Μαθηματικά κατεύθυνσης γ΄ λυκείου μιγαδικοί αριθμοί

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

1) Δίνονται οι μιγαδικοί , για τους οποίους ισχύει: . Να αποδείξατε ότι:

a.

b.

2) ευθεία y=2x.3) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, ανa. , λ ℝ

b. , λ ℝ

4) Έστω , λ ℝa. Να δείξετε ότι καθώς τι λ διατρέχει το ℝ, η εικόνα του z, κινείται στην ευθεία 2x+y=7.b. Να βρείτε την γραμμή στην οποία κινείται η εικόνα του

5) Έστω z C και , z ≠-6. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

z, αν w I

6) Να γράψετε τον μιγαδικό , στην μορφή α+βi, με α, β ℝ

7) Έστω και w=1+z.

a. Να δείξετε ότι: 1+z+z2=0 και z3=1 w2ν+1 =-zν+2 για κάθε ν N *.

b. Να εκφράσετε το w2ν συναρτήσει των ν και zc. Να υπολογίσετε τους αριθμούς w24 και w31.

8) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός , z C είναι πραγματικός.

9) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός είναι πραγματικός.

10) Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύει . Να αποδειχθεί ότι:

a. Ο w είναι πραγματικός αριθμός, αν και μόνο αν ο z είναι φανταστικός.

b. Ο w είναι φανταστικός, αν και μόνο αν,

1

Μαθηματικά κατεύθυνσης γ΄ λυκείου μιγαδικοί αριθμοί

11) Αν και , να δείξετε ότι

12) Έστω z, w C με και . Να δειχθεί ότι .

13) Αν για το μιγαδικό z ισχύει: , να δείξετε ότι: a. b. z R.14) Να λυθούν στο C οι εξισώσεις:a.b.15) Να λυθούν στο C οι εξισώσεις:a.b.16) Να λυθεί η εξίσωση: , z C17) Αν , να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

18) Αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύουν οι σχέσεις: και , να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 19) Αν για το μιγαδικό z ισχύει ότι , να βρεθούν:a. Ο γ.τ. των εικόνων Μ του zb. Η ελάχιστη τιμή του μέτρου του z, καθώς επίσης ο μιγαδικός z που έχει το μικρότερο μέτρο.20) Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει a. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του zb. Να βρείτε τον z για τον οποίο η παράσταση γίνεται ελάχιστη, καθώς και την ελάχιστη αυτή τιμή.

2