ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΜΑΘ.ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚ .

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της έλλειψης

1 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Δραστηριότητα 1η

Θεωρούμε τα σημεία Α(-15,15) , Β(0,15) .Κατασκευάζεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με σταθερό μήκος 2α=15 και τυχαίο σημείο C πάνω σε αυτό. Με την βοήθεια του λογισμικού στο παράθυρο της άλγεβρας προβάλλονται οι αποστάσεις AC=R1 και BC=R2. Θεωρούμε μεταβλητό δρομέα γ και τα σημεία Ε΄ (-γ,0) και Ε (γ,0). Κατασκευάζεται κύκλο με κέντρο Ε΄ και ακτίνα R2 , κύκλο με κέντρο Ε και ακτίνα R1 και ονομάζουμε Μ και Ν τα σημεία τομής τους. Να παρατηρησετε την γεωμετρική κατασκευή του σχήματος που προβάλλεται :

Ερώτησεις

Ισχύει (ΜΕ )=..................και (ΜΕ΄) =...............

(ΜΕ) +(ΜΕ΄)=.................παραμένει σταθερό ;

Nα παρατηρήσετε στο παράθυρο της άλγεβρας i) την σχέση μεταξύ του μήκους του ευθυγράμμου τμήματος 2α και της απόστασης των κέντρων των δύο κύκλων (ΕΕ’) =........

Τι ισχύει ;

Οι κύκλοι τέμνονται πάντοτε ; Ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται, ώστε οι κύκλοι (Ε, d1) και (Ε’,d2

ii) Για γ σταθερό ποια σχέση διάταξης πρέπει να ικανοποιούν τα R1, R2 κατά την μετακίνηση του C.

Συμπέρασμα :

Το σχήμα που δημιουργούν τα ίχνη των σημείων Μ και Ν ονομάζεται έλλειψη, με εστίες τα σημεία Ε΄ και Ε. ¨Έχει άξονες συμμετρίας………….......................................………………………………

και κέντρο το σημείο……..…………….

H έλλειψη είναι γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα σταθερά σημεία Ε΄ και Ε είναι ……………….. και ίσο με ……… και μεγαλύτερο του μήκους του ευθύγραμμου τμήματος ………………

Η εξίσωση της έλλεψης είναι :

(Η απόδειξη παραλείπεται απο την διδακτέα ύλη )

Δραστηριότητα 2η 1

Τα Α’, Α είναι τα σημεία όπου η έλλειψη τέμνει τους ημιάξονες Οχ΄ και Οχ αντίστοιχα και Β΄, Β τα σημεία όπου η έλλειψη τέμνει τους ημιάξονες Οy΄ και Οy αντίστοιχα. Τα σημεία αυτά λέγονται κορυφές της έλλειψης.

Οι συντεταγμένες των κορυφών είναι…………………………………...

Τα ευθύγραμμα τμήματα Α΄Α και ´ λέγονται αντίστοιχα μεγάλος και μικρός άξονας της έλλειψης.

Τα μήκη τους είναι………………… και ………….…………….

Τι είδους τετράπλευρο είναι το ΚΛΜΝ ; Αιτιολογήστε .

.....................................................................................................................................................

Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων Κ, Λ, Μ, Ν και ποιες οι εξισώσεις των ευθειών των πλευρών του ΚΛ, ΛΜ , ΜΝ, ΚΝ .

Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας : ……………………………………………………………...............

Εφαρμογή :

1)Δίνεται η ελλειψη : . Να βρείτε :

Εστίες : .............................. Κορυφές : ..............................................................................

Μήκος μεγάλου άξονας : ........................ Μήκος μικρού άξονας :............................

2) Να βρείτε την εξίσωση του γ.τ των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει :

(ΜΕ) +(ΜΕ’) = 20 ,όπου Ε(8,0) και Ε’(-8,0)

Δραστηριότητα 3η

Η έλλειψη με εστίες Ε( 0, 12) και Ε’( 0,-12) έχει εξίσωση :

Μπορείτε να διατυπώσετε-υποθέσετε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη που ικανοποιείται, ώστε οι εστίες της έλλειψης να βρίσκονται στον άξονα ψψ΄;

Να συμπληρώσετε τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της παραπάνω έλλειψης :

Σημεία τομής με τους άξονες :

..........................................................................................................................................

Μήκος μεγάλου άξονα.................................Μήκος μικρού άξονα.............................................

Δραστηριότητα 4η

2

Δίνεται η έλλειψη και η ε:ευθεία ψ=λχ+κ . Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις της

έλλειψης και της ευθείας; Να διερευνηθεί αλγεβρικά. (Διερεύνηση με λογισμικό geogebra)

Εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Γ (χ1,ψ1) ορίζεται ως η οριακή θέση μίας χορδής ΓΔ,όταν τα άκρα Γ και Δ τείνουν να συμπέσουν δηλαδή χ2 τείνει να ταυτιστεί με το χ1 :

.

Συντελεστής διεύθυνσης της εφατομένης ζ:.................................

Απο τι εξαρτάται η κλίση της ευθείας της εφαπτομένης της έλλειψης(Διερεύνηση με λογισμικό geogebra)

Δραστηριότητα 5η

Έστω έλλειψη c με εξίσωση και η εξίσωση της εφαπτομένης ε στο τυχαίο

σημείο Α (χ1,ψ1).

Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία η στην εφαπτομένη ε1 της έλλειψης στο σημείο Α.

Ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι:..........................................................

Το γινόμενο των δύο συντελεστών διεύθυνσης είναι...................................

Έστω C το σημειο που η κάθετη ευθεία ε1 τέμνει το εσωτερικό της έλλειψης.

Απο την μέτρηση των γωνιών Ε΄AC και CAΕ.Τι παρατηρείτε ;

Κατά την μετακίνηση του σημείου Α πάνω στην έλλειψη. Τι παρατηρείτε ;

Η ιδιότητα αυτή λέγεται ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης.

Δραστηριότητα 6 η

3

1)Έστω έλλειψη ell1: έχει τις εστίες της και τον μεγάλο άξονά της πάνω στον

άξονα....

Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται από τον τύπο ε = γ/α

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές της ε;

Γιατί η εκκεντρότητα καθορίζει την μορφή της έλλειψης ; Υπάρχει σχέση μεταξύ της εκκεντρότητας ε και των α , β ,δηλαδή των τιμών που καθορίζουν το μήκος του μεγάλου άξονα (2 α) και του μικρού άξονα (2β) :

=…………………………………………………………………………………………………………………………….

2) Διερεύνηση : Μετακινήστε τους δρομείς των α, γ ώστε η τιμή της εκκεντρότητας που φαίνεται στο παράθυρο της άλγεβρας να πλησιάζει στο 0 και παρατηρείστε πως μεταβάλλεται το σχήμα της έλλειψης ell1.

Εργαστείτε όμοια με την εκκεντρότητα τώρα να πλησιάζει το 1.

Συμπέρασμα: Όταν η έλλειψη μοιάζει με ……… , ενώ όταν η έλλειψη μοιάζει με ……..........

3) Εμφανίστε την έλλειψη ell2: , που έχει τις εστίες της και τον μεγάλο άξονά

της πάνω στον άξονα.....

Εμφανίστε την έλλειψη ell3: και στη συνέχεια μετακινείστε τους

δρομείς των α, γ και κ. Τι παρατηρείτε;..........................................................................................................................

Ποια σχέση έχουν οι εκκεντρότητες των τριών ελλείψεων ;

4