78 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V

5.7 Υπερβολή

Η δεύτερη κωνική τοµή, που θα εξετάσουµε στη συνέχεια, είναι η υπερβολή. Ας

θεωρήσουµε και πάλι δυο σταθερά σηµεία F1 και F2 του επιπέδου. Ο γεωµετρικός τόπος

των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η απόλυτη διαφορά των αποστάσεων από τα στα-

θερά σηµεία F1 , F2 είναι σταθερή, ονοµάζεται υπερβολή. Τα σταθερά σηµεία F1 , F2 ονο-

µάζονται και εδώ εστίες της υπερβολής.

Χρησιµοποιώντας τον ίδιο συµβολισµό όπως και στην περίπτωση της έλλειψης,

θέτουµε |F1F2|=2c και | |F1P|-|F2P| |=2α, όπου Ρ τυχόν σηµείο της υπερβολής. Εδώ έχουµε

c>α λόγω της γνωστής ιδιότητας των τριγώνων.

Για να βρούµε την εξίσωση της υπερβολής, θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα

συντεταγµένων OXY µε αρχή το µέσον του ευθύγραµµου τµήµατος F1F2 έτσι ώστε οι

εστίες να βρίσκονται πάνω στον άξονα ΟΧ (Σχ. 7). Οι εστίες F1, F2 έχουν συντεταγµένες

(-c,0) και (c,0) αντίστοιχα. Έστω P(x,y) τυχαίο σηµείο της υπερβολής., τότε :

2 2 2 2(x c) y (x c) y 2+ + − − + = ± α ⇒ 2 2 2 2(x c) y 2 (x c) y+ + = ± α + − + ⇒

(x+c)2+y2=4α2+(x-c)2+y2±4α ( )x c y− +2 2 ⇒ ± ( )x c y− +2 2 = cx − αα

⇒

x2-2cx+c2+y2=2 2

2

c xα

-2cx+α2 ⇒ 2 2

2 2 2 22

c x y cα − + = α −α

⇒

2 2

2 2 2

x y 1c

+ =α α −

Επειδή c>α µπορούµε να θέσουµε c2-α2=β2 και τελικά έχουµε :

2 2

2 2

x y 1− =α β

(24)

Καµπύλες β′ βαθµού στο επίπεδο - Κωνικές τοµές ♦ 79

Η (24) είναι η αναλυτική εξίσωση της υπερβολής. Η υπερβολή έχει παρόµοια χαρακτηρι-

στικά, όπως και η έλλειψη. Είναι συµµετρική ως προς τους άξονες και ως προς την αρχή.

Επίσης παρατηρούµε ότι επειδή x2/α2≥1 ⇒ |x|≥α δεν υπάρχουν σηµεία της υπερβολής µε-

ταξύ των ευθειών x=-α και x=α. Ο άξονας OY δεν τέµνει την υπερβολή ενώ ο άξονας

ΟΧ την τέµνει σε δυο σηµεία Α1(-α,0) και Α2(α,0), τα οποία ονοµάζονται κορυφές της

υπερβολής. Το ευθύγραµµο τµήµα Α1Α2 ονοµάζεται άξονας της υπερβολής

Τα σηµεία Β1(0,-β) , Β2(0,β) ορίζουν στον άξονα ΟΥ το ευθύγραµµο τµήµα Β1Β2 ,

το οποίο ονοµάζεται συζυγής άξονας της υπερβολής (24) , Σχ. 7

Εάν θεωρήσουµε ότι οι εστίες

F1, F2 βρίσκονται πάνω στον άξονα

OY, τότε εργαζόµενοι όπως και πριν,

βρίσκουµε ότι η εξίσωση της υπερ-

βολής είναι

2 2

2 2

y x 1− =α β

(25)

όπου τα α και β έχουν την ίδια σηµα-

σία όπως και στην (24), (Σχ.8)

Θεωρούµε τώρα την υπερβο-

λή µε εξίσωση :2 2

2 2

x y 1− = −α β

X

Y

Ρ

Σ χ . 7

x = - α x = α

x

y

B2(0,β)

