���� Συµµετρία Ανάκλασης (Οµοτιµία)

Η ολική ενέργεια ενός απομονωμένου συστήματος είναι σταθερή ως

προς το χρόνο. Το ίδιο ισχύει και για την ορμή και τη στροφορμή του. Αυτοί οι

νόμοι διατήρησης προέρχονται από τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα και τις

εξισώσεις του Maxwell, ή από τους νόμους της κβαντικής μηχανικής. Σε μια

πιο θεμελιακή θεώρηση μπορούν ακόμα να θεωρηθούν σαν αποτελέσματα

των “συμμετριών” του χώρου και του χρόνου. Έτσι ο νόμος διατήρησης της

ορμής προέρχεται από την ομογένεια του χώρου και ο νόμος διατήρησης της

στροφορμής από την ισοτροπία του χώρου. ∆ηλαδή οι νόμοι αυτοί

οφείλονται στο γεγονός ότι δεν παίζει ρόλο που έχουμε βάλει την αρχή του

συστήματος συντεταγμένων ή σε ποια διεύθυνση προσανατολίσαμε τους

άξονες του.

Οι παραπάνω νόμοι διατήρησης είναι τόσο σημαντικοί στη πυρηνική

φυσική όσο και στην υπόλοιπη φυσική, αλλά υπάρχει μια συμμετρία και ένας

διατηρητέος κβαντικός αριθμός με ιδιαίτερη σημασία στα κβαντικά

συστήματα όπως ο πυρήνας: η συμμετρία ανάκλασης και ο κβαντικός

αριθμός της ομοτιμίας.

Σαν Û˘ÌÌÂÙÚ›· ·Ó¿ÎÏ·Û˘ εννοούμε τη

συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων,

r → r’ = -r

δηλαδή το σημείο Α (σχήμα) με

συντεταγμένες (x,y,z) στο καθιερωμένο

δεξιόστροφο σύστημα (Οx,Oy,Oz) έχει

συντεταγμένες (-x,-y,-z) στο αναστραμμένο

αριστερόστροφο σύστημα (Ο’x,O’y,O’z).

Η ÔÌÔÙÈÌ›· (parity-καθαρά κβαντομηχανικό μέγεθος) είναι η “πράξη”

αυτή που όταν δράσει πάνω σε σωμάτιο που βρίσκεται στη θέση r θα βρεθεί

x x’

z

z’

y

y’

A(x,y,z)

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗΣ - ΟΜΟΤΙΜΙΑ

Σελ. 2

στη κατοπτρική θέση -r. Η δράση της δηλαδή επάνω στη κυματοσυνάρτηση

ψ(r) του σωματίου μέσω του τελεστή της $P είναι:

$ ( ) ( )Pø ør r= −

αλλά και $Pψ(-r)=ψ(r).

Εάν π είναι η ιδιοτιμή (πραγματικός αριθμός) του τελεστή $P τότε

σύμφωνα με την εξίσωση των ιδιοτιμών είναι:

$Pψ(r)=πψ(r) ⇒

⇒ ψ(-r)=πψ(r) ⇒ $Pψ(-r)= $Pπψ(r) ⇒ ψ(r)=π2ψ(r) ⇒ π2=1 ⇒

⇒ π=±1

δηλαδή

$Pψ(r)=±ψ(-r)

Έτσι θα λέμε ότι η κυματοσυνάρτηση ενός σωματίου έχει ομοτιμία +1

εάν είναι άρτια με την επίδραση της ανάκλασης (του τελεστή δηλαδή της

ομοτιμίας):

ψ(-r)=ψ(r)

και ομοτιμία -1 εάν είναι περιττή με την επίδραση της ανάκλασης:

ψ(-r)=-ψ(r)

Κατά παράδοση δίνεται μαζί με το ολικό spin της ιδιοκατάστασης στη

μορφή Jπ (π.χ. Jπ=1+, 0-, 2+, κλπ.).

Από το σχήμα είναι φανερό ότι σε πολικές συντεταγμένες (r,θ,φ) η

ανάκλαση r→r’=-r είναι ισοδύναμη με r→r’=r, θ→θ’=π-θ, φ→φ’=π+φ

δηλαδή

r è ö P ø r è ö ø, , ,ð ,ð)

= − +

Εύκολα δείχνουμε επίσης με τον αναγωγικό τύπο των σφαιρικών

αρμονικών ότι

$P Υlm(θ,φ)=Υlm(π-θ,π+φ)=e

imπ(-)l-mYlm(θ,φ)=(-)

lYlm(θ,φ)

δηλαδή αν l=άρτιος, η Ylm είναι άρτια συνάρτηση, ενώ αν l=περιττός η Ylm

είναι περιττή.

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗΣ - ΟΜΟΤΙΜΙΑ

Σελ. 3

Η ομοτιμία Pn ενός συστήματος n σωματιδίων που χαρακτηρίζεται από

τους κβαντικούς αριθμούς li της τροχιακής στροφορμής είναι:

( )P PnL

ii

n

= −=

∏11

όπου L ii

n

==

∑ l

1

και Pi οι εσωτερικές ομοτιμίες των σωματιδίων. Έτσι επειδή ÂÍ’

ÔÚÈÛÌÔ‡ ÔÈ ÔÌÔÙÈ̛˜ ÙˆÓ ÓÔ˘ÎÏÂÔÓ›ˆÓ Â›Ó·È ıÂÙÈΤ˜, θα είναι

Pnucl=(-1)L

Για τη ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ ÔÌÔÙÈÌ›·˜ θα πρέπει το αποτέλεσμα της δράσης

των τελεστών της ομοτιμίας $P και της Χαμιλτονιανής $H να είναι το ίδιο

ανεξάρτητα από το ποιος δρα πρώτος στη κυματοσυνάρτηση ψ(r) ενός

φυσικού συστήματος, δηλαδή:

$P $Hψ(r)= $H $Pψ(r) ή [ ]$ , $P H = 0

και αυτό γιατί οι ιδιοτιμές του $H είναι οι τιμές της ενέργειας η διατήρηση της

οποίας συνδέεται με τη χρονική εξέλιξη του συστήματος. ∆ηλαδή διατήρηση

της ομοτιμίας σημαίνει ότι ένα φυσικό σύστημα που εμφανίζει συμμετρία

ανάκλασης και περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση ψ(r) καθορισμένης

ομοτιμίας θα συνεχίσει να περιγράφεται από την ίδια κυματοσυνάρτηση με

την εξέλιξη του χρόνου. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει ο τελεστής

$H=$p

M

2

2+V(r)=-

h2

2M∇2+ V(r)

να παραμένει αμετάβλητος στην ανάκλαση του χώρου το οποίο ισοδυναμεί με

το να παραμένει αμετάβλητο στην ανάκλαση του χώρου το δυναμικό V(r),

δηλαδή:

V(r)= V(-r)

Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι

∆ιατήρηση Ομοτιμίας ⇔ Συμμετρία Ανάκλασης

Από πειραματικά δεδομένα έχει ευρεθεί ότι η ομοτιμία διατηρείται για

τις ηλεκτρομαγνητικές και τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, όχι όμως και για τις

ασθενείς όπως είναι η ακτινοβολία β. Στις αντιδράσεις που διατηρείται η

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΚΛΑΣΗΣ - ΟΜΟΤΙΜΙΑ

Σελ. 4

ομοτιμία είναι σταθερά κινήσεως και παίζει σπουδαίο ρόλο. Εάν π.χ. έχουμε

την αντίδραση

x + a → w* → y + b

όπου η w* είναι μία συγκεκριμένη κατάσταση συνθέτου πυρήνα και τα spin

και η ομοτιμία όλων των πέντε σωματίων της αντίδρασης είναι γνωστά τότε η

διατήρησης της στροφορμής και της ομοτιμίας περιορίζει σημαντικά τις

τροχιακές στροφορμές που μπορεί να έχει τόσο ο στόχος a όσο και το

εξερχόμενο σωμάτιο b. Έτσι έχουμε περιορισμούς στις γωνιακές κατανομές

αλλά και στο μέγεθος της ενεργούς διατομής.