173 Ekthetikh.logarithmikh.d.i.m

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΙΑ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ (Εργασία σε Μεταπτυχιακό µάθηµα, Ιούνιος 2003)

∆ηµήτρης Ι. Μπουνάκης

Σ. Σ. Μ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μετά τις αλγεβρικές και τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, πρώτες σε σπουδαιότητα στα Μαθηµατικά έρχονται η εκθετική και η λογαριθµική συνάρτηση (υπερβατικές συναρτήσεις). Μάλιστα, οι τελευταίες έχουν σπουδαίες εφαρµογές σε πολλούς κλάδους των φυσικών και γενικά των θετικών επιστηµών. Κρίνεται λοιπόν σκόπιµη η διδασκαλία τους στο Λύκειο.

Στην εργασία αυτή παρουσιάζουµε µια πρόταση διδακτικής επεξεργασίας -ένα πρώτο σχεδιασµό - για την διδασκαλία των συναρτήσεων αυτών, διαρθρωµένη σε διδακτικές ενότητες (ελεύθερη χρονικών περιορισµών, όχι κατ’ ανάγκη για πιστή διδακτική εφαρµογή στην τάξη!). Στην Β΄ Λυκείου αναφέρονται δυο κεφάλαια, το πρώτο στην εκθετική και το δεύτερο στην λογαριθµική, ενώ στην Γ΄ λυκείου ένα κεφάλαιο που αναφέρεται στην συνέχεια και την παράγωγο των συναρτήσεων αυτών.

Οι µέθοδοι και οι αρχές που ακολουθήσαµε είναι σε συντοµία οι εξής:

• Η επαγωγική προσέγγιση των νέων εννοιών • Σύνδεση των νέων γνώσεων µε προηγούµενες γνώσεις των µαθητών • Η ιστορία των Μαθηµατικών πρέπει να χρησιµοποιείται για την καλύτερη

κατανόηση και εµβάθυνση στις νέες έννοιες (και δευτερευόντως για ιστορικοµαθηµατικούς λόγους)

• Η νέα έννοια πρέπει να εισάγεται µέσα από προβλήµατα που έχουν ενδιαφέρον για τους µαθητές

• Οι εφαρµογές των Μαθηµατικών σε διάφορους κλάδους των θετικών επιστηµών πρέπει να αποτελούν κύριο στόχο της διδασκαλίας .

• Καθιέρωση του επιστηµονικού υπολογιστή (κοµπιουτεράκι) και εξάσκηση των µαθητών σ’ αυτόν.

• Οι προσεγγίσεις των πραγµατικών τιµών των µεγεθών επιβάλλονται από τα πράγµατα και την ζωή. Οι στρογγυλοποιηµένοι υπολογισµοί (για εξεταστικούς κυρίως λόγους) δεν αποτελούν τον κύριο στόχο.

∆. Ι. Μ. Εκθετική – Λογαριθµική Συνάρτηση 2

• Η άσκηση των µαθητών στην λογική, παραγωγική (απαγωγική) και µαθηµατική σκέψη πρέπει να αποτελεί βασικό στόχο των Μαθηµατικών στο Λύκειο.

Ειδικότερα για το θέµα µας, την εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση ακολουθήσαµε την παρακάτω πορεία. v Στην αρχή έγινε ο ορισµός των δυνάµεων πραγµατικών µε εκθέτες ρητούς και

στην συνέχεια µε άρρητους µε την βοήθεια των προσεγγίσεων, δηλαδή µέσω ακολουθιών. Αυτό γίνεται αφού δεν είναι γνωστά τα όρια των ακολουθιών στους µαθητές (αλλά ακόµα και να ήταν, οι σχετικές ιδιότητες δεν αποδεικνύονται εύκολα).Πιστεύουµε ότι για το επίπεδο των µαθητών επαρκεί αυτή η προσέγγιση χωρίς να χάνεται ο γενικότερος σκοπός της διδασκαλίας.

v Ακολουθήσαµε την εισαγωγή στην έννοια του λογαρίθµου µέσω της συσχέτισης

αριθµητικής και γεωµετρικής προόδου. Ο τρόπος αυτός παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήµατα:

α) Συνδέει την νέα έννοια τις αµέσως προηγούµενες. β) Επιτρέπει να φανεί η αρχική χρησιµότητα των λογαρίθµων στην απλοποίηση των αριθµητικών υπολογισµών (κανόνες stifel). γ) ∆ικαιολογεί την έννοια του όρου λογάριθµος. δ) ∆ιευκολύνει την αναφορά σε θεµελιώδεις εφαρµογές της λογαριθµικής συνάρτησης (π.χ.o νόµος Weber-Fechner στην ψυχολογία, που διδάσκεται στην ίδια τάξη!) v Επίσης η σύνδεση των λογαρίθµων µε τους φυσικούς λογάριθµους έχει τα εξής

πλεονεκτήµατα: i) Συνδέει την νέα έννοια µε την µελέτη και γραφική παράσταση της (πολύ γνωστής) συνάρτησης y=1/x. ii) ∆ίνει την δυνατότητα στους µαθητές να µάθουν τι ακριβώς είναι «φυσικό» στους λογάριθµους αυτούς iii) Παρέχει µια πολύ καλή ευκαιρία για µια εποπτική γνωριµία των µαθητών µε την µέθοδο της «εξάντλησης» και τον ολοκληρωτικό λογισµό. Οι υπολογισµοί που προτείνουµε για την προσέγγιση των εµβαδών (µέσω τραπεζίων) δηµιουργούν την υποδοµή ώστε αργότερα στην Γ΄ Λυκείου η εισαγωγή στην έννοια του ολοκληρώµατος να γίνει οµαλά. iv) ∆ίνει την ευκαιρία να αποδειχθεί εποπτικά η χρήσιµη λογαριθµική ανισότητα, µε βάση την οποία αποδεικνύεται η συνέχεια της λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης και γίνεται εύκολα ο υπολογισµός της παραγώγου των (που χρόνια τώρα δίνονται χωρίς απόδειξη στα σχολικά βιβλία). Περισσότερα ιστορικά και άλλα χρήσιµα στοιχεία για τον διδάσκοντα, περιέχονται στο «ιστορικό παράρτηµα» που συνοδεύει την εργασία αυτή.


Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ -Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η Ε Κ Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η

1η ∆ιδακτική ενότητα: ∆υνάµεις πραγµατικών µε εκθέτες ρητούς 2η ∆ιδακτική ενότητα: ∆υνάµεις πραγµατικών µε εκθέτες άρρητους 3η ∆ιδακτική ενότητα: O αριθµός e 4η ∆ιδακτική ενότητα:Η Εκθετική συνάρτηση 5η ∆ιδακτική ενότητα:Εφαρµογές της εκθετικής συνάρτησης σε εξισώσεις και συστήµατα 6η ∆ιδακτική ενότητα: Φυσικές εφαρµογές της εκθετικής συνάρτησης 7η ∆ιδακτική ενότητα: Επανάληψη – προετοιµασία λογαρίθµων

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ ∆ΕΥΤΕΡΟ - Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λ Ο Γ Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι

1η ∆ιδακτική ενότητα: Από την ιστορία των λογαρίθµων… 2η ∆ιδακτική ενότητα: Ορισµός λογάριθµου 3η ∆ιδακτική ενότητα: Ιδιότητες των λογαρίθµων 4η ∆ιδακτική ενότητα: Οι φυσικοί λογάριθµοι 5η ∆ιδακτική ενότητα: Η λογαριθµική συνάρτηση 6η ∆ιδακτική ενότητα: Λογαριθµικές εξισώσεις και συστήµατα 7η ∆ιδακτική ενότητα: Εφαρµογές της λογαριθµικής συνάρτησης

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ - Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ-ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1η ∆ιδακτική ενότητα : Σχέση λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης - Όρια 2η ∆ιδακτική ενότητα: Συνέχεια λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης 3η ∆ιδακτική ενότητα:παράγωγος λογαριθµικής - εκθετικής . 4η ∆ιδακτική ενότητα:Γενική επανάληψη-Ασκήσεις


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ - Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1η ∆ιδακτική ενότητα: ∆υνάµεις πραγµατικών µε εκθέτες ρητούς

Ι. Στόχοι:Να µάθουν οι µαθητές τις δυνάµεις µε εκθέτες ρητούς καθώς και τις ιδιότητές τους και να µπορούν να τις χρησιµοποιούν. Επίσης να µάθουν να χρησιµοποιούν τον επιστηµονικό υπολογιστή (κοµπιουτεράκι) για να βρίσκουν τέτοιες δυνάµεις. ΙΙ. Πληροφόρηση-∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Υπάρχουν κάτι …περίεργες δυνάµεις µε εκθέτες κλάσµατα, χρήσιµες κυρίως στις επιστηµονικές εφαρµογές. Ηρθε η ώρα να τις µάθετε… ΙΙΙ. Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Η δύναµη αν, α∈R , ν∈Ν, ν∈Ζ. • Το επόµενο βήµα είναι να ορίσουµε δύναµη πραγµατικού (θετικού) µε εκθέτη

ρητό . Αλλά πως; θα θέλαµε να ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες για τις νέες δυνάµεις,

π.χ. αν θέλουµε να δώσουµε νόηµα στο σύµβολο 43

2 και απαιτήσουµε να ισχύει ο

κανόνας των δυνάµεων πρέπει 34124

43

222 ==

, δηλαδή ο αριθµός 4

3

2 πρέπει να

είναι η τέταρτη ρίζα του 23 .Άρα πρέπει να ορίσουµε 4 343

22 = … • Γενικά : αν α>0, µ ακέραιος , ν θετικός ακέραιος, ορίζουµε :

ν µνµ

αα = • Ο νέος ορισµός ως επέκταση του γνωστού: τι συµβαίνει αν ν=1;

• Παραδείγµατα: 43

32

21

16,8,10 −−

• Ιδιότητες των δυνάµεων:Αν α και p, q ρητοί τότε ισχύουν

qpqp ααα += , q-pq

p

α

α α= , ( ) pqqp αα = ,

( )ppp αββα = , p

pp

β

αβα =


• Απόδειξη της πρώτης ιδιότητας. ΙV. Εφαρµογές • Υπολογισµοί δυνάµεων µε το επιστηµονικό κοµπιουτεράκι, π.χ.

72

31

5,10 , 21,3+50,5 ,

6

31

10

κλπ.

• Να συγκριθούν µε την µονάδα οι αριθµοί 32

21

21

43

5,32,π,2

−

.

V. Προβλήµατα- Ασκήσεις 1. Έστω α > 1.Να αποδειχθεί ότι :

α) Αν x=νµ ρητός τότε ισχύει : x > 0 ⇔ αx > 1.

β) Αν µ, ν, κ, λ ακέραιοι µε ν>0, λ>0 και λκ<µ

ν να αποδείξετε ότι λ

κνµ

αα < .

