ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµη΄µα...
2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμ ΄ ημα Φυσικ ΄ η Πρ ΄ οοδο στη Μηχανικ ΄ ηΙ Δεκ΄ εμριο 2007 Τμ ΄ ημα Π. Ιω ΄ αννου & Θ. Αποστολ ΄ ατου ΄Ολα τα υποερωτ ΄ ηματα ε΄ ιναι ισοδ ΄ υναμα και απαντ ΄ ωνται ΄ αμεσα. Αν δεν ξ ΄ ερετε να απαντ ΄ ησετε ΄ ενα υποερ ΄ ωτημα προχωρ ΄ ηστε αμ΄ εσω στο επ ΄ ομενο. Καλ ΄ η σα επιτυχ΄ ια. 1. Σε σωματ΄ ιδιο που αρχικ ΄ α ε΄ ιναι ακ΄ ινητο στη θ΄ εση x =0 ασκο ΄ υνται δυν ΄ αμει σ ΄ υμφωνα με την εξ΄ ισωση ¨ x = δ (t - 1) - δ (t - 2) α. Σχεδι ΄ αστε την ταχ ΄ υτητα του σωματιδ΄ ιου συναρτ ΄ ησει του χρ ΄ ονου. β. Σχεδι ΄ αστε τη θ ΄ εση του σωματιδ΄ ιου συναρτ ΄ ησει του χρ ΄ ονου. 2. Δ΄ υο σημειακ ΄ α σωματ΄ ιδια μ ΄ αζα m 1 και m 2 κινο ΄ υνται στη μ΄ ια δι ΄ ασταση και ε΄ ιναι συνδεδεμ ΄ ενα μεταξ ΄ υ του με γραμμικ ΄ ο ελατ ΄ ηριο μηδενικο ΄ υμ΄ ηκου ισορροπ΄ ια και σταθερ ΄ α k. Οι θ ΄ εσει των σωματιδ΄ ιων αντ΄ ιστοιχα ε΄ ιναι x 1 και x 2 . α. Δε΄ ιξτε ΄ οτι η συνολικ ΄ η ορμ ΄ η (το ΄ αθροισμα των ορμ ΄ ων των σωματιδ΄ ιων) διατηρε΄ ιται. β. Ε΄ ιναι η παρακ ΄ ατω πρ ΄ οταση ορθ ΄ η΄ ηλ΄ αθο ;"Αν παρατηρ ΄ ησετε τα σωματ΄ ιδιο απ ΄ ο΄ ενα ΄ αλλο αδρανειακ ΄ οσ΄ υστημα που κινε΄ ιται με ταχ ΄ υτητα V ω προ το αρχικ ΄ ο, η συνολικ ΄ η ορμ ΄ η στο ν΄ εο σ ΄ υστημα αναφορ ΄ α ισο ΄ υται με την αρχικ ΄ η ορμ ΄ η με΄ ιον την ποσ ΄ οτητα (m 1 + m 2 )V ." γ. Μεταε΄ ιτε στο αδρανειακ ΄ οσ΄ υστημα αναφορ ΄ α στο οπο΄ ιο η συνολικ ΄ η ορμ ΄ η των σωματιδ΄ ιων ε΄ ιναι μηδενικ ΄ η. Ποια η σχ ΄ εση των συντεταγμ ΄ ενων των δ ΄ υο σωματιδ΄ ιων στο σ ΄ υστημα αυτ ΄ ο ; Γρ ΄ αψτε στο σ ΄ υστημα αυτ ΄ ο την εξ΄ ισωση κ΄ ινηση του πρ ΄ ωτου σωματιδ΄ ιου. δ. Περιγρ ΄ αψτε την κ΄ ινηση των σωματιδ΄ ιων στο παραπ ΄ ανω σ ΄ υστημα αναφορ ΄ α. 3. Σωματ΄ ιδιο κινε΄ ιται σ ΄ υμφωνα με την εξ΄ ισωση : ¨ x = -nx n−1 ΄ οπου n ΄ αρτιο ακ ΄ εραιο με n ≥ 2. α. Γρ ΄ αψτε την εξ΄ ισωση εν ΄ εργεια. β. Γρ ΄ αψτε την ΄ εκφραση που δ΄ ινει την περ΄ ιοδο τη κ΄ ινηση T (E) συναρτ ΄ ησει τη εν ΄ εργεια E. γ. Κ΄ ανοντα την αλλαγ ΄ η τη μεταλητ ΄ η x = E 1/n ξ , δε΄ ιξτε ΄ οτι T (E)= kE β ΄ οπου k μ΄ ια σταθερ ΄ α που δεν εξαρτ ΄ αται απ ΄ ο την εν ΄ εργεια E και προσδιορ΄ ιστε τον εκθ ΄ ετη β . δ. Για ποιο n η περ΄ ιοδο ε΄ ιναι ΄ ιδια για ΄ ολε τι εν ΄ εργειε ; ε. Ποια η συμπεριφορ ΄ α τη περι ΄ οδου με την εν ΄ εργεια στο ΄ οριο lim n→∞ T (E) ; ζ. Σχεδι ΄ αστε το δυναμικ ΄ ο στο ΄ οριο n →∞ ; Ποιο φυσικ ΄ οσ΄ υστημα προσεγ΄ ιζεται σε αυτ ΄ ο το ΄ οριο ; Μπορε΄ ιτε με απλ ΄ α επιχειρ ΄ ηματα να καταλ ΄ ηξετε στην εξ ΄ αρτηση τη περι ΄ οδου με την εν ΄ εργεια που βρ ΄ ηκατε στο προηγο ΄ υμενο υποερ ΄ ωτημα ; 1
Transcript of ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµη΄µα...
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
Τµηµα ΦυσικηΠροοδο στη Μηχανικη Ι
∆εκεµ1ριο 2007
Τµηµα Π. Ιωαννου & Θ. Αποστολατου
΄Ολα τα υποερωτηµατα ειναι ισοδυναµα και απαντωνται αµεσα. Αν δεν ξερετε να απαντησετε εναυποερωτηµα προχωρηστε αµεσω στο εποµενο. Καλη σα επιτυχια.
1. Σε σωµατιδιο που αρχικα ειναι ακινητο στη θεση x = 0 ασκουνται δυναµει συµφωνα µε τηνεξισωση
x = δ(t − 1) − δ(t − 2)
α. Σχεδιαστε την ταχυτητα του σωµατιδιου συναρτησει του χρονου.
β. Σχεδιαστε τη θεση του σωµατιδιου συναρτησει του χρονου.
2. ∆υο σηµειακα σωµατιδια µαζα m1 και m2 κινουνται στη µια διασταση και ειναι συνδεδεµεναµεταξυ του µε γραµµικο ελατηριο µηδενικου µηκου ισορροπια και σταθερα k. Οι θεσει τωνσωµατιδιων αντιστοιχα ειναι x1 και x2.
α. ∆ειξτε οτι η συνολικη ορµη (το αθροισµα των ορµων των σωµατιδιων) διατηρειται.
β. Ειναι η παρακατω προταση ορθη η λαθο ; "Αν παρατηρησετε τα σωµατιδιο απο ενα αλλο
αδρανειακο συστηµα που κινειται µε ταχυτητα V ω προ το αρχικο, η συνολικη ορµη στονεο συστηµα αναφορα ισουται µε την αρχικη ορµη µειον την ποσοτητα (m1 + m2)V ."
γ. Μετα1ειτε στο αδρανειακο συστηµα αναφορα στο οποιο η συνολικη ορµη των σωµατιδιωνειναι µηδενικη. Ποια η σχεση των συντεταγµενων των δυο σωµατιδιων στο συστηµα αυτο ;
Γραψτε στο συστηµα αυτο την εξισωση κινηση του πρωτου σωµατιδιου.
δ. Περιγραψτε την κινηση των σωµατιδιων στο παραπανω συστηµα αναφορα.
3. Σωµατιδιο κινειται συµφωνα µε την εξισωση :
x = −nxn−1
οπου n αρτιο ακεραιο µε n ≥ 2.
α. Γραψτε την εξισωση ενεργεια.
β. Γραψτε την εκφραση που δινει την περιοδο τη κινηση T (E) συναρτησει τη ενεργεια E.
γ. Κανοντα την αλλαγη τη µετα1λητη x = E1/nξ, δειξτε οτι T (E) = kEβ οπου k µια σταθεραπου δεν εξαρταται απο την ενεργεια E και προσδιοριστε τον εκθετη β.
δ. Για ποιο n η περιοδο ειναι ιδια για ολε τι ενεργειε ;
ε. Ποια η συµπεριφορα τη περιοδου µε την ενεργεια στο οριο limn→∞ T (E) ;
ζ. Σχεδιαστε το δυναµικο στο οριο n → ∞ ; Ποιο φυσικο συστηµα προσεγιζεται σε αυτο τοοριο ;Μπορειτε µε απλα επιχειρηµατα να καταληξετε στην εξαρτηση τη περιοδου µε τηνενεργεια που βρηκατε στο προηγουµενο υποερωτηµα ;
1
4. Θεωρηστε αρµονικο ταλαντωτη µε αποσ1εση στον οποιο ασκειται εξωτερικη αρµονικη δυναµη
και η κινηση του προσδιοριζεται απο την εξισωση :
x +14
τx +
(
25
τ
)2
x = F0 cos25t
τ
Το τ ειναι θετικη σταθερα µε µοναδε χρονου. ∆ιδεται οτι 252 − 72 = 242.
α. Προσδιοριστε την οµογενη γενικη λυση τη εξισωση κινηση.
β. Προσδιοριστε την µη οµογενη λυση.
γ. Αν αρχικα το σωµατιδιο ηταν ακινητο στη θεση x = 0 να προσδιοριστε την κινηση του ταλα-ντωτη για χρονου t/τ << 1.
δ. Προσδιοριστε τη κινηση του ταλαντωτη για χρονου t/τ >> 1.
ε. Πω θα υπολογιζατε την ενεργεια που απορροφα ο ταλαντωτη απο την εξωτερικη δυναµηστο χρονικο διαστηµα [0, τ ] (µην κανετε πραξει, γραψτε απλω την εκφραση).
5. ∆ιανυσµατα στι δυο διαστασει ειναι (κατ´ αντιστοιχια µε τι τρει) δυαδε αριθµων που µε-
τασχηµατιζονται οπω και οι συντεταγµενε ενο σηµειου µε του µετασχηµατισµου των στρο-φων. Ο µετασχηµατισµο των συντεταγµενων σε µια στροφη κατα γωνια θ ειναι :
x′
1= x1 cos θ + x2 sin θ
x′
2= −x1 sin θ + x2 cos θ .
α. Η δυαδα των συντεταγµενων σηµειου, (x1, x2), ειναι εξ ορισµου διανυσµα. Οριζει η δυαδα(x2, x1) διανυσµα ;
β. Οριζει η δυαδα (−x2, x1) διανυσµα ;
γ. Εαν οριζαµε το γινοµενο δυο διανυσµατων ~a και~b ω τον αριθµο a1b1 − a2b2, θα ηταν αυτοο ορισµο καλο µε την εννοια οτι δεν θα εξαρτιοταν απο τον προσανατολισµο του συστη-µατο αναφορα (µε αλλα λογια οριζει το γινοµενο αυτο µια βαθµωτη ποσοτητα) ;
2