B1(0,-β)

F2 (c,0)F1 (-c,0) Α1(-α,0) Α2(α,0)

Σχ. 8

F2(c,0)

F1(-c,0)

Β1(0,-α)

Β2(0,α)

80 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V

δηλαδή 2 2

2 2

y x 1− =β α

(26)

Παρατηρούµε ότι ο συζυγής άξονας της υπερβολής (24) είναι ο άξονας της (26) και ο συ-

ζυγής άξονας της (24) είναι ο άξονας της (26). ∆υο τέτοιες υπερβολές ονοµάζονται συζυ-

γείς υπερβολές Σχ.9.

Επίσης παρατηρούµε ότι στις συζυγείς υπερβολές και οι τέσσερις εστίες ισαπέ-

χουν από το κοινό κέντρο Ο(0,0), διότι c= 2 2α + β και στις δυο υπερβολές.

5.8 Μηχανική κατασκευή της υπερβολής

Έστω ότι µας δίνουν τις θέσεις των εστιών F1 , F2 της υπερβολής και το µήκος 2α.

Μπορούµε τώρα να κατασκευάσουµε ένα τµήµα της υπερβολής µε συνεχή κίνηση ως εξής

:

x

y

Σχ. 9

B2(0,β)

F2(c,0)

B1(0,-β)

F1(-c,0) Α1(-α,0) Α2(α,0)

Καµπύλες β′ βαθµού στο επίπεδο - Κωνικές τοµές ♦ 81

Παίρνουµε έναν κανόνα µήκους λ και ένα νήµα µήκους λ-2α. Στερεώνουµε την

µια άκρη του κανόνα

σε µια εστία π.χ. F1 και

στην άλλη άκρη στε-

ρεώνουµε µια άκρη του

νήµατος. Την άλλη ά-

κρη του νήµατος την

στερεώνουµε στην άλ-

λη εστία F2 , (Σχ. 10).

Εάν τώρα πάρουµε µια

γραφίδα και µε την βο-

ήθεια της οποίας διατηρήσουµε το νήµα τεντωµένο κατά µήκος του κανόνα, τότε η γραφί-

δα θα γράψει τόξο υπερβολής όταν περιστρέψουµε τον κανόνα γύρω από την εστία F1.

Πράγµατι, από το σχήµα έχουµε :

|F1P|-|F2P|=(|F1P|+PB|)-(|F2P|+PB|)=λ-(λ-2α)=2α

5.9 Παραµετρικές εξισώσεις της υπερβολής

Η ταυτότητα cosh2t-sinh2t=1 για υπερβολικές συναρτήσεις υποβάλλει την εικασία

ότι η υπερβολή µε εξίσωση :

2 2

2 2

x y 1− =α β

επαληθεύεται εάν θέσουµε :

x=αcosht και y=βsinht µε -∞<t<+∞ (27)

Οι εξισώσεις (27) ονοµάζονται παραµετρικές εξισώσεις της υπερβολής.

Στις σχέσεις (27) καταλήγουµε και ως εξής : Από την εξίσωση της υπερβολής έχουµε :

1x y x y x y x y x y x y1 ln ln 0 ln ln

− − + = ⇒ − + + = ⇒ + = − α β α β α β α β α β α β

Εάν την κοινή τιµή της τελευταίας ισότητας την ονοµάσουµε t , θα έχουµε :

P

B

F2F1

Σχ. 10

82 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V

t tt

t tt

x y x e ee cosh t x cosh t2

x y y e ee sinh t y sinh t2

−

−−

++ = = = ⇒ = α α β α ⇒ − − = = = ⇒ = β α β β

Από τις παραπάνω εκφράσεις µπορούµε τώρα να δικαιολογήσουµε γιατί χαρακτηρίσαµε

τις συναρτήσεις :

cosht=e et t+ −

2 και sinht=

e et t− −

2 υπερβολικές .

5.10 Εφαπτοµένη , κάθετη και ασύµπτωτη της υπερβολής

Από τη γενική έκφραση µιας καµπύλης δευτέρου βαθµού :

Ax2+2Bxy+Γy2+2∆x+2Ey+Z=0

και για την περίπτωση της εξίσωσης της υπερβολής, έχουµε ότι :

Α=1/α2 , Β=0 , Γ=-1/β2 , ∆=0 , Ε=0 , Ζ=-1

οπότε η εξίσωση (8) της παραγράφου 5.2 για την εφαπτοµένη :

Ax1x+B(x1y+y1x)+Γy1y+∆(x1+x)+E(y1+y)+Z=0

γράφεται :

1 12 2

x x y y 1− =α β

(28)

Η (28) είναι η εξίσωση της εφαπτοµένης της υπερβολής που διέρχεται από το σηµείο

P1(x1,y1).

Ο συντελεστής διευθύνσεως της εφαπτοµένης (28) είναι λ=(β2x1)/(α2y1) και επο-

µένως η εξίσωση της καθέτου της υπερβολής στο σηµείο P1(x1,y1) θα έχει συντελεστή δι-

ευθύνσεως λ′=-(α2y1)/(β2x1) και συνεπώς εξίσωση :

α2y1(x-x1)+β2x1(y-y1)=0 (29)

Αποδεικνύεται από την σχέση (Α) παρ. 5.2 ότι εάν το σηµείο P1(x1,y1) δεν είναι

σηµείο της υπερβολής, τότε από το σηµείο αυτό µπορούµε να φέρουµε γενικά δυο εφα-

πτόµενες, των οποίων οι εξισώσεις είναι :

Καµπύλες β′ βαθµού στο επίπεδο - Κωνικές τοµές ♦ 83

2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2 2 2

x x y y x y x y1 1 1 0 − − − − − − − = α β α β α β

(30)

Για να βρούµε τις ασυµπτώτους της υπερβολής λύνουµε ως προς y την εξίσωση

(24) και έχουµε :

2 2y xβ= ± − αα

⇒2

2

xy 1x

β α= ± −α (31)

Όταν το x πάρει µεγάλες τιµές, τότε ο όρος 2

21xα− πλησιάζει την µονάδα και η εξίσωση

(31) πλησιάζει προς την εξίσωση :

y xβ= ±α

(32)

Οι εξισώσεις (32) παριστάνουν δυο ευθείες που είναι οι ασύµπτωτες της υπερβολής, (Σχ.

11). Πράγµατι εάν θεωρήσουµε την ευθεία

y xβ=α

(33)

και ένα σηµείο της υπερβολής που

βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο,

(x>0, y>0), οπότε 2 2y xβ= − αα

,

τότε η απόσταση d(P1, P2) του σηµεί-

ου Ρ1 της υπερβολής από το σηµείο Ρ2

µε την ίδια τετµηµένη της ευθείας

(32), είναι :

d(P1, P2)= ( )2 2 2 2

2 2x x x x

x xβ β β αβ− − α = − − α =α α α + − α

και έχει όριο το µηδέν όταν το x→∞.

Επίσης και ο άλλος κλάδος της υπερβολής (x<0 , y<0) έχει ασύµπτωτη την ίδια

ευθεία. Ανάλογα πράγµατα συµβαίνουν και για την άλλη ευθεία που είναι ασύµπτωτη των

υπολοίπων µερών της υπερβολής.

Σχ. 11

x

y

F1 A1 A2 F2

P2

P1

y=(β/α)x

84 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V

Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι και οι δυο εξισώσεις των ασυµπτώτων µπορούν να

προκύψουν από την εξίσωση (24) της υπερβολής θέτοντας το πρώτο µέλος ίσο µε µηδέν :

2 2

2 2

x y 0− =α β

(34)

Πράγµατι η (34) γράφεται (x/α-y/β)(x/α+y/β) και µας δίνει τις δυο ασυµπτώτους.

Εξ άλλου οι ασύµπτωτες είναι οι εφαπτόµενες της υπερβολής που φέρονται από το

κέντρο Ο(0,0). Πράγµατι η (34) προκύπτει από την (30) εάν θέσουµε x1=y1=0. Παρατη-

ρούµε ακόµα ότι οι δυο συζυγείς υπερβολές έχουν τις ίδιες ασυµπτώτους.

Εάν οι δυο άξονες της υπερβολής είναι ίσοι, δηλ α=β, τότε η εξίσωση (24) γράφε-

ται :

x2-y2=α2 (35)

και η υπερβολή ονοµάζεται ισοσκελής. Οι αντίστοιχες ασύµπτωτες έχουν εξισώσεις

y=±x , δηλ. είναι κάθετες µεταξύ τους.

Εάν σαν άξονες συντεταγµένων πάρουµε τις ασυµπτώτους της υπερβολής, τότε θα

δούµε ότι η εξίσωση παίρνει µια απλή µορφή. Ας θεωρήσουµε σαν νέο άξονα ΟΧ1 την

ευθεία y=-βx/α και σαν νέο άξονα OY1

την ευθεία y=βx/α. Εποµένως ο άξονας

ΟΧ1 σχηµατίζει γωνία φ µε τον ΟΧ

τέτοια ώστε tanφ=-β/α και ο άξονας

OY1 σχηµατίζει γωνία ω µε τον άξονα

ΟY τέτοια ώστε tanω=-α/β, (Σχ. 12)

Αντικαθιστώντας τους τύπους (13) της

παραγράφου 1.5.β που συνδέουν τις

συντεταγµένες των δυο αυτών συστη-

µάτων :

x=Xcosφ-Ysinω y=Xsinφ+Ycosω

στη σχέση (24) παίρνουµε :

( ) ( )2 2

2 2

Xcos Ysin Xsin Y cos1

ϕ − ω ϕ + ω− =

α β ⇒

Χ

Υ

F1

ω

φF2

Y1

X1Σχ. 12

Καµπύλες β′ βαθµού στο επίπεδο - Κωνικές τοµές ♦ 852 2 2 2

2 22 2 2 2 2

cos sin sin cos sin cos sin cosX 2 XY Y 12

ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω ω ω− − + + − = α β α β α β

Αλλά tanφ=-β/α , tanω=-α/β και εποµένως

2 2

2 2

cos sin 0ϕ ϕ− =α β

2 2

2 2

sin cos 0ω ω− =α β 2 2

sin cos sin cosω ϕ ϕ ω+ =α β 2 2

2−α + β

(36)

Τελικά 2 2 2cXY

4 4α + β= = και συνεπώς η εξίσωση XY c=

2

4 (37)

παριστάνει µια υπερβολή µε άξονες τις ασυµπώτους. Οι ασύµπτωτες γενικά είναι πλαγιο-

γώνιες και εποµένως και το νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι πλαγιογώνιο. Εάν το σύ-

στηµα είναι ορθογώνιο, τότε η (37) παριστάνει µια ισοσκελή υπερβολή.

5.11 Εκκεντρότητα και διευθετούσα υπερβολής

Ένα µέτρο που θα µας δώσει το πόσο κλείνουν ή ανοίγουν οι κλάδοι µιας υπερβο-

λής είναι αυτό που θα ορίσουµε σαν εκκεντρότητα της υπερβολής. Ονοµάζουµε εκκε-

ντρότητα της υπερβολής τον λόγο e=c/α του ηµίσεως της αποστάσεως των εστιών δια

του ηµιάξονα της υπερβολής.

Προφανώς e>1, (ενώ για την έλλειψη είχαµε e<1). Στη συνέχεια θα δούµε πως ε-

πηρεάζεται το σχήµα της υπερβολής όταν η εκκεντρότητα e τείνει α) στη µονάδα και β)

στο άπειρο.

α) Από την εξίσωση της υπερβολής έχουµε y2=β22

2

x 1

− α . Όταν η εκκε-

ντρότητα e→1 τότε c=α ⇒ β=0 και από την εξίσωση της υπερβολής προκύπτει : y=0, δη-

λαδή η υπερβολή εκφυλίζεται στον άξονα ΟΧ.

86 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V

β) Όταν e→∞ τότε από την εξίσωση 2 2

2 2 2

x y 1c

+ =α α −

⇒

2

2 2

22

2

yx 1

c1

α+ =α −

α

⇒

2

2 e2

2 2

yx 1

1 e

→∞α+ = ⇒α −

x2=α2 ⇒ x=±α δηλ η υπερβολή εκφυλίζεται στις δυο κατα-

κόρυφες ευθείες x=α και x=-α.

Θεωρούµε στη συνέχεια τις

εστιακές αποστάσεις r1 και r2 τυχό-

ντος σηµείου P(x,y) της υπερβο-

λής. (Σχ. 13). Έχουµε :

r12=(c+x)2+y2 , r22=(c-x)2+y2 ⇒

r12-r22=4cx

Αλλά r1-r2=±2α και εποµένως

r1+r2=±2cx/α.

Άρα r1=α+cx/α , r2=-(α-cx/α) ή r1=-(α+cx/α) , r2=α-cx/α (38)

Επειδή c/α=e=εκεντρότητα , έχουµε :

r1=e(x+α2/c) , r2=-e(x-α2/c) ή r1=-e(x+α2/c) , r2=e(x-α2/c)

Θεωρούµε τις ευθείες : (d1) : x=-α2/c και (d2) : x=α2/c. Οι εκφράσεις ±(x+α2/c) ,

±(x-α2/c) παριστάνουν τις αποστάσεις(1 του σηµείου Ρ(x,y) από τις ευθείες (d1) και (d2)

αντίστοιχα. Από τις (38) παίρνουµε :

1 22 2

r r ex x

c c

= = α α± + ± −

(39)

Η τελευταία σχέση εκφράζει το γεγονός ότι ο λόγος των αποστάσεων τυχόντος σηµείου Ρ

της υπερβολής από την εστία F1 , (αντίστοιχα F2), και από την ευθεία (d1) , (αντίστοιχα

από την (d2)), είναι σταθερός και ίσος προς την εκκεντρότητα της υπερβολής.

(1 Το θετικό πρόσηµο + για τα σηµεία του δεξιού κλάδου της υπερβολής και το αρνητικό πρόσηµο - για τα

σηµεία του αριστερού κλάδου.

x

y

r2

F2(c,0)

P(x,y)

(d1)

F1(-c,0)

(d2) r1

Σχ. 13

Καµπύλες β′ βαθµού στο επίπεδο - Κωνικές τοµές ♦ 87

Η παραπάνω ιδιότητα µπορεί να θεωρηθεί και σαν ορισµός της υπερβολής. Οι δε

ευθείες (d1) , (d2) ονοµάζονται διευθετούσες της υπερβολής. Επειδή α2/c<α οι διευθε-

τούσες δεν τέµνουν την υπερβολή και βρίσκονται στο µεταξύ των εστιών διάστηµα

Παρατήρηση 1 : Εάν το κέντρο της υπερβολής είναι το σηµείο (x0 , y0) και ο άξονας της

είναι παράλληλος προς τον άξονα ΟΧ, τότε η εξίσωση της είναι :

( ) ( )2 20 0

2 2

x x y y1

− −− =

α β(40)

Εάν ο άξονας της είναι παράλληλος προς τον άξονα ΟΥ, τότε η εξίσωση της είναι :

( ) ( )2 20 0

2 2

y y x x1

− −− =

α β(41)

Οι εξισώσεις των ασυµπτώτων είναι :

0 0y y (x x )β− = ± −α

(42)

όταν ο άξονας της υπερβολής είναι παράλληλος προς τον άξονα ΟΧ και

0 0y y (x x )α− = ± −β

(43)

όταν ο άξονας είναι παράλληλος προς τον άξονα ΟΥ.