www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 40 

a=0

O x

y

Μάθημα 2ον «Γραφική παράσταση»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις να κάνεις τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων και

αντίστροφα να αναγνωρίζεις από τη γραφική παράσταση, την βασική εκείνη συνάρτηση που της αντιστοιχεί.

2. Να ξέρεις ποιες είναι οι βασικές συμμετρίες ενός σημείου σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

3. Να ξέρεις να σχεδιάζεις τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και f όταν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση της f.

4. Να ξέρεις να αναγνωρίζεις τη θέση της γραφικής παράστασης σε σχέση με τους άξονες (πάνω, κάτω, κοινά σημεία με τον x x′ και τον y y′ )

5. Να ξέρεις να βρίσκεις τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων 2 συναρτήσεων.

6. Να ξέρεις πως αποδεικνύουμε ότι όλες οι γραφικές παραστάσεις μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας συναρτήσεων διέρχονται από σταθερό σημείο

Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.

A. «Γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων»

Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) =f x αx + β έχει γραφική παράσταση ευθεία, η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η πολυωνυμική συνάρτηση 2( ) =f x αx , 0≠α , έχει γραφική παράσταση «παραβολή», η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

a>0

O x

y

a<0

O x

y

O x

y

α>0

x O

y

α<0

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 41 

Η πολυωνυμική συνάρτηση 3( ) =f x αx , 0≠α , έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η ρητή συνάρτηση ( ) = αf xx

, 0≠α , έχει γραφική παράσταση «υπερβολή», η μορφή

της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η συνάρτηση ( ) =f x x , ≥x 0 έχει γραφική παράσταση της ακόλουθης μορφής:

Η συνάρτηση ( ) =f x x , έχει γραφική παράσταση της ακόλουθης μορφής:

Επειδή x , x 0

g(x), x 0x

⎧ − <⎪= ⎨ ≥⎪⎩, η γραφική παράσταση

της y | x |= αποτελείται από δύο κλάδους.

Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της y x= και ο άλλος η συμμετρική της ως προς τον άξονα y y′ .

Η εκθετική συνάρτηση ( ) = xf x α , 0 1< ≠α , έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η λογαριθμική συνάρτηση ( ) log= αf x x , 0 1< ≠α , έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

y x=

O x

y

O x

y

α>0

O x

y

α<0

O x

y

α>0

O x

y

α<0

y x= | |

O x

y

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 42 

3π/2 π/2 −π/2 O

y=εφx

y

x

Οι τριγωνικές συναρτήσεις

f (x) x= ημ

O

y=ημx

2π π

1

−1

y

x

f (x) x= συν

f (x) x= εϕ

B. «Ποιες είναι οι βασικές συμμετρίες ενός σημείου σε ένα σύστημα συντεταγμένων»

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το σημείο M(x,y) .

Το σημείο N( x,y)− είναι συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα των τεταγμένων y y′ .

Το σημείο P(x, y)− είναι συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα των τετμημένων x x′ .

Το σημείο Q( x, y)− − είναι συμμετρικό του Μ ως προς την αρχή των αξόνων O(0,0) .

Το σημείο T(y,x) είναι συμμετρικό του Μ ως προς την διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων που έχει εξίσωση y x= .

α

1

1 O x

y

α>1

O x

y

0<α<1

α 1

1

α

1

1 O x

y

α>1

α

1

1 O x

y

0<α<1

O

y=συνx

2π π

1

−1

y

x

y=x

O

x

y

M(x, y)

P(x, y)−

N( x, y)−

Q( x, y)− −

T(y, x)

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 43 

yx

=1

y

x=

1| |

O

x

y

O

y

x

y=f (x)y=| f (x)|

Γ. «Πως βρίσκουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και f » Όταν δίνεται η γραφική παράσταση fC , μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και | f | .

Η γραφική παράστασης της συνάρτησης −f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x x′ , της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (x, f (x))′ − που είναι συμμετρικά των M(x,f (x)) , ως προς τον άξονα x x′ .

Η γραφική παράσταση της | |f αποτελείται από τα τμήματα της fC που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x′ και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x x′ , των τμημάτων της fC που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν.

Θέμα 34 Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση με τύπο f (x) x |= | .

Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το — και τύπο

x , x 0f (x)

x , x 0− <⎧

= ⎨ ≥⎩.

Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ(x) x= και έπειτα την f (x) |φ(x) |= .

Θέμα 35

Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση με τύπο 1g(x)x

= .

Λύση

Η συνάρτηση g ορίζεται για κάθε x 0≠ , οπότε έχει πεδίο ορισμού το —*=(-∞, 0) « (0, +∞) και τύπο

y=|x| y=x

O

x

y

O

y

x

Μ΄(x,−f (x))

y=f (x)

y=−f (x)

Μ(x,f (x))

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 44 

1 , x 0xg(x)

1 , x 0x

⎧− <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

.

Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση 1φ(x)x

= και έπειτα

την g(x) |φ(x) |= . Θέμα 36

Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση με τύπο 1h(x)x 1

=−

.

Λύση

Η συνάρτηση g ορίζεται για κάθε x 1≠ , οπότε έχει πεδίο ορισμού το Α=(-∞,1)«(1,+∞) και τύπο:

1 , x 1x 1h(x)1 , x 1

x 1

⎧− <⎪⎪ −= ⎨⎪ >⎪⎩ −

.

Επειδή h(x) g(x 1)= − , η γραφική παράσταση της h προκύπτει, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της g κατά μία μονάδα προς τα δεξιά.

Δ1. «Πως βρίσκουμε τη θέση της γραφικής παράστασης σε σχέση με τους άξονες»

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και fC η γραφική της παράσταση.

• Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x′ , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) 0> και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A∈ .

• Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x′ , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) 0< και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A∈ .

• Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία που έχει η fC με τον άξονα x x′ (τέμνει ή εφάπτεται), θα επιλύουμε την εξίσωση f (x) 0= και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A∈ .

• Αν θέλουμε να βρούμε το (μοναδικό) κοινό σημείο της fC με τον άξονα y y′ , θα βρίσκουμε το f (0) (εφόσον 0 A)∈ , οπότε το κοινό σημείο θα είναι ( )0,f (0) .

Θέμα 37 Έστω η συνάρτηση f με f (x) 2 ln(x 1)= − + . Να βρεθούν τα κοινά σημεία της fC με τους άξονες.

Λύση

Είναι x 1 0 x 1+ > ⇔ > − , άρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A ( 1, + )= − ∞ .

y

x=

−1

1| |

1

1

y

x=

1| |

O x

y

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 45 

Για να βρούμε τα κοινά σημεία της fC με τον άξονα x x′ , αρκεί να λύσω την εξίσωση f (x) 0= με x A ( 1, + )∈ = − ∞ .

Για να βρούμε το (μοναδικό) κοινό σημείο της fC με τον άξονα y y′ , αρκεί 0 A∈ , οπότε το κοινό σημείο είναι το ( )0, f(0) .

Έχουμε λοιπόν f (x) 0 2 ln(x 1) 0= ⇔ − + = ⇔ 2 2ln(x 1) 2 x 1 e x e 1+ = ⇔ + = ⇔ = − , άρα η fC τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο ( )2e 1, 0−

Έχουμε 0 A ( 1, + )∈ = − ∞ , οπότε f (0) 2 ln1 2= − = , άρα η fC τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο ( )0, 2 .

Δ2. «Πως βρίσκουμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων 2 συναρτήσεων»

Έστω δυο συναρτήσεις f ,g με αντίστοιχα πεδία ορισμού A,B και γραφικές παραστάσεις fC και gC .

• Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται πάνω από τη gC , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) g(x) 0 f(x) g(x)− > ⇔ > και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A B∈ ∩ .

Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται κάτω από τη gC , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) g(x) 0 f(x) g(x)− < ⇔ < και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A B∈ ∩ .

• Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC και gC θα επιλύουμε την εξίσωση f (x) g(x) 0 f(x) g(x)− = ⇔ = και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A B∈ ∩ . Αν x μια τέτοια λύση τότε το σημείο (x,f (x)) είναι ένα κοινό σημείο των fC και gC .

Θέμα 38 Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους 2f (x) x x= − και g(x) 3x 3= − . Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των δυο συναρτήσεων.

Λύση

Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των δυο συναρτήσεων, θα σχηματίσουμε τη συνάρτηση h(x) f (x) g(x)= − , f gx A A∈ ∩ και θα μελετήσουμε το πρόσημό της.

f gA A= = — , άρα f gA A∩ = — .

