19

Astronomia2017-18

Parte IIIEvoluzione stellare

Pressione degenere degli elettroni:

3/523/2

8

3

5

1e

ee n

m

hP

=π

Pressione degenere dei neutroni:

3/523/2

8

3

5

1n

nn n

m

hP

=π

Il nucleo collassato è formato essenzialmente di neutroni

Equilibrio: pressione degenere di neutroni

5/3

NS NS e

WD WD n

P m

P m

ρρ

≈

Rapporto tra pressione degenere in una stella di neutroni e in una nana bianca?

( )5/314

6

101 /1836

2 10

≈ ×

1010≈

� SN Type II � Stelle di neutroni

14 -310 g cmNSρ ≈Come vedremo:

A parità di densità, la pressione degenere dei neutroni è inferiore di un fattore

rispetto a quella degli elettroni.

Poiché la materia è ora priva di elettroni, la pressione dei neutroni domina.

/ 1836n em m =

8M M>⊙

Proprietà delle stelle di neutroni: (a) Raggio

Relazione raggio-massa per le nane bianche:5/3

21/3 1/3

2

1 12

4 4WD WD WDp e

h ZR M M

G m A mπ− −

≈ ⋅ ∝ Nel caso di una stella di neutroni:

5/32

1/32

1 12

4 4NS NSp n

h ZR M

G m A mπ−

≈ ⋅

A parità di massa,

5/3( / )

( / )NS e

NS WDWD n

Z A mR R

Z A m

≈

31(3.2) 1.7 10

1836 WD WDR R− ≈ ≈ ×

particelle che contribuiscono alla pressione degenere (elettroni)

particelle che contribuiscono alla densità (protoni+neutroni)

Anche in questo caso gli oggetti più massicci sono più piccoli

Stelle di neutroni

0.5WD

Z

A ≈

1NS

Z

A ≈

Raggio nana bianca:2 8

WD 10 7 10 cmR R−≈ ≈ ×⊙

Raggio stella di neutroni:3 8

NS (1.7 10 )(7 10 cm)R −≈ × × 61.2 10 cm≈ × 12 km=

Assumiamo M ~ 1.5 masse solari, R ~ 15 km

36

33

)cm105.1)(3/4(

)g102(5.1

×××≈

πρ 314 g/cm102×≈

Densità di un nucleone

313

24

)cm100.1)(3/4(

)g107.1(−

−

××≈

πρ 314 g/cm104×≈

La densità di una stella di neutroni è vicina alla densità nucleare

Proprietà delle stelle di neutroni: (b) Densità

Stella di neutroni ~ Singolo nucleo con A = 1057

Stelle di neutroni

2/32 8/3 5/3 37 -21 3

10 dyn cm5 8n nP h m ρ

π− = ≈

3/83/513/53/513/5 )( −−−− == nnnnn mmmmn ρρnnmn=ρ

Pressione degenere per la stella di neutroni: 3/523/2

8

3

5

1n

nn n

m

hP

=π

(c) Pressione

Nel collasso la conservazione del momento angolare accelera enormemente la rotazione della stella

ωIL =Momento angolare:

Dalla conservazione del momento angolare (la massa si conserva):

afterbefore RR )()( 22 ωω =

ω2

5

2MR=

2 2( / )NS NSR Rω ω=⊙ ⊙

2 2( ) ( )NSR Rω ω=⊙

210 6(7 10 cm) / (1.5 10 cm)NSω ω = × × ⊙

s103.1 3−×≈

9(2 10 )ω= ×⊙

Caso estremo: abbiamo supposto il collasso dell’intera stella

Proprietà delle stelle di neutroni: (d) Rotazione

(tipica di stelle di sequenza principale)

Supponiamo che la rotazione iniziale sia paragonabile a quella del sole: 2

1 monthPπ

ω= ≈

velocità angolaremomento d’inerzia

Stelle di neutroni

2 2( / )NS NSP R R P=⊙ ⊙Periodo:

