‘‘ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELL’BELL’

ΤΟΨΗΣ-ΓΙΩΤΗΣ ΙΑΣΟΝΑΣ ΦΑΡΑΚΟΣ Κ.

Δ Ο Μ Η Τ Η Σ Υ Λ Η Σ :

ΠΟΙΑ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ QM?ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ

ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ EPREPR

ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELLBELL

Η ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑΗ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΘΕΩΡΙΩΝ ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ BELL

ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΥΝΕΠΕΙΕΣΥ.Γ

J. S. Bell

ΠΟΙΑ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ QM?

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ:Ο μη ντετερμινιστικός χαρακτήρας της QM, ο οποίος εκφράζεται κύρια μέσω της στατιστικής ερμηνείας της κυματοσυνάρτησης |ψ>, είναι το αδύνατο σημείο της θεωρίας. Τα διάφορα «παράδοξα» που προέκυψαν (γάτα Schrödinger, EPR, κβαντική μέτρηση, κ.τ.λ.) οδήγησαν πολλούς φυσικούς (π.χ. Einstein) στην αμφισβήτηση της πληρότητας , ή ακόμη και της ίδιας της θεωρίας.

Το πρόβλημα είναι το εξής: Η |ψ> δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα το αποτέλεσμα μίας μέτρησης, αλλά το ποσοστό συμετοχής όλων των πιθανών αποτελεσμάτων. Δηλαδή πριν πάρουμε τη μέτρηση δε γνωρίζουμε ακριβώς την τιμή του μετρούμενου μεγέθους, αλλά την πιθανότητα που έχει αυτό να πάρει κάθε μία από τις δυνατές τιμές του!

Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα αν το σύστημα έχει από πριν την εξεταζόμενη ιδιότητα την οποία η μέτρηση μας αποκαλύπτει, ή αν η ίδια η διεργασία της μέτρησης επηρεάζει το σύστημα και από μόνη της «δημιουργεί» την ιδιότητα αυτή.

ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ:ΡΕΑΛΙΣΤΕΣ: Η QM είναι μία μη πλήρης περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας. Ακόμη και αν γνωρίζουμε τα πάντα που η QM μπορεί να μας πει για το σύστημα, δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε όλα τα στοιχεία του. Συνεπώς θα πρέπει να υπάρχουν άλλες πληροφορίες εξωτερικές της QM οι οποίες είναι απαραίτητες μαζί με την |ψ> για την πλήρη περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας.

ΟΡΘΟΔΟΞΟΙ: Η διαδικασία της μέτρησης αναγκάζει το σύστημα να πάρει μία συγκεκριμένη τιμή, την ιδιοτιμή του. Η μέτρηση δηλαδή βοηθά το σύστημα να εμφανίσει μία συμπεριφορά η οποία πριν δεν υπήρχε (ο Bohr παρομοίωσε τη συμπεριφορα αυτή με εκείνη απρόβλεπτων εφήβων...). Ακόμη, αν επαναλάβουμε τη μέτρηση αμέσως μετά θα πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα, οπότε φτάνουμε στο συμπέρασμα ότι η ίδια η διαδικασία της μέτρησης αναγκάζει την κυματοσυνάρτηση να καταρρεύσει σε μία ιδιοσυνάρτηση κατά έναν ‘‘μαγικό’’ τρόπο. (Η ερμηνεία αυτή είναι γνωστή ως η ερμηνεία της ΣΧΟΛΗΣ ΤΗΣ ΚΟΠΕΝΧΑΓΗΣ)

ΑΓΝΩΣΤΙΚΙΣΤΕΣ: Η πλειοψηφία των φυσικών. Αρνούνται να χάσουν το χρόνο τους ασχολούμενοι με τέτοιες ‘‘μεταφυσικές’’ ανησυχίες...

Η διαμάχη των φυσικών πάνω σε αυτά τα ζητήματα ήταν και παραμένει μεγαλειώδης. Από τη μία η θεωρία αυτή δουλεύει τέλεια, από την άλλη όμως ο μη ντετερμινιστικός χαρακτήρας της είναι ιδιαίτερα ενοχλητικός.

ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ EPREPR

ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ:ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ:Το 1935 οι Το 1935 οι EinsteinEinstein--PodolskyPodolsky--RosenRosen διατύπωσαν το περίφημο διατύπωσαν το περίφημο παράδοξο παράδοξο EPREPR προσπαθώντας να δείξουν πως η ρεαλιστική θεώρηση προσπαθώντας να δείξουν πως η ρεαλιστική θεώρηση είναι η μόνη συνεπής.είναι η μόνη συνεπής.Εδώ θα περιγραφεί μία απλοποιημένη εκδοχή του παραδόξου η οποία Εδώ θα περιγραφεί μία απλοποιημένη εκδοχή του παραδόξου η οποία οφείλεται στον οφείλεται στον David BohmDavid Bohm:: Ας θεωρήσουμε τη διάσπαση ενός πι-μεσονίου σε ένα Ας θεωρήσουμε τη διάσπαση ενός πι-μεσονίου σε ένα ee-- και ένα και ένα e e++ : :

Θεωρώντας το πι-μεσόνιο σε ηρεμία, τότε το ηλεκτρόνιο και το ποζιτρόνιο θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Ας υπολογίσουμε τώρα την κυματοσυνάρτηση ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου:

Έχουμε εδώ δύο σωματίδια με Έχουμε εδώ δύο σωματίδια με spin ½.spin ½. Κάθε ένα μπορεί να έχει Κάθε ένα μπορεί να έχει spin up spin up ή ή spin downspin down. Συμβολίζουμε τα . Συμβολίζουμε τα spin up spin up ως ως χχ++(1)(1) , , χχ++(2)(2) και τα και τα spinspin downdown ως ως χχ--(1)(1) , , χχ--(2) (2) αντίστοιχα για τα σωματίδια 1 αντίστοιχα για τα σωματίδια 1 και 2. Υπάρχουν λοιπόν συνολικά 4 πιθανές καταστάσεις:και 2. Υπάρχουν λοιπόν συνολικά 4 πιθανές καταστάσεις:

χχ++(1) χ(1) χ++(2)(2) χχ++(1)(1) χχ--(2) χ(2) χ--(1)(1) χχ++(2) χ(2) χ--(1)(1) χχ--(2)(2)

)2()1( SSS

όπου: χχ++== , χ , χ--==

0

1

1

0

Θα υπολογιστεί τώρα το spin του συστήματος. Είναι:

Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι τα ιδιοδιανύσματα των S2 , Sz

, S± ικανοποιούν τις:

111

122

msmmsssmS

smmsmS

smsssmS

z

όπου επιλέξαμε τον z ως άξονα κβαντώσεως.

Δρούμε με τον τελεστή Δρούμε με τον τελεστή Sz στο σύστημα στην κατάσταση χ1χ2:

22

1211

2121

21 zzzzz SSSSS

2121221211 mmmm

Συνεπώς ο κβαντικός αριθμός του spinspin του συστήματος είναι του συστήματος είναι m=mm=m11+m+m2 2 .. Θα έχουμε λοιπόν για τις 4 αυτές καταστάσεις:

1:

0:

0:

1:

m

m

m

m

Τι γίνεται όμως εδώ; Εμείς περιμέναμε το m να αυξάνει κατά ακέραια βήματα από –s έως s, αλλά εδώ υπάρχει μία επιπλέον κατάσταση με m=0.Ένας τρόπος να διαπιστώσουμε το τι συμβαίνει είναι να δράσουμε με τον S- στην κατάσταση , όταν s=1, οπότε έχουμε:

2121 SSSSS

Δρώντας πάλι με τον ίδιο τελεστή στην κατάσταση που προέκυψε, παίρνουμε την νέα κατάσταση: Έτσι τελικά οι τρεις καταστάσεις που προέκυψαν με s=1 είναι:

112

110

11

s=1 (τριπλέτα)

Μας έμεινε λοιπόν μία κατάσταση με m=0. Αυτή θα έχει spin s=0. Μία τέτοια κατάσταση είναι η εξής:

