιοχώρους του πίνακα

A =

[1 11 0

]isinM2(R)

Το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο του A είναι το∣∣∣∣ 1minus x 11 minusx

∣∣∣∣ = minusx+ x2 minus 1 =

(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)

Οι ιδιοτιmicroές του A είναι λ1 =1 +radic

5

2και λ2 =

1minusradic

5

2

Για να ϐρούmicroε τον ιδιοχώρο Vλ1 λύνουmicroε το σύστηmicroα (Aminus λ1I2)X = O Η ελαττω-microένη κλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών του Aminus λ1I2 είναι [

1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))

Αντίστοιχα

Vλ2(A) = S((1minusradic

5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))

Ο πίνακας A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος και όmicroοιος microε τον πίνακα[λ1 00 λ2

]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)

έχει χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο το

PA(x) =

∣∣∣∣ minusx minus11 minusx

∣∣∣∣ = x2 + 1

Το πολυώνυmicroο PA(x) δεν έχει ϱίζες στον R και ο A δεν είναι διαγωνιοποιήσιmicroος στονR Ταplusmni isin C είναι ϱίζες του PA(x) στονC και άρα οA έχει ιδιοτιmicroές τους microιγαδικούςαριθmicroούς plusmni και είναι διαγωνιοποιήσιmicroος στον C Οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι είναι

Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))

καιVminusi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((minusi 1))


5 ΄Εστω φ R3 rarr R3 φ(a b c) = (a + 2c 2b + 3c 2b + 3c) B η κανονική ϐάση τουR3 και A = AφBB Τότε

A =

1 0 20 2 30 2 3

και όπως είδαmicroε στο Παράδειγmicroα 5212 PA(x) = minusx(xminus 1)(xminus 5) Εποmicroένως οιιδιοτιmicroές του A είναι 0 1 5

V0(A) = null(Aminus 0 I3) = nullA = null

1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως

V0(A) = t(minus2minus3

2 1) t isin R

Επίσης

V1(A) = null(Aminus 1 I3) = null

0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0

ΕποmicroένωςV1(A) = t(1 0 0) t isin R

Τέλος


minus4 0 20 minus3 30 2 minus2

= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R

Παρατηρούmicroε ότι αν

v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)

τότε D = (v1 v2 v3) είναι διατεταγmicroένη ϐάση του R3 από ιδιοδιανύσmicroατα της φ και

AφDD =

0 0 00 1 00 0 5

Αφού ο πίνακας AφDD είναι διαγώνιος η φ είναι διαγωνιοποιήσιmicroη

6 ΄Εστω

A =

4 0 1minus2 1 0minus2 0 1

isinM3(R)

Το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο PA(x) του A είναι το

PA(x) =

∣∣∣∣∣∣4minus x 0 1minus2 1minus x 0minus2 0 1minus x

∣∣∣∣∣∣ = (1minus x)[(4minus x)(1minus x) + 2]rArr


rArr PA(x) = (1minus x)(xminus 2)(xminus 3)

Εποmicroένως οι ιδιοτιmicroές του A είναι είναι οι

λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3

Αφού ο πίνακας A έχει τρεις διακεκριmicroένες ιδιοτιmicroές είναι διαγωνιοποιήσιmicroοςΠράγmicroατι οι ιδιοχώροι του A είναι οι

V1 = (0 κ 0) κ isin R = S((0 1 0))V2 = (minus1

2κ κ κ) κ isin R = S((minus1

2 1 1))

V3 = (minusκ κ κ) κ isin R = S((minus1 1 1))

Τα ιδιοδιανύσmicroατα

ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)

αποτελούν ϐάση του R3 ΄Εστω D = (ε1 ε2 ε3) Ο A είναι όmicroοιος microε τον πίνακα

E =

1 0 00 2 00 0 3

καιE = Sminus1A S

όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1

΄Εστω λ ιδιοτιmicroή του A isin Mn(k) Τότε PA(λ) = 0 και PA(x) = (x minus λ)q1(x) γιακάποιο q1(x) isin k[x] Αν q1(λ) = 0 τότε q1(x) = (xminus λ)q2(x) για κάποιο q2(x) isin k[x] καιPA(x) = (xminus λ)2q2(x) Συνεχίζοντας καταυτόν τον τρόπο καταλήγουmicroε ότι υπάρχει έναςϕυσικός αριθmicroός mλ isin N τέτοιος ώστε

PA(x) = (xminus λ)mλq(x) όπου q(x) isin k[x] και q(λ) 6= 0

Σηmicroειώνουmicroε ότι 1 le mλ le n Ο ϕυσικός αυτός αριθmicroός mλ λέγεται αλγεβρική πολλα-πλότητα (algebraic multiplicity) της ιδιοτιmicroής λ Αν λοιπόν λ1 λk είναι οι διακεκρι-microένες ιδιοτιmicroές του A στο k τότε υπάρχει h(x) isin k[x] τέτοιο ώστε

degPA(x) = (xminus λ1)mλ1 middot middot middot (xminus λk)mλk h(x)

και άραmλ1 + middot middot middot+mλk le n

Παρατηρούmicroε επίσης ότι αφού Vλ(A) 6= 0 έπεται ότι

nλ = dimkVλ(A) ge 1

Ο ϕυσικός αριθmicroός nλ λέγεται η γεωmicroετρική πολλαπλότητα (geometric multiplicity)της λ Με χρήση της microεθόδου της microαθηmicroατικής επαγωγής αποδεικνύεται ότι


Θεώρηmicroα 526 Αν το λ είναι ιδιοτιmicroή του A τότε mλ ge nλ ge 1 δηλ

η αλγεβρική πολλαπλότητα του λ ge τη γεωmicroετρική πολλαπλότητα του λ

Για την απόδειξη της παραπάνω ανισότητας παραπέmicroπουmicroε στο σύγραmicromicroα [2 Πρόταση525]

Παράδειγmicroα 527 ΄Εστω

A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5

Τότε PA(x) = (x minus 2)3(x minus 3)2 και εποmicroένως η αλγεβρική πολλαπλότητα του 4 είναι το 3ενώ η αλγεβρική πολλαπλότητα του 5 είναι το 2 Ο αναγνώστης καλείται να διαπιστώσειότι η γεωmicroετρική πολλαπλότητα του 4 είναι ίση microε το 2 ενώ η γεωmicroετρική πολλαπλότητατου 5 είναι το 2



A =

a b 0c 1minus a 2ii c+ 1 1

Αν detA = 8 και microία ιδιοτιmicroή του A είναι το 2 να ϐρεθούν οι υπόλοιπες ιδιοτιmicroές

2 Να ϐρείτε τους ιδιοχώρους του πίνακα

A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)

3 Να αποδείξετε ότι όmicroοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ίχνος και την ίδια ορίζουσα χρησι-microοποιώντας την Πρόταση 524

4 Να ϐρείτε τις αλγεβρικές και γεωmicroετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιmicroών του πίνακα

A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1


53 ∆ιαγωνιοποιήσιmicroοι Πίνακες

Θυmicroίζουmicroε ότι ο n times n πίνακας A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος αν ο A είναι όmicroοιος microε δια-γώνιο πίνακα Σε αυτήν την ενότητα ϑα εξερευνήσουmicroε πότε microία γραmicromicroική συνάρτησηφ kn rarr kn είναι διαγωνιοποιήσιmicroη Σύmicroφωνα microε το Παράδειγmicroα 5163 η φ είναι δια-γωνιοποιήσιmicroη αν και microόνο αν ο kn έχει microία διατεταγmicroένη ϐάση D από ιδιοδιανύσmicroατατης φ Τονίζουmicroε ότι αν το ιδιοδιάνυσmicroα vi κατέχει την i ϑέση στο διατεταγmicroένο σύνολοD τότε το λi εmicroφανίζεται στην i γραmicromicroή και στήλη του διαγώνιου πίνακα AφDD


1 ΄Εστω ότι φ C2 rarr C2 φ(a b) = (a+ 2b ib) ΄Οπως είδαmicroε στο Παράδειγmicroα 5251η φ είναι διαγωνιοποιήσιmicroη microε ιδιοτιmicroές 1 και i και αντίστοιχα ιδιοδιανύσmicroατα v1

και v2 ΄Εστω τώρα D1 = (v1 v2) και D2 = (v2 v1) Τότε

AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]

2 ΄Εστω φ R3 rarr R3 microία διαγωνιοποιήσιmicroη γραmicromicroική συνάρτηση microε ιδιοτιmicroές λ1 λ2λ3 και αντίστοιχα ιδιοδιανύσmicroατα v1 v2 v3 ΑνD1 = (v1 v2 v3) καιD2 = (v3 v1 v2)τότε

AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2

Η επόmicroενη πρόταση αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει σχέση γραmicromicroικής εξάρτησης microεταξύ microηmicroηδενικών διανυσmicroάτων από διαφορετικούς ιδιοχώρους

Πρόταση 532 ΄Εστω φ kn rarr kn microία γραmicromicroική συνάρτηση Αν τα w1 w2 wκ είναιιδιοδιανύσmicroατα του V που αντιστοιχούν σε διακεκριmicroένες ιδιοτιmicroές λ1λ2 λκ τότε ταw1 w2 wκ είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα

Απόδειξη Θα δώσουmicroε τη ϐασική ιδέα της απόδειξης αποδεικνύοντας αναλυτικά την πε-ϱίπτωση δύο ιδιοδιανυσmicroάτων δύο διαφορετικών ιδιοτιmicroών και σηmicroειώνοντας ότι η γενικήπερίπτωση γίνεται ανάλογα ΄Εστω ότι

micro1w1 + micro2w2 = 0 (5321)

όπου micro1 micro2 isin k Θα αποδείξουmicroε ότι micro1 = micro2 = 0 Πράγmicroατι

φ(micro1w1 + micro2w2) = φ(0) = φ(0)rArr micro1φ(w1) + micro2φ(w2) = 0rArr

micro1λ1w1 + micro2λ2w2 = 0 (5322)

Πολλαπλασιάζουmicroε τη Σχέση (5321) microε λ2 και την αφαιρούmicroε από τη Σχέση (5322)΄Ετσι

micro1(λ1 minus λ2)w1 = 0

΄Οmicroως w1 είναι ιδιοδιάνυσmicroα και άρα w1 6= 0 ΄Επεται ότι micro1(λ1 minus λ2) = 0 ΄Αρα micro1 = 0αφού λ1 6= λ2 Αντικαθιστούmicroε στη Σχέση (5321) και microε τον ίδιο τρόπο καταλήγουmicroεότι micro2 = 0