2. Έστω 0 < α < 1. α) Αν ρ, τ ρητοί µε ρ<τ να αποδείξετε αρ > ατ β) Αν x ρητός, τότε, x > 0 ⇔ αx < 1. 3. Γιατί ορίζουµε δυνάµεις µε βάση (µόνο) θετικό; Οι επόµενες ισότητες ίσως σας πείσουν…

3)3()3( 663

62

−=−=

− , ( ) 3999)3( 2

1633

61

2 ====

− .Τι παρατηρείτε;


2η ∆ιδακτική ενότητα: ∆υνάµεις πραγµατικών µε εκθέτες άρρητους

Ι. Στόχοι:Να µάθουν οι µαθητές τις δυνάµεις µε εκθέτες άρρητους καθώς και τις ιδιότητές τους και να µπορούν να τις χρησιµοποιούν. Επίσης να µάθουν να χρησιµοποιούν τον επιστηµονικό υπολογιστή (κοµπιουτεράκι) για να βρίσκουν τέτοιες δυνάµεις. ΙΙ. Πληροφόρηση-∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Υπάρχουν κάτι …περίεργες δυνάµεις µε εκθέτες 3,2 ,…Τις έχετε ξαναδεί;, Οι δυνάµεις αυτές είναι χρήσιµες κυρίως στις επιστηµονικές εφαρµογές. Ηρθε η ώρα να τις µάθετε… ΙΙΙ. Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Προβληµατισµός για το αν µπορούµε να ορίσουµε δύναµη πραγµατικού µε εκθέτη

άρρητο. Είναι άραγε χρήσιµο ;

• Η δύναµη 52 ως όριο . Οι προσεγγίσεις του αριθµού 5 =2,2360679… και οι

αντίστοιχες προσεγγίσεις του 52 (µε επιστηµονικό κοµπιουτεράκι) Θεωρούµε τις δεκαδικές προσεγγίσεις του 5 : 2 - 2,2 - 2,23 - 2,236 - 2,23606 - 2,236067 - 2,2360679 και υπολογίζουµε τις αντίστοιχες (ρητές) δυνάµεις

22 = 4 22,2 = 4,5947934 22,23 = 4,6913398 22,236 = 4,71 08911 22,23606 = 4,711 0871 22,236067 = 4,7111 099 22,2360679 = 4,71111 29

……………………..

=52 4,71111…. • Αν έχουµε ένα οποιοδήποτε άρρητο x, αποδεικνύεται γενικά ότι υπάρχει ρητός

όσο κοντά θέλουµε στον άρρητο x, ή, µε πιο µαθηµατικό τρόπο, υπάρχει πάντα µια ακολουθία ρητών ρν (π.χ. δεκαδικών προσεγγίσεων του x) που πλησιάζει ή τείνει, όπως λέµε, στον άρρητο x. Αυτό το συµβολίζουµε µε

νν

ρlimx+∞→

=

• Έτσι, γενικά, αν α > 0 και νν

ρlimx+∞→

= ορίζουµε +∞→

=ν

ρx ναlim:α .

Επίσης ορίζουµε 0x = 0, όταν x > 0.


• Ο ορισµός αυτός δεν είναι εύχρηστος και ο λογισµός µε τέτοιες δυνάµεις γίνεται κυρίως µε την βοήθεια των ιδιοτήτων τους

• Αποδεικνύεται ότι αληθεύουν όλες οι γνωστές ιδιότητες των δυνάµεων που ισχύουν όταν οι εκθέτες είναι ρητοί (ξαναγράφονται στον πίνακα).

• Αν α>0 και x∈R τότε αx>0. ΙV. Εφαρµογές 1. Να βρείτε τους ακέραιους a για τους οποίους µπορούµε να ορίσουµε την δύναµη Rx,)a6( x2 ∈− . 2. ∆ιαθέτετε επιστηµονικό κοµπιουτεράκι. Πως θα υπολογίσετε συντοµότερα

την τη τιµή της παράστασης Π= 500501

20002004

)2003(2003

1 ⋅

;

V. Προβλήµατα- Ασκήσεις

1.Να υπολογίσετε, χρησιµοποιώντας κοµπιουτεράκι, τις δυνάµεις 23 , 32 . 2. Αν η ακολουθία (αν) είναι αριθµητική πρόοδος να αποδείξετε ότι η ακολουθία

γν= να10 ,ν=1,2,…είναι γεωµετρική πρόοδος. Γενίκευση µε γν= ναλ , λ>1.

3.Να αποδείξετε ότι 110

110

1010

1010x2

x2

xx

xx

+

−=+

−−

− , x∈R.

4.Να συγκριθούν µε την µονάδα οι αριθµοί 2

π2221,2,3,3

−


3η ∆ιδακτική ενότητα: O αριθµός e Ι. Στόχοι Να γνωρίσουν τον αριθµό e και σχετικά µε αυτόν θέµατα. ΙΙ. ∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Εκτός από τον (σπουδαίο) αριθµό π, ένας άλλος περίεργος αλλά σηµαντικός αριθµός κυριαρχεί στην ζωή µας και ακόµα να τον µάθετε… ΙΙΙ. Κύρια βήµατα διδασκαλίας Πρόβληµα Έστω ότι ανατοκίζουµε ένα κεφάλαιο 1 εκατοµµυρίου Ε µε ετήσιο επιτόκιο 100% (παίρνουµε µια ακραία περίπτωση σκόπιµα) . Ο ανατοκισµός γίνεται ν φορές τον χρόνο, δηλ.ανά χρονική περίοδο 360/ν ηµερών. Τότε το επιτόκιο για αυτήν την χρονική περίοδο είναι 100/ν %. Έτσι ο τόκος ενός 1 εκατοµµυρίου Ε είναι

ν=⋅⋅ 1

1001

ν1001 Ε, οπότε µετά το τέλος της πρώτης χρονικής περιόδου έχοµε

κεφάλαιο και τόκο (1+1/ν) εκ. Ε. Μετά το τέλος της δεύτερης χρονικής περιόδου έχοµε κεφάλαιο και τόκο

2

ν111

ν11

ν11

+=ν

++

+ γενικά µετά το τέλος της ν χρονικής περιόδου θα είναι

ν

ν11

+ εκατοµµυρίων Ε.

ν ν=2, ανά

εξάµηνο ν=4 ανά τρίµηνο

ν=12 ανά µήνα

ν=360 ανά ηµέρα

ν=360Χ24= 8640, ανά ώρα

ν

ν11

+

2,25

2,4414…

2,6130…

2,71451..

2,718 071…

• Συµπέρασµα:και µε αυτό το εξωπραγµατικό επιτόκιο δεν ξεπεράσουµε τα 3

εκ.

• Πληροφόρηση για τον αριθµό e (Euler , άρρητος κλπ)

ν

ν ν11lime

+=+∞→

ή ν

v11e

+≈ για µεγάλα ν

e=2,718 281 828 459 045 23536…….

• Άλλη έκφραση του e: e = ...4321

1321

121

12 +⋅⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

+


ΙV. Εφαρµογές 1.Να υπολογιστούν οι αριθµοί e2, e-1 (κοµπιουτεράκι). 2.Να προσεγγίσετε τον από τον παραπάνω τύπο για ν=3.

3.Να λύσετε την εξίσωση 1e 2x3x2=+− καθώς και την ανίσωση 1e 2x3x2

<+− V. Προβλήµατα- Ασκήσεις 1.Να συγκρίνετε τους αριθµούς π2, e2 , καθώς και τους π-1, e-1 . 2.Να αποδείξετε ότι

1ννν

ν11

ν11

1ν11

+

+<

+<

+

+ , ν=1,2,3…

2.Αν 2x=α(et+e-t), 2y=β(et-e-t) , α, β>0,να δείξετε ότι x2/α2+y2/β2=1.


4η ∆ιδακτική ενότητα: Η Εκθετική συνάρτηση

Στόχοι:Να µάθουν την εκθετική συνάρτηση, την γραφική της παράσταση και τις ιδιότητές της. Πληροφόρηση-∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Σ’ ένα µεγάλο πλήθος φαινοµένων τα µεγέθη µεταβάλλονται πολύ γρήγορα και συνήθως εκθετικά (δηλαδή µεγαλώνει η δύναµη καθώς αυξάνει αργά (αριθµητικά) ο εκθέτης, µε σταθερή βάση), και έτσι η εκθετική συνάρτηση είναι µια πολύ σπουδαία συνάρτηση για τα µαθηµατικά αλλά και όλες τις θετικές επιστήµες. • Για παράδειγµα ας δούµε ένα ιστορικό Πρόβληµα (Euler,1748): «Αν ένας πληθυσµός 100000 κατοίκων αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 1/30 πόσος θα είναι ο πληθυσµός µετά 100 χρόνια;»

Το πρόβληµα αυτό οδηγεί σε πληθυσµό Π = 100000100

3011

+ .

• Ένα δοχείο περιέχει 5 λίτρα βενζίνης ξεχάστηκε µε ανοικτό το πώµα για πολλές µέρες. Αν είναι γνωστό ότι κάθε µέρα εξατµίζεται το 20% του όγκου του να βρεθεί πόση ποσότητα θα υπάρχει την 3η µέρα (µε το τέλος της 3ης µέρας).Τι ποσότητα θα υπάρχει µετά από 5 µέρες; Θα αδειάσει ποτέ;

(οδηγεί στην συνάρτηση V(t)=5(0,8)t) Κύρια βήµατα διδασκαλίας α) Ορισµός και ιδιότητες της εκθετικής ε(x) = αx ,0<α≠1.

• πεδίο ορισµού , το R • πρόσηµο των τιµών της, σύνολο τιµών το (0, +∞) • µονοτονία- γν. αύξουσα αν α>1 (αξιοποίηση της ιδιότητας: αν x, y ρητοί µε x<y

τότε αx <αy) και γν. φθίνουσα αν αν 0<α<1 • Μεταβολή της συνάρτησης καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή παίρνει πολύ

µεγάλες (θετικές) τιµές και όταν παίρνει πολύ µικρές αρνητικές (και στις δυο περιπτώσεις α>1, 0<α<1)

• Η συνάρτηση Ε(x) = ex λέγεται απλά εκθετική συνάρτηση και παίζει σπουδαίο

ρόλο στις θετικές επιστήµες. β) Γραφική παράσταση εκθετικής • Πίνακας τιµών -σηµεία τοµής µε άξονες- και σχεδίαση των γρ. παραστάσεων των

συναρτήσεων


f(x) = 3x , g(x) = x

31

. Τι παρατηρείτε;

• Επισήµανση των πληροφοριών που έχουµε όταν θυµόµαστε την γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης.

Εφαρµογές • Σχεδίαση των γρ. παραστάσεων των συναρτήσεων f(x)= ex , φ(x)= e-x . Ασκήσεις 1. Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού α για τις οποίες η ορίζεται η συνάρτηση f (x)= (2-α)x, x∈R.Για ποιες τιµές του α είναι γν. αύξουσα;. 2.Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τις γρ. παραστάσεις των συναρτήσεων f (x)= 2x, g(x)= 2x-1 , h(x)= 1+2x-1. 3.α)Αν ex >0 να δείξετε ότι x>0.Ισχύει το αντίστροφο;

β) Αν ex > ey να δείξετε ότι x>y. γ)Να λυθεί η ανίσωση 2x3x2e +− >0 .

4.Εστω δυο ακολουθίες (γν), (αν) µε γν= ναe , ν=1,2,… Αν η ακολουθία γν είναι γεωµετρική πρόοδος να εξετάσετε αν η (αν) είναι αριθµητική πρόοδος


5η ∆ιδακτική ενότητα: Εφαρµογές της εκθετικής συνάρτησης σε

εξισώσεις και συστήµατα

Στόχος: να µάθουν να λύνουν απλές εκθετικές εξισώσεις , συστήµατα και σχετικά προβλήµατα. ∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Σε ποιο αριθµό πρέπει να υψώσουµε το 1000 για να βρούµε 10; Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Μια πολύ χρήσιµη ιδιότητα: αν αx = αx τότε x=y (απόδειξη µε βάση την µονοτονία

και την µέθοδο της εις άτοπον απαγωγής)

• Έννοια της εκθετικής εξίσωσης. Λύση εξισώσεων, π.χ.

