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Scheibenelemente

18.12.2016 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton I 1

Scheiben – Gleichgewicht


Gleichgewichtsbedingungen

Gleichgewicht in Richtungen x, z:

resp. in Membrankräften

(𝜎, τ konstant über Scheibendicke h):

mit (Momentenbedingung My = 0):

resp.

Positive Spannungen wirken an Elementen mit positiver

äusserer Normalenrichtung in positiver Achsenrichtung

Positive Membrankräfte entsprechen positiven Spannungen

Indizes: 1-Richtung, 2-Normalenrichtung

zx xz

0

0

x xzx

zx zz

qx z

qx z

0

0

x xzx

zx zz

x x z z xz xz

n nh q

x z

n nh q

x z

n h n h n h

zx xzn n

,( )zx zx xdx dz

,( )x x xdx dz

,( )xz xz zdz dx

,( )z z zdz dx

xdz

zxdz

xzdxzdx

dx

dzxq dxdz

zq dxdz

x

z

Scheiben – Spannungstransformation


Spannungstransformation: Mohrscher Kreis

2 2

2 2

2 2

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

( )sin cos (cos sin )

n x z xz

t x z xz

nt z x xz

sinz

x

coszx

cosx

t

n

tn 1

z

cosz cosxz

t

1

ntsinzx sinx

n

x

t

z

n

sinxz

T

3

212

1

X

Z 1 (Pol)Q

N

( )




cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x z x zn xz

x z x zt xz

x ztn xz

2 2cos2 cos sin

sin 2 2sin cos

2 21 sin cos

T

3

212

1

X

Z 1 (Pol)Q

N

( )sinz

x

coszx

cosx

t

n

tn 1

z

cosz cosxz

t

1

ntsinzx sinx

n

x

t

z

n

sinxz




T

3

212

1

X

Z 1 (Pol)Q

N

( )

Mittelpunkt / Radius Mohrscher Kreis

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x z x zn xz

x z x zt xz

x ztn xz

1

1

2 2

1,3

210 tan

2

4

2 2

xznt tn

x z

x z xzx z

sinz

x

coszx

cosx

t

n

tn 1

z

cosz cosxz

t

1

ntsinzx sinx

n

x

t

z

n

sinxz

a x

13

3c

nx

nzx

nxznz

a x

13

3c1

h

x

zx

xzz

z

z

Scheiben – Gleichgewicht


Gleichgewicht («Stahlbeton = Beton + Bewehrung»)

Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

• Beton homogen und isotrop, nimmt Druckspannungen ≤ fc in beliebige Richtung aufaber keine Zugspannungen

• Bewehrung nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf, bis maximal zum Betrag fs und ist so verteilt und verankert, dass mit äquivalenten Spannungen gerechnet werden kann

• Starrer Verbund zwischen Beton und Bewehrung

In Membrankräften:

In äquivalenten Spannungen:

(Bewehrungsgehalte rx asx /h, rz asz /h)

xs sx sx

zs sz s

xc xc

zc

x x z z

z

x

xc

xzc

x

z

xz xz

zs xz zcx

n n a

nn

n

n n

n n

n n

n h n h n h

a

n

xc

zc

x

x sx

z

z

sz

x

z

cxz

r

r

Spannungenim Beton

rxsx

rz sz

a

äussereBeanspruchung

a aF

aF

1 3

a x

13

3cx

zx

xzz

Gleichgewicht («Stahlbeton = Beton + Bewehrung»)

Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

Darstellung mit Mohrschen Kreisen (bei orthogonaler Bewehrung einfach, da xzs 0):

a: Hauptdruckrichtung im Beton

Scheibenelemente – Gleichgewicht


x, z: Richtungen der Bewehrung, Verhalten

nicht isotrop (auch nicht für asx = asz)!