Il periodo del sole è ∼30g

69

1(2.6 10 s)

(2 10 )= ×

×

Flusso ΦB: proporzionale a B e all’area di superficie A∝ R2

Se il flusso magnetico iniziale è paragonabile a quello solare, dopo il collasso il valore di B sarà aumentato di un fattore

2 2 9( / ) 2 10NSR R ≈ ×⊙

Proprietà delle stelle di neutroni: (e) Campo magnetico

La quantità ΦB ∝ BR2 rimane costante nel collasso � B proporzionale a 1/R2

(flusso è “congelato” alla superficie)

Stelle di neutroni

Distribuzione del campo magnetico sulla superficie?

Longitude

Lat

itu

de

Simulazioni numeriche della

distribuzione della componente radiale del campo magnetico in una stella di neutroni

(Braithwaite and Spruit 2006)

2 310 10 s− −≈ −Rotazione )/( ** NSNS PP ωω=

2 2 9* * *( / ) 2 10NS NSB R R B B≈ ≈ ×Campo magnetico

- Nucleo: plasma di quark-gluoni (con vortici?)- Interno: neutroni (piccole percentuali di e-, p) - Crosta: ioni, elettroni

Stelle di neutroniPossibilità teorica prevista negli anni 1930

Raggio

5/32

1/32

12 10 15 km

4 4NS NSp n

h ZR M

G Am mπ−

≈ ⋅ ≈ −

314 g/cm102×≈NSρ nucleoneρ5.0≈Densità

2/32 5/3 8/31 3

5 8NS nP h mρπ

− =

Pressione101.2 10NS WDP P≈ ×

2R

GMgNS = -213 s cm109.8 ×= earthg1110≈Accelerazione di gravità

Massa 1.44NS ChandraM M M≈ =⊙

Oggi: Modelli dettagliati di struttura

� Elevata risoluzione temporale

Jocelyn Bell-Burnelgraduate student di Antony Hewish (Premio Nobel 1974)

Ricerca di “scintillazioni” di radio sorgenti (interazioni di onde radio con particelle cariche nel mezzo interstellare)

Scoprono una sorgente con variabilità rapidissima“Pulsar”

Sorgente “CP 1919”

Cambridge, 1967

Periodo: P = 1.3373011 s (δP ∼ 0.1µs)

Successione di impulsi di ampiezza irregolare, ma con separazione estremamente regolare

Duty cicle ~5%

Pulsars

Distribuite perlopiù sul piano galattico � Oggetti galattici

Distribuzione in coordinate galattiche

Oggi conosciamo un migliaio di pulsars: caratteristiche

Il periodo aumenta (rallenta) nel tempo: ~0.1% – 0.01% /yr

Periodi tipici: ~0.1s – ~3s

558 pulsarsTaylor et al, 1993

Forme dell’impulso diverse, semi-regolari

- Pulsazione

- Moto orbitale

- Rotazione

Pulsars

Oggetti candidati:

- Stelle normali

- Nane bianche

- Stelle di neutroni

Che cosa sono?LGM (Little Green Men)?

PSR J0546+2441(D.Champion MNRAS, 2005)

Tipica radio pulsarFlusso a 430 MHz

P = 2.84385038524s(errore δt ~ 10-12 s)

Missingpulse

Meccanismo della modulazione temporale? (“clock mechanism”)

Pulsars

1) Pulsazione

Le variabili pulsanti di periodo più breve (RR Lyrae) hanno periodi di ore-giorni

Quale densità è richiesta per periodi di 0.1s?