9x =27, 4-x =81 , 1x2

e − =1

• α)Λύση της η εξίσωσης 4x-6⋅2 x +8=0 β)Λύση της ανίσωσης 4x +8<6⋅2 x . • Λύση του συστήµατος (3x+2y =17, 2⋅3x-2y =10)

Προβλήµατα-Ασκήσεις

1.Να λύσετε τις εξισώσεις 32 x =16 1-x , 3-x=811

2.Αν α>0 να αποδείξετε ότι α1α1α x

x +=α

+ ⇔ x=1 ή x=-1.

3.Ας υποθέσουµε ότι ένας πατέρας δίνει χαρτζιλίκι στο γιο του 1 Ε την ηµέρα. Το παιδί του ζήτησε αύξηση 10% και τελικά κατέληξαν σε αύξηση 10% κάθε ∆ευτέρα, µε αρχή από την επόµενη βδοµάδα. α)Τι ποσό θα παίρνει το παιδί την 5η βδοµάδα; β)Μετά από πόσες βδοµάδες το χαρτζιλίκι του θα γίνει 1,5 Ε;


6η ∆ιδακτική ενότητα: Φυσικές εφαρµογές της εκθετικής συνάρτησης Στόχος : Να γνωρίσουν οι µαθητές µερικές εφαρµογές της εκθετικής συνάρτησης σε διάφορα πρακτικά προβλήµατα ∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Πρόβληµα Η θερµοκρασία Τ(t) σε βαθµούς κελσίου ενός βραστήρα τσαγιού κατέρχεται µέχρι να φτάσει την θερµοκρασία Τ0 ενός δωµατίου, σύµφωνα µε τον τύπο )e1(T)t(T t2

0−+= ,

t≥0 ο χρόνος σε min α) Αν Τ0 =20ο C να υπολογίσετε την αρχική θερµοκρασία του βραστήρα β)Να υπολογίσετε την θερµοκρασία του βραστήρα µετά από 5 min. Κύρια βήµατα διδασκαλίας α)Νόµος της εκθετικής µεταβολής : λt

0 eQ)t(Q ⋅= . • Αν λ>0 τότε eλ>1, άρα είναι γν. αύξουσα : περίπτωση εκθετικής αύξησης • Αν λ<0 τότε 0<eλ<1, άρα είναι γν. φθίνουσα: περίπτωση εκθετικής µείωσης

(απόσβεσης) β)Εφαρµογή : το οικολογικό µήνυµα από την εκθετική συνάρτηση Η ποσότητα σε γραµµάρια του ραδιενεργού Θορίου 230 κατά την χρονική στιγµή t≥0 (σε έτη) δίνεται από τον τύπο 80000/t)5,0(10Q(t) = . α)Να βρεθεί το αρχικό βάρος της ουσίας. β)Να βρεθεί πόσα χρόνια πρέπει να περάσουν για να µείνει η µισή ποσότητα θορίου (χρόνος ηµιζωής), Προβλήµατα-Ασκήσεις 1.Το ραδιενεργό Ράδιο έχει χρόνο υποδιπλασιασµού 1600 χρόνια. Έστω ότι ένα πυρηνικό εργαστήριο διαθέτει 5 γραµµάρια. α)Να βρεθεί η συνάρτηση η οποία δίνει την ποσότητα του Ραδίου µετά από t χρόνια. β)Να υπολογίσετε την ποσότητα που θα έχει αποµείνει µετά από 600 χρόνια µε προσέγγιση 2 δεκ. ψηφίων. γ)Να αποδείξετε ότι µετά από 20000 χρόνια µόλις 0,001 γραµµάρια θα έχουν αποµείνει. (Q(t)=5(0,5)t/1600)


2. Ένας πωλητής αυτοκινήτων βεβαιώνει τους πελάτες του ότι η αξία ενός αυτοκινήτου 15000 Ε µέσα στα 6 πρώτα χρόνια από την πώλησή του ελαττώνεται κατά 15% το χρόνο. α) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την τιµή του αυτοκινήτου µέσα στα 6 χρόνια. β) Να υπολογίσετε την τιµή του αυτοκινήτου στο τέλος του έκτου χρόνου.


7η ∆ιδακτική ενότητα: επανάληψη – προετοιµασία λογαρίθµων

Στόχος: Με την ενότητα αυτή επιδιώκουµε την υπενθύµιση γνώσεων από τις προόδους και την εκθετική συνάρτηση, µέσω ορισµένων προβληµάτων και ασκήσεων, που θα χρησιµοποιήσουµε στο επόµενο κεφάλαιο των λογαρίθµων. Κύρια βήµατα της διδασκαλίας Πρόβληµα 1 (Παρεµβολής) α)Να βρεθούν ν=10 αριθµοί µεταξύ του 1 και του α=10 ώστε όλοι µαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. β)Το ίδιο πλήθος αριθµών αλλά µεταξύ του α=10 και του α2=100.Τι παρατηρείτε; γ)Έστω α>1.Γενίκευση : Παρεµβολή ν όρων µεταξύ του 1 και του αριθµού α και ν όρων µεταξύ του α και του α2. Ποια σχέση έχουν οι λόγοι στις δυο παρεµβολές; Πρόβληµα 2 Έστω µια γεωµετρική πρόοδος (γν), ν=1,2,… µε λόγο λ>0. Αν γ1=λ, να εξετάσετε αν το γινόµενο δυο όρων της είναι επίσης όρος της προόδου. Ασκήσεις 1.Έστω µια αριθµητική πρόοδος (αν), ν=1,2,… µε διαφορά ω. Αν α1=ω να δείξετε ότι το άθροισµα δυο όρων της είναι επίσης όρος της προόδου αυτής. 2.Έστω µια γεωµετρική πρόοδος (γν) µε λόγο λ και µια αριθµητική πρόοδος (αν), ν=1,2,… µε διαφορά ω. Αν γ1=λ, α1=ω να δείξετε ότι, το γινόµενο δυο όρων της γεωµετρικής προόδου έχει τάξη ίση µε την τάξη του αθροίσµατος των αντιστοίχων όρων στην αριθµητική πρόοδο. Προβλήµατα-Ασκήσεις 1.Έστω µια αριθµητική πρόοδος (αν), ν=1,2,… µε διαφορά ω≠0. Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το άθροισµα δυο όρων της να είναι επίσης όρος της προόδου αυτής. (Απ. α1=µω, µ∈Ν) 2.Έστω µια γεωµετρική πρόοδος (γν), ν=1,2,… µε λόγο λ. Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το γινόµενο δυο όρων της να είναι επίσης όρος της προόδου αυτής. (γ1=λρ, ρ∈Ν) 3.Έστω µια γεωµετρική πρόοδος (γν) µε λόγο λ και µια αριθµητική πρόοδος (αν), ν=1,2,… µε διαφορά ω. Να δείξετε ότι, αν το γινόµενο δυο όρων της γεωµετρικής προόδου έχει τάξη ίση µε την τάξη του αθροίσµατος των αντιστοίχων όρων στην αριθµητική πρόοδο, τότε υπάρχει θετικός ακέραιος θ ώστε να ισχύει γ1=λθ, α1=θω και αντίστροφα.


Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ∆ Ε Υ Τ Ε Ρ Ο - Β ΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Λ Ο Γ Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι

1η ∆ιδακτική ενότητα

Από την ιστορία των λογαρίθµων… Στόχοι Να γνωρίσουν οι µαθητές µερικά ιστορικά στοιχεία των λογαρίθµων. Γενικότερη ευαισθητοποίηση σε θέµατα ιστορίας Μαθηµατικών (περισσότερα στοιχεία υπάρχουν στο παράρτηµα της εργασίας). Πληροφόρηση-∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης • Πως γίνονταν οι αριθµητικές πράξεις τα παλιά (όχι και πολύ παλιά) χρόνια όταν δεν

υπήρχαν τα κοµπιουτεράκια και οι Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές;

• Οι ανάγκες του εµπορίου, της ναυσιπλοΐας και αστρονοµίας και το επίπονο έργο των αριθµητικών υπολογισµών

Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Η κύρια τεχνική για την εκτέλεση υπολογισµών τον 16ο -17ο αιώνα στηριζόταν στον

λεγόµενο κανόνα «προσθαφαίρεσης».Ο κανόνας αυτός χρησιµοποιούσε την τριγωνοµετρική σχέση….

ηµxηµy = 21 συν(x-y) -

21 συν(x+y)

π.χ. για να βρεθεί το γινόµενο δυο αριθµών α, β∈(0, 1) πρώτα υπολόγιζαν από τους τριγωνοµετρικούς πίνακες γωνίες x, y ώστε α = ηµx, β = ηµy. Στην συνέχεια υπολόγιζαν τα x-y, x+y καθώς και τους αριθµούς συν(x-y), συν(x+y) των οποίων η ηµιδιαφορά έδινε το γινόµενο αβ (µε βάση την παραπάνω σχέση).Η µέθοδος όµως αυτή ήταν πολύ αργή και οι ανάγκες µεγάλωναν... • Οι πρόοδοι του stifel 1544 και οι σχετικοί κανόνες …1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 … …-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … Η πρώτη (πάνω) είναι γεωµετρική πρόοδος δυνάµεων του 2, ενώ η δεύτερη είναι η αριθµητική πρόοδος των αντιστοίχων εκθετών των δυνάµεων (που είναι συγχρόνως


και οι τάξεις των όρων της γεωµ. προόδου) και διατύπωσε 4 κανόνες για την εκτέλεση πράξεων µεταξύ των αριθµών που αποτελούν τους όρους της γεωµετρικής προόδου: 1ος. Πολλαπλασιασµός : π.χ. για τον πολλαπλασιασµό 16Χ64, οι αριθµοί 16, 64,

έχουν αντίστοιχους στην αριθµ. πρόοδο τους 4, 6 που έχουν άθροισµα 4+6=10.Το 10 όµως στην αριθµ. πρόοδο αντιστοιχεί στο 1024 της γεωµετρικής προόδου, που είναι το γινόµενο τους.

(σηµερινή ερµηνεία µ+νµ =⋅ 222ν ) 2ος. Η διαίρεση 2048:64 αντιστοιχεί στη διαφορά 11-6=5 που αντιστοιχεί στον

όρο 32 της γεωµ. προόδου, που είναι το πηλίκο τους.

(σηµερινή ερµηνεία: µ−νµ

ν= 2

2

2 )

3ος . Η δύναµη 83 =512 ανάγεται στον πολ/σµό 3⋅3=9 του εκθέτη µε την τάξη του όρου 8, που αντιστοιχεί στο 512 της γ. προόδου.

(σηµερινή ερµηνεία : ( ) νµµν 22 = ) 4ος. Η ρίζα 4 4096 =8 ανάγεται στην διαίρεση 12:4=3 που αντιστοιχεί στο 8 της

γ. προόδου.

(σηµερινή ερµηνεία : νµ

ν µ 22 = )

ΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Η αξία της µεθόδου του Stifel είναι βέβαια πολύ µικρή, αφού περιορίζεται µόνο στους αριθµούς που είναι δυνάµεις του 2, αλλά η αντιστοίχηση που έκανε και οι κανόνες που διατύπωσε (και που είναι ουσιαστικά ένα σύστηµα λογαρίθµων) άνοιξαν το δρόµο για παραπέρα έρευνα και για δηµιουργία πινάκων µε περισσότερους και πιο πυκνούς αριθµούς στην γεωµετρική πρόοδο, ώστε να είναι δυνατή η εκτέλεση πράξεων σε πολλές περιπτώσεις µε τους κανόνες του Stifel. Οι πρώτοι που δηµοσίευσαν τέτοιους πίνακες (λεγόµενους λογαριθµικούς) ήταν ο Σκωτσέζος John Napier (1550-1617) και ο Eλβετός Βurgi (1552-1632). Πρώτα δηµοσιεύθηκαν οι πίνακες του Napier το 1614 που γνώρισαν µεγάλη διάδοση και µετά του Βurgi που ήταν γνωστοί σ’ ένα µικρό µόνο κύκλο αστρονόµων. Παρά το κοινό τους θεωρητικό υπόβαθρο οι πίνακές τους διαφέρουν σηµαντικά.

Α. Λογάριθµοι Napier Ο John Napier (1550-1617) ήταν Σκωτσέζος ευγενής και όταν δεν ασχολούνταν µε εκκλησιαστικές διαµάχες και έριδες της εποχής του, το ενδιαφέρον του στρεφόταν στα Μαθηµατικά και τις εφαρµογές τους. Από διάφορες επιστολές προκύπτει ότι εργαζόταν πάνω στους λογαρίθµους από το 1592. Οι πίνακες του Napier όπως και του Burgi στηρίζονται στην αντιστοίχηση µιας γεωµετρικής προόδου µε µια αριθµητική. Οι αριθµοί της αριθµητικής προόδου είναι οι


λογάριθµοι των αριθµών της γεωµετρικής προόδου. Στην αρχή ονόµασε τους λογάριθµους «τεχνητούς αριθµούς» και στην συνέχεια τους έδωσε το όνοµα «λογάριθµος» από τις Ελληνικές λέξεις «λόγος» και «αριθµός»: περιέγραφε έτσι το πλήθος των διαδοχικών (ίσων) λόγων που σχηµατίζει η γεωµετρική πρόοδος και που µετρώνται βέβαια µε τους όρους της αντίστοιχης αριθµητικής (όπως στις προόδους του Stifel : όπου π.χ. ο 5, που είναι ο λογάριθµος του 32, µετρά το πλήθος των συνεχόµενων λόγων

1632

816

48

24

12 ==== µέχρι τον 32, κ.ο.κ.

το λογαριθµικό σύστηµα του Napier ισοδυναµεί µε ικανοποιητική προσέγγιση µε ένα λογαριθµικό σύστηµα βάσης 1/e, ή ισοδύναµα, οι λογάριθµοι του Napier είναι οι αντίθετοι των σηµερινών φυσικών λογαρίθµων.

Β. Λογάριθµοι Briggs Τους πίνακες του Napier είδε ο Καθηγητής Henry Briggs (1561-1631) και ενθουσιάστηκε. Ταξίδεψε στο Εδιµβούργο όπου και συνάντησε τον Napier υποβάλλοντας του τα σέβη του στον µεγάλο εφευρέτη και συγχρόνως προσπάθησε να τον πείσει ότι πρέπει να χρησιµοποιηθούν οι δυνάµεις του 10.Οι δυο άνδρες συνεργάστηκαν και τελικά κατέληξαν ότι θα’ ταν καλύτερα ο λογάριθµος του 10 να είναι 1 και ο λογάριθµος του 1 µηδέν. Το έργο ανέλαβε πια να συνεχίσει ο Briggs. Ο Briggs χρησιµοποίησε µύρια τεχνάσµατα για υπολογίσει δεκαδικούς λογάριθµους µε ακρίβεια 16 δεκαδικών ψηφίων (έργο τιτάνιο, αφού βέβαια δεν υπήρχαν τότε αριθµοµηχανές). (βλ.[5],[6]). Έτσι γεννήθηκαν τελικά οι γνωστοί σήµερα λογάριθµοι µε βάση το 10 ή κοινοί λογάριθµοι που οφείλουν την χρησιµότητά τους στους αριθµητικούς υπολογισµούς και στο ότι χρησιµοποιούµε το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης.


Γ. Λογάριθµοι Βurgi Ο Burgi (1552-1672) ήταν ωρολογοποιός και κατασκευαστής επιστη-µονικών οργάνων και µε τις ιδιότητες του αυτές εργάστηκε σε διάφορα αστεροσκοπεία της εποχής του. Επίσης υπήρξε βοηθός του Kepler. Οι πίνακες του Burgi δηµοσιεύθηκαν το 1629 στην Πράγα, δηλαδή µετά τους πίνακες του Napier. Ο διπλανός πίνακας είναι ένα µικρό µόνο απόσπασµα από τους πίνακές του. Το σύστηµα των προόδων του Burgi ισοδυναµεί µε καλή προσέγγιση µε το σηµερινό σύστηµα των φυσικών λογαρίθµων (βλ.ιστορικό παράρτη-µα). Σ’ αυτούς χρησιµοποίησε 23027 όρους αριθµητικής προόδου (κόκκινοι αριθµοί, αφού είχαν τυπωθεί µε κόκκινο χρώµα) και αντίστοιχους όρους γεωµετρικής προόδους (µαύροι αριθµοί). ∆ηλαδή µπορούµε να πούµε ότι κάθε µαύρος αριθµός είχε λογάριθµο τον αντίστοιχο κόκκινο αριθµό. Παράδειγµα 1: Να βρεθεί το γινόµενο 1000Από τον παραπάνω πίνακα βλέποµε ότι στονο (κόκκινος) αριθµός 30, ενώ στον αριθµόκόκκινους 30+60=90 και σ’ αυτόν τον κόκΑυτά όµως είναι µόνο τα 9 πρώτα ψηφία τστο τέλος 8 µηδενικά (το πραγµατ10009003600630045. ∆οκιµάστε να βρείτε τ• Επίδειξη λογαριθµικών πινάκων και λογ∆ραστηριότητες µαθητών Ανατίθενται στους µαθητές οµαδικές συνθετικi) Λογάριθµοι Νapier , ii) Λογάριθµοι Briggs, iv) Ο λογαριθµικός κανόνας, v)Οι Λογαριθµικ2η ∆ιδακτική ενότητα: Ορισµός Λογάριθµο Στόχοι Να µάθουν και να κατανοήσουν οι µαθητές πωνα χρησιµοποιούν τον ορισµό σε διάφορες περ

Μαύροι αριθµοί

Κόκκινοι αριθµοί

100000000 0 » 10000 10 20001 20 30003 30 40000 40 50010 50 60015 60 ….. …. 90036 90

….. …. 100984768 980

….. …. 999999779 230270

30003 Χ 100060015 (µαύρο) αριθµό 100030003 αντιστοιχεί 100060015 ο 60. Προσθέτουµε τους κινο αντιστοιχεί ο µαύρος 100090036. ου αριθµού. ∆ηλαδή ο Burgi πρόσθετε ικό γινόµενο των αριθµών είναι ο γινόµενο µε τον γνωστό τρόπο…). αριθµικού κανόνα.

ές εργασίες µε θέµατα: iii) Λογάριθµοι Burgi. , οί πίνακες υ

ς ορίζονται οι λογάριθµοι. Να µπορούν ιπτώσεις.


Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Oρισµός του λογαρίθµου µέσω αντιστοιχίας µιας γεωµετρικής και µιας αριθµητικής

προόδου. Αν β>1 θεωρούµε την αντιστοιχία των προόδων Γεωµετρική: … β-2 , β-1 , β0=1, β1 , β2 , β3,… Αριθµητική: … -2 , –1 , 0 , 1, 2 , 3,… Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι έχουµε ένα λογαριθµικό σύστηµα µε βάση β. Καλούµε λογάριθµο του αριθµού-όρου βν , ως προς βάση β, τον αριθµό-εκθέτη ν, συµβολικά λογ βν =ν. Είναι πάντα λογβ=1. Επίσης λογβ2=2, λογ1/β=-1κλπ..Οι αριθµοί που είναι µεγαλύτεροι του 1 έχουν θετικούς λογαρίθµους, ενώ οι µικρότεροι του 1 αρνητικούς. • Επέκταση του ορισµού για ένα θετικό αριθµό x: Μπορούµε να παρεµβά-λουµε

(όπως έχουµε δεί) µεταξύ δυο διαδοχικών (θετικών) όρων της παραπάνω γεωµετρικής προόδου, όσους όρους θέλουµε. (κατά την παρεµβολή αυτή οι αριθµοί … β-2, β-1, β0=1, β1, β2, β3,… θα εξακολουθή-σουν να είναι όροι της νέας γεωµ. προόδου αλλά θα έχει αλλάξει ο λόγος , οποίος όµως θα είναι κοινός για όλες τις ενδιάµεσες παρεµβολές). Το ίδιο πλήθος όρων παρεµβάλουµε και µεταξύ των αντιστοίχων όρων της (παραπάνω) αριθµητικής προόδου. Έτσι θα έχουµε δηµιουργήσει ένα λογαριθµικό σύστηµα που οι όροι της γεωµετρικής προόδου είναι πολύ πυκνοί, δηλαδή κοντά σε όποιο δεκαδικό (ρητό) θέλουµε. Έτσι όλοι αυτοί οι (θετικοί) αριθµοί θα έχουν λογάριθµους.

• Γενικά : αποδεικνύεται ότι, αν x>0 και β>0 , α≠1, τότε υπάρχει ένας µοναδικός

αριθµός y ώστε x=βy. (Αν x>1 τότε y>0, ενώ αν 0<x<1 τότε y<0). Έτσι ορίζουµε ως λογάριθµο του θετικού x , µε βάση τον αριθµό β, τον αριθµό y, συµβολικά y=λογβ x.

y = λογβ x ⇔⇔⇔⇔ x= βy

• Λογάριθµους ορίζουµε µόνο για θετικούς αριθµούς. Οι µεγαλύτεροι του 1 αριθµοί

έχουν λογάριθµο θετικό και οι µικρότεροι του 1 έχουν αρνητικό.

• Βασικές σχέσεις λογββθ = θ, xβxλογβ = , λογββ = 1, λογβ1 = 0 (1)

• Αν α=10, τότε o λογάριθµος λογe x λέγεται δεκαδικός και συµβολίζεται µε

logx = λογ10 x .


• Αν α = e, τότε τον λογάριθµο αυτόν θα τον λέµε (προς το παρόν) λογάριθµο µε βάση e και θα τον συµβολίζουµε µε lnθ = λογe x. Για το γιατί και πως πήραµε βάση τον e, λίγη υποµονή…

• Να γράψετε τις αντίστοιχες σχέσεις (1) για τους δεκαδικούς λογάριθµους. Και τους λογάριθµους µε βάση e. Εφαρµογές

• Να βρεθούν οι λογάριθµοι ln 2004e , lne-2, log 1000, log 101

, log 100

1.

• Να βρεθούν οι λογάριθµοι λογ2 16 , λογ3 81, λογ2 1/8 . • Να λυθούν οι εξισώσεις log x=10000, λογ3 x=1/27, ln(e2), ln(1/e). Προβλήµατα –Ασκήσεις 1. Έστω α>1.Να εξηγήσετε γιατί οι αριθµοί 2, 3 έχουν θετικούς δεκαδικούς λογάριθµους ενώ οι 1/2 , 3/4 αρνητικούς. Ισχύει το ίδιο εν έχοµε λογάριθµους µε βάση το e; Γενικεύσετε.

2. Να βρείτε τους lne3, lne-3, log1/100, log101 .

3. Να λυθούν οι εξισώσεις α) logx + 4 = 0, β) 1 + lnx = 0.


3η ∆ιδακτική ενότητα: Ιδιότητες των λογαρίθµων

Στόχοι Να γνωρίσουν µαθητές τις ιδιότητες των λογαρίθµων και να αποκτήσουν την δυνατότητα να τις χρησιµοποιούν. ∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Η µεγάλη δύναµη των λογαρίθµων οφείλεται στις ιδιότητές τους . ∆εν είναι µικρό πράγµα π.χ. να µετατρέπει κανείς τον πολλαπλασιασµό, ιδίως πολύ µεγάλων αριθµών, σε πρόσθεση, ή την εξαγωγή π.χ.15ης τάξης ρίζα σε µια διαίρεση µε το 15… Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Απόδειξη των ιδιοτήτων

α) λογα(xy) = λογαx + λογαy β) yxyx

ααα λογ−λογ=λογ ,

γ) xκλογxλογ ακ

α = δ) αλογθλογ

θλογβ

βα =

Η δεύτερη (και εν µέρει η τρίτη) µπορεί να προκύψει και χωρίς τον ορισµό , µε χρήση της πρώτης

• Αναφορά στις δυνατότητες που µας δίνουν οι ιδιότητες αυτές, που αποτελούν και την δύναµη των λογαρίθµων.

• Aν logx = κ∈Ν, να βρεθούν οι λογάριθµοι log10x, log1000x, log(x/100).

Συµπέρασµα. • Εφαρµογές

1. λογαx=αlnxln ,

10lnxlnxlog = (ή logx=(0,434)lnx)

2. Aν log2=0,3 , log3=0,48 να βρεθούν οι λογάριθµοι log12, log36, log1/6. 3. Mε ένα κοµπιουτεράκι βρίσκουµε log4567=3,6596. i)Να βρεθούν οι λογάριθµοι log45,67, log0,4567, log 4 4567 . ii)Να λυθούν οι εξισώσεις logx=2,6596, log(x2)=4,6596.

4.Να αποδείξετε ότι 9698log

213log

212log27log ++= .


Ασκήσεις 1. Αν log2004=3,3019 να βρείτε τους λογάριθµους log200,4 , log0,2004 και να λύσετε την εξίσωση log2x=1,3019. 2. Είναι γνωστό ότι log3=0,48. Να βρείτε το δεκαδικό λογάριθµο α) του α= 3 3 , β)του αντιστρόφου του α. Γενικεύσετε.

3. Να αποδείξετε ότι ln5=

4911

4911

ln213ln

212ln

23

−

+++ .

4. Nα αποδείξετε ότι log(a2-b2)=2loga+

++

−

ab1log

ab1log , a>b>0.

5. Nα αποδείξετε ότι loga+log

++

+−=

− 1

ab

ablog)balog(

ab1

23, a>b>0.

6. Με ένα κοµπιουτεράκι να υπολογίσετε το άθροισµα

Σ=401

191...

121

111

201 +++++ (Απ.0,69377)


4η ∆ιδακτική ενότητα: Οι φυσικοί λογάριθµοι

Στόχοι Να µάθουν οι µαθητές τους φυσικούς λογάριθµους µέσα από την ιστορική γέννησή τους. Να έχουν µια πρώτη εποπτική γνωριµία µε την ιστορική µέθοδο της εξάντλησης. Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Θεωρούµε την y =1/x τα µήκη ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Ο∆,…σε γεωµετρική

πρόοδο π.χ. ΟΑ=1, ΟΒ=2, ΟΓ=4, Ο∆=8,…και υπολογίζουµε τα αντίστοιχα εµβαδά (ΑΒΛΚ), (ΒΓΜΛ), (ΜΓ∆Ν)

y=1/x Κ Λ Μ Ν Ο A B Γ ∆ • Για το (ΑΒΛΚ):χωρίζουµε το τµήµα ΑΒ=1 σε 10 ίσα µέρη και

αθροίζουµε τα εµβαδά των αντίστοιχων τραπεζίων

(ΑΒΛΚ)=

++

+++

++

+21

9,11

9,11

8,11...

2,11

1,11

1,111

21,0

...6937,0401

191...

121

111

201

21

1920...

1220

11201

201 =+++++=

++++=

Το εµβαδόν αυτό είναι «λίγο παραπάνω» (µε υπεροχή) από πραγµατικό. • Οµοίως αν χωρίσουµε το ΒΓ σε 20 και το Γ∆ σε 40 ίσα τµήµατα και

χρησιµοποιήσοµε τραπέζια για να προσεγγίσουµε (µε υπεροχή) τα αντίστοιχα εµβαδά, τότε βρίσκοµε

(ΒΓΜΛ)=0,693… , (Γ∆ΝΜ)=0,693… δηλαδή περίπου ίσα. ΄Ετσι θα έχοµε ότι τα εµβαδά (ΑΒΛΚ) = 0,693, (ΑΓΜΚ) = 0,693+0,693 =1,386 , (Α∆ΝΚ) = 1,386+ 0,693= 2,079 βρίσκονται σε αριθµητική πρόοδο. • Ασφαλώς τα εµβαδά µπορούν να προσεγγιστούν καλύτερα. Στο [5]

αναφέρεται ότι αν ΑΒ χωριστεί σε 100 τµήµατα, το ΒΓ σε 200 και το Γ∆ σε 400 τµήµατα, τότε µε την βοήθεια Η/Υ βρέθηκε ότι


(ΑΒΛΚ)=0,6931 53436, (ΒΓΜΛ)=0,6931 48747, (Γ∆ΝΜ)=0,6931 47575 κρατώντας τα 4 πρώτα δεκαδικά ψηφία επιβεβαιώνουµε καλύτερα ότι εµβαδά βρίσκονται σε αριθµητική πρόοδο. Ο Newton κατασκεύασε ένα παρόµοιο πίνακα λογαρίθµων υπολογίζοντας τις τιµές των εµβαδών µε ακρίβεια 57 δεκαδικών ψηφίων (χωρίς βέβαια υπολογιστή!) • Τα παραπάνω µας επιτρέπουν να θεωρήσοµε την αντιστοιχία

ΟΑ=1 0 ΟΒ=2 (ΑΒΛΚ) = 0,693 ΟΓ=4 (ΑΓΜΚ) = 1,386 Ο∆=8 (Α∆ΝΚ ) = 2,079

…… ….. Αυτή η αντιστοιχία µηκών (σε γεωµετρική πρόοδο) και εµβαδών (σε αριθµητική) µας δίνει την αίσθηση ότι έχοµε να κάνοµε µε ένα… λογαριθµικό σύστηµα. ∆ηλαδή να αποδώσουµε στον 1 λογάριθµο 0, στον 2 λογάριθµο 0,6931, στον 4 1,3862 κλπ , συµβολικά λ(1)=0, λ(2)=0,6931, λ(4)=1,3862 και κατ’αναλογία λ(1/2)=-0,693=-λ(2) κλπ Αν πράγµατι συµβαίνει αυτό, πρέπει να αναζητήσουµε την βάση του λογαρίθµου αυτού, δηλαδή τον αριθµό εκείνο, έστω β για τον οποίο ισχύει λ(βx)=x για κάθε x∈R, οπότε βέβαια και λ(β)=1.Τότε όµως πρέπει

λ(2)=0,6932 ή 2=β0,6931 ή β= 7184669,22 6931,01

= . ∆ηλαδή βάση β≈e Άρα η βάση αυτού του λογαριθµικού µας συστήµατος είναι ο (πανταχού παρών!) e .∆ηλαδή οι λογάριθµοι αυτοί συµπίπτουν µε τους γνωστούς µας λογαρίθµους µε βάση το e. Παρατηρούµε ότι οι λογάριθµοι αυτοί δεν είναι, όπως οι µέχρι τώρα γνωστοί, απλά «αριθµητικά κατασκευάσµατα»: έχουν κάτι το ζωντανό, το φυσικό: εκφράζουν εµβαδά! Γι’ αυτό και οι λογάριθµοι αυτοί επικράτησε να λέγονται φυσικοί και συµβολίζονται διεθνώς µε lnθ=λ(θ) (από το logarithmus naturalis όπως τους ονόµασε ο Ν. Mercator to 1668). • Aν θ>1τότε lnθ=E(1,θ) : εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

γρ. παράσταση της y=1/x, τον άξονα των x και τις ευθείες x=1, x=θ. • 0<θ<1 τότε lnθ=-E(1,θ) ( λ(θ)=-λ(1/θ)). • Αποδεικνύουµε γεωµετρικά την (πολύ χρήσιµη στα επόµενα)

λογαριθµική ανισότητα

1ln1θ −θ<θ<θ− , θ>0


Το εµβαδόν του χωρίου ΑΒΓ∆ που περικλείεται από την υπερβολή, τον άξονα των x και τις ευθείες x=1, x=θ>1, δηλαδή ο λ(θ) = lnθ, προσεγγίζεται από κάτω από το ορθογώνιο ΒΓ∆Ε µε βάση ΒΓ=θ-1 και ύψος Γ∆=1/θ και από πάνω από το ορθογώνιο ΑΒΓΖ µε βάση ΒΓ=θ-1 και ύψος ΑΒ=1/1.

Άρα (ΒΓ∆Ε)<(ΑΒΓ∆)<(ΑΒΓΖ) ή ln1θ <θ<θ−

Για 0<θ<1, εφαρµόζοντας την προηγούµενβλέποµε ότι ισχύει και για 0<θ<1. Για θ=1 ισχ v Άλλος αυστηρότερος τρόπος για να β

λογαρίθµων

Αναζητούµε ένα αριθµό α τέτοιο ώστε lnα=(προφανώς α>1) το εµβαδόν που περικλείεευθείες x=1και x=α είναι ίσο µε 1. Από την λογαριθµική ανισότητα για ν αθ = >

1αν

lnα

α

1α νν

ν−<<− . Όµως lnα

( ) νν α1αν <− και ( )1αν1 ν −< και λύνοντ

νν

1ν11α

ν11

−

+<<

+ ή ν

1αν11

+<<

+

Όµως ν

ν ν11lime

+=+∞→

, οπότε e≤α≤e ή α=e

Σηµείωση Μετά την διδασκαλία των ολοκληρωµάτων

παρατηρήσουµε ότι dtt1xln

x

1∫= , x>0 και να

λογάριθµος µπορεί να οριστεί και µε τον τάσκηση, αποδεικνύονται όλες (και µάλιστα λογαρίθµου αυτού. Ακόµη, στην συνέχεια, µπσυνάρτηση, ως αντίστροφη της lnx. Πιστεύω είναι διδακτικά σωστή στο Λύκειο.

Α Ζ Ε ∆ Β Γ 1 θ

1−θ .

η ανισότητα για τον 1/θ>1, ύει ως ισότητα(µόνο).

ρεθεί η βάση των φυσικών

1. ∆ηλαδή ζητούµε για πιο α ται από την υπερβολή και τις

1 έχουµε

=1, οπότε

ας ως προς α

1-ν

1ν11

1ν1

−

+

−

.

στην γ΄ Λυκείου µπορούµε να

επισηµάνουµε ότι ο φυσικός

ρόπο αυτό. Στην συνέχεια, ως απλά) οι γνωστές ιδιότητες του ορεί να οριστεί και η εκθετική

όµως ότι µια τέτοια επιλογή δεν


Προβλήµατα – Ασκήσεις 1.Εχοντας υπόψη το πρώτο σχήµα και χρησιµοποιώντας προσεγγίσεις µέσω τραπεζίων (χωρισµός σε 6 τµήµατα) να δείξετε ότι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γρ. παράσταση της y=1/x, τον άξονα των x και τις ευθείες x=1/2 και x=1 είναι ίσο µε το (ΑΒΛΚ), δηλ.ίσο µε 0,693. 2. Αντί το ορθογώνιο ΑΒΓΖ θεωρούµε το τραπέζιο ΑΒΓ∆.Να δείξετε την

(πολύ καλύτερη) ανισότητα θ−<<

θ 21θθln1-θ 2

.

3. Να δείξετε ότι α) 111lnν1

ν <

ν+<

+ν, ν=1,2,… β) lne=1.

4.Θεωρείστε δεδοµένο ότι lnθ<θ-1 για κάθε θ>0 και θ≠1. Να δείξετε ότι α) ex>1+x µε x∈R, x≠0.

β) 1ln1θ −θ<θ<θ− µε θ>0 και θ≠1 , γ) lnθ<θ< eθ µε θ>0

δ) Εξετάσετε αν οι γρ. παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=lnx, g(x)= ex έχουν κοινά σηµεία µε την διχοτόµο της α΄και γ΄ γωνίας των αξόνων.


5η ∆ιδακτική ενότητα: Η λογαριθµική συνάρτηση Α. Πληροφόρηση - ∆ηµιουργία κινήτρων µάθησης Η χρησιµοποίηση των λογαρίθµων στην απλοποίηση των υπολογισµών είχε µέχρι και πριν 25 χρόνια ανεκτίµητη αξία. Οι λογαριθµικοί πίνακες, που χρησιµοποιούνταν και στα σχολεία, καθώς και ο λογαριθµικός κανόνας στα Πανεπιστήµια, ήταν τα µόνα εργαλεία που διέθετε ο άνθρωπος για να αντιµετωπίσει στο βαρύ και επίπονο έργο των αριθµητικών υπολογισµών. Όµως η εφεύρεση των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών έδωσε την τελική λύση: δισεκατοµµύρια πράξεις γίνονται σήµερα µέσα σε λίγα δευτερόλεπτα! Έτσι οι λογαριθµικοί πίνακες έχασαν την αξία τους, αλλά η λογαριθµική συνάρτηση βρήκε απρόσµενες και σπουδαίες εφαρµογές, µερικές από τις οποίες θα αναφέρουµε σε συντοµία παρακάτω. Όλες οι εφαρµογές στηρίζονται στην ιδέα ότι, αν ένα µέγεθος µεταβάλλεται πολύ γρήγορα («γεωµετρικά») και ένα άλλο που εξαρτάται από το πρώτο πολύ αργά («αριθµητικά») τότε η σχέση τους µπορεί να εκφραστεί λογαριθµικά. Κύρια βήµατα διδασκαλίας α) Ορισµός και ιδιότητες της λογαριθµικής συνάρτησης λ(x) = λογα x , α>1

• πεδίο ορισµού , το (0, +∞) • πρόσηµο των τιµών της, σύνολο τιµών το R • µονοτονία- γν. αύξουσα αν α>1 (αξιοποίηση της ιδιότητας: αν x, y

ρητοί µε x<y τότε αx <αy) (αν 0<α<1 τότε είναι γν.φθίνουσα) • Μονοτονία των logx, lnx • Μια πολύ χρήσιµη ιδιότητα: αν λογα x = λογα y τότε x=y (απόδειξη

µε βάση την µονοτονία µε την µέθοδο της άτοπον απαγωγής) β) Γραφική παράσταση λογαριθµικής • Πίνακας τιµών και σχεδίαση της γρ. παράστασης της λ(x)=lnx Σχέση γραφικών παραστάσεων (συµµετρία κλπ) λογαριθµικής f(x)=λογα x και εκθετικής ε(t)=αt, α>1. Εφαρµογές • Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x)= ln(x-1) και να κάνετε µια

πρόχειρη γραφική της παράσταση. • Να αποδειχθεί ότι αx=exlnα, α>0.


Προβλήµατα –Ασκήσεις 1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x)= ln(x+1) και να κάνετε µια πρόχειρη γραφική της παράσταση.

2.Να γράψετε ως δύναµη του e τους αριθµούς α= 4 5 , β= 371 .

3.Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις α) Αν logx>logy τότε x>y, β) Αν logx<logy τότε x<y.

4.Να δείξετε ότι α) (α-β)lnβα ≥0 , β) (α-β)2003ln

2001

βα ≥0 µε α, β θετικούς.

5.Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων λ(x)=logx, ε(x)=10x. (χρησιµοποιείστε κοµπιουτεράκι)

6.Να λύσετε την εξίσωση 1x1xlog2log23log

−+−= . (Απ.x=7)

7.α)Να αποδείξετε ότι , αν x>1 τότε lnx > logx, ενώ όταν 0<x<1 τότε lnx<logx. β)Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τις γρ. παραστάσεις των συναρτήσεων τότε lnx, logx.


6η ∆ιδακτική ενότητα: Λογαριθµικές-εκθετικές εξισώσεις,

ανισώσεις και συστήµατα Στόχοι: Να µπορούν οι µαθητές να λύνουν λογαριθµικές - εκθετικές εξισώσεις ανισώσεις, συστήµατα και σχετικά προβλήµατα ∆ηµιουργία κινήτρων Πρόβληµα: Ο πληθυσµός της Γης αυξάνει µε ετήσιο ρυθµό 1,7%.Το 1987 ήταν 5 δισεκατοµµύρια κάτοικοι. Αν συνεχίζει να αυξάνει µε τον ίδιο ρυθµό , πότε θα διπλασιαστεί; Το πρόβληµα οδηγεί στην εξίσωση 5⋅10 9 ⋅1,017 x =2⋅5⋅109 ή 1,017x=2. Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Υπενθύµιση των βασικών σχέσεων (α>1) λογα x = λογα y ⇔ x=y λογα x > λογα y ⇔ x>y • Εύρεση πεδίων ορισµού συναρτήσεων

Π.χ. f(x)=ln(x-4), g(t)=ln(t2-1), h(α)=log(α2-α+1), φ(x)=ln 2x2 − • Λύση λογαριθµικών εξισώσεων-ανισώσεων α) Λύση του αρχικού προβλήµατος (µε δεδοµένο ότι ln2/ln1,017=41) β) lnx2 = -2, β) ln(x+1)+ln(x-1) = ln2 γ) ln(x2) = (lnx) 2 δ) ln(x - 1 ) < 0 ε) 5x = 21-x Λύση λογαριθµικών συστηµάτων π.χ. (xy = 8, lny = 2lnx) Προβλήµατα –Ασκήσεις 1Να λυθούν οι εξισώσεις α) ln(x-1)+lnx=1-ln5, β)log xlogx = . 2.Να λυθούν οι ανισώσεις α)log(1+x2)<1, β)ln(x2-4x+5)>0, γ)ln(x2)>(lnx) 2 3.∆ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ln(e2x-2ex+3) και g(x) = ln3+ln(ex-1). α. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των f(x) και g(x). β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). 4.α)Να αποδειχθεί ότι xlnyln yx = . β)Να λυθεί η εξίσωση 5logxlog2 x455 += 5.Nα λυθεί το σύστηµα (ln(xy)=4ln2, (lnx)(lny)=3(ln2) 2 .


7η ∆ιδακτική ενότητα: Εφαρµογές της λογαριθµικής συνάρτησης Στόχος: Να γνωρίσουν οι µαθητές µερικές εφαρµογές της εκθετικής και λογαριθµικής συνάρτησης σε διάφορους επιστηµονικούς κλάδους. ∆ιάφορες εφαρµογές της λογαριθµικής συνάρτησης 1.Στα Μαθηµατικά: Η πρώτη µεγάλη εφαρµογή της λογαριθµικής συνάρτησης έγινε µέσα στα ίδια τα Μαθηµατικά: υπήρχε κατ’ αρχήν το πρόβληµα: να βρεθεί το πλήθος των (θετικών) πρώτων αριθµών που είναι µικρότεροι ενός θετικού αριθµού x, έστω Π(x). Πρώτος ο Legendre µελετώντας µεγάλους πίνακες πρώτων, µέχρι και για x=400000, διατύπωσε την εικασία ότι

Π(x)08366,1xln

x−

≈

Η εικασία αυτή που αποτελεί την πρώτη µορφή του περίφηµου θεωρήµατος των πρώτων σήµερα διατυπώνεται µε την µορφή

Π(x)xln

x≈ ή 1

xlnx

)x(Πlimx

=+∞→

Με την εικασία αυτή ασχολήθηκαν µεγάλοι Μαθηµατικοί, όπως ο Riemann, Chedyshev. Τελικά αποδείχθηκε από τον Γάλλο Hadamard το 1896 και ανεξάρτητα από τον βέλγο De la Vallee Poussin, χρησιµοποιώντας µεθόδους της θεωρίας των Μιγαδικών συναρτήσεων. Καθαρά αριθµοθεωρητική απόδειξη έδωσε to 1949 ο Νορβηγός Atle Selberg. 2. Στην οικολογία Σύµφωνα µε τον Νόµο Rutherford ο ρυθµός µείωσης της µάζας ενός ραδιενεργού υλικού είναι ανάλογος της µάζας του. Από τον νόµο αυτό όπως θα δούµε στην γ΄ τάξη, προκύπτει ότι, αν m η µάζα του υλικού την χρονική στιγµή t τότε m(t)=m0 e-λt, t≥0, όπου το λ>0 εξαρτάται από το υλικό. 3. Στην Χηµεία: οι χηµικοί χρησιµοποιούν έναν αριθµό, που συµβολίζεται µε pH, για περιγράψουν την οξύτητα ενός διαλύµατος. To pH ορίζεται από την σχέση pH = - log[H+] όπου H+είναι η συγκέντρωση των σε γραµµοϊόντα ανά λίτρο. 4. Στην Σεισµολογία:Σύµφωνα µε την κλίµακα Richter το µέγεθος R ενός

σεισµού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο R=0IIlog ,

όπου Ιο είναι µια ορισµένη ελάχιστη ένταση. 5. Στην Ψυχολογία: Σύµφωνα µε τον νόµο των Weber-Fechner, η ένταση ενός ήχου Ε (γενικά ενός οπτικού ή ακουστικού ερεθίσµατος) και η ένταση του ακουστικού αισθήµατος Α που προκαλεί συνδέονται µε την σχέση:


Α = κlogE H σταθερά κ εξαρτάται από την συχνότητα του ήχου και τον αποδέκτη του ερεθίσµατος. Η σχέση αυτή προέκυψε µέσα από τα πειράµατα των Weber-Fechner:όταν τα ερεθίσµατα αυξανόταν κατά γεωµετρική πρόοδο, τα αισθήµατα που προκαλούσαν αυξανόταν µε αριθµητική πρόοδο. Μια άλλη εντυπωσιακή σύγχρονη εφαρµογή της λογαριθµικής συνάρτησης υπάρχει στην Πληροφορική και αφορά την σχέση ανάµεσα στην ποσότητα πληροφορίας που µεταφέρει ένα σύµβολο και την πιθανότητα εµφάνισής του. Εφαρµογές 1. Χρησιµοποιώντας τον νόµο του Rutherford να δείξετε ότι ο χρόνος ηµιζωής ενός ραδιενεργού υλικού (δηλαδή ο χρόνος που απαιτείται για

µείνει το υλικό µε την µισή µάζα του) είναι ίσος µε τ=λ2ln .