2

100 s=0 (μονή

κατάσταση)Πράγματι εφαρμόζοντας τους S- και S+ τελεστές στη μονή κατάσταση, παίρνουμε αποτέλεσμα μηδέν:

2211

2

1

2

1SSSSS

02

1

2211

2

1

2

1SSSSS =

02

1

Πρέπει τώρα να δειχθει πως η μονή κατάσταση |0 0> είναι ιδιοδιάνυσμα του τελεστή S2 με ιδιοτιμή μηδέν. Έχουμε:

21222121212 2 SSSSSSSSS

zyx SSSS όπου:

01

10

2

xS

0

0

2 i

iS y

10

01

2

zS

Έτσι λοιπόν προκύπτει:

2

xS

2

xS

iS y 2

i

S y 2

Είναι λοιπόν:

24222222

2

21212121

ii

SSSSSSSS zzyyxx

24

221

SS

4

3 221

S 4

3 221

S 4

3 222

S 4

3 222

S

004

322

42

100

2221

SS

Εφαρμόζοντας λοιπόν τον S2 στην |0 0> παίρνουμε:

0004

32

4

3

4

300

2222

S

Αποδείξαμε λοπόν πως η singlet κατάσταση |0 0> του συστήματος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή S2 με ιδιοτιμή μηδέν.

Μπορούμε τώρα να επανέλθουμε στο ιδεατό πείραμα που προτείνει ο Bohm. Το πι-μεσόνιο διασπάστηκε σε ηλεκτρόνιο και ποζιτρόνιο. Μας ενδιαφέρει η εξέταση της συμπεριφοράς του συστήματος e+ και e- . Το πι-μεσόνιο αρχικά είχε spin μηδέν συνεπώς και το σύστημά μας θα έχει σπιν μηδέν. Όπως αποδείχθηκε πριν, το σύστημα πρέπει να βρίσκεται στη singlet κατάσταση. Οπότε η κυματοσυνάρτηση του συστήματος:

eeee2

1

Υποθέστε τώρα πως δύο παρατηρητές μετρούν ο ένας το σπιν του ηλεκτρονίου και ο άλλος το σπιν του ποζιτρονίου.

Αν το σπιν του ηλεκτρονίου βρεθεί πάνω τότε το ποζιτρόνιο πρέπει να έχει σπιν κάτω και αντίστροφα. Η Κβαντομηχανική δεν μπορεί να μας πει ποιό συνδυασμό θα πάρουμε αλλά μας λέει ότι έχουμε 50% πιθανότητα να λάβουμε τον κάθε έναν, όπως προκύπτει από την |ψ>.

Υποθέστε επίσης ότι απομακρύνουμε τους παρατηρητές 10 έτη φωτός τον κάθε έναν από το σημείο διάσπασης, έτσι που να είναι αδύνατη η επικοινωνία τους. Έστω ότι ο ένας μετρά σπιν πάνω για το ηλεκτρόνιο. Αυτόματα γνωρίζει πως ο άλλος παρατηρητής 20 έτη φωτός μακρυά θα πάρει σπιν κάτω για το ποζιτρόνιο.

ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ:ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Τίποτα το περίεργο: Το ηλεκτρόνιο

και το ποζιτρόνιο είχαν όντως σπιν πάνω και κάτω αντίστοιχα από τη στιγμή που δημιουργήθηκαν. Όμως η Κβαντομηχανική ως μία μη πλήρης περιγραφή της πραγματικότητας δεν το γνώριζε και δεν μπορούσε να μας το πει.

ΟΡΘΟΔΟΞΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Το σύστημα βρισκόταν σε μία υπέρθεση καταστάσεων σπιν πάνω και κάτω, δηλαδη κανένα σωματίδιο δεν είχε καλά καθορισμένο σπιν μέχρι να λάβει χώρα η μέτρηση. Κατά τη διαδικασία της μέτρησης επήλθε κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης σε μία ιδιοκατάσταση (π.χ. σπιν πάνω για το ηλεκτρόνιο) η οποία ακαριαία παρήγαγε το σπιν του ποζιτρονίου 20 έτη φωτός μακρυά.Οι EPR δεν μπορούσαν να συμβιβαστούν με αυτή την ιδέα της