( ) ( )2 2h(x) f (x) g(x) x x 3x 3 x 4x 3= − = − − − = − + ⇔

( ) ( )h(x) x 3 x 1= − ⋅ − , x∈— .

• ( ) ( )h(x) 0 x , 1 3, +> ⇔ ∈ −∞ ∪ ∞ ,

• ( )h(x) 0 x 1, 3< ⇔ ∈ ,

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 46 

• h(x) 0 x 1= ⇔ = ή x 3= , επομένως:

Η fC βρίσκεται πάνω από τη gC για κάθε ( ) ( )x , 1 3, +∈ −∞ ∪ ∞ ,

Η fC βρίσκεται κάτω από τη gC για κάθε ( )x 1, 3∈ ,

Η fC έχει 2 κοινά σημεία με τη gC , τα ( )1, 0 και ( )3, 6 . Δ3. «Πως δείχνουμε ότι όλες οι γραφικές παραστάσεις μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας συναρτήσεων διέρχονται από σταθερό σημείο»

Έστω η μονοπαραμετρική οικογένεια συναρτήσεων f με y f ( ,x)= λ , όπου λ∈— παράμετρος, για την οποία θέλουμε να δείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC

λ όλων των συναρτήσεων

(για κάθε λ∈— ) διέρχονται από σταθερό σημείο, έστω το ( )0 0x , y με 0 0y f (x )= .

Οι fCλ

διέρχονται από το σταθερό σημείο ( )0 0x , y αν και μόνο αν ισχύει 0 0y f (x )= για κάθε λ∈— .

Για να αποδείξουμε ότι ισχύει το ζητούμενο εργαζόμαστε ως εξής:

1ος Τρόπος

Φέρνουμε την εξίσωση 0 0y f (x )= στη μορφή 0 0y f (x ) 0− = και στη συνέχεια θεωρούμε το πρώτο μέλος σαν πολυώνυμο με μεταβλητή το λ, το οποίο το διατάσσουμε κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του λ. Επειδή το πολυώνυμο αυτό ισούται με το μηδέν για κάθε τιμή της μεταβλητής του λ∈— , θα είναι το μηδενικό, άρα εξισώνοντας τους συντελεστές με το μηδέν, καταλήγουμε σε σύστημα με αγνώστους τα 0x και 0y οπότε βρίσκουμε το ζητούμενο.

2ος Τρόπος Επειδή η εξίσωση 0 0y f (x )= επαληθεύεται για κάθε τιμή του λ∈— , δίνουμε δυο αυθαίρετες τιμές στο λ και επιλύοντας ως προς 0x και 0y το σύστημα που προκύπτει, δείχνουμε ότι οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις των δυο συγκεκριμένων συναρτήσεων διέρχονται από το σημείο ( )0 0x , y . Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι η δοσμένη σχέση y f ( ,x)= λ επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου ( )0 0x , y , οπότε τελικά έχουμε αποδείξει ότι οι fC

λ διέρχονται από το σταθερό σημείο

( )0 0x , y για κάθε λ∈— . Θέμα 39

Δίνεται η παραμετρική οικογένεια των συναρτήσεων f με τύπο 2f (x) ( 1)x 2( 1)x 5= λ − + λ + + λ + , λ∈— . Να δείξετε ότι όταν η παράμετρος λ διατρέχει το —,

οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί.

Λύση

• 1ος τρόπος

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 47 

Έστω ότι οι fCλ

διέρχονται από το σταθερό σημείο ( )0 0x , y . Αυτό σημαίνει ότι για κάθε

λ∈— ισχύει 0 0y f (x )= , άρα: 2

0 0 0y ( 1)x 2( 1)x 5= λ − + λ + + λ + ⇔ 2

0 0 0( 1)x 2( 1)x 5 y 0λ − + λ + + λ + − = ⇔

( ) ( )2 20 0 0 0 0x 2x 1 x 2x 5 y 0+ + λ + − + + − = (1).

Η (1) ισούται με 0 για κάθε λ∈— , οπότε το πολυώνυμο του πρώτου μέλους είναι το μηδενικό, άρα:

20 0

20 0 0

x 2x 1 0

x 2x 5 y 0

⎧ + + =⎪ και ⇔⎨⎪− + + − =⎩

( )20

20 0 0

x 1 0

x 2x 5 y 0

⎧ + =⎪

και ⇔⎨⎪− + + − =⎩

0 0

0 0

x 1 x 1

1 2 5 y 0 y 2

= − = −⎧ ⎧⎪ ⎪και ⇔ και⎨ ⎨⎪ ⎪− − + − = =⎩ ⎩

.

Συμπέρασμα, οι γραφικές παραστάσεις fCλ

όλων των συναρτήσεων διέρχονται από το

σταθερό σημείο ( )1, 2− .

• 2ος τρόπος

Για 0λ = έχουμε: 2f (x) x 2x 5= − + + .

Για 1λ = − έχουμε: 2f (x) 2x 4= − + .

Αν υπάρχει κοινό σημείο ( )0 0x , y των γραφικών παραστάσεων των δυο συναρτήσεων θα ισχύει:

2 2 20 0 0 0 0 0

2 20 0 0 0

y x 2x 5 x 2x 5 2x 4

y 2x 4 y 2x 4

⎧ ⎧= − + + − + + = − +⎪ ⎪και ⇔ και ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= − + = − +⎩ ⎩

20 0

20 0

x 2x 1 0

y 2x 4

⎧ + + =⎪ και ⇔⎨⎪ = − +⎩

0

0

x 1

y 2

= −⎧⎪ και⎨⎪ =⎩

, οπότε οι γραφικές παραστάσεις fC των συναρτήσεων

2f (x) x 2x 5= − + + και 2f (x) 2x 4= − + διέρχονται από το σημείο ( )1, 2− .

Στη συνέχεια πρέπει να δείξουμε ότι από το σημείο ( )1, 2− διέρχονται οι γραφικές παραστάσεις όλων των συναρτήσεων.

Για να το δείξουμε, αρκεί η εξίσωση 2f (x) ( 1)x 2( 1)x 5= λ − + λ + + λ + να επαληθεύεται για x 1= − και y 2= .

Έχουμε: 22 ( 1)( 1) 2( 1)( 1) 5= λ − − + λ + − + λ + ⇔

2 1 2 2 5 2 2= λ − − λ − + λ + ⇔ = , άρα ισχύει, οπότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων διέρχονται όλες από το σταθερό σημείο ( )1, 2− .

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 48 

Προτεινόμενες ασκήσεις Θέμα 73 Από τα παρακάτω διαγράμματα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραμμα

Α.

B.

Γ.

Δ.

Θέμα 74 Για ποιες τιμές του x∈— η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x′ , όταν:

i. 2f (x) x 4x 3= − + , ii. 1 xf (x)1 x+

=−

, iii. xf (x) e 1= − .

Θέμα 75 Για ποιες τιμές του x∈— η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν:

i. 3f (x) x 2x 1= + + και g(x) x 1= +

ii. 3f (x) x x 2= + − και 2g(x) x x 2= + − . Θέμα 76 Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i. | x |f (x) 1x

= + , ii. g(x) x | x |= , iii. x 3 , x 1

h(x)x 1 , x 1

− + <⎧= ⎨ + ≥⎩

, iv. q(x) | ln x |= .

Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της συνάρτησης σε καθεμιά περίπτωση. Θέμα 77 Να βρεθεί το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x6 +x4 +x2 +1 με τον άξονα x΄x.

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 49 

Θέμα 78 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι:

Θέμα 79 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

i. | x 1 | | x 1 |f (x)2

+ + −= , ii. ημx | ημx |f (x)

2+

= , x [0,2π]∈ .

Από τη γραφική παράσταση της f να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. Θέμα 80 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x+2 και g(x)=2 . Τότε ισχύει Α. f (x) > g (x) για x ≥ 0 B. f (x) < g (x) για x ≥ 0 Γ. (x) = g (x) για x = 0 Δ. f (x)>g(x)+2 για x ∈ (0, 4) E. κανένα από τα παραπάνω Θέμα 81 Να βρεθεί το σύνολο των τετμημένων των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x)=x -3x -x+3 τέμνει τον άξονα x΄x. Θέμα 82 Δίνονται οι συναρτήσεις 3f (x) = x και g(x)=2-x . Να βρεθούν οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών τους παραστάσεων. Θέμα 83 Έστω η συνάρτηση f (x) = x (x - 2), x ∈ [0, 2]. α. Να αποδείξετε ότι f (x) ≤ 0 για κάθε x ∈ Df. β. Να αποδείξετε ότι f (x) = (x - 1)2 - 1 και στη συνέχεια δείξτε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το

διάστημα [- 1, 0]. γ. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

δ. Να βρείτε τις τιμές του x όταν οι τιμές του y = 0 και όταν y = 34

.

