περί ὐτοµατισµοῦ - TUCpouliezos.dpem.tuc.gr/pdf/h_inf_ann.pdf© Α....

© Α. Πουλιέζος

περί αὐτοµατισµοῦ

- Ἐγχειρίδιον Ἐλέγχου Ἐλαχίστης Νόρµας -

Παράρτηµα

Αναστάσιος ∆. Πουλιέζος

Πολυτεχνείον Κρήτης

Χανιά

Εκδοχή 1.0, Ιούνιος 2005


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.............................................................................................................................. 6 Π1 Μαθηµατικό υπόβαθρο ....................................................................................................... 6

Π1.1 Στοιχεία τοπολογικών και αλγεβρικών δοµών .................................................................................... 6 Π1.1.1 Εισαγωγή............................................................................................................................................ 6 Π1.1.2 ∆οµές επί συνόλων............................................................................................................................. 6 Π1.1.3 Συναρτήσεις ....................................................................................................................................... 7 Π1.1.4 Μερικώς διατεταγµένα σύνολα.......................................................................................................... 7 Π1.1.5 Τοπολογικές δοµές ............................................................................................................................. 8 Π1.1.5.1 Μετρικοί χώροι ............................................................................................................................... 8 Π1.1.5.2 Συνέχεια .......................................................................................................................................... 8 Π1.1.5.3 Σύγκλιση ......................................................................................................................................... 9 Π1.1.5.4 Κλειστότητα .................................................................................................................................... 9 Π1.1.5.5 Πληρότης και ακολουθίες Cauchy .................................................................................................. 9 Π1.1.6 Αλγεβρικές δοµές............................................................................................................................. 10 Π1.1.6.1 Γραµµικοί χώροι............................................................................................................................ 10 Π1.1.7 Συνδυασµός τοπολογικών και αλγεβρικών δοµών .......................................................................... 12 Π1.1.7.1 Νόρµα και χώρος Banach.............................................................................................................. 12 Π1.1.7.2 Εσωτερικό γινόµενο και χώρος Hilbert......................................................................................... 14 Π1.1.7.3 Τελεστές ........................................................................................................................................ 15 Π1.1.7.4 Νόρµες πινάκων ............................................................................................................................ 15 Π1.1.8 Χώροι σηµάτων και συναρτήσεων µεταφοράς ................................................................................ 18 Π1.1.8.1 Πεδίο χρόνου................................................................................................................................. 18 Π1.1.8.2 Πεδίο συχνότητας.......................................................................................................................... 19 Π1.2 Βελτιστοποίηση συναρτήσεων ............................................................................................................ 24 Π1.2.1 Πρόσηµα πινάκων ............................................................................................................................ 25 Π1.2.2 Ανάπτυξη Taylor.............................................................................................................................. 26 Π1.2.3 Ακρότατα χωρίς περιορισµούς......................................................................................................... 26 Π1.3 Μιγαδικοί αριθµοί και συναρτήσεις τους .......................................................................................... 29 Π1.3.1 Μετασχηµατισµός Laplace .............................................................................................................. 30 Π1.3.1.1 Ιδιότητες και θεωρήµατα του µετασχηµατισµού Laplace............................................................. 35 Π1.3.1.2 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace ρητών συναρτήσεων ..................................................... 37 Π2 Παραδείγµατα και εφαρµογές ......................................................................................... 41

Π2.1 Εισαγωγή .............................................................................................................................................. 41 Π2.2 Έλεγχος στάθµης .................................................................................................................................. 41 Π2.3 Έλεγχος αναδευόµενης δεξαµενής ...................................................................................................... 45 Π2.4 Ανεστραµµένο εκκρεµές ...................................................................................................................... 48 Π3 Κώδικες MATLAB............................................................................................................ 56

Π3.1 Συνάρτηση διακρίβωσης ελεγξιµότητας/ σταθεροποιησιµότητας .................................................. 56 Π3.2 Συνάρτηση διακρίβωσης παρατηρησιµότητας/ εντοπισιµότητας ................................................... 56 Π3.3 Ανάρτηση αυτοκινήτου........................................................................................................................ 56 Π4 Ιστορικά – βιογραφίες ...................................................................................................... 61

Π4.1 Ιστορικά ................................................................................................................................................ 61 Π4.2 Βιογραφίες ............................................................................................................................................ 68 Π5 Ορολογία............................................................................................................................ 71


Πηγές .............................................................................................................................................................. 71

© Α. Πουλιέζος© Α. Πουλιέζος

Α. Πουλιέζος Έλεγχος ελάχιστης νόρµας-Παράρτηµα

5



6

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Π1 Μαθηµατικό υπόβαθρο

Π1.1 Στοιχεία τοπολογικών και αλγεβρικών δοµών

Π1.1.1 Εισαγωγή

Στη σύγχρονη θεώρηση των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου η απόδοση ενός συ-στήµατος περιγράφεται µε όρους µεγέθους ορισµένων σηµάτων ενδιαφέροντος. Για παράδειγµα η απόδοση ενός συστήµατος παρακολούθησης µετράται µε το µέγεθος του σήµατος σφάλµατος. Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζεται επιγραµµατικά το µα-θηµατικό υπόβαθρο που θεµελιώνει την έννοια της νόρµας, και παρουσιάζονται διά-φορες επιλογές για την νόρµα σηµάτων αλλά επίσης και των συναρτήσεων µεταφο-ράς. Εξ ανάγκης η ύλη που παρουσιάζεται είναι τεχνικής φύσεως και περιορίζεται σε ορι-σµούς και παραδείγµατα. Ο αναγνώστης που θέλει µια βαθύτερη κατανόηση µπορεί να ανατρέξει στην προτεινόµενη βιβλιογραφία.

Π1.1.2 ∆οµές επί συνόλων

Κάθε περιοχή της µαθηµατικής θεωρίας εδράζεται σε συνεπή θεµελιώδη αξιώµατα. Αρχίζοντας από την πρωταρχική έννοια του συνόλου, οι µαθηµατικοί οικοδοµούν προσεκτικά τους ορόφους των µαθηµατικών δοµών. Στο Σχ. Π1.1 αποπειράται µία σχηµατική παρουσίαση του µαθηµατικού δοµικού δένδρου, ούτως ώστε να γίνει πιο αντιληπτή η σχέση ανάµεσα στις διάφορες δοµές.



7

Σύνολο G

G1-G3 Αξιώµατα R1-R3 ρ:X×X→R

Αβελιανή οµάδα * αντιµεταθετική Πεδίο Αντιµεταθετικός διαιρετικός δακτύλιος

∆ιανυσµατικός χώρος Αβελιανή οµάδα µε + (διανύσµατα)

Πεδίο (βαθµωτοί) Βαθµωτός πολλαπλασιασµός Χώροι Banach, Hilbert

Γραµµικοί διανυσµατικοί χώροι µε νόρµες Σχήµα Π1.1 Το µαθηµατικό δοµικό δένδρο

Π1.1.3 Συναρτήσεις

Μία συνάρτηση f είναι ένας κανόνας αντιστοίχησης που αντιστοιχεί σε κάθε στοι-χείο q ενός συνόλου X ένα µοναδικό στοιχείο σ’ ένα σύνολο Y. Το σύνολο X καλεί-ται περιοχή της f ενώ το σύνολο Y πεδίο ορισµού. Με σύµβολα f:X→Y .

Π1.1.4 Μερικώς διατεταγµένα σύνολα

Έστω P ένα µη κενό σύνολο. Μία σχέση µερικής διάταξης στο P είναι µία σχέση που συµβολίζεται µε ≤ και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (1) x≤x για κάθε x (2) x≤y και y≤x ⇒x=y (3) x≤y και y≤z ⇒x≤z

Το σύνολο P στο οποίο ορίζεται µια σχέση µερικής διάταξης καλείται µερικώς δια-τεταγµένο σύνολο.

Έστω A ένα µη κενό υποσύνολο ενός µερικώς διαταγµένου συνόλου P . Ένα στοι-χείο x∈P καλείται κάτω φράγµα του A αν x≤α για κάθε α∈A. Ένα κατώτερο φράγµα του A καλείται µέγιστο κάτω φράγµα του A αν είναι µεγαλύτερο ή ίσο κά-



8

θε κατώτερου φράγµατος του A. Κατ’ αναλογία ορίζονται το άνω φράγµα και το ελάχιστο άνω φράγµα. Γενικά ένα σύνολο µπορεί να έχει περισσότερα του ενός κά-τω/άνω φράγµατα αλλά µόνον ένα µέγιστο κάτω/ελάχιστο άνω φράγµα.

Αν το A είναι υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών και έχει κάτω φράγµα τότε έχει και µέγιστο κάτω φράγµα που καλείται infimum και συµβολίζεται infA. Αντίστοιχα το ελάχιστο άνω φράγµα καλείται supremum και συµβολίζεται supA. Αν το A είναι πεπερασµένο τότε και το infA και το supA υπάρχουν και ανήκουν στο A. Στη περίπτωση αυτή συνήθως αναφέρονται σαν minA και maxA αντίστοιχα.

Π1.1.5 Τοπολογικές δοµές

Π1.1.5.1 Μετρικοί χώροι

Ένας µετρικός χώρος (X , ρ) αποτελείται από ένα (µη κενό) σύνολο X και µία συ-

νάρτηση ρ:X×X→R (σύνολο πραγµατικών αριθµών), η οποία ικανοποιεί τα ακό-λουθα αξιώµατα:

1. ρ(x, y)≥0, ∀x, y∈X.

2. ρ(x, y)=0 αν και µόνον αν x=y.

3. ρ(x, y)=ρ(y, x), ∀x, y∈X.

4. ρ(x, y)≤ρ(x, z)+ρ(z, y), ∀x, y, z∈X (τριγωνική ανισότητα).

Μέσω της συνάρτησης αυτής ορίζεται η οικεία έννοια της απόστασης. Παραδείγµα-τα:

(1) Έστω X =R2 και ,

ρ(x, y) = [(x1-y1)2+(x2-y2)2]1/2

(2) Έστω X το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων στο διάστηµα [to, t f], και,

)()(max),(0

tytxyxfttt

−=≤≤

ρ

Π1.1.5.2 Συνέχεια

Έστω µία συνάρτηση f:X→Y , όπου (X, ρX), (Y , ρY) είναι µετρικοί χώροι. Η συ-



9

νάρτηση f καλείται συνεχής στο σηµείο x0∈X αν για κάθε ε>0 υπάρχει κάποιο δ>0, δ=δ(x0, ε), τέτοιο που αν για οποιοδήποτε σηµείο x∈X ισχύει ρX(x, x0)



10

Π1.1.6 Αλγεβρικές δοµές

Π1.1.6.1 Γραµµικοί χώροι

Ένας γραµµικός χώρος V αποτελείται από ένα (µη κενό) σύνολο X (επί ενός πεδίου

F) και τους τελεστές της πρόσθεσης και βαθµωτού πολλαπλασιασµού, οι οποίοι έ-χουν τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. x1+x2=x2+x1 για κάθε x1, x2∈X

2. (x1+x2)+x3=x1+(x2+x3) για κάθε x1, x2, x2∈X

3. Υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο του X, που παριστάται µε το 0, τέτοιο ώστε 0+x=x για κάθε x1∈X.

4. Για κάθε x∈X υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο -x∈X τέτοιο ώστε x+(-x)=0.

5. 1x=x, για κάθε x∈X.

6. 0x=0, για κάθε x∈X.

7. α(βx)=(αβ)x (α+β)x=αx+βx

α(x1+x2)=αx1+αx2 για κάθε α, β∈F και x1, x2∈X.

Αν V=R (το σύνολο των πραγµατικών αριθµών), ο γραµµικός χώρος καλείται πραγ-

µατικός· αν V=C (το σύνολο των µιγαδικών αριθµών), ο γραµµικός χώρος καλείται µιγαδικός.

Παράδειγµα Π1.1 Ο Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων Rn είναι ένας πραγµατικός διανυσµατικός γραµµικός χώρος. Τα στοιχεία του συµβολίζονται µε το γνωστό διά-νυσµα στήλης,

RR ∈∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= i

n

n

xx

xx ,

1M

Η πρόσθεση και ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός ορίζονται στοιχείο προς στοιχείο ως,



11

RR ∈∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=+ a x,y

ax

axax

yx

yxyx n

nnn

, , ,111MM

Ταυτόσηµοι ορισµοί ισχύουν και για τον µιγαδικό χώρο Cn.

Παράδειγµα Π1.2 Περαιτέρω µπορούµε να ορίσουµε τον χώρο των µιγαδικών πι-νάκων διάστασης m×n, Cm×n, της µορφής,

CC ∈∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= × ij

nm

mnm

na

aa

aaA ,

1

111

L

MOM

L

Η πρόσθεση και ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός ορίζονται και εδώ στοιχείο προς στοιχείο, καθιστώντας τον Cm×n γραµµικό χώρο.

Παράδειγµα Π1.3 Ιδιαιτέρας σηµασίας στην µελέτη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου είναι ένας γραµµικός χώρος πινάκων που θα ορίσουµε αµέσως. Κατ' αρχήν θα ορίσουµε τον Ερµιτιανό συζυγή του πίνακα Α∈Cm×n,

CC ∈∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∗ ×∗∗

∗∗

ijmn

mnn

ma

aa

aaA ,

1

111

L

MOM

L

όπου α* συµβολίζει τον συζυγή του µιγαδικού αριθµού α. Με λόγια, ο Ερµιτιανός συζυγής Α* σχηµατίζεται αναστρέφοντας τον Α και στη συνέχεια αντικαθιστώντας κάθε στοιχείο µε το συζυγές του. Ένας τετραγωνικός πίνακας Α∈Cn×n καλείται Ερ-µιτιανός αν,

Α=Α*

Ο χώρος των Ερµιτιανών πινάκων συµβολίζεται µε Hn.

Ένας υποχώρος ενός χώρου V είναι ένα υποσύνολο του V το οποίο είναι επίσης ένας µετρικός χώρος επί του ίδιου πεδίου και τελεστών.



12

Π1.1.7 Συνδυασµός τοπολογικών και αλγεβρικών δοµών

Π1.1.7.1 Νόρµα και χώρος Banach1

Ορισµός Π1.1 Σ' έναν γραµµικό χώρο V η νόρµα ║.║V ενός στοιχείου q∈V είναι µία συνάρτηση V→[0, ∞) που έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

1. ║q║≥0, και ║q║=0 αν και µόνον αν q=0.

2. ║αq║=│α│║q║, ∀α∈R.

3. ║q1+q2║≤║q1║+║q2║ Ένας γραµµικός χώρος εφοδιασµένος µε µία νόρµα καλείται νορµικός γραµµικός χώρος. Η νόρµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να επάγει µία µετρική ορίζοντας,

ρ(q, r) =║q-r║

Ένας πλήρης νορµικός γραµµικός χώρος (υπό την συνήθη µετρική που επάγεται από τη νόρµα) καλείται χώρος Banach.

Η νόρµα ορίζει την γνωστή έννοια του µεγέθους ενός στοιχείου (ο συµβολισµός µε δύο κάθετες γραµµές χρησιµοποιείται για να τονίσει το γεγονός ότι η νόρµα είναι γενίκευση της έννοιας της απόλυτης τιµής).

Η νόρµα της διαφοράς δύο στοιχείων είναι ένα µέτρο της εγγύτητας των στοι-χείων και επίσης καθορίζουν την µορφή της γειτονιάς ενός στοιχείου.

Ο τρόπος µε τον οποίο ορίζεται η νόρµα αφήνει περιθώρια για πολλές συναρτήσεις που µπορεί να είναι υποψήφιες για το σκοπό αυτό. Παράδειγµα Π1.4 Έστω p πραγµατικός αριθµός στο διάστηµα 1≤p



13

Η επιλογή του p εξαρτάται από τη συγκεκριµένη εφαρµογή και έχει διαφορετική φυ-σική σηµασία. Για παράδειγµα για p=1, η (Π1.1) υπολογίζει απλά το άθροισµα των απολύτων τιµών των στοιχείων του διανύσµατος, για p=2 έχουµε την γνωστή Ευ-κλείδεια νόρµα κ.ο.κ. Για να κατανοηθεί καλύτερα η έννοια της νόρµας, στα Σχ. Π1.2 (α-β) φαίνονται οι περιοχές που ορίζονται από δύο χαρακτηριστικές νόρµες στον δισδιάστατο Ευκλεί-δειο χώρο. Αυτές είναι οι,

21∆2

221

∆

12 , qqqqqq ll ++ ==

Έτσι τα σηµεία q(2) που ικανοποιούν τη σχέση δ



14

knkl

qq≤≤

=∞ 1

max

Αυτός ο χώρος Banach ορίζεται κατ' αναλογίαν ως . Ο λόγος είναι ότι, nl∞

{ }pn

i

pi

pi qq

/1

1limmax ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=∞→

Παράδειγµα Π1.6 Έστω ο (άπειρης διάστασης) γραµµικός χώρος των φραγµένων ακολουθιών q=[q1 … qn] µε νόρµα ορισµένη ως,

║q║=sup│qn│

Ο χώρος αυτός καλείται l∞.

Π1.1.7.2 Εσωτερικό γινόµενο και χώρος Hilbert

Η έννοια του εσωτερικού γινόµενου είναι στενά συνδεδεµένη µε την έννοια της νόρ-µας. Ο τυπικός ορισµός ακολουθεί:

Ορισµός Π1.2 Το εσωτερικό γινόµενο < . , . >V επί ενός διανυσµατικού χώρου V,

είναι µία συνάρτηση V×V→F που ικανοποιεί,

1. V ≥0, για κάθε q∈V.

2. V =0 αν και µόνον αν q=0.

3. =a1+a2 για κάθε p, q, r∈V και βαθµωτούς ai, δηλαδή το εσωτερικό γινόµενο είναι γραµµική συνάρτηση.

4. V= V>< qr, (συζυγής µιγαδικός) για κάθε q, r∈V.

Γεωµετρικά το εσωτερικό γινόµενο γενικεύει την έννοια της γωνίας δύο στοιχείων του διανυσµατικού χώρου V.

Ορισµός Π1.3 Ένας διανυσµατικός χώρος V εφοδιασµένος µ’ ένα εσωτερικό γινό-µενο < . , . >V καλείται χώρος εσωτερικού γινόµενου.

Μπορεί ν’ αποδειχθεί ότι το εσωτερικό γινόµενο επάγει την νόρµα,

║q║= >< qq, (Π1.2)

Ορισµός Π1.4 Ένας πλήρης χώρος εσωτερικού γινόµενου, µε την αντίστοιχη επα-γόµενη νόρµα, καλείται χώρος Hilbert. Τέλος, κάθε κλειστό υποσύνολο ενός πλήρους χώρου µε νόρµα, είναι επίσης ένας

© Α. Πουλιέζος© Α.


Πουλιέζος

15

πλήρης χώρος µε νόρµα.

Π1.1.7.3 Τελεστές

Ορισµός Π1.5 Έστω V και Z δύο χώροι Banach. Μία απεικόνιση F από τον V στον Z καλείται γραµµικός, φραγµένος τελεστής αν,

1. (Γραµµικότητα) F(a1q+a2r)=a1F(q)+a2F(r) για κάθε q, r∈V και βαθµωτούς ai.

2. (Φραγή) Υπάρχει βαθµωτός κ≥0, τέτοιος ώστε,

║Fq║≤κ║q║V για κάθε q∈V

Ο χώρος των γραµµικών, φραγµένων τελεστών που απεικονίζουν τον V στον Z θα συµβολίζεται µε L(V, Z).

Ορισµός Π1.6 Η επαγόµενη νόρµα στον χώρο L(V, Z) ορίζεται ως,

V

Z

V vFv

vv 0,sup

≠∈ ║F║V→Z = (Π1.3)

Μπορεί ν’ αποδειχθεί ότι η νόρµα αυτή ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Ορι-σµού Π1.1. Μπορεί επίσης ν’ αποδειχθεί ότι αν ο Z είναι πλήρης χώρος, το ίδιο ι-σχύει και για τον L(V, Z).

Π1.1.7.4 Νόρµες πινάκων

Για τον ορισµό κάποιων νορµών πινάκων είναι απαραίτητη η έννοια της ιδιόµορφης τιµής (singular value). Η συναφής θεωρία έπεται.

Κάθε ορθογώνιος πίνακας Α∈Cm×n βαθµού ρ µπορεί να αποσυντεθεί ως,

∗= VΣUA ˆ (Π1.4)

Οι εµπλεκόµενοι πίνακες έχουν ως εξής: Οι U, V είναι m×m, n×n αντίστοιχα και µοναδιαίοι, δηλαδή U*U=Im×m, V*V=In×n.

O ορίζεται ως, Σ̂



16

[ ]

⎪⎩

⎪⎨⎧

= mn

mnΣ αν

0

αν0ˆ Σ

Σ

όπου,

{ }nm,min , 21

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ρ

σ

σσ

Σ

ρ

O

Τα σi καλούνται ιδιόµορφες τιµές (ή κύριες απολαβές) του πίνακα Α ενώ η έκφραση (Π1.4) καλείται αποσύνθεση ιδιόµορφης τιµής (SVD, Singular Value Decomposi-tion). Οι ιδιόµορφες τιµές υπολογίζονται από την,

( )[ ]21A*Aii λσ =

(αν m≥n). Εύκολα κανείς βρίσκει ότι ισχύουν τα ακόλουθα:

Α*ui=σ ivi

Αvi=σ iui

απ' όπου προκύπτει ότι,

( ) iιi vσvA*A 2=

( ) *ii*i uσAA*u 2=

Οι σχέσεις αυτές υπονοούν ότι τα vi είναι τα δεξιά ιδιοδιανύσµατα του Α*Α και τα τα αριστερά ιδιοδιανύσµατα του ΑΑ*. Τα διανύσµατα v

*iu

i και ui καλούνται δεξιά και αριστερά ιδιόµορφα διανύσµατα του Α αντίστοιχα. Να σηµειωθεί όµως ότι πρέπει πρώτα να κανονικοποιηθούν πριν χρησιµοποιηθούν για να σχηµατίσουν τους V και U. Οι ιδιόµορφες τιµές είναι µη αρνητικοί αριθµοί και συνήθως διατάσσονται σε φθί-νουσα σειρά,

σ1≥σ2≥...≥σρ

Ιδιαίτερης σηµασίας είναι η µέγιστη και ελάχιστη ιδιόµορφη τιµή που συµβολίζονται



17

αντίστοιχα µε σ και σ. Αν ║x║ είναι µία οποιαδήποτε διανυσµατική νόρµα, τότε η επαγόµενη µητρική νόρ-µα ορίζεται σαν,

║Α║= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≠∈ x

Ax

xx n

0

supC

Ειδικότερα, αν χρησιµοποιήσουµε την Ευκλείδεια διανυσµατική νόρµα,

║x║=(x*x)1/2

τότε η επαγόµενη µητρική νόρµα είναι η νόρµα Hilbert ή φασµατική νόρµα,

║Α║s= σ (Α) (Π1.5)

όπου έχει χρησιµοποιηθεί η πρώτη των,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∈ xAx

nx Cmax)(Ασ (Π1.6)

σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∈ xAx

nx Cmin)(Α (Π1.7)

Παράδειγµα Π1.7 Έστω ο πίνακας,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

010101

A

Η εντολή svd του MATLAB δίνει τα παρακάτω αποτελέσµατα:

>> [U, S, V] = svd(A)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

7,007,0010

7,007,0 ,

010004142,1

,1001

VSU

Η εκτέλεση των κατάλληλων πράξεων θα επιβεβαιώσει την ακρίβεια της λύσης.

Μπορεί λοιπόν ν’ αποδειχθεί ότι στο χώρο των πινάκων Cm×n, η µέγιστη ιδιόµορφη



18

τιµή,

2/1)(max)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ΑΑΑσ

λ*

i

συνιστά εφικτή νόρµα. Μία άλλη αποδεκτή νόρµα είναι η νόρµα Frobenius που ορίζεται ως,

│M│F =(trM*M)1/2

Παράδειγµα 1.8 Έστω ο πίνακας,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

728649

A

Η εντολή norm του MATLAB δίνει (και) τη νόρµα Frobenius, >> n = norm(A, 'fro')

n = 15.811

Π1.1.8 Χώροι σηµάτων και συναρτήσεων µεταφοράς

Π1.1.8.1 Πεδίο χρόνου

Έστω u(t) µία µετρήσιµη κατά Lebesque συνάρτηση R→Cn που ικανοποιεί,

∞



19

2. Υπολογίζουµε τη χρονική νόρµα επί του διανύσµατος που προέκυψε από το (1). Για τον υπολογισµό των (1)-(2) χρησιµοποιούµε συνήθως την ίδια νόρµα. Για παράδειγµα αν p=2, η (Π1.8) γίνεται,

2/1

0 1

22 d)()( ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ∑

∞

=ττ

n

iiutu (Π1.9)

Ο χώρος αυτός των µετρήσιµων κατά Lebesque συναρτήσεων συµβολίζεται µε L2[0, ∞) ή απλά L2.

Η νόρµα (Π1.9) καλείται 2-νόρµα άπειρου ορίζοντα ή ολοκληρωτικό τετραγωνικό σφάλµα (ISE-integral square error). Η φυσική της σηµασία είναι ότι αντικατοπτρίζει την ενέργεια του σήµατος. Η νόρµα αυτή επεκτείνεται όπως προηγουµένως, ορίζοντας,

║u(t)║∞= ║u(t)║∞→p

ορ p

Η νόρµα αυτή καλείται supremum. Μπορεί ν' αποδειχθεί ότι αν η u(t) είναι συνεχής, τότε,

║u(t)║∞= supi

max τ│ui(τ)│

Το σύνολο των µετρήσιµων κατά Lebesque συναρτήσεων µε φραγµένη supremum νόρµα συµβολίζεται µε L∞.

Οι νόρµες που ορίσθηκαν προηγούµενα έχουν τα ανάλογα τους και για πεπερασµένο ορίζοντα [0, Τ]. Στη περίπτωση αυτή οι αντίστοιχες νόρµες καλούνται p-νόρµες πε-περασµένου ορίζοντα και ορίζονται ως,

pT

pp utu

/1

0d)()( ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ττ (Π1.10)

οι δε αντίστοιχοι χώροι συµβολίζονται µε Lp[0, T]

Π1.1.8.2 Πεδίο συχνότητας

Ο χώρος L2(jR) είναι ένας χώρος Hilbert πινάκων µιγαδικών συναρτήσεων επί του

άξονα jR µε εσωτερικό γινόµενο,

© Α υ ος. Πο λιέζ© Α υ ος


. Πο λιέζ

20

= ∫∞

∞−∗ ωωω

πd)]j()j([trace

21 GF (Π1.11)

Η επαγόµενη νόρµα στο χώρο αυτό είναι τότε,

║F(jω)║2= >< )j(),j( ωω FF (Π1.12)

Οι νόρµες ║F(s)║2 υπολογίζεται ως ακολούθως στη περίπτωση που µπορεί να υλο-ποιηθεί σε µορφή χώρου κατάστασης. Έστω,

F(s)= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡DCBA

µε Α ευσταθή. Μπορεί να δειχθεί (Lemmon, σ. 59), ότι,

22)(sF =ίχνος(CWrC*)

όπου ο Gramian πίνακας προσεγγισιµότητας Wr ικανοποιεί την εξίσωση Lyapunov,

0=AWr+WrA*+BB*

Η έννοια της ιδιόµορφης τιµής µπορεί να επεκταθεί και στους πίνακες µεταφοράς, µε την διαφορά ότι στην περίπτωση αυτή οι ιδιόµορφες τιµές είναι συναρτήσεις της συ-χνότητας ω, καλούνται δε κύριες απολαβές. Αυτές συµβολίζονται µε σi(ω). Και δω επίσης ισχύει η,

σ(G)≤ )()()(

ωωω

jxjxjG

≤ σ (G) (Π1.13)

που µπορεί να ερµηνευθεί: η απολαβή ενός πολυµεταβλητού συστήµατος κυµαίνεται µεταξύ της ελάχιστης και µέγιστης κύριας απολαβής του πίνακα µεταφοράς του. Ι-σοδύναµα µπορούµε να θεωρήσουµε την µέγιστη ιδιόµορφη τιµή ως την µέγιστη «α-πολαβή» του συστήµατος καθώς το διάνυσµα «εισόδου» x παίρνει όλες τις δυνατές τιµές. Παράδειγµα Π1.9 Έστω ο πίνακας µεταφοράς,



21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++=

62

51

1030

)(2

sss

sss

sG

Η εντολή sigma του MATLAB δίνει το γράφηµα του Σχ. Π1.3: >> G = [0 tf([3 0],[1 1 10]); tf([1 1],[1 5]) tf(2,[1 6])];

sigma(G)

10-2 10-1 100 101 102-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r Val

ues

(dB

)

Σχήµα Π1.3 Κύριες απολαβές για το Παρ. Π1.9

Περαιτέρω µπορούµε να ορίσουµε αντίστοιχες νόρµες. Έτσι η φασµατική νόρµα του G(s) ορίζεται ως,

║G(jω)║s= σ (G) (Π1.14)

Αυτή η νόρµα ενός πίνακα µεταφοράς "πάσχει" από το γεγονός ότι είναι συνάρτηση (του ω) και όχι ένας αριθµός. Σε περιπτώσεις όπου αυτό δεν είναι επιθυµητό, µπο-ρούν να χρησιµοποιηθούν οι νόρµες ║G(s)║2 και ║G(s)║∞.

Ο χώρος L∞(jR) είναι ένας χώρος Banach πινάκων µιγαδικών συναρτήσεων οι οποίοι

είναι φραγµένοι στον φανταστικό άξονα jR µε νόρµα,

║G(jω)║∞= σω R∈sup [G(jω)] (Π1.15)

Ο ρητός υποχώρος του L∞(jR) που συµβολίζεται µε RL∞(jR) αποτελείται από πρέ-



22

ποντες πίνακες µεταφοράς πραγµατικών ρητών συναρτήσεων που δεν έχουν πόλους στον φανταστικό άξονα.

Ο χώρος H∞(jR) ή απλά H∞ 2 είναι ένας κλειστός υποχώρος του L∞(jR) που αποτε-λείται από συναρτήσεις που είναι αναλυτικές και φραγµένες στο ανοιχτό δεξιό ηµιε-πίπεδο. Η νόρµα στο χώρο αυτό ορίζεται ως,

║G(s)║∞= σ0)Re(sup

>s[G(s)] (Π1.16)

Μπορεί ν' αποδειχθεί, γενικεύοντας την αρχή του µέγιστου µέτρου (Boyd and Desoer, 1985) ότι η (Π1.16) είναι ισοδύναµη µε την,

║G(s)║∞= σω R∈sup [G(jω)] (Π1.17)

Ο υπολογισµός της ║G(s)║∞ δεν είναι τόσο απλός. Παρ’ όλο που γραφικά η τιµή αυτή αντιστοιχεί στη κορυφή του γραφήµατος Bode, δεν είναι δυνατό γενικά να βρε-θούν αναλυτικές εκφράσεις για τον υπολογισµό της. Ένας από τους προσεγγιστικούς αλγόριθµους που χρησιµοποιούνται για την εύρεση της είναι ο αλγόριθµος διχοτό-µησης, ο οποίος βασίζεται στο εξής λήµµα: Λήµµα Π1.1 (Φραγµένο πραγµατικά λήµµα) Έστω γ>0 και,

G(s)= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡DCBA

∈ RH∞

Τότε, ║G(s)║∞



23

(3) Θέτουµε γ =(γu+γ l)/2. (4) Χρησιµοποιούµε το φραγµένο πραγµατικά λήµµα για να δοκιµάσουµε αν

║G(s)║∞> G = [tf([1], [1 5]) tf([3 0],[1 1 10]) ; tf([1],[1 3]) tf(2,[1 6])];

>> n2 = norm(G)

n2 = 2.26

>> [infv, fpeak] = norm(G, 'inf')

infv = 3.02

fpeak = 3.16

Η τελευταία απάντηση επαληθεύεται και από το αντίστοιχο γράφηµα Bode:

10-1

100

101

102

103

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r Val

ues

(dB

)

(Σηµείωση: η µέγιστη τιµή στο γράφηµα ισούται µε 20log10(ninf)=9,6).



24

Π1.2 Βελτιστοποίηση συναρτήσεων

Στη συνέχεια θεωρούµε ότι βρισκόµαστε εντός ενός γραµµικού διανυσµατικού χώ-ρου µε νόρµα • και συγκεκριµένα εντός του Ευκλείδειου χώρου n διαστάσεων. Εποµένως οι συναρτήσεις µας αντιστοιχούν πραγµατικούς αριθµούς σε στοιχεία (δι-ανύσµατα) του Ευκλείδειου χώρου n διαστάσεων f:Rn→R.

Ένα σηµείο s∈D∈Rn είναι εσωτερικό σηµείο του D αν και µόνον αν υπάρχει θετικός

πραγµατικός αριθµός δ τέτοιος που αν το q ικανοποιεί ║q-s║0 τέτοιο που για όλα τα σηµεία ║q-q*║



25

γραφτεί, ttfttf ∆)()∆,(d ′=

Η ) καλείται παράγωγος της f στο t. (tf ′

0

f(t)

t1 t

df

∆fκλίση = f '(t1)

t1+∆t

Σχήµα Π1.4 Γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου

Στο Σχ. Π1.4 φαίνεται η γεωµετρική ερµηνεία των όρων αυτών: η είναι µία γραµµική προσέγγιση πρώτης τάξης της αύξησης ∆f. Όσο µικρότερο είναι το ∆t, τό-σο καλύτερη η προσέγγιση.

ttf ∆)( 1′

Για διαφορίσιµες συναρτήσεις n µεταβλητών το διαφορικό βρίσκεται από τον τύπο,

nn

qqfq

qfq

qff ∆∆∆d 2

21

1 ∂∂

++∂∂

+∂∂

= K

Π1.2.1 Πρόσηµα πινάκων

Το πρόσηµο ενός τετραγωνικού πίνακα F διάστασης n×n ορίζεται µε την βοήθεια τετραγωνικών µορφών του τύπου,

Q=xTFx (Π1.20)

Ο πίνακας F καλείται θετικά ορισµένος αν η αντίστοιχη τετραγωνική µορφή (Π1.20) είναι θετική (Q>0) για x≠0. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συµβαίνει αυτό είναι όλοι οι κύριοι υποπίνακες του F να έχουν θετικές ορίζουσες, δηλαδή,

0

...............

...

...

..., ,0,0

21

22221

11211

2221

121111 >>>

nnnn

n

n

fff

ffffff

ffff

f

Αντίστοιχα ο F καλείται θετικά ηµιορισµένος αν Q≥0 µε αντίστοιχες ικανές και ανα-γκαίες συνθήκες. Οι ορισµοί επεκτείνονται σε αρνητικά ορισµένους και αρνητικά ηµιορισµένους πί-



26

νακες οι οποίοι ορίζονται εύκολα µέσω των αρνητικών τους π.χ. ο F είναι αρνητικά ηµιορισµένος αν ο -F είναι θετικά ηµιορισµένος. Τέλος, ένας πίνακας καλείται αό-ριστος αν δεν είναι τίποτα από τα προηγούµενα. Αν ο F είναι συµµετρικός, οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες µετατρέπονται σε αντί-στοιχες συνθήκες για τις ιδιοτιµές του F. Για παράδειγµα, αν,

λ i>0, ∀i τότε ο F είναι θετικά ορισµένος.

Π1.2.2 Ανάπτυξη Taylor

Η ανάπτυξη Taylor µιας συνάρτησης f(q) µε συνεχείς πρώτες και δεύτερες µερικές παραγώγους γύρω από το σηµείο q δίνεται από την σχέση

)3o(∆∆∆)()∆( T21T qHqqgqfqqf +++=+ (Π1.21)

όπου ο(3) συµβολίζει όρους παραγώγων τάξης 3 και άνω, και

T

21 ∂)(∂...

∂)(∂

∂)(∂

∂)(∂)( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==∇=

nqqf

qqf

qqf

qqfqfg (Ιακωβιανό διάνυσµα κλίσης)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

2

2

∂)(∂...

∂∂)(∂

∂∂)(∂

............∂∂

)(∂...∂

)(∂∂∂

)(∂∂∂

)(∂...∂∂

)(∂∂

)(∂

∂)(∂

nnn

n

n

qqf

qqqf

qqqf

qqqf

qqf

qqqf

qqqf

qqqf

qqf

qqfH (πίνακας Hessian) (Π1.22)

Π1.2.3 Ακρότατα χωρίς περιορισµούς

Θεµελιώδες Θεώρηµα ακρότατων συναρτήσεων: Έστω µία συνάρτηση f:Rn→R µε συνεχείς πρώτες µερικές παραγώγους στο εσωτερικό σηµείο q=s. Τότε αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακρότατου είναι ο µηδενισµός του διαφορικού ή ισοδύναµα του διανύσµατος κλίσης,

0)(

=∂

∂=∇

=sqqqff (Π1.23)

Αν περαιτέρω υπάρχουν οι απαιτούµενες µερικές δεύτερες παράγωγοι και είναι συ-



27

νεχείς στο εσωτερικό σηµείο q=s, η ικανή συνθήκη για να έχει η f τοπικό µέγιστο (ελάχιστο) είναι ο πίνακας των δευτέρων παραγώγων,

0∂)(∂

2

2

><

==sqq

qfH (Π1.24)

να είναι αρνητικά (θετικά) ορισµένος. Αν ο Η είναι αόριστος το s είναι σηµείο σέλ-λας, ενώ αν είναι ηµιορισµένος πρέπει να εξετασθούν υψηλότεροι όροι της σειράς Taylor (Εξ. Π1.21). Παράδειγµα Π1.11 Να βρεθούν τα ακρότατα και η φύση τους για την συνάρτηση,

f(x,y)=3x3-5y2-225x+70y+23

Λύση: Από την (Π1.23) τα ακρότατα δίνονται από την,

7,507010

02259 2

=±=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−=∂∂

=−=∂∂

yxy

yf

xxf

Ο πίνακας Hessian (Π1.22) είναι,

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

∂

=100018

2

22

2

2

2

x

yf

xyf

yxf

xf

H

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= =−=== 100090

,100090

)7,5()7,5( yxyx HH

Οι ιδιοτιµές του πρώτου πίνακα είναι (90, -10) δηλαδή είναι αόριστος, ενώ του δεύ-τερου (-90, -10) δηλαδή είναι αρνητικά ορισµένος. Εποµένως για (x=5, y=7) έχουµε σηµείο σέλλας ενώ για (x=-5, y=7) µέγιστο. Στο Σχήµα Π1.5 φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τα αντίστοιχα ακρότατα (στα σηµεία τοµής των κυα-νών ευθειών µε την επιφάνεια.



28

Σχήµα Π1.5 Γράφηµα της f(x ,y)=3x3-5y2-225x+70y+23 µε εµφανή τα ακρότατα.



29

Π1.3 Μιγαδικοί αριθµοί και συναρτήσεις τους

Στην µελέτη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου οι µιγαδικοί αριθµοί και οι συναρ-τήσεις τους εµφανίζονται πολύ συχνά. Για τον λόγο αυτό θα παραθέσουµε κάποιες βασικές έννοιες. Οι µιγαδικές µεταβλητές αναπαρίστανται σ’ ένα διάγραµµα ορθογωνίων συντεταγµέ-νων που ονοµάζεται επίπεδο s. Έτσι, µία µεταβλητή s=σ+jω αναπαρίσταται όπως δείχνει το Σχ. Π1.6.

0

Im(s)

Re(s)σ

s

ω

εφ - 1(σ /ω)

Σχήµα Π1.6 Επίπεδο s

Το τµήµα του επιπέδου µε αρνητικά σ ονοµάζεται αριστερό ηµιεπίπεδο ενώ τα θετι-κά σ ορίζουν το δεξιό ηµιεπίπεδο. Ο άξονας σ=0 ονοµάζεται φανταστικός άξονας. Οι συναρτήσεις µιγαδικών µεταβλητών αναπαρίστανται και αυτές από πραγµατικά και φανταστικά µέρη. Έτσι αν η G(s) είναι µιγαδική συνάρτηση,

GjGsG ImRe)( +=

όπου Re, Im δηλώνουν το πραγµατικό και φανταστικό µέρος αντίστοιχα. Είναι προ-φανές ότι για την γραφική απεικόνιση µίας µιγαδικής συνάρτησης απαιτούνται 4 δια-στάσεις. Έτσι, το καλύτερο που µπορεί να γίνει είναι µία απεικόνιση της µορφής του Σχ. Π1.7.

0

Im(s)

Re(s)

s1=σ1+ω1i

0

Im(G)

Re(G)

G (s1)

Σχήµα Π1.7 Μιγαδική συνάρτηση

Υπενθυµίζουµε επίσης ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί να γραφεί σε εκθετική



30

µορφή ως,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∠+==+= ∠σωsωσsesωjσs sj τοξεφ, , 22

όπου s είναι το µέτρο και s∠ η γωνία του µιγαδικού αριθµού.

Π1.3.1 Μετασχηµατισµός Laplace

Ο µετασχηµατισµός Laplace είναι µία µαθηµατική διαδικασία µε την οποία επετεύ-χθη η επίλυση γραµµικών, µη οµογενών διαφορικών εξισώσεων µε σταθερούς συ-ντελεστές, µε αυθαίρετες συναρτήσεις εισόδου (το µη οµογενές µέρος). Ουσιαστικά, δηλαδή ο µετασχηµατισµός Laplace, είναι η επίλυση του προβλήµατος της αναπαρά-στασης αυθαίρετων, µη περιοδικών συναρτήσεων στην µορφή Cest, όπου s µιγαδικός αριθµός. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας θεωρήσουµε ξανά την διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης,

)()()(2)( 20 tfttt =++ θωθσθ &&& (Π1.25)

Ξέρουµε (;) από τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων ότι η γενική λύση της (Π1.25) είναι το άθροισµα της λύσης της αντίστοιχης οµογενούς και µιας συγκεκριµένης λύ-σης της (Π1.25). ∆ηλαδή,

θ(t)=θ1(t)+θ2(t)

όπου,

0)()(2)( 12011 =++ ttt θωθσθ &&&

Αν η f (t) είναι της µορφής Fest, όπου F σταθερά και s µιγαδικός αριθµός, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την κλασσική προσέγγιση σύµφωνα µε την οποία η λύση θ 2 (t) είναι και αυτή της ίδιας µορφής Θest, και αντικαθιστώντας βρίσκουµε,

20

22

20

220

2

2)(

22

ωσθ

ωσΘΘωΘσΘ

++=⇒

++=⇒=++

ssFet

ssFFeeeses

st

stststst

Υπενθυµίζουµε ότι στην ορολογία των φυσικών δυναµικών συστηµάτων η συγκεκρι-µένη λύση θ2(t) καλείται εξαναγκασµένη, ενώ η θ1(t) φυσική. Κάποιοι τύποι συναρ-τήσεων που µπορούν να αναπαρασταθούν µε τη µορφή est φαίνονται στο Σχ. Π1.8.



31

Σχήµα Π1.8 Συναρτήσεις της µορφής est

Τώρα εάν η f(t) δεν είναι της µορφής που προαναφέραµε, αλλά κάποια αυθαίρετη συνάρτηση, ίσως µη συνεχής, τότε η προσέγγιση αυτή δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί εκτός εάν η συνάρτηση f(t) µπορεί να αναπαρασταθεί σαν συνδυασµός όρων est. Θα δούµε αυτό το πρόβληµα της γενίκευσης κλιµακωτά. Μία πρώτη λύση δίνει η µιγαδική σειρά Fourier. Mέσω αυτής, µπορούµε να αναπαραστήσουµε οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση x(t) µέσω των τύπων,

i

TnstetxC

eCT

tx

stn

stn

πτΤ

τ

2 ,d)(

1)(

==

=

∫

∑

+−

∞

∞− (Π1.26)

που την ορίζουν. Με τον όρο "περιοδική" εννοείται οποιαδήποτε συνάρτηση επανα-λαµβάνει τον εαυτό της κάθε Τ δεύτερα. Παραδείγµατα φαίνονται στο Σχ. Π1.9.



32

Σχήµα Π1.9 Τυπικές περιοδικές συναρτήσεις

Η ιδέα πίσω από την σειρά Fourier µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να επεκτείνουµε την εφαρµογή της και σε απεριοδικές συναρτήσεις µε το ακόλουθο τέχνασµα: θεω-ρούµε τις απεριοδικές συναρτήσεις περιοδικές µε άπειρη περίοδο. Αυτό απαιτεί την εύρεση κάποιων ορίων. Κατ' αρχήν, ας γράψουµε την (Π1.26) στην ισοδύναµη µορ-φή,

TtetxsC

esCtx

ins

st

insn

st

πω

ωπ

ω

ωπ

ωπ

ω

2 ,d)()(

)(21)(

0

/

/

0

0

0

0

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=−

−

=

∞

−∞=

∫

∑

(Π1.27)

Τώρα ας θέσουµε ∞→T στην (Π1.27). Αυτό που συµβαίνει είναι ότι το ω0, που δηλώνει την απόσταση µεταξύ διαδοχικών συχνοτήτων (την "ανάλυση" της αναπα-ράστασης), τείνει στο 0. Γράφοντας το σαν dω=ds/i και αντικαθιστώντας τη πρό-σθεση µε το ολοκλήρωµα, παίρνουµε,

is

t

t

st

is

s

s

st

tetxsC

essCtx

ω

ωπ

=

∞=

−∞=

−

=

∞=

−∞=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∫

∫

d)()(

)(d21)(

(Π1.28α)

(Π1.28β)

Η εξίσωση (Π1.28α) ορίζει το ολοκλήρωµα Fourier ενώ η (Π1.28β) τον µετασχη-µατισµό Fourier. Οι εξισώσεις αυτές µεγαλώνουν την οικογένεια των συναρτήσεων x(t) που µπορούν να χρησιµοποιηθούν, αλλά οι απαιτήσεις σύγκλισης του ολοκλη-ρώµατος (Π1.28β) και το γεγονός ότι s=ωi δρουν περιοριστικά. Για παράδειγµα η

© ος Α. Πουλιέζ© ος


Α. Πουλιέζ

33

is

t

t

st tetxsXωσ+=

∞=

=

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∫

−0d)()(

συνάρτηση µοναδιαίας βαθµίδας x(t)=x0u(t), που χρησιµοποιείται ευρέως σαν µα-θηµατικό υπόδειγµα στη µελέτη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου, δεν έχει πε-περασµένο µετασχηµατισµό Fourier. Για να διευρύνουµε ακόµη περισσότερο την οικογένεια των συναρτήσεων x(t), θέτουµε s=σ+ωi στην (Π1.28β), µε το σ αρκετά µεγάλο ώστε το ολοκλήρωµα της (Π1.28β) να συγκλίνει:

is

t

t

tit teetxsCωσ

ωσ

+=

∞=

−∞=

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∫ d)()( (Π1.29)

Η (Π1.29) ορίζει τον αµφίπλευρο µετασχηµατισµό Laplace. Οι συναρτήσεις x(t) που µπορούν πλέον να αναπαρασταθούν µέσω της (Π1.29) είναι όλες αυτές για τις οποίες ισχύει,

x(t)=Αeα tu(t)

Re(α)



34

∫∞+=

∞−=

−=++is

is

st tesFi

ttt0

0

d)(21)()(2)( 20

σ

σπθωθσθ &&&

Στη συνέχεια ας υποθέσουµε ότι και η θ(t) έχει την ίδια µορφή, δηλαδή,

∫

∫∫∫

∞+=

∞−=

−

∞+=

∞−=

−∞+=

∞−=

−∞+=

∞−=

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

is

is

st

is

is

stis

is

stis

is

st

tesFi

tesi

tesit

tesit

0

0

0

0

0

0

0

0

d)(21

d)(21d)(

21

dd2d)(

21

dd 2

02

2

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

π

Θπ

ωΘπ

σΘπ

Κάνοντας τις πράξεις προκύπτει (υποθέτοντας µηδενικές αρχικές συνθήκες),

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=⇒

++= − )(

21)()(

21)( 2

02

120

2 sFsstsF

sss

ωσθ

ωσΘ L

Με τη σχέση αυτή ολοκληρώνεται η διαδικασία επίλυσης των µη οµογενών, γραµµι-κών, διαφορικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές µε αυθαίρετες συναρτήσεις εισόδου. Ο άνθρωπος που εισήγαγε την τεχνική των µετασχηµατισµών Laplace στην µελέτη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου ήταν ο Oliver Heaviside (1850−1925). Ανακεφαλαιώνοντας, Ο (ευθύς µονόπλευρος) µετασχηµατισµός Laplace µίας συνάρτησης f(t) ορίζεται ως,

[ ] )(d)()(0

sFtetftft

st == ∫∞

=

−

−

∆L (Π1.32)

όπου s=a+bi είναι µιγαδικός αριθµός. Ο συµβολισµός t=0− δηλώνει τον χρόνο "λί-γο πριν το 0". Ο λόγος γι' αυτή την λεπτοµέρεια είναι ότι αρκετές συναρτήσεις που µας ενδιαφέρουν έχουν ασυνέχεια στο 0 (π.χ. η κρουστική συνάρτηση δ(t)). Επίσης η χρήση του µονόπλευρου και όχι του αµφίπλευρου (δηλαδή µε όρια το ) µετα-σχηµατισµού δικαιολογείται από το γεγονός ότι σε φυσικά συστήµατα δεν ενδιαφέρει ο χρόνος πριν το µηδέν.

∞±

Προκειµένου το ολοκλήρωµα (Π1.32) να συγκλίνει, η f(t) πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη,



35

∫∞

− >∞∞≤0

0> ,d)( σσ tetf t (Π1.33)

Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace ορίζεται ως,

)(d)(π21)]([1 tfsesF

isF

ic

ic

st == ∫∞+

∞−

−L

Ευτυχώς δεν θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τέτοια ολοκληρώµατα, ο τύπος όµως πα-ρατίθεται εδώ για λόγους πληρότητας. Ο λόγος είναι ότι µε την χρήση διαφόρων ιδιοτήτων και θεωρηµάτων του µετασχηµατισµού Laplace, µπορούµε να βρούµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό πολύπλοκων συναρτήσεων έχοντας σαν βάση έναν αρ-χικό πίνακα τυπικών συναρτήσεων.

Π1.3.1.1 Ιδιότητες και θεωρήµατα του µετασχηµατισµού Laplace

Ο µετασχηµατισµός Laplace έχει πολλές ιδιότητες και θεωρήµατα. Στην συνέχεια παραθέτουµε τα πιο χρήσιµα για την µελέτη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου. Γραµµικότητα. Ο µετασχηµατισµός Laplace είναι ένας γραµµικός µετασχηµατι-

σµός, δηλαδή ισχύει:

[ ] [ ] [ ])()(

)()()()(

2211

22112211sFcsFc

tfctfctfctfc+=

+=+ LLL

όπου τα ci είναι σταθερές. Μετασχηµατισµός Laplace παραγώγων. Ο µετασχηµατισµός Laplace της

πρώτης παραγώγου µίας συνάρτησης, δίνεται από την σχέση,

[ ]ttftffssFtf

d)(d)( ),0()()( )1()1( ≡−= −L (Π1.34)

Απόδειξη: Από τον ορισµό (Π1.32), έχουµε,

[ ]

)0()(d)()(

)(dd)(dd)(

-

-

00

00

)1(

−∞

−∞−

∞−

∞−

−=+=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫

∫∫

−

−

fssFtetfsetf

tfetetft

tf

stst

ststL

όπου έγινε χρήση του τύπου της ολοκλήρωσης κατά µέρη. Ο τύπος αυτός µπορεί να γενικευθεί για την n−οστή παράγωγο,



36

[ ] ∑−=

−−−−=1

0

)1()( )0()()(n

k

knknn fssFstfL (Π1.35)

Ο τύπος αυτός είναι ιδιαίτερα εύχρηστος όταν όλες οι αρχικές συνθήκες είναι µηδε-νικές, µία υπόθεση που συνηθίζεται στην µελέτη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγ-χου. Στην περίπτωση αυτή,

L[f (n )(t)]=snF(s)

Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου.

[ ] 0 ,1)( >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= a

asF

aatfL (Π1.36)

Μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας.

L[e -α t]=F(s+α) (Π1.37)

Θεώρηµα τελικής τιµής. Το θεώρηµα αυτό χρησιµοποιείται ευρέως στην µελέτη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου, αφού επιτρέπει τον υπολογισµό της τελι-κής τιµής της λύσης της διαφορικής εξίσωσης (δηλ. ) χωρίς να χρεια-

στεί να επιλυθεί η εξίσωση.

)(ορ tft ∞→

)(ορ)(ορ 0ssFtf

st →∞→= (Π1.38)

Η σχέση αυτή ισχύει εφόσον, α. Το αριστερό όριο υπάρχει και, β. Οι ρίζες του παρανοµαστή της sF(s) έχουν αρνητικά πραγµατικά µέρη. Ο περι-

ορισµός αυτός εξασφαλίζει την ισχύ της (Π1.33). Απόδειξη: Παίρνοντας το όριο και των δύο µελών της (Π1.34) καθώς το ∞→s , έ-χουµε για µεν το αριστερό,

[ ]

)0()(ορ)(ορdd

)(dορ

dd

)(dορ)(ορ

00

00

)1(

0 -

−

∞→∞→∞→

∞−

→→

−===

==

−−∫

∫

fxftftttf

tettftf

x

x

x

x

x

st

ssL

(Π1.39)

ενώ για το δεξιό,



37

[ ] )0()(ορ)0()(ορ00

−

→

−

→−=− fssFfssF

ss (Π1.40)

Συγκρίνοντας τις (Π1.39), (Π1.40) προκύπτει η (Π1.38).

Π1.3.1.2 Αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace ρητών συναρτήσεων

Όπως θα δούµε και στην συνέχεια, θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής,

nmsasb

asasasbsbsbsbsF n

nn

mm

mm



38

3)1(

24ορ)()2(ορ

2)2(

24ορ)()1(ορ

1)2)(1(

24ορ)(ορ

223

112

001

−=++

=+=

=++

=+=

=++

+==

−→−→

−→−→

→→

ssssFsc

ssssFsc

sssssFc

ss

ss

ss

Εποµένως,

⇒+

−+

+=2

31

21)(sss

sF

f(t)=1+2e− t−3e−2 t

Β. Μη διακεκριµένες πραγµατικές ρίζες. Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι η ρίζα λ1 του a(s) έχει πολλαπλότητα r, δηλαδή,

( ) ∏+=

−−=n

rii

r λsλssa1

1 )()(

Τότε η F (s) αναλύεται σε άθροισµα µερικών κλασµάτων ως εξής:

( ) ( ) nn

r

rr

rλs

cλs

cλs

cλs

csF−

++−

+−

++−

=+

+ ......)(1

1

11

1

Οι συντελεστές ci που αντιστοιχούν στην πολλαπλή ρίζα βρίσκονται από τον τύπο:

( )[ ] rksFsskr

c rkrkr

sk ..., ,1 ,)(

dd

)!(1ορ 1

1

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

= −−

→λ

λ (Π1.42)

ενώ οι υπόλοιποι από την (Π1.41).

Παράδειγµα Π1.13 Να βρεθεί η y (t) αν ( )2

2)(

n

n

sssY

ωω+

= .

Λύση: Η ανάπτυξη του Y (s) σε µερικά κλάσµατα δίνει,

( )2321)(

nn sc

sc

scsΥ

ωω ++

++=

όπου,



39

{ }1

1ορ)()(ddορ

ορ)()(ορ

1

2

22

2

22

3

=

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+=

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

−→−→

−→−→

cs

sYss

c

ssYsc

n

sn

s

nn

sn

s

nn

nn

ωω

ωωω

ωω

ωω

Με αντικατάσταση δε προκύπτει,

( )211)(

n

n

n ssssY

ωω

ω +−

+−=

Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace δίνει:

( )teteety nttnt nnn ωω ωωω +−=−−= −−− 111)(

Γ. Μιγαδικές ρίζες. Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το a (s) έχει ένα ζευ-γάρι συζυγών µιγαδικών ριζών = iωσλ ±=2,1 . Η περίπτωση αυτή δεν διαφέρει ου-σιαστικά από την (Α), αφού βρίσκουµε,

tn

tk

ttn

n

k

k

nk ecececectf

sc

sc

sc

scsF

λλλλ

λλλλ

+++++=

−++

−++

−+

−=

... ... )(

... ... )(

11 11

1

1

1

1

όπου το σύµβολο − σηµαίνει συζυγές. Επίσης η περίπτωση πολλαπλών µιγαδικών ριζών αντιµετωπίζεται παρόµοια µε την (Β). Παρόλ’ αυτά το πρόβληµα έγκειται στο ότι ενδιαφερόµαστε για πραγµατικές ρίζες, και εποµένως η µιγαδική συνάρτηση

tec 11λ πρέπει να µετατραπεί σε πραγµατική. Η διαδικασία αυτή µπορεί να είναι όµως

αρκετά κουραστική και βασικά περιέχει τα ακόλουθα βήµατα:

1. Υπολογισµός του c1,

)()( ορ 111

sFscs

λλ

−=→

2. Υπολογισµός του αντίστοιχου όρου της χρονικής απόκρισης,

[ ]

( )11111

συν2

1111

ctec

eeeeececect

ticiticittt

∠+=

+=+ −∠−∠

ωσ

ωωσλλ (Π1.43)

(Προσοχή: το c1 αντιστοιχεί στην ρίζα µε θετικό πρόσηµο).



40

Παράδειγµα Π1.14 Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Laplace της,

)258(5)( 2 ++

+=

sssssF .

Λύση: Σύµφωνα µε τα προηγούµενα τα µερικά κλάσµατα θα είναι

sc

isc

iscsF 211

)34()34()( +

−++

++=

Οι συντελεστές είναι,

)3(301

241831

)6)(34(31)()34(ορ

2585)(ορ

341

51

02

02

ii

iii

isFisc

sssssFc

is

ss

+−=+−

−=

−−−−

=++=

=++

+==

−−→

=→

Οπότε, σύµφωνα και µε την (Π1.43),

( )( )[ ]3114 εφ3συν1510

51)( −++= −− tetf t

( )3/1εφ ,10301 1

11 −=∠=−cc . αφού



41

Π2 Παραδείγµατα και εφαρµογές

Π2.1 Εισαγωγή

Στο κεφάλαιο αυτό θα µελετηθούν κάποια ολοκληρωµένα παραδείγµατα από τυπικές περιοχές εφαρµογών των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου. Στα παραδείγµατα αυτά θα παρουσιασθεί η δοµή του συστήµατος, τα σχετικά µε την αυτοµατοποίηση εξαρ-τήµατα (αισθητήρες, επενεργητές, ελεγκτές κλπ.), οι φυσικοί νόµοι που διέπουν τη λειτουργία του συστήµατος και το προκύπτον σύστηµα κωδικοποιηµένο σε ορολογία συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου: δοµικό διάγραµµα, συναρτήσεις µεταφοράς κλπ. Ο στόχος είναι να αποκτηθεί µία, κατά το δυνατόν, πλήρης εικόνα των συστηµάτων και να συνδεθούν τα αφηρηµένα µαθηµατικά µε χειροπιαστά παραδείγµατα. Αυτό, σε συνδυασµό µε τη πειραµατική άσκηση, ελπίζω ότι θα κάνει κατανοητό αυτό το ενδι-αφέρον επιστηµονικό πεδίο. Οι ενδεικτικές περιοχές εφαρµογών που θα εξετασθούν είναι του ελέγχου στάθµης, θερµοκρασίας, θέσης/ταχύτητας όπως επίσης και κάποια παραδείγµατα από το νέο τοµέα των αυτοµατισµών στην αυτοκινητοβιοµηχανία. Οι περιπτώσεις αυτές σε κα-µία περίπτωση δεν εξαντλούν τον κατάλογο των εφαρµογών, καλύπτουν όµως ένα µεγάλο µέρος του. Πριν προχωρήσουµε ας θυµηθούµε τη βασική δοµή ενός συστή-µατος αυτοµάτου ελέγχου (Σχ. Π2.1).