ακαριαίας δράσης από απόσταση. Καμία δράση δεν μπορεί να μεταφερθεί ταχύτερα από το φως (ΑΡΧΗ ΤΟΠΙΚΟΤΗΤΑΣ). Βασιζόμενοι σε αυτήν την αρχή υπερασπίζονταν τη ρεαλιστική εκδοχή: Το ηλεκτρόνιο και το ποζιτρόνιο έχουν καλά καθορισμένα σπιν εξ αρχής ανεξάρτητα από το αν η Κβαντομηχανική μπορεί να τα υπολογίσει ή όχι.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:Ας υποθέσουμε τώρα ότι όντως τα σωματίδιά μας έχουν καλά καθορισμένα σπιν εξ’ αρχής. Έστω ότι το ηλεκτρόνιο έχει σπιν πάνω και το ποζιτρόνιο σπιν κάτω. Τι γίνεται όμως όταν πάμε να υπολογίσουμε το σπιν του συστήματος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου; Όπως αναφέρθηκε πριν για την τριπλέτα και τη μονή κατάσταση:

112

110

11

2

100

s=0 (μονή κατάσταση)

s=1

(τριπλέτα)

Η κατάσταση του δικού μας συστήματος είναι η εξής: ee

Παρατηρούμε λοιπόν πως μας προέκυψε πλέον μία απροσδιοριστία ως προς το σπιν του συστήματος! Αυτό θα δίνεται από μία υπέρθεση τριπλέτας με τη μονή κατάσταση. Πάλι λοιπόν έχουμε πρόβλημα.

Με το παράδειγμα αυτό θέλουμε να τονίσουμε το εξής: Η προσπάθεια του να καταστήσει κανείς την QM πλήρη μέσα από τον ίδιο της το φορμαλισμό και τις αρχές της είναι ιδιαίτερα δύσκολη, αν όχι αδύνατη. Η QM είναι από τα ίδια της τα θεμέλια μία μη ντετερμινιστική θεωρία και ίσως τα θεμέλιά της αυτά θα έπρεπε κανείς να εξετάσει στην προσπάθεια αποκατάστασης της φυσικής πραγματικότητας...

ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ:Οι EPR δεν αμφέβαλλαν για το ότι η Κβαντομηχανική ήτανε σωστή

στα ζητήματα τα οποία έθιγε (εξάλλου δούλευε τέλεια). Αυτό το οποίο υποστήριζαν ήταν το ότι η QM είναι μία μη πλήρης περιγραφή της πραγματικότητας. Δεν αρκεί μόνο η κυματοσυνάρτηση |ψ> για την πλήρη περιγραφή ενός φυσικού συστήματος αλλά απαιτείται προφανώς και κάποια άλλη ποσότητα λ. Αυτή μαζί με την |ψ> θα δώσουν την πλήρη περιγραφή.

Τις ποσότητες αυτές τις ονόμασαν λανθάνουσες παραμέτρους λ αφού μέχρι τότε δεν υπήρχε καμία ιδέα υπολογισμού ή μέτρησής τους.

Ποιό όμως μπορεί να είναι το νόημα αυτών των ‘’κρυμμένων μεταβλητών’’; Η λ θα μπορούσε να είναι ένα μέγεθος της φυσικής πραγματικότητας το οποίο αγνοούμε μέχρι τώρα. Συνεπώς αντιπροσωπεύεται από τον αντίστοιχο τελεστή στη θεωρία και η μέτρησή του θα δώσει την αντίστοιχη ιδιοτιμή. Η άγνοια αυτών των μεταβλητών οδηγεί στα διάφορα παράδοξα που προκύπτουν και καταρίπτει το ντετερμινιστικό χαρακτήρα της φύσης (πράγμα που ήταν εντελώς έξω από τη φιλοσοφία του Einstein για τη φύση).

Από το 1935 λοιπόν πολλές θεωρίες λανθανουσών παραμέτρων δημιουργήθηκαν με στόχο το να καταστήσουν πλήρη τη κβαντική θεωρία και να αποκαταστήσουν τη φυσική πραγματικότητα. Το 1964 όμως ο J.S. Bell με την εργασία του έθεσε ένα άδοξο τέλος σε κάθε τέτοια προσπάθεια: ‘’Κάθε θεωρία λανθανουσών παραμέτρων είναι ασυμβίβαστη με την Κβαντομηχανική’’

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ BELLBELLΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ:Η ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ:

Ο Ο BellBell πρότεινε μία γενίκευση του πρότεινε μία γενίκευση του EPR/Bohm EPR/Bohm πειράματος: Αντί να πειράματος: Αντί να βάλλουμε τους ανιχνευτές ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου στην ίδια βάλλουμε τους ανιχνευτές ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου στην ίδια διεύθυνση, μπορούμε να τους αφήσουμε να μετρούνε το σπιν σε διεύθυνση, μπορούμε να τους αφήσουμε να μετρούνε το σπιν σε ανεξάρτητες διευθύνσεις ο ένας από τον άλλον. Ας υποθέσουμε ότι ο Α ανεξάρτητες διευθύνσεις ο ένας από τον άλλον. Ας υποθέσουμε ότι ο Α μετράει το σπιν του ηλεκτρονίου στη διεύθυνση μετράει το σπιν του ηλεκτρονίου στη διεύθυνση a a και ο Β το σπιν του και ο Β το σπιν του ποζιτρονίου στη διεύθυνση ποζιτρονίου στη διεύθυνση bb. . Ας θεωρήσουμε για απλότητα τα σπιν σε Ας θεωρήσουμε για απλότητα τα σπιν σε μονάδες του μονάδες του ħħ/2. Τότε ο κάθε ανιχνευτής δίνει την τιμή +1 για σπιν πάνω /2. Τότε ο κάθε ανιχνευτής δίνει την τιμή +1 για σπιν πάνω και -1 για σπιν κάτω στη διεύθυνση μέτρησης. Λαμβάνοντας ένα σετ και -1 για σπιν κάτω στη διεύθυνση μέτρησης. Λαμβάνοντας ένα σετ πολλών μετρήσεων τα αποτελέσματά μας θα μπορούσαν να είναι:πολλών μετρήσεων τα αποτελέσματά μας θα μπορούσαν να είναι:

electron positron product

+1 +1 -1 +1 -1 …

-1 +1 +1 -1 -1 …

-1 +1 -1 -1 +1 …

Ο Bell πρότεινε τον υπολογισμό της μέσης τιμής του γινομένου (product) των σπιν, έστω P(a,b).

Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τους ανιχνευτές παράλληλους. Τότε θα είναι: b = a. Το e- έχει σπιν πάνω και το e+ σπιν κάτω οπότε το product θα είναι: P(a,b) = - 1 .

Αν οι ανιχνευτές είναι αντιπαράλληλοι (b = - a) τότε είναι: P(a,b) = +1 .

Ας υπολογίσουμε τον τελεστή του σπιν Snσε τυχαία διεύθυνση n. Είναι:

cossin

sincos

2

cos

sinsin

cossin

ˆˆ

i

i

n

z

y

x

zzyyxxn

e

eS

n

n

n

nSnSnSnSS

Αυτό που θέλουμε εμείς να υπολογίσουμε είναι η μέση τιμή του γινομένου των προβολών των σπιν του ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου στις διευθύνσεις a και b, όταν το σύστημά τους περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση |ψ>. Θα έχουμε δηλαδή:

eeee

baba SSSS

2

1

Ας βρούμε τώρα ποιά είναι η πρόβλεψη της κβαντικής θεωρίας για το P(a,b) στην περίπτωση αυτή της ανεξάρτητης διεύθυνσης των ανιχνευτών κατά τη διενέργεια πολλών μετρήσεων:

Η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ:

Είναι λοιπόν:

ebeaebeaeeeebaba SSSSSSSS

2

1

2

1

0

1

cossin

sincos

1

0

10

01

1

0

cossin

sincos

0

1

10

01

2

1

4

2

i

i

i

i

e

e

e

e

i

i

e

e

sin

cos

1

0

cos

sin

0

1

2

1

4

2

Ταυτίζουμε τον z-άξονα με τη διεύθυνση a, οπότε θ θα είναι η γωνία μεταξύ του μοναδιαίου b και του z-άξονα και φ η γωνία της προβολής του b στο xy-επίπεδο με τον x-άξονα. Τα σωματίδια κινούνται στον y-άξονα.

Μετρώντας σε μονάδες του ħ/2, χρησιμοποιώντας δηλαδή τις μήτρες του Pauli, θα πάρουμε τα εξής:

Επίσης το bra της |ψ> είναι:

100101102

1

Συνεπώς:

cos4

coscos42

1 22 baSS

coscoscos2

1ba

Βρήκαμε λοιπόν την πρόβλεψη της κβαντικής θεωρίας για το P(a,b) και είναι:

Ρ(a,b) = - cosθ

Όμως αφού a·b = cosθ παίρνουμε:

babaP ˆˆˆ,ˆ

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΘΕΩΡΙΩΝ ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ:Έχοντας δει τι δίνει η κβαντική θεωρία, μπορούμε να προχωρήσουμε

στην εξέταση των θεωριών λανθανουσών παραμέτρων: Θεωρήστε ότι το σύστημά μας περιγράφεται πλήρως από τις κρυμμένες μεταβλητές λ. Τις λ παραμέτρους εμείς ούτε τις γνωρίζουμε, ούτε μπορούμε να τις μετρήσουμε, αλλά είναι αυτές οι οποίες αποκαθιστούν τη φυσική πραγματικότητα και καθιστούν πλήρη τη κβαντική θεωρία από τη μία διάσπαση στην επόμενη.

Θεωρήστε ακόμη ότι το αποτέλεσμα της μέτρησης του σπιν του ηλεκτρονίου είναι ανεξάρτητο από τη διεύθυνση b του ανιχνευτή Β την οποία ο πειραματιστής καθορίζει λίγο πριν τη διενέργεια της μέτρησης του Α τόσο ώστε να είναι ήδη πολύ αργά για να φτάσει σήμα στον Α. Με τον τρόπο αυτό ικανοποιείται και η Αρχή της Τοπικότητας.

Τότε λοιπόν θα υπάρχουν κάποιες συναρτήσεις Α(a,λ) που θα δίνει το αποτέλεσμα της μέτρησης του ηλεκτρονίου και Β(b,λ) για το ποζιτρόνιο. Προφανώς οι μόνες τιμές που μπορούν να πάρουνε θα είναι:

Α(a,λ)=±1 Β(b,λ)=±1

Επίσης όταν οι ανιχνευτές είναι παράλληλοι (a=b) τότε:

Α(a,λ)= - Β(a,λ)

Τα παραπάνω ισχύουν για όλα τα λ.

(1)

(2)

Οι παράμετροι λ μπορούν να πάρουν διάφορες τιμές λ1,λ2,λ3,...,λn τις οποίες εμείς δεν γνωρίζουμε. Ακόμη σε κάθε μέτρηση το λ μπορεί να πάρει την ίδια ή διαφορετική τιμή. Παίρνοντας εμείς ένα σετ πολλών μετρήσεων ψάχνουμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή των αποτελεσμάτων μας. Από το σετ αυτό των μετρήσεων φτιάχνουμε έναν πίνακα κατανομής των λ. Ένας τέτοιος πίνακας θα μπορούσε να είναι κάπως έτσι:

dbBaAbaP ),ˆ(),ˆ()()ˆ,ˆ(

(3)

(4)

Από εδώ πλέον, υπολογίζουμε τη συνάρτηση κατανομής ρ(λ) ή αλλιώς τη συνάρτηση βάρους ρ(λ) η οποία μας δείχνει το ποσοστό συμετοχής κάθε λ στην κατανομή (π.χ. το λ1 εμφανίστηκε 4 φορές, το λ2 7 φορές κ.λ.π.). Είναι προφανές ότι αυτή θα πρέπει να ικανοποιεί τις εξής συνθήκες:

ρ(λ) ≥ 0 και ∫ ρ(λ)dλ = 1Η ζητούμενή μας μέση τιμή Ρ(a,b) θα δίνεται λοιπόν από την ολοκλήρωση πάνω σε όλα τα λ για το γινόμενο Α(a,λ)Β(b,λ). Θα έχουμε λοπόν:

Όμως κάθε διαφορετική θεωρία λανθανουσών παραμέτρων προβλέπει και διαφορετικές τιμές για κάθε λ και συνεπώς δίνει διαφορετικές κατανομές ρ(λ). Θα πρέπει λοιπόν η όποια συζήτηση για τη ρ(λ) να τελειώσει εδώ αφού τα αποτελέσματά μας θέλουμε να καλύπτουν γενικά όλες τις τοπικές θεωρίες λανθανουσών παραμέτρων.

Αν c είναι ένα άλλο μοναδιαίο διάνυσμα, τότε:

dcAaAcaP ),ˆ(),ˆ()()ˆ,ˆ(

Παίρνοντας τη διαφορά των Ρ(a,b) και Ρ(a,c) έχουμε:

dcAaAbAaAcaPbaP ),ˆ(),ˆ()(),ˆ(),ˆ()()ˆ,ˆ()ˆ,ˆ(

dcAbAbAAcaPbaP ,ˆ,ˆ1,ˆ,ˆ)(ˆ,ˆˆ,ˆ

και επειδή |Α(b,λ)|2=1 :

dcAAbAaA ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ)(

dcAbAbAAcaPbaP ,ˆ,ˆ1,ˆ,ˆ)(ˆ,ˆˆ,ˆ

dcAbAbAAcaPbaP ,ˆ,ˆ1,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ

dbAaAbaP ),ˆ(),ˆ()()ˆ,ˆ( (5)

Από τις (2) και (4) τώρα μπορούμε να απαλείψουμε την Β:

Από τις (3) και (4) τώρα και εκτελώντας τις πράξεις:

dcAbAdcaPbaP ,ˆ,ˆ)()(ˆ,ˆˆ,ˆ

cbPcaPbaP ˆ,ˆ1ˆ,ˆˆ,ˆ

Αυτή είναι η φημισμένη ανισότητα Bell. Η ισχύς της καλύπτει κάθε τοπική θεωρία λανθανουσών παραμέτρων αφού έχει αποδειχθεί για όλα τα λ ανεξαρτήτως της φύσης τους ή τιμής τους!

dcAbAcaPbaP ,ˆ,ˆ1)(ˆ,ˆˆ,ˆ

0,ˆ,ˆ1)( cAbAκαι επειδή: προκύπτει ότι:

dcAbAcaPbaP ,ˆ,ˆ1)(ˆ,ˆˆ,ˆ

Όμως |Α(a,λ)Α(b,λ)|=1 οπότε παίρνουμε:

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ BELL:Έχουμε υπολογίσει την πρόβλεψη της κβαντικής θεωρίας και των τοπικών θεωριών λανθανουσών παραμέτρων για την ποσότητα Ρ(a,b). Μπορούμε τώρα μέσα από μία απλή εφαρμογή να δείξουμε τη μη συμβιβαστότητα αυτών των δύο:

Υποθέστε τρία διανύσματα a,b,c όπως στο σχήμα:

Ας δούμε εδώ τι προβλέπεται από τη κβαντική θεωρία:

P(a,b) = 0, P(a,c) = P(b,c) = - 0.707

Θέτοντας τις τιμές αυτές στην ανισότητα Bell θα πάρουμε:

0,707 ≤ 1 - 0,707 = 0,293 !!!

Το συμπέρασμα εδώ είναι πλέον καθαρό: Καμία τοπική θεωρία λανθανουσών παραμέτρων δεν είναι συμβιβαστή με την QM. Το χτύπημα του Bell είναι τελειωτικό: Αν οι EPR είναι σωστοί τότε όχι μόνο η QM δεν είναι πλήρης αλλά είναι εντελώς λάθος! Αν όμως η QM είναι σωστή, τότε καμία θεωρία λανθανουσών παραμέτρων δεν θα μας σώσει από τη μη τοπικότητα! Ένα πείραμα θα μπορούσε ενδεχομένως να ξεκαθαρίσει το τοπίο.

ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ:Αρκετά πειράματα έγιναν τις δεκαετίες του ‘60 και ‘70 προσπαθώντας να εξετάσουν την ισχύ των ανισοτήτων του Bell. Το πιο σημαντικό από αυτά εκτελέστηκε το 1982 από τους A. Aspect, P. Grangier και G. Roger.

Οι λεπτομέρειες του πειράματος αυτή τη στιγμή δεν μας ενδιαφέρουν τόσο όσο τα συμπεράσματα που προκύπτουν από αυτό. Εξάλλου στο πείραμα αυτό δεν έγινε χρήση διάσπασης πι-μεσονίου όπως προτείνεται στο ιδεατό EPR/Bohm, αλλά χρησιμοποιήθηκαν φωτόνια. Σημαντική πληροφορία εδώ είναι ότι για την κατοχύρωση της τοπικότητας οι δύο ανιχνευτές ρυθμιζόταν τυχαία τη στιγμή που τα φωτόνια βρισκόταν καθ’ οδόν, έτσι ώστε να μην μπορεί ο ένας να ‘’νιώσει’’ τη ρύθμιση του άλλου.

A. Aspect

πειραματική διάταξη

Τα αποτελέσματα του πειράματος του Aspect, δε χωρούσαν καμία αμφιβολία: Υπήρχε απόλυτη συμφωνία με τις προβλέψεις της QM και μη συμβιβαστότητα με τις ανισότητες του Bell.

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ:Τα αποτελέσματα αυτά, ήταν ένα σοκ για τη φυσική κοινότητα. Η απόδειξη της μη τοπικότητας ως ενδογενή ιδιότητα της φύσης ήταν ως τότε αδιανόητη. Βέβαια η μη τοπικότητα στη μορφή της ακαριαίας κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης ήταν ήδη προβλεπόμενη από τη σχολή της Κοπενχάγης (ορθόδοξη ερμηνεία), αλλά ακόμη τότε υπήρχε η ελπίδα ότι αυτή ήταν μία μη φυσιολογική συνέπεια του φορμαλισμού. Το πείραμα του A. Aspect δεν αφήνει τέτοια περιθώρια. Είναι πλέον ανάγκη να επανεξεταστεί η ερμηνεία της ακαριαίας δράσης από απόσταση.

Οι ανισότητες του Bell και το πείραμα του Aspect, απέφεραν μία νίκη ουσιαστικά για το στρατόπεδο των ‘’ορθόδοξων’’ αλλά δεν ξεκαθάρισαν το τοπίο όσον αφορά στην ίδια την QM. Δεν δείχθηκε η πληρότητα της θεωρίας αλλά η αδυναμία τοπικών θεωριών λανθανουσών παραμέτρων, που στηρίζονται στις αρχές της QM, να είναι συμβιβαστές με αυτή και να αποκαταστήσουν τη φυσική πραγματικότητα. Σε μη τοπικό επίπεδο οι ανισότητες του Bell δεν έχουν ισχύ. Ο μη ντετερμινιστικός χαρακτήρας της θεωρίας ακόμη ενοχλεί τη φιλοσοφία μας για τη φύση. Η ακαριαία κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης στη μορφή ακαριαίας δράσης από απόσταση εκπλήσσει. Κι όμως δουλεύει!

Υ.Γ: ‘’Νομίζω ότι μπορώ να πω με ασφάλεια ότι κανείς δεν καταλαβαίνει την Κβαντομηχανική’’

Richard Feynman

Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α :

1. Γ. Ι. Ανδριτσόπουλος: ‘Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική’

2. Σ. Τραχανάς: ‘Κβαντομηχανική ΙΙ’

3. John Earman: ‘Η φιλοσοφία των φυσικών επιστημών’

4. J. S. Bell: ‘Speakable and unspeakable in quantum mechanics’

5. David J. Griffiths: ‘Introduction to quantum mechanics’

6. J. T. Cushing: ‘Φιλοσοφικές έννοιες στη Φυσική’

7. J. T. Cushing & Ernan McMullin: ‘Philosophical consequences of quantum theory’

THE END