ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΥΧΑΙΑ...

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

117

5.3 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΗ ΤΥΧΑΙΑ ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Η ενότητα αυτή αοτελεί ουσιαστικά συνέχεια της §4.1. Θεωρούµε ως εξωτερική δύναµη µια τυχαία εριοδική συνάρτηση του χρόνου µε ερίοδο

( )εξ≡ π ωT 2 . Θα ισχύει ( )εξ εξ+ =F t T F (t) και το ζητούµενο είναι να ειλυθεί

η διαφορική εξίσωση:

εξ′′ ′+ γ + ω = =2

0

F (t)x (t) 2 x (t) x(t) f(t)

m (5.19)

όου βέβαια θα ισχύει άλι ( )+ =f t T f(t) .

Σύµφωνα µε την θεωρία των σειρών Fourier, µια εριοδική συνάρτηση µορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός ηµιτόνων και

συνηµιτόνων. Έτσι η f(t) γράφεται ως: ∞

=

π π= α + α +

∑0 k n

k 1

2 t 2 tf(t) cosk b sink

T T

ή

( )∞

εξ εξ

=

= α + α ω + ω∑0 k k

k 1

f(t) cosk t b sink t (5.20)

όου

εξ

εξ

α =

α = ω

= ω

∫∫∫

T

00

T

k0

T

k0

1f(t)dt

T

2f(t)cos(k t)dt

T

2b f(t)sin(k t)dt

T

(5.21)

Έτσι, η εξ. (5.19) γράφεται:

( )∞

εξ εξ=

′′ ′+ γ + ω = α + α ω + ω∑2

0 0 k kk 1

x (t) 2 x (t) x(t) cosk t b sink t (5.22)

Σκοός µας είναι να ροσδιορίσουµε την λύση της αραάνω εξίσωσης στην µόνιµη κατάσταση (για → ∞t ). Θεωρούµε τις αρακάτω αλούστερες διαφορικές εξισώσεις µε τις αντίστοιχες λύσεις τους στην µόνιµη κατάσταση:

Ι. ′′ ′+ γ + ω = α2

0 0x (t) 2 x (t) x(t)

στ

α⇒

ω= 0

2

0

x (t)

Η λύση είναι η εξ. (5.13) της §5.2 για → ∞t .

ΙΙ. εξ′′ ′+ γ + ω = α ω2

0 kx (t) 2 x (t) x(t) cos(k t) ( )εξ⇒ = ω − ϕcos,k cos,k kx (t) A cos k t

Η λύση είναι η εξ. (4.12) της §4.2Β και ισχύουν:



118

( )εξ εξ

α=

ω − ω + γ ω

kcos,k

22 2 2 2 2 20

A

k 4 k

και εξ

εξ

γ ωϕ =

ω − ωk 2 2 20

2 ktan

k

ΙΙΙ. εξ′′ ′+ γ + ω = ω2

0 kx (t) 2 x (t) x(t) b sin(k t) ( )εξ⇒ = ω − ϕsin,k sin,k kx (t) A sin k t

Η λύση είναι η εξ. (4.8) ου εριέχεται στην §4.2Α και ισχύει

( )εξ εξ

=

ω − ω + γ ω

ksin,k

22 2 2 2 2 20

bA

k 4 k

Η γενική λύση της εξ. (5.22) θα είναι σύµφωνα µε την ανάλυση της §4.1, ένας

γραµµικός συνδυασµός των στx (t) , cos,kx (t) και sin,kx (t) ο οοίος

καθορίζεται µε αό την αναλυµένη κατά Fourier

( )∞

εξ εξ

=

= α + α ω + ω∑0 k k

k 1

f(t) cosk t b sink t

σύµφωνα µε τις αντιστοιχίες

( )( )

εξ εξ

εξ εξ

←→

αα ←→

ω

α ω ←→ ω − ϕ

ω ←→ ω − ϕ

00 2

0

k cos,k k

k sin,k k

f(t) x(t)

cosk t A cos k t

b sink t A sin k t

δηλαδή

( ) ( )∞

εξ εξ

=

α = + ω − ϕ + ω − ϕ ω ∑0cos,k k sin,k k2

0 k 1

x(t) A cos k t A sin k t

ή

( ) ( )

( )

∞

εξ εξ

εξ εξ=

α ω − ϕ + ω − ϕα = + ω ω − ω + γ ω

∑ k k k k02 2

2 2 2 2 2 200k 1

cos k t b sin k tx(t)

k 4 k

(5.23)*

Οι συντελεστές αk και kb υολογίζονται αό την εξ. (5.21).

Ενδιαφέρον έχουν οι αρακάτω ειδικές εριτώσεις:

(1) Όταν f(t) =άρτια Τότε ισχύει:

* Η εξ. (5.23) γράφεται και ως:

( )

( )

∞

εξ

= εξ εξ

α + ω − ϕ − θ α

= + ω ω − ω + γ ω

∑2 2k k k k0

2 22 2 2 2 2 20

k 1 0

b cos k tx(t)

k 4 k

όπου θ =α

kk

k

btan .



119

∞ ∞

εξ εξ

= =

= α ω = α + α ω∑ ∑k 0 k

k 0 k 1

f(t) cosk t cosk t ,

εξ

α =α = ω

∫∫

T 2

0

0

T 2

k

0

2f(t)dt

T

4f(t)cos(k t)dt

T

Αντίστοιχα η γενική λύση της εξ. (5.22) θα εριέχει µόνον συνηµίτονα:

( )( )

∞εξ

= εξ εξ

α ω − ϕα= +

ωω − ω + γ ω

∑ k k0

2 22 2 2 2 2 20 k 10

cos k tx(t)

k 4 k

(2) Όταν f(t) =εριττή

Τότε ισχύει:

∞

εξ

=

= ω∑ k

k 1

f(t) b sink t , όου εξ= ω∫T 2

k

0

4b f(t)sin(k t)dt

T

και η λύση της εξ. (5.22) θα εριέχει µόνον ηµίτονα:

( )( )

∞εξ

= εξ εξ

ω − ϕ=

ω − ω + γ ω∑ k k

22 2 2 2 2 2

k 10

b sin k tx(t)

k 4 k

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1ο Θεωρούµε εξωτερικό διεγέρτη της µορφής:

0( ) για 0 2( )

0 για 2

F t f t Tf t

m T t Tεξ ≤ ≤

= = < ≤

όου 2T εξπ ω= .

t

fHtL

f0

Tê2 T 3Tê2 2T0 Η συνάρτηση ( )f t γράφεται:

( )0

1

( ) cos sink k

k

f t k t b k tεξ εξα α ω ω∞

=

= + +∑



120

ενώ η λύση της εξίσωσης 2

0( ) 2 ( ) ( ) ( )x t x t x t f tγ ω′′ ′+ + = , στην µόνιµη κατάσταση:

( ) ( )

( )02 22 2 2 2 2 20

01

cos sin( )

4

k k k k

k

k t b k tx t

k k

εξ εξ

εξ εξ

α ω ϕ ω ϕα

ωω ω γ ω

∞

=

− + − = +

− + ∑

όου 2

00 0

0 0

1 1( )

2

T Tf

f t dt f dtT T

α = = =∫ ∫

20

00 0

2 2( )cos( ) cos( ) ( ) sin 0

T T

k

ff t k t dt f k t d k k

T T k kεξ εξ εξεξ

α ω ω ω πω π

= = = =∫ ∫

και 2

00 0

2 2( )sin( ) sin( ) ( )

T T

kb f t k t dt f k t d kT T kεξ εξ εξ

εξ

ω ω ωω

= = ⇒∫ ∫

0

0 όταν άρτιος

2 όταν περιττός

k

kb f

kkπ

=

= =

Έτσι η συνάρτηση ( )f t ροσεγγίζεται αό την

0 0 0

1,3,5, 1,3,5,

sin sin2 4( ) 1

2 2k k

k t k tf f ff t

k kεξ εξω ω

π π

∞ ∞

= =

= + = +

∑ ∑L L

και γραφική της αράσταση χρησιµοοιώντας 40 όρους της σειράς φαίνεται στο

αρακάτω σχήµα*.

t

xHtL

f0

Tê2 T 3Tê2 2T0 Σύµφωνα µε τα ροηγούµενα η αοµάκρυνση συναρτήσει του χρόνου θα είναι:

( )

( )

20 02 22 2 2 2 2 20

01,3,5,

sin4( ) 1

24

k

k

k tfx t

k k k

εξ

εξ εξ

ω ϕωπω

ω ω γ ω

∞

=

−

= + − +

∑L

(5.24)

* Παρατηρείστε ότι στα σηµεία της ασυνέχειας η ροσέγγιση έχει κάοιο σφάλµα. Αυτή η ανωµαλία ονοµάζεται φαινόµενο Gibbs.



121

όου 2 2 20

2tan k

k

kεξ

εξ

γ ωϕ

ω ω=

−

Αν θεωρήσουµε τον αρονοµαστή στο άθροισµα ως συνάρτηση του εξω ,

αρατηρούµε ότι εµφανίζει ελάχιστα για 0 0 00 , , , ,

3 5 7εξω ω ω

ω ω= LL . Αυτές θα είναι

και οι συχνότητες συντονισµού. Στη συνέχεια βλέουµε γραφικές αραστάσεις αοµάκρυνσης – χρόνου για

διάφορες τιµές των λόγων 0εξω ω και 0γ ω . Αρχικά θεωρούµε διαγράµµατα µε

0εξω ω< :

5 10 15 20t

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xHtL ωεξêω0=0.25,γêω0=0.1

2 4 6 8 10t

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8


5 10 15 20t

0.2

0.4

0.6


2 4 6 8 10t

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8


5 10 15 20t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


2 4 6 8 10t

0.2

0.4

0.6


Παρατηρούµε ότι καθώς αυξάνεται ο λόγος 0γ ω τα διαγράµµατα τείνουν ρος

τετραγωνικό αλµό (όως και η µορφή του εξωτερικού διεγέρτη). Αν όµως ο λόγος

0γ ω γίνει µεγαλύτερος αό τη µονάδα δηµιουργείται η γραµµικότητα των

αρακάτω σχηµάτων:



122

5 10 15 20t

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

xHtL ωεξêω0=0.25,γêω0=5

2 4 6 8 10t

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5


Στη συνέχεια ακολουθούν διαγράµµατα µε 0εξω ω> :

1 2 3 4 5t

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1


1 2 3 4 5t

0.25

0.3

0.35

0.4

xHtL ωεξêω0=2,γêω0=0.1

1 2 3 4 5t

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1


1 2 3 4 5t

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


1 2 3 4 5t

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


1 2 3 4 5t

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

xHtL ωεξêω0=2,γêω0=5

Τα αραάνω διαγράµµατα µοιάζουν ερισσότερο µε αρµονικές συναρτήσεις. Όταν

όµως έχουµε 0 1γ ω > εµφανίζεται άλι µια γραµµικότητα.

Στη συνέχεια ακολουθούν διαγράµµατα µε 0 , 0,1, 2,2 1

kkεξω

ω = =+

L :



123

1 2 3 4 5t

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

xHtL ωεξ=ω0,γêω0=0.1

1 2 3 4 5t

-0.5

0.5

1


1 2 3 4 5t

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

xHtL ωεξ=ω0,γêω0=5

2 4 6 8 10 12 14t

-1

-0.5

0.5

1

1.5

xHtL ωεξ=ω0ê3,γêω0=0.1

2 4 6 8 10 12 14t

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2




124

2 4 6 8 10 12 14t

0.2

0.4

0.6


2 4 6 8 10 12 14t

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8


2 4 6 8 10 12 14t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


2 4 6 8 10 12 14t

0.2

0.4

0.6


2 4 6 8 10 12 14t

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

xHtL ωεξ=ω0ê3,γêω0=5

2 4 6 8 10 12 14t

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

xHtL ωεξ=ω0ê5,γêω0=5

Παρατηρούµε ότι για 0εξω ω= η ταλάντωση εµφανίζει το µεγαλύτερο λάτος σε

σχέση µε όλες τις άλλες εριτώσεις. Ένα σηµαντικό µέγεθος σε τέτοιου είδους ταλαντώσεις είναι η ενεργός

αοµάκρυνση* ου ορίζεται σύµφωνα µε την εξίσωση:

2rmsx x= όου 2 2

0

1( )

T

x x t dtT

= ∫

Στην ερίτωση της κλασικής εξαναγκασµένης ταλάντωση µε ηµιτονοειδή ή

συνηµιτονοειδή εξωτερική δύναµη ισχύει: 2

rmsA

x = . Το µέγεθος αυτό είναι

ανάλογο του λάτους της ταλάντωσης. Όταν η γενική λύση έχει την µορφή

( ) ( )0

1

( ) cos sink k k k

k

x t A A k t B k tεξ εξω ϕ ω ϕ∞

=

= + − + − ∑

* Πρόκειται για την τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετργώνου της αποµάκρυνσης σε

χρόνο µιας περιόδου. Όπως η ενεργός ένταση και τάση του εναλλασσοµένου ρεύµατος.



125

τότε ροκύτει:

2 2 2 2 20

01

1( )

T

k k

k

x x t dt A A BT

∞

=

= = + + ∑∫

Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα Parseval. Εφαρµόζουµε το αοτέλεσµα αυτό στην εξ. (5.24) και αίρνουµε

( ) 2 2

2 0 04 2 22 2 2 2 2 2 20

01,3,5,

2 1

4 4k

f fx

k k kεξ εξω π ω ω γ ω

∞

=

= +− +∑

L

(5.25)

και 2rmsx x= .

Αν δούµε το 2x ως συνάρτηση του εξω τότε θα έχουµε µέγιστα για

0 0 00 , , , ,

3 5 7εξω ω ω

ω ω= LL

Στο εόµενα σχήµατα φαίνεται η γραφική αράσταση του µεγέθους 2x (ου κατά κάοιο τρόο εκφράζει το τετράγωνο του λάτους της ταλάντωσης) συναρτήσει της

συχνότητας του εξωτερικού διεγέρτη εξω θεωρώντας 0 10f = , 0 4ω = (αυθαίρετες

µονάδες).

1 2 3 4 5ωεξ

5

10

15

20

25

30

35

40x2¯¯

Βλέουµε το κυρίαρχο µέγιστο για 4εξω = και το αµέσως εόµενο, σαφώς

µικρότερο, στην θέση 4

1.33εξω = = . Στη συνέχεια βλέουµε το ίδιο σχήµα µε το

αραάνω, αλλά χωρίς το κυρίαρχο µέγιστο. Έτσι φαίνονται καλύτερα µερικά αό τα υόλοια µέγιστα στις χαµηλότερες συχνότητες.



126

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4ωεξ

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10x2¯¯

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2ο Θεωρούµε εξωτερικό διεγέρτη της µορφής:

0

0

για 0 2( )( )

για 2

f t TF tf t

f T t Tmεξ ≤ ≤

= = − < ≤

όου 2T εξπ ω= .

t

fHtL

−f0

f0

T2

T 3 T2

2T0

Η συνάρτηση αυτή είναι εριττή. Τότε ισχύει:

1

( ) sink

k

f t b k tεξω∞

=

=∑

µε

2

0

0

0, όταν 4

( )sin( ) 4 όταν

T

k

k ά

b f t k t dt fk όT

kεξ

ρτιοςω

περιττ ςπ

=

= = =

∫

ή 0

1,3,5,

sin4( )

k

k tff t

kεξω

π

∞

=

= ∑L

. Χρησιµοοιώντας αρκετούς όρους της σειράς

ροκύτει το η ροσέγγιση της ( )f t ου βλέουµε στο εόµενο σχήµα:



127

t

fHtL

−f0

f0

T2

T 3 T2

2T0

Η λύση της εξίσωσης 2

0( ) 2 ( ) ( ) ( )x t x t x t f tγ ω′′ ′+ + = , στην µόνιµη κατάσταση θα

είναι:

( )( )

( )( )

0

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1,3,5,0 0

sin sin4( )

4 4

k k k

k k

b k t k tfx t

k k k k k

εξ εξ

εξ εξ εξ εξ

ω ϕ ω ϕ

πω ω γ ω ω ω γ ω

∞ ∞

= =

− −= =

− + − +∑ ∑

L

όου 2 2 20

2tan k

k

kεξ

εξ

γ ωϕ

ω ω=

−.

Οι γραφικές αραστάσεις ου ροκύτουν για την αοµάκρυνση συναρτήσει του χρόνου είναι οιοτικά ίδιες µε τις αραστάσεις του ροηγούµενου αραδείγµατος. Αλά η θέση ισορροίας έχει µετατοιστεί στο µηδέν όως αναµενόταν.

5 10 15 20t

-1

-0.5

0.5

1


1 2 3 4 5t

-15

-10

-5

5

10

15




128

1 2 3 4 5t

-0.2

-0.1

0.1

0.2


Η µέση τιµή του τετραγώνου της αοµάκρυνσης θα είναι:

( ) 2

2 02 22 2 2 2 2 2 2

01,3,5,

8 1

4k

fx

k k kεξ εξπ ω ω γ ω

∞

=

=− +∑

L

Στα εόµενα σχήµατα φαίνεται η γραφική αράσταση του 2x συναρτήσει της

συχνότητας του εξωτερικού διεγέρτη εξω θεωρώντας 0 10f = , 0 4ω = (αυθαίρετες

µονάδες).

1 2 3 4 5 6ωεξ

20

40

60

80

100

120

x2¯¯

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4ωεξ

2

4

6

8

10

12

14

x2¯¯

Οι θέσεις συντονισµού είναι οι ίδιες µε το ροηγούµενο αράδειγµα. Κλείνοντας δίνουµε το αοτέλεσµα ενός ενδιαφέροντος υολογισµού. Το έργο της

εξωτερικής δύναµης στον χρόνο µιας εριόδου T είναι:



129

( )2

022 2 2 2 2 2

00 1,3,5,

32 1

4

T

F

k

b fW F dx

T k kεξ εξ

εξ εξω ω γ ω

∞

=

= =− +∑∫

L

Το έργο της δύναµης αόσβεσης στον χρόνο µιας εριόδου (άντα µιλάµε για την µόνιµη κατάσταση) όως αναµένεται, είναι ίσο µε το έργο της εξωτερικής δύναµης.

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΥΧΑΙΑ...

Documents

Transcript of ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΥΧΑΙΑ...