Βασικες γνωσεις μαθηματικων απο το Γυμνασιο

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αποστόλου Γεώργιος

Μαθηµατικός

[email protected]

ΙΩΑΝΝΙΝΑ

12 ∆εκεµβρίου 2013

Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 1 / 59

Βασικές Γνώσεις

Περιεχόµενα

1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Για την πρόσθεση

www.study4maths.gr

Ερώτηση 1η

Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης;

Ιδιότητες της πρόσθεσης

α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα

π.χ.

2 + 3 = 3 + 2 = 5

α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα

π.χ.

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9

α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.

π.χ.

2 + 0 = 0 + 2 = 2

π.χ.

2 + 3 = 3 + 2 = 5

π.χ.

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9

π.χ.

2 + 0 = 0 + 2 = 2

π.χ.

2 + 3 = 3 + 2 = 5

π.χ.

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9

π.χ.

2 + 0 = 0 + 2 = 2

π.χ.

2 + 3 = 3 + 2 = 5

π.χ.

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9

π.χ.

2 + 0 = 0 + 2 = 2

α + (−β) = α − β αφαίρεση.

π.χ.

3 + (−2) = 3 − 2

α − α = −α + α = 0 αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.

π.χ.

2 − 2 = −2 + 2 = 0

π.χ.

3 + (−2) = 3 − 2

π.χ.

2 − 2 = −2 + 2 = 0

π.χ.

3 + (−2) = 3 − 2

π.χ.

2 − 2 = −2 + 2 = 0

Ερώτηση 2η

Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού;

Ιδιότητες πολλαπλασιασµού

Αντιµεταθετική ιδιότητα α ⋅ β = β ⋅ απ.χ.

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6

Προσεταιριστική ιδιότητα α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γπ.χ.

2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24

α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0

π.χ.

2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0

Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = απ.χ.

2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6

2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24

α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0

π.χ.

2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0

2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6

2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24

α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0

π.χ.

2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0

2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6

2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24

α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0

π.χ.

2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0

2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6

2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24

α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0

π.χ.

2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0

2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2

∆ιαίρεση α ⋅ ( 1

β) = α

π.χ.

2 ⋅ (1

3) = 2

α ⋅ 1

α⋅ α = 1 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1.

2 ⋅ 1

2⋅ 2 = 1

Επιµεριστική ιδιότητα

α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ

(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ

β) = α

π.χ.

2 ⋅ (1

3) = 2

α ⋅ 1

2 ⋅ 1

2⋅ 2 = 1

α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ

(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ

β) = α

π.χ.

2 ⋅ (1

3) = 2

α ⋅ 1

2 ⋅ 1

2⋅ 2 = 1

α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ

(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ

β) = α

π.χ.

2 ⋅ (1

3) = 2

α ⋅ 1

2 ⋅ 1

2⋅ 2 = 1

α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ

(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ

Ερώτηση 3η

Ποιοι είναι οι κανόνες των προσήµων στην πρόσθεση και τον

πολλαπλασιασµό;

Πρόσηµα στην Πρόσθεση

Για να προσθέσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις περιπτώσεις :

Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε το κοινό πρόσηµο και τους προσθέτουµε

π.χ.

2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5

Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε το πρόσηµο του µεγαλυτέρου και τους

αφαιρούµε

π.χ.

−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1

π.χ.

2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5

αφαιρούµε

π.χ.

−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1

π.χ.

2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5

αφαιρούµε

π.χ.

−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1

π.χ.

2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5

αφαιρούµε

π.χ.

−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1

Πρόσηµα στον πολλαπλασιασµό

Για να πολλαπλασιάσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις

περιπτώσεις :

Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο + και τους πολλαπλασιάζουµε

π.χ.

2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6

Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο - και τους πολλαπλασιάζουµε

π.χ.

(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6

π.χ.

2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6

π.χ.

(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6

π.χ.

2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6

π.χ.

(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6

π.χ.

2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6

π.χ.

(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6

Ερωτηση 4η

Πως ορίζεται η δύναµη ενός αριθµού ;

Ορισµός των δυνάµεων

Η δύναµη αν µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και

µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2 είναι το

γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α

αν = α ⋅ α ⋅⋯ ⋅α´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ν, παράγοντες

Επίσης ορίζουµε :

α1 = α

α0 = 1, α ≠ 0

α−ν = 1

αν, α ≠ 0

α1 = α

α0 = 1, α ≠ 0

α−ν = 1

αν, α ≠ 0

α1 = α

α0 = 1, α ≠ 0

α−ν = 1

αν, α ≠ 0

Ερώτηση 5η

Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων;

Ιδιότητες των δυνάµεων

1. αµ ⋅ αν = αµ+ν 4. αν ⋅ βν = (α ⋅ β)ν

2.αµ

αν= αµ−ν 5.

βν= (α

3. αµ⋅ν = (αµ)ν 6. (αβ)ν

= (βα)−ν

Ιδιότητες των δυνάµεων

1. αµ ⋅ αν = αµ+ν 4. αν ⋅ βν = (α ⋅ β)ν

2.αµ

αν