1. - UniFIlocal.disia.unifi.it/fedra/mqmf/cap_5_4x1.pdf · di calcolo minimizzare di pi u piccolo...

MQMFGallo Pacini

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Metodi quantitativi per i mercatifinanziari

Capitolo 5

Analisi dei prezzi

MQMFGallo Pacini


1. Exponential smoothing

• Consideriamo la media mobile esponenziale

XMAt = (1− α)XMAt−1 + αPt

come previsione del prezzo al tempoT + 1 sulla basedell’insieme informativo al tempoT :

XMAT = E(PT+1|IT , ES)

= PEST+1|T = (1− α)PES

T |T−1 + αPT

• Riformuliamo l’espressione nel seguente modo

PEST+1|T = PES

T |T−1 + α(PT − PEST |T−1)

→ regola di aggiornamento della previsione (valoreprevisto al tempo precedente corretto con un termineproporzionale all’errore di previsione)

MQMFGallo Pacini


• Sostituendo all’indietroPEST |T−1, PES

T−1|T−2, e cosı via

PEST+1|T = α

T∑j=0

(1− α)jPT−j

– P0 condizione iniziale

– Influenza delle osservazioni lontane daT chedecresce esponenzialmente

• Osservazione: per datoα → funzione di previsionecostanteperk superiore ad uno

Esempioperk = 2

PEST+2|T = (1− α)PES

T+1|T + αPT+1

PEST+2|T = (1− α)PES

T+1|T + αPEST+1|T = PES

T+1|T

MQMFGallo Pacini


Scelta del parametroα

• Soluzione del problema di minimizzazione dellasomma degli scarti al quadrato fra valori osservati evalori previsti nel campione:

minα

T−1∑t=1

(Pt+1 − PES

t+1|t(α))2

=

minα

T−1∑t=1

Pt+1 − αt∑

j=0

(1− α)jPt−j

2

• Esempiopert = 1(P2 − PES

2|1 (α))2

=(P2 −

((1− α)PES

1|0 + αP1

))2

conPES1|0 = (1− α)PES

0|−1 + αP0 = αP0 da cui

(P2 − αP1 − α(1− α)P0)2

MQMFGallo Pacini


• Problema di minimizzazione non lineare inα

(condizioni del primo ordione non in forma chiusa)→ necessario ricorrere a soluzioni numeriche

• metodo a griglia:

– individuazione all’interno dell’intervallo didefinizione del parametroα (0,1) di una sequenzacrescente di valori equispaziati (ad esempio da0.01 a 0.99 con incrementi di 0.01)

– in corrispondenza di ciascun valore diα calcolodella funzione da minimizzare

– scelta diα che rende il valore della funzione piupiccolo

MQMFGallo Pacini


Serie storica del titolo Wrigley dal 5 gennaio 1995 alprimo ottobre 1997

MQMFGallo Pacini


Exponential smoothing: Funzione obiettivo per varivalori di α

MQMFGallo Pacini


Risultato EVIEWS per la stima diα (exponentialsmoothingsemplice)

MQMFGallo Pacini


Valori della serie e previsioni con l’exponentialsmoothingsemplice

MQMFGallo Pacini


2. I processirandom walk

• Per serie finanziarie giornaliere dei prezziα risultaessere molto vicino ad uno→ importanzapreponderante dell’informazione contenutanell’ultimo prezzo osservato

PEST+1|T = E(PT+1|PT , Pt−1, . . . ; ES) ≈ PT

• La relazione temporale fra prezzi a tempi successivisi fonda sul concetto di rendimento

Pt = Pt−1(1 + rt)

e passando ai logaritmi naturali

pt = pt−1 + ln(1 + rt)

MQMFGallo Pacini


• Espandiamo in serie di Taylor la funzioneln(1 + rt)

intorno ad1,

ln(1 + rt) ≈ ln(1) +1

1 + rt

∣∣∣∣rt=0

(1 + rt − 1) = rt

e definiamo l’oggettorendimento come

rt = pt − pt−1

(definizione valida perrt piccolo)

• Al tempot− 1 la determinazione del prezzo al tempot dipende dalla realizzazione dirt che, in quantoincerta, si caratterizza come variabile casuale

MQMFGallo Pacini


Il concetto di processo stocastico

• Sequenza (virtualmente infinita) di variabili casualirt, ciascuna riferita ad un diverso istante temporale,rappresentabile come

{rt}Tt=1

l’indice temporale varia nel discreto, mentre lavariabile casuale assume valori nel continuo

• La serie storica corrispondentee formata dallasequenza di realizzazioni delle variabili casuali

• Obiettivo: ricostruzione del cosiddettoprocessogeneratore dei dati, processo stocastico che siipotizza in grado di spiegare l’andamento della seriestorica dei rendimenti, e, di conseguenza, dei prezzi

MQMFGallo Pacini


Osservazione

• Il risultato messo in luce dall’exponential smoothingcorrisponde alla caratteristica (empirica) deirendimenti al tempot di avere valore atteso(condizionatamente all’insieme informativodisponibile al tempot− 1) pari a zero: seE(pt|It−1) = pt−1, deve essere, necessariamente,E(rt|It−1) = 0

• Il processo generatore dei dati dovra quindi essere ingrado di riprodurre questa ed altre regolaritaempiriche delle serie storiche, siano essi prezzi,rendimenti o volatilita

MQMFGallo Pacini


Il processowhite noise

• Ipotesi piu semplice:

rt = εt ∼ i.i.d.(0, σ2), t = 1, . . . , T

le variabili casualirt, t = 1, . . . , T sono indipendentie identicamente distribuite con media0 e varianzacostanteσ2

• Se la distribuzione comunee quella normale abbiamounwhite noise gaussiano

• Il processowhite noiseappartiene alla classe piuampia di processi cosiddettistazionari

MQMFGallo Pacini


Esempio diwhite noise

MQMFGallo Pacini


Processo stazionario

• Un processo{xt} e stazionarioin covarianzase:

– E(xt) = µ non dipende dal tempot

– V ar(xt) = σ2 non dipende dal tempot

– Cov(xt, xt−s) = γ(s) dipende dalla distanza fraxt

ext−s ma non dal riferimento temporalet

• Il processowhite noisee un processostrettamentestazionario: ladistribuzione congiuntadi qualunquesequenza di variabili casuali contigue appartenenti alprocesso non dipende dai tempi di riferimento dellevariabili componenti

• Osservazione: sul piano empirico per i rendimenti siriscontrano deviazioni dalle ipotesi di indipendenza edi identica distribuzione

MQMFGallo Pacini


• Sotto l’ipotesi di i.i.d.

E(pt|It−1) = E(pt−1 + εt|It−1) = pt−1

V ar(pt|It−1) = σ2

• Se inpt = pt−1 + εt sostituiamo all’indietro abbiamo

pt = pt−2 + εt−1 + εt

fino a ottenere

pt = p0 +

t−1∑τ=0

εt−τ

somma di variabili casuali con media zero e varianzacostante→ processorandom walk

• La persistenza delle innovazioniεt nel processoetotale

MQMFGallo Pacini


• Condizionatamente all’insieme informativo in0abbiamo i seguenti momenti condizionati

E(pt|I0) = p0

eV ar(pt|I0) = tσ2

• Il processo definitoe chiaramentenon stazionario: lavarianza diverge all’aumentare dit

• Si parla di processoa radice unitariao integrato diordine 1(I(1))

MQMFGallo Pacini


Esempi dirandom walk

MQMFGallo Pacini


I test di radice unitaria

• I risultati classici dell’inferenza non sono applicabilialla verifica dell’ipotesi nullaH0 : φ = 1 nellarelazione stimatapt = φpt−1 + εt

• lo stimatore dei minimi quadrati

φ =

∑Tt=2 ptpt−1∑Tt=2 p2

t−1

ha distribuzione non simmetrica e valore attesominore di 1 perT finito (coincide con il valore veroperT →∞

• Approssimazione suggerita da White (1958),troncataal primo termine

E(φ) = 1− 2(T − 2)

T 2 − 1< 1

MQMFGallo Pacini


Distribuzione diφ su 5000 campioni,T = 100

Media pari a0.9831, Approssimazione di White0.9804

MQMFGallo Pacini


• Sotto l’ipotesi nulla di radice unitariaφ = 1, l’usualestatisticat

τ =φ− 1

s.err.(φ)

doves.err.(φ) =

√σ2∑T

t=2 p2t−1

(σ2 somma dei residui al quadrato divisa perT − 1)none distribuita come una v.c.t di Student, ma hadistribuzione asimmetrica con asimmetria negativa

• Tale distribuzione puo essere simulata e se nepossono calcolare i percentili notevoli come valoricritici stimati all’1%, 5% e 10%

MQMFGallo Pacini


Distribuzione delt-ratio stimato su 5000 campioni didimensioneT = 100. Confronto con la distribuzionet di

Student(linea tratteggiata)

MQMFGallo Pacini


Il test di Dickey-Fuller

• Esempio: i percentili stimati su simulazione perT = 100 risultano−2.6836,−1.9337,−1.5957 (piupiccoli dei valori corrispondenti per la variabilecasualet di Student, rispettivamente−2.364,−1.660 e−1.290)

• La procedura di test consiste nel rifiutare l’ipotesinulla di radice unitaria se ilt-ratio calcolato nellaregressione risulta inferiore ad uno dei valori criticisimulati

• Valori tabulati da Dickey e Fuller:−2.60 (all’1%),−1.95 (al 5%) e−1.62 (al 10%)

• Usuale riparametrizzazione della relazione:

pt − pt−1 = (φ− 1)pt−1 + εt

in tal casoH0 : γ ≡ φ− 1 = 0

MQMFGallo Pacini


Risultato EVIEWS per il test di Dickey e Fuller perl’indice Dow Jonessul periodo 05/01/1993-31/12/1996

MQMFGallo Pacini


Generalizzazioni

• TestaugmentedDickey-Fuller: presenza diinnovazioniεt non i.i.d

• Distribuzioni limite perτ a seconda delle ipotesi sullaforma del processo generatore dei dati

• Processorandom walkcondrift (o deriva)

pt = α + pt−1 + εt

pt = p0 + αt +

t−1∑τ=0

εt−τ

a partire dap0 il prezzo si evolve seguendo un trenddeterministico dato daαt cui si aggiunge il trendstocastico dato dalla radice unitaria

∑t−1τ=0 εt−τ

MQMFGallo Pacini


Esempi di traiettorierandom walkscondrift pari a 0.25

MQMFGallo Pacini


Distribuzione diτµ su 5000 campioni di dimensioneT = 100. Confronto con la distribuzionet di Student

(linea tratteggiata)

Valori ai livelli di significativita dell’1%, 5%, e 10%:−3.4553,−2.8522,−2.5463

MQMFGallo Pacini


• Processorandom walkcondrift e dipendenzadeterministica dipt dal passaggio del tempo con uncoefficienteβ

pt = α + βt + pt−1 + εt

sostituendo all’indietro si ottiene

pt = p0 + αt + βt(t + 1)

2+

t−1∑τ=0

εt−τ

• Valori critici ancora piu piccoli: per un campione diampiezzaT = 100 risultano−4.04,−3.45,−3.13

(rispettivamente1%, 5% e 10%)

• Caso meno rilevante per le serie finanziarie (non loconsidereremo)

MQMFGallo Pacini


Tabella di MacKinnon (1991) per il calcolo dei valoricritici del test di Dickey e Fuller

Modello Significativita β∞ β1 β2

Senza costante 0.01 −2.5658 −1.960 −10.04

0.05 −1.9393 −0.398 0.00

0.10 −1.6156 −0.181 0.00

Con costante 0.01 −3.4335 −5.99 −29.25

0.05 −2.8621 −2.738 −8.36

0.10 −2.5671 −1.438 −4.48Equazione stimata:

C(p, T ) = β∞ + β1/T + β2/T2

MQMFGallo Pacini


Procedura di test per radice unitaria

• modello di riferimento:

∆pt = α + γpt−1 + εt

con le seguenti ipotesi nulle per i coefficienti:

– H0 : α 6= 0, γ = 0 random walkcondrift

– H0 : α = 0, γ = 0 random walksenzadrift

• diversa distribuzione di probabilita dei coefficientistimatiα e γ in corrispondenza di processi generatoridi dati diversi:

– seγ = 0 la distribuzione diα e non standard,mentre sarebbe asintoticamente normale seγ < 0

– seα = 0 la distribuzione diγ e non standard,mentre sarebbe asintoticamente normale seα 6= 0

MQMFGallo Pacini


Successione nella quale eseguire i diversi test

• Test perH0 : γ = 0 utilizzando la statistica testτµ = (γ)/s.e.(γ) sul modello∆pt = α + γpt−1 + εt

• SeH0 viene rifiutata ci si ferma, altrimenti si verifical’ipotesi α = 0, utilizzando la statistica testταµ

(rapportot per il coefficienteα) sullo stesso modello

• Distribuzione non standard, simmetrica intorno a 0 econ maggiore densita di probabilita nelle coderispetto allat di Student

• Valori critici per il testα = 0|γ = 0 - Dickey e Fuller(1981)

Prob(ταµ > valore critico)T 0.10 0.05 0.025 0.01

100 2.17 2.54 2.86 3.22≥ 500 2.16 2.52 2.83 3.18

MQMFGallo Pacini


• Se il test porta ad accettareH0 : α = 0|γ = 0, laprocedura di test puo essere ripetuta sull’equazione

pt − pt−1 = (φ− 1)pt−1 + εt

• In presenza didrift (α diverso da zero) ladistribuzione diτµ e di nuovo standard (gaussiana)

• I valori critici della normale che approssima ladistribuzione diτµ forniscono una regione diaccettazione piu piccola di quella valida per unadimensione campionaria modesta e/o per un valorepiccolo diα

• I veri valori critici sono intermedi fra quelli dellanormale e quelli tabulati da Dickey e Fuller

MQMFGallo Pacini


• Regola empirica : il rifiuto diH0 : γ = 0 sulla basedei valori di Dickey e Fuller corrisponde al rifiutoanche sulla base della distribuzione normale;l’accettazione sulla base dei valori critici dellanormale corrisponde ad accettazione anche sulla basedei valori tabulati

• Rimane una zona di incertezza per la quale si possonotrarre conclusioni diverse con i due insiemi di valoricritici

• Dubbi sulla potenza del test Dickey-Fuller

MQMFGallo Pacini


3. Prezzi ed efficienza dei mercati

• Mercato efficiente: mercato in cui l’informazioneviene istantaneamente e completamente inglobata nelprezzo corrente

• L’ipotesi di mercati efficientie coerente conl’assunzione che i prezzi seguano un processorandomwalkma non ne costituisce condizione sufficiente

• Un mercato si qualifica come efficiente rispetto ad uncerto insieme informativo

• In corrispondenza di un insieme informativoIt−1 levariazioni di prezzo future sono imprevedibili

E(pt − pt−1|It−1) = 0.

MQMFGallo Pacini


Forme di efficienza

Definendo in maniera opportuna l’insieme informativopossiamo distinguere tre diverse forme di efficienza:

• efficienza in forma debole (weak-form): l’insiemeinformativo include solo la storia passata dei prezzi

• efficienza in forma semi-forte (semistrong-form):l’insieme informativo include tutta l’informazionepubblicamente disponibile (vale a dire nota a tutti glioperatori sui mercati)

• efficienza in forma forte (strong-form): l’insiemeinformativo include anche informazioni riservate soload alcuni degli operatori presenti sui mercati

MQMFGallo Pacini


Insieme informativo e legge dei valori attesi iterati

• Relazione tra insiemi informativi a tempi successivi

It−2 ⊂ It−1

• Il valore atteso del prezzo condizionato aIt−2 puoessere scritto come

E(pt|It−2) = E(E(pt|It−1)|It−2)

o, equivalentemente,

E(pt − E(pt|It−1)|It−2) = 0

• In termini di valore atteso delle variazioni di prezzo,condizionatamente all’informazione disponibile at− 2:

E(pt − pt−1|It−2) = E(E(pt − pt−1|It−1)|It−2) = 0

MQMFGallo Pacini


Implicazioni dell’EMH

• EMH e analisi tecnica: la presunzione di potersfruttare a vantaggio degli operatori il temponecessario perche i prezzi si aggiustino a nuovesituazioni informative si scontra con l’idea che taleaggiustamento sia immediato e completo

• EMH e analisi fondamentale: il confronto tra prezzodi mercato e valore intrinseco del titolo per trarreprofitto dalla discordanza tra questi due valorisuppone una sostanziale inefficienza dei mercati

• Importante disporre di strumenti per la verificadell’ipotesi di efficienza: metodi in letteraturausualmente basati su ipotesi congiunta di efficienzaed equilibrio dei mercati

MQMFGallo Pacini


4. L’ipotesi random walk

• Un caso particolare di EMH si ha qualora i prezziseguano un processo di tiporandom walk

• Per un processorandom walkvale

E(pt+1|pt, pt−1, · · ·) = pt

o, equivalentemente,E(pt+1 − pt|pt, pt−1, · · ·) = 0

• L’ipotesi random walke piu restrittiva dell’ipotesi diefficienza dei mercati, che si limita ad asserire chel’informazione risulta pienamente edimmediatamente riflessa nei prezzi dei titoli

• Possiamo individuare tre diverse tipologie di processirandom walkcaratterizzando forme piu o meno fortidi dipendenza tra variabili casuali

MQMFGallo Pacini


Rendimenti indipendenti ed identicamente distribuiti

• I logaritmi dei prezzi seguono un’evoluzione del tipo:

pt = pt−1 + εt conεt ∼ i.i.d.(0, σ2)

• In termini di rendimento abbiamo

Cov(h(rt), g(rt+k)) = 0

per qualsiasi funzioneh(·) eg(·), ∀t ek 6= 0

• La funzione di densita di probabilita e tale che

f (rt+k|rt) = f (rt+k)

• Inoltre tale funzione non varia al variare dik e, senormale, caratterizza un processowhite noisegaussiano

MQMFGallo Pacini


Rendimenti indipendenti

• Difficilmente sostenibile l’ipotesi di identicadistribuzione nel tempo

• Manteniamo l’ipotesi di rendimenti indipendenti manon identicamente distribuiti:

Cov(h(rt), g(rt+k)) = 0

per qualsiasi funzioneh(·) eg(·),∀t ek 6= 0

• La funzione di densita di probabilita e tale che:

f (rt+k|rt) = f (rt+k)

• Maggiore generalita rispetto al caso precedente:possibilita di distribuzione non condizionatacaratterizzata da eteroschedasticita

MQMFGallo Pacini


Rendimenti incorrelati

• Ulteriore generalita puo ottenersi rinunciandoall’ipotesi di rendimenti indipendenti limitandosi adassumere incorrelazione:

Cov(rt, rt+k) = 0, ∀t e k 6= 0

• Specificazione piu debole di processorandom walk:lascia spazio alla presenza di forme di dipendenza traosservazioni, che tuttavia preservano l’ipotesi diefficienza dei mercati

• Caratterizzazione di maggior interesse per lapossibilita di coesistere con fatti stilizzati osservatiper le serie finanziare

MQMFGallo Pacini


5. La verifica dell’ipotesi r.w.

Rendimenti i.i.d.: sequenze concordi e discordi

• Letteratura propria dei test statistici non parametrici

• Data una serie diT + 1 rendimenti, costruzione di unavariabile indicatrice del tipo

1It =

{1 se rt = pt − pt−1 > 0

0 se rt = pt − pt−1 ≤ 0.

• Calcolo dell numero di coppie di rendimenti a tempiconsecutivi che hanno lo stesso segnoTc =

∑Tt=1 yt

conyt = 1It1It+1 + (1− 1It)(1− 1It+1) o segnodiscordeTd = T − Tc

• SottoH0 (e con distribuzione dei rendimenti centratasullo zero) dovrebbe essere

Tc

Td=

Tc/T

Td/T= 1

MQMFGallo Pacini


• Caso piu generale:pt = µ + pt−1 + εt

Tc/Td sara verosimilmente maggiore di uno:diventano piu probabili rendimenti consecutivi dellostesso segno (della media)

•CJ =

Tc/T

Td/T=

c

1− c≥ 1

conc probabilita di sequenza concorde

• CJ perT →∞ si distribuisce come una v.c. normalecon mediac/(1− c) e varianza pari a:

c(1− c) + 2(π3 + (1− π)3 − c2)

T (1− c)4

conπ probabilita di ottenere un rendimento positivo(stimata con la proporzione di rendimenti positivi nelcampione)

• Osservazione: scarsa potenza del test

MQMFGallo Pacini


Esempio

• Serie del tasso di cambio fra euro e dollaro dal 5gennaio 1998 al 26 settembre 2001:

– Media annualizzata dei rendimenti pari al 0.28%(leggermente positiva, corrispondente ad unaprobabilita stimata di rendimenti positivi pari a0.511)

– CJ = 1.00099 con intervallo di confidenza al 95%da 0.875 a 1.126

– Corrispondentemente, l’intervallo fra 0.466 e0.529 contieneπc con un livello di confidenza paria 95%

– Dato che il valore 0.5 appartiene all’intervallo, irisultati non forniscono evidenza a sfavoredell’ipotesi dirandom walk

MQMFGallo Pacini


Esempio

• Variazioni mensili deiFed Fundsmisurate tral’agosto del 1954 e l’ottobre del 2001:

– Media di queste variazioni non significativamentediversa da zero

– CJ = 1.7 constandard errorpari a 0.084

– Statistica campionaria significativamente diversada 1, valore che si riscontra sotto l’ipotesi nulla dirandom walk

– L’ipotesi di processorandom walkdeve essererifiutata sulla base dell’evidenza campionaria

MQMFGallo Pacini


Rendimenti i.i.d.: Runs Test

• Contiamo il numero di sequenze (detteruns) conrendimenti consecutivi positivi o negativi

• Il numero osservato di sequenzeNruns vieneconfrontato con la sua distribuzione campionariasotto l’ipotesi nulla dirandom walkcon rendimentiindipendenti ed identicamente distribuiti,approssimabile da una normale standardizzata perdimensioni campionarie elevate:

z =Nruns − 2Tπ(1− π)

2√

Tπ(1− π)(1− 3π(1− π))∼ N(0, 1)

conπ probabilita di ottenere un rendimento positivo

• il numero atteso dirunse massimo perπ = 0.5 e siriduce in presenza di una media diversa da zero

MQMFGallo Pacini


Esempi

• Tasso di cambio euro/dollaro: otteniamo un valorez

pari a 0.0795 che quindi conferma la indistinguibilitadella serie da una realizzazione di unrandom walkcon incrementi i.i.d.

• Tassi suiFederal Funds: otteniamo un valorezuguale a−6.214, che porta ancora a rifiutare l’ipotesinulla di processorandom walkcon rendimentiindipendenti ed identicamente distribuiti

MQMFGallo Pacini


Test per rendimenti indipendenti

• Confronto di una regola qualsiasi di gestione delportafoglio con la strategia passiva suggeritadall’ipotesi dirandom walkche possiamo indicarecome strategiabuy and hold

• Esempio: un titolo viene acquistato quando il prezzoaumenta al di sopra di una certa soglia percentuale,viene venduto se il prezzo scende al di sotto di quellastessa soglia, mentre all’interno della banda di valoril’operatore rimane neutrale→ con costi ditransazione anche molto bassi, difficilmente la regolaporta ad un miglioramento rispetto alla strategiapassiva, con il risultato di non poter rifiutare l’ipotesidi indipendenza

• Arbitraria la scelta della regola di comportamento,quindi risultati soggettivi

MQMFGallo Pacini


Contents

1. - UniFIlocal.disia.unifi.it/fedra/mqmf/cap_5_4x1.pdf · di calcolo minimizzare di pi u piccolo...

Documents

Transcript of 1. - UniFIlocal.disia.unifi.it/fedra/mqmf/cap_5_4x1.pdf · di calcolo minimizzare di pi u piccolo...