1 Preliminarii

Fie M, A multimi nevide si n ∈ N. Se muneste operatie n−ara (sau legede compozitie n-ara) definita pe M orice aplicatie τ : Mn → M (Mn =M × ...×M︸ ︷︷ ︸

n ori

). In cazul n = 2, obtinem operatiile binare si vom nota,

pentru τ : M2 → M , ın loc de τ(a, b), aτb. Mai mult, vom nota ·, +, ∗, ◦ :M2 → M , respectiv a · b, a + b, a ∗ b, a ◦ b etc.1. In cazul n = 0 se obtinoperatiile 0-are (M0 = {∗}−multimea cu un singur element, τ : M0 →M ınsemnand precizarea unui element din M), iar pentru n = 1 se obtinoperatiile unare. Aplicatiile A×M → M(M ×A → M) mai sunt numiteoperatii externe la stanga (dreapta) pe M peste A.

O multime nevida ınzestrata cu un numar de operatii satisfacand eventualanumite proprietati este numita structura algebrica. Numarul, tipul siproprietatile operatiilor determina tipul de structura algebrica, iar multimeadata este numita multimea subiacenta structurii algebrice obtinute.

Dintre problemele care apar ın contextul structurilor algebrice amintim:studiul legaturilor dintre structurile algebrice de acelasi tip, anume al apli-catiilor ce “transporta” operatiile (morfisme); studiul unor submultimi alemultimilor subiacente; studiul unor elemente remarcabile; studiul aspectelorspecifice ce apar ın legatura cu notiuni si constructii matematice, precumrelatiile de ordine sau de echivalenta etc.

Dintre proprietatile care se impun operatiilor se disting: asociativitatea,comutativitatea, existenta elementului neutru, inversabilitatea elementelor,distributivitatea (ın cazul a 2 operatii) etc..

Concret (ın general va fi utilizata, pentru simplitate, notatia multipliva-tiva):

- operatia ·: M2 → M este numita operatie asociativa daca: ∀(a, b, c) ∈M3, (a · b) · c = a · (b · c) (notam a · b · c, obtinand astfel si x1 · x2 · ... · xn

pentru x1, ..., xn ∈ M);- spunem ca e ∈ M este element neutru pentru operatia · : M2 → M

daca: ∀a ∈ M , a · e = e · a = a (din e1 = e1 · e2 = e2 rezulta ca, daca “·”admite element neutru, atunci acesta este unic);

- operatia · : M2 → M este numita operatie comutativa daca: ∀(a, b) ∈M2, a · b = b · a;

- daca · : M2 → M admite elementrul neutru e, atunci spunem ca x ∈ M

1Notatia “·”, (“+”) este numita notatie multiplicativa (aditiva) a operatiei.

1

este inversabil daca exista x′ ∈ M astfel ıncatx′ · x = e = x · x′ (x′ estenumit inversul lui x);2

- daca +, · : M2 → M satisfac conditia ∀(a, b, c) ∈ M3, a·(b+c) = a·b+a·c,(b + c) · a = b · a + c · a, atunci spunem ca “·” este distributiva fata de “+”.

S-a remarcat anterior unicitatea elementului neutru (daca exista).In urma unui rationament inductiv, rezulta ca au loc urmatoarele:1. Daca operatia · : M2 → M este asociativa, atunci ∀x1, ..., xn ∈ M ,

∀n ∈ N∗ avem ca (x1 · ... · xk) · (xk+1 · ... · xn) = (x1 · ... · xl) · (xl+1 · ... · xn),pentru orice k, l ıncat a ≤ k, l ≤ n − 1 (proprietatea de asociativitategeneralizata).

2. Daca operatia · : M2 → M este comutativa, atunci: ∀x1, ..., xn ∈ M1

∀n ∈ N∗, pentru orice aplicatie bijectiva τ : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n}, avemca x1 · x2 · ... · xn = xτ(1) · ... · xτ(n) (propreitatea de comutativitategeneralizata).

Precizam ca ın cazul unei operatii · : M2 → M asociative, pentru x ∈ Msi n ∈ N∗, se defineste xn prin xn = x1 ·x2 ·...·xn, unde x1 = x2 = ... = xn = x.Obtinem:

i) xm · xn = xm+n;ii) (xm)n = xmn;iii) daca x · y = y · x atunci (x · y)n = xn · yn.In notatie aditiva, nx = x + ... + x, sii) mx + nx = (m + n)x;ii) m(nx) = (mn)x;iii) daca x + y = y + x, atunci n(x + y) = nx + ny.Definitia 1.1. O multime nevida S ınzestrata cu o operatie binara aso-

ciativa · : S2 → S este numita semigrup.Notam (S, ·).Exemple:i) Multimea functiilor {f : M → M}, M 6= ∅, ımpreuna cu operatia

de compunere constituie un semigrup (numit semigrupul transformarilormultimii M);

ii) Multimea numerelor naturale N ımpreuna cu operatia uzuala de adunare(sau de ınmultire) constituie un semigrup.

Definitia 1.2. Un semigrup ce admite elemente unitate mai este numitmonoid. Este evident ca elementul unitate este unic ın cadrul unui monoid

2In cazul notarii operatiei prin “·”, x′ va mai fi notat x−1, iar e va mai fi notat 1. Incazul notatiei “+” x′ va mai fi notat −x, iar e va mai fi notat 0.

2

dat.Definitia 1.3. Un monoid (G, ·, e) ın care toate elementele sunt in-

versabile este numit grup.Explicitand obtinem “axiomele grupului”: o multime G 6= ∅ este numita

grup daca:i) G este ınzestrata cu o operatie binara · : G×G → G;ii) operatia “·” este asociativa: x · (y · z) = (x · y) · z, ∀(x, y, z) ∈ G3;iii) (G, ·) admite element neutru: ∃e ∈ G : x · e = x = e · x, ∀x ∈ G;iv) elementele lui G sunt inversabile (relativ la “·”): ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G :

x · x−1 = e = x−1 · x.Desi axiomele pot fi ınca simplificate (de exemplu este suficient sa avem

x · e = x sau x · x−1 = e), va fi pastrata aceasta varianta (“clasica”).Daca, ın plus:v) x · y = y · x, ∀(x · y) ∈ G2, spunem ca G3 este grup comutativ (sau

grup abelian).Exemple:i) Pe o multime cu un singur element, {a}, se poate introduce o unica

structura de grup, prin a · a = a = a−1 = e. Este numit grupul nul.ii) (Z, +, 0); (Q, +, 0); (Q∗, ·, 1); (R, +, 0); (R∗, ·, 1);iii) Pentru o multime oarecare M , multimea S(M) a bijectiilor M → M ,

ımpreuna cu operatia uzuala de compunere constituie un grup (este numitgrupul permutarilor multimii M).

Daca M este o multime finita avand n elemente (n ≥ 2) (vom alege M ={1, 2, ..., n}), atunci S(M) va fi notat Sn si va fi numit grupul permutarilorde grad n.

Observatia 1.1. Sn are n! = 1 · 2 · ... · n elemente.Un element din Sn va fi notat prin

σ =

(1 2 ... n

σ(1) σ(2) ... σ(n)

), iar

(1 2 ... n1 2 ... n

)= ε.

In cazul unei permutari σ, dacaσ(j)− σ(i)

j − i< 0, spunem ca avem o

inversiune ın σ.

3Notam, adeseori, G ın loc de (G, ·, e). In general, va fi folosita notatia multiplicativa,cea aditiva va apare ın unele cazuri concrete.

3

Notam εσ =∏

1≤i<j≤n

σ(j)− σ(i)

j − isi obtinem εσ = ±1. Daca numarul

inversiunilor lui σ este par spunem ca avem o permutare para (deci εσ = 1).In caz contrar, o vom numi permutare impara (εσ = −1).

Fie (G, ∗, e), (G′, ◦, e′) doua grupuri. Se numeste morfism de grupuride la G la G′ orice functie f : G → G′ ce satisface conditia

f(a ∗ b) = f(a) ◦ f(b) (pentru orice a, b ∈ G).

Rezulta imediat ca f(e) = e′ si

f(a−1) = (f(a))−1

(inversul fiind, evident, considerat ın G, ın membrul ıntai si, respectiv, ınG′).

Fie o multime nevida ınzestrata cu doua operatii (notate, de obicei, prin“+” si “·”). Enuntam urmatoarele conditii:

1) Multimea data are structura de grup abelian relativ la “+” (elementulneutru, numit si element zero, se va nota prin 0, iar inversul unui element ava fi notat −a);

2) Multimea data are structura de semigrup relativ la “·”;3) Operatia “·” este distributiva fata de operatia “+” (a·(b+c) = a·b+a·c;

(b + c) · a = b · a + c · a);4) Operatia “+” admite element neutru (notat 1);5) Operatia “·” este comutativa;6) Orice element diferit de 0 (conditia 4 se presupune ındeplinita) admite

invers relativ la “·” (inversul lui a este notat a−1).Definitia 1.4. i) O multime nevida R ınzestrata cu doua operatii “+”

si “·” satisfacand 1), 2), 3) este numita inel.ii) O multime nevida R ınzestrata cu doua operatii “+” si “·” satisfacand

1), 2), 3), 4) este numita inel unitar.iii) O multime R ınzestrata cu doua operatii “+” si “·” satisfacand 1),

2), 3), 5) este numita inel comutativ.iv) O multime K, avand cel putin 2 elemente, ınzestrata cu doua operatii

“+” si “·” satisfacand 1), 2), 3), 4), 6) este numita corp;v) O multime K avand cel putin 2 elemente, ınzestrata cu doua operatii

“+” si “·” satisfacand 1), 2), 3), 4), 5), 6) este numita corp comutativ(sau camp).

Observatia 1.2. In orice inel (si evident, ın orice corp) au loc:

4

i) a · 0 = 0 · a = 0;ii) a · (−b) = (−a) · b = −(a · b); (−a) · (−b) = a · b;iii) a ·

n∑i=1

bi =n∑

i=1

a · bi,

(n∑

i=1

ai

)· b =

n∑i=1

ai · b.Intr-adevar, a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, deci a · 0 = 0. Avem si

0 = 0 · b = (a + (−a)) · b = a · b + (−a) · b deci (−a) · b = −(a · b). Analog,rezulta a · (−b) = −(a · b). (−a) · (−b) = −(a · (−b)) = −(−(a · b)) = a · b.Relatia iii) se demonstreaza prin inductie matematica.

Observatia 1.3. In cazul unui corp (K, +, ·) vom avea: (K, +) este grupabelian, iar (K∗, ·) este grup (K∗ = K \ {0}). Precizam ca operatiile vor finotate (pentru orice structura considerata) prin “+” si/sau “·” (ıntelegandu-se din context multimile pe care sunt definite, iar elementele neutre, dacaexista, vor fi notate 0, respectiv 1).

Exemple:i) inelul numerelor ıntregi (Z, +, ·); corpul numerelor rationale (Q, +, ·);

corpul numerelor reale (R, +, ·); corpul numerelor complexe (C, +, ·);ii) inelul ıntregilor lui Gauss Z[i] = {m + ni, m, n ∈ Z}, i =

√−1,operatiile fiind aceleasi ca si ın C;

iii) Q(√

2) = {a+ b√

2 | a, b ∈ Q} are structura de corp fata de operatiileinduse de operatiile din (R, +, ·);

Pe o multime cu un singur element se poate defini o structura de inel(unitar) impunand a + a = a = a · a = 0 = 1. Este numit inel nul. O astfelde constructie nu este posibila ın cazul corpurilor.

Fie R si R′ doua inele. Se numeste morfism de inele de la R la R′ oricefunctie f : R → R′ ce satisface conditiile:

f(a + b) = f(a) + f(b);f(a · b) = f(a) · f(b), oricare ar fi a, b ∈ R.Un morfism f : R → R′, unde R si R′ sunt inele unitare, care satisface ın

plus conditia f(1) = 1 este numit morfism unitar de inele unitare.Prima conditie din definitia notiunii de morfism conduce la faptul ca f

este morfism ıntre grupurile (R, +) si (R′, +), deci vom avea f(0) = 0 sif(−a) = −f(a).

In ipoteza ca f este ın plus bijectiva, obtinem notiunea de izomorfismde inele. Rezulta si ca f−1 este izomorfism de inele. Pentru un morfism deinele f : R → R′ notam ker f = {x | x ∈ R, f(x) = 0 ∈ R′}, Imf = f(R).

Fie K,K ′ doua corpuri. Se numeste morfism de corpuri de la K la K ′

orice functie f : K → K ′ ce satisface conditiile:

5

f(a + b) = f(a) + f(b);f(a · b) = f(a) · f(b).Altfel spus, f este un morfism de grupuri ıntre (K, +) si (K ′, +) si morfism

de grupuri ıntre (K∗, ·) si (K′∗, ·). Rezulta de aici ca f(1) = 1; f(a−1) =

(f(a))−1. Ca si ın cazul inelelor, un morfism bijectiv de corpuri va fi numitizomorfism de corpuri.

Fie R un inel comutativ si unitar. Consideram multimea sirurilor de ele-mente din R, (a0, a1, ..., an, ...) cu proprietatea ca numarul componentelordiferite de 0 ∈ R este finit. Pe aceasta multime se introduc operatiile:(a0, a1, ..., an, ...)+(b0, b1, ..., bn, ...) = (a0+b0, a1+b1, ..., an+bn, ...) si (a0, a1, ...,

an, ...) · (b0, b1, ..., bn, ...) = (c0, c1, ..., cn, ...) unde ck =∑

i+j=k

ai · bj, k ∈ N.

Aceste operatii confera multimii considerate structura de inel comutativsi unitar, dupa cum se poate verifica usor.

Pentru α ∈ R, definind α(a0, a1, ...) = (α · a0, α · a1, ...) si notand X =

(0, 1, 0, 0...) se obtine ca (a0, a1, ..., an, ...) poate fi scris sub forma∑

k

akXk,

unde Xk = X ·X · ... ·X︸ ︷︷ ︸k ori

(suma fiind finita).

Inelul construit anterior este numit inelul polinoamelor de o nedetermi-nata peste R si este notat R[X]. Numarul n = max{i | ai 6= 0} este numitgradul polinomului (a0, a1, ...), iar an (ın acest caz) este numit coeficien-tul dominant al polinomului. Pentru polinomul nul (0, 0, ...) se convine sase considere gradul sau ca fiind −∞.

Polinoamele (0, a, 0, ...) a ∈ R se identifica cu a ∈ R, sunt numite poli-noame constante, iar gradul lor este egal cu 0.

2 Algebra liniara

Matrice. Determinanti

Fie (K, +, ·) un corp comutativ si M = {1, 2, ..., m}, N = {1, 2, ..., n}, m,n ∈IN∗. Reamintim ca se numeste matrice de tip (m,n) peste K orice functie A :M×N → K. Precizam ca, exceptand unele rezultate privind inversabilitateamatricelor si sistemele liniare, notiunile si celelalte rezultate ce vor fi date ıncontinuare ısi pastreaza valabilitatea si ın cazul ın care K este inel (comutativsi unitar).

6

Notand A(i, j) = aij, i ∈ M, j ∈ N , matricea A poate fi reprezentata subforma unui tablou

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

am1 am2 ... amn

avand m “linii” si n “coloane” (condensat A = (aij)m×n).Pe multimea matricelor de tip (m,n) peste K, notata M(m,n, K), se

defineste operatia de adunare a matricelor prin: daca A,B ∈ M(m, n,K),atunci (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j), ∀(i, j) ∈ M ×N , obtinandu-se:

• (M(m,n,K), +) are structura de grup abelian.

Pentru matricile A ∈ M(m,n, K), A = (aij)m×n, B ∈ M(n, p, K),B = (bij)n×p se defineste o matrice C ∈M(m, p, K) prin C = (cij)m×p

unde cij =n∑

k=1

aikbkj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p, numita produsul

matricelor A si B (notam C = A ·B).

In cazul m = n, multimea M(m,n, K) se noteaza prin M(n,K). Pro-dusul definit anterior conduce la o operatie “·” peM(n,K), obtinandu-se:

• (M(n,K), +, ·) are structura de inel4 unitar. Rolul de “matrice uni-

tate” este jucat de In =

1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1

, 0, 1 ∈ K.

Pentru A ∈ M(m,n, K), A = (aij)m×n si λ ∈ K, se defineste λA ∈M(m,n, K), λA = (λ · aij)m×n, obtinandu-se o operatie externa numitaprodusul matricelor (din M(m,n, K)) cu scalari (din K).

Pentru A ∈M(m,n,K), A = (aij)m×n, matricea tA ∈M(n,m, K) tA =(take)n×m, unde take = aek, este numita transpusa matricei A.

4inel necomutativ

7

Fie A ∈ M(n,K). Elementul din K notat det A si dat de det A =∑σ∈Sn

εσ · a1σ(1)... · anσ(n) unde Sn noteaza multimea permutarilor de grad n si

εσ =

{1 daca σ este permutare para,−1 daca σ este permutare impara,

se numeste determinantul matricei A5 (se mai noteaza prin

det A =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣sau |aij|n×n).

In vederea indicarii ulterioare a unui procedeu de calcul se definesc (pen-tru A ∈ M(n,K)) notiunile de minor si complement algebric ale unui ele-ment.

Suprimand linia i (anume ai1...ain) si coloana j (anume

aj1...

ajn

) din A, se

obtine o matrice iAj ∈ M(n− 1, K) al carei determinant poarta numele deminorul elementului aij (va fi notat dij). Elementul δij = (−1)i+jdij va finumit complementul algebric al elementului aij.

Au loc urmatoarele proprietati:

• det A = det tA;

• daca ıntr-o matrice A ∈ M(n,K), n ∈ N∗ se schimba doua linii(coloane) ıntre ele atunci se obtine o matrice al carei determinant esteegal cu − det A;

•

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

... ... ... ...α · ai1 α · ai2 ... α · ain

... ... ... ...an1 an2 ... anm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

... ... ... ...ai1 ai2 ... ain

... ... ... ...an1 an2 ... anm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, 1 ≤ i ≤ n

(analog pentru coloane);

5pentru A ∈M(n,K) spunem si ca det A este determinant de ordin n.

8

•

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

... ... ... ...ai1 ai2 ... ain

... ... ... ...aj1 aj2 ... ajn

... ... ... ...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 ... a1n

... ... ...ai1 + λ · aj1 ... ain + λ · ajn

... ... ...aj1 ... ajn

... ... ...an1 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

pentru orice

1 ≤ i, j ≤ n, ∀λ ∈ K (analog pentru coloane);

• Pentru A ∈M(n, K), au loc6:

det A = ai1δi1 + ... + ainδin, pentru orice 1 ≤ i ≤ n;

det A = a1jδ1j + ... + anjδnj, pentru orice 1 ≤ j ≤ n;

• Pentru A,B ∈M(n,K), n ∈ N∗, det A ·B = det A · det B.

Fie A ∈Mn,K. Se spune ca A este matrice inversabila daca exista omatrice B ∈M(n,K) astfel ıncatA ·B = B ·A = In (B este numita inversalui A). Inversa unei matrice, daca exista, este unica si va fi notata A−1. Secunoaste ca A ∈M(n,K) este inversabila daca si numai daca det A 6= 0, iar(ın cazul ın care exista)

A−1 =1

det A·

δ11 δ21 ... δn1

δ12 δ22 ... δn2

... ... ... ...δ1n δ2n ... δnn

(se remarca faptul ca ınlocuirea elementelor cu complementi algebrici se faceın tA).

Consideram A ∈M(m,n, K) si fie k un numar natural 1 ≤ k ≤ min(m,n).Alegand, ın A, k linii si k coloane, elementele care se regasesc la intersectia

acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k (submatrice amatricei A) al carei determinant se numeste minor de ordin k al matriceiA.

Daca A ∈ M(m,n, K) are si elemente diferite de 0 ∈ K, spunem ca Aare rangul r (rangA = r) daca A admite un minor de ordin r nenul, iar totiminorii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt nuli7 Evident,

6formulele de “dezvoltare dupa o linie”, respectiv “dezvoltare dupa o coloana”.7Daca A este matricea nula (aij = 0 ∈ K, pentru orice 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n),

convenim sa spunem ca rangA = 0.

9

este suficient (si necesar) ca toti minorii de ordin r + 1 (daca exista) sa fienuli.

Sisteme de ecuatii liniare

Fie sistemul

(*)

a11x1 + ... + a1nxn = b1

...am1x1 + ... + amnxn = bm, bi, aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Prin solutie a sistemului se ıntelege o n-upla de elemente din K, (α1, ..., αn),care verifica ecuatiile sistemului. Distingem: sistem incompatibil (nu ad-mite nici o solutie), sistem compatibil determinat (solutie unica), sistemcompatibil nedeterminat (o infinitate de solutii).

Notam A =

a11 ... a1n

... ... ...am1 ... amn

si A =

a11 ... a1n b1

... ... ... ...am1 ... amn bm

(ultima

coloana este numita coloana termenilor liberi)8 si se obtine:

• Sistemul de ecuatii liniare (*) este compatibil daca si numai daca rangA =rangA(teorema Kronecker - Capelli).

Daca rangA = r, alegand un minor de ordin r nenul (corespunzator uneisubmatrice a matricei A), vom numi determinant caracteristic (alsistemului dat) determinantul matricei obtinute prin bordarea subma-tricei alese (numita submatrice principala) cu o coloana alcatuita dinelementele corespunzatoare liniilor submatricei respective din coloanatermenilor liberi precum si cu cele corespunzatoare ale uneia dintreliniile ramase (daca exista o astfel de linie). Se obtine:

• In ipoteza rangA < m, sistemul de ecuatii (∗) este compatibil dacasi numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli (teoremaRouche).

Daca rangA = m (avem si m ≤ n), sistemul (*) este, evident, compa-tibil.

• In cazul m = n si det A 6= 0, pentru rezolvare se poate aplica “regulaCramer”:

8Liniile matricei A corespund ecuatiilor sistemului, iar coloanele corespund necunos-cutelor acestuia.

10

Daca m = n si det A 6= 0, atunci (∗) admite solutie unica data de

x1 =d1

d, ..., xn =

dn

dunde d = det A, iar di este determinantul matricei

obtinute din matricea sistemului prin ınlocuirea coloanei i cu coloanatermenilor liberi.

In celelalte cazuri (m 6= n sau m = n si det A = 0), daca sistemul estecompatibil, se aleg ecuatiile ce corespund liniilor submatricei principale si sepastreaza ın membrul ıntai necunoscutele ce corespund coloanelor submatri-cei principale (celelalte fiind trecute ın membrul doi), obtinandu-se un sistemce poate fi rezolvat cu ajutorul regulii lui Cramer. Precizam ca acest sistemare exact aceleasi solutii cu sistemul initial9.

Spatii liniare

Fie (K, +, ·) un corp comutativ.Definitia 2.1. Un grup comutativ (V, +)10 ınzestrat cu o operatie externa

ϕ : K × V → V , ϕ(α, x) = αx, astfel ıncat:i) α(x + y) = αx + αy;ii) (α + β)x = αx + βx;iii) (α · β)x = α(βx);iv) 1x = x

pentru orice α, β ∈ K(1 ∈ K) si orice x, y ∈ V , este numit spatiu liniarpeste K (sau K−spatiu liniar). In cele ce urmeaza va fi considerat doarcazul “netrivial” V 6= {0}.

Exemple:i) Considerand, pentru cazul (K, +, ·), grupul abelian (K, +) si operatia

externa data de “·”, se obtine: K este spatiu liniar peste K;ii) Definind pe Kn = K×K× ...×K operatiile (α1, ..., αn)+(β1, ..., βn) =

(α1 + β1, ..., αn + βn) si λ(α1, ..., αn) = (λ · α1, ..., λ · αn), λ ∈ K, se obtine:Kn este spatiu liniar peste K;

iii)M(m,n, K) este spatiu liniar peste K (operatiile fiind “+” si produsulmatricelor cu scalari);

9Daca doua sisteme de ecuatii au exact aceleasi solutii se mai spune ca sunt sistemeechivalente (se admite ca toate sistemele incompatibile sunt echivalente ıntre ele).

10Utilizarea notatiei aditive nu poate produce confuzii (de exemplu, ın ii), este evidentca simbolul “+” din paranteza reprezinta operatia din K, iar ın membrul al doilea apareoperatia din V .

11

iv) Multimea polinoamelor de o nedeterminanta K[X] are structura despatiu liniar peste K (“+” reprezinta suma uzuala de polinoame, iar, pentru

λ ∈ K si f =n∑

i=0

aiXi, λf =

n∑i=0

(λ · ai)Xi).

v) Multimea polinoamelor de grad cel mult n, Kn[X], n ∈ N este spatiuliniar peste K (operatiile sunt precizate ın exemplul iv)).

Observatia 2.1. Pentru un spatiu liniar, V , peste corpul K, avem:i) αx = 0 ⇒ α = 0 sau x = 0;ii) (−α)x = −αx = α(−x); (−α)(−x) = αx;iii) αx = βx, x 6= 0 ⇒ α = β;iv) λx = λy, λ 6= 0 ⇒ x = y.Fie V un spatiu liniar peste corpul K si S ⊆ V . Daca S = {x1, ..., xn},

n ∈ N∗, si din orice egalitaten∑

i=1

αixi = 0, αi ∈ K, i = 1, n, rezulta αi = 0,

i = 1, n, atunci spunem ca elementele x1, ..., xn sunt liniar independente(sau ca S este (submultime) liniar independenta). Daca S este in-finita, atunci S va fi numita submultime liniar independenta daca oricesubmultime finita a sa este liniar independenta. In caz contrar11, spunem caS este liniar dependenta.

Precizam si ca expresiile de forman∑

i=1

αixi mai sunt numite combinatii

liniare de x1, ..., xn ∈ V .Observatia 2.2. i) Daca x ∈ V, x 6= 0, atunci S = {x} este liniar

independenta;ii) Daca 0 ∈ S, atunci S este liniar dependenta;iii) Daca S este liniar independenta, iar S ′ ⊆ S, atunci S ′ este liniar

independenta;iv) Daca S ′ ⊆ S, iar S ′ este liniar dependenta, atunci S este liniar depen-

denta.Daca ∅ 6= M ⊆ V , M = {x1, ..., xn}, n ∈ N∗, spunem ca M constituie un

sistem de generatori pentru V daca orice element x ∈ V se poate exprima

11Daca S = {x1, ..., xn} atunci exista αi ∈ K, i = 1, n si exista cel putin un indice i,

1 ≤ i ≤ n, asa ıncat αi 6= 0 sin∑

i=1

αixi = 0 (ın cazul infinit, exista cel putin o submultime

finita liniar dependenta).

12

ca o combinatie liniara de x1, ..., xn, x =n∑

i=1

αixi. In cazul ın care M este

infinita se impune ca, pentru orice x ∈ V , sa existe n ∈ N∗ si x1, ..., xn ∈ M

astfel ıncatx =n∑

i=1

αixi, αi ∈ K, i = 1, n.

Observatia 2.3. Pentru orice spatiu liniar V , multimea V constituie unsistem de generatori pentru V .

Definitia 2.2. O submultime B a spatiului liniar V peste K este numitabaza a spatiului V daca:

i) B este liniar independenta;ii) B constituie un sistem de generatori.Distingem cazurile cand B este finita, respectiv infinita.Teorema 2.1. Orice spatiu liniar admite o baza.

Demonstratie. Pentru exemplificare, vom demonstra teorema ın cazul ıncare spatiul liniar considerat admite un sistem finit de generatori. Fie, atunci,spatiul liniar V si {x1, ..., xn}12 un sistem de generatori pentru V . Evident caexista xi 6= 0 si, ın consecinta, {xi} constituie o submultime liniar indepen-denta. Fie B13 o submultime liniar independenta ıncat B ⊆ {x1, ..., xn} si Beste maximala (relativ la incluziune) cu aceasta proprietate. Prin eventualarenumerotare, obtinem B = {x1, ..., xm}, m ≤ n. Este suficient sa aratam caB consituie un sistem de generatori. Intrucat B este maximala rezulta ca,pentru orice j,m < j ≤ n, sistemul {x1, ..., xm, xj} este liniar dependent, deciexista ai ∈ K, i = 1,m + 1 ıncat a1x1 + ... + amxm + am+1xj = 0 si am+1 6= 0(altfel, se contrazice faptul ca B este liniar independenta). Altfel spus, xj

poate fi reprezentat ca o combinatie liniara de elementele din B. Intrucat{x1, ..., xn} este sistem de generatori pentru V , rezulta ca B satisface aceeasiconditie (ın reprezentarea oricarui element x ∈ V se ınlocuiesc xj,m < j ≤ nprin combinatiile liniare de x1, ..., xm).

Daca spatiul vectorial V peste K admite o baza finita spunem ca V esteK-spatiu liniar finit generat.

Demonstratia teoremei anterioare conduce imediat la:Observatia 2.4. Intr-un K-spatiu liniar finit generat, din orice sistem

de generatori se poate extrage o baza.

12Avem si xi 6= xj pentru i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n.13Existenta lui B pentru cazul considerat este evidenta.

13

Observatia 2.5. Daca B = {e1, ..., en} este o baza ın V atunci oricex ∈ V se exprima ın mod unic ca o combinatie liniara de elementele e1, ..., en.

Intr-adevar, daca x =n∑

i=1

αiei =n∑

i=1

βiei, αi, bi ∈ K, i = 1, n, atunci

n∑i=1

(αi − βi)ei = 0 si deci αi = βi, ∀i = 1, n. In acest context, daca

x =n∑

i=1

αiei, αi ∈ K, i = 1, n, atunci elementele α1, ..., αn se numesc co-

ordonatele lui x ın raport cu baza e1, ..., en.Remarcam si faptul ca ın ipoteza “B sistem finit de generatori pentru

V ”, conditia de unicitate a coordonatelor este echivalenta cu conditia ca Bsa fie baza.

Exemple:i) (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) constituie o baza ın spatiul liniar

Kn;ii) Polinoamele 1, X,X2, ... constituie o baza ın spatiul liniar K[X];iii) Polinoamele 1, X,X2, ..., Xn consituie o baza ın spatiul liniar Kn[X];

iv) Matricele Ek` = (eij)m×n, eij =

{1; i = k, j = `0 ın rest,

1 ≤ k ≤ m, 1 ≤` ≤ n constituie o baza ın spatiul liniar M(m,m, K).

Bazele date ın exemplele anterioare sun numite baze canonice (alespatiilor liniare considerate).

Teorema 2.2. Intr-un K-spatiu liniar finit generat orice doua baze auacelasi numar de elemente.

Demonstratie. Vom arata ca, daca fiecare element al sistemului liniar in-dependent {e1, ..., em} este combinatie liniara de elementele f1, ..., fn, atuncim ≤ n. Demonstratia se face prin inductie matematica dupa numarul m.

Pentru m = 1, afirmatia este evident adevarata.Presupunem afirmatia adevarata pentru orice sitem liniar independen-

tavand r < m elemente. Fie sistemul {e1, ..., em}. Avem ca ei =n∑

j=1

aijfj, i =

1, m, unde aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n si cel putin un element aij 6= 0.Presupunem (eventual renumerotand) ca a11 6= 0. Notam atunci e′i = ei −(ai1 · a−1

11 )ei, i = 2,m, si obtinem sistemul {e′2, ..., e′m}, fiecare element al saufiind exprimat ca o combinatie liniara de f2, ..., fn.

14

Daca λ2, ..., λm ∈ K si λ2e′2 + ... + λme′m = 0 atunci, ınlocuind e′i =

ei − (ai1 · a−111 )e1, i = 2,m, se obtine din liniara independenta a sistemului

{e1, ..., em}, λ2 = ... = λm = 0, deci {e′2, ..., e′m} constituie un sistem liniarindependent.

Conform ipotezei inductive, rezulta m− 1 ≤ n− 1 deci m ≤ n.Daca {e1, ..., em} si {f1, ..., fn} constituie baze, atunci m ≤ n si n ≤ m,

deci m = n.

Reformuland, putem spune ca, daca spatiul liniar V peste K admiteo baza avand n elemente, atunci orice alta baza va avea, de asemenea, nelemente. Teorema anterioara conduce la urmatoarea definitie:

Definitia 2.3. Daca V este un K-sistem liniar finit generat, numimdimensiune a spatiului V (si notam dim V ) numarul elementelor uneibaze a lui V .

Daca spatiul liniar V peste K nu este finit generat vom scrie dim V = ∞.Convenim si ca, pentru cazul V = {0}, dim V = 0.

Exemple:i) dim Kn = n;ii) dim K[X] = ∞;iii) dim Kn[X] = n + 1;iv) dimM(m,n, K) = m · n.Demonstratia teoremei 2.2 conduce la urmatoarea observatie:Observatia 2.6. Intr-un K-spatiu liniar finit generat orice submultime

liniar independenta se poate completa pana la o baza.

Demonstratie. Remarcam mai ıntai (conform demonstratiei teoremei 2.2)ca ın spatiul liniar (V ) dat (avand dimensiunea n), submultimile liniar inde-pendente pot avea cel mult n elemente. Fie {x1, ..., xr}, r ≤ n, o submultimeliniar independenta si e1, ..., en o baza. Daca r = 1, x1 = α1e1 + ... + αnen si∃i, 1 ≤ i ≤ n ıncat αi 6= 0. Presupunem (eventual renumerotand) ca α1 6= 0.Se verifica atunci faptul ca {x1, e2, ..., en} constituie o baza ın V : e1 se ex-prima ca o combinatie liniara de x1, e2, ..., en, deci {x1, e2, ..., en} constituieun sistem de generatori iar, daca presupunem ca {x1, e2, ..., en} sunt liniardependenti, rezulta ca {e1, e2, ..., en} sunt liniar dependenti, ceea ce este fals.

Procedand inductiv, avand {x1, ..., xr} liniar independenti, folosind fap-tul ca {x1, ..., xr−1} sunt, de asemenea, liniar independenti se obtine ca{x1, ..., xr−1, er, ..., en} constituie o baza si apoi repetand cazul r = 1 seobtine ceea ce trebuia demonstrat.

15

Reformuland, putem spune ca: ıntr-un K-spatiu liniar finit generat, daca{x1, ..., xr} este submultime liniar independenta, iar {y1, ..., yn} constituieun sistem de generatori, atunci r ≤ n si, dupa o eventuala renumerotare,{x1, ..., xr, yr+1, ..., yn} constituie un sistem de generatori. Acest enunt estecunoscut sub numele de teorema schimbului (sau teorema Steinitz).

Enuntam fara demonstratie (rezulta usor din cele precedente) o propozitieutila ın exercitii:

Propozitia 2.1. Fie V un K-spatiu liniar de dimensiune n si B ={e1, ..., en} ⊆ V (submultime avand n elemente). Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

i) B este baza;ii) B este liniar independenta;iii) B constituie sistem de generatori.Fie V un spatiu liniar de dimensiune n peste un corp K si B = {e1, ..., en},

B′ = {e′1, ..., e′n} doua baze ale sale.Folosind faptul ca B este baza, putem scrie

e′i =n∑

j=1

ajiej, i = 1, n

punand astfel ın evidenta o matrice14 (unica)

A =

a11 a12 ... a1n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

∈M(n,K)

numita matricea de trecere de la baza B la baza B′.

Notand e =

e1...en

, e′ =

e′1...e′n

, putem scrie (formal) e′ =t A · e

(aceasta relatie este numita formula de trecere de la baza B la baza B′).Fie x ∈ V ıncat x = α1e1 + ... + αnen si x = α′1e

′1 + ... + α′ne′n. Avem

x =n∑

i=1

α′ie′i =

n∑i=1

α′i

(n∑

j=1

ajiej

)=

n∑j=1

(n∑

i=1

α′iaji

)ej =

n∑j=1

αjej = x. Co-

ordonatele oricarui element ıntr-o baza data fiind unic determinate, rezulta

14A fost folosit primul indice (pentru aji) ca indice de sumare, iar coloanele din A contincoordonatele elementelor e′i, i = 1, n. Rezultatele similare se obtin folosind cel de-al doileaindice ca indice de sumare.

16

αj =n∑

i=1

α′jaji, i = 1, n adica (sub forma matriciala) α = A · α′, unde

α =

α1...

αn

, α′ =

α′1...

α′n

.

Aceasta ultima relatie este numita formula de transformare a coor-donatelor.

Propozitia 2.2. fie V un K-sistem liniar de dimensiune n. Pentruorice baze B si B′ ale lui V , matricea de trecere de la baza B la baza B′ estematrice inversabila.

Demonstratie. Remarcam ıntai (dupa calcule simple) ca, ın general, fiinddate bazele B, B′, B′′ ın V , avand A matricea de trecere de la B la B′, A′

matricea de trecere de la B′ la B′′ si A′′ matricea de trecere de la B la B′′,obtinem A · A′ = A′′.

Pentru B′′ = B, obtinem evident A′′ = In, deci matricea A este in-versabila.

Avand ın vedere rezultatul anterior, putem scrie

α′ = A−1 · α si e =t A−1 · e′.

Subspatii liniare

Fie V un K-spatiu liniar. O submultime nevida U ⊆ V se numeste subspatiuliniar al lui V daca

i) pentru orice x, y ∈ U, x + y ∈ U ;ii) pentru orice x ∈ U si orice α ∈ K, αx ∈ U .Observatia 2.7. Conditiile definitiei asigura faptul ca restrictiile ope-

ratiilor K-spatiului liniar V determina pe U o structura de K-spatiu liniar(U este subgrup al grupului V , iar operatia externa este data de asociereacorespunzatoare pentru V ).

Exemple:i) {0} ⊂ V constituie subspatiu liniar (numit subspatiul nul) al spatiului

liniar V ;ii) Submultimile K × 0 = {(x, 0) | x ∈ K} si 0 × K = ((0, y) | y ∈ K)

sunt subspatii liniare ale K-spatiului liniar K2;iii) Daca {x1, ..., xn} ⊆ V , atunci {a1x1 + ... + anxn | ai ∈ K, i = 1, n}

constituie subspatiu liniar (va fi notat L(x1, ..., xn)) al lui V .

17

Daca e1, ..., en este o baza a K-spatiului liniar V , atunci L(e1, ..., en) = V .Folosind teorema schimbului, deducem:

Propozitia 2.3. Daca U 6= {0} este subspatiu liniar al unui K-spatiuliniar V de dimensiune n, atunci U este finit generat si dim U ≤ n.

Demonstratie. Intr-adevar, ın V , deci si ın U , orice n + 1 elemente consti-tuie o submultime liniar dependenta, iar o submultime liniar independentamaximala din U este si baza ın U .

Mai mult, avem dim U = n daca si numai daca U = V . Rafinand acestrezultat obtinem:

Propozitia 2.4. Daca U1 si U2 sunt subspatii ale K-spatiului liniar finitgenerat V , U1 ⊆ U2 si dim U1 = dim U2 atunci U1 = U2.

Demonstratie. Din U1 ⊆ U2 si dim U1 = dim U2 rezulta ca orice baza dinU1 este si baza ın U2, deci U1 = U2.

Fie V un K-spatiu liniar si U1, U2 subspatii ale lui V . Cu subspatiileliniare ale unui K-spatiu liniar se pot efectua operatii printre care se disting“intersectia” si “suma” de subspatii:

• Intersectia U1 ∩ U2 este subspatiu liniar ın V ;

• U1 + U2 = {x + y | x ∈ U1, y ∈ U2} constituie un subspatiu liniar ın V .

Se remarca usor ca au loc:

i) U1 ∩ U2 = U2 ∩ U1;

ii) U1 + U2 = U2 + U1;

iii) (U1 ∩ U2) ∩ U3 = U1 ∩ (U2 ∩ U3);

iv) (U1 + U2) + U3 = U1 + (U2 + U3).

Propozitia 2.5. Daca U1 si U2 sunt subspatii liniare ale unui K-spatiuliniar V , finit generat, atunci

dim(U1 + U2) + dim(U1 ∩ U2) = dim U1 + dim U2.

Demonstratie. In cazul U1 ∩ U2 = {0}, fie b1, ..., bm; c′1, ..., c′r baze ın U1,

respectiv U2. Prin calcule simple se deduce ca b1, ..., bm, c′1, ..., c′r constituie o

baza ın V .

18

In cazul U1 ∩ U2 6= {0}, fie a1, ..., as o baza ın U1 ∩ U2.Intrucat U1 ∩ U2 ⊆ U1, U1 ∩ U2 ⊆ U2, {a1, ..., as} poate fi completata,

obtinandu-se a1, ..., as, bs+1, ..., bm baza ın U , si a1, ..., as, cs+1, ..., cr baza ınU2 (conform propozitiei 2.3, m ≥ s, r ≥ s).

Prin calcule simple se deduce ca a1, ..., as, bs+1, ..., bm, cs+1, ..., cr constituieo baza ın V .

In cazul ın care U1 ∩ U2 = {0}, suma U1 + U2 mai este numita sumadirecta a subspatiilor liniare U1 si U2 si este notata U1 ⊕ U2.

Observatia 2.8. i) In cazul U1 ∩ U2 6= {0}, daca x ∈ U1 ∩ U2 \ {0},atunci orice element z ∈ U1 +U2, z = z1 + z2, z ∈ U1, z2 ∈ U2 poate fi scris sisub forma z = (z1 − x) + (x + z2), altfel spus, reprezentarea elementelor dinU1 + U2 ca suma, z = z1 + z2, z1 ∈ U1, z2 ∈ U2, nu este unica;

ii) orice element z ∈ U1 ⊕ U2 poate fi scris ın mod unic sub forma z =z1 + z2, z1 ∈ U1, z2 ∈ U2.

In adevar, din z1 + z2 = z′1 + z′2, z1, z′1 ∈ U, z2, z

′2 ∈ U2 rezulta z1 − z′1 =

z′2 − z2 = 0 deoarece U1 ∩ U2 = {0}, adica z1 = z′1, z2 = z′2.Observatia 2.9. Daca U1, U2 sunt subspatii liniare ale unui K-spatiu

liniar finit generat, atunci dim U1⊕U2 = dim U1+dim U2. Mai mult, U1+U2 =U1 ⊕ U2 daca si numai daca dim(U1 + U2) = dim U1 + dim U2. In ceea cepriveste reuniunea de subspatii, se arata usor ca U1∪U2 este subspatiu liniardaca si numai daca U1 ⊆ U2 sau U2 ⊆ U1.

Operatiile “intersectie” si “suma” se pot extinde, ın general, pentru familiide subspatii liniare ale unui aceluiasi K-spatiu liniar.

Fie {Ui}i∈I o familie de subspatii liniare ale K-spatiului liniar V .

•⋂i∈I

Ui este subspatiu liniar ın V ;

•∑i∈I

Ui =

{n∑

j=1

xαj| αj ∈ I, xαj

∈ Uαj, j = 1, n, n ∈ N∗

}15 este subspa-

tiu liniar ın V .

Verificarea conditiilor de subspatiu liniar este propusa ca un simplu exer-citiu.

15Orice x ∈∑

i∈I

Ui se reprezinta ca suma finita de elemente din subspatiile liniare Ui, i ∈

I.

19

Prima asertiune conduce la notiunea de subspatiu liniar generat de osubmultime a spatiului liniar considerat: pentru un K-spatiu liniarV si X ⊆V , intersectia familiei subspatiilor liniare ale lui V ce includ X poarta numelede subspatiu liniar generat de X (notam < X >).

Observatia 2.10. i) L(a1, ..., an) =< {a1, ..., an} >;ii) U1 + U2 =< U1 ∪ U2 >.

In ceea ce priveste∑i∈I

Ui, limitandu-ne, pentru simplitate, la cazul I =

{1, 2, ..., n}, vom spune ca, ın cazul ın care pentru orice i, 1 ≤ i ≤ n, Ui ∩

n∑j=1j 6=i

Uj

= {0}, subspatiul liniar

n∑i=1

Ui este suma directa a familiei

subspatiilor Ui, i = 1, n (notamn⊕

i=1

Ui).

Pentru n = 2 se obtine suma directa a subspatiilor U1, U2. Mai multn⊕

i=1

U1

se obtine inductiv, remarcand ıntai ca U1⊕U2 = U2⊕U1 si (U1⊕U2)⊕U3 =U1 ⊕ (U2 ⊕ U3).

Propozitia 2.6. Fie U1, ..., Un subspatii liniare ale K-spatiului liniar V .Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i)n∑

i=1

Ui =n⊕

i=1

Ui;

ii) dacan∑

i=1

xi =n∑

i=1

yi, unde xi, yi ∈ Ui, i = 1, n, atunci xi = yi pentru

orice i = 1, n.

Demonstratie. i) ⇒ ii) Dinn∑

i=1

xi =n∑

i=1

yi rezulta xi − yi =n∑

j=1j 6=i

(yj − xj),

iar xi − yi ∈ Ui,n∑

j=1j 6=i

(yj − xj) ∈n∑

j=1j 6=i

Uj deci xi = yi, ∀i, 1 ≤ i ≤ n.

ii) ⇒ i) Presupunand ca ∃i, 1 ≤ i ≤ n, astfel ıncat∃x ∈ Ui ∩

n∑j=1j 6=i

Uj

si

20

x 6= 0, atunci, din x ∈n∑

j=1j 6=i

Ui, rezulta x = y1 + ... + yi−1 + yi+1 + ... + yn si

deci y1 + ... + yi−1 + (−x) + yi+1 + ... + yn = 0 + ... + 0 fara ca −x = 0, ceeace este fals.

Observatia 2.11. {a1, ..., an} constituie o submultime liniar indepen-

denta a unui K-spatiu liniarV daca si numai daca L(a1, ..., an) =n⊕

i=1

L(ai).

Propozitia 2.7. Daca U1, ..., Un sunt subspatii liniare ale K-spatiului

liniar finit generat V , atuncin∑

i=1

Ui =n⊕

i=1

Ui daca si numai daca dimn∑

i=1

Ui =

n∑i=1

dim Ui.

Demonstratie. Daca m = 2, obtinem ın mod evident ca U1 + U2 = U1 ⊕U2 ⇒ dim(U1 + U2) = dim U1 + dim U2.

Daca Ui ∩n∑

j=1j 6=i

Uj = {0} atunci dim

Ui ∩

n∑j=1j 6=i

Uj

= 0, deci dim

n∑i=1

Ui =

dim Ui + dim

n∑j=1j 6=i

Uj

16. Aratand ca

n∑j=1j 6=i

Uj =n⊕

j=1a 6=i

Uj va rezulta, aplicand

metoda inductiei matematice, ceea ce trebuia demonstrat.

Darn∑

j=1j 6=i

xj =n∑

j=1j 6=i

yj ⇒ x1+...+xi−1+0+xi+1+...+xn = y1+...+yi−1+0+

yi+1 + ... + yn deci xj = yj pentru orice j = 1, n, j 6= i, adican∑

j=1j 6=i

Uj =n⊕

j=1j 6=i

Uj.

Reciproc dim

Ui ∩

n∑j=1j 6=i

Uj

= 0 ⇒ Ui ∩

n∑j=1j 6=i

Uj = {0}, pentru orice i = 1, n.

16S-a tinut cont ca Ui +n∑

j=1j 6=i

Uj =n∑

j=1

Uj .

21

Conchidem can∑

i=1

Ui =n⊕

i=1

Ui.

Operatori liniari

Fie V si W spatii liniare peste acelasi corp comutativ K.Definitia 2.4. O aplicatie ϕ : V → W se numeste operator liniar (de

la V la W ) daca satisface conditiile:i) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), oricare ar fi x, y ∈ V ;ii) ϕ(xy) = αϕ(x), oricare ar fi α ∈ K si x ∈ V .Observatia 2.12. Conditiile din definitie sunt, ın mod clar, echivalente

cu conditia: ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) oricare ar fi α, β ∈ K si x, y ∈ V .Exemple:i) Aplicatia identitate 1V : V → V este operator liniar (operatorul

liniar identitate);ii) Aplicatia 0 : V → W 0(x) = 0,∀x ∈ V , este operator liniar (opera-

torul liniar nul);iii) Aplicatia ϕ : K[X] → K[X], ϕ(f) = f ′, unde, pentru f(X) =

n∑

k=0

akXk, f ′(X) =

n∑

k=1

(kak)Xk−1, iar kak = ak + ... + ak︸ ︷︷ ︸

k ori

, este operator liniar

(operatorul liniar de derivare).Observatia 2.13. i) Notand L(V,W ) = {f : V → W | f operator liniar}

si definind f +g, λf, (λ ∈ K) prin (f +g)(x) = f(x)+g(x), (λf)(x) = λf(x),obtinem ca L(V, W ) este K-spatiu liniar;

ii) remarcand ıntai ca, prin compunerea a doi operatori liniari (f : V →W,h : W → Y , se obtine un operator liniar (h ◦ f : V → Y )) si notandL(V ) = {f : V → V | f operator liniar}, obtinem ca L(V ) ımpreuna cuoperatia “+” definita anterior si cu operatia de compunere are structura deinel unitar.

Daca ϕ : V → W este, ın plus, injectiva (surjectiva) atunci spunem caavem un operator liniar injectiv (surjectiv).

Observatia 2.14. i) Daca ϕ : V → W este operator liniar, atuncisubmultimea ker ϕ = {x ∈ V | ϕ(x) = 0} este subspatiu liniar ın V . ϕ esteoperator liniar injectiv daca si numai daca ker ϕ = {0};

ii) daca ϕ : V → W este operator liniar, atunci submultimea Imϕ ={ϕ(x) | x ∈ V } este subspatiu liniar ın W . ϕ este operator liniar surjectivdaca si numai daca Imϕ = W .

22

Propozitia 2.8. Daca V, W sunt K-spatii liniare finit generate, iar ϕ :V → W este operator liniar atunci:

dim V = dim(ker ϕ) + dim(Imϕ).

Demonstratie. Propozitia 2.3 asigura faptul ca subspatiile ker ϕ si Imϕsunt finit generate.

Fie e1, ..., er o baza ın ker ϕ. Observatia 2.6 asigura faptul ca existaer+1, ..., en astfel ıncate1, ..., er, er+1, ..., en sa constituie o baza ın V . Se aratausor ca {ϕ(er+1), ..., ϕ(en)} este liniar independenta si constituie un sistemde generatori pentru Imϕ. Avem atunci n = r + (n − r) adica dim V =dim(ker ϕ) + dim(Imϕ). In cazul ker ϕ = {0}, daca e1, ..., en este baza ın V ,atunci ϕ(e1), ..., ϕ(en) este baza ın Imϕ. In cazul ın care Im(ϕ) = {0} adicaϕ este operatorul liniar nul, este evident ca V = ker ϕ.

Definitia 2.5. Un operator liniar ϕ : V → W este numit izomorfismde spatii liniare daca exista un operator liniar ϕ′ : W → V astfel ın-catϕ ◦ ϕ′ = 1W , ϕ′ ◦ ϕ = 1V (ın acest caz spunem ca V si W sunt izomorfesi notam V ' W ).

Propozitia 2.9. Un operator liniar ϕ : V → W este izomorfism daca sinumai daca aplicatia ϕ este bijectiva.

Demonstratie. Este clar ca ın ipoteza ϕ izomorfism rezulta ϕ bijectiva.Reciproc, fie ψ inversa aplicatiei ϕ. Este suficient sa aratam ca ψ este

operator liniar. Daca y1, y2 ∈ W , atunci y1+y2 = 1W (y1+y2) = ϕ(ψ(y1+y2))si y1 + y2 = 1W (y1) + 1W (y2) = ϕ(ψ(y1)) + ϕ(ψ(y2)). Rezulta ψ(y1 + y2) =ψ(y1) + ψ(y2). In mod analog, se arata ca ψ(αy) = αψ(y).

Teorema 2.3. Fie V,W doua spatii liniare finit generate. Atunci V 'W ⇔ dim V = dim W .

Demonstratie. “⇒” Daca ϕ : V → W este izomorfism atunci ker ϕ = {0}si Imϕ = W . Conform propozitiei 2.8, rezulta dim V = dim W .

“⇐” Fie e1, ..., en baza ın V si f1, ..., fn baza ın W . Definim ϕ : V → Wın modul urmator: daca x ∈ V, x = α1e1 + ... + αnen atunci ϕ(x) = α1f1 +... + αnfn. Se dovedeste (prin verificare directa) ca ϕ este operator liniarinjectiv si surjectiv deci izomorfism.

Consecinta 2.1. Orice K-spatiu liniarde dimensiune n este izomorf cuspatiul liniar Kn.

23

O caracterizare a izomorfismelor de spatii liniare de aceeasi dimensiunefinita este data ın propozitia urmatoare.

Propozitia 2.10. Fie V, W doua K-spatii liniare avand dim V = dim W =n si : V → W un operator liniar. Urmatoarele conditii sunt echivalente:

i) f este injectiv;ii) f este surjectiv;iii) f este izomorfism.

Demonstratie. Conform propozitiei 2.8, dim ker f + dimImf = dim V .Daca f este injectiv, atunci ker f = {0} si deci Imf = dim V = dim W .Folosind propozitia 2.5 se deduce Imf = W , adica f este surjectiv. In acelasimod se arata ca, daca f este surjectiv atunci f este injectiv.

Fie V,W K-spatii liniare finit generate, dim V = m, dim W = n, f :V → W un operator liniar si B = {e1, ..., em}, B′ = {f1, ..., fn} baze ın V ,respectiv W . Avem:

f(e1) = α11f1 + α21f2 + ... + αn1fn;

...............

f(em) = α1mf1 + α2mf2 + ... + αnmfn,

iar matricea

MBB′(f) =

α11α12 ... α1m

... ... ...αn1αn2 ... αnm

este numita matricea operatorului f ın perechea de baze (B, B′).

Avand ın vedere faptul ca pentru x ∈ V, x =n∑

i=1

αie1, iar f(x) =n∑

i=1

αif(ei),

se deduce f este “unic determinat” de MBB′(f). In acest context se obtine:Propozitia 2.11. Fie V si W K-spatii liniare avand dim V = m, dim W =

n, m,n ∈ N∗. Atunci spatiile liniare L(V, W ) si M(n,m, K) sunt izomorfe.

Demonstratie. Consideram baza B = {e1, ..., em} ın V si baza B′ ={f1, ..., fn} ın W .

Definim ϕ : L(V,W ) →M(n,m, K) prin ϕ(f) = MBB′(f). Prin calcul sededuce ca MBB′(f + g) = MBB′(f) + MBB′(g), MBB′(αf) = αMBB′(f) deciϕ este operator liniar. Daca ϕ(f) = ϕ(g), atunci, presupunand MBB′(f) =

24

(αij)n×m, MBB′(g) = (βij)n×m, rezulta

f(ej) =m∑

i=1

αijfi =n∑

i=1

βijfi = g(ej), j = 1,m

si ın consecinta f(x) = g(x), ∀x ∈ V , adica ϕ este injectiva.Daca M = (aij)n×m ∈ M(n,m, K), se considera f : V → W dat prin

f(ej) =n∑

i=1

aijfi, j = 1,m, iar pentru x ∈ V, x =m∑

j=1

ηjej, f(x) =n∑

j=1

ηjf(ej).

Este clar ca f este operator liniar si MBB′(f) = M , deci ϕ este surjectiva.

Pe parcursul demonstratiei anterioare a fost evidentiat faptul ca, pentruo pereche de baze precizate, matricea sumei a doi operatori f, g ∈ L(V,W )este egala cu suma matricelor corespunzatoare operatorilor f si respectiv g.In cazul operatorilor liniari f : V → W,h : W → Y unde V, W, Y sunt K-spatii liniare, dim V = m, B este o baza ın V , dim W = n, B′ este o baza ınW , dim Y = p, B′′ este o baza ın Y , are loc17:

Observatia 2.15. MBB′′(h ◦ f) = MB′B′′(h) ·MBB′(f).Aceasta observatie conduce imediat la:Propozitia 2.12. Daca V este K-spatiu liniarde dimensiune m, atunci

exista un izomorfism de inele ıntre L(V ) si M(m,K).Drept consecinta se obtine:Consecinta 2.2. Daca V este K-spatiu liniar finit generat, iar B este o

baza ın V atunci operatorul liniar f ∈ L(V ) este izomorfism daca si numaidaca MBB(f) este inversabila.

In consideratiile anterioare, spatiile liniare finit generate au fost presupuseca fiind ınzestrate cu o (anumita) baza fixata. Aceasta, nefiind supusa unorrestrictii, se deduce ca enunturile date au loc pentru orice baze s-ar alegeın spatiile considerate. Pe de alta parte, apare ın acest context problemaschimbarii matricei unui operator liniar ın cazul schimbarii bazelor ın spatiileconsiderate.

Fie V si W K-spatii liniare avand dim V = m, dim W = n, B1 ={e1, ..., em}, B2 = {e′1, ..., e′m}, baze ın V , B′

1 = {f1, ..., fn}, B′2 = {f ′1, ..., f ′n},

baze ın W . Notam A = (aij)m×n matricea de trecere de la baza B1 la bazaB2 si A′ = (a′ij)n×n matricea de trecere de la baza B′

1 la baza B′2.

17verificarea este propusa ca exercitiu

25

Fie f : V → W un operator liniar. Prin calcul se deduce formulade schimbare a matricei unui operator la schimbarea bazelor: MB2B′2(f) =(A′)−1 ·MB1B′1(f) · A.

Intr-adevar, daca MB1B′1(f) = (αij)n×m, MB2B′2(f) = (βij)n×m,

f(e′j) = f

(m∑

k=1

akjek

)=

m∑

k=1

akjf(ek) =m∑

k=1

akj ·(

n∑

l=1

αlkfl

)=

n∑

l=1

(m∑

k=1

αlkakj

)fl, j = 1,m

si

f(e′j) =n∑

k=1

βkjf′j =

n∑

k=1

βkj

(n∑

l=1

a′lkfl

)=

n∑

l=1

(n∑

k=1

a′lkβkj

)fl, j = 1,m.

Rezulta:m∑

k=1

αlkakj =n∑

k=1

a′lkβkj, l = 1, n, j = 1,m,

deci A′ ·MB2B′2(f) = MB1B′1(f) · A, unde A′ (si A) este inversabila.Conexiunile dintre proprietatile operatorilor liniari si cele ale matricelor

asociate sunt evidentiate si de urmatorul rezultat (ce se va dovedi util ınparagraful urmator).

Propozitia 2.13. Fie V un K-spatiu liniar, dim V = n, g : V → Voperator liniar astfel ıncat ∃m ∈ N∗ ıncat (g ◦ g ◦ ... ◦ g)︸ ︷︷ ︸

m

(x) = 0, (gm(x) = 0)

∀x ∈ V . Atunci exista o baza B ın V asa ıncat

MBB(g) =

0 ε1 0 ... 00 0 ε2 ... 0

... ......

0 0 0 ... εn−1

0 0 0 ... 0

, εk ∈ {0, 1}, k = 0, n− 1.

Demonstratie. Din implicatia gk(x) = 0 ⇒ gk+1(x) = g(gk(x)) = 0 rezultaincluziunile (*) {0} ⊆ ker g ⊆ ker g2 ⊆ ... ⊆ ker gp−1 ⊆ ker gp = V undep = min{m | gm(x) = 0, ∀x ∈ V }.

26

Din minimalitatea lui p rezulta ca incluziune ker gp−1 ⊆ ker gp este stricta.Daca avem o baza Bp−1 ın ker gp−1, atunci aceasta poate fi completata panala o baza Bp ın ker gp, anume Bp = {x1, ..., xk} ∪ Bp−1. Notam S1 ={x1, ..., xk}. Se verifica usor ca g(S1) = {g(x1), ..., g(xk)}, ..., gp−1(S1) ={gp−1(x1), ..., g

p−1(xk)} sunt liniar independente si

g(S1) ⊂ ker gp−1 \ ker gp−2

...gp−1 ⊂ ker g \ {0}

Se deduce astfel ca toate incluziunile (*) sunt stricte. In continuare, dacaavem o baza Bp−2 ın ker gp−2, aceasta se va completa pana la o baza Bp−1

ın ker gp−1 luand mai ıntai g(S1), adica Bp−1 = g(S1) ∪ Bp−2 ∪ S2, undeS2 = {y1, ..., ye} sau S2 = ∅.

Procedeul se continua din aproape ın aproape pana se ajunge la ker g undeeste necesar sa construim o baza B1 = gp−1(S1)∪ gp−2(S2)∪ ...∪ g(Sp−1)∪Sp

unde Si, i = 2, p− 1, sunt obtinute prin procedeul anterior (putem avea siSi = ∅), iar Sp = {v1, ..., vi} sau Sp = ∅.

Se verifica faptul ca B = {gp−1(x1), gp−2(x1), .., g(x1), x1, g

p−2(x2), ..., g(x2),x2, ..., g

p−1(xk), ..., g(xk), xk, gp−2(y1), ..., g(y1), y1, .., g

p−2(ye), ..., ye, ..., v1, v2,..., vt} constituie o baza18 ın V .

Matricea lui g va avea forma din enunt.

2.1 Subspatii invariante

Fie V un K-spatiu liniarsi f : V → V un operator liniar.Un subspatiu liniar U al K-spatiului liniar V este numit subspatiu in-

variant relativ la operatorul liniar f daca ∀x ∈ U , f(x) ∈ U (astfel spus,f(U) ⊆ U).

Exemple:i) ker f si Imf sunt subspatii invariante relativ la f ;ii) V si {0} sunt subspatii invariante fata de orice operator liniar f : V →

V ;

18In ipoteza ca Si = ∅, secventa corespunzatoare nu apare ın multimea considerata.

Mai putem scrie B =

p−1⋃

j=0

gj(S1)

∪

(p−2⋃

k=0

gk(S2)

)∪ ... ∪ (g(Sp−1) ∪ Sp−1) ∪ Sp unde

g0(Si) = Si, i = 1, 2, ....

27

iii) Orice subspatiu este invariant fata de operatorul nul si fata de opera-torul identitate.

De interes deosebit se bucura subspatiile invariante de dimensiune 1. Seajunge astfel la:

Definitia 2.6. i) Un element x ∈ V \ {0} se numeste vector propriual operatorului liniar f : V → V daca exista λ ∈ K astfel ıncatf(x) = λx.

ii) Un element λ ∈ K se numeste valoare proprie a operatorului liniarf : V → V daca ∃x ∈ V \ {0} astfel ıncatf(x) = λx.

Observatia 2.16. i) Unui vector propriu ıi corespunde o singura valoareproprie;

ii) Unei valori proprii ıi corespunde o infinitate de vectori proprii, iarUλ = {x ∈ V | f(x) = λx}19 constituie un subspatiu liniar invariant20;

iii) Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte (ale unuiacelasi operator liniar f : V → V ) constituie o submultime liniar indepen-denta.

Demonstratie. i) Daca f(x) = λ(x) si f(x) = µx, atunci (λ − µ)x = 0 si,cum x 6= 0, rezulta λ = µ.

ii) Daca x este vector propriu corespunzator valorii proprii λ, atunci µx,∀µ ∈ K, satisface, de asemenea, f(µx) = µ(λx) = (µλ)x = (λµ)x = λ(µx).Avem si f(x) = λx, f(y) = λy ⇒ f(x + y) = λ(x + y).

iii) Fie x1, ..., xp asociati valorilor proprii λ1, ..., λp. Daca presupunem caβ1x1 + ... + βpxp = 0 si, de exemplu, β1 6= 0, atunci β2(λ1 − λ2)x2 + ... +βp(λp − λ1)xp = 0 (prima egalitate se ınmulteste membru cu membru cu λ1

si se scade din β1λ1x1 + ... + βpλpxp = 0).Daca presupunem ca {x2, ..., xp} constituie o submultime liniar indepen-

denta atunci rezulta β2 = ... = βp = 0 (deoarece λi 6= λj, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ p).Se obtine β1x1 = 0 - fals (β1 6= 0, x1 6= 0).

Rezulta ca are loc: {x1, ..., xp} liniar dependenta ⇒ {x2, ..., xp} liniardependenta ⇒ ... ⇒ {xp} liniar dependent(absurd deoarece xp 6= 0).

In cele ce urmeaza se va indica o metoda de determinare a valorilor proprii(si vectorilor proprii) 4n cazul unui K-spatiu liniarde dimensiune finita.

Fie un K-spatiu liniarV , dim V = n, B o baza ın V si f : V → V un

19Este numit subspatiul propriu asociat valorii proprii λ si este format din 0 si dinvectorii proprii corespunzatori valorii proprii λ. Daca λ nu este valoare proprie, vom aveaUλ = {0}.

20Se va vedea ulterior ca dim Uλ nu este ın mod obligatoriu egala cu 1.

28

operator liniar. Explicitand pe coordonate egalitatea f(x) = λx, se obtine:

(α11 − λ)ξ + α12ξ2 + ... + α1nξn = 0..................................αn1ξ1 + αn2ξ2 + ... + (αnn − λ)ξn = 0

unde ξ1, ..., ξn reprezinta coordonatele lui x ın baza data, iar A = (αij)n×n =MBB(f) (matricea lui f ın baza B).

Pentru ca sistemul astfel obtinut (ın necunoscutele ξ1, ..., ξn) sa admitasolutii diferite de solutia banala ξ1 = ... = ξn = 0, este necesar si suficientca determinantul matricei sistemului sa fie nul. Deducem de aici ca valo-rile proprii ale operatorului liniar f sunt radacinile (din K) ale polinomuluiP (λ) = det(A− λIn), numit polinomul caracteristic al operatorului f .In locuind valorile gasite pentru λ ın sistemul anterior, se deduc sistemele ceau ca solutii, respectiv, vectorii proprii corespunzatori valorii proprii consid-erate.

Apare ca necesar urmatorul rezultat (prefigurat si de faptul ca ın denu-mirea de “polinom caracteristic” nu se face referire la matricea operatoruluiA):

Propozitia 2.14. Polinomul caracteristic al unui operator f : V → V(V este K-spatiu liniarfinit generat) este invariant21 fata de schimbarea bazei.

Demonstratie. Fie B si B′ baze ın V si A = MBB(f), A′ = MB′B′(f). DacaM este matricea de trecere de la baza B la baza B′ atunci A′ = M−1AM ,iar det(A′ − λIn) = det(M−1AM − λM · M−1) = det M−1(A − λIn)M =det M−1 · det(A− λIn) · det M = det(A− λIn) (n = dim V ).

Fie V un K-spatiu liniar, dim V = n, B o baza ın V , f : V → V unoperator liniar avand polinomul caracteristic P (λ) = αnλn +αn−1λ

n−1 + ...+α0 (evident αn = (−1)n) si MBB(f) = A. Notam si fk = f ◦ f ◦ ... ◦ f︸ ︷︷ ︸

k ori

.

Propozitia 2.15. [Teorema Hamilton-Cayley] Au loc:αnA

n + αn−1An−1 + ... + α0In = O ∈M(n,K) (putem scrie P (A) = O ∈

M(n,K))si αnf

n + αn−1fn−1 + ... + α0 · 1V = O ∈ L(V, V ) (putem scrie P (f) =

O ∈ L(V, V ), unde O : V → V , O(x) = 0, ∀x ∈ V ).

21(cu sensul ca) polinoamele obtinute pentru acelasi operator f , folosind baze diferite,au exact aceleasi radacini, de aceleasi ordine de multiplicitate

29

Demonstratie. Pentru λ diferit de valorile proprii ale operatorului f , A−λIn este inversabila si putem scrie A− λIn =

1

P (λ)· B (*), unde elementele

lui B sunt polinoame de grad cel mult n− 1 (sunt complementi algebrici aielementelor din A− λIn), si putem scrie B = B0 + λ · B1 + ... + λn−1 · Bn−1

cu Bi ∈M(n,K), i = 0, n− 1.Explicitand egalitatea (*), putem scrie

α0 · In = A ·B0

α1 · In = A ·B1 −B0

.............

αn−1 · In = A ·Bn−1 −Bn−2

αn · In = −Bn−1.

Inmultim, la stanga, a doua egalitate cu A, a treia cu A2 etc., si ınsumam.Obtinem P (A) = O. Dar P (A) este matricea operatorului P (f), deci P (f) =O ∈ L(V, V ).

Propozitia 2.16. Fie V un K-spatiu liniar, dim V = n, f : V → V unoperator liniar. Presupunem ca f admite valorile proprii distincte λ1, ..., λp.Daca p < n, atunci exista o baza B ın V astfel ıncat

MBB(f) =

λ1 0 ... 0 ·0 λ1 ... 0 · α′

0 0 ... λp ·... ... ... ... ...0 0 ... 0 ·... ... ... ... ... α′′

0 0 ... 0 ·

unde α′ ∈M(p, n− p, K), α′′ ∈M(n− p, n− p,K).Daca n = p, atunci exista o baza B ın V astfel ıncat

MBB(f) =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λn

.

30

Demonstratie. Conform rezultatelor anterioare, vectorii proprii x1, ..., xp

corespunzatori respectiv valorilor proprii λ1, ..., λp sunt liniar independenti.Completand (eventual) pana la o baza, se obtine pentru matricea lui f formaprecizata ın enunt.

Problema gasirii unei baze (problema, putem spune, sugerata de propozitiaanterioara) ın care matricea unui operator sa aiba forma diagonala22 (ma-trice (α(ij))m×n ın care αij = 0, pentru i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n) nu este ınıntregime rezolvata de aceasta propozitie. Prezenta a n valori proprii dis-tincte (n = dim V ) este conditie suficienta dar nu si necesara de exsitenta aunei astfel de baze.

Remarcam si faptul ca baza B ın care MBB(f) are forma diagonala estealcatuita de vectori proprii ai operatorului liniar f si reciproc, matricea ope-ratorului liniar f ıntr-o baza alcatuita din vectori proprii (ai lui f) are formadiagonala.

Aceasta rezulta din aceea ca pentru B = {e1, ..., en} f(ei) = αiei, i =

1, n ⇔ MBB(f) =

α1 0 ... 00 α2 ... 0... ... ... ...0 0 ... αn

. Deducem si ca, ın ipoteza existentei

formei diagonale pentru matricea unui operator, aceasta forma va avea pediagonala valori proprii operatorului. Analiza situatiei descrise conduce la:

Propozitia 2.17. Fie V un K-spatiu liniar, dim V = n si f : V → Vun operator liniar. Presupunem ca f admite valorile proprii λ1, ..., λp avandordinele de multiplicitate m1, ..., mp, iar m1 + ... + mp = n23. Atunci exista

22Calculele efectuate cu matrice de forma diagonala sunt foarte simple. De exem-

plu, daca A =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λn

, B =

µ1 0 ... 00 µ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... µn

atunci A · B =

λ1 µ1 0 ... 00 λ2 µ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λn µn

, Am =

λm1 0 ... 00 λm

2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λm

n

,m ∈ N∗.

23Altfel spus, daca, de exemplu, K = R, atunci polinomul caracteristic are toateradacinile reale (anume ın K = R). Conditia este automat ındeplinita pentru K corpalgebric ınchis.

31

o baza B ın V astfel ıncat

MBB(f) =

λ1 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ...0 ... λ1 0 ... 00 ... 0 λ2 ... 0... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...0 ... 0 0 ... λp

(λi apare de mi ori, i = 1, p) daca si numai daca dim Uλi= mi, i = 1, p

(Uλi= {x | f(x) = λix}, i = 1, p reprezinta subspatiile liniare invariante

date ın observatia 2..)24.

Demonstratie. Daca {e11, ..., e

m11 , e1

2, ..., em22 , ..., e

mpp } reprezinta baza ın care

matricea operatorului liniar f are forma din enunt25, atunci se verifica faptulca {e1

j , ..., emj

j } reprezinta o baza ın Uλj, j = 1, p.

Reciproc: Reunind bazele tuturor subspatiilor Uλj, j = 1, p, se obtine o

baza ın V .

2.2 Forma canonica Jordan

Rezultatele prezentate anterior nu fac referiri la urmatoarele cazuri: m1 +... + mp < n (aceasta ınseamna ca “nu toate (posibil nici una26) radacinilepolinomului caracteristic se gasesc ın K”, altfel spus, polinomul caracteristicnu se poate scrie ca un produs de polinoame de gradul 1 ın K[X]) - sim1 + ...+mp = n dar ∃j, 1 ≤ j ≤ p, ıncat dim Uλj

6= mj (vom avea dim Uλj<

mj). Daca se considera K = C (situatie ce apare de cele mai multe ori ınaplicatii), primul caz se elimina.

24In general, pentru orice valoare proprie i, i = 1, p a operatorului liniar f , dim Uλi ≤ mi

(ordinul de multiplicitate al valorii proprii λi), i = 1, p. Intr-adevar, presupunand cadim Uλi = qi, 1 ≤ i ≤ p si prelungind baza din Uλi la o baza ın V se obtine (din forma pecare o capata matricea operatorului liniar ın aceasta baza) ca (λ− λi)qi divide polinomulcaracteristic. Se deduce de aici ca are loc qi ≤ mi, i = 1, p.

25Se are ın vedere faptul ca ordinea elementelor din baza corespunde regulii de formarea matricei date.

26Prin conventie putem considera, ın acest caz, mi = 0, i = 1, p.

32

In cel de-al doilea caz (pentru K = C, conditia m1 + ... + mp = n esteıntotdeauna ındeplinita) se ajunge la asa numita forma canonica Jordan27.

Fie A = (aij)n×n ∈ M(n,K), n1 < n2 < ... < np = n, si A1 = (aij),1 ≤ i, j ≤ n1, A2 = (aij), n1 + 1 ≤ i, j ≤ n2, ..., Ap = (aij), np−1 + 1 ≤ i, j ≤np = n. Daca ın matricea A, toate elementele ce nu se gasesc ın A1, ..., Ap

sunt egale cu 0 ∈ K spunem ca A are forma cvasidiagonala. Daca, ın plus,fiecare “submatrice” Aj, j = 1, p are forma

Aj =

λj 1 0 ... 0 00 λj 1 ... 0 0

.... . .

...0 0 0 ... λj 10 0 0 ... 0 λj

spunem ca A are forma canonica Jordan (submatricele Aj sunt numiteblocuri Jordan).

Teorema 2.4. Fie V un K-spatiu liniar, dim V = n si f : V → V unoperator liniar. Presupunem ca f admite valorile proprii λ1, ..., λp de ordinede multiplicitate m1, ..., mp si m1 + ... + mp = n (polinomul caracteristic allui f admite toate radacinile ın K). Atunci exista o baza B ın V astfelıncatMBB(f) sa aiba forma canonica Jordan.

Demonstratie. Vom nota gj = f−λ ·1V (gj : V → V ), gkj = gj ◦ gj ◦ ... ◦ gj︸ ︷︷ ︸

k

si Vλj= ker g

mj

j , j = 1, p. Se constata cu usurinta ca Vλj, j = 1, p sunt

subspatii liniare nenule ale lui V , invariante fata de f . Invarianta rezulta dinaceea ca ((f − λj · 1V ) ◦ f)(x) = (f − λj · 1V )(f(x)) = f(f(x)) − λjf(x) =(f ◦ (f − λj · 1V ))(x) si deci gj ◦ f = f ◦ gj. Atunci, din gj(x) = 0 rezultagj(f(x)) = f(gj(x)) = f(0) = 0, j = 1, p. In continuare, vom arata ca

V =

p⊕j=1

Vλj. Fie atunci polinomul caracteristic al operatorului liniar f ,

P (λ) = (−1)n(λ − λ1)m1 ...(λ − λp)

mp . Notam Qj(λ) = (−1)n

p∏k=1k 6=j

(λ − λk)mk

si Pj(λ) = (λ− λj)mj .

27O alta forma utila la care se poate ajunge este “forma triunghiulara” a matriceloroperatorilor liniari.

33

Exista atunci polinoamele Hj(λ) j = 1, p astfel ıncatH1(λ)Q1(λ) + ... +Hp(λ)Qp(λ) = 1 (*). Conform propozitiei 2.. P (f) = 0 ∈ L(V, V ) si, ınconsecinta, Pj(f) ◦ Qj(f) = O ∈ L(V, V ), j = 1, p, deci Qj(f)(x) ∈ Vλj

,j = 1, p. Relatia (*) conduce la

H1(f) ◦Q1(f) + ... + Hp(f) ◦Qp(f) = 1V .

Notand atunci yj = (Qj(f))(x) si xj = (Hj(f))(yj), j = 1, p, obtinem (pentruorice x ∈ V ) descompunerea x = x1 + ... + xp, unde xj ∈ Vλj

, j = 1, p.Presupunand ca x = x1+ ...+xp = x′1+ ...+x′p notam zj = xj−x′j, j = 1, p, siobtinem z1+...+zp = 0. Avem: (P1(f))(z1) = 0 (z1 ∈ Vλ1) si (Q1(f))(zk) = 0,k = 1, p. Rezulta (Q1(f))(z1) = (Q1(f))(−(z2 + ... + zp)) = 0. Exista (vezinota anterioara) polinoamele R1 si S1 astfel ıncatR1(f) ◦ P1(f) + S1(f) ◦Q1(f) = 1V si deci (R1(f) ◦ P1(f))(z1) + (S1(f) ◦ Q1(f))(z1) = z1, de underezulta z1 = 0. In mod similar, obtinem z2 = ... = zp = 0. Conform celor

anterioare, V =

p⊕j=1

Vλj.

In continuare, fie fj restrictia operatorului f la Vλj(fj : Vλj

→ Vλj, fj(x) =

f(x)), j = 1, p si operatorul fj − λj · 1Vλj: Vλj

→ Vλj.

Conform propozitiei 2.6 exista o baza Bj ın Vλjın care operatorul liniar

fj − λj · 1Vλjsa ai ba matricea sub forma:

0 ε1 0 ... 00 0 ε2 ... 0

... · · · ...0 0 0 ... εrj

0 0 0 ... 0

unde rj = dim Vλj− 1, iar εk ∈ {0, 1}, k = 1, r, j = 1, p.

Atunci, fj va avea matricea:

λj ε1 0 ... 00 λj ε2 ... 0

... · · · ...0 0 0 ... εrj

0 0 0 ... λj

, j = 1, p.

34

B =

p⋃j=1

Bj constituie o baza ın V ın care matricea lui f capata forma canonica

Jordan (daca unele dintre elementele εk ce apar ın blocurile anterioare suntnule, se procedeaza la o redescompunere ın blocuri Jordan, obtinandu-seefectiv forma ceruta ın enunt).

35