∆ιαγωνιοποιήσιmicroοι Πίνακες 149

΄Αmicroεση συνέπεια της προηγούmicroενης πρότασης είναι το εξής ϑεώρηmicroα

Θεώρηmicroα 533 ΄Εστω ο πίνακας A isinMn(k) και λ1 λk isin k οι διακεκεριmicroένεςιδιοτιmicroές του A στο σώmicroα k Ο A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος αν και microόνο αν

dimkVλ1(A) + middot middot middot+ dimkVλk(A) = n

Σηmicroειώνουmicroε δύο ειδικές περιπτώσεις του Θεωρήmicroατος 533

Πόρισmicroα 534 ΄Εστω ότι A isinMn(k)

i) Αν ο A έχει n διαφορετικές ιδιοτιmicroές τότε ο A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος

ii) Αν ο A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος τότε η γεωmicroετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιmicroής τουA είναι ίση microε την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιmicroης

Απόδειξη Από το Θεώρηmicroα 526 προκύπτει ότι

k le nλ1 + middot middot middot+mλk = mλ1 + middot middot middot+mλk le n

Εποmicroένως αν αν ο A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος τότε

mλ1 = nλ1 mλk = nλk

ενώ αν n = k τότε nλi = mλi = 1 για i = 1 n και ο A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος

Στα παραδείγmicroατα που ακολουθούν ϑα εφαρmicroόσουmicroε τα παραπάνω


1 Θεωρούmicroε τη γραmicromicroική συνάρτηση

φ R3 rarr R3 (x y z) 7rarr 4(x y z)

του R-διανυσmicroατικού χώρου R3 Ο πίνακας της φ ως προς τη συνήθη ϐάση του R3

είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4

και το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο είναι το PA(x) = (4minus x)3 ΄Ετσι η microόνη ιδιοτιmicroήτης φ είναι το 4 και αφού Aminus 4I3 = 0 έπεται ότι V4(φ) = null(Aminus 4I3) = R3

2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4

Τότε PA(x) = (4minus x)3 και η microόνη ιδιοτιmicroή του A είναι το 4 Επίσης

Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0

και V4(A) = (s t 0) s t isin R = S(e1 e2) Ο πίνακας A δεν είναι διαγωνιοποι-ήσιmicroος γιατί δεν υπάρχει ϐάση του R3 που να αποτελείται από ιδιοδιανύσmicroατα τουA


3 Θα υπολογίσουmicroε τις ιδιοτιmicroές και τα ιδιοδιανύσmicroατα της γραmicromicroικής συνάρτησηςf R3 rarr R3f(a b c) = (3a + 2b + 2c a + 4b + 2cminusa minus 2b) ΄Εστω B η κανονικήϐάση του R3 και έστω

A = AfBB =

3 2 21 4 2minus1 minus2 0

Το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο PA(x) είναι το∣∣∣∣∣∣3minus x 2 2

1 4minus x 2minus1 minus2 minusx

∣∣∣∣∣∣ = 12minus 16x+ 7x2 minus x3 = (2minus x)2(3minus x)

και οι ιδιοτιmicroές τουA είναι το 2 και το 3 Φέρνουmicroε τον πίνακαAminus2I3 σε ελαττωmicroένηκλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών

Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0

εποmicroένως το σύνολο των λύσεων του συστήmicroατος (Aminus 2I3)X = 0 είναι το

V2(A) = (minus2x2 minus 2x3 x2 x3) x2 x3 isin R =

t(minus2 1 0) + s(minus2 0 1) t s isin R

΄Οmicroοια ϕέρνουmicroε τον πίνακα Aminus 3I3 σε ελαττωmicroένη κλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών

Aminus 3I3 =

0 2 21 1 2minus1 minus2 minus3

minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0

και ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιmicroή 3 είναι ο

V3(A) = S((minus1minus1 1))

Αφούdim(V2(A)) + dim(V3(A)) = 3

έπεται ότιV2(A) + V3(A) = R3

και ότι η f είναι διαγωνιοποιήσιmicroη Θεωρούmicroε τα ιδιοδιανύσmicroατα v1 = (minus2 1 0)v2 =(minus2 0 1) (για την ιδιοτιmicroή 2) και v3 = (minus1minus1 1) (για την ιδιοτιmicroή 3) και τις διατε-ταγmicroένες ϐάσεις D = (v1 v2 v3) E = (v2 v3 v1) του R3 Τότε

AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2

Οι τρεις πίνακες AfBB AfDD AfEE είναι όmicroοιοι ανά Ϲεύγη Ο αναγνώστης καλείται

να ϐρει τους πίνακες microετάβασης


4 ΄Εστω ο πίνακας

A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2

Τότε PA(x) == (2 minus x)2(x2 + 1) Παρατηρούmicroε ότι η microοναδική ιδιοτιmicroή του Aστον R είναι το 2 ενώ στον C οι ιδιοτιmicroές του A είναι το 2 και το plusmni Εποmicroένωςο A δεν είναι διαγωνιοποιήσιmicroος στον R Εθετάζουmicroε στη συνέχεια αν ο A είναιδιαγωνιοποιήσιmicroος στον C

Για να ϐρούmicroε microία ϐάση για τον ιδιοχώρο V2(A) ϕέρνουmicroε τον πίνακα A minus 2I4 σεελαττωmicroένη κλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών

0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως

V2(A) = null(Aminus 2I4) = (x1 0 0 x4) x1 x4 isin C = S((1 0 0 0) (0 0 0 1))

Για να ϐρούmicroε τον ιδιοχώρο Vi(A) παρατηρούmicroε ότι microετά από στοιχειώδεις πράξειςγραmicromicroών η ελαττωmicroένη κλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών του Aminus iI4 είναι

1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα

Vi(A) = x3(0minus2 + i

5 1 0) t isin C = k(0minus2 + i 5 0) k isin C

Αντίστοιχα ϐρίσκουmicroε ότι ο ιδιοχώρος για την ιδιοτιmicroή minusi είναι

Vminusi(A) = t(0minus2minus i 5 0) t isin C

Ο A είναι διαγωνιοποιήσιmicroος στον C αφού τα ιδιοδιανύσmicroατα

(1 0 0 0) (0 0 0 1) (0minus2 + i 5 0) (0minus2minus i 5 0)

είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα και αποτελούν ϐάση για τον C4 Ο πίνακας A στον Cείναι όmicroοιος microε τον πίνακα

2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi

Παραθέτουmicroε το επόmicroενο ϑεώρηmicroα χωρίς απόδειξη τονίζουmicroε όmicroως ότι πρόκειται γιαένα από τα σηmicroαντικότερα ϑεωρήmicroατα της Γραmicromicroικής ΄Αλγεβρας Το ϑεώρηmicroα αυτό δείχνει


ότι microπορούmicroε να συνδυάσουmicroε γραmicromicroικά τις δυνάmicroεις του A για να προκύψει ο microηδενικόςπίνακας Για την απόδειξη παραπέmicroπουmicroε τον αναγνώστη στο σύγγραmicroα [2 Ενότητα 53]

Θεώρηmicroα 536 (Cayley-Hamilton) ΄Εστω ο πίνακας A isinMn(k) microε


το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο του A Τότε ο γραmicromicroικός συνδυασmicroός

(minus1)nAn + αnminus1Anminus1 + middot middot middot+ α1A+ α0In

είναι ο microηδενικός πίνακας δηλ PA(A) = 0

Στα επόmicroενα παραδείγmicroατα ϑα εξετάσουmicroε διαφορες εφαρmicroογές του Θεωρήmicroατος τωνCayley-Hamilton



A =

[1 10 2

]

Τότε PA(x) = x2 minus 3x+ 2 Παρατηρούmicroε ότι

A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0

διαπιστώνουmicroε λοιπόν την ισχύ του Θεωρήmicroατος των Cayley-Hamilton σε αυτό τοσυγκεκριmicroένο απλό παράδειγmicroα Παρατηρούmicroε επίσης ότι

A2 minus 3A+ 2I2 = 0rArr A2 minus 3A = minus2I2 rArr (Aminus 3I2)A = 2I2 rArr1

2(Aminus 3I2)A = I2 rArr Aminus1 =

1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0

Τότε PA(x) = minusx3 + 2xminus 1 και σύmicroφωνα microε το Θεώρηmicroα των Cayley-Hamilton

minusA3 + 2Aminus I3 = 0

Αφού ο σταθερός όρος του PA(x) είναι διάφορος του microηδενός ο A είναι αντιστρέψι-microος Θα υπολογίσουmicroε τον Aminus1 χρησιmicroοποιώντας την προηγούmicroενη σχέση microεταξύτων δυνάmicroεων του A

minus A3 + 2A minus I3 = 0 rArr minusA3 + 2A = I3 rArr A(minusA2 + 2I3) = I3

ΕποmicroένωςAminus1 = minusA2 + 2I3


3 ΄Εστω ότιPA(x) = (minus1)nxn + αnminus1x

nminus1 + middot middot middot+ α1x+ α0

Από το Θεώρηmicroα των Cayley-Hamilton έπεται ότι

PA(A) = 0rArr (minus1)nAn + αnminus1Anminus1 + middot middot middot+ α1A+ α0In = 0rArr

An = (minus1)n+1αnminus1Anminus1 + middot middot middot+ (minus1)n+1α1A+ (minus1)n+1α0In

Εποmicroένως ο An εκφράζεται ως γραmicromicroικός συνδυασmicroός των In A Anminus1 Πολλα-πλασιάζοντας τις δύο πλευρές της προηγούmicroενης ισότητας microε A και αντικαθιστώνταςτο An ϐλέπουmicroε ότι

An+1 = (α2nminus1 + αnminus1αnminus2)Anminus1 + middot middot middot+ αnminus1α0In

΄Αρα και ο An+1 εκφράζεται ως γραmicromicroικός συνδυασmicroός των In A Anminus1 Γε-νικότερα όλες οι δυνάmicroεις Am όπου m ge n microπορούν να γραφούν ως γραmicromicroικοίσυνδυασmicroοί των δυνάmicroεων In A Anminus1

Το ίδιο ισχύει και για το Aminus1 όταν ο A είναι αντιστρέψιmicroος Πράγmicroατι ο A είναιαντιστρέψιmicroος αν και microόνο αν α0 6= 0 Σε αυτήν την περίπτωση

(minus1)nAn + αnminus1Anminus1 + middot middot middot+ α1A = minusα0In

Βγάζοντας κοινό παράγοντα το A (από το αριστερό microέρος της ισότητας) ϐρίσκουmicroεότι

A((minus1)nAnminus1 + αnminus1A

nminus2 + middot middot middot+ α1In)

= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0

((minus1)nAnminus1 + αnminus1Anminus2 + middot middot middot+ α1In)


A =

0 0 ii 0 00 minus1 0

Το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο του πίνακα A είναι

det

minusx 0 ii minusx 00 minus1 minusx

= (minusx)(minusx)2 minus i middot i = minusx3 + 1

Σύmicroφωνα microε το ϑεώρηmicroα των Cayley-Hamilton

minusA3 + I3 = 0

και άρα A3 = I3 Αν m isin N τότε ο m microπορεί να γραφεί microοναδικά ως m = 3κ + rόπου r = 0 1 2 και κ isin N Εποmicroένως για m isin N έχουmicroε τις εξής περιπτώσεις

Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2

΄Ετσι οι διακεκριmicroένες δυνάmicroεις του πίνακα A είναι οι I3 AA2 Αφού A3 = I3

προκύπτει ότι A A2 = I3 άρα Aminus1 = A2


Ο πίνακας J isin Mk(C) λέγεται microπλοκ του Jordan (Jordan block) για το λ αν ο J έχειτην εξής microορφή

J =

λ 1 0 middot middot middot 0 00 λ 1 middot middot middot 0 00 0 λ middot middot middot 0 0

0 0 0 middot middot middot λ 10 0 0 middot middot middot 0 λ

΄Ενα σηmicroαντικό αποτέλεσmicroα αφορά την ταξινόmicroηση των πινάκων σε ανάλυση microπλοκ πινά-κων του Jordan Το αναφέρουmicroε στη συνέχεια χωρίς απόδειξη

Θεώρηmicroα 538 ΄Εστω ο πίνακας A isin Mn(C) microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο PA(x) =(xminusλ1)m1 middot middot middot (xminusλs)ms όπου λ1 λs isin C είναι οι διακεκριmicromicroένες ιδιοτιmicroές τουA ΄Εστωεπίσης ότι ni = dimCVλi(A) για i = 1 s Υπάρχει αντιστρέψιmicroος πίνακας P τέτοιοςώστε

Pminus1AP =

J1 0 middot middot middot 00 J2 middot middot middot 0

00 0 middot middot middot Jr

όπου για j = 1 r ο υποπίνακας Jj του J είναι microπλοκ του Jordan για κάποια από τιςιδιοτιmicroές του A Ισχύουν τα εξής για την ιδιοτιmicroή λi (i = 1 s)

i) Ο αριθmicroός των microπλοκ του Jordan για την λi είναι ίσος microε ni

ii) η λi εmicroφανίζεται ακριβώς mi ϕορές στη διαγώνιο των microπλοκ του Jordan για τη λi

Ο πίνακας Pminus1AP είναι microοναδικός και λέγεται η κανονική microορφή του Jordan (Jordancanonical form) για τον A

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα εφαρmicroόζουmicroε το Θεώρηmicroα 538 για έναν 3times 3 πίνακα

Παράδειγmicroα 539 ΄Εστω ότι PA(x) = (x minus 2)3 Τότε ο A είναι όmicroοιος microε ακριβώς έναναπό τους εξής πίνακες

J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2

Και στις τρεις περιπτώσεις η αλγεβρική πολλαπλότητα του 2 είναι ίση microε το 3 Ο πίνακαςA είναι διαγωνιοποιήσιmicroος microόνο όταν η κανονική microορφή του Jordan του A είναι ο J1όταν δηλ η γεωmicroετρική πολλαπλότητα του 2 είναι 3 Ο J1 αποτελείται από τρία microπλοκτου Jordan όλα 1 times 1 πίνακες ΄Οταν η γεωmicroετρική πολλαπλότητα του 2 είναι δύο τότεη κανονική microορφή του Jordan του A είναι ο J2 Ο J2 αποτελείται από δύο microπλοκ τουJordan το πρώτο είναι ένας 1 times 1 πίνακας το δεύτερο είναι ένας 2 times 2 πίνακας Τέλοςόταν η γεωmicroετρική πολλαπλότητα του 2 είναι ένα τότε η κανονική microορφή του Jordan τουA είναι ο J3 Ο J3 αποτελείται από ένα 3times 3 microπλοκ του Jordan

Παραπέmicroπουmicroε τον αναγνώστη στο σύγγραmicromicroα [6] για περισσότερα επί του ϑέmicroατοςαυτού

Ορθογώνιοι Πίνακες και Εσωτερικό Γινόmicroενο στον Rn 155


1 ΄Εστω η γραmicromicroική συνάρτηση φ R2 rarr R2 που περιστρέφει τα διανύσmicroατα αριστε-ϱόστροφα κατά γωνία π Είναι η φ διαγωνιοποιήσιmicroη

2 ΄Εστω η γραmicromicroική συνάρτηση φ R3 rarr R3 που αντικατοπτρίζει τα διανύσmicroατα ωςπρος το επίπεδο y = 0 Είναι η φ διαγωνιοποιήσιmicroη

3 Να υπολογίσετε για ποιές τιmicroές των a b διαγωνιοποιείται ο πίνακας[a 10 b

]isinM2(R)

4 Να εξετάσετε αν ο πίνακας

A =

2 1 00 1 minus10 2 4

είναι διαγωνιοποιήσιmicroος


A =

[1 iminusi 2

]είναι διαγωνιοποιήσιmicroος

6 ΄Εστω ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο του πίνακα A είναι το

x4 minus 2x3 + x+ 4

Να υπολογίσετε τον αριθmicroό των γραmicromicroών του A τη ϐαθmicroίδα rank(A) και να εκφρά-σετε τον Aminus1 ως γραmicromicroικό συνδυασmicroό δυνάmicroεων του A

7 Με εφαρmicroογή του Θεωρήmicroατος των Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τον αντίστροφοτου πίνακα

A =

1 minus2 2minus1 0 1

3 minus4 minus3

και να γράψετε τον A4 ως γραmicromicroικό συνδυασmicroό των πινάκων I3 AA

2

8 Να ϐρείτε τις κανονικές microορφές του Jordan που microπορεί να έχει ο πίνακας A isinM5(C) όταν PA(x) = (xminus 3)2(x+ 1)3

54 Ορθογώνιοι Πίνακες και Εσωτερικό Γινόmicroενο στονRn

Ο τετραγωνικός πίνακας A isinMn(R) λέγεται ορθογώνιος (orthogonal) αν

ATA = In ή ισοδύναmicroα αν Aminus1 = AT

Είναι ϕανερό ότιA είναι ορθογώνιος πίνακας αν και microόνο ανAT είναι ορθογώνιος πίνακαςϐλ ΄Ασκηση 542



1 Ο In είναι ορθογώνιος πίνακας

2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2

Ο αναγνώστης καλείται να επιβεβαιώσει ότι A AT = I3 και άρα ο A είναι ορθογώνιοςπίνακας και

Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2

3 ΄Εστω ο A isinMn(R) ορθογώνιος πίνακας Αφού AT A = In έπεται ότι

detAT A = det In = 1rArr detAT detA = 1rArr detA detA = 1

rArr detA = plusmn1

Μία σηmicroαντική ιδιότητα των ορθογώνιων πινάκων είναι ότι οι ιδιοτιmicroές τους microπορούννα πάρουν δύο microόνο τιmicroές τις plusmn1 ϐλ ΄Ασκηση 533 Για να microπορέσουmicroε όmicroως νααποδείξουmicroε το προηγούmicroενο ϑα χρειαστεί να αναπτύξουmicroε τη ϑεωρία του εσωτερικούγινοmicroένου στον Rn και να περιγράψουmicroε το γινόmicroενο ATA microε τη χρήση του εσωτερικούγινοmicroένου

Το σύνηθες εσωτερικό γινόmicroενο (standard inner product) στον Rn είναι η συνάρ-τηση

〈〉 Rn times Rn rarr R όπου

〈(α1 αn) (β1 βn)〉 = α1β1 + middot middot middot+ αnβn

Για παράδειγmicroα στον R2

〈(1 2) (3minus1)〉 = 1 middot 3 + 2 middot (minus1) = 1 〈(1 2) (1 2)〉 = 5

Οmicroοίως στον Rn για κάθε n isin N έχουmicroε ότι

〈 (α1 αn) (α1 αn) 〉 = α21 + middot middot middot+ α2

n

΄Εστω ότι v u w isin Rn κ λ isin R Είναι εύκολο να δούmicroε ότι ικανοποιούνται οι ιδιότητεςτου επόmicroενου πίνακα

Πίνακας 541 Ιδιότητες του εσωτερικού γινοmicroένου〈〉 Rn times Rn rarr R

i) 〈v v〉 ge 0 forallv isin Rn και 〈v v〉 = 0 αν και microόνο αν v = 0

ii) 〈v u〉 = 〈u v〉 forallv w isin Rn

iii) 〈κv + λw u〉 = κ〈v u〉+ λ〈w u〉 forallv w isin Rn forallκ λ isin R

iv) 〈v κu+ λw〉 = κ〈v u〉+ λ〈v w〉 forallv w isin Rn forallκ λ isin R

v) 〈v0〉 = 0 forallv isin Rn


Ως άmicroεση συνέπεια της πρώτης ιδιότητας του εσωτερικού γινοmicroένου προκύπτει ότι

αν 〈v w〉 = 0 για κάθε w isin Rn τότε v = 0 (5411)

Το microήκος (norm) του v συmicroβολίζεται v και είναι ίσο microεradic〈v v〉 Το διάνυσmicroα v

λέγεται κανονικό (normal) αν v = 1 Αν w isin Rn είναι microη microηδενικό διάνυσmicroα τότε οαναγνώστης microπορεί εύκολα να διαπιστώσει ότι το διάνυσmicroα

1

ww

είναι κανονικό και παράλληλο προς το w Η απόσταση (distance) δύο διανυσmicroάτωνv u isin Rn είναι το microήκος του διανύσmicroατος v minus u και συmicroβολίζεται d(v u) δηλ d(v u) =u minus v Μπορεί να αποδειχθεί η επόmicroενη ανισότητα που είναι γνωστή ως ανισότητατων Cauchy-Schwarz (Cauchy-Schwarz inequality)

minusuv le 〈u v〉 le uv ΄Ετσι ισχύει ότι

minus1 le 〈u v〉uv

le 1

Αναφέρουmicroε επίσης την τριγωνική ανισότητα (triangle inequality) που προκύπτει εύ-κολα από την ανισότητα των Cauchy-Schwarz

v + u le v+ u

Αν v u 6= 0 τότε γωνία (angle) των v και u ορίζεται η γωνία θ για την οποία 0 le θ le π και

cos θ =〈u v〉uv

Παράδειγmicroα 542 ΄Εστω v = (1 0 1) u = (minus1 1 0) Τότε u = u =radic

2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2

και άρα θ = π minus π

3=

2π

3

Σχήmicroα 55 Τα διανύσmicroατα u και v στον R3

Τα διανύσmicroατα uv δεν είναι κανονικά Τα διανύσmicroατα όmicroως

uprime =1radic2

(1 0 1) vprime =1radic2

(minus1 1 0)

είναι κανονικά και σχηmicroετίζουν την ίδια γωνία όπως τα u και v


∆ύο διανύσmicroατα v u λέγονται ορθογώνια (orthogonal) όταν

〈v u〉 = 0

Είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι όταν τα διανύσmicroατα v u είναι ορθογώνια τότε ισχύειτο παρακάτω συmicroπέρασmicroα γνωστό ως το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα ϐλ ΄Ασκηση 542

Αν u v isin Rn είναι ορθογώνια διανύσmicroατα τότε u+ v2 = u2 + v2

Αν D είναι διατεταγmicroένη ϐάση του Rn τότε η D λέγεται ορθογώνια ϐάση (orthogonalbasis) του Rn αν τα διανύσmicroατα της D είναι ανά δύο ορθογώνια Αν η D είναι ορθογώνιαϐάση του Rn και κάθε διάνυσmicroα της D είναι κανονικό τότε η D λέγεται ορθοκανονικήϐάση (orthonormal basis) του Rn

Παράδειγmicroα 543 Είναι ϕανερό ότι η κανονική ϐάση B = (e1 en) του Rn είναιορθοκανονική Πράγmicroατι e1 en είναι κανονικά αφού ei = 1 για i = 1 n και

〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j

δηλ ei ej είναι ανά δύο ορθογώνια για 1 le i lt j le n

΄Οταν ο V είναι διανυσmicroατικός υποχώρος του Rn γενικεύουmicroε τους προηγούmicroενουςορισmicroούς ΄Ετσι αν D είναι microία διατεταγmicroένη ϐάση του V τότε η D λέγεται ορθογώνιαϐάση (orthogonal basis) του V αν τα διανύσmicroατα της D είναι ανά δύο ορθογώνια και ηD λέγεται ορθοκανονική ϐάση (orthonormal basis) του V αν D είναι ορθογώνια ϐάσηκαι κάθε διάνυσmicroα της D είναι κανονικό Σηmicroειώνουmicroε την επόmicroενη παρατήρηση

Κάθε ορθογώνια ϐάση του V γίνεται ορθοκανονική αν κανονικοποιήσουmicroε(normalize) τα στοιχεία της δηλ αν διαιρέσουmicroε τα στοιχεία της ϐάσης microε το microήκοςτους


1 ΄Εστω v1 = (1 1) v2 = (1minus1) Αφού 〈v1 v2〉 = 0 και v1 v2 είναι γραmicromicroικά ανεξάρ-τητα έπεται ότι D = v1 v2 είναι ορθογώνια ϐάση του R2 Το microήκος και των δύοδιανυσmicroάτων της ϐάσης είναι v1 = v2 =

radic2 Η ϐάσηD δεν είναι ορθοκανονική

Κανονικοποιούmicroε ϑεωρώντας τα διανύσmicroατα w1 = 1radic

2(1 1) w2 = 1radic

2(1minus1)Το σύνολο w1 w2 είναι τώρα ορθοκανονική ϐάση του R2

2 ΄Εστω v1 = 1radic

3(1 1 1) v2 = 1radic

6(minus2 1 1) v3 = 1radic

2(0minus1 1) Είναι εύκολονα δούmicroε ότι τα προηγούmicroενα διανύσmicroατα είναι ανά δύο ορθογώνια Θα δείξουmicroεότι v1 v2 v3 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα Πράγmicroατι ο πίνακας

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2

είναι ορθογώνιος (Παράδειγmicroα 541) και εποmicroένως αντιστρέψιmicroος ΄Αρα τα v1 v2 v3

είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ϐλ Πρόταση 335 Επίσης v1 = v2 = v3 = 1΄Επεται ότι το σύνολο v1 v2 v3 είναι ορθοκανονική ϐάση του R3


3 ΄Εστω ο υποχώρος V του R3 που ορίζεται ως το σύνολο

V = (x y z) isin R3 x+ y minus z = 0

Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2

)είναι διατεταγmicroένη ϐάση για τον V αλλά

όχι ορθογώνια ϐάση για τον V Παρατηρούmicroε όmicroως ότι

w = (minus1 2 1) = minusv1 + 2v2 isin V

και ότι 〈v1 w〉 = 0 άρα v1 w είναι ορθογώνια ϐάση για τον V Εποmicroένως

1radic2v1

1radic6w

είναι ορθοκανονική ϐάση για τον V

Το επόmicroενο ϑεώρηmicroα δείχνει τη χρησιmicroότητα της εύρεσης ορθογώνιας ϐάσης

Θεώρηmicroα 545 ΄Εστω ότι V υποχώρος του Rn και ότι τα διανύσmicroατα v1 vt isin V είναιανά δύο ορθογώνια Τότε τα διανύσmicroατα v1 vt είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα και

v = κ1v1 + middot middot middot+ κtvt =rArr κi =〈v vi〉vi2

για i = 1 t

Απόδειξη ΄Εστω ότικ1v1 + middot middot middot+ κtvt = 0 (5451)

Θα δείξουmicroε ότι οι συντελεστές κ1 κt είναι 0 Θα πάρουmicroε το εσωτερικό γινόmicroενο microετο διάνυσmicroα v1 και των δύο πλευρών της έκφρασης (5451) Αφού

〈v1 κ1v1 + middot middot middot+ κtvt〉 = 〈v10〉 = 0

έπεται ότι〈v1 κ1v1〉+ middot middot middot+ 〈v1 κtvt〉 = 0

καικ1〈v1 v1〉+ middot middot middot+ κt〈v1 vt〉 = 0

άρακ11 + κ20 + middot middot middot+ κt0 = 0rArr κ1 = 0

Είναι ϕανερό ότι microπορούmicroε να επαναλάβουmicroε τα προηγούmicroενα παίρνοντας το εσωτε-ϱικό γινόmicroενο microε κάθε ένα από τα διανύσmicroατα v1 vt και να δείξουmicroε ότι κ1 = middot middot middot =κt = 0 Εποmicroένως τα τα διανύσmicroατα v1 vt είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα

΄Εστω τώρα v = κ1v1 + middot middot middot+κtvt Παίρνοντας το εσωτερικό γινόmicroενο microε το vi προκύπτειότι

〈v vi〉 = 〈κ1v1 + middot middot middot+ κtvt vi〉 = κi〈vi vi〉 =rArr κi =〈v vi〉〈vi vi〉

από όπου προκύπτει και το Ϲητούmicroενο

΄ΕστωB = (e1 en) η κανονική ϐάση τουRn Το γινόmicroενο των πινάκωνCB(u)TCB(v)είναι ένας 1 times 1 πίνακας microε microοναδικό στοιχείο το αποτέλεσmicroα του εσωτερικού γινοmicroένουτων u v δηλ

CB(u)TCB(v) = CB(v)TCB(u) = [〈v u〉]


Εξαιτίας αυτής της παρατήρησης και για συντοmicroογραφία γράφουmicroε

〈v u〉 = vTu

Γενικότερα αν A isinMn(R) και A =[CB(v1) CB(vn)

] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn

Προκύπτει λοιπόν το εξής κριτήριο

Πρόταση 546 Το σύνολο D = v1 vn sub Rn είναι ορθογώνια ϐάση του Rn αν καιmicroόνο αν ο ATA είναι διαγώνιος πίνακας όπου

A =[CB(v1) middot middot middot CB(vn)

]

Το σύνολοD είναι ορθοκανονική ϐάση του Rn αν και microόνο αν ATA = In δηλ αν και microόνοαν ο A είναι ορθογώνιος πίνακας

Η προηγούmicroενη πρόταση γενικεύεται ως εξής για το διανυσmicroατικό υποχώρο V του Rn

Πρόταση 547 ΄ΕστωB η κανονική ϐάση του Rn V ένας διανυσmicroατικός υποχώροςτου Rn microε dimRV = m ΄Ενα υποσύνολο D = v1 vm sub V είναι ορθογώνιαϐάση του V αν και microόνο αν ο ATA είναι διαγώνιος mtimesm πίνακας όπου

A =[CB(v1) CB(vm)

]

Το σύνολο D είναι ορθοκανονική ϐάση του Rn αν και microόνο αν ATA = Im δηλ ανκαι microόνο αν ο A είναι ορθογώνιος πίνακας

Είναι πλέον ϕανερό ότι αν οι στήλες του A είναι ορθοκανονική ϐάση του Rn τότε καιοι γραmicromicroές του A είναι ορθοκανονική ϐάση του Rn


1 Στο Παράδειγmicroα 541 είδαmicroε ότι ο

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2

είναι ορθογώνιος πίνακας Συνεπώς(

1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)

είναι δύο ορθοκανονικές ϐάσεις του R3


2 Στο Παράδειγmicroα 5443 είδαmicroε ότι(1radic2

(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)

)είναι ορθοκανονική ϐάση για το επίπεδο


΄Εστω B η κανονική ϐάση του R3 Ο πίνακας A της Πρότασης 547 είναι ο 3 times 2πίνακας

A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6

Ο αναγνώστης καλείται να διαπιστώσει ότι ATA = I2

Πως γενικεύονται τα προηγούmicroενα όταν ο V είναι ένας R-διανυσmicroατικός χώρος Αν Vείναι ένας R-διανυσmicroατικό χώρος τότε λέmicroε ότι ο V είναι Ευκλείδειος διανυσmicroατικόςχώρος (Euclidean vector space) αν microπορεί να ορισθεί ένα εσωτερικό γινόmicroενο (innerproduct) στον V δηλ microία συνάρτηση 〈〉 V times V rarr R για την οποία ισχύουν ιδιό-τητες αντίστοιχες microε αυτές του εσωτερικού γινοmicroένου που microελετήσαmicroε στον Rn και τουςυποχώρους του ϐλ Πίνακα 541 Στον επόmicroενο πίνακα έχουmicroε συγκεντρώσει αυτές τιςιδιότητες

Πίνακας 542 Ιδιότητες του εσωτερικού γινοmicroένου 〈〉 V times V rarr R

i) 〈v v〉 ge 0 forallv isin V και 〈v v〉 = 0 αν και microόνο αν v = 0

ii) 〈v u〉 = 〈u v〉 forallv w isin Viii) 〈κv + λw u〉 = κ〈v u〉+ λ〈w u〉 forallv w isin V forallκ λ isin R

iv) 〈v κu+ λw〉 = κ〈v u〉+ λ〈v w〉 forallv w isin V forallκ λ isin R

v) 〈v0〉 = 0 forallv isin V


1 Ο Rn microε το σύνηθες εσωτερικό γινόmicroενο

2 Το σύνολο V των συνεχών πραγmicroατικών συναρτήσεων microε πεδίο ορισmicroού το κλειστόδιάστηmicroα [a b] είναι Ευκλείδειος διανυσmicroατικός χώρος microε εσωτερικό γινόmicroενο

〈〉 V times V rarr R 〈f g〉 =

int b

a

f(t)g(t)dt

΄Ολα τα συmicroπεράσmicroατα αυτής της ενότητας επεκτείνονται microε το ϕυσικότερο τρόπο σεΕυκλείδειους διανυσmicroατικούς χώρους Παραπέmicroπουmicroε τον αναγνώστη στα συγγράmicromicroατατης ϐιβλιογραφίας για περισσότερες λεπτοmicroέρειες

