CONTROL AUTOMATICO DE PROCESOS

Ejercicio 3.3, Pagina 132 – A. Smith, Corripio.

Considérese el proceso mostrado en la figura 3-27, en el cual el tanque es esférico con

un radio de 4 pies; el flujo nominal de entrada y de salida del tanque es de 30,000

lbm/hr; la densidad del líquido es de 70 lbm/pies3; y el nivel de estado estacionario es

de 5 pies. El volumen de una esfera es 4r3/3, y la relación entre volumen y altura se

expresa mediante

El flujo a través de las válvulas es

Donde:

= radio de la esfera,

= volumen del líquido en el tanque,

= volumen total del tanque,

= altura del líquido en el tanque,

= tasa de flujo,

= coeficiente de la válvula,

= 20.2 y = 28

= Caída de presión a través de la válvula, Psi

= gravedad específica delfluido

= posición de la válvula, fracción de apertura de la válvula

La presión sobre el nivel del líquido se mantiene al valor constante de 50 psig.

Obténganse las funciones de transferencia que relacionan el nivel del líquido en el

tanque, con los cambios de posiciones de las válvulas 1 y 2. También se deben

graficarlas ganancias y las constantes de tiempo contra los diferentes niveles de

operación cuando se mantiene constante la posición de las válvulas.

Solución

Planteamos un balance de masa en estado inestable:

Podemos decir que:

Entonces:

De acuerdo al ejercicio sabemos que el flujo de las válvulas es:

Linealizando el flujo de entrada :

Utilizamos la Serie de Taylor:

Reemplazamos por C1 en (3).

Ahora linealizamos el flujo de salida :

Pero antes debemos tener en cuenta que el ,

Pero es:

Entonces

Por tanto , será igual a:

Ahora si procedemos a utilizar la serie de Taylor:

Hallamos:

Hallamos:

Reemplazando por C2 y C3 en (5)

También necesitamos linealizar :

Utilizamos la serie de Taylor:

Hallamos

Reemplazamos por C4 en (7)

Una vez linealizadas procedemos a reemplazar (4) (6) (8) en (2):

Pasando a las variables de desviación:

Planteamos un balance en estado estable:

Restando (10) a (9)

Tenemos:

Despejando :

Ahora definimos:

Reemplazamos K1, K2 y en (12)

Ahora pasamos al dominio de Laplace:

Factorizando

Despejando

Las funciones de transferencia serian:

Ahora procedemos a calcular , y :

Entonces:

Reemplazando por los valores numéricos:

Desconocemos , Procedemos a hallarlo:

También se desconoce , procedemos a hallarlo en la ecuación de valvula de salida

en estado estacionario:

Despejando tenemos:

NOTA: 500 es un factor de conversión de gpm a lb/h

Ahora podemos hallar :

Hallados y , procedemos a calcular :

Calculando :

Entonces:

Reemplazamos por los valores:

Por ultimo calculamos :

Entonces

Introducimos los valores numéricos: