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Champ créé par des courants permanents (36-106) sur 9 JN Beury

M

I

ru

uθ

zu

Γ

pouce

maindroite

I

ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE CRÉÉ PAR DES COURANTS PERMANENTS

I. CHAMP CRÉÉ PAR UN COURANT RECTILIGNE

I.1 Fil rectiligne de longueur finie Voir chapitre précédent avec application de la loi de Biot et Savart.

I.2 Fil illimité filiforme Soit un point M repéré par ses coordonnées cylindriques. • Le plan ( ) ( ), ,r zM u uπ + = est un plan de symétrie pour les courants, sources du champ, donc

( ) ( )B M π +⊥ , c'est-à-dire ( )B M // uθ .

• La distribution D est invariante par rotation d’angle θ et par translation d’axe Oz, donc B aussi. Bilan : ( )B B r uθ=

• On applique le théorème d’Ampère. Le contour d’Ampère est un cercle orienté suivant uθ passant par M

et de rayon r : ( ) ( ) 0d d 2B l B r u r u B r r Iθ θθ π µΓ Γ

⋅ = ⋅ = = ⊕∫ ∫ .

Le champ B créé par un fil illimité par un courant I est à connaître par cœur : 0

2I

B ur θ

µπ

⊕= .

Bien interpréter le signe ⊕ en utilisant la règle de la main droite. Interprétation physique : • Le champ magnétostatique en M est dirigé vers la gauche d’un observateur regardant M, couché sur le fil,

le courant entrant par les pieds et lui sortant par la tête : règle du bonhomme d’Ampère. • Le sens des lignes de champ est aussi donné par la règle du tire-bouchon : un tire-bouchon dont la

pointe progresse dans le sens de l’intensité le long d’un fil a son manche qui tourne dans le sens des lignes de champ qui entourent cet élément.

• On peut citer encore plus simplement la règle de la main droite : Si la main droite tourne dans le sens de B , alors le pouce doit être dans le même sens que I.

• Le champ B tourbillonne autour des sources de courant.


Mj

ruuθ

zu

Γ

Mr

R

rR

B

I.3 Fil illimité non filiforme On considère un cylindre illimité de rayon R parcouru par un courant I réparti uniformément en volume. En régime permanent, on peut montrer que l’intensité se répartit de façon uniforme dans la section. L’intensité I est orientée vers le haut. On a : 2d

S

I j S j Rπ= ⋅ =∫∫ .

• Le plan ( ) ( ), ,r zM u uπ + = est un plan de symétrie pour les courants, sources du champ, donc




et de rayon r : ( ) ( ) 0d d 2 enlacéB l B r u r u B r r Iθ θθ π µΓ Γ

⋅ = ⋅ = =∫ ∫ . Il y a deux cas :

- Si r R≥ : 2enlacéI I j Rπ= ⊕ = ⊕ . On a donc : ( )

20 0

2 2I jR

B rr r

µ µπ

= = .

Il faut faire attention au signe de Ienlacé.

- Si r R≤ : 2enlacéI j rπ=

On obtient : ( ) 0

2jrB r µ

= .

On peut représenter le graphe représentant B(r) en fonction de r : Interprétation physique : - Les lignes de champ sont des courbes fermées. Elles tourbillonnent autour des sources de courant. On

peut appliquer la règle du tire-bouchon ou de la main droite pour vérifier le sens de B . - À l’extérieur du cylindre, tout se passe comme si on avait un fil infini. - Le champ B est continu en tout point de l’espace. C’est prévisible puisque la distribution est

volumique. - Si r = 0, 0B = . C’est normal puisque les plans ( )0, ,r zu u et ( )0, ,ru uθ sont des plans de symétrie. - Le modèle du cylindre illimité est valable pour un cylindre réel si on est loin des bords. - Application numérique : I = 1 A ; R = 1 mm. B est maximum pour r = R : Bmax = 2×10-4 T.

Rappels : La composante horizontale du champ magnétique terrestre vaut 25 µT. La norme du champ magnétique terrestre vaut 47 µT.

I.4 Fil illimité avec des courants en surface En régime permanent, le vecteur densité de courant j est réparti uniformément dans toute la section. Nous verrons qu’en régime sinusoïdal forcé de fréquence f , l’expérience indique que dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires, le champ magnétique et le vecteur densité de courant se concentrent au voisinage de la périphérie dans un mince peau d’épaisseur δ voisin de la surface : c’est

l’effet de peau. Ordre de grandeur : Nous verrons0

2δµ γω

= .

Pour le cuivre : γ = 6×107 S.m-1. Si f = 50 Hz ; 1δ = cm. Si f = 100 MHz ; 6δ = µm. Nous considérons l’exercice suivant : le cylindre illimité de rayon R est parcouru en surface par des courants. On appelle S S zj j u= le vecteur densité surfacique de courant. On suppose Sj uniforme. Le courant qui traverse le cylindre est : 2SI j Rπ= ⊕


M

Sj

ruuθ

zu

Γ

Sj

Mr

R

rR

B

0 Sjµ

• Le plan ( ) ( ), ,r zM u uπ + = est un plan de symétrie pour les courants, sources du champ, donc




et de rayon r : ( ) ( ) 0d d 2 enlacéB l B r u r u B r r Iθ θθ π µΓ Γ

⋅ = ⋅ = =∫ ∫ . Il y a deux cas :

- Si r R≥ : 2enlacé SI I j Rπ= = . On a donc : ( ) 0 0

2SI j RB r

r rµ µπ

= = .

- Si r R≤ : 0enlacéI = . On a donc : B = 0. On peut représenter le graphe représentant B(r) en fonction de r : Interprétation physique : - Les lignes de champ sont des courbes fermées. - Si r R≥ , tout se passe comme si on avait un fil illimité parcouru par un courant I. - La distribution est surfacique. B est discontinu à la traversée de la surface de distribution. On retrouve

la discontinuité : 2 1 0 1 2^SB B j nµ →− = avec 1 R−= ; 2 R+= ; 1 0B = ; 2 0 SB j uθµ= et 1 2 rn u→ = .

II. SOLÉNOÏDE CIRCULAIRE

II.1 Définition On appelle solénoïde (en grec tuyau) un enroulement régulier de fil conducteur sur un cylindre. Le but est de créer un champ magnétostatique important et uniforme dans une région centrale. L’inconvénient est qu’il est plus encombrant que les bobines de Helmholtz. Sur le schéma de gauche, on a une distribution constituée de 4 spires circulaires. On a déjà une région centrale où les lignes de champ sont assez parallèles.


On peut améliorer le parallélisme en considérant un grand nombre de spires indépendantes. Un véritable solénoïde n’est pas constitué de spires indépendantes mais d’un seul fil enroulé sur plusieurs couches. On peut montrer que l’hélicité n’a pas de conséquences sur la composante axiale du champ.

II.2 Modèle du solénoïde circulaire

a) Définition Le solénoïde circulaire est constitué de N spires ( )1N de même rayon R, de même axe Oz, réparties régulièrement le long du cylindre de longueur l et de même intensité.

On définit n le nombre de spires par mètre. On a : Nnl

= .

b) Carte de champ La carte de champ est représentée sur le schéma de droite ci-dessus. • Les lignes de champ sont des courbes fermées qui tourbillonnent. On peut appliquer la règle du tire

bouchon ou de la main droite. • Les irrégularités du champ du schéma de gauche disparaissent dans la région centrale. On a un

champ uniforme car les lignes de champ sont parallèles. En effet, le champ B est à flux conservatif : un tube de champ transporte un flux constant. Pour un tube de champ élémentaire : 1 1 2 2B S B SΦ = = . Comme S1 = S2, on a alors B1 = B2.

• Les tubes de champ s’évasent beaucoup à partir de la sortie. Le champ B décroit très rapidement à la sortie.

• Le champ magnétostatique sort par la face Nord. On peut retrouver ce résultat en plaçant une boussole.


M

z < 0

I

dz

zθ

MI

z1θ2θ

z

dz

Sj

c) Calcul du champ magnétostatique le long de l’axe (exercice classique)

Nous avons calculé le champ B créé par une spire : 30 sin2 z

I uR

µθ

• Soit un élément de longueur dz qui contient n dz spires.

Le champ créé par ces n dz spires est : ( ) 30d d sin2 z

IB n z uR

µθ=

Il faut faire la somme de toutes les contributions. Pour cela, il faut paramétrer : on a le choix entre z et θ . Le plus simple est de tout exprimer en fonction de θ . Il faut exprimer dz en fonction de dθ . La méthode déjà rencontrée est d’exprimer z en fonction de θ et de différencier.

tan zR

θ −= . Attention aux signes : sur le schéma, z < 0 et 0θ > .

On a : tan

Rzθ

−= , soit

2d d

sinRz θ

θ= car

2 2

2

cos sin d cos dsin sin

d θ θ θ θ θθ θ

− − =

Finalement, on a 30 02

d d sin sin dsin 2 2z

I nIRB nR

µ µθ θ θ θ

θ = =

• Il reste à intégrer entre 1θ et 2θ . On obtient : ( )30 02 12

d sin cos cossin 2 2z

I nIRB nR

µ µθ θ θ θ

θ = = − −

d) Cas particuliers • Solénoïde très long ou infini. Pour tout point M de l’axe, on a : 1 0θ ≈ et 2θ π≈ .

On obtient 0 zB nI uµ= . Il est important de vérifier le signe de zB avec la règle de la main droite.

Application numérique : exemple de solénoïde utilisé en TP : N = 200 spires sur une longueur L = 40 cm. Pour un courant I = 5 A, on obtient : B = 3,1×10-3 T. Rappels : la composante horizontale du champ magnétique terrestre vaut 2×10-5 T.

• Nappe de courant surfacique.

On peut utiliser le résultat précédent en calculant l’intensité de deux façons : ( )d d dSI j z n z I= = . Il

suffit donc de remplacer nI par jS. Le champ B vaut : ( )01 2cos cos

2S

z

jB uµθ θ= − .

e) Comparaison champ créé par un aimant cylindrique et un solénoïde circulaire Un barreau cylindrique et un solénoïde produisent le même champ magnétique. Dès 1820, Ampère suggéra qu’il existait des « courants dans la matière ». Nature physique des dipôles magnétiques :

Moment magnétique orbital : mouvement orbital de l’électron ⇔ spire parcourue par un courant.

Moment magnétique intrinsèque de l’électron : spin Moment magnétique intrinsèque des nucléons (1000 fois plus faibles que l’électron)

Exemple du barreau cylindrique uniformément aimanté (voir cours de deuxième année) :

M cte= , donc rot 0

^ ^S z r

M

j M n M u u M uθ

=

= = =, donc courants superficiels.

Par le calcul, on démontre l’équivalence. Interprétation physique : on représente les dipôles magnétiques dans une section du barreau. Les éléments de courant des boucles adjacentes sont deux à deux opposées et seuls interviennent pour le calcul de B les éléments à la surface, d’où la nappe de courant précédente.


A

C

B

D

A’

C’

B’

D’ M

1Γ

2Γ

3Γ

ru

uθ zu

En septembre 2006 a été mis en service au CERN (anneau de 27 kilomètres de diamètre) le plus rand aimant construit autour d’un solénoïde : 6m de diamètre et 13m de longueur. Le champ magnétique atteint 4 T. La température est égale à -267°C ce qui permet de s’affranchir de l’effet Joule avec des matériaux supraconducteurs.

II.3 Modèle du solénoïde illimité C’est un modèle très fort. On fait le passage à la limité du solénoïde circulaire, c'est-à-dire qu’on néglige les effets de bord.

• Le plan ( ), ,rP M u uθ= est un plan de symétrie pour les courants, sources du champ, donc

( )B M P⊥ , c'est-à-dire ( )B M // zu .

• La distribution est invariante par rotation d’angle θ et par translation d’axe Oz, donc B aussi. Ses coordonnées ne dépendent pas de θ et z. D’où ( ) ( ) zB M B r u= .