2

32

3

3

cos

sin

sin cos

x sx x sx

z sz z sz

c

c

c

xc

zc

x

xz zc

z

x

r r

r r

a

a

a

a

Tresca

- Hauptspannungsebene: Sechseck

- Raum: zwei elliptische Kegel und verbindender elliptischer Zylinder

v. Mises

- Hauptspannungsebene: dem Tresca-Sechseck umschriebene Ellipse

- Raum: Der Fliessbedingung von Tresca umschriebenes Ellipsoid

Scheibenelemente– Fliessbedingungen


Fliessbedingungen von Tresca und v. Mises für ebenen Spannungszustand(für Stahlbeton nicht geeignet, auch nicht bei «isotroper Bewehrung»!)

1 3 1 3( , , ) 0sMax f

2 2 2 23 0x x z z xz sf

Tresc

avon Mises

x

3

1

x

xz

zxz

z

sf sf

sf

sf

1

sf sf

2sf

xz

Trescasf

sf

x

z3

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)


Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung

(1) Beton allein

Aplastischer Bereich Yc < 0, begrenzt durch FliessgrenzeYc = 0 (besteht aus zwei Parabeln)

Plastische Verzerrungsinkremente sindorthogonal zur Fliessgrenze, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz, allgemein )

,2 2 2

,2 2 2

02 2

2

m cc c yc c

c

m cc c yc c

c

cc yc c

c

m c c c

c c

Nh hN bf M N

bf

Nh hN bf M N

bf

NhY M N

bf

N Y Nh

bf Y

Druckzone oben:

Druckzone unten:

Fliessfunktion:

Fliessgesetz:ycM

Y grad

h/21

EO

cE

cfAB

D

C

c

c

sA

b

h

sA

Nx

yz

m 2 c

h N

bf

cf

2cbh f

0cY

0cY

m

cbhf

2 8cbh f

2 8cbh f

N

M



Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, As A’s

(2) Bewehrung allein

Aplastischer Bereich Ys < 0 ist ein bei zwei Bewehrungslagen ein Parallelogramm (bei symmetrischer Bewehrung As = A’sRhombus), das durch die den beiden Bewehrungslagen entsprechenden Vektoren aufgespannt wird

Kombination der beiden Bewehrungslagen grafisch durch geometrische Linearkombination

(siehe Kombination von Beton und Bewehrung)

Eckpunkte: beide Bewehrungen fliessen, Seiten: eine Bewehrung fliesst

Plastische Verzerrungsinkremente sind orthogonal zur Fliessgrenze Ys = 0, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz)

h/2

1

,2

s s s s

hA f A f

,2

s s s s

hA f A f

s sA f h

2 s sA f2 s sA f

s sA f h

CO

yfFG

I

H s

D

sE

BA

s

yfJ

E

M

sA

b

h

sA

Nx

yz

m 2 c

h N

bf

0cY

m

M

N

0cY cf



Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, As A’s

(3) Stahlbeton = Beton + Bewehrung

Fliessfigur des Stahlbetons durch geometrische

Linearkombination der Fliessgrenzen Yc = 0 und Ys = 0

Vorgehen: Fliessgrenze (Yc = 0) rein translatorisch mit ihrem

Ursprung entlang Fliessgrenze (Ys = 0) bewegen

(oder umgekehrt Ys = 0 entlang Yc = 0)

Resultierender Bereich Y < 0 entspricht dem aplastischen Bereich

des Stahlbetonquerschnitts, mindestens schwach konvex,

Fliessgesetz (Orthogonalität der plastischen

Verzerrungsinkremente bezüglich Fliessgrenze) gilt weiterhin

Entlang gerader Stücke der Fliessgrenze bleibt eine Bewehrung

elastisch (starr)

Vorgehen auf beliebige Bauteile und Beanspruchungen

übertragbar

h/21

h/21

mD

C0Y

M

N

C

AO

H

G

F

E

sz sza f

sz sza fxsn

zsn

sx sxa f sx sxa f

xzsn

s s sf f 2ch f

2

xzc c xc c zcn hf n hf n

2

xzc xc zcn n n

xzcn

chf

xcn

chf

zcn

0c cf

Scheibenelemente – Fliessbedingungen


Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheiben

(«Stahlbeton = Beton + Bewehrung»):

Scheibendicke h

Beton und Stahl ideal plastisch, starrer Verbund

Bezeichnungen fc und fy (Zug) resp. fy’ (Druck) bei

Bemessung ersetzen durch fc kc fcd und fy - fy’ fsd

Fliessbedingung Bewehrung: Fliessbedingung Beton:

(nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf) (homogen, isotrop, mit fct = 0)

nx

nzx

nxznz

a xc

xc

z

xs

sx s

zs

sz sz

x

z c

x

xz

c

c

x

xz

nn

n na

n

nn

a

n

n

n

x

13

3c

constxzn zn

xn

xzn

sz sza f

sz sza fxsn

zsn

sx sxa f sx sxa f

xzsn

s s sf f 2ch fxzcn

chf

xcn

chf

zcn



Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheiben

Geometr. Linearkombination Beton + Bewehrung

nx

nzx

nxznz

a xc

xc

z

xs

sx s

zs

sz sz

x

z c

x

xz

c

c

x

xz

nn

n na

n

nn

a

n

n

n

x

13

3c

Vorgehen:

Fliessgrenze Yc = 0 rein translatorisch

mit ihrem Ursprung entlang der

Fliessgrenze Ys = 0 bewegen

(oder umgekehrt Ys = 0 entlang Yc = 0)

1

2

5

4

7

constxzn zn

xzn

xn

zn

xn

xzn



Fliessbedingung / Fliessregimes Stahlbeton

Linearkombination der Fliessbedingungen, d.h. verschieben der Fliessbedingung

des Betons (Ursprung) entlang der Fliessbedingung der Bewehrung

«Stahlbeton = Stahl + Beton»

2

1

2

2

2

3

22

4

2

5

2

6

7

( )( ) 0

( )( ) 0

( )( ) 0

2 0

( )( ) 0

( )( ) 0

xz sx sx x sz sz z

xz c sz sz z sz sz z

xz sx sx x c sx sx x

xz c

xz sx sx x c sx sx x

xz c sz sz z sz sz z

x

Y n a f n a f n

Y n hf a f n a f n

Y n a f n hf a f n

Y n h f

Y n a f n hf a f n

Y n hf a f n a f n

Y n

2 ( )( ) 0z c sx sx x c sz sz zhf a f n hf a f n

NB: Bewehrungsflächen je Längeneinheit in x- und z-Richtung sx sx x sz sz za A s a A s

1

2

5

4

7

constxzn zn

xzn

xn

zn

xn

xzn



Fliessbedingung / Fliessregimes Stahlbeton

Y1: Beide Bewehrungen fliessen auf Zug(sx fsx, sz fsz, 0 ≥ c3 ≥ -fc)

Y2: z-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht(sz fsz, c3 -fc, -f’sx ≤ sx ≤ fsx)

Y3: x-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht(sx fsx, c3 -fc, -f’sz ≤ sz ≤ fsz)

Y4: Beton bricht(c3 -fc, -f’sx ≤ sx ≤ fsx, -f’sz ≤ sz ≤ fsz)

Y5: x-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht(sx -f’sx, c3 -fc, -f’sz ≤ sz ≤ fsz)

Y6: z-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht(sz -f’sz, c3 -fc, -f’sx ≤ sx ≤ fsx)

Y7: Beide Bewehrungen fliessen auf Druck, Beton bricht(sx -f’sx , sz -f’sz, c3 -fc)(mittlere Betonhauptspannung ebenfalls negativ)

