ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ ΜΕ ΑΠΟΒΕΗ

Σο απλό εκκρεμές αποτελείται από μια μάζα m στην άκρη αβαρούς νήματος

μήκους L, του οποίου το άλλο άκρο είναι εξαρτημένο σε ακλόνητο σημείο.

Εκτρέποντας κατά γωνία θ και στη συνέχεια αφήνοντας το εκκρεμές, αυτό εκτελεί

παλινδρομική κίνηση (ταλάντωση).

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης δίνει:

..a . (1),

ή

2

.sinmg L mL a (2),

ή

2

2

2. . .sin . .

dm g L m L

dt

(3),

ή

2

2.sin 0

d g

dt L

(4)

(όπου έχουμε υποθέσει ότι δεν υπάρχουν τριβές ή αντιστάσεις στην κίνηση του

σώματος.)

Για μικρές γωνίες εκτροπής (π.χ. μικρότερες από 50 ) ισχύει ότι:

sin (5)

(Με την προυπόθεση ότι η γωνία θ μετριέται σε rad), οπότε η εξίσωση της κίνησης

γίνεται:

2

2. 0

d g

dt L

ή

2

2. 0

dL g

dt

(6)

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση έχει τη γενική λύση:

.cos( . ) .sin( . )g g

A t B tL L

(7)

Οι σταθερές Α και Β προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έτσι, αν για

παράδειγμα τη χρονική στιγμή t=0 η αρχική γωνία είναι θ0 και η ταχύτητα είναι

μηδέν, τότε η λύση απλουστεύεται στην:

0.cos( . )

gt

L (8)

την περίπτωση αυτή το εκκρεμές εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η

περίοδός του δίνεται από τη σχέση:

2L

g (9)

Ακολούθως θα θεωρήσουμε την πιο «ρεαλιστική» περίπτωση της κίνησης του

εκκρεμούς στον αέρα, όπου πλέον υπάρχει απόσβεση και το πλάτος της ταλάντωσης

φθίνει με το χρόνο. Πιο συγκεκριμένα θα θεωρήσουμε ότι το εκκρεμές (με μήκος

L=1m) ταλαντώνεται σε μικρές γωνίες και ότι μετά από 5 λεπτά (min) το πλάτος του

είναι το 50% του αρχικού. Θα ονομάσουμε ω την κυκλική συχνότητα του εκκρεμούς

με την απόσβεση και ω0 την κυκλική συχνότητα του απλού (χωρίς απόσβεση)

εκκρεμούς.

Τποθέτοντας ότι ο όρος απόσβεσης είναι της μορφής d

bdt

, εισάγοντάς τον στη

διαφορική (6), έχουμε:

2

20

d dL b g

dt dt

(10)

Η εξίσωση (10) είναι μια γραμμική ομογενής διαφορική, δεύτερης τάξης. το

παράρτημα στο τέλος υπάρχει μαι πολύ συνοπτική συζήτηση για τη λύση της

συγκεκριμένης εξίσωσης. Προς το παρόν θα δείξουμε ότι η διαφορική εξίσωση (10)

δέχεται λύση της μορφής:

. sin( )tAe t (11),

όπου Α το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης (0A )

Αν θεωρήσουμε ότι τη χρονική στιγμή t=0, έχουμε 0 A , τότε

2

, και η

λύση γράφεται:

. .costAe t (12)

Έχουμε λοιπόν:

os sint tdAe c t Ae t

dt

(13)

και

2

2 2

2cos sin sin cost t t td

Ae t A e t A e t Ae tdt

(14)

Εισάγοντας τις (13) και (14) στην διαφορική (10), έχουμε:

2 2( cos sin sin cos )

( cos sin ) cos 0

t t t t

t t t

L Ae t A e t A e t Ae t

b Ae t Ae t gAe t

(15),

ή

2 2( cos sin sin cos ) ( os sin ) cos 0L t t t t b c t t g t (16).

Από τη (16) παίρνουμε ότι:

2 2 0L L b g (17)

και

2 0L b (18)

Από τη σχέση (18) παίρνουμε:

2

b

L (19)

Αντικαθιστώντας στη συνέχεια την (19) στην (17), έχουμε:

2( )2

g b

L L (20)

Παρατηρούμε λοιπόν ότι πλέον ότι η κυκλική συχνότητα ω διαφέρει από την

αντίστοιχη ω0 (του εκκρεμούς χωρίς απόσβεση, 0

g

L ).

ύμφωνα τώρα με τα δεδομένα από την εκφώνηση, θα έχουμε:

(300 )0,50 sA Ae

ή

(300 ) 1

2

se

ή

(300 ) ln 22 (300 ) ln 2

300

se ss

3 12,3.10 s (21)

Για τη συχνότητα f του εκκρεμούς (με απόσβεση) θα έχουμε:

12 2

2 21 1 1

( ) [1 ] [1 ]2 2 2 4 2 8

g b g b g bf

L L L gL L gL (22)

Επομένως:

2

0

0 8

f f b

f gL

(23)

Η (23), μέσω της 2b L , γίνεται τελικά:

2

0

0 2

f f L

f g

(24)

Και μετά από πράξεις:

70

0

2,7.10f f

f

(25)

Δηλαδή η συχνότητα f της αποσβενύμενης ταλάντωσης (με τα δεδομένα του

προβλήματος), διαφέρει λιγότερο από ένα μέρος στο εκατομμύριο από τη

συχνότητα της ελέύθερης ταλάντωσης 0f (και το ίδιο ισχύει και για την κυκλική

συχνότητα ω σε σχέση με την ω0.

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΜΟΓΕΝΗ ΔΙΑΥΟΡΙΚΗ ΕΞΙΩΗ, ΔΕΤΣΕΡΗ

ΣΑΞΗ

Η γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση, δεύτερης τάξης, έχει τη μορφή:

2

20

d y dya by

dx dx , (1)

Όπου τα α και b είναι πραγματικές σταθερές.

Ας είναι 1 και

2 οι ρίζες της εξίσωσης (χαρακτηριστικής):

2 0x ax b (2)

Τπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

1 2, πραγματικές και διάφορες (διακρίνουσα του τριωνύμου (2),

θετική). Η γενική λύση της (1) γράφεται:

1 2

1 2

x xy C e C e

1 2, πραγματικές και ίσες (διακρίνουσα του τριωνύμου (2), ίη με το

μηδέν). Η γενική λύση της (1) γράφεται:

1 1

1 2

x xy C e C xe

1 p qi ,

2 p qi , δηλαδή οι ρίζες 1 2, είναι μιγαδικές συζυγείς

(διακρίνουσα του τριωνύμου (2), μικρότερη από το το μηδέν). Η

γενική λύση της (1) γράφεται:

1 2( cos sin )pxy e C qx C qx ,

όπου: 2

ap και

2

4

aq b

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΑΘΗΝΑ, 2011