ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΕΕ-ΕΠΑΛ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

Α. ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΤΕΕ

1. Να παραγωγίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις:α. f : R R με f(x) = 3x3 + 4x2 5x.β. f : R R με f(x) = (x2 – 1) (x + 1).

γ. f : R {1} R με f(x) = . (2001)

2. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(x) = 3x2 – 6x + 1.α. Να την εξετάσετε ως προς την μονοτονία. β. Να βρείτε σε ποιο σημείο η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και να το υπολογίσετε. (2001)

3. Δίνονται οι συναρτήσεις:f : IR IR με f(x) = 2x3+5, g : IR IR με g(x) = x2 + 1α. Να βρείτε την f΄(x) και την g΄(x) β. Να βρείτε την [f(x) . g(x)]΄

γ. Να βρείτε την (2002)

4. Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR με f(x) = -4(x2 + 1) + 16x-9 α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. β. Να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης. (2002)

5. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους :f1(x) = 2x3 + 5x2 + 7x+13, f2(x) = (x – 1 ) (x2 – 3x), f3(x) = x συνx, f4(x) = 2 ημx + ex

Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους τους.B. Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης με τύπο: , χ≠0 (2003)

6. Δίνεται η συνάρτηση f : R→R με f(x) = 2x2 – 4 x +1821A) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία.B) Να εξετάσετε για ποιες τιμές του x, η f έχει ακρότατα.Γ) Για κάθε θέση ακρότατου x0 , να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης. (2003)

7. α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων:

1) f1(x)=xlnx, x>0 2)

β) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων:1) g1(x)=ημx-συνx 2) g2(x)=5x3-7x2+x+2004 (2004)

8. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=x3-12xα) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία.β) Να εξετάσετε για ποιες τιμές του x η συνάρτηση έχει ακρότατα. γ) Για κάθε θέση ακρότατου, να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης. (2004)

9. Δίνεται η συνάρτηση f :R → R με τύπο f(x) = + αx + 5, όπου α πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. β) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει στο xo=–1 τοπικό ακρότατο, να αποδείξετε ότι: α=2. γ) Για α = 2, να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. (2005)

10. Ένα μικρό ναυπηγείο έχει τη δυνατότητα να κατασκευάζει κατ’ έτος μέχρι και είκοσι (20) σκάφη ενός συγκεκριμένου τύπου. Το κόστος κατασκευής (σε χιλιάδες €) x σκαφών εκφράζεται με τη συνάρτηση Κ(x) = 4x2 + 30 και τα έσοδα από τις πωλήσεις τους (σε χιλιάδες €) με τη συνάρτηση Ε(x) = 3x2 + 20x. α) Να βρεθεί το κόστος κατασκευής πέντε (5) σκαφών. β) Να βρεθεί ο τύπος P(x) της συνάρτησης του κέρδους του ναυπηγείου. γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους.

δ) Πόσα σκάφη πρέπει να κατασκευάζει το ναυπηγείο κατ’ έτος για να έχει το μέγιστο κέρδος; (2005)

1

11. Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με τύπο

α) Να υπολογίσετε το: β) Να υπολογίσετε το: γ) Να υπολογίσετε την τιμή του λ για την οποία η f είναι συνεχής στο x0 = 1. δ) Να εξετάσετε αν για λ = 2, η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 1. (2006)

12. Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με (x) = 2x–6. α) Αν f(0) = 5, να υπολογίσετε τον τύπο της αρχικής (παράγουσας) συνάρτησης f. β) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f που βρήκατε στο ερώτημα α: (i) ως προς τη μονοτονία (ii) ως προς τα ακρότατα γ) Να υπολογίσετε τα: (2) και (-3). (2006)

13. Ένα σώμα αφήνετε να πέσει από την κορυφή ενός κτιρίου ύψους 45m, τη χρονική στιγμή t = 0 sec. Αν θεωρήσουμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα, το διάστημα που διανύει το σώμα μετά από t sec πτώσης δίνεται από τη συνάρτηση: S(t) = 5t2 (μέτρα m). α) Να υπολογίσετε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα σε χρόνο t = 2 sec. β) Να αποδείξετε ότι ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να φτάσει στο έδαφος, είναι t = 3 sec.

γ) Να υπολογίσετε: (i) τον τύπο της ταχύτητας υ(t) του σώματος κάθε χρονική στιγμή t. (ii) την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή της πρόσκρουσης στο έδαφος.

(2006)

14. Δίνεται η συνάρτηση f :Α → R με τύπο .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.β) Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f .γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (1, +∞).δ) Να δείξετε ότι f(0)f(9)-f ’ (2)=0. (2007)

15. Σε μια άδεια δεξαμενή σχήματος κύβου ακμής 2 m προσθέτουμε πετρέλαιο. Αν το ύψος h (σε m) της

στάθμης του πετρελαίου ως συνάρτηση του χρόνου t (σε min), είναι ,

α. Να βρείτε το ύψος της στάθμης σε χρόνο t=3 min.β. Να δείξετε ότι ο όγκος του πετρελαίου της δεξαμενής μετά από χρόνο t min δίνεται από τον τύπο

.

γ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου του πετρελαίου τη χρονική στιγμή t=5 min.δ. Να βρείτε σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή. (2007)

16. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) = x·e x

α. Να βρείτε: i) την πρώτη παράγωγο της f i i) τη δεύτερη παράγωγο της f . β. Να δείξετε ότι ισχύει f΄΄(x)−f΄(x) = e x , για κάθε x∈IR. γ. Να υπολογίσετε το . (2008)

17. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) =4x3−6x2+α+2008, όπου α πραγματικός αριθμός. α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f . β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. γ. Να δείξετε ότι η f έχει ένα τοπικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε συναρτήσει

του α . δ. Να υπολογίσετε το α αν το τοπικό ελάχιστο είναι ίσο με 2009. (2008)

18. ∆ίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)= x3−3x+2 α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f

2

β. Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f

γ. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α για την

οποία ισχύει (α−1) f΄(0) + 4f΄΄(1) = 27 . (2009)

19. ∆ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = lnx−x−1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης fβ. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f γ. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία. δ. Να αποδείξετε ότι: ln2008−2009>ln2009−2010. (2009)

Β. ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΤΕΕ

20. Δίνεται η συνάρτηση f: RR, με f(x) = 2x3 3x2+12x+α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. γ. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα.δ. Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. (2001)

21. Δίνεται η συνάρτηση f: IR IR, με .

α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να βρείτε τις τιμές f΄(0) και f΄ (1).

γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. (2002)

22. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= lnx+x-1 με x>0α) Να βρείτε το f(1) .

β) Να βρείτε την f΄(x) και την f΄΄(x) . γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x>0 . (2003)

23. Το ύψος (σε m) που βρίσκεται ένα τηλεκατευθυνόμενο μοντέλο αεροπλάνου, μετά από χρόνο πτήσης t (sec) δίνεται από τη συνάρτηση: f(t)=-3t2 + 30t , όπου 0t 10

α) Σε ποιο ύψος βρίσκεται το αεροπλάνο τη χρονική στιγμή t=0;β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους του αεροπλάνου μετά από χρόνο t. γ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το αεροπλάνο ανεβαίνει, καθώς και το χρονικό διάστημα κατά το οποίο κατεβαίνει.

δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το αεροπλάνο βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, καθώς και το ύψος αυτό. (2003)

24. Δίνεται η συνάρτηση f:RR με f(x) = 2x3 – 9x2 + αx + β με α,β Rα) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f.β) Αν f΄(1) = 0 και f(2) = 5, να βρείτε τα α και β. γ) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (β), να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. (2004)

25. Το άθροισμα του μήκους και του πλάτους ενός οικοπέδου, σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου, είναι 200 μέτρα. Αν το μήκος του είναι x μέτρα:

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του οικοπέδου ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο Ε(x) = -x2 + 200xβ) Για ποια τιμή του x το εμβαδόν του οικοπέδου γίνεται μέγιστο;γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του οικοπέδου. (2004)

26. Δίνεται η συνάρτηση f :IR → IR, της οποίας η πρώτη παράγωγος έχει τύπο: f΄(x)=x2–2x. α) Να δείξετε ότι f΄(0) = 0 και f΄(2) =0. β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.γ) Να βρείτε την f΄΄(x).

3

δ) Για ποιες τιμές του x η f παρουσιάζει ακρότατα και ποιο είναι το είδος των ακρότατων; ε) Αν f(0) = 2005, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. (2005)

27. Μια ομάδα βιολόγων προτείνει να ληφθούν μέτρα για τη διάσωση ενός είδους δελφινιών. Μετά την εφαρμογή των μέτρων εκτιμάται ότι ο αριθμός των δελφινιών εκφράζεται από τη συνάρτηση N(t) = 2t3 – t2 + 5t + 1000, 0 ≤ t ≤ 10, όπου t ο χρόνος σε έτη. α) Πόσα δελφίνια υπάρχουν κατά την έναρξη εφαρμογής των μέτρων (t = 0); β) Να βρείτε το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των δελφινιών. γ) Να βρείτε το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των δελφινιών το δεύτερο έτος. δ) Πόσα δελφίνια θα υπάρχουν σε δέκα (10) έτη; (2005)

28. Μια βιοτεχνία, μεταξύ άλλων, κατασκευάζει κεραμικά πλακίδια σε σχήμα τριγώνου. Σε κάθε πλακίδιο το άθροισμα της βάσης x και του ύψους που αντιστοιχεί στη βάση αυτή είναι σταθερό και ισούται με 50cm. α) Να δείξετε ότι το εμβαδό Ε της επιφάνειας κάθε τριγωνικού πλακιδίου δίνεται συναρτήσει του x από

τον τύπο , .

β) Για ποια τιμή του x το εμβαδό Ε(x) γίνεται μέγιστο. γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του Ε(x). (2006)

29. Δίνεται η συνάρτηση με f(x)= x2+kx+λ, k,λ є IR. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0=1 και το σημείο Α(1,0) ανήκει στη γραφική της παράσταση, α. να δείξετε ότι k=-2 και λ=1.

β. να υπολογίσετε τη δεύτερη παράγωγο f΄΄ της f.γ. να δείξετε ότι για κάθε xєIR ισχύει: f(x)+f΄(x) + f΄΄(x)>0.

30. ∆ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=10 lnx-5x2, x>0. α. Να βρείτε την παράγωγο f΄ της f. β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.γ. Για ποια τιμή του x η f παρουσιάζει ακρότατο. Να προσδιορίσετε το είδος του ακροτάτου και να το υπολογίσετε. δ. Να δείξετε ότι f(x)≤-5, για κάθε x>0. (2007)

31. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=eλx, όπου λ πραγματικός αριθμός. α. Να βρεθούν οι f΄(x) και f΄΄(x). β. Να προσδιορισθούν οι τιμές του λ, ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό x να ισχύει:

f΄΄(x) − f΄(x) − 2f(x) = 0 γ. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία όταν

i) λ = 2, i i) λ = −1. (2008)

32. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο , όπου x∈IR. α. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος f΄ της f . β. Να εξεταστεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ. Να δειχθεί ότι f (x) ≥2008 για κάθε πραγματικό αριθμό x, όπου x ∈[1,+∞).

33. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο με xєIR.α. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος f΄ της f .β. Να εξεταστεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

γ. Να αποδείξετε ότι για χ=3 η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο ίσο με .

(2009)

34. Δίνεται η συνάρτηση όπου k,λ є IR.

Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M(0,−5) και η

4

συνάρτηση f για x=1 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, τότε:

α. Να βρείτε τις τιμές των k και λ

β. Για k=2 και λ=3,

i. να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ii. να βρείτε την τιμή και το είδος των ακροτάτων της f. (2009)

35. ∆ίνεται η συνάρτηση f: IR->IR με τύπο f(x) = –x2 + 6x + 8 Α) Να υπολογίσετε την f΄(x).B) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. Γ) Για ποια τιμή του x η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο; Να βρείτε το είδος του ακροτάτου. (ΕΠΑΛ

2009)

36. ∆ίνεται η συνάρτηση f: IR->IR με τύπο f(x) = x3 + 4x + 2αex , όπου

Α) Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. Β) Για α=1 α) Nα υπολογίσετε την f΄(x) β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. . (ΕΠΑΛ 2009)

Γ. ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΓΕΝΙΚΑ

37. Δίνεται η συνάρτηση α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.β) Να βρείτε την παράγωγο f΄ της συνάρτησης f .γ) Να υπολογίσετε την τιμή f΄(0). (2000)

38. Δίνεται η συνάρτηση f (x) =2x3 + 5x + 3 α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της f.β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

(2000)

39. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:α) f1(x) = x3 + ημx + 3 συνx β) f2(x) = (x - 1)2

γ) δ)

ε) f5(x) = συν(2x+3) (2001)

40. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 5x +6 ,   xR .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση  f  δεν έχει ακρότατα.

β) Να βρείτε το (2001)

41. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x).

β) Να βρείτε τα : ,

γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο (2,+∞). (2002)

5

42. Δίνεται η συνάρτηση , όπου x IR . Να βρείτε:

α)το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x΄x,β) το

γ) την παράγωγο της συνάρτησης f,δ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα καιε) τα ακρότατα της συνάρτησης f. (2003)

43. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , όπου x IR . Να βρείτε:

α)το και το β) την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f , και

γ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα. (ΙΟΥΛΙΟΣ 2003)

44. Ένα χελιδόνι πετάει και το ύψος του h (σε μέτρα), από το έδαφος, δίνεται σε συνάρτηση με το χρόνο t (sec) από τον τύπο: h(t) = 3t2 - 6t + 5, 0 t 5. Να βρείτε :α) το ύψος στο οποίο το χελιδόνι βρίσκεται τη χρoνική στιγμή t = 0, β)το ρυθμό μεταβολής του ύψους h, ως προς t, τη χρονική στιγμή t = 2 ,γ) σε ποια χρονική στιγμή t το ύψος του χελιδονιού από το έδαφος γίνεται ελάχιστο και ποιο είναι τότε το ύψος αυτό; (ΙΟΥΛΙΟΣ 2003)

45. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x2 – 5x + 6 και g(x) = x – 3, όπου x ε IR .α) Να βρείτε τα , .

β) Να βρείτε το .

γ) Αν f΄(x) και g΄(x) είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων f(x) και g(x) αντίστοιχα, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = 3 f΄(200) + 819 g΄(-1) . (2004)

46. Δίνεται η συνάρτηση , όπου x ε IR . Να βρείτε:

α) β) το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f ως προς x, όταν x = 1 ,γ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα,δ) τα ακρότατα της συνάρτησης f . (2004)

47. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2 – 4 (x-2), x єIR .α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f΄(x), της f(x).β. Να αποδείξετε ότι: x f΄΄(x) – f΄(x) = 4 .γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. (ΙΟΥΛΙΟΣ 2004)

48. Δίνεται η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) =

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). β) Να υπολογίσετε το .

γ) Να υπολογίσετε το .δ) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f΄(x), της f(x). (2005)

49. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =

6

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f΄(x) και να αποδείξετε ότι η εξίσωση f΄(x) = 0 έχει ρίζες τους

αριθμούς 3 και –1. γ) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f στο διάστημα (1,+∞). (ΙΟΥΛΙΟΣ 2005)

50. Έστω α∈ΙR.. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x2– αx–8 με πεδ ίο ορ ισμού το σύνολο των πραγματικών αρ ιθμών ΙR. . Ι . Να βρεθε ί το α ∈ ΙR. αν γνωρίζουμε ότ ι η γραφ ική παράσταση της συνάρτησης δ ιέρχεται από το σημείο Α (1 , –2) . Ι Ι . Αν α = –4 , α) να βρεθε ί η παράγωγος f ΄ (x ) . β) να βρεθεί το x0 ∈ΙR. στο οποίο η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει ακρότατο. Να βρεθεί αν το ακρότατο είναι μέγιστο ή ελάχιστο. (2006)

51. Δίνεται η συνάρτηση f με , όπου x ε IR. Να βρείτε:

α) Το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f ως προς x, όταν x=2. β) Τα ακρότατα της συνάρτησης f. (2007)

52. Δίνεται η συνάρτηση f με .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και την παράγωγό της.β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f.

γ. Να υπολογίσετε το όριο . (ΙΟΥΛΙΟΣ 2007)

53. Δίνεται η συνάρτηση , με πεδίο ορισμού το IR και kєIR. Α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(3,8), να βρείτε τον k. Β) Για k=–1

α) Να αποδείξετε ότι: για κάθε xєIR. β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. (2008)

54. ∆ίνεται η συνάρτηση , xєIR.

α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f΄(x).β. Να προσδιορίσετε το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να βρείτε τα ακρότατα της f. (2009)

Γ. ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕΝΙΚΑ

55. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x - 7, όπου x πραγματικός αριθμός.α. Να βρείτε την f΄(x).β. Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης f στα οποία η παράγωγος είναι 0.γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. (ΙΟΥΛΙΟΣ 2000)

56. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = .α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.β. Να υπολογίσετε το όριο .γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. (2002)

57. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =

Α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο:

7

α. R β. (-1,1) γ. R- {-1,1} δ. (1, + ∞)Β. Να αποδείξετε ότι f΄(x)<0 για κάθε x του πεδίου ορισμού της.Γ. Να υπολογίσετε το (2003)

58. Δίνεται η συνάρτηση .α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β. Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f, όταν x=3, ισούται με .

γ. Αν h(x) = για x 2, να υπολογίσετε το (ΙΟΥΛΙΟΣ 2003)

59. Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο .

α. Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης.

β. Να αποδείξετε ότι . (ΙΟΥΛΙΟΣ 2004)

60. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=xex+3, όπου x πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι f΄(x)=f(x)+ex–3

β. Να βρεθεί το . (2007)

61. Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η μ ε τ ύ π ο .

α . Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ( x ) .β. Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο ό ρ ι ο .γ . Ν α ε ξ ε τ α σ θ ε ί η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο τ ο ν ί α κ α ι

ν α β ρ ε θ ο ύ ν τ α α κ ρ ό τ α τ ά τ η ς . (ΙΟΥΛΙΟΣ 2007)

62. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο , όπου x πραγματικός αριθμός.

α. Να υπολογίσετε το όριο .

β. Να αποδείξετε ότι exf΄(x)=2−x. γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x). (2008)

63. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 200 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της (Σχήμα 1). Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι x.

Σχήμα 1α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από τον

τύπο f(x) = 100x – x 2 .

β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των 200 m. γ. Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών f΄(100), f΄(101), f΄(102), f΄(103) και f΄(104).

(ΙΟΥΛΙΟΣ 2008)

64. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3−6x2+αx-7, όπου α πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει: 2f΄΄(x)+f΄(x)+15=3x 2 , xєIR

α. Να δείξετε ότι α=9 8

β. Να υπολογίσετε το όριο . (2009)

65. ∆ίνεται η συνάρτηση , xє(0,1), όπου ν ακέραιος αριθμός με ν >2

α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα.β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι f(x) ≥ 3ν2 για κάθε xє(0,1).

(ΙΟΥΛΙΟΣ 2009)

Δ. ΟΕΦΕ

66. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3+3x2-9x+α2-4α, αєΙR.α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο.β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του α για τις οποίες το τοπικό μέγιστο της f είναι 3-πλάσιο από το τοπικό ελάχιστο.γ) Να βρείτε, αν υπάρχει, την τιμή του χ για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος.

(2001)

67. Δίνεται η συνάρτηση , με 2<χ<2004. Να βρείτε:

Α. Τη παράγωγο της συνάρτησης f.Β. Το διάστημα στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής της f είναι αρνητικός.Γ. Τα ακρότατα της f. (2002)

68. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=ημ(2x2+5). (2003)

69. Μια καθημερινή τηλεοπτική εκπομπή προβλήθηκε για πρώτη φορά όταν t=0. Η θεαματικότητά της ως

συνάρτηση του χρόνου t δίνεται από τον τύπο: , όπου tє[0, 15] είναι ο

χρόνος (σε μήνες) και θ(t) η θεαματικότητα επί τοις εκατό.α) Βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η θεαματικότητα της εκπομπής ήταν μέγιστη.β) Ποια είναι η μέγιστη θεαματικότητα;γ) Πότε η θεαματικότητα αυξάνεται και πότε μειώνεται; (2003)

70. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=ex+2x.α) Να δειχθεί ότι: (2-x)f΄΄(x)+xf΄(x)-f(x)-ex=0.β) Να βρεθούν τα: f(0), f΄(0), f΄΄(0). (2004)

71. Ένα σώμα βάλλεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα κάθε χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση: όπου είναι ο χρόνος σε sec και h το διάστημα που διανύει το σώμα σε m.a) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στο οποίο το σώμα ανεβαίνει, καθώς και το χρονικό διάστημα στο οποίο το σώμα κατεβαίνει.β) Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος.γ) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος;δ) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος ως συνάρτηση του χρόνου; (2004)

72. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=2ax3-x2+βx, χє[0,3), α,βєIR.α) Να βρεθούν οι τιμές των α,β αν γνωρίζετε ότι και f΄(1)=1.β) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.γ) Να βρεθούν τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει ακρότατα.δ) Να βρεθούν οι τιμές των ακροτάτων της συνάρτησης. (2005)

9

73. Η κατανάλωση ενός κινητήρα σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα, όταν αυτός λειτουργεί με χ χιλιάδες

στροφές ανά λεπτό, δίνεται από τη συνάρτηση: , 1 ≤ χ ≤ 5. Να

βρείτε:α) Πότε η κατανάλωση αυξάνεται και πότε μειώνεται.β) Την τιμή του χ για την οποία έχουμε τη μικρότερη κατανάλωση, καθώς επίσης και πόσο είναι η κατανάλωση αυτή.γ) Το ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης του αυτοκινήτου για χ1=2 και χ2=4. (2005)

74. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x2-2lnx, x>0α) Να βρείτε την f΄(x).β) Να βρείτε τις τιμές f(1), f΄(1), f(0) αν ορίζονται.γ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x>1.δ) Να βρεθούν τα ακρότατα αν υπάρχουν. (2006)

75. Ένα εργοστάσιο αεροναυπηγίας έχει τη δυνατότητα να κατασκευάζει κατ’ έτος μέχρι και είκοσι (20) αεροσκάφη ενός συγκεκριμένου τύπου. Τα έσοδα από την πώληση ενός αεροσκάφους (σε χιλιάδες €) εκφράζονται με τη συνάρτηση E(x)=3x+20, ενώ το κέρδος από την πώληση χ αεροσκαφών με τη συνάρτηση K(x)= -x2+20x-30.a) Να βρεθεί ο τύπος P(x) της συνάρτησης κόστους κατασκευής χ αεροσκαφών.β) Να βρεθεί το κόστος κατασκευής πέντε (5) αεροσκαφών.γ) Να βρεθεί το κόστος κατασκευής του έκτου (6ου) αεροσκάφους.δ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους.ε) Πόσα αεροσκάφη πρέπει να κατασκευάζει το εργοστάσιο ανά έτος για να έχει το μέγιστο κέρδος;

(2006)

76. Δίνεται η συνάρτηση f µε όπου αєIR.

α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς f(0), f(2) και f(3).β) Να υπολογίσετε τα όρια , .γ) Να βρείτε το α ώστε η f είναι συνεχής στο χ0=2.δ) Αν α=1 να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο χ0=2. (2007)

77. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+9x+α, αєIR.

α) Να βρείτε το όριο: .

β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο.γ) Να προσδιορίσετε τις τιμές του α για τις οποίες το τοπικό μέγιστο της f είναι διπλάσιο από το τοπικό ελάχιστο. (2007)

78. Η θέση ενός υλικού σημείου (σε m) κάθε χρονική στιγμή t (σε s), δίνεται από τη συνάρτηση S(t)=t2+18ln(t+1)+4, με t≥0.α) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης S(t). Ποιο φυσικό μέγεθος εκφράζει ο ρυθμός αυτός;β) Να βρείτε την αρχική ταχύτητα του σημείου τη χρονική στιγμή t=0s.γ) Να βρείτε την επιτάχυνση του σημείου τη χρονική στιγμή t=5s.δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ταχύτητα του κινητού γίνεται ελάχιστη. Ποια είναι η ελάχιστη ταχύτητα; (2007)

79. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2+1, χєIR.α) Να βρείτε την παράγωγο και τα ακρότατα της συνάρτησης f.

β) Να υπολογίσετε το όριο: .

γ) Δίνεται η συνάρτηση g(x)=f΄(x)ex, χєIR. Να αποδείξετε ότι: g΄΄(x)+g(x)=2g΄(x) για κάθε χєIR. (2008)

80. Μία βιομηχανία παράγει εξαρτήματα πλοίων. Το αναμενόμενο κέρδος Ρ(χ) (σε χιλιάδες ευρώ) από την πώληση χ εξαρτημάτων μηνιαίως δίνεται από τη συνάρτηση: P(x)= -x3+15x2+600x-300, 0<x<30.α) Να υπολογίσετε το αναμενόμενο κέρδος από την πώληση 10 εξαρτημάτων μηνιαίως.

10

β) Να βρείτε τον αριθμό των εξαρτημάτων που πρέπει να πουληθούν μηνιαίως για να έχει η βιομηχανία αυτή το μέγιστο κέρδος καθώς και τη μέγιστη τιμή του κέρδους.γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους για χ=10.δ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής του κέρδους. (2008)

81. Δίνεται η συνάρτηση f με .

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να εξετασθεί αν είναι συνεχής σε αυτό. β. Να βρεθεί το .γ. Να βρεθούν οι f΄(x) και f΄΄(x). (2009)

82. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=αχ4-2χ2+β και χ [-2,2].α. Να βρεθούν οι αριθμοί α,β IR, αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,5) και η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο x0= -1. β. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (2009)

11