NB: Bruchart: sehr duktil / duktil (ausser bei sehr flachen Druckfeldneigungen) / spröd

a

13

X

ZQ

2

2a2xz

2

z x

Verzerrungsinkremente und Hauptdruckrichtung

Verzerrungsinkremente sind proportional zu den Komponenten der äusseren Normalen auf die Fliessfläche (Gradient) im

jeweiligen Punkt der Fliessfigur ( ≥ 0: beliebiger Faktor):

Neigung α der Hauptdruckrichtung 3 bez. x-Achse folgt mit Mohrschem Kreis aus plastischen Dehnungsinkrementen

(Hauptverzerrungsrichtung = Hauptdruckspannungsrichtung Beton):



, ,x z xz

x z xz

Y Y Y

n n n

2 2

2

cos(2 ) 1 cos (2 ) sin (2 )cot 2 cot cot(2 )

sin(2 ) sin (2 )

z x

xz

a a aa a a

a amit 2

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

2

7

: cot ( ) ( )

: cot ( ) ( )

: cot ( ) ( )

: cot 1

: cot ( ) ( )

: cot ( ) ( )

: cot (

sx sx x sz sz z

c sz sz z sz sz z

sx sx x c sx sx x

sx sx x c sx sx x

c sz sz z sz sz z

Y a f n a f n

Y hf a f n a f n

Y a f n hf a f n

Y

Y a f n hf a f n

Y hf a f n a f n

Y hf

a

a

a

a

a

a

a ) ( )c sx sx x c sz sz za f n hf a f n

2

cot 1z x z x

xz xz

a

a

a

constxzn

chf

sz sz za f nxzn

cot 0.5a

cot 2.0a

chfsx sx xa f n

xzn



Bemessung der Bewehrung

Bemessungspraxis: in der Regel Regime 1 (duktile Bruchart; Fliessen der beiden Bewehrungen vor Betonbruch, Beton bleibt

intakt).

Fliessbedingung für Regime 1 in Parameterform ( direkte Bemessung):

Bedingung, damit Fliessregime 1 massgebend wird (kein Betonbruch):

NB:

Grösse von fc siehe Stahlbeton III. Näherung gemäss SIA 262 : fc = kc fcd (mit kc = 0.55)

Neigung des Betondruckfelds im Regime 1 folgt aus:

Wert k cota theoretisch frei wählbar, in Bemessungsnormen oft Bedingung 0.5 ≤ 𝑘 ≤ 2

Verwendung von k 1, d.h. a 45°: «linearisierte Fliessbedingungen», in vielen FE-Programmen implementiert. Sichere

Bemessung, aber nur eine von vielen Möglichkeiten (bei separater Grenzwertbildung für nx, ny, nxy u.U. stark auf sicherer

Seite)

2

1 ( )( ) 0xz sx sx x sz sz zY n a f n a f n

cotk a1

sx sx x xz

sz sz z xz

a f n k n

a f n k n

c sx sx sz sz x zhf a f a f n n

2cot ( ) ( )sx sx x sz sz za f n a f na



Stegdruckbruch (Regime 2)

Ist die Bedingung nicht eingehalten,

liegt eine Bruchart vor, bei welcher der Beton auf Druck versagt.

Praktisch relevant ist insbesondere bei Trägern das Regime 2, welches

in Fällen mit vorliegt.

Bruchart: Fliessen der z-Bewehrung mit gleichzeitigem

Betondruckbruch heisst Stegdruckbruch («web crushing»)

Schubwiderstand des Scheibenelements lässt sich als

Viertelkreisbogen darstellen

Begrenzungen für cota entsprechen im Diagramm Geraden

NB: Darstellung rechts = Projektion der Fliessfigur in die Ebene (nz, nxz),

um Betrag asz fyz verschoben

(nx= verallgemeinerte Reaktion)

a

a

c sx sx sz sz x zhf a f a f n n

sx sx x sz sz za f n a f n

Regime 2Regime 4

2chf

xzn

sz sz za f n2chf

cot 0.5a

cot 2.0a

zn

xzn

xnprojizierter Schnitt

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