( ) sG 1.02/1 ≈−ρ39 g/cm10≈

Densità di una nana bianca

38

333

WD )cm107)(3/4(

)g/cm102(

××=

πρ 36 g/cm10≈

Densità di stella di neutroni

36

33

)cm105.1)(3/4(

)g102(4.1

×××≈

πρNS

314 g/cm102×≈

La pulsazione radiale può essere esclusa

21 )s1.0( −−≈ Gρ 38

1 1g/cm

6.67 10 0.01−=×

/P R g≈ 2/ ( / )R GM R≈ ( ) 2/1−∝ ρG

Pulsars

2) Moto orbitale(Sistema di binarie compatte?)

Che distanza R è necessaria per un periodo di 0.1 s ?

3/1221

2 ]))(4/[( PmmGR += π

km 100≈

La separazione è minore del raggio di una stella normale o di una nana bianca

Potrebbe essere sistema binario stretto con2 stelle di neutroni

221

32 )(/4 PmmGR +=πRelazione separazione-massa-periodo dei sistemi doppi

Problema…

3/1

2332

228

)s01.0)(g102(24

gcmdyn 1067.6

××≈

−−

π

Pulsars

2) Moto orbitale

RmGmE 2/21−≈Problema: Energia totale del sistema:

La sorgente emette radiazione

2/3RP ∝� Poiché vale: anche il periodo deve diminuire (accelerare)

Ma noi vediamo il periodo delle Pulsar aumentare e non diminuire!

-Onde gravitazionali (perdita di energia ancora più rapida)

� Il moto orbitale può essere escluso

Conservazione dell’energia � R tende a diminuire

� E diventa “più negativa”

-Radiazione elettromagnetica

Pulsars3) Rotazione

1/32

24

GR MP

π <

Condizione: La forza gravitazionale alla superficie deve superare la forza centrifuga

80 km≈

Compatibile con quello di una stella di neutroni

(Nane bianche marginalmente ok solo per le pulsar più lente, P∼10s)

Pulsar: stelle di neutroni rotanti

R

mv

R

MmG

2

2>

3224

RMPG >π

2 Rv

P

π=2

224

P

R

R

MG π>

1/38 2 233 2

2

6.67 10 dyn cm g (2 10 g)(0.01s )

4π

− − ×≈ ×

2MG v

R>

Stelle di neutroni

Raggio

5/32

1/32

12

4 4NS NSp n

h ZR M

G Am mπ−

≈ ⋅ km 205 −≈NSR

314 g/cm102×≈NSρ 314 g/cm104×≈nucleoneρDensità

3/83/523/2

8

3

5

1 −

= nn mhP ρπ

Pressione

=

n

e

WD

NS

WD

NS

m

m

P

P3/5

ρρ

10102.1 ×≈

2R

GMgNS = -213 s cm109.8 ×= earthg1110≈Accelerazione di gravità

s103.1 3−×≈Rotazione )/( ** NSNS PP ωω=922

** 102)/(/ ×≈≈ NSNS RRBBCampo magnetico

Massa SunChandraNS MMM 44.1≈>

• Come avviene la modulazione dell’impulso osservato? • Resto di supernova (SNR): Che cosa mantiene l’energia della nebulosa?

Questioni aperte!

Evidenza osservativa: Pulsars

Pulsars: meccanismo di emissione?

Emissione collimataFuori asse rispetto all’asse di spinVediamo la radiazione solo quando il beam è allineato con la linea di vista

Meccanismo di emissione (non ancora ben compreso): legato al campo magnetico

Poli magnetici disallineati con asse di spin

Modello standard delle pulsars:

“Hot spot” di emissione sulla superficie (“beam”)

Duty cycle ∼ (beam)/(angolo di vista θ )

A seconda della configurazione potremmo vedere o non vedere la pulsar

L Lifetime (Stelle MS, Pulsar)

� Numero di Pulsars stimate nella Galassia ~2 x 105

Quante ce ne sono?- Initial mass function (M > 8Msun)

«Lighthouse model»

θ

� Solo il ~20% delle pulsar sono (potenzialmente) osservabili

PulsarsStelle di neutroni in rapida rotazione

Rotazione + campo magnetico + campo elettricoInterazione con elettroni liberi della crosta:� Particelle cariche “spiraleggiano” lungo linee B� Emissione di sincrotrone

Dettagli del meccanismo di emissione: molti problemi aperti! θ

Si assume che il “beam” sia collimato con l’asse magnetico

In accordo con spettro osservato

Pulsars: meccanismo di emissione?

Rallentamento del periodo: Perdita di energia e.m. e gravitazionalePeriodi max osservati: ~6-8s.� c’è un limite al periodo, poi il meccanismo di emissione cessa ("death line“) Tipicamente dopo 10–100 Myr

Origine del beam (Energia rotazionale + moto del campo magnetico) � Campo elettrico� Accelerazione di protoni e elettroni alla superficie della NS

� Beam che emana dai poli magnetici

«The theory of how pulsars emit their radiation is still in its infancy, even after nearly forty years of work »

(Werner Becker, 2006)

Pulsars: rallentamento del periodo

Tutte le pulsar mostrano una decrescita del periodo nel tempo

Le pulsar con periodo più breve rallentano più rapidamente

� Le pulsar più veloci sono più giovani

L’energia cinetica diminuisce a causa dell’energia spesa:

- emissione del beam- onde gravitazionali

2

2

1 ωIE =Energia cinetica di una sfera in rotazione:

E

Eɺ

ωωɺ

2=2

2dI

dt I

ωωω

=

~0.1 – 0.01% per yr

dP/dt = 3 x 10-6 s/yr

Energia e lifetime

P

Pɺɺ−=

ωω

La misura del rallentamento del periodo fornisce direttamente una stima della perdita di energia totale (e.m. + grav.) della NS

� Energia ceduta all’ambiente (Resto di SN)

P

P

E

E ɺɺ

2−=

dI

dt

ωω=Perdita di energia nel tempo:dE

Edt

=ɺ

dt

dP

Pdt

d2

2πω −=2

P

πω =

Pulsar al centro della Crab Nebula (SN 1054)

510 SunL≈3810 erg/sCrabL ≈Luminosità totale:

Sappiamo che è il SNR della SN1054310 yrCrabt ≈

� ci permette di valutare il bilancio energetico (e.m. + onde gravitazionali)

Rallentamento del periodo

d ~ 2kpc

X-ray image (Chandra)

Struttura circostante la pulsar

4 pc

Osservazioni radio: Pulsar al centro della Crab, con P = 0.033s

(decisiva per escludere WD come sorgenti di pulasr)

ms33

Variazioni del periodo: Glitches

Si osservano occasionalmente anche variazioni più ampie

Una variazione dν = 10-6 Hz comporta una variazione dR ~ 0.75cm

Variazioni del periodo

P

P

E

E ɺɺ

2−=

� Perdita di energia

Residuo (sottratto shift lineare del

periodo)

Pulsar al centro della Crab Nebula

Interpretati come - “riaggiustamenti” della crosta in configurazione più stabile- movimenti del materiale superfluido interno

Improvvisi cambiamenti di periodo

� Cambiamento di forma � Variazione momento d’inerzia

Gamma-ray pulsars detected by the

Fermi Gamma-ray Space Telescope

Pulsars sono osservato nel Radio, Visibile, X, Gamma

Binarie compatteSistema binario compatto con una stella di neutroni

accoppiata a una stella normale

La massa trasferita si scalda e provoca dei “bursts” osservati in X

Evidenza che il sistema rimane (può rimanere) legato dopo esplosione SN

Her X-1 Curva di luce in XA diversi scale di tempo

Variabilità X con 3 diverse periodicità:

1) Periodo di 1.24 s (rotazione pulsar)

2) Periodo di 1.7days: eclisse della regione

di trasferimento di materia

3) Periodo di 35days: interpretato come

rotazione del disco di accrescimento

Coincide con la variabile ottica HZ Her, P = 1.7d

Binarie compatteSistema binario compatto con una stella di neutroni

accoppiata a una stella normale

X-ray binary system-Neutron star which is an accreting X-ray pulsar -Companion star of 2.3 solar masses Period 1.7 days, almost circular orbit.

Binarie compatte1974: Radio pulsar scoperta in sistema binario (PSR B1913+16)

(Joseph Taylor & Russel Hulse, 1974 – Arecibo 305m antenna )

Periodo pulsar: 0.059s, variazioni periodiche 7.75hrs� Sistema binario: 2 stelle di neutroni (1 osservata come pulsar)

Perdita di energia: onde gravitazionali prodotte da moto orbitale + rotatorio� Previsioni GR per effetto combinato

Rallentamento misurato: 2.3 x 10-12 s/s

Osservazione della pulsar per 5 anni

J. Taylor & R. Hulse: Premio Nobel 1993

Misura delle masse delle NS da variazioni del periodo:

1 1.44M M=⊙ 2 1.39M M=

⊙

30 yr of observations

GR

J. M. Weisberg & J. H. Taylor, 2004

Stelle di neutroniMisure della massa

• Distribuzione di massa da misure in sistemi doppi

– Sistemi NS + WD– Coppie di NS

• Questioni aperte:– Quanta massa viene coinvolta nel

collasso («spin-up») ?– Sistemi binari: Quanto incide

l’accrescimento di massa per trasferimento di materia dalla stella compagna

(Bulent Kiziltan et al., ApJ, 2010)

• Come aspettato, valori vicini alla massa di Chandrasekhar

– Con variazioni significative

LIGO and Virgo collaborations

LIGO and Virgo collaborationsLIGO and Virgo collaborations

Observation of Gravitational Waves (GW150914 – 11 February 2016)

Black holes

Se la pressione degenere dei neutroni non è sufficiente, la stella di neutroni continua il collasso :

2fuga

10

2

GMmmv

r− =

Derivazione (euristica, ma il risultato è esatto!)Velocità di fuga (classica):

Raggio di Schwarzschild

2

2S

GMr

c≡

Superata la pressione degenere dei neutroni, nella fisica conosciuta non c’è altro fenomeno che possa fermare il collasso (GR: � singolarità)

Il fotone non può emergere dalla buca di potenziale del BH

Natura di un BHSe concentriamo una massa M entro un raggio critico, nessuna informazione può emergere da regioni interne a quel raggio

Molto incerto:Equazione di stato?

Costituenti della NS?

Limite TOV (Tolman-Oppenheimer-Volkoff, 1939): nucleo 3M M≈⊙

Si ritiene che il collasso si verifichi per masse iniziali star 15M M>⊙

21

2

GMc

r>

fugav c=

Black holes

Relatività Generale, equazioni di Einstein

∑=µν

νµµν dxdxgds 2)(“Line element”(intervallo fra due eventi

spazio-temporali vicini)

{ } { }3,2,1,0:,νµ

coordinate spazio-temporali

Tensore di Einstein(derivate parziali della metrica

rispetto alle coordinate spazio-temporali)

Tensore energia-momento

Matrici 4x4

Esempio: Metrica di Minkowsky (Relatività speciale)

22222 )()()()()( dzdydxcdtds −−−=

22222 ) sin()()()()( ϕθθ drrddrcdtds −−−=In coordinate sferiche:

,1 ,1 ,1 ,1 33221100 −=−=−== ggggElementi non nulli della metrica:

Derivazione corretta del raggio di Schwarzschild (outline)

µνµνπ

Tc

GG

4

8=

In forma tensoriale:

Geometria, curvatura dello spazio

Distribuzione della massa-energia

Black holes

2221

22

22 ) sin()()(

21)(

21)( ϕθθ drrddr

rc

GMcdt

rc

GMds −−

−−

−=−

µνµνπ

Tc

GG

4

8=Metrica di Schwarzschild (1916)

Geometria dello spazio-tempo nei pressi di una massa M a simmetria sferica, statica, nel vuoto, osservata da grande distanza r:

Coordinate sferiche centrate sulla massa M

Tempo misurato da osservatore distante

dtrc

GMd

2/1

2

21

−=τ

0=== ϕθ dddrPer un osservatore a riposoc

dsd =τ

Il tempo misurato da osservatore generico

(tempo proprio, “proper time”)

Che cosa succede se abbiamo una massa M concentrata in un raggio inferiore a rS ?

Tende alla Metrica di Minkowsky per piccole masse, o a distanze molto grandi

Sr r d dtτ>> → ≈

dtr

rS

2/1

1

−=

Raggio di Schwarzschild2

2S

GMr

c=

Black holesChe cosa succede se abbiamo una massa M concentrata in un raggio inferiore a rS ?

1/2

, 1 SS

rr r dt d

rτ

− → = − → ∞

Dilatazione temporale gravitazionale

1/2

1 Srd dtr

τ = −

Un orologio posto vicino a rS (r ~ rS) osservato da osservatore distante, avanza molto lentamente (al limite si ferma!)

Radiazione elettromagnetica emessa presso rS � Appare oscillare più lentamente

0

2/1

1 λλ−

−=r

rS

Red-shift gravitazionale∞→→ λ ,Srr

La lunghezza d’onda osservata aumenta se la sorgente è posta vicino a rS

0→=λhc

E

0=dsGR � traiettoria del fotone: “geodetiche nulle”

0d dθ φ= =Direzione radiale

21

22

2)(

21)(

210 dr

rc

GMcdt

rc

GM−

−−

−= 2Photon

21

dr GMc

dt rc = ± −

Photon

S

drr r c

dt >> = Photon

0S

drr r

dt → →

Nessuna informazione può emergere da Srr ≤ (“Orizzonte degli eventi”)

1 Srcr

= ± −

Black holes

2

2

c

GMrS ≡

33

6

84

3

MG

cM

π=

23

6 1

32

3

MG

c

π= 2−∝ M

Per masse molto grandi, la densità richiesta per generare un buco nero è relativamente bassa

cm 71.0, ≅EarthSr

g1098.5 27×=EarthM 332 10 gM = ×⊙

5, 2.95 10 cmSr ≅ ×⊙

km 95.2=

«Densità del BH» = Rapporto Massa/Volume nella regione interna a rS

34

3

SSS r

M

V

M

πρ ==

]g[1048.1 28 M−×=]g[)cm103(

)gcmdyn 1067.6(2]cm[

210

228

MrS

××⋅=

−−

[km] 2.95S

Mr

M=

⊙

Es.: Raggio di Schwarzschild di Terra e Sole

Interpretate come dovute alla distorsione della stella per forze mareali

Stima dell’angolo di inclinazione dell’orbita: 30°

Parametri orbitali � “Funzione di massa”

Angolo di inclinazioneM oggetto compatto = 8.7 ± 0.5 Msun

Black hole

Buchi neri: normali stadi finali di stelle massicce

Osservazioni in sistemi binari: materia accelerata nei pressi del BH� Velocità radiali, emissioni X irregolari, redshift gravitazionale su righe spettrali

Black holes

Controparte ottica: HDE226868, stella O9.7Ib (Supergigante blu, Massa: ~25 Msun )

Binaria spettroscopica, P = 5.6d

Inoltre: Variazioni di brillanza con lo stesso periodo P = 5.6d

Chandra: Fe ionizzato, + redshift gravitazionaleIrregular X-ray source

HDE 226868 (P = 5.6d)

Curva della velocità radiale (Doppler)

Cyg X1

Cygnus X1

Modello per la curva di luce (P = 5.6d) di HDE 226868

X-ray image of Cygnus X-1 HERO project, NASA

X-ray image of Cygnus X-1 CHANDRA, NASA

Distance ~1.9 kpc

HDE226868