• Théorème d’Ampère. Nous allons appliquer le théorème d’Ampère à plusieurs contours : a) Contour 1Γ : ( ) 0d 0

ABCD

B l B r l n I lµ⋅ = − + =∫ . On en déduit que le champ B est uniforme à

l’intérieur du solénoïde et vaut int 0 zB n I uµ= .

b) Contour 2Γ : ( ) 0 0 0' ' ' '

d enlacéA B C D

B l B r l n I l I n I lµ µ µ⋅ = − + = =∫ . On en déduit que le champ B est

nul à l’extérieur. Ce n’est pas surprenant car pour de vrais solénoïdes, le champ vers 0.


M

xu yu

zu

Sj Sj Sj Sj Sj Sj

O

z

I Mruuθ

zu

c) Contour 3Γ : 0" " " "

d 0 0enlacéA B C D

B l Iµ⋅ = = =∫ . Les autres concours ne donnent pas d’information

supplémentaire.

Dans les exercices, on rencontre essentiellement deux types de situations : On demande de démontrer que le champ sur l’axe est 0axeB n Iµ= ou alors on admet que Bext = 0.

Le modèle du solénoïde infini décrit la structure du champ d’un solénoïde allongé réel loin des bords de celui-ci.

Remarque : Un solénoïde infini peut être considéré comme une bobine torique pour laquelle R → ∞ . On verra dans le paragraphe suivant que pour une bobine torique le champ est nul à l’extérieur.

III. TORE Une bobine torique est constituée de N spires jointives régulièrement enroulées sur un tore (ou pneu) d’axe Oz. Le calcul suppose que N est très grand (on aura alors une invariance de la distribution par rotation).

• Le plan ( ), ,r zP M u u= est un plan de symétrie pour les

courants, sources du champ, donc ( )B M P⊥ , c'est-à-dire

( )B M // uθ . • La distribution est invariante par rotation d’angle θ , donc

B aussi. Ses coordonnées ne dépendent pas de θ . D’où ( ) ( ), zB M B r z u= .

• Théorème d’Ampère : On considère un cercle orienté dans le sens trigonométrique d’axe Oz, de rayon r passant par M. On a : ( ) 0d 2 enlacéB l B r r Iπ µ⋅ = =∫ .

- Si M est à l’intérieur du tore : enlacéI N I= ⊕ en appliquant la règle du tire bouchon.

On en déduit : 0int 2

NIB u

r θ

µπ

= .

- Si M est à l’extérieur du tore : 0enlacéI = . ext 0B =

IV. NAPPE DE COURANT PLANE


B

D

A

C

M

M’

M

M’( ) = plan de symétrieπ +

( )B M

( ) ( )( )' symB M B M= −

Sj SjSj yu

zu

xu

z

B

0

2Sjµ

0

2Sjµ−

• Le plan ( ), ,x zP M u u= est un plan de symétrie pour les courants, sources du champ, donc ( )B M P⊥ ,

c'est-à-dire ( )B M // yu .

• La distribution est invariante par translation de direction xu et yu , donc B aussi. Ses coordonnées ne

dépendent pas de x et y. D’où ( ) ( ) yB M B z u= . • Le plan z = 0 est un plan de symétrie.

Dans le cas particulier de l’exercice, on a ( ) ( )( ) ( )' symB M B M B M= − = −

• Théorème d’Ampère : On considère le contour ABCD. On pose L = AB = CD.

Attention : On calcule le champ en M dans la région z > 0. ( )B M est de la forme : ( ) ( ) yB M B z u= .

( ) ( ) ( ) ( )d d 0 d 0y yAB CD

B l B z u l B z u l B z l B z l⋅ = ⋅ + + − ⋅ + = − −∫ ∫ ∫ .

On en déduit que : ( ) 0 0d 2 enlacé SB l B z l I j lµ µ⋅ = − = = ⊕∫ . On applique la règle de la main droite pour

trouver le signe ⊕ (voir paragraphe I.1).

Dans la région z > 0, on a donc : 0

2S

y

jB uµ−=

Dans la région z > 0 : on a 0 0sym2 2

S Sy y

j jB u uµ µ = − = −

Interprétation physique : - Le champ magnétostatique tourbillonne autour des sources de courant. - On a une discontinuité du champ magnétostatique à la traversée de la surface de distribution. On retrouve le résultat : 2 1 0 1 2^SB B j nµ →− = .

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