ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Κεφάλαιο 1 1. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας . Από τους αριθµούς 675 , 1220 , 4404 , 7450 να

γράψετε αυτούς που διαιρούνται µε το 2 , µε το 3 , µε το 4 , µε το 9. 2. Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων σε αριθµητικές παραστάσεις που έχουν παρενθέσεις ; Να υπολογίσετε τις αριθµητικές τιµές των παραστάσεων : Α = 5 · 2² + 7 ·3 ² - 52 : 4 , Β = ( ) 222 6868 ++− , Γ = 3² · (2 ³ - 5) – 64 : ( 11 – 3). 3. Να εκτελέσετε τις πράξεις της παράστασης Α=100-23 ⋅4-(7⋅9⋅20)+6⋅8. 4. α) Να συµπληρώσετε τις εξής ισότητες: α⋅ (β+γ)=... και α⋅β-α⋅γ=...

β) Να γράψετε τις παραστάσεις µε απλούστερη µορφή 9x-4x, 4x+6x+x, 9x+5x-2x. 5. Αν x=2, y=3, ω=8,3, να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων Α=x2+2xy+y2 , B=(x+y)2,

Γ=2(x+y), ∆=6xyω2. 6. α) Ποια διαδικασία λέγεται Ευκλείδια διαίρεση; β) Πότε µια διαίρεση λέγεται ατελής και πότε

τέλεια; 7. Να βρείτε τους διαιρέτες των αριθµών 12, 18 και 48. Ύστερα να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες

και τέλος να βρείτε το ΜΚ∆, των παραπάνω αριθµών. Κεφάλαιο 2 8. Ποιες είναι οι κυριότερες µονάδες µήκους; Να µετατρέψετε :

Α) Τα 5,6 km σε m . Β) Τα 35500 m σε km . Γ) Tα 213 mm σε cm . ∆) Τα 35 km σε dm . Ε) Tα 214 cm σε dm .

9. Να µετατρέψετε : ι) 8 m 3 dm 4 mm σε cm ιι) 3 m 2 cm 1 mm σε dm . 10. Ποιες είναι οι κυριότερες µονάδες εµβαδού ; Να µετατρέψετε :

Α) Τα 7, 6 km² σε m² . Β) Τα 55, 6 dm² σε m² . Γ) Τα 3, 58 m² σε mm² . Γ) Τα 3, 58 m² σε στρέµµατα.

11. Να υπολογίσετε το εµβαδό : ι) τετραγώνου µε περίµετρο 100 cm . ιι) ορθογωνίου µε πλάτος 5 dm και µήκος 10 cm.

12. Ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο έχουν ίσα εµβαδά. Η πλευρά του τετραγώνου είναι 4 cm. Η µια πλευρά του ορθογωνίου είναι 6 cm, να βρεθεί η άλλη πλευρά του ορθογωνίου.

Κεφάλαιο 3 13. α) Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίστροφοι; ∆ώστε ένα παράδειγµα. β) Οι αριθµοί 2

5 και 2,5

είναι αντίστροφοι; Γιατί; 14. α) Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίστροφοι; β) Αν αντιστρέψουµε το λ

κ τι θα βρούµε;

γ) Αν 37

x=1, να πείτε τι θα βρούµε και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

15. Να συγκρίνετε τα κλάσµατα : ι) 73 ,

75 ιι)

56 ,

76 ιιι)

32 ,

54

ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ -- AA ΄́ΓΓΥΥΜΜΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΥΥ

1

ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ -- AA ΄́ΓΓΥΥΜΜΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΥΥ

16. Να λυθούν οι εξισώσεις : x-35

=0, x+58

=1.

17. Να κάνετε τις πράξεις :

α) 56

32+ β)

51

34− γ)

61

23

41

32

−

+ δ)

3524

73:

41:

52

−

.

18. Να βρεθούν τα εξαγόµενα των πράξεων : 37234:

23:

467

51

43:2:2

104

512

−+

−

−+ .

Κεφάλαιο 4 19. Τρείς εργάτες δούλεψαν σε µια οικοδοµή και πληρώθηκαν ανάλογα µε τις µέρες που δούλεψε ο

καθένας. Ο πρώτος δούλεψε 15 ηµέρες, ο δεύτερος 12 ηµέρες και ο τρίτος 18 ηµέρες. Πήραν συνολικά 95.040 δρχ. Πόσες δραχµές πήρε ο καθένας;

20. Ένας οινοπαραγωγός έχει 100 lt κρασί. Θέλει να το συσκευάσει σε φιάλες που η καθεµία

χωράει 7

10 lt. Να υπολογίσετε : i) Πόσες φιάλες χρειάζεται, ii) Πόσο κρασί θα του µείνει;

21. Καφεκοπτείο αγοράζει το νωπό καφέ προς 900 δρχ. το κιλό και το πουλάει ψηµένο προς 1305 δρχ. το κιλό. Να βρείτε πόσο τοις % επί της τιµής του κόστους κερδίζει ο καφεπώλης αν ο καφές κατά το καβούρδισµα χάνει το 20 % του βάρους του.

22. Ένα αυτοκίνητο πουλήθηκε µε έκπτωση 10 %. Ποια η αρχική τιµή του αυτοκινήτου, αν το ποσό που πληρώθηκε είναι 2.700.000 δρχ.

23. Τρεις τεχνίτες πήραν από µια εργασία 108.000 δρχ. Ο α ως επικεφαλής του συνεργείου πήρε 12 % του ποσού για τη χρήση των µηχανηµάτων και τα υπόλοιπα τα µοιράστηκαν. Ο α εργάστηκε 15 ηµέρες, ο β 12 ηµέρες και ο γ 18 ηµέρες. Πόσες δρχ. πήρε ο καθένας;

Κεφάλαιο 5 24. Τι ιδιότητα έχουν τα σηµεία της µεσοκαθέτου ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ; 25. Να βρείτε το µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος µε κανόνα και διαβήτη. 26. α) Τι λέγεται κύκλος και τι κυκλικός δίσκος; β) Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και

κύκλου (σχήµατα). 27. Να κατασκευάσετε τις εφαπτόµενες ενός κύκλου µε διάµετρο ΑΒ = 6 cm στα σηµεία Α και Β

.Να δικαιολογήσετε ότι αυτές είναι παράλληλες . 28. Να σχεδιάσετε τα ύψη ενός αµβλυγώνιου τριγώνου. 29. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο και να φέρετε τις µεσοκάθέτους των πλευρών του. 30. Σε κύκλο (ο, ρ) φέρνουµε µια ακτίνα ΟΑ και την κάθετη ε στο σηµείο Α της ακτίνας ΟΑ που

είναι εφαπτοµένη του κύκλου. Να δικαιολογήσετε ότι κάθε άλλο σηµείο της ε βρίσκεται έξω από τον κύκλο.

31. Να γράψετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=4 cm. Να χρωµατίσετε τα σηµεία του επι-πέδου που απέχουν από το Α λιγότερο από 2 cm και από το Β λιγότερο από 36 mm.

32. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 4 cm .Να κατασκευάσετε την µεσοκάθετο µιας χορδής ΑΒ αυτού και να ονοµάσετε Μ και Ν τα σηµεία στα οποία τέµνει τον κύκλο. Να συγκρίνετε τις χορδές ΜΑ και ΜΒ και να δικαιολογήσετε το αποτέλεσµα. .

Κεφάλαιο 6

2

ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ -- AA ΄́ΓΓΥΥΜΜΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΥΥ

33. Ισοσκελούς τριγώνου η µια από τις παρά τη βάση γωνίες του είναι 45°. Να βρεθεί το είδος του

τριγώνου. 34. Να κατασκευάσετε την διχοτόµο µιας γωνίας µε κανόνα και διαβήτη. 35. ∆υο γωνίες είναι παραπληρωµατικές . Αν η µια είναι τετραπλάσια από την άλλη πόσες µοίρες

είναι η κάθε γωνία; 36. α)Τι είναι διάµεσος, ύψος και διχοτόµος ενός τριγώνου ΑΒΓ; β) Αποδείξτε ότι το άθροισµα

γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°. 37. ∆ίνονται δύο γωνίες που είναι παραπληρωµατικές και η µία είναι διπλάσια από την άλλη. Να

βρείτε πόσο είναι η καθεµιά.. 38. Ενός τριγώνου η γωνία A είναι διπλάσια από τη γωνία Β και η γωνία Γ τριπλάσια της γωνίας

Β. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. 39. Στο διπλανό σχήµα να βρείτε ένα ζεύγος :

i) εντός εναλλάξ γωνιών ii) εντός και εκτός και επί τα αυτά γωνιών iii) εντός και επί τα αυτά γωνιών iv) κατά κορυφήν γωνιών v) παραπληρωµατικών γωνιών.

40. Στο διπλανό σχήµα είναι ε1//ε2 και ε3//ε4. Να υπολογίσετε τις

γωνίες α, β, γ µε δ=ε=70°. 41. Μια γωνία είναι µικρότερη από την συµπληρωµατική της

κατά 15°.Να βρεθούν οι δυο γωνίες. 42. Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε1 , ε2 ,ε3 είναι παράλληλες.

Να υπολογισθεί η γωνία ΒΑΓ. Κεφάλαιο 7 43. Να γράψετε έναν κύκλο (Ο, ρ) και να πάρετε δυο ίσες χορδές ΑΒ και Γ∆. Να δικαιολογήσετε :

ι) ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟ∆ είναι ίσα. ιι) οι γωνίες ∆ΟΓ=ΒΟΑ ˆˆ . 44. Η περίµετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι 36 m. Να βρεθεί το εµβαδόν του αν

είναι γνωστό ότι το µήκος του είναι διπλάσιο από το πλάτος του. 45. Ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου η µια κάθετη πλευρά είναι 7 cm . Να βρεθεί το εµβαδόν

του. 46. Σε ένα τραπέζιο η µεγάλη βάση είναι τριπλάσια της µικρής και το ύψος του 8 cm . Να βρείτε

το µήκος των δυο βάσεων αν το εµβαδό του τραπεζίου είναι 88 cm² . 47. Έχουµε δύο κάθετες ευθείες ε1, ε2. Ένα σηµείο Κ απέχει από την ε1, 2 cm και από την ε2, 3 cm.

Να κατασκευασθεί κύκλος (Κ, 3cm). Τι σχέση υπάρχει µεταξύ του κύκλου µε την ε1 και µε την ε2. (∆ικαιολόγηση).

48. Ένα τραπέζιο έχει ύψος 3 cm, βάση µικρή 4 cm και βάση µεγάλη 32της µικρής.Να βρείτε:

α) Πόσο είναι η µεγάλη βάση β) Πόσο είναι το εµβαδόν του. 49. α) Τι λέγεται παραλληλόγραµµο.β) Ποιες είναι ιδιότητες ενός παραλληλογράµµου; (σχήµα)

Α

Β

Γ 55°

115°

ε1

ε2

ε3

ε1

ε

ε2

β α γ δ

ζ ε η θ

ε4 ε5 ε3

α

β ε2 ε

δ ε1

γ

3

ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ -- AA ΄́ΓΓΥΥΜΜΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΥΥ

(ε) : µεσοκάθετος

Α

.Ο

Β

Α

Β

Γ

20°

40° ε1

ε2

ε

∆

Μ

Ζ

50. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδό 12 cm2. Τα µήκη των πλευρών του είναι AB=AΓ=5 cm και ΒΓ =6 cm. Να υπολογιστούν τα ύψη του.

51. Ένα τραπέζιο έχει εµβαδόν 8,4 cm2 και η µεγάλη βάση του είναι διπλάσια της µικρής. Να υπολογιστούν οι βάσεις, αν το ύψος του τραπεζίου είναι 3,2 cm.

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Στο διπλανό σχήµα η Οψ είναι διχοτόµος της

γωνίας χ’Οω και η Οz η διχοτόµος της χΟω. Να δικαιολογήσετε ότι οι γωνίες ψΟω και ωΟz έχουν άθροισµα 90°.

Απάντηση : Επειδή Οψ διχοτόµος της χ’Οω είναι : χ’Οψ = ψΟω = α .Επίσης επειδή Οz διχοτόµος της ωΟχ, είναι ωΟz = zΟχ = β .Είναι α + α + β +β = 180° ή 2 α + 2 β =

180° ή 2 ( α + β ) = 2

180° ή α + β = 90 °. Αρα οι γωνίες ψΟω και ωΟz έχουν άθροισµα 90°.

2. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και να πάρετε µια χορδή του. Να

δικαιολογήσετε γιατί το κέντρο του κύκλου ανήκει στην µεσοκαθετο της χορδής. Απάντηση : Γράφουµε έναν κύκλο µε κέντρο Ο και πάνω στον κύκλο σηµειώνουµε δυο σηµεία Α, Β. Φέρνουµε στην συνέχεια την χορδή ΑΒ. Αφού όλα τα σηµεία του κύκλου ισαπέχουν από το κέντρο του θα ισχύει ΟΑ=ΟΒ. Το κέντρο λοιπόν Ο του κύκλου ισαπέχει από τα άκρα Α,Β της χορδής ΑΒ, άρα θα ανήκει στην µεσοκαθετο της χορδής ΑΒ.

3. Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ //Γ∆.Να υπολογίσετε τη γωνία ω.

Απάντηση : Είναι ∧∧∆=Α ,ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ ,

Γ∆ που τέµνονται από την Α∆. Αρα °=∆∧

60 . Στο τρίγωνο ΟΓ∆

°=∆+Γ+∆ΟΓ∧∧∧

180 ή °=°+°+∆ΟΓ∧

1806055 ή °=°+∆ΟΓ∧

180115

ή °−°=∆ΟΓ∧

115180 ή °=∆ΟΓ∧

65 .Επειδή οι γωνίες ω ,

∆ΟΓ∧

είναι παραπληρωµατικές , αφού ορίζουν ευθεία γωνία ,θα

ισχύει : °=ω+∆ΟΓ∧∧

180 ή °=ω+°∧

18065 ή °=°−°=ω∧

11565180

4. Στο διπλανό σχήµα είναι ε1//ε2. Να υπολογίσετε την γωνία ΑΜΒ. Απάντηση : Φέρνουµε από το Μ ευθεία ε//ε1 και η γωνία ΑΜΒ χωρίζεται σε δυο γωνίες την ΑΜΓ και την ΓΜΒ. Παρατηρούµε ότι ∆ΑΜ=ΑΜΓ ως εντός εναλλάξ των παράλληλων ευθειών ε και ε2 που τέµνονται από την ΑΜ οπότε ΑΜΓ=20ο. Επίσης ΓΜΒ=ΖΒΜ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ευθειών ε και ε1 που τέµνονται από την ΜΒ και ΓΜΒ=40ο ως ΑΜΒ=ΑΜΓ+ΓΜΒ. Οπότε ΑΜΒ=20ο+40ο=60ο.

χ

ω ψ

α β

z

χ ’

β α

Ο

Α Β

Γ

60°

ω

∆ 55°

Ο

4