Θέμα 84 Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f αποτελείται από τα δύο ημικύκλια του σχήματος. α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. β. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i. y = y f (x)=

ii. y = - f (x) iii. y = f (x - 2)

4 3

1

2 1 O

iii)y

x

ii) 2

2 1 O

x

y

1

2 1 O

i) y

x

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 50 

Θέμα 85 Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. f (x) = 0, ii. f (x) = 2, iii. f (x) = - 2

δ. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. f (x) > 0, ii. f (x) < 0, iii. f (x) ≤ 2 iv. f (x) < - 2

Θέμα 86 Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της

συνάρτησης g. β. Να βρείτε τον τύπο της g όταν x ∈ [3, 6]. γ. Για ποιες τιμές του x ισχύει g (x) = - 1; δ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει:

i. - 2 < g (x) < 0 ii. g (x) ≥ 0

Θέμα 87 Έστω η συνάρτηση f (x) = x (x - 2), x ∈ [0, 2]. α. Να αποδείξετε ότι f (x) ≤ 0 για κάθε x ∈ Df. β. Να αποδείξετε ότι f (x) = (x - 1)2 - 1 και στη συνέχεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι

το διάστημα [ 1,0]− .

γ. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

δ. Να βρείτε τις τιμές του x όταν οι τιμές του y = 0 και όταν 3y4

= .

Θέμα 88

Δίνεται η συνάρτηση 1

lnxf (x) x= .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να αποδείξετε ότι f (x) e= για κάθε x του πεδίου ορισμού της.

γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 51 

Θέμα 89 Έστω η συνάρτηση f (x) = x2 - 3x + 2. α. Να βρείτε τις τιμές f (1), f (0), f (-3), f (2) β. Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ. Να βρείτε τις τιμές f (t), f (xt), f (x + h), x, t, h ∈—. Θέμα 90 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x-1, x∈[- 2, 3]. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

α. f1 (x) = f (x) + 1, β. f2 (x) = 2f (x) γ. f3 (x) = - f (x), δ. f4 (x) = f (x)

Θέμα 91 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των συναρτήσεων f και g, όταν:

1. f (x) x= και g(x) x= . 2. f (x) x= και 2g(x) x= .

Θέμα 92 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των συναρτήσεων f και g, όταν:

1. xf (x) e= και 2xg(x) e= . 2. 1f (x)x

= και 2

1g(x)x

= .

Θέμα 93 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των συναρτήσεων f και g, όταν:

1. xf (x) 2= και xg(x) 3= . 2. 1f (x)x

= και 2

1g(x)x

= .

Θέμα 94 Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC με τους άξονες x x′ και

y y′ , όταν:

1. 2

2

x 4f (x)x 9−

=−

, 2. f (x) 2x x= + . 3. 2x 2xf (x)x 1−

=−

,

4. ( )f (x) ln x 1= + . 5. x xf (x) 9 3 12= + − , 6. ( )f (x) 1 ln x 1= − − .

7. 1xf (x) e 1= − . 8. xf (x) xe x= − .

Θέμα 95 Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτη-σης f με πεδίο ορισμού το [2, 4]. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α. g (x) = f (x) + 1 β. h (x) = - f (x)

γ. φ (x) = f (x) .

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 52 

φύλλο εργασίας

1.

2.

3.

4.

5. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων;

6. Ποια συνθήκη ισχύει, όταν η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω (ή κάτω) από την γραφική παράσταση της g;

7. Πως βρίσκουμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με:

Τον άξονα των x Τον άξονα των y

8. Πως βρίσκουμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων για παράδειγμα των f(x)=lnx και g(x)=ln2x

9. Πότε μια γραμμή C, σχεδιασμένη σε ένα σύστημα αξόνων μπορεί να είναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης;