1ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

1. Για κάθε z1, z2 C ισχύει z1 − z 2 ≤ z1 − z2 .

2. Για κάθε z1, z2 C ισχύει z1 − z 2 ≥ z1 − z2 .

3. Για κάθε z1, z2 C ισχύει z1 z 2 z1 z2 .

≤ 24. Για κάθε z C ισχύει z − z z .

5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: zz z2 6. Ισχύει: a bi 2 ( a bi)2

7. Αν z w z w ή z w z − w τότε οι εικόνες των z ,w είναι συνευθειακά σηµεία µε τηναρχή των αξόνων.

8. z − w u − w z − u τότε οι εικόνες των z ,w, u ορίζουν πάντα ισόπλευρο τρίγωνο.Αν

9. Αν για τους µιγαδικούς z, w ισχύει: z2 + w2 = 0 τότε z = w = 0.

10. Αν ο z είναι πραγµατικός τότε : z −z

11. Ισχύει: z iz − z − iz z iz − z −iz iν z iν z ,ν N , για κάθε µιγαδικό z.

12. Αν α, β πραγµατικοί τότε: α + β·i = 0 α = 0 ή β = 0.

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ - ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΣΥΝΘΕΣΗ 1. Αν η f είναι γνησίως µονότονη στο R τότε αυτή δεν είναι άρτια. 2. Αν η συνάρτηση f έχει µοναδική ρίζα στο R τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. 3. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο R τότε η γραφική της παράσταση τέµνει τον x΄x σε ένα

τουλάχιστον σηµείο. 4. Η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ µία ρίζα στο R αν και µόνο αν είναι γνησίως µονότονη στο R. 5. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς µία

ρίζα στο .6. Αν f , g γνησίως φθίνουσες και ορίζεται η fog τότε και η fog είναι γνησίως φθίνουσα. 7. Αν ορίζεται η fog και η gof τότε ισχύει πάντα: fog = gof

8. Αν f, g συναρτήσεις ώστε Df =Dg τότε f=g.

9. Αν υπάρχει x0 Df ώστε f(x0) ≠ g(x0) τότε f ≠ g.

10. Αν υπάρχει σύνολο A µε A ( D f ∩ Dg ) ώστε f(x) = g(x) για κάθε x A, τότε οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο

σύνολο Α.

11. Αν το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f είναι το σύνολο R, τότε το πεδίο ορισµού της fog είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g.

212. Αν το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α, τότε η συνάρτηση gof ορίζεται αν και µόνο αν f

( A) ∩ Dg ≠ .

13. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g. Αν ορίζεται η συνάρτηση fog και η συνάρτηση g είναι σταθερή συνάρτηση τότε και η συνάρτηση fog είναι σταθερή συνάρτηση.

14. Αν λ f ( x2 ) − f ( x1 )

για δύο τυχαία x1, x2 σε ένα διάστηµα µε x ≠ x τότε ισχύει η ισοδυναµία:

x2 − x11 2

f γνησίως αύξουσα στο λ > 0.

15. Αν για κάθε x R ισχύει f (x) ≤ α για κάποιον πραγµατικό αριθµό α τότε το α είναι η µέγιστη τιµή

της συνάρτησης f στο R.16. Αν f, g/R µε f περιττή και g άρτια και ορίζεται η fog, τότε η fog είναι άρτια.

1 - 1

1. Μια συνάρτηση f: Α→R λέγεται 1-1, όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 A µε f (x1 ) f (x2 ) , ισχύει και

x1 x2 .2. Aν η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες τότε είναι 1-1.

3. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1 , αλλά δεν είναι γνησίως αύξουσες.

4. Η συνάρτηση f είναι 1-1, αν και µόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει την γραφική της παράσταση το πολύ σε ένα σηµείο.

5. Μια συνάρτηση f: Α→R λέγεται 1-1, όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 A ισχύει η συνεπαγωγή:

αν x1 x2 , τότε f (x1 ) f (x2 ) .

6. Αν η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R είναι άρτια τότε είναι και 1-1.

7. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα τότε είναι και 1-1 στο διάστηµα .

8. Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο διάστηµα τότε είναι πάντα και γνησίως µονότονη στο διάστηµα .9. Μια συνάρτηση f: Α→R λέγεται 1-1, όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 A ισχύει η συνεπαγωγή:

αν x1 ≠ x2 , τότε f (x1 ) ≠ f (x2 ) .

10. Μια συνάρτηση f: Α→R είναι 1-1, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς µια λύση ως προς x που ανήκει στο Α.

11. Αν f(x) ≠ 0 τότε: f −1 ( x) 1 .f ( x)

12. Οι C f , C f-1 είναι συµµετρικές ως προς την y = x.

13. H y = x δεν είναι ο µοναδικός άξονας συµµετρίας των f, f -1 .

14. Η f και η f - 1 έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας. 15. Αν οι C f , C f

-1 έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο τότε αυτό βρίσκεται στην y = x. 16. Αν ένα σηµείο ανήκει στην C f και στην y = x , όπου f αντιστρέψιµη, τότε ανήκει και στην C f

-1.

3ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ - ΟΡΙΑ

1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και υπάρχει x0 ( α , β) ώστε f(x0) = 0 τότε ισχύει πάντοτε f(α)·f(β) <

0.

2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f(x) ≠ 0 για κάθε x (α, β), τότε πάντα ισχύει f(α)·f(β) > 0.

3. Αν f(α)·f(β) < 0 και f(x) ≠ 0 για κάθε x (α, β) τότε η f δεν είναι συνεχής στο [α, β]. 4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει f(α)·f(β) < 0, τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει µία

τουλάχιστον ρίζα στο [α, β].

5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] µε f(α) < 0 και υπάρχει x0 ( α , β) ώστε f(x0) = 0, τότε

αναγκαστικά f(β) > 0.

6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και lim f (x ) lim f (x) < 0 , τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει µιαx →−∞ x

τουλάχιστον πραγµατική λύση.

7. Αν lim f ( x) 1 τότε lim f ( x) 1 ή lim f ( x) −1x →x0

0 τότε

x → x0 x →x0

8. Αν lim f ( x) lim f ( x) 0x →x0 x →x0

9. Αν lim[ f (x ) g (x )] κ κ aι lim g (x ) λ κ , λ R τ ότε lim f (x) κ − λ .x →x0 x →x0 x →x0

10. Αν lim f ( x ) = l τότε αναγκαστικά το x0 ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησηςf. →x0

11. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα σύνολο της µορφής (α, x0) (x0, β) τότε ισχύει η παρακάτω ισοδυναµία: lim f (x ) = l lim f (x ) = lim f (x ) = l .

x →xx → x − x

→x

0 0 0

12. Ισχύει: lim f ( x ) = l lim f ( x0 − h ) = l .x → x0

h→0

13. Αν lim( f ( x ) + g ( x )) = l τότε και lim f ( x ) + lim g ( x ) = l .x →x0 x → x0 x →x0

14. Αν lim f ( x) = 0 , τότε lim1

= +∞ .

x →x0

x →x0 f (x)

15. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x > 0, τότε : lim f (x) = +∞ . x

16. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε x < 0, τότε : lim f (x) = −∞ . x→−∞

17. Αν x0 Df , τότε. lim f ( x ) = f ( x0 ) .x →x0

18. Αν οι f, g δεν είναι συνεχείς στο α του κοινού πεδίου ορισµού τους, τότε και η f + g δεν είναι συνεχής στο α.

4ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f(x) ≠ 0 για κάθε x (α, β), τότε η f διατηρεί πρόσηµο

στο (α, β).2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f(x) ≠ 0 για κάθε x (α, β), τότε f(x) < 0 x (α, β).

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και µη µηδενιζόµενη στο [α, β] και υπάρχει x0 ( α , β) , έτσι ώστε f(x0) > 0, τότε f(x) > 0 για κάθε x (α, β).

4. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της.

5. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δεν µηδενίζεται σε αυτό, τότε αυτή ή είναι

θετική για κάθε x Δ , ή είναι αρνητική για κάθε x Δ , δηλαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα .

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜ Ν

1. Η εικόνα f([α, β]), ενός κλειστού διαστήµατος [α ,β] µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f µπορεί να είναι ένα ανοικτό διάστηµα.

2. Η εικόνα f((α, β)), ενός ανοικτού διαστήµατος (α, β), µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f είναι πάντοτε ένα ανοικτό διάστηµα.

3. Η εικόνα f( ) ενός διαστήµατος µέσω µια συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης είναι διάστηµα.

4. Η εικόνα f( ) ενός διαστήµατος µέσω µια συνεχούς συνάρτησης είναι πάντα ένα διάστηµα.

5. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α, β] και συνεχής στο [α, β), τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] µία ελάχιστη τιµή.

6. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] µία µέγιστη τιµή.

7. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής στο [α, β], τότε η f παίρνει στο [α, β] µία ελάχιστη τιµή m και µια µέγιστη τιµή Μ.

8. Αν η συνάρτηση f: [α, β]→R είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, τότε το f(β) είναι η ελάχιστη τιµή της.

9. Αν η συνάρτηση f: [α, β]→R έχει σύνολο τιµών το διάστηµα (γ, δ), τότε δεν είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β]. 10. Αν η συνάρτηση f: R→R είναι συνεχής και µη σταθερή, τότε το σύνολο τιµών της µπορεί να είναι το

R*. 11. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β), τότε το

σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β), όπου A lim f (x) και B lim f (x) .x→α x →β−

12. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β), τότε το

σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β), όπου A lim f (x) και B lim f (x) .x→α x →β−

513. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β), τότε το

σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Β, Α), όπου A lim f (x) και B lim f (x) .x→α− x →β

14. Κάθε συνεχής συνάρτηση στο R έχει ελάχιστη και µέγιστη τιµή. 15. Κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση έχει πάντα µια ακριβώς ρίζα στο πεδίο ορισµού της.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓ ΓΟΥ1. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει το όριο

limf ( x ) − f ( xo )

x − x0

x→x0

2. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα εσωτερικό σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, όταν

υπάρχουν τα όρια limf ( x ) − f ( xo )

, limf ( x ) − f ( xo )

και είναι πραγµατικοί αριθµοίx →x0

− x − xx →x0

x − x0 0

3. Αν f , g : → R, διάστηµα και x0 ώστε οι συναρτήσεις f, g να µην είναι παραγωγίσιµες στο x0

τότε η f + g δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0.

4. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, τότε είναι συνεχής στο σηµείο αυτό.

5. Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό.

6. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, τότε η f΄ είναι πάντα συνεχής στο σηµείο αυτό.

7. Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό.

8. Αν µια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, τότε η f πάντοτε δεν είναι συνεχής στο σηµείο αυτό.

9. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της, τότε η f΄ είναι συνεχής στο σηµείο αυτό.

10. Αν η f: R→R είναι άρτια και παραγωγίσιµη τότε η f΄ είναι περιττή.

11. Αν η f: R→R είναι περιττή και παραγωγίσιµη τότε η f΄ είναι άρτια.

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ1. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 , τότε ορίζεται πάντα η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της

Μ(x0, f(x0)).

2. Αν f ′ (x0 ) = 0 , τότε η εφαπτόµενη της f στο x0 είναι παράλληλη στον x΄x.

3. Αν η f δέχεται στο x0 εφαπτόµενη τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο x0.

4. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f΄(x0)=0, τότε η εξίσωση της οριζόντιας εφαπτοµένης της Cf στο (x0, f(x0)) είναι η y=0:

65. H εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της A(x0, f(x0)), δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε την

Cf.

Θ . ROLLE 1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και δεν είναι αντιστρέψιµη, τότε υπάρχει κλειστό διάστηµα [α, β],

στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle. 2. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] και f ′( x) ≠ 0 για κάθε x [α, β], τότε η

συνάρτηση f είναι 1-1 στο [α, β].

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α ,β] µε f(α) = f(β) , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (α, β) έτσι ώστε f΄(x0) = 0 ή η f δεν παραγωγίζεται στο (α, β).

4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] µε f(α) = f(β) , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0

(α ,β) έτσι ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο A(x0, f(x0)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx΄.

5. Έστω η συνάρτηση f: [α ,β] → [α ,β] που ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β] , τότε και η συνάρτηση g(x) = (fof)(x) ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β].

6. Δεν µπορεί ταυτόχρονα στο ίδιο διάστηµα Α = [α, β] να ισχύουν το Θεώρηµα του Rolle και το θεώρηµα του Bolzano για µια συνάρτηση f.

7. Αν η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [α, β] είναι παραγωγίσιµη και f ′( x) ≠ 0 για κάθε x (α, β), τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ µια ρίζα στο [α, β].

8. Αν f παραγωγίσιµη στο (α, β) και συνεχής στο [α, β] µε f ′( x) ≠ 0 για κάθε x (α, β) τότε f(α) ≠ f(β).

9. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και δεν είναι 1 – 1 στο διάστηµα [α, β] τότε δεν υπάρχει εφαπτοµένη της Cf παράλληλη στον άξονα xx΄.

Θ . Μ . Τ . ΚΑΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ

1. Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής εφαρµόζεται για την f στο διάστηµα [α, β] µόνο όταν η f΄ είναι γνησίως µονότονη στο [α, β].

2.Αν η f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] τότε f ′( β ) f (α ) − f (β )

f ′(α) .α − β

3. Αν για κάποιο ξ (α, β) είναι f΄(ξ) > 0 τότε f (α ) − f (β ) 0 . α − β

4. Το Θ.Μ.Τ. είναι µια ειδική περίπτωση του Θεωρήµατος Rolle. 5. Αν f παραγωγίσιµη στο (α, β) και συνεχής στο [α, β] µε f(α) ≠ f(β) τότε f ′(ξ ) ≠ 0 για κάθε ξ (α, β).

6. Αν για µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [α, β] δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος

της µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού, τότε δεν υπάρχει σηµείο ξ (α, β) τέτοιο ώστε

f ′(ξ ) f (α ) − f (β ) .

α − β

77. Η f είναι συνεχής στο R. Αν δεν υπάρχει εφαπτοµένη παράλληλη στην ΑΒ όπου A(α, f(α)) και Β(β,

f(β)) τότε η f δεν είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο ξ R. 8. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο R και f(α) > f(β) για κάποια α, β R µε α < β, τότε υπάρχει εφαπτοµένη της Cf

που σχηµατίζει αµβλεία γωνία µε τον άξονα x'x. 9. Αν µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [α, β] είναι παραγωγίσιµη στο [α, β], τότε υπάρχει

εφαπτοµένη της Cf παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία A(α, f(α)) και Β(β, f(β)). 10. Αν f, g παραγωγίσιµες στο (α, β) µε f΄(x) = g΄(x) για κάθε x (α, β) τότε ισχύει f(x) = g(x), για κάθε x (α, β). 11. Αν f(x) = g(x) για κάθε x (α, β) και f παραγωγίσιµη στο (α, β) τότε η g είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) και ισχύει

f΄(x) = g΄(x), για κάθε x (α, β).

12. Αν f, g ορισµένες και συνεχείς σε ένα διάστηµα και f΄(x) = g΄(x), για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ,

τότε ισχύει f(x) = g(x) + c, για κάθε x Δ , όπου c R µια σταθερά.

13. Αν f, g ορισµένες και συνεχείς σε ένα διάστηµα και f΄(x) = g΄(x), για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ,

τότε οι συναρτήσεις f, g είναι πάντοτε σταθερές συναρτήσεις στο .

14. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής σε ένα διάστηµα και f ′ (x) 0 για κάθε εσωτερικό

σηµείο x του , τότε η f είναι σταθερή σε όλο το .

15. Αν η f είναι ορισµένη στο R και f΄(x) = 0 για κάθε x ( −∞ , 0) (0, ) , τότε η f είναι σταθερή στοR.

16. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f΄(x) = 0 για κάθε x R, τότε η f είναι σταθερή στο R. 17. Αν οι f, g είναι παραγωγίσιµες στο R µε f΄(x) - g΄(x) =0 για κάθε x R και οι Cf ,Cg τέµνονται σε ένα

τουλάχιστον σηµείο, τότε οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. 18. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο διάστηµα [α, β] µε f(α) = g(α) και f(β) = g(β), τότε υπάρχει x0

(α, β) ώστε στα σηµεία A(x0, f(x0)) και B(x0, g(x0)) οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του

και η f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε ισχύει f΄(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x του .

2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και ισχύει f΄(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x

του τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο .3. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του x0 στο οποίο

όµως είναι συνεχής και f΄(x) > 0 στο (α, x0) και f΄(x) < 0 στο (x0, β) τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f. 4. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του x0 στο οποίο

όµως είναι συνεχής και f΄(x) > 0 στο (α, x0) και f΄(x) < 0 στο (x0, β) τότε το f(x0) είναι τοπικό µέγιστο της f. 5. Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του x0, στο οποίο

όµως η f είναι συνεχής. Αν η f΄(x) διατηρεί πρόσηµο στο (α, x0) (x0, β), τότε το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως µονότονη στο (α, β).

86. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο (α, x0) (x0, β), συνεχής στο σηµείο x0 και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0,

τότε η f΄ αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του x0. 7. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα και στο εσωτερικό σηµείο x0 του είναι

παραγωγίσιµη µε f ′ (x0 ) = 0 , τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x0.

8. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα [α, β] και σηµείο x0 [α, β] στο οποίο η f

παρουσιάζει τοπικό µέγιστο τότε πάντα ισχύει f ′ (x0 ) = 0 .

9. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β]και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο άκρο α , τότε δε συνεπάγεται πάντα ότι f΄(α) = 0.

10. Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 (α, β), τότε ισχύει πάντα ότι f΄(x0) = 0.

11. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και f ′( x) ≠ 0 για κάθε x (α, β), τότε η f έχει ολικά ακρότατα τα f(α) και f(β).

12. Μια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα , µπορεί να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και σε εσωτερικό σηµείο x0 του , στο οποίο η f δεν είναι παραγωγίσιµη.

13. Ένα τοπικό ελάχιστο µιας συνάρτησης f είναι πάντα µικρότερο από ένα τοπικό µέγιστο. 14. Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο, τότε αυτό θα είναι το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα. 15. Το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα µιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης. 16. Το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα µιας συνάρτησης είναι πάντοτε µέγιστο της συνάρτησης. 17. Τα εσωτερικά σηµεία του , στα οποία η f΄ είναι διαφορετική από το µηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών

ακροτάτων. 18. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) και το x0 είναι κρίσιµο σηµείο της f, τότε το x0 είναι πάντοτε

θέση τοπικού ακρότατου της f. 19. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πρώτη παράγωγο και ισχύει f ′( x) ≠ 0 , για κάθε x (α, β) τότε η f δεν

έχει ακρότατα στο (α, β).

20. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β]και ισχύει f ′( x) ≠ 0 για κάθε x (α, β) τότε

τα ακρότατα της f είναι τα f(α) και f(β).21. Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σηµείο x0 (α, β) και η f΄ αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του x0 τότε

αυτό είναι πάντοτε θέση τοπικού ακροτάτου.

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ – ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 1. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του x0 και η f είναι

κυρτή στο (α, x0) και κοίλη στο (x0, β) ή αντιστρόφως τότε το σηµείο Μ(x0, f(x0)) είναι υποχρεωτικά σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f.

2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του x 0 στο οποίο όµως είναι συνεχής και έχει εφαπτοµένη και η f είναι κυρτή στο (α, x0) και κοίλη στο (x0, β) ή αντιστρόφως τότε το σηµείο Μ(x0, f(x0)) είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f.

93. Αν µια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστηµα , τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f σε κάθε σηµείο του βρίσκεται κάτω από την γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο

επαφής τους.4. Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστηµα , τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f

σε κάθε σηµείο του βρίσκεται κάτω από την γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής

τους.

5. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του

µε f΄΄(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x του τότε η f είναι κοίλη στο .6. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη

θα ισχύει f΄΄(x) > 0 για κάθε πραγµατικό αριθµό x.

7. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του

µε f΄΄(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x του τότε η f είναι κυρτή στο .8. Αν η γραφική παράσταση της f είναι κυρτή στο (α, x0] και κοίλη στο [x0, β) τότε παρουσιάζει σηµείο καµπής

στο x0. 9. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R τότε δεν µπορεί να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και σηµείο

καµπής στο ίδιο x0. 10. Αν η f είναι πολυωνυµική και παρουσιάζει δύο σηµεία καµπής τότε είναι τουλάχιστον 4ου βαθµού. 11. Στο σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f η εφαπτοµένη είναι

παράλληλη στον άξονα x΄x. 12. Αν η f είναι ορισµένη και κυρτή στο R τότε κάθε ευθεία (ε) τέµνει τη γραφική της παράσταση σε δύο το πολύ

σηµεία.

13. Αν η f είναι ορισµένη και στρέφει τα κοίλα άνω στο R µε lim f ( x ) lim f ( x) τότε η fx →−∞ x

µπορεί να παρουσιάζει ελάχιστη τιµή.14. Αν η f είναι κοίλη και γνησίως φθίνουσα στο R τότε lim f ( x) −∞ .

x15. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και στρέφει τα κοίλα κάτω στο R τότε f΄΄(x)<0 για κάθε x R . 16. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R τότε οι γραφικές παραστάσεις των f, f΄ δεν µπορούν να έχουν

σηµείο καµπής µε την ίδια τετµηµένη.

ΑΣΥΜΠΤ ΤΕΣ

1. Κάθε πλάγια ή οριζόντια ασύµπτωτη της f δεν έχει σηµεία τοµής µε την f. 2. Η ύπαρξη οριζόντιας ασύµπτωτης αποκλείει την ύπαρξη πλάγιας. 3. Η ύπαρξη κατακόρυφης ασύµπτωτης αποκλείει την ύπαρξη οριζόντιας. 4. Κάθε συνάρτηση µπορεί να έχει το πολύ µία πλάγια ασύµπτωτη. 5. Κάθε συνάρτηση µπορεί να έχει το πολύ µία κατακόρυφη ασύµπτωτη. 6. Κάθε συνάρτηση µπορεί να έχει το πολύ µία οριζόντια ασύµπτωτη. 7. Υπάρχει συνάρτηση που έχει και τα τρία είδη ασύµπτωτων. 8. Μια πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού τουλάχιστον δύο δεν έχει ασύµπτωτες.

109. Κάθε ρητή συνάρτηση µε βαθµό αριθµητή κατά δύο µεγαλύτερο από τον βαθµό παρονοµαστή δεν έχει

πλάγια ασύµπτωτη. 10. Κάθε ρητή συνάρτηση µε βαθµό αριθµητή ίσο µε τον βαθµό του παρονοµαστή έχει ασύµπτωτη.

11. Κάθε ρητή µε βαθµό αριθµητή κατά ένα µεγαλύτερο από τον βαθµό παρονοµαστή έχει πλάγια ασύµπτωτη και στο +∞ και στο -∞.

12. Κάθε ρητή συνάρτηση µε παρονοµαστή δευτέρου βαθµού που έχει θετική διακρίνουσα έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη.

13. Υπάρχει ρητή συνάρτηση που έχει µόνο µία κατακόρυφη και µόνο µία πλάγια ασύµπτωτη.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Μιγαδικοί Λ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Λ Λ Λ Σ Λ

Μονοτονία Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Σσύνθεση

1-1 Σ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Σ Σ Σ

ΡίζαΛ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ

όριαΠρόσηµο Σ Λ Σ Σ Σ

συνάρτησηςΣύνολο

Λ Λ Σ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Λτιµών

ΟρισµόςΛ Λ Λ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Σ Σπαραγώγου

Εφαπτοµένη Λ Σ Λ Λ Λ

Θ. Rolle Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ

Θ.Μ.Τ. Λ Σ Λ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λ

Μονοτονία Λ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λακρότατα

ΚυρτότηταΛ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Σ Λ Σσ. καµπής

Ασύµπτωτη Λ Λ Λ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Σ

11ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ

1. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: z 2 z2

2. Ισχύει: a bi 2 ( a bi)2

3. Κάθε συνάρτηση που είναι 1-1 τότε είναι και γνησίως µονότονη.

4. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο xo τότε και η gof είναι συνεχής στο xo.

5. Κάθε συνάρτηση f που δεν µηδενίζεται στο , διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο .

6. Για κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α, β] και έχει ρίζα στο (α, β) ισχύει f(α)·f(β)<0

7. Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α, β] και f(α)·f(β) > 0 , δεν έχει ρίζα στο (α, β).

8. Κάθε συνάρτηση συνεχής στο x0 είναι και παραγωγίσιµη στο x0.

9. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] µε f(α) ≠ f(β) παίρνει τιµές µόνο µεταξύ των f(α), f(β).

10. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο R έχει µέγιστη και ελάχιστη τιµή.

11. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα [0, + ∞ ) , τότε lim f ( x) ∞x

12. Κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση έχει πάντοτε ακριβώς µία ρίζα στο πεδίο ορισµού της.

13. Αν κάθε συνάρτηση που έχει όριο στο α έναν πραγµατικό αριθµό, τότε το α ανήκει στο πεδίο ορισµού της.

14. Αν οι f, g δεν είναι συνεχείς στο α τότε και η f + g δεν είναι συνεχής στο α.

15. Αν η f είναι συνεχής στο α και η g δεν είναι συνεχής στο α τότε η f + g είναι συνεχής στο α.

16. Αν οι f, g είναι ορισµένες σε ένα σύνολο και f΄(x) = g΄(x) στο τότε f(x) = g(x) στο .

17. Κάθε συνάρτηση που είναι παραγωγίσιµη στο µε f΄(x) ≠ 0 για κάθε x στο , είναι γνησίως µονότονη

στο .

18. Για κάθε συνάρτηση που παρουσιάζει ακρότατο στο x0, ισχύει f΄(x0)=0. 19. Για κάθε συνάρτηση που παρουσιάζει σηµείο καµπής στο x0, ισχύει f΄΄(x0) = 0. 20. Αν f΄(x0) = 0 τότε το x0 είναι ακρότατο της f. 21. Αν f΄΄(x0) = 0 τότε το x0 είναι σηµείο καµπής της f.

22. Για κάθε συνάρτηση f που είναι γν. αύξουσα στο είναι και f΄(x) ≥ 0 στο .

23. Για κάθε συνάρτηση f που είναι γν. φθίνουσα στο είναι και f΄(x) ≤ 0 στο .

24. Για κάθε συνάρτηση f που είναι κυρτή στο είναι και f΄΄(x) ≥ 0 στο .

25. Για κάθε συνάρτηση f που είναι κοίλη στο είναι και f΄΄(x) ≤ 0 στο .

1226. Για κάθε συνάρτηση f που είναι κυρτή στο (α, x0) και κοίλη στο (x0, β) ή και αντίστροφα, το xο

είναι σηµείο καµπής της f.

27. Μία συνάρτηση συνεχής στο R µπορεί να έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη.

b

Αν∫ f ( x )dx ≥ 0 τότε f ( x) ≥ 0 στο [α, b].a

28.b b

∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx

τότεf ( x ) ≥ g (x) στο [α, b].Αν

a a

β29. Αν f ( x) ≥ 0 τ ότε ∫ f ( x ) dx ≥ 0

α

b30. Αν η f συνεχής στο [α, β], το ∫ f ( x )dx

a

τις ευθείες x = α και x = β.

εκφράζει το εµβαδόν που περικλείεται από την f ,τον x΄x και από