Συνεργαζόμενα πλάτη πλακοδοκών

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495 www.arnos.gr – e-mail : [email protected]

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

∆οκοί: Συνεργαζόµενα πλάτη πλακοδοκών - Κανονιστικές διατάξεις -Σχεδιασµός

έναντι τέµνουσας δοκών χωρίς απαιτήσεις αντισεισµικότητας

5.1 Σχεδιασµός πλακοδοκών

5.1.1. Στατική λειτουργία

Ανάλογα µε τη µορφή της διατοµής ενός καµπτόµενου δοµικού στοιχείου,

διακρίνουµε ορθογωνικές διατοµές ή διατοµές µορφής Τ ή Γ.

Τέτοιες διατοµές προκύπτουν από τη µονολιθική (άκαµπτη) σύνδεση της δοκού µε

την πλάκα και ονοµάζονται πλακοδοκοί. Εξαιτίας της µονολιθικής σύνδεσης των δυο

µελών, επικρατεί µεταξύ της πλάκας και της δοκού απόλυτη στατική λειτουργία και

συνεργασία.

Η πλακοδοκός πλεονεκτεί έναντι της ορθογωνικής διατοµής, διότι η δοκός θλίβεται

στην περιοχή όπου υπάρχει και η πλάκα, ενεργοποιείται µεγαλύτερη επιφάνεια

σκυροδέµατος και εποµένως αναλαµβάνεται µεγαλύτερη ροπή. Στις συνήθεις

περιπτώσεις πλακοδοκών (που θλίβεται η περιοχή της πλάκας) η οριακή περιοχή

αστοχίας χαρακτηρίζεται από αστοχία του χάλυβα, ενώ οι τάσεις στη θλιβόµενη ζώνη

είναι σχετικά µικρές.

Σε σπάνιες περιπτώσεις θα απαιτηθεί η χρήση θλιβόµενου οπλισµού σε πλακοδοκούς.

Όταν η πλακοδοκός θλίβεται στην περιοχή του κορµού της- τότε συµπεριφέρεται

όπως η αντίστοιχή δοκός ορθογωνικής διατοµής µε πλάτος όσο το πάχος του κορµού

και ύψος όσο αυτό της πλακοδοκού.



2

Α. Εκτίµηση του συνεργαζόµενου πλάτους χωρίς ορθές δυνάµεις

Ο προσδιορισµός των θλιπτικών τάσεων και εποµένως και της θλιπτικής δύναµης,

λόγω της ανοµοιόµορφης κατανοµής τους, είναι χρονοβόρα και επίπονη µαθηµατική

διαδικασία. Οι κανονισµοί επιτρέπουν την απλούστευση των υπολογισµών

εισάγοντας το συνεργαζόµενο πλάτος beff.

Το beff.ορίζεται έτσι ώστε να µετατραπεί η ανοµοιόµορφη κατανοµή των τάσεων

πλάτους b σε µια οµοιόµορφη (υπολογιστική) κατανοµή, µε µικρότερο πλάτος beff,

έτσι ώστε να προκύπτει περίπου η ίδια συνολική θλιπτική δύναµη Fc µε αυτή της

πραγµατικής κατανοµής, διατηρώντας την ίδια µέγιστη τάση maxσc.

Συµβολισµοί: το επόµενο σχήµα δείχνει τους συµβολισµούς και τις διαστάσεις για τα

συνεργαζόµενα πλάτη.



3

Το συνεργαζόµενο πλάτος, όπως φαίνεται π.χ. για τη µεσαία δοκό εξαρτάται από

πολλούς παράγοντες όπως:

• το µήκος ανοίγµατος leff και από τον τρόπο στήριξης της δοκού, δηλαδή αν η

δοκός είναι αµφιέρειστη, συνεχής φορέας κλπ.

• Από το λόγο πάχους της πλάκας ως προς το πλάτος του κορµού hf /bw. Θα πρέπει

να είναι: hf≥7cm.

• Από το λόγο πάχους πλάκας προς το ολικό ύψος πλακοδοκού hf/h.

• Από το είδος των φορτίων, οµοιόµορφη κατανοµή ή συγκεντρωµένο φορτίο κλπ.

• Από τη µορφή και θέση του φορέα, ακραίος ή συµµετρικός, µεσαίος ή

συµµετρικός.

Α.1 Προσεγγιστική µέθοδος

Το συνεργαζόµενο πλάτος beff µπορεί να εκτιµηθεί σύµφωνα µε τη σχέση:

beff =bw + β l0 ≤ b

όπου:

bw= πάχος κορµού

l0= απόσταση µεταξύ σηµείων µηδενισµου της ροπής της δοκού.

b= το συνολικό πλάτος της πλάκας EC2 DIN1045

Για ακραίο άνοιγµα l0=0,85 li l0=0,80 li

Για µεσαίο άνοιγµα l0=0,70 l2 l0=0,60 l2

Για πρόβολο l0=2,00 l3 l0=1,50 l3

Για εσωτερική στήριξη l0=0,15( l1+l2) =0,30 l

(για l1=l2=l)

l0=0,20( l1+l2) =0,40 l

(για l1=l2=l)

Σύµφωνα µε τον EC2: Για ακραία (µονόπλευρη) πλακοδοκό: beff =bw + l0/10 ≤ bw +b1=b

Για µεσαία ή συµµετρική πλακοδοκό: beff =bw + l0/5 ≤ bw +b1+ b2=b

Σύµφωνα µε τα πιο πάνω για συνεχείς πλακοδοκούς το πλάτος δίνεται από τις

σχέσεις: Για ακραίο άνοιγµα: beff =bw +0,85 l/5 ≤ b (µεσαίου φορέα)

Για µεσαία ή συµµετρική πλακοδοκό: beff =bw +0,70l0/5 ≤ b (µεσαίου φορέα)

Στηρίξεις: beff =bw +0,30l0/5 ≤ b (µεσαίου φορέα)



4

Α.2 Ακριβέστερη µέθοδος

Πίνακας τιµών

Α) για ακραία πλακοδοκό:

beff =bw +beff1+beff2, όπου: beff1=0 για µονόπλευρο πτερύγιο (Γ)

Τα µερίδια beff1/b1, beff2/b2, beff3/b3 δίνονται από τον πίνακα 8.1 συναρτήσει των

µεγεθών: hf /h, li /bw, b1/l, b2/l, b3/l.

Πίνακας 5.1.1 Τιµές µεριδίων b1/l, b2/l, b3/l

hf/h l/bw b1/l ή b2/l ή b3/l

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

≤10 0,18 0,20 0,22 0,26 0,31 0,38 0,48 0,62 0,82 1,0

20 0,18 0,20 0,22 0,26 0,31 0,38 0,48 0,62 0,82 1,0 0,10

50 0,19 0,22 0,25 0,28 0,33 0,39 0,48 0,62 0,82 1,0

≤10 0,19 0,21 0,24 0,28 0,32 0,39 0,49 0,63 0,82 1,0

20 0,20 0,22 0,25 0,28 0,33 0,40 0,50 0,64 0,83 1,0 0,15

50 0,23 026 0,28 0,32 0,37 0,44 0,53 0,67 0,84 1,0

≤10 0,21 0,23 0,26 0,30 0,35 0,42 0,52 0,66 0,84 1,0

20 0,23 0,26 0,30 0,34 0,38 0,45 0,55 0,68 0,85 1,0 0,20

50 0,30 0,33 0,36 0,41 0,47 0,54 0,63 0,75 0,88 1,0

≤10 0,28 0,31 0,35 0,39 0,44 0,50 0,58 0,70 0,86 1,0

20 0,32 0,36 0,40 0,44 0,50 0,56 0,63 0,74 0,87 1,0 0,30

50 0,42 0,46 0,50 0,55 0,62 0,69 0,78 0,85 0,91 1,0

beff/b1

ή

beff/b2

ή

beff/b3

Σε περιπτώσεις δράσης συγκεντρωµένων φορτίων ή στις στηρίξεις συνεχών φορέων,

θα πρέπει το συνεργαζόµενο πλάτος που προκύπτει από τον πίνακα να µειώνεται

τουλάχιστον κατά 20% ή 45% αντίστοιχα.

5.1.2. ∆ιαστασιολόγηση πλακοδοκών

Μέθοδος υπολογισµού- Γενικός πίνακας επίλυσης πλακοδοκών

Από τα δρώντα εντατικά µεγέθη σχεδιασµού Μd, Nd ως προς τον τυχόν άξονα

αναφοράς παράλληλο µε την πλάκα και σε απόσταση ys1 από τον εφελκυόµενο

οπλισµό As1 υπολογίζεται η ανηγµένη ροπή µsd.

µsds =cd

sds

fbdM

2 = cd

ssdsd

fbdyNM

21−



5

ανάλογα µε τον αν χρειάζεται ή όχι θλιβόµενος οπλισµός διακρίνονται οι παρακάτω

περιπτώσεις:

1) Σχεδιασµός χωρίς θλιβόµενο οπλισµό

Εάν µsd<µsds,lim δεν απαιτείται θλιβόµενος οπλισµός. Από τον πίνακα 7.5

[Γεωργόπουλος, «Ωπλισµένο σκυρόδεµα», τόµος 3], βρίσκω την τιµή του µηχανικού ποσοστού

οπλισµού ω, εάν γνωρίζω τις τιµές των hf/d, d/bw και µsd.

Ο εφελκυόµενος οπλισµός είναι: Αs1=(ω b d yd

cd

ff

+ yd

sd

fN )

2) Σχεδιασµός µε θλιβόµενο οπλισµό

Εάν µsd≥µsds,lim χρησιµοποιείται θλιβόµενος οπλισµός. Τότε ορίζεται και η τιµή

ωlim1.

Χρησιµοποιώντας τη σχέση: ∆µ=µsd-µsdlim, οι απαιτούµενες ποσότητες οπλισµού

δίνονται από τις σχέσεις:

Εφελκυόµενος οπλισµός: Αs1= [ωlim +)(1 2

dd

−

∆µ ] b d yd

d

yd

cd

fN

ff

+

Θλιβόµενος οπλισµός: Αs2=

dd 21−

∆µ b d yd

cd

ff



6

5.2 ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΣ ∆ΟΚΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΕΜΝΟΥΣΑΣ

F

x

y

Σχ. 5.2.1 ∆ιατµητική παραµόρφωση σε στοιχειώδες τµήµα φορέα.

Υπό την επίδραση της τέµνουσας F, π.χ. της σεισµικής δράσης, ο φορέας

µετακινείται κατά γωνία γ, η οποία ονοµάζεται γωνία ολίσθησης ή γωνιακή ή

διατµητική παραµόρφωση.

Ισχύει:εϕγ γ= ≅∆∆

xy

(επειδή η γ είναι µικρή σε µέγεθος).

Η διατµητική δύναµη F προκαλεί έτσι την ολίσθηση των διατοµών µεταξύ τους,

οπότε αναπτύσσονται οι διατµητικές τάσεις τ στο ίδιο επίπεδο της διατεµνόµενης

επιφάνειας Α.

Αν προσέξουµε στο Σχ. 5.2.1, ο φορέας καταπονείται ταυτόχρονα και σε κάµψη,

λόγω της απόστασης της τέµνουσας από κάθε διατοµή. Αυτή είναι η κλασική

περίπτωση ∆ΙΑΤΜΗΣΗΣ, που, εκτός από την τέµνουσα δύναµη (Q ή F),

αναπτύσσεται και ροπή κάµψης (Μ), όπως π.χ. σε δοκούς, στύλους, πέδιλα.



7

5.2.1 ∆ιάτµηση σε καµπτόµενους δοκούς

(α)

(β)

(γ)

(δ)

-

+

F

F/2 F/2

(Q)

-F/2

F/2

Σχήµα 5.2.2 ∆ιάτµηση σε καµπτόµενους δοκούς

α. Όψη καµπτόµενης δοκού.

β. ∆ιάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων.

γ. Μοντέλο καµπτικής και διατµητικής αστοχίας δοκού.

δ. Τυπική διάταξη οπλισµού δοκού.



8

Στην αµφιέρειστη δοκό, έστω ορθογωνικής διατοµής b.h, µε τη στατική µορφή του

Σχ. 5.2.2.α, το διάγραµµα των τεµνουσών δυνάµεων είναι, κατά τα γνωστά, όπως στο

Σχ. 5.2.2.β.

Στη θέση (1), λόγω της τέµνουσας δύναµης Q, η διατοµή θα ολισθήσει (σα να

κόβεται µ’ ένα αόρατο µαχαίρι) ως προς τη γειτονική της. Στην επιφάνεια A θα

αναπτυχθούν συνεπίπεδες διατµητικές τάσεις, που θα είναι µεγαλύτερες, καθώς

πλησιάζουν στον ουδέτερο άξονα (Σχ. 5.2.3).

Για να τις µελετήσουµε, αν και είναι συνεπίπεδες µε τη διατοµή, θα τις συµβολίζουµε

κάθετες σ’ αυτή, σα να ήταν ορθές (Σχ.5.2.4).

Η µέγιστη διατµητική τάση εµφανίζεται στο µέσον (ουδέτερη γραµµή).

Ισχύει ο τύπος: hb

Q⋅⋅

⋅=

23τ

και ονοµάζουµε πλέον µέση αναπτυσσόµενη διατµητική τάση την hb

QFQ

⋅==µτ

Επειδή στην καµπτόµενη δοκό έχουµε και ορθές τάσεις από κάµψη σε κάθε σηµείο

της διατοµής, θα προκύπτει από τη σύνθετη καταπόνηση (εφελκυσµός-θλίψη και

διάτµηση) µία ισοδύναµη τάση σι, συνισταµένη των ορθών (εφελκυστικών ή

θλιπτικών) τάσεων σ και των διατµητικών τ, έτσι ώστε προ-κύπτει λοξός εφελκυσµός

ή λοξή θλίψη.

Η αστοχία µιας τέτοιας δοκού φαίνεται στο Σχ.5.3.2.γ, όπου, βέβαια, για να

διατηρήσουµε τη συνεργασία των αποκοµµένων τµηµάτων, πρέπει να τα συνδέσουµε

µε παρεµβλήµατα (υποθετική κατάσταση), όπως φαίνεται στο σχήµα. Στις θέσεις

Σχήµα 5.2.3 Σχήµα 5.2.4



9

κοντά στις στηρίξεις, που είναι συµµετρικές, θα µπορούσαµε να τοποθετήσουµε και

τα δύο παρεµβλήµατα ταυτόχρονα, δηλαδή και το κατακόρυφο, για να αναλαµβάνει

τις διατµητικές τάσεις, και το λοξό, για να αναλαµβάνει τις λοξές τάσεις εφελκυσµού.

Η ρωγµή στο µέσον δείχνει την αστοχία της δοκού σε εφελκυσµό και γι’ αυτό το

παρέµβληµα είναι οριζόντιο, όπως οι εφελκυστικές τάσεις στη θέση αυτή. Άρα:

1. Στα άκρα, η δοκός υποφέρει από διάτµηση, επειδή είναι µεγάλες οι τιµές της

τέµνουσας δύναµης (Σχ. 5.2.2.β), ενώ:

2. Στο µέσον του µήκους της η δοκός υποφέρει από ορθές εφελκυστικές και

θλιπτικές τάσεις από κάµψη, επειδή είναι µεγάλη η ροπή κάµψης.

5.2.1.1. Γιατί οπλίζεται η δοκός από σκυρόδεµα;

Στην περίπτωση δοκού από οπλισµένο σκυρόδεµα αντιλαµβάνεστε τώρα, γιατί έχουν

τέτοιο σχήµα και θέση οι ράβδοι του οπλισµού, που αναλαµβάνουν τον εφελκυσµό,

ενώ το σκυρόδεµα αναλαµβάνει τη θλίψη, όπως έχουµε αναφέρει και σε

προηγούµενα κεφάλαια.

Σχ. 5.2.5 Οπλισµός δοκού

Φαίνεται λοιπόν (Σχ.5.2.2.δ και Σχ.5.2.5) ότι οι χαλύβδινες ράβδοι του οπλισµού

αναλαµβάνουν τις τάσεις ως εξής:

α. Οι οριζόντιες στην κάτω ίνα τις εφελκυστικές,

β. Οι λοξές στη στήριξη τις λοξές εφελκυστικές (σi) και

Έτσι στα άκρα χρειάζονται παρεµβλήµατα, κατακόρυφα ή λοξά ενώ στο

µέσον οριζόντια.



10

γ. Οι συνδετήρες (κατακόρυφοι) τη διάτµηση, και οι οποίοι, µάλιστα, πρέπει προς

τη στήριξη να πυκνώνουν.

Όπου δεν είναι σωστός ο οπλισµός και ρηγµατωθεί η δοκός, η περίσφιξη γίνεται

µε την ίδια λογική µε «κολάρα».

Συµπερασµατικά, την τέµνουσα δύναµη στη δοκό από οπλισµένο σκυρόδεµα

την παραλαµβάνουν κατ’ αναλογία:

• Η διατοµή του σκυροδέµατος.

• Οι συνδετήρες.

• Οι λοξές ράβδοι, αν χρειαστεί να τοποθετηθούν.

5.2.2 Έλεγχοι έναντι διάτµησης

Α. Έλεγχος τέµνουσας αντοχής σχεδιασµού.

Η ικανοποίηση της σχέσης: Vsd ≤VRd1

Αποτελεί κριτήριο ότι η δρώσα τέµνουσα δύναµη σχεδιασµού παραλαµβάνεται από

το άοπλο σκυρόδεµα και δεν απαιτείται τοποθέτηση οπλισµού διάτµησης, εκτός του

ελάχιστου κατασκευαστικού που απαιτεί ο Κανονισµός.

0,07% για C12/15 έως C20/25

0,11% για C25/30 έως C35/45

minpw=

0,13% για C40/50 έως C50/60

Αν πρόκειται για πλάκες ή υπέρθυρα µικρού µήκους ως ελάχιστος διατµητικός

οπλισµός λαµβάνεται το 60% των πιο πάνω τιµών.

Vsd= δρώσα τέµνουσα δύναµη σχεδιασµού της διατοµής

VRd1=τέµνουσα δύναµη αντοχής της διατοµής

Όπου: VRd1=τRd k (1,2+40ρ1)bwd

τRd= η τιµή σχεδιασµού διατµητικής αντοχής έναντι ρηγµάτωσης Οι τιµές τις

δίνονται από τον πίνακα 7.1



11

Πίνακας 5.2.1.Τιµές τRd

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

EC2 0,18 0,22 0,26 0,30 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48

DIN 0,20 0,22 0,24 0,26 0,26 0,28 0,30 0,31 0,32 0,33

Επίσης:

k= 1,6-d d [m]

d= ωφέλιµο στατικό ύψος

ρ1= dbAsl

w

≤0,02 ποσοστό διαµήκους οπλισµού

bw = πλάτος διατοµής

Αsl=η διατοµή του εφελκυόµενου οπλισµού που επεκτείνεται πέραν της διατοµής

για την οποία υπολογίζεται VRd1, σε µήκος d+µήκος αγκύρωσης lbnet

Β. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΚΟΡΜΟΥΣ ΣΕ ΛΟΞΗ ΘΛΙΨΗ

Oι διαστάσεις του κορµού θα πρέπει να είναι τέτοιες, ώστε να περιορίζεται ο

κίνδυνος αστοχίας, από τη θλίψη σκυροδέµατος κορµού. Η διαδικασία ελέγχου

απαιτεί την ικανοποίηση της ανίσωσης: Vsd ≤VRd2

VRd2= τέµνουσα δύναµη θλιπτικής αντοχής των διαγώνιων θλιβόµενων ράβδων, η

παραλαµβανόµενη από τον κορµό δύναµη χωρίς να αστοχήσει.

VRd2= 0,5 v fcd bw z (1+cota), αν η γωνία κλίσης α του οπλισµού διάτµησης είναι

τυχαία.

-για α=90ο, cota=0 οπότε: VRd2= 0,5 v fcd bw z

Όπου: ν=0,7-200

ckf, fck [N/mm2]

z=0,9d



12

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ∆ΙΑΤΜΗΤΙΚΟΥ ΟΠΛΙΣΜΟΥ

Έλεγχος αντοχής του χάλυβα: Vsd ≤VRd3

Όπου: VRd3 =Vwd +Vcd

Vwd=τέµνουσα δύναµη που παραλαµβάνουν οι συνδετήρες και οι λοξοί οπλισµοί.

Vcd=τέµνουσα δύναµη που παραλαµβάνει η διατοµή του σκυροδέµατος µε άλλους

µηχανισµούς παραλαβής τέµνουσας.

Vwd= ws

Asw z fywd (1+cota) sina, όπου

Αsw=διατοµή οπλισµού διάτµησης και

sw= απόσταση ράβδων οπλισµού διάτµησης κατά µήκος του άξονα του φορέα.

Επιπλέον:

• Για συνδυασµούς φορτίσεων χωρίς σεισµό, τίθεται: Vcd=VRd1

• Για συνδυασµούς δράσεων µε σεισµό:

- σε µη κρίσιµες περιοχές τίθεται: Vcd=VRd1

- σε κρίσιµες περιοχές:

α) θλιβόµενα στοιχεία (όπου Νsd ≤-0,1 Acfcd, υποστυλώµατα, τοιχώµατα

κλπ.)

Vcd=0,9 VRd1 για γραµµικά στοιχεία

Vcd=0,7 VRd1 για τοιχώµατα

β) καµπτόµενα στοιχεία (όπου Νsd >-0,1 Acfcd, δοκοί)

Vcd=0, 3 VRd1 για γραµµικά στοιχεία

Vcd=0, 25 VRd1 για τοιχώµατα

Ελάχιστος διατµητικός οπλισµός (minimum ratio of shear reinforcement)

O κανονισµός προβλέπει την τοποθέτηση ενός ελάχιστου οπλισµού διάτµησης για να

παραλάβουν κάποιες αθέλητες καταπονήσεις, ροπές στήριξης, θερµοκρασιακές

µεταβολές και να αποφευχθεί ακαριαία διατµητική θραύση.



13

Το ποσοστό του διατµητικού οπλισµού δίνεται από τη σχέση: ρw=abs

Asw

ww sin

Όπου: το ρw δίνεται από τον πίνακα:

Πίνακας 5.2.2 Ελάχιστο ποσοστό διατµητικού οπλισµού

Κατηγορία αντοχής C S220 S400 S500

C12/15 έως C20/25 0,0016 0,0009 0,0007

C25/30 έως C35/45 0,0024 0,0013 0,0011

C40/50 έως C50/60 0,0030 0,0016 0,0013

Επιµέλεια: Χαραλαµποπούλου Ιωάννα

Συνεργαζόμενα πλάτη πλακοδοκών

Documents

Transcript of Συνεργαζόμενα πλάτη πλακοδοκών