Μπορούmicroε όmicroως γενικότερα να ορίσουmicroε το σύνηθες εσωτερικό γινόmicroενο στον Cn καιτην έννοια του εσωτερικού γινοmicroένου για τους C-διανυσmicroατικούς χώρους Το σύνηθεςεσωτερικό γινόmicroενο (standard inner product) στον Cn ορίζεται ως εξής



Λέmicroε ότι οC-διανυσmicroατικός χώρος V είναι Ερmicroητιανός διανυσmicroατικός χώρος (Hermitianvector space) αν σε αυτόν ορίζεται ένα εσωτερικό ή ερmicroητιανό γινόmicroενο (inner pro-duct) δηλ microία συνάρτηση 〈〉 V times V rarr C για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες τουεπόmicroενου πίνακα

Πίνακας 543 Ιδιότητες του Ερmicroητιανού εσωτερικού γινοmicroένου〈〉 V times V rarr C

i) 〈v v〉 isin R+ forallv isin V και 〈v v〉 = 0 αν και microόνο αν v = 0

ii) 〈v u〉 = 〈u v〉 forallv w isin V

iii) 〈κv + λw u〉 = κ〈v u〉+ λ〈w u〉 forallv w isin V forallκ λ isin R



΄Ενας πίνακας A isinMn(C) λέγεται ορθογώνιος (orthogonal) αν

A(AT ) = In

΄Οπως σε έναν Ευκλείδειο διανυσmicroατικό χώρο έτσι και σε έναν Ερmicroητιανό διανυσmicroατικόχώρο έχουmicroε τις έννοιες microίας ορθογώνιας και ορθοκανονικής ϐάσης Τονίζουmicroε ότι αν οA isin Mn(R) είναι ορθογώνιος στον R τότε είναι ορθογώνιος και στον C ΄Ετσι σύνολαπου είναι ορθογώνιες (ορθοκανονικές) ϐάσεις στον Rn είναι ορθογώνιες (ορθοκανονικές)ϐάσεις στον Cn Είναι όmicroως απαραίτητο για την ισχύ της ϑεωρίας microας να χρησιmicroοποιούmicroετους συζυγείς αναστρόφους πίνακες όταν δουλεύουmicroε microε microιγαδικούς αριθmicroούς

Παράδειγmicroα 5410 Ο αναγνώστης καλείται να επιβεβαιώσει ότι ο πίνακας

A =1radic2

[1 ii 1

]είναι ορθογώνιος και ότι οι στήλες του A δίνουν microία ορθοκανονική ϐάση του C2


1 ΄Εστω v = (1 2 3 4) Να ϐρείτε v 3v 15v d(u v)

2 Αν u v isin Rn είναι ορθογώνια τότε από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοmicroένου νααποδείξετε το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα δηλ ότι

u+ v2 = u2 + v2

3 Να αποδείξετε ότι τα v1 = (minus3 0 4) v2 = (4 0minus3) v3 = (0 5 0) δίνουν microίαορθογώνια ϐάση του R3

4 Αν A είναι ορθογώνιος πίνακας τότε να αποδείξετε ότι AT είναι ορθογώνιος πίνακας

5 Για τον πίνακα

A =

[1 55 1

]να ϐρείτε ένα διαγώνιο πίνακα D και ένα πίνακα P έτσι ώστε D = P TAP

Φασmicroατικό Θεώρηmicroα 163

6 Να διαγωνιοποιήσετε ορθογώνια τον πίνακα 1 0 00 3 20 2 6

7 ΄Εστω V ο χώρος των συνεχών πραγmicroατικών συναρτήσεων στο διάστηmicroα [minusπ π] microε

εσωτερικό γινόmicroενο


int π

minusπf(t)g(t)dt

Να αποδείξετε ότι τα στοιχεία του (άπειρου) συνόλου

1 cosx sinx cos(2x) sin(2x) cos(nx) sin(nx)

είναι ανά δύο ορθογώνια Να συmicroπεράνετε ότι dimR(V ) =infin

8 Να ϐρείτε ορθογώνιους πίνακες A1 isinM2(R) (αν υπάρχουν) τέτοιοι ώστε

A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]

9 Να ϐρείτε microία ορθογώνια ϐάση στον C3 που να περιέχει το διάνυσmicroα (1 0 i)

10 ΄Εστω ότι u1 un ϐάση για τον υποχώρο U του Rm και έστω ότι w isin RmΝα αποδείξετε ότι 〈w u〉 = 0 για κάθε u isin U αν και microόνο αν 〈w ui〉 = 0 γιαi = 1 n

11 ΄Εστω ότι h Rn rarr Rn είναι γραmicromicroική συνάρτηση Αν

〈h(v) w〉 = 0 για v w isin Rn

τότε h = 0Rn και h(v) = 0 για v isin Rn Να συmicroπεράνετε ότι αν g Rn rarr Rn είναιγραmicromicroική συνάρτηση και

〈g(v) w〉 = 〈v w〉 για v w isin Rn

τότε g = idRn και g(v) = v για v isin Rn

55 Φασmicroατικό Θεώρηmicroα

΄Εστω ότι φ Rn rarr Rn είναι microία γραmicromicroική συνάρτηση B είναι η κανονική ϐάση του Rnκαι A = AφBB Ορίζουmicroε την προσαρτηmicroένη γραmicromicroική συνάρτηση (adjoint linear map)του φ να είναι η γραmicromicroική συνάρτηση φlowast Rn rarr Rn microε πίνακα

Aφlowast

BB = AT


Παράδειγmicroα 551 ΄Εστω η γραmicromicroική συνάρτηση φ R2 rarr R2 φ(x y) = (x+2y 3xminusy)Αν B είναι η κανονική ϐάση του R2 τότε

AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1

]και φlowast R2 rarr R2 φlowast(x y) = (x+ 3y 2xminus y)

Μία σηmicroαντική ιδιότητα του εσωτερικού γινοmicroένου αφορά τις γραmicromicroικές συναρτήσειςκαι τις προσαρτηmicroένες συναρτήσεις

Θεώρηmicroα 552 ΄Εστω ότι φ Rn rarr Rn είναι γραmicromicroική συνάρτηση Τότε

〈φ(v) w〉 = 〈v φlowast(w)〉 για v w isin Rn

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότιφ(v)T w = vT φlowast(w)

και ισοδύναmicroα ότιCB(φ(v))T CB(w) = CB(v)T CB(φlowast(w))

Από την Πρόταση 414 έπεται ότι

CB(φ(v)) = A CB(v) και CB(φlowast(w)) = AT CB(w)

όπου A = AφBB ΄Αρα

(A CB(v))T CB(w) =(CB(v)TAT

)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)

)και το Ϲητούmicroενο αποδείχθηκε

Στη γλώσσα των πινάκων microπορούmicroε να διατυπώσουmicroε το Θεώρηmicroα 552 ως εξής

΄Εστω ότι A isinMn(R) και v isin Rn Τότε 〈Av v〉 = 〈v ATv〉

Είναι ϕανερό ότι (φlowast)lowast = φ ΄Αmicroεση λοιπόν συνέπεια του Θεωρήmicroατος 552 είναι τοεπόmicroενο πόρισmicroα

Πόρισmicroα 553 ΄Εστω ότι φ Rn rarr Rn είναι γραmicromicroική συνάρτηση Τότε

〈φlowast(v) w〉 = 〈v φ(w)〉 για v w isin Rn

Ειδικότερα〈φlowastφ(v) w〉 = 〈φ(v) φ(w)〉 για v w isin Rn

Στη συνέχεια εξετάζουmicroε υπό ποιες συνθήκες microία γραmicromicroική συνάρτηση φ Rn rarr Rn

έχει n ορθογώνια ιδιοδιανύσmicroατα ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει λέmicroε ότι η φ (και ο αντίστοι-χος πίνακας ως προς οποιαδήποτε ϐάση του Rn) είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroη(orthogonal diagonalizable) Τα n ορθογώνια ιδιοδιανύσmicroατα του Rn καθορίζουν ένα νέοσύστηmicroα συντεταγmicroένων που διευκολύνει τη microελέτη της συνάρτησης Από όσα έχουmicroεεξετάσει νωρίτερα και το Παράδειγmicroα 51611 προκύπτει το εξής συmicroπέρασmicroα


Πρόταση 554 ΄Ενας πίνακας A isinMn(R) είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος αν υπάρ-χει ορθογώνιος πίνακας P isinMn(R)έτσι ώστε

P TA P =

λ1 0

0 λn

Τα λ1 λn στην προηγούmicroενη έκφραση είναι οι ιδιοτιmicroές του A και είναι πραγmicroατικοίαριθmicroοί Οι στήλες του P αντιστοιχούν σε ιδιοδιανύσmicroατα του A

Ο A είναι λοιπόν ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος όταν υπάρχει microία ορθοκανονική ϐάσητου Rn που να αποτελείται από ιδιοδιανύσmicroατα του A Το επόmicroενο ϑεώρηmicroα δίνει microίαικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας πίνακας ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος Τοϑεώρηmicroα είναι γνωστό ως τοΦασmicroατικό ϑεώρηmicroα (Spectral Theorem) Για την αναλυτικήαπόδειξη του ϑεωρήmicroατος παραπέmicroπουmicroε στο σύγγραmicromicroα [2 Θεώρηmicroα 7218]

Θεώρηmicroα 555 (Φασmicroατικό Θεώρηmicroα) Ο πίνακας A isin Mn(R) είναι ορθογώνιαδιαγωνιοποιήσιmicroος αν και microόνο αν A = AT

Στη συνέχεια στο Θεώρηmicroα 556 ϑα αποδείξουmicroε microία ειδική περίπτωση του Φασmicroα-τικού Θεωρήmicroατος

Θεώρηmicroα 556 ΄Εστω ότι A isin M2(R) και A = AT Τότε ο A έχει δύο ορθογώνιαιδιοδιανύσmicroατα

Απόδειξη ΄Εστω ότι A isin M2(R) και A = AT Στο Παράδειγmicroα 51611 είδαmicroε ότι οιιδιοτιmicroές του A είναι πραγmicroατικοί αριθmicroοί ΄Εστω ότι λ1 είναι microία από τις ιδιοτιmicroές τουA και ότι X1 =

[a1 b1

]T είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή λ1 Θεωρούmicroε τονορθογώνιο πίνακα

P =

[a1 minusb1

b1 a1

]

Θα δείξουmicroε ότι X2 =[minusb1 11

]T είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A ΄Εστω v1 = (a1 b1) v2 =(minusb1 a1) και B η κανονική ϐάση του R2 ΄Ετσι X1 = CB(v1) X2 = CB(v2) Για ναδείξουmicroε ότι X2 είναι ιδιοδιάνυσmicroα του A αρκεί να δείξουmicroε ότι AX2 = tX2 για κάποιονπραγmicroατικό αριθmicroό t Θέτουmicroε Y = AX2

Αφού (v1 v2) είναι ϐάση του R2 υπάρχουν κ t isin R έτσι ώστε Y = κX1 + tX2 Οστόχος microας λοιπόν είναι να δείξουmicroε ότι κ = 0 Για να τον πετύχουmicroε ϑα υπολογίσουmicroετο γινόmicroενο Y TX1 = (AX2)T X1 Κάνοντας τις πράξεις ϐρίσκουmicroε ότι

(AX2)TX1 = XT2 (ATX1) = XT

2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0

Αντικαθιστώντας κX1 + tX2 στη ϑέση του AX2 ϐρίσκουmicroε ότι

(AX2)TX1 = (κX1 + tX2)TX1 = (κXT1 + tXT

2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)

Αφού XT1 X1 6= 0 και κ(XT

1 X1) = 0 έπεται ότι κ = 0 ΄Αρα AX2 = tX2 και το X2 είναιιδιοδιάνυσmicroα του A για την ιδιοτιmicroή t Εποmicroένως ο 2times 2 πίνακας A έχει δύο ορθογώνιαιδιοδιανύσmicroατα και είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος


΄Εστω ότιB είναι η κανονική ϐάση τουRn και έστω ότι φ Rn rarr Rn είναι microία γραmicromicroικήσυνάρτηση Παρατηρούmicroε ότι

AφBB = (AφBB)T αν και microόνο αν φ = φlowast

Η γραmicromicroική συνάρτηση φ Rn rarr Rn λέγεται αυτοπροσαρτηmicroένη (self-adjoint) αν φ =φlowast ενώ ο πίνακας A isin Mn(R) λέγεται αυτοπροσαρτηmicroένος αν A = AT Σύmicroφωνα microετο Θεώρηmicroα 555 η συνάρτηση φ Rn rarr Rn είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroη αν καιmicroόνο αν η φ είναι αυτοπροσαρτηmicroένη


1 Στο Παράδειγmicroα 5252 δείξαmicroε ότι η συνάρτηση


είναι διαγωνιοποιήσιmicroη και ότι

P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]

Τα ιδιοδιανύσmicroατα για τις ιδιοτιmicroές 1 και 3 της φ είναι ορθογώνια και φ = φlowast

2 Θεωρούmicroε τον πίνακα

A =

1 minus1 0minus1 2 minus1

0 minus1 1

Παρατηρούmicroε ότι A = AT Υπολογίζουmicroε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο του A

PA(x) =

∣∣∣∣∣∣1minus x minus1 0minus1 2minus x minus1

0 minus1 1minus x

∣∣∣∣∣∣ = (1minus x)[(2minus x)(1minus x)minus 1] + [minus(1minus x)]

rArr PA(x) = (1minus x)x(xminus 3)

Οι ϱίζες λ1 = 1 λ2 = 0 λ3 = 3 του PA(x) είναι οι ιδιοτιmicroές του A Υπολογίζουmicroετους ιδιοχώρους V1(A) V0(A) V3(A) του A

΄Εχουmicroε ότι

bull V1(A) = (minusκ 0 κ) κ isin R = S((minus1 0 1))bull V0(A) = (κ κ κ) κ isin R = S((1 1 1)) καιbull V3(A) = (κminus2κ κ) κ isin R = S((1minus2 1)

Επιλέγουmicroε ένα διάνυσmicroα από κάθε ιδιοχώρο και ϐρίσκουmicroε microία ϐάση του R3 Ανε1 = (minus1 0 1) ε2 = (1 1 1) ε3 = (1minus2 1) τότε (ε1 ε2 ε3) είναι ορθογώνια ϐάσητου R3 Για i = 1 3 διαιρούmicroε τα εi microε το microήκος τους και ϐρίσκουmicroε microίαορθοκανονική ϐάση του R3 από ιδιοδιανύσmicroατα του A(

1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6

είναι ορθογώνιος και

STA S =

1 0 00 0 00 0 3

3 ΄Εστω φ R3 rarr R3 φ(x y z) = (x 2y + 4z 4y + 3z) Ο πίνακας της φ ως προς την

κανονική ϐάση B του R3 είναι ο

A =

1 0 00 2 40 4 3

Αφού A = AT ο A είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος και η φ = φlowast είναι αυτοπρο-σαρτηmicroένη γραmicromicroική συνάρτηση Παρατηρούmicroε ότι

PA(x) = (1minus x)(x2 minus 5xminus 10)

και ότι οι ιδιοτιmicroές του A είναι οι

λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2

Η ελαττωmicroένη κλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών του Aminus I3 είναι ο πίνακας0 1 00 0 10 0 0

΄Επεται ότι V1(A) = t(1 0 0) t isin R και ότι v1 = (1 0 0) είναι ιδιοδιάνυσmicroα γιατην ιδιοτιmicroή 1

Στοιχειώδεις πράξεις γραmicromicroών ϕέρνουν τον πίνακα Aminus λ2I3 στη microορφή1 0 0

0 minus1 +radic

652 40 0 0

Ο πίνακας αυτός δεν είναι σε ελαττωmicroένη κλιmicroακωτή microορφή γραmicromicroών Παρόλααυτά microας δίνει όλες τις πληροφορίες που χρειαζόmicroαστε για να υπολογίσουmicroε τονιδιοχώρο Vλ2(A) Πράγmicroατι αν (x y z) isin Vλ2(A) τότε από τη πρώτη γραmicromicroή τουπίνακα αυτού προκύπτει ότι x = 0 ενώ από τη δεύτερη γραmicromicroή προκύπτει ότι

minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα

Vλ2(A) = t(0 1 1minusradic

65

8) t isin R = s(0 8 1minus

radic65) s isin R


και v2 = (0 8 1minusradic

65) είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή λ2 Οmicroοίως

Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R

και v3 = (0 8 1 +radic

65) είναι ιδιοδιάνυσmicroα για την ιδιοτιmicroή λ3 Το σύνολο

(v1 v2 v3)

είναι ορθογώνια ϐάση του R3 που αποτελείται από ιδιοδιανύσmicroατα του A Κανονι-κοποιούmicroε και ϐρίσκουmicroε microία ορθοκανονική ϐάση του R3

((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65

είναι ορθογώνιος και 1 0 0

0 λ2 00 0 λ3

= P TAP

Το Θεώρηmicroα 555 προσδιορίζει πότε ακριβώς ένας πίνακας microε στοιχεία πραγmicroατικούςαριθmicroούς είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος Θέτουmicroε το αντίστοχο ερώτηmicroα για πίνακεςmicroε στοιχεία microιγαδικούς αριθmicroούς

Αν A isin Mn(C) πότε έχει ο Cn microία ϐάση ορθογώνιων ιδιοδιανυσmicroάτων του A ΟA isin Mn(C) λέγεται ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος (orthogonal diagonalizable) ανυπάρχει ένας πίνακας P έτσι ώστε Pminus1 = (P T ) και

(P T )AP =

λ1 middot middot middot 0

0

λn

Οι στήλες του P είναι ιδιοδιανύσmicroατα του A και λ1 λn είναι τα ιδιοδιανύσmicroατα του AΟ A λέγεται αυτοπροσαρτηmicroένος ή Ερmicroητιανός (Hermitian) αν A = (AT ) Στο Παρά-δειγmicroα 51611 δείξαmicroε ότι αν A είναι αυτοπροσαρτηmicroένος τότε ο A έχει πραγmicroατικέςιδιοτιmicroές Μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει το αντίστοιχο του Θεωρήmicroατος 552 για τουςmicroιγαδικούς ntimes n πίνακες και το σύνηθες εσωτερικό γινόmicroενο στον Cn

Θεώρηmicroα 558 Αν A isinMn(C) και v isin Cn τότε 〈Av v〉 = 〈v ATv〉

΄Οπως στην απόδειξη του Φασmicroατικού Θεωρήmicroατος προκύπτει ότι αν ο A είναι αυτο-προσαρτηmicroένος τότε ο A είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος Το αντίστροφο όmicroως δενισχύει Υπάρχουν πίνακες στοMn(C) που είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroοι και πουδεν είναι αυτοπροσαρτηmicroένοι Ποια είναι η κοινή ιδιότητα αυτών των πινάκων ΄Εναςπίνακας A isinMn(C) λέγεται κανονικός (normal) αν ισχύει η ακόλουθη συνθήκη

A AT

= ATA


Είναι ϕανερό ότι αν A = (AT ) τότε ο A είναι κανονικός Μπορεί λοιπόν κανείς νααποδείξει την εξής σηmicroαντική πρόταση

Θεώρηmicroα 559 ΄Ενας πίνακαςA isinMn(C) είναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος ανκαι microόνο αν ο A είναι κανονικός Ειδκότερα αν A = (AT ) τότε ο A είναι ορθογώνιαδιαγωνιοποιήσιmicroος

Για την απόδειξη της προηγούmicroενης πρότασης παραπέmicroπουmicroε στο σύγγραmicromicroα [2Θεώρηmicroα 7311]

Παραδείγmicroατα 5510 Ο πίνακας

A =

1 1 00 1 11 0 1

είναι κανονικός και δεν είναι αυτοπροσαρτηmicroένος Στην ΄Ασκηση 557 ο αναγνώστηςκαλείται να διαγωνιοποιήσει ορθογώνια τον A

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι ιδιοτιmicroές ενός κανονικού πίνακα δεν είναι κατ΄ ανάγκη πραγmicroατικοίαριθmicroοί Παρατηρούmicroε όmicroως ότι οι ορθογώνιοι πίνακες είναι κανονικοί Επίσης οιιδιοτιmicroές ενός ορθογώνιου πίνακα έχουν microέτρο 1 ϐλ ΄Ασκηση 555 Ισχύει λοιπόν τοεπόmicroενο συmicroπέρασmicroα

Πόρισmicroα 5511 ΄Εστω ο A isin Mn(C) ένας ορθογώνιος n times n πίνακας Τότε ο Aείναι ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroος Οι ιδιοτιmicroές του A έχουν microέτρο 1


1 ΄Εστω φ R3 rarr R3 φ(x y z) = (x+ 2y x+ y+ z yminus x) Να ϐρεθεί ο τύπος της φlowast

2 ΄Εστω A isin Mmtimesn(R) Να αποδείξετε ότι null(A) = null(ATA) Να συmicroπεράνετε ότιrank(ATA) = rank(A)

3 ΄Εστω A isin Mn(R) ορθογώνιος πίνακας λ ιδιοτιmicroή του A και v ιδιοδιάνυσmicroα του Aγια την ιδιοτιmicroή λ Εξετάζοντας το εσωτερικό γινόmicroενο 〈AvAv〉 να αποδείξετε ότιλ = plusmn1

4 Να ϐρείτε έναν ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroο πίνακα A στονM3(R) microε πρώτη γραmicro-microή[1 2 3

] Να ϐρείτε τις ιδιοτιmicroές του A και ϐάσεις για τους ιδιοχώρους του

5 ΄Εστω A isinMn(C) ορθογώνιος πίνακας και λ microία ιδιοτιmicroή του A Να αποδείξετε ότιλ = 1 (Υπόδειξη ΄Ασκηση 3)

6 Να ϐρείτε έναν ορθογώνια διαγωνιοποιήσιmicroο πίνακα A στονM2(C) microε πρώτη γραmicro-microή[1 1 + 3i


7 Να διαγωνιοποιήσετε ορθογώνια τον

A =

1 1 00 1 11 0 1


56 Σύντοmicroα Ιστορικά Στοιχεία

Οι ιδιοτιmicroές εmicroφανίστηκαν για πρώτη ϕορά στη microελέτη των τετραγωνικών microορφών και τωνδιαφορικών εξισώσεων Η σηmicroασία της ύπαρξης των ιδιοδιανυσmicroάτων έγινε αντιληπτή τον18ο αιώνα από τους Euler και Lagrange Στις αρχές του 19ου αιώνα ο Cauchy αντιλή-ϕθηκε ότι τα αποτελέσmicroατά τους microπορούν να χρησιmicroοποιηθούν για την ταξινόmicroηση τωνκωνικών επιφανειών ενώ ο Fourier εφάρmicroοσε τις ιδέες τους στο ϐιβλίο του Αναλυτική Θεω-ϱία της Θερmicroότητας Ο όρος χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο οφείλεται στον Cauchy ο οποίοςκαι απέδειξε το Φασmicroατικό Θεώρηmicroα Ο Hermite εισήγαγε τους Ερmicroητιανούς πίνακες το1855 και στις αρχές του 20ου αιώνα ο Hilbert επέκτεινε τη ϑεωρία σε άπειρους πίνακεςΟ όρος eigenvectors οεφείλεται σε αυτόν Η κανονική microορφή του Jordan εmicroφανίστηκεστη δουλειά του Jordan το 1870

Βιβλιογραφία

1 H Anton C Rorres Elementary Linear Algebra Applications Version John Wileyand Sons 1994

2 Θ Θεοχάρη-Αποστολίδη Χ Χαραλάmicroπους Β Βαβατσούλας Εισαγωγή στη Γραmicromicroι-κή ΄Αλγεβρα Θεσσαλονίκη 2006

3 V Katz Ιστορία των Μαθηmicroατικών Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης 2013

4 K Nicholoson Elementary Linear Algebra McGraw-Hill 2001

5 Th Shiffrin and M RAdams Linear Algebra a Geometric Approach W H Free-man and Company 2002

6 S H Weintraub Jordan Canonical Form Theory and Practice Morgan amp ClaypoolPublishers 2009


2 Κάθε microη microηδενικό στοιχείο v του V είναι ιδιοδιάνυσmicroα για τη microηδενική (τετριmicromicroένη)συνάρτηση f V rarr V για την ιδιοτιmicroή 0 αφού f(v) = 0 Είναι ϕανερό ότι η microόνηιδιοτιmicroή της microηδενικής συνάρτησης είναι το 0

΄Εχοντας microελετήσει στο προηγούmicroενο κεφάλαιο τη στενή σχέση microεταξύ των γραmicromicroικώνσυναρτήσεων και των πινάκων δίνουmicroε στη συνέχεια τους αντίστοιχους ορισmicroούς για τουςτετραγωνικούς πίνακες

Ορισmicroός 513 Αν A isin Mn(k) τότε b =[b1 middot middot middot bn

]T isin Mntimes1(k) λέγεται ιδιοδιάνυ-σmicroα (eigenvector) του A για την ιδιοτιmicroή (eigenvalue) λ αν b 6= 0 και A b = λb δηλ

A

b1

bn

= λ

b1

bn

(5131)

Σύmicroφωνα microε το Θεώρηmicroα 4214 κάθε k-διανυσmicroατικός χώρος V διάστασης n εί-ναι ισόmicroορφος microε τον kn Για να απλοποιήσουmicroε λοιπόν τους συmicroβολισmicroούς microας ϑαπεριοριστούmicroε στην περίπτωση που V = kn Σηmicroειώνουmicroε την επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 514 ΄Εστω φ kn rarr kn microία γραmicromicroική συνάρτηση D microία διατεταγmicroένηϐάση του kn Το v isin kn είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φ για την ιδιοτιmicroή λ αν και microόνο αν οCD(v) είναι ιδιοδιάνυσmicroα του πίνακα AφDD για την ιδιοτιmicroή λ Ειδικότερα αν B είναιη κανονική ϐάση του kn τότε το (b1 bn) είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φ αν και microόνο αν

το b =[b1 middot middot middot bn

]Tείναι ιδιοδιάνυσmicroα του AφBB

Απόδειξη ΄Εστω ότι το v είναι ιδιοδιάνυσmicroα της φ για την ιδιοτιmicroή λ δηλ φ(v) = λv Τότεv 6= 0 άρα CD(v) 6= 0 Είναι ϕανερό ότι CD(λv) = λ CD(v) Από την Πρόταση 414έχουmicroε ότι

AφDD CD(v) = CD(φ(v)) = CD(λv) = λ CD(v)

΄Αρα το CD(v) είναι ιδιοδιάνυσmicroα του AφDD Το αντίστροφο προκύπτει microε τον ίδιο ακριβώςτρόπο

Για το τελευταίο συmicroπέρασmicroα της πρότασης σηmicroειώνουmicroε ότι αν B είναι η κανονικήϐάση του kn και v = (b1 bn) τότε CB(v) =

[b1 middot middot middot bn

]T Στα επόmicroενο παραδείγmicroατα ϑα δούmicroε πως ϐρίσκουmicroε τα ιδιοδιανύσmicroατα και τις ιδιο-

τιmicroές χρησιmicroοποιώντας την παρατήρηση αυτή και τη γεωmicroετρική εποπτεία για το πραγ-microατικό επίπεδο και τον πραγmicroατικό τρισδιάστατο χώρο


1 Ο microοναδιαίος πίνακας In έχει την ιδιοτιmicroή 1 microε ιδιοδιάνυσmicroα κάθε v 6= 0 isin knΣηmicroειώνουmicroε ότι ο In είναι ο πίνακας της ταυτοτικής συνάρτησης idkn kn rarr knid(v) = v ως προς την κανονική ϐάση

2 Ο microηδενικός ntimes n πίνακας

0 =



έχει την ιδιοτιmicroή 0 microε ιδιοδιάνυσmicroα κάθε v 6= 0 isin kn Σηmicroειώνουmicroε ότι ο 0 είναι οπίνακας της microηδενικής συνάρτησης kn rarr kn v 7rarr 0 ως προς οποιαδήποτε ϐάση



v

π4

f(v)

0


΄Εστω

A = AfBB =

radic2

2

[1 minus11 1

]



x

y

L

(1m)

(minusm 1)

0





CD(f(v1)) =

[10

]και CD(f(v2)) =

[00

]


΄Αρα

AfDD =

[1 00 0

]


S = SBlarrD =

[1 minusmm 1

]

Τότε


1

1 +m2

[1 mm m2

]

Αφού

AfBB

[ab

]=

1

1 +m2

[a+mbma+m2b

]


1

1 +m2(a+mbma+m2b)


x

yL

v1v2

0



AfDD =

[1 00 minus1

]


S =

[1 minusmm 1

]και


1 +m2

[1minusm2 2m

2m m2 minus 1

]

Αφού

AfBb

[ab

]=

1

1 +m2


]


f(a b) =1
















AφBB =

[2 14 2


φ(1minus2) = (0 0) = 0(1minus2)


φ(1 2) = (4 8) = 4(1 2)


AφDD =

[0 00 4

]

και


[1 1minus2 2

]






A = AφBB =

[2 00 3


V2(φ) = S(e1) και V3(φ) = S(e2)


AφBB =

3 0 00 3 00 0 1


V3(φ) = S(e1 e2) V1(φ) = S(e3)



]Tuarr

i-ϑέση


AfDD =

λ1 0

0 λn


AfDD =

λ1 O

O λn










A =

[0 minus21 3

]



2(3xminusy 2x)




A =

[i 10 1 + i

]



A =

[0 iminusi 1

]









(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)











A =

[i 00 2i









1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













v

π4

f(v)

0


΄Εστω

A = AfBB =

radic2

2

[1 minus11 1

]



x

y

L

(1m)

(minusm 1)

0





CD(f(v1)) =

[10

]και CD(f(v2)) =

[00

]


΄Αρα

AfDD =

[1 00 0

]


S = SBlarrD =

[1 minusmm 1

]

Τότε


1

1 +m2

[1 mm m2

]

Αφού

AfBB

[ab

]=

1

1 +m2

[a+mbma+m2b

]


1

1 +m2(a+mbma+m2b)


x

yL

v1v2

0



AfDD =

[1 00 minus1

]


S =

[1 minusmm 1

]και


1 +m2

[1minusm2 2m

2m m2 minus 1

]

Αφού

AfBb

[ab

]=

1

1 +m2


]


f(a b) =1
















AφBB =

[2 14 2


φ(1minus2) = (0 0) = 0(1minus2)


φ(1 2) = (4 8) = 4(1 2)


AφDD =

[0 00 4

]

και


[1 1minus2 2

]






A = AφBB =

[2 00 3


V2(φ) = S(e1) και V3(φ) = S(e2)


AφBB =

3 0 00 3 00 0 1


V3(φ) = S(e1 e2) V1(φ) = S(e3)



]Tuarr

i-ϑέση


AfDD =

λ1 0

0 λn


AfDD =

λ1 O

O λn










A =

[0 minus21 3

]



2(3xminusy 2x)




A =

[i 10 1 + i

]



A =

[0 iminusi 1

]









(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)











A =

[i 00 2i









1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1












΄Αρα

AfDD =

[1 00 0

]


S = SBlarrD =

[1 minusmm 1

]

Τότε


1

1 +m2

[1 mm m2

]

Αφού

AfBB

[ab

]=

1

1 +m2

[a+mbma+m2b

]


1

1 +m2(a+mbma+m2b)


x

yL

v1v2

0



AfDD =

[1 00 minus1

]


S =

[1 minusmm 1

]και


1 +m2

[1minusm2 2m

2m m2 minus 1

]

Αφού

AfBb

[ab

]=

1

1 +m2


]


f(a b) =1
















AφBB =

[2 14 2


φ(1minus2) = (0 0) = 0(1minus2)


φ(1 2) = (4 8) = 4(1 2)


AφDD =

[0 00 4

]

και


[1 1minus2 2

]






A = AφBB =

[2 00 3


V2(φ) = S(e1) και V3(φ) = S(e2)


AφBB =

3 0 00 3 00 0 1


V3(φ) = S(e1 e2) V1(φ) = S(e3)



]Tuarr

i-ϑέση


AfDD =

λ1 0

0 λn


AfDD =

λ1 O

O λn










A =

[0 minus21 3

]



2(3xminusy 2x)




A =

[i 10 1 + i

]



A =

[0 iminusi 1

]









(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)











A =

[i 00 2i









1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1

























AφBB =

[2 14 2


φ(1minus2) = (0 0) = 0(1minus2)


φ(1 2) = (4 8) = 4(1 2)


AφDD =

[0 00 4

]

και


[1 1minus2 2

]






A = AφBB =

[2 00 3


V2(φ) = S(e1) και V3(φ) = S(e2)


AφBB =

3 0 00 3 00 0 1


V3(φ) = S(e1 e2) V1(φ) = S(e3)



]Tuarr

i-ϑέση


AfDD =

λ1 0

0 λn


AfDD =

λ1 O

O λn










A =

[0 minus21 3

]



2(3xminusy 2x)




A =

[i 10 1 + i

]



A =

[0 iminusi 1

]









(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)











A =

[i 00 2i









1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1















A = AφBB =

[2 00 3


V2(φ) = S(e1) και V3(φ) = S(e2)


AφBB =

3 0 00 3 00 0 1


V3(φ) = S(e1 e2) V1(φ) = S(e3)



]Tuarr

i-ϑέση


AfDD =

λ1 0

0 λn


AfDD =

λ1 O

O λn










A =

[0 minus21 3

]



2(3xminusy 2x)




A =

[i 10 1 + i

]



A =

[0 iminusi 1

]









(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)











A =

[i 00 2i









1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1



















A =

[0 minus21 3

]



2(3xminusy 2x)




A =

[i 10 1 + i

]



A =

[0 iminusi 1

]









(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)











A =

[i 00 2i









1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1


















(Ab)T b = (λb)T b = λ(bT b) (5161)











A =

[i 00 2i









1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1
















1 Ο πίνακας

A =

[1 minus11 1

]isinM2(R)



([1minus λ minus1

1 1minus λ

])= (1minus λ)2 + 1 = λ2 minus 2λ+ 2











dimkVλ(φ) ge 1










(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1




















(αʹ)[1 23 2

]


]

(γʹ)[

1 iminusi 1

]











Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













Aminus xIn =













1 ΄Εστω

A =

[1 20 i

]

Τότε

Aminus xI2 =

[1minus x 2

0 iminus x




2 ΄Εστω

A =

1 0 20 2 30 2 3


Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1












Τότε

Aminus xI3 =


























A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1





















A =




2 = detA = 2λ1λ2 2 = TrA = 2 + λ1 + λ2


1 = minus1





B = Sminus1A S











]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1

















]


det(Aminus xIn)


PA(x) = 0







A =

[1 20 i

]





[0 20 iminus 1

]= null

[0 10 0

]= t(1 0) t isin C

ενώ


[1minus i 2

0 0

]= null

[1 1 + i0 0




AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













AφDD =

[1 00 i

]





A =

[2 11 2

]


Pφ(x) = det

[2minus x 1

1 2minus x



1 11 1

]minusrarr

[1 10 0

]





minus1 11 minus1

]minusrarr

[1 minus10 0

]


όπου u = (1 1)


1 00 3

]



A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













A =

[1 11 0

]isinM2(R)



(xminus 1 +

radic5

2

)(xminus 1minus

radic5

2

)


5

2και λ2 =

1minusradic

5

2


1 minus1minusradic

52

0 0

]και άρα

Vλ1(A) = (1 +radic

5

2x2 x2) x2 isin R = S((1 +

radic5

2 1))

= S((1 +radic

5 2))



5

2 1)) = S((1minus

radic5 2))


]

4 Ο πίνακας

A =

[0 minus11 0

]isinM2(R)


PA(x) =


∣∣∣∣ = x2 + 1


Vi(A) = (ix2 x2) x2 isin C = S((i 1))




A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













A =

1 0 20 2 30 2 3



1 0 20 2 30 2 3

= null

1 0 20 1 3

2

0 0 0

Εποmicroένως


2 1) t isin R

Επίσης


0 0 20 1 30 2 2

= null

0 1 00 0 10 0 0


Τέλος



= null

1 0 minus12

0 1 minus10 0 0

και

V5(A) = t(1

2 1 1) t isin R


v1 = (minus2minus3

2 1) v2 = (1 0 0) v3 = (

1

2 1 1)


AφDD =

0 0 00 1 00 0 5


6 ΄Εστω

A =


isinM3(R)


PA(x) =






λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1














λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 3




2 1 1))



ε1 = (0 1 0) ε2 = (minus1

2 1 1) ε3 = (minus1 1 1)


E =

1 0 00 2 00 0 3


όπου

S = SBlarrD =

0 minus12 minus11 1 10 1 1














A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1
















A =

4 0 0 0 00 4 1 0 00 0 4 5 00 0 0 0 5




A =




A =

2 1 00 1 minus10 2 4

isinM3(R)



A =

1 1 2 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 30 0 0 3 1







AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1

















AφD1D1=

[1 00 i

] ενώ AφD2D2

=

[i 00 1

]


AφD1D1=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

ενώ AφD2D2=

λ3 0 00 λ1 00 0 λ2





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1





























είναι ο

A =

4 0 00 4 00 0 4


2 ΄Εστω

A =

4 0 10 4 00 0 4


Aminus 4I3 =

0 0 10 0 00 0 0




A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













A = AfBB =






Aminus 2I3 =


minusrarr 1 2 2

0 0 00 0 0





Aminus 3I3 =


minusrarr 1 0 1

0 1 10 0 0






AfDD =

2 0 00 2 00 0 3

ενώ AfEE =

2 0 00 3 00 0 2





A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













A =

2 0 0 00 minus2 1 00 minus5 2 00 0 0 2



0 0 0 00 minus4 1 00 minus5 0 00 0 0 0

minusrarr

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Εποmicroένως



1 0 0 00 1 2minusi

50

0 0 0 10 0 0 0

και άρα








2 0 0 00 2 0 00 0 i 00 0 0 minusi












A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1





















A =

[1 10 2

]


A2 minus 3A+ 2I2 =

[1 30 4

]minus 3

[1 10 2

]+

[2 00 2

]=

[0 00 0

]= 0




1

2(Aminus 3I2)


A =

1 0 20 minus1 10 1 0




















= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1

























= minusα0In

δηλ

Aminus1 = minus 1

α0



A =

0 0 ii 0 00 minus1 0


det




minusA3 + I3 = 0


Am =

A3κ = (A3)κ = I κ3 = I3

A3κ+1 = (A3)κA = A

A3κ+2 = (A3)κA2 = A2





J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













J =





Pminus1AP =









J1 =

2 0 00 2 00 0 2

J2 =

2 0 00 2 10 0 2

J3 =

2 1 00 2 10 0 2








]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1
















]isinM2(R)


A =

2 1 00 1 minus10 2 4



A =

[1 iminusi 2



x4 minus 2x3 + x+ 4



A =


3 minus4 minus3


2









2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1














2 ΄Εστω

A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


Aminus1 = AT =

1radic

3 1radic

3 1radic

3

minus2radic

6 1radic

6 1radic

6

0 minus1radic

2 1radic

2



rArr detA = plusmn1









n













1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1
















1

ww




le 1


v + u le v+ u


cos θ =〈u v〉uv


2 καιd(u v) =

radic6

cos θ =〈v u〉vu

=minus1radic2radic

2= minus1

2


3=

2π

3



uprime =1radic2


(minus1 1 0)




〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













〈v u〉 = 0





〈ei ej〉 =

0 για i 6= j

1 για i = j








2(1 1) w2 = 1radic



3(1 1 1) v2 = 1radic



A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2






Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1














Αν v1 = (1 0 1) v2 = (0 1 1) τότε(v1 v2





1radic2v1

1radic6w





για i = 1 t















〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













〈v u〉 = vTu


] τότε

AT A =

vT1 v1 vT1 vn

vTn v1 vTn vn




]




A =[CB(v1) CB(vm)

]





A =

1radic

3 minus2radic

6 0

1radic

3 1radic

6 minus1radic

2

1radic

3 1radic

6 1radic

2


1radic3

(1 1 1)1radic6

(minus2 1 1)1radic2

(0minus1 1)

)και (

(1radic3

2radic6 0) (

1radic3

1radic6minus 1radic

2) (

1radic3

1radic6

1radic2

)

)




(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













(1 0 1)1radic6

(minus1 2 1)




A =

1radic

2 minus1radic

6

0 2radic

6

1radic

2 1radic

6












int b

a

f(t)g(t)dt













A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1




















A(AT ) = In



A =1radic2

[1 ii 1





u+ v2 = u2 + v2




A =

[1 55 1







int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1
















int π

minusπf(t)g(t)dt





A1 =

[12 12b d

] A2 =

[14 ab d

]










Aφlowast

BB = AT



AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













AφBB =

[1 23 minus1

]

Εποmicroένως

Aφlowast

BB =

[1 32 minus1











)CB(w) = CB(v)T

(ATCB(w)












P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1













P TA P =

λ1 0

0 λn







[a1 b1


P =

[a1 minusb1

b1 a1

]





2 (AX1) = XT2 (λ1X1) = λ1(XT

2 X1) = 0



2 )X1

= κ(XT1 X1) + t(XT

2 X1) = κ(XT1 X1) + t0 = κ(XT

1 X1)











P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1



















P T AφbB P =

[1 00 3

]

όπου

P =1radic2

[minus1 1

1 1

]



A =


0 minus1 1


PA(x) =


0 minus1 1minus x







1radic2

(minus1 0 1)1radic3

(1 1 1)1radic6

(1minus2 1)

)


Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1












Ο πίνακας

S =

minus1radic

2 1radic

3 1radic

6

0 1radic

3 minus2radic

6

1radic

2 1radic

3 1radic

6


STA S =

1 0 00 0 00 0 3



A =

1 0 00 2 40 4 3




λ1 = 1 λ2 =5 +radic

65

2 λ3 =

5minusradic

65

2




0 minus1 +radic

652 40 0 0


minus1 +radic

65

2y + 4z = 0rArr z =

1minusradic

65

8y

΄Αρα


65


radic65) s isin R




Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1














Vλ3(A) = t(0 8 1 +radic

65) t isin R



(v1 v2 v3)


((1 0 0)1radic

130minus 2radic

65(0 8 1minus

radic65)

1radic130 + 2

radic65

(0 8 1 +radic

65))

Ο πίνακας

P =

1 0 00 8radic

130minus2radic

65

8radic130+2

radic65

0 1minusradic

65radic130minus2

radic65

) 1+radic

65radic130+2

radic65


0 λ2 00 0 λ3

= P TAP



(P T )AP =


0

λn




A AT

= ATA






A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1
















A =

1 1 00 1 11 0 1














A =

1 1 00 1 11 0 1











Κεφάλαιο5 Ιδιοτιµές,Ιδιοδιανύσµατα · Κεφάλαιο5...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο5 Ιδιοτιµές,Ιδιοδιανύσµατα · Κεφάλαιο5...