Επικίνδυνα σηµεία / Γ΄ Λυκείου

1) Έστω η συνάρτηση ( )x 2 , x 5

f xx 1 , x 5

+ ≥=

+ <

απάντησή σας.

Σωστή Απάντηση

Ναι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Εξήγηση / ∆ικαιολόγηση

( )x 2 , x 5

H συνάρτηση f xx 1 , x 5

+ ≥= +∞

+ <• συνεχής στο ( )5,+∞ ως πολυωνυµική

•

( ) ( )

( )

x 5 x 5

x 5

f x x 2 7

f x f 5και

f 5 7

lim lim

lim

+ +

+

→ →

→

= + =

⇒ =

=

Σηµείωση: Μπορεί να το δείτε εύκολα αν θεωρήσετε

Γεωµετρική ερµηνεία

http://lisari.blogspot.com

x 2 , x 5

x 1 , x 5

+ ≥

+ < τότε η f είναι συνεχής στο [ )5,+∞ ; Αιτιολογήσετε

Επιµέλεια: Χατζόπουλος

στο [ )5,+∞

[ )x 2 , x 5

είναι συνεχής στο 5, αφού ισχύουν τα εξήςx 1 , x 5

+ ≥= +∞

+ <

πολυωνυµική

( ) ( )f x f 5⇒ =

θεωρήσετε την συνάρτηση ( )g x x 2, x 5= + ≥ (λέγεται περιορισµός

; Αιτιολογήσετε την

Χατζόπουλος Μάκης

αφού ισχύουν τα εξής :

περιορισµός της συνάρτησης f).

http://lisari.blogspot.com

Συχνό λάθος

Οι περισσότεροι µπερδεύονται στο εξής, επειδή

( ) ( ) ( ) ( )x 5 x 5 x 5 x 5

f x x 2 7 και f x x 1 6lim lim lim lim+ + − −→ → → →

= + = = + =

τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά στο σηµείο x0 = 5, άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 5, οπότε

θεωρούν ότι δεν µπορούν να γράψουν ότι είναι συνεχής στο κλειστό 5, άρα υποστηρίζουν ότι είναι συνεχής

µόνο στο ανοικτό διάστηµα (5, +•).

Αλλά όπως βλέπουµε στο σχήµα µπορεί να µια συνάρτηση να είναι συνεχής στο [5, +•) χωρίς να είναι

συνεχής στο x0 = 5.

Γενίκευση

Μια συνάρτηση f µπορεί να είναι συνεχής στο [α, β] χωρίς να είναι συνεχής στα σηµεία x1 = α και x2 = β,

όπως φαίνεται στην παρακάτω γραφική παράσταση.

y

[ ] O β a x

63

(β)

(σχήµα 63 σχολικού βιβλίου – σελ. 191)

http://lisari.blogspot.com

Επικίνδυνα σημεία / Γ΄ Λυκείου

2) Δίνονται οι συναρτήσεις x 1f x e και g x ln x , τότε η συνάρτηση fog έχει πεδίο ορισμού

fog g fA x A / g x A x 0, / ln x 0, και

ln x

ln x 1

1

e xfog x f g x f ln x e , για x 0,

ee

.

Σωστά; Και όμως υπάρχει λάθος, το ανακαλύψατε;

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης

Απάντηση

Η σωστή έκφραση είναι η εξής

«Δίνονται οι συναρτήσεις x 1f x e και g x ln x , τότε η παράσταση fog έχει πεδίο ορισμού

fog g fA x A / g x A x 0, / ln x 0, και

ln x

ln x 1

1

e xfog x f g x f ln x e , για x 0,

ee

.»

Εξήγηση – Δικαιολόγηση

Δεν ξέρουμε αν το πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι μη κενό σύνολο, οπότε δεν μπορούμε να ομιλούμε για

συνάρτηση πριν βρούμε αρχικά το πεδίο ορισμού της. Το σχολικό βιβλίο γράφει επακριβώς στην σελίδα

143 τα εξής:

«Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία

το )(xf ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο

})(|{1 BxfAxA .

Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν 1A , δηλαδή αν BAf )( .»

Φυσικά ισχύουν τα ανάλογα και για την fog.

Επίσης στην εφαρμογή του σχολικού βιβλίου σελ. 144 γράφει τα εξής στην επίλυση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το ),0( fD , ενώ η g το ).0[ gD .

i) Για να ορίζεται η παράσταση ))(( xfg πρέπει:

fDx και gDxf )(

http://lisari.blogspot.com

Επικίνδυνα σημεία / Γ΄ Λυκείου

3) Αν για τις συνεχείς συναρτήσεις f, g ισχύει f x g x για κάθε x , τότε για κάθε α,β

ισχύει β β

α αf x dx g x dx

Σωστά; Και όμως υπάρχει λάθος, το ανακαλύψατε;

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης

http://lisari.blogspot.com

Επικίνδυνα σημεία / Γ΄ Λυκείου

4) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει 1

f x , x 0x

, τότε f x ln x c.

Σωστά; Και όμως υπάρχει λάθος, το ανακαλύψατε;

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης