gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

22

και η ειτάχυνση: ( )3

00( ) sin−= − −ta t x e tγω

ω θω

.

Στα αρακάτω σχήµατα φαίνονται οι γραφικές αραστάσεις της αοµάκρυνσης και της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου.

t

xHtL

t

vHtL

Η διακεκοµµένη καµύλη στη γραφική αράσταση της αοµάκρυνσης είναι η

συνάρτηση 0 0− t xe γ ω

ω ου δείχνει την εκθετική µείωση του «λάτους» της

αοµάκρυνσης.

4. Για τις αρχικές συνθήκες (0) 0x = και 0(0)υ υ= , ισχύουν:

0( ) sintx t e tγ υ ωω

−= (2.9)

και

0 0( ) sin( )−= − −tt e tγ υ ωυ ω θω

(2.10)

όου tan =ω

θγ

.

2.2.1 Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ W.K.B.* ΣΤΗΝ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΑΣΘΕΝΗ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Η µέθοδος αυτή δίνει ροσεγγιστικές λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις ου εµφανίζονται στην κυµατική (διάδοση κύµατος σε ανοµοιογενές µέσο), σε ταλαντώσεις µε µεταβλητή συχνότητα, στην κβαντοµηχανική κ.α. Στην ερίτωση της φθίνουσας ταλάντωσης µε ασθενή αόσβεση ροκύτει η ακριβής λύση(!), όταν εφαρµόζεται η ροσέγγιση W.K.B.

* Στην πραγµατικότητα πρέπει να αναφέρεται ως προσέγγιση WKBJ (αρχικά των Wentzel

(δηµοσίευση του 1926), Kramers (1926), Brillouin (1926) και Jeffreys (δηµοσίευση του

1923). Παρότι όλοι συµφωνούν ότι οι κύριοι W, K, B, J δεν ανακάλυψαν την προσέγγιση

αυτή, δεν υπάρχει συµφωνία για τον ποιος την ανακάλυψε. Σίγουρα οι ακόλουθοι

επιστήµονες συνέβαλαν στην ανάπτυξη της µεθόδου: Liouville (1837) , Green (1837) (γι αυτό

η προσέγγιση αναφέρεται στη βιβλιογραφία και ως προσέγγιση Liouville-Green), Rayleigh

(1912), Gans (1915). Στην κβαντική µηχανική η προσέγγιση αυτή αναφέρεται απλώς ως WKB,

χωρίς το J, επειδή ο J χρησιµοποίησε τη µέθοδο αυτή σε µετεωρολογικές µελέτες οι οποίες

δεν ήταν γνωστές στους ερευνητές της κβαντικής µηχανικής. (Π. Ιωάννου: Σηµειώσεις για

τις αδιαβατικές µεταβολές, Φυσικό τµήµα Πανεπιστηµίου Αθηνών, 2000).

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

23

Όταν η δύναµη αόσβεσης είναι µικρή εριµένουµε εριοδική κίνηση. ∆οκιµάζουµε στην διαφορική εξίσωση (2.1) µια λύση της µορφής

( ) ( ) sin( )x t A t tω θ= +

όου θεωρούµε ότι το λάτος ( )A t µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Υολογίζουµε την

ρώτη και δεύτερη αράγωγο της αραάνω εξίσωσης και αντικαθιστούµε στην εξ. (2.1). Έτσι, ροκύτει

2 20( 2 )sin( ) (2 2 )cos( ) 0A A A A t A A tω γ ω ω θ ω γω ω θ′ ′ ′− + + + + + + =

Για να ισχύει η αραάνω ισότητα t∀ ρέει οι συντελεστές του ηµιτόνου και του

συνηµιτόνου να µηδενίζονται

0A Aγ′ + =

και 2 2

02 ( ) 0A A Aγ ω ω′′ ′+ + − =

Η ρώτη αό τις αραάνω εξισώσεις δίνει

( ) tA t Ce γ−=

και αντικαθιστώντας στην δεύτερη, ροκύτει

2 20ω ω γ= −

Ισχύει 0γ ω< , διότι θεωρούµε την ερίτωση της ασθενούς αόσβεσης. Συνεώς, η

γενική λύση θα είναι

( ) sin( )tx t Ce tγ ω θ−= +

Τα µεγέθη C και θ ροσδιορίζονται αό τις αρχικές συνθήκες. 2.2.2 Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗΝ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΑΣΘΕΝΗ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Αρχικά θα εξάγουµε την διαφορική εξίσωση της κίνησης χρησιµοοιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας, όως κάναµε στην αράγραφο 1.1.1 για την αµείωτη αρµονική ταλάντωση. Η ενέργεια ου µετατρέεται σε θερµότητα εξαιτίας της δύναµης αόσβεσης θα είναι:

( ) 2

0 0 0( )

t t t

b bW t F dx b dt b dtυ υ υ= = =∫ ∫ ∫

Σε µια τυχαία χρονική στιγµή t θα ισχύει

[ ]0( ) ( ) ( )bW t E U t K t= − +

όου 0E η ολική ενέργεια του ταλαντωτή τη χρονική στιγµή 0t = , ( )U t η δυναµική

και ( )K t η κινητική ενέργεια την χρονική στιγµή t .

Η τελευταία εξίσωση γράφεται:

2 2 200

1 1( ) ( ) ( )

2 2

tb t dt E Dx t m tυ υ= − −∫

Παραγωγίζοντας ως ρος τον χρόνο θα έχουµε:

2 20

1 ( ) 1 ( )( ) 2 ( ) ( )

2 2

dx t d tb t m x t m t

dt dt

υυ ω υ= − − ⇒

[ ]2 2 20 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0b x t m x t x t mx t x t x t mx t bx t m x tω ω′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ = − − ⇒ + + =

και έτσι ροκύτει η διαφορική εξίσωση της φθίνουσας ταλάντωσης:

( ) ( ) ( ) 0mx t bx t Dx t′′ ′+ + =