2. (Από την εφαρµογή στην σεισµολογία) Να βρεθεί το µέγεθος ενός σεισµού µε Ι=1000Ι0. β)Να εκφράσετε το Ι συναρτήσει των R και Ι0. γ)Πόσες φορές µεγαλύτερη είναι η ένταση ενός σεισµού από την ένταση ενός άλλου που είναι µικρότερος κατά 1 Richter; Προβλήµατα -Ασκήσεις 1.Ένα διάλυµα θεωρείται όξινο αν [H+]>10-7 και βασικό αν [H+]<10-7 . Να βρείτε τις αντίστοιχες ανισότητες για τo pH. 2. Η ποσότητα σε γραµµάρια µιας ραδιενεργούς ουσίας κατά την χρονική στιγµή t δίνεται από τον τύπο -0,3te200)t(Q ⋅= . α)Να βρεθεί το αρχικό βάρος της ουσίας. β)Να βρεθεί πόση ουσία θα µείνει µετά από 5 sec. γ)Μετά από πόσο χρόνο η ουσία θα µείνει η µισή σε βάρος (χρόνος ηµιζωής, οικολογικό µήνυµα) 2.Η ευαισθησία ενός φωτογραφικού φίλµ µετριέται σε µονάδες ASA ή µονάδες DIN.Αν x µονάδες ASA συνδέονται µε y µονάδες DIN µε τον τύπο y=1+10logx, να φτιάξετε έναν πίνακα τιµών της παραπάνω συνάρτησης για x=50,100,200,400,800,1600 ASA.Τι παρατηρείτε; (δίνεται ότι log2=0,3)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ - Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ-ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


Σχέση λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης - Όρια

Στόχοι: Να µάθουν την σχέση που υπάρχει µεταξύ αυτών των δυο συναρτήσεων καθώς και τα όρια που είναι σχετικά µε την εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση. Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Υπενθύµιση της εκθετικής και λογαριθµικής συνάρτησης και των ιδιοτήτων

της. • Η συνάρτηση λ(x) = λογαx ως αντίστροφη της ε(x) = αx. • Η συνάρτηση L(x) = lnx ως αντίστροφη της E(x) = ex. • Σχέση των γραφικών τους παραστάσεων • Φραγµένο της εκθετικής:Η συνάρτηση Ε(x) = ex είναι φραγµένη κάτω

από το µηδέν, ως θετική, αλλά όχι άνω: έστω ότι υπάρχει φ>0 µε ex ≤ φ για κάθε x∈R.Τότε x ≤ lnφ. Όµως υπάρχει θετικός ακέραιος ν µε ν>lnφ, άρα δεν θα ισχύει για x=ν, άτοπο.

• Γενικά, όταν α>0, λόγω αx = exlnα η συνάρτηση ε(x)=αx είναι φραγµένη

κάτω από το µηδέν, αλλά όχι άνω . • Όρια: Λόγω και της µονοτονίας της Ε(x)= ex έχοµε: το όριο της ex , όταν x

τείνει στο +∞, είναι ίσο µε +∞, και όταν το x τείνει στο -∞, είναι ίσο µε 0.Γενικά όταν α>1 έχοµε:

0αlim,limx

x

x

x =+∞=α−∞→+∞→

Όταν 0<α<1 τότε λόγω x

x

1

1α

α

= προκύπτει +∞==∞→+∞→ -x

x

x

x αlim,0αlim


• Φραγµένο της λογαριθµικής: Η συνάρτηση L(x) = lnx δεν είναι φραγµένη άνω, ούτε κάτω:Έστω ότι υπάρχει φ>0 ώστε lnx ≤ φ για κάθε x∈R.Τότε για

x = 2ν , µε ν∈Ν θα καταλήξουµε στο άτοπο ν ≤ ln2φ .

Όµοια η lnx δεν είναι κάτω φραγµένη… Γενικά η λογαx δεν είναι δεν είναι φραγµένη άνω, ούτε κάτω. • Όρια: Λόγω και της µονοτονίας της lnx έχουµε

−∞=+∞=+→+∞→ 0xxxlnlim,xlnlim .

• Γενικά, όταν α>1, λόγω λογαx=αlnxln , προκύπτουν

−∞==λογ+∞==λογ

+→α

+∞→α

0xxxlim,xlim

ενώ όταν 0<α<1 έχοµε τα αντίθετα όρια. Εφαρµογή

Να βρεθούν τα όρια ( )xx

x)25,0(4lim +

−∞→,

t

tt

t 7

53lim ++∞→

, xln

xelim

+∞→.

Ασκήσεις

1. Να βρεθούν τα όρια x

xx

753

x

xx

x

xx

xlim,)ee(lim,)ee(lim ++∞→

−

+∞→

−

+∞→++

2.α)Να εξεταστεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση 154

53)x(f

xx−

+

= .

β)Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3x + 4 x = 5x έχει µοναδική ρίζα την x = 2.

3. Έστω η συνάρτηση µε τύπο φ(x) = x1

xln−

.

α) Βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να δειχθεί φ είναι γν. φθίνουσα στο διάστηµα (0, 1). γ) Να δειχθεί ότι η φ είναι γν. µονότονη και να βρεθεί η αντίστροφή της. 4. Έστω η συνάρτηση φ(x)=αx - x, 0 < α < 1. α) Να εξεταστεί ως προς την µονοτονία, β) Να δειχθεί ότι οι γ. π. (γραφικές παραστάσεις) των συναρτήσεων f(x) = αx, g(x) = x, έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο.



Συνέχεια λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης Στόχοι Να µάθουν οι µαθητές ότι η εκθετική και η λογαριθµική συνάρτηση είναι συνεχείς συναρτήσεις καθώς και τους τρόπους που αυτό αποδεικνύεται. Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Η συνάρτηση L(x)=lnx είναι συνεχής: χρησιµοποιούµε την λογαριθµική ανισότητα

µε θ=x/ξ και παίρνουµε ξξ−≤−≤ξ− xlnξxln

xx κλπ

• Η συνάρτηση E(x)=ex είναι συνεχής : α)Πρώτα αποδεικνύουµε ότι είναι συνεχής στο 0:Θέτουµε lnθ=t , t∈R, στην λογαριθµική ανισότητα και παίρνουµε

1 + t ≤≤≤≤ et ≤≤≤≤ 1 + t et , t∈∈∈∈R (εκθετική ανισότητα)

Από αυτήν προκύπτει t1

1et1 t−

≤≤+ µε t < 1, κλπ

β) Συνεχής στο ξ∈∈∈∈R: ξξξx

0x

ξξx

ξxξx

x e1eelime)e(elimelim ==== −

→ξ−

−

→

ξ

→

• Επειδή αx = exlnα και η y=αx είναι συνεχής στο R • Σύνολο τιµών εκθετικής και λογαριθµικής . • Γραφική παράσταση και ανακεφαλαίωση όλων των συµπερασµάτων • Μνηµονικές δυνατότητες που µας δίνει η γραφική παράσταση των L(x) = lnx, E(x) = ex και γενικά των λογαx, ε(x)=αx. • Εφαρµογή :Η εξίσωση θ = ex µε θ>0 έχει µοναδική ρίζα. Ειδικότερα : αν θ>1

τότε x>0 και αν 0<θ<1 τότε x<0. Mια πρώτη εποπτική διαπίστωση (ΒοLzano) Προβλήµατα - Ασκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι η γ.π. (γραφική παράσταση) της συνάρτησης L(x)=lnx έχει ακριβώς ένα κοινό σηµείο µε την ευθεία διχοτόµο της β΄και δ΄ γωνίας των αξόνων. 2. Να δείξετε ότι η ευθεία y+x=0 έχει µοναδικό κοινό σηµείο µε την y=e-x.


3η ∆ιδακτική ενότητα: παράγωγος λογαριθµικής - εκθετικής

Στόχοι Nα µάθουν την παράγωγο της λογαριθµικής και εκθετικής συνάρτησης καθώς και τον τρόπο που προκύπτει. Κύρια βήµατα διδασκαλίας • Παράγωγος της L(x) = lnx.

Χρησιµοποιούµε την λογαριθµική ανισότητα 1ln1θ −θ<θ<θ− µε θ=x/ξ και έχοµε

ξξ−≤−≤ξ− xlnξxln

xx κλπ. Έτσι (lnξ)′ =1/ξ , ξ>0.

Γενικά, λόγω λογαx=αlnxln , βρίσκουµε (λογαx)′=

x1

αln1 ⋅ , 0<α≠1

• (ln|x|)′=x1 , x≠0.

• Συµπέρασµα: Απ’ όλες τις λογαριθµικές συναρτήσεις η lnx έχει την απλούστερη παράγωγο. Γι’ αυτό κυρίως το λόγο είναι η µόνη σχεδόν που χρησιµοποιείται σήµερα.

• Παράγωγος της εκθετικής. Ε(x)=ex : από την εκθετική ανισότητα 1+t ≤ et ≤ 1+t et , t∈R, προκύπτει

1t

1elimt

0t=−

→, οπότε ξ

xξ

0x

x

xe

x1eelim

xeelim =

ξ−−=

ξ−− ξ−

→ξ−

ξ

ξ→, δηλ. (eξ)′′′′ = eξ

• Παράγωγος της ε(x)=αx. Είναι αx = exlnα οπότε , από τον κανόνα παραγώγισης

σύνθετης συνάρτησης, η αx είναι παραγωγίσιµη µε (αx )′= exlnα lnα =αx lnα, α>0, x∈R. Προβλήµατα - Ασκήσεις 1. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων φ(x) = ln(1+2ex), g(t) = 3x-2, h(x) = xx

2. Να αποδείξετε ότι οι γρ. παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=lnx, g(x)=x

1x − ,

x>0, έχουν µοναδικό κοινό σηµείο, στο οποίο έχουν κοινή εφαπτοµένη. 3. Nα δείξετε ότι α) Οι συναρτήσεις f(x)=lnαx, α>0, g(x)=lnx, έχουν την ίδια παράγωγο. β)Η διαφορά τους είναι σταθερή συνάρτηση, την οποία και να βρείτε. 4.Έστω 1+x>0.Να αποδειχθεί ότι:


α) x)x1ln(x1

x ≤+≤+

, β) 1x

)x1ln(lim0x

=+→

5. Ένας άλλος τρόπος για την εύρεση ∆ Γ της παραγώγου της συνάρτησης λ(θ)=lnθ. Ζ Ως γνωστό λ(θ)=lnθ είναι το εµβαδόν του Α Β Ε χωρίου ΑΒΓ∆ 1 θ θ+h Έστω h µια πολύ µικρή µεταβολή του θ, οπότε έχοµε το σηµείο θ+h και αντίστοιχο εµβαδόν (ΑΕΖ∆)=λ(θ+h). Έτσι η διαφορά λ(θ+h)-λ(θ) εκφράζει το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µέρους ΒΕΖΓ. Το χωρίο όµως αυτό µπορεί να θεωρηθεί, κατά προσέγγιση λόγω του µικρού h, ως ορθογώνιο µε βάση h και ύψος 1/θ. Άρα

λ (θ+h) - λ(θ)≈θ1h ⋅ ή

θ≈θλ−+θ 1

h)()h(λ ή λ′(θ) =

θ1 .


4η ∆ιδακτική ενότητα: Γενική επανάληψη στην συνέχεια και την

παράγωγο της εκθετικής και λογαριθµικής συνάρτησης και λύση γενικών ασκήσεων.

Οι ασκήσεις µπορούν να επιλεγούν από τον παρακάτω κατάλογο (ανάλογα µε τους στόχους και το επίπεδο των µαθητών)

Γενικά θέµατα και προβλήµατα σχετικά µε την

Εκθετική και Λογαριθµική συνάρτηση

1. Έστω η συνάρτηση µε τύπο f(x)=x

x

e1

e

+.

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να δειχθεί ότι f(R)=(0,1). γ)Να υπολογιστεί το άθροισµα S=f(-100)+f(-99)+….+f(0)+f(1)+…+f(100). 2. Σύµφωνα µε τον νόµο του Rutherford, αν η m=m(t) η µάζα ενός ραδιενεργού υλικού την χρονική στιγµή t, τότε m′(t)=-λm(t), λ>0. Για την λύση αυτής της εξίσωσης ακολουθείστε τα παρακάτω βήµατα α) ∆είξετε ότι είναι ισοδύναµη µε την m′eλt+λeλtm = 0. β) ∆είξετε ότι η συνάρτηση φ(x) = m(t)⋅eλt έχει παράγωγο 0. γ) Ισχύει m(t)=c⋅e-λt, c>0 σταθερά. 3.Εστω f, g συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού το (0, +∞) µε f ′(x) > g′(x) για x > 0 και f(1) = g(1).Nα δείξετε ότι: α) f (x) > g (x) για x > 1,

β) 1x1

x

12 << µε x>1, γ) 1xxln

x1x −<<− µε x > 1,

δ) Η προηγούµενη ανισότητα γ) ισχύει και για 0 < x < 1. 4. Να αποδειχθεί ότι για 0 <x≤1 ισχύει:

3

x2

xx)x1ln(2

xx322

+−<+<−


5. α)Nα εξεταστεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση φ(x) =x

α- 1

x, α > 1, x > 0.

β) Να αποδειχθεί ότι η γ. π. της y = αx , α > 1, έχει κοινό σηµείο µε την ευθεία y = x αν και µόνο αν α ≤ e 1/e. γ) Αν α = e 1/e (≅1,4446) να δειχθεί ότι η y = x εφάπτεται στην γ. π. της y = αx στο σηµείο (e, e) και δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε αυτήν. Ποια είναι στην περίπτωση αυτή η θέση της y = x ως προς την γ. π. της αντίστροφης της y = αx ; δ) Αν 1 < α < e 1/e να δειχθεί ότι η y = x τέµνει την y = αx, x > 0, σε δυο ακριβώς σηµεία (κ, κ), (λ, λ) µε κ < e < 1/lnα < λ . Να βρεθεί στη συνέχεια πόσα κοινά σηµεία έχει στην περίπτωση αυτή η γ. π. της y = αx µε την γ. π. της αντίστροφή της. ε) Τι συµβαίνει στην περίπτωση α > e 1/e; 6. α) Nα δειχθεί ότι η εξίσωση αx = x, 0 < α < 1, έχει µοναδική ρίζα, έστω ρ, η οποία ανήκει στο διάστηµα (0, 1). β) Να µελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση φ(x) = xαx(lnα)2 -1, x > 0, 0 < α < 1. γ) Αν 0 < e-e ≤ α < 1 να δειχθεί ότι η γ. π. της y = αx µε την γ. π. αντίστροφή της (logαx) έχουν ένα µοναδικό κοινό σηµείο το (ρ, ρ ) µε e-1≤ ρ<1. Μάλιστα, αν α = e-e (≅0,066) τότε η ευθεία y = x εφάπτεται στην γ. π. της y = αx, καθώς και της αντίστροφής της στο σηµείο (1/e, 1/e). δ) Να βρεθεί η θέση της γ. π. της y = e-x µε την γ. π. της αντίστροφής της. 7. α) Nα δειχθεί ότι η εξίσωση αx = x , 0 < α < 1, έχει µοναδική ρίζα, έστω ρ, η οποία ανήκει στο διάστηµα (0, 1). β) Αν 0 < α < e-e να δειχθεί ότι α(lnα)2 < 1. γ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση xαx(lnα)2 = 1, µε 0 < α < e-e έχει ακριβώς δυο ρίζες λ. µ µε 0 < λ < ρ < µ < 1 (µάλιστα ρ <-1/lnα< µ ) δ) Να εξεταστεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση

φ(x) = x lnx

α -lnα

, x > 0, 0 < α < e-e.

ε) Aν 0 < α < e-e τότε η γ. π. της y = αx και της αντίστροφή της (logαx=lnx/lnα) έχουν τρία ακριβώς κοινά σηµεία µε τετµηµένες γ, ρ, δ µε 0 < γ < λ < ρ < µ < δ < 1 και αγ = δ, αδ = γ, αρ = ρ. 8. Έστω f:R R συνάρτηση παραγωγίσιµη. Αν υπάρχει λ≠0, σταθερός, µε f ′(x) = λf(x) να δειχθεί ότι f(x)=cex , c σταθερός, και αντίστροφα. (Yπ.η (2) άσκηση) 9. Έστω f:(0, +∞) R µε την ιδιότητα f(αβ) = f(α) + f(β) για κάθε α, β > 0. Να αποδειχθεί ότι: α) f(1) = 0 , β) f(α/β) = f(α)-f(β) γ) f(αν) = νf(α), ν∈Z. δ) f(αρ) = ρf(α), ρ∈Q. ε) Αν η f είναι συνεχής στο 1, τότε είναι συνεχής. στ*) Αν η f είναι συνεχής τότε f(αt) = tf(α), t∈R.


10. Έστω f:R (0, +∞) µε την ιδιότητα f(x+y) = f(x)f(y) για κάθε x, y∈R.Να αποδειχθεί ότι: α) f(0) = 1, β) f(ν) = θν , ν∈Z, θ = f(1) γ) f(ρ) = θρ, ρ∈Q δ) Αν η f είναι συνεχής στο 0, τότε είναι συνεχής. ε*) Αν η f είναι συνεχής τότε f(x) = θx, x∈R. 11. Έστω µια συνάρτηση y = f(x), x>0 µε την ιδιότητα: όταν οι (θετικές) τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής x βρίσκονται σε γεωµετρική πρόοδο, οι αντίστοιχες (θετικές) τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής y να είναι σε αριθµητική πρόοδο. Να αποδείξετε ότι, f(xy) = f(x)+f(y) για κάθε x, y>0. 12. Έστω f:(0, +∞) R µε την ιδιότητα f(xy) = f(x)+f(y) για κάθε x, y>0. Να αποδειχθεί ότι: α) f(1) = 0 β) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 1, τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, +∞)

και ισχύει f ′(x) =x1 f ′(1).

γ) Αν f ′(1)=1 τότε f(x)=lnx+c, c σταθερά. 13.Το Πρόβληµα του Debeanne O Debeanne (1601-1659) ήταν ο πρώτος που διάβασε την Γεωµετρία του Καρτέσιου το 1637 και ένα χρόνο µετά έθεσε στον Καρτέσιο το εξής γεωµετρικό πρόβληµα: «Βρες µια καµπύλη y(x) τέτοια ώστε για κάθε σηµείο της Σ, η εφαπτοµένη της καµπύλης στο Σ να τέµνει τον άξονα των x σε ένα σηµείο Α, ώστε αν Κ η προβολή του Σ στον άξονα των x το µήκος AK να είναι πάντα ίσο µε δεδοµένο µήκος s» Παρά τις προσπάθειες του Καρτέσιου και του Fermat το πρόβληµα έµενε άλυτο για 50 περίπου χρόνια. Ο Leibnitz τότε πρότεινε την ακόλουθη λύση y Μ Σ Ρ A K Λ ξ ξ+ h x Έστω Σ(x, y) και h µια µικρή αύξηση στο ξ, οπότε το ΣΜ µπορεί να θεωρηθεί ευθ. τµήµα και προέκταση της ΑΣ. Τότε από την οµοιότητα των τριγώνων ΑΣΚ, ΣΜΡ προκύπτει

ΑΚΣΡ=

ΣKMP ή ΜΡ=

syh ⋅ , οπότε ΜΛ= ΡΛ +ΜΡ = y

sh1

syhy

+=⋅+


δηλαδή το τµήµα ΜΛ προκύπτει από το ΣΚ µε πολλαπλασιασµό µε τον σταθερό αριθµό sh1+ ,

εποµένως οι τεταγµένες των σηµείων της καµπύλης αποτελούν την γεωµετρική πρόοδο

y,

+

sh1y ,

2

sh1y

+ ,3

sh1y

+ ,…

ενώ οι αντίστοιχες τετµηµένες είναι ξ, ξ+h, ξ+2h, ξ+3h,….δηλαδή αποτελούν αριθµητική πρόοδο. Έτσι βλέποµε ότι το πρόβληµα ανάγεται στο να βρεθεί µια συνάρτηση µε την ιδιότητα : όταν οι τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής αποτελούν αριθµητική πρόοδο, οι τιµές της εξαρτηµένης να αποτελούν γεωµετρική. Αυτό είναι αντίστροφο του θέµατος 11 (βλ. παραπάνω). Με ανάλογη σκέψη καταλήγουµε ότι µια τέτοια συνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί την σχέση f(x + y) = f(x)f(y). Σχετικό είναι το επόµενο θέµα, από το οποίο προκύπτει ότι. η ζητούµενη συνάρτηση στο πρόβληµα του Debeanne είναι η εκθετική συνάρτηση

f(x) = eλx= ( )xλe (µε s = 1/λ). 14. Έστω f: R (0, +∞) µε την ιδιότητα f(x + y) = f(x)f(y) για κάθε x, y∈R. Να αποδειχθεί ότι α) f(0) = 1 β) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0, τότε είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f ′(x) = λf(x) για κάθε x∈R, όπου λ= f ′(0). γ) f(x) = eλx, x∈R. 15. Λύσετε το πρόβληµα του Debeanne µε την βοήθεια των παραγώγων. 16.α) Να αποδειχθεί ότι η ευθεία y=λx, λ>0, έχει το πολύ δυο κοινά σηµεία µε την γ. π. της συνάρτησης y = αx , α > 1. β) Για τις διάφορες τιµές του λ να βρεθεί η θέση της ευθείας αυτής ως προς την γ.π. της συνάρτησης y = αx , α > 1. γ) Για ποιες τιµές του λ δεν έχουν κοινά σηµεία; (Απ. µε λ=elnα εφαπτ., µε λ> elnα δυο κοινά σηµεία) 17. Nα αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x)=ex είναι κυρτή, ενώ η g(x) = lnx, , είναι κοίλη.

18.στω η συνάρτηση ∫=x

1 tdtλ(x) , x >0.Aν x,y>0 να δείξετε ότι:

α) λ(xy) = λ(x)+λ(y), β) λ(x/y) = λ(x)-λ(y), γ) λ(xν) = νλ(x), ν∈N. δ) λ(x) = lnx.


Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α 1. Apostol T., Calculus Vol.I, Xerox Publishihg 1969. 2. Boyer, C., A History of Mathematics, Princeton University Press, 1968. 3. Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics , Holt Reinehart

Wiston,1976 4. Hairer E.,Wanner G., Analysis by its history, Springer 1996 5. Θωµαϊδη Ι., Ανάδυση και εξέλιξη των λογαριθµικών εννοιών, όµιλος για την

ιστορία των Μαθηµατικών και Ευκλείδης Γ΄ τεύχος 13. 6. Κατοπρινάκη Εµµ. - Λάµπρου Μ., Ευκλείδης Γ΄ τεύχος 18. 7. Kline M.,Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford

University Press,1972 8. Spivak M., Calculus, W.A.Benjamin 1967 9. Σταµέλου Ι., Ο αριθµός e, Μεταπτυχιακό σεµινάριο Μαθηµατικού Π.Κ.,

2002. 10. Tζανάκη Κ., Όροι και προϋποθέσεις ενός εποικοδοµητικού ρόλου της ιστορίας

των Μαθηµατικών στην κατανόηση και στην διδασκαλία τους. Ερευνητική διάσταση της διδακτικής των Μαθηµατικών, τ.3,1998.

11. Toeplitz O.,The Calculus:A genetic approach, the University of Chicago

Press, 1963.-

173 Ekthetikh.logarithmikh.d.i.m

Documents

Transcript of 173 Ekthetikh.logarithmikh.d.i.m