∆ιαδικασία Ελεγκτής

Αισθητήρας

επιθυµητή τιµή

διαταραχές

Σχήµα Π2.1. Βασική δοµή συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου

Στα παραδείγµατα που θα ακολουθήσουν θα αναφερθούµε αναλυτικά σε κάθε ένα από τα στοιχεία που φαίνονται στο Σχ. Π2.1. Να σηµειωθεί ότι ο ελεγκτής αποτελεί-ται ουσιαστικά από δύο µέρη: τη στρατηγική ελέγχου και τον επενεργητή.

Π2.2 Έλεγχος στάθµης

Ο έλεγχος στάθµης είναι από τα παλαιότερα πεδία εφαρµογής των συστηµάτων αυ-τοµάτου ελέγχου (ίσως το πρώτο) . Σήµερα απαιτείται σε πλήθος διαδικασιών στη



42

χηµική βιοµηχανία, στα υδραυλικά δίκτυα κλπ. Το βασικό σχηµατικό διάγραµµα φαίνεται στο Σχ. Π2.2.

R

hρ

Α

Ηλεκτροβάνα

wout

win

Κεντρική παροχή

Στρατηγική ελέγχου

αισθητήρας ύψους

Σχήµα Π2.2 Σχηµατικό διάγραµµα ελέγχου στάθµης υγρού

Μιλώντας µε όρους αυτοµάτου ελέγχου, η υπό έλεγχο διαδικασία (εγκατάσταση) αποτελείται από τη δεξαµενή υγρού και τη σωλήνα εξόδου. Η δεξαµενή έχει επιφάνεια πυθµένα Α m2., το υγρό είναι πυκνότητας ρ, και η ροή µέσω της σωλήνας εξόδου είναι συνάρτηση της αντίστασης R. Ο ελεγκτής αποτελείται από τον αισθητήρα ύψους, τη στρατηγική ελέγχου και την ηλεκτροβάνα (επενεργητή). Η ελεγχόµενη µεταβλητή είναι η στάθµη h του υγρού. Το αντίστοιχο δοµικό διάγραµµα του συστήµατος αυτού φαίνεται στο Σχ. Π2.3.

+

U(s)

D(s)

R(s)

F(s)+

Y(s)

N(s)

+ +C(s)

εγκατάσταση

G(s)

ελεγκτής

αισθητήρας

σήµα ελέγχου (w)

διαταραχές

θόρυβος

στάθµη υγρούεπιθυµητή στάθµη (m)

Σχήµα Π2.3 ∆οµικό σύστηµα ελέγχου στάθµης υγρού

Η διαδικασία εύρεσης ενός υποδείγµατος κατάλληλου για χρησιµοποίηση στα πλαίσια της θεωρίας αυτοµάτου ελέγχου ξεκινά από τις βασικές αρχές δυναµικής φυσικών συστηµάτων. ∆εν πρέπει επίσης να ξεχνάµε ότι η ελεγχόµενη µεταβλητή

© ςΑ. Πουλιέζο© Α. Πουλιέζ ς


ο

43

είναι το ύψος, ενώ η µεταβλητή ελέγχου η ροή. Αυτό σηµαίνει ότι το υπόδειγµα µας πρέπει να συσχετίζει αυτές τις δύο ποσότητες. Θα ξεκινήσουµε από την εύρεση του µαθηµατικού υποδείγµατος της υπό έλεγχο διαδικασίας. Σε κάθε ανοικτό φυσικό σύστηµα ισχύει ο νόµος της διατήρησης της ύλης, εποµένως και εδώ:

)()()( twtwtm outin −=& (Π2.1)

όπου win(t) είναι ο ρυθµός εισροής µάζας σε µονάδες (kg/sec), wout(t) ο ρυθµός ε-κροής µάζας και m(t) η µάζα του υγρού που περιέχεται εντός συγκεκριµένων ορίων. Επειδή m(t)=ρAh(t), όπου ρ η πυκνότητα του υγρού, η (Π2.1) γράφεται,

[ ])()(1)( twtwAth outin −= ρ& (Π2.2)

Η ακριβής εύρεση του ρυθµού εκροής wout στο σωλήνα εκροής δεν είναι απλή υπό-θεση γενικά. Σε σωλήνες µικρού µήκους η µάζα του υγρού ανά µονάδα χρόνου είναι αµελητέα και οι δυνάµεις της βαρύτητας και αδράνειας µπορεί να αγνοηθούν. Στη περίπτωση αυτή, µπορεί να εκφρασθεί σαν,

[ ] atptpR

twout1

)()(1)( 21 −= (Π2.3)

όπου η σταθερά R δηλώνει γενικά την "αντίσταση" στη ροή, η α είναι σταθερά που εξαρτάται από το τύπο του σωλήνα εκροής και p1, p2 είναι οι υδροστατικές πιέσεις στα άκρα του σωλήνα. Η τιµή του α εξαρτάται κυρίως από την ιξώδη τριβή της ρο-ής: αν η ιξώδης τριβή είναι κυρίαρχη α≈1, ενώ αν είναι αµελητέα α≈2. Στη πρώτη, και απλούστερη περίπτωση, η (Π2.3) γράφεται,

[ ])()(1)( 21 tptpRtwout −= (Π2.4)

Στο συγκεκριµένο πρόβληµα οι πιέσεις είναι υδροστατικές και εποµένως ανάλογες των υψών. ∆ηλαδή,

p1(t)=ρgh1(t)

p2(t)=ρgh2(t)

όπου g η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας. Εποµένως η (Π2.4) καταλήγει στην,



44

[ ])()()( 21 ththRgtwout −=ρ (Π2.5)

Αν τέλος θεωρήσουµε σωλήνες εξόδου µικρής διατοµής, h2(t)=h2≈0 και αντικαθι-στώντας την (Π2.5) στην (Π2.2), παίρνουµε τελικά την ζητούµενη εξίσωση,

)(1)()(

)()(1)(

twA

thRAgth

thRgtw

Ath

in

in

ρ

ρρ

=+⇒

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

&

&

(Π2.6)

Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση που διέπει τη διαδικασία. Στη µελέτη των συστη-µάτων αυτοµάτου ελέγχου, χρησιµοποιούµε συναρτήσεις µεταφοράς που προκύ-πτουν από τη µετασχηµατισµένη κατά Laplace διαφορική εξίσωση. Έτσι, µετασχη-µατίζοντας την (Π2.6), παίρνουµε,

)0(1

/)(1

/)(

)0()(1)(

)(1)()0()(

−

−

−

++

+=

⇒+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⇒=+−

h

gRAs

gRAsW

gRAs

gRsH

hsWARA

gssH

sWA

sHRAghssH

in

in

in

ρρ

ρ

Όταν οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές (άδεια δεξαµενή), η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται,

)(1

)( sWs

KsH in+=τ

(Π2.7)

όπου Κ=R/ρg και τ=RA/g. Το δοµικό διάγραµµα της διαδικασίας είναι λοιπόν,

Win(s)

εγκατάσταση

ροή εισόδου (kg/sec)H(s) στάθµη (m)

1+sτΚ

Για να συµπληρώσουµε την εικόνα του Σχ. Π2.3 αποµένει η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή. Ο τύπος του είναι θέµα µελέτης, έτσι ας θεωρήσουµε για παράδειγµα



45

έναν ελεγκτή αναλογικό του σφάλµατος:

U(s)=K[R(s)-Y(s)]

Με τη µορφή αυτή, το Σχ. Π2.3 γίνεται,

Y(s) Ε(s)Κ

R(s)

+

_ 1+τsK

ελεγκτής δεξαµενή

στάθµη (m) επιθυµητή στάθµη (m)

Σχήµα Π2.4 Σύστηµα ελέγχου στάθµης υγρού

Το σύστηµα αυτό είναι πρώτης τάξης µε χρονική σταθερά τ=RA/g.

Π2.3 Έλεγχος αναδευόµενης δεξαµενής

(Kwakernaak, σ. 7)

Το παράδειγµα που ακολουθεί είναι τυπικό πολλών συστηµάτων ελέγχου διεργασιών.

Βάνα

k

h(t)c(t)

V(t)

Ηλεκτροβάνα

F1(t)

Παροχή 1 συγκέντρωση c1

Παροχή 2 συγκέντρωση c2

εκροή συγκέντρωση c(t)

F2(t)

f

SΜέτρηση V, c

Ανάδευση

Σχήµα Π2.5 ∆εξαµενή ανάδευσης υγρών

Η δεξαµενή τροφοδοτείτ

περί ὐτοµατισµοῦ - TUCpouliezos.dpem.tuc.gr/pdf/h_inf_ann.pdf© Α....

Documents

Transcript of περί ὐτοµατισµοῦ - TUCpouliezos.dpem.tuc.gr/pdf/h_inf_ann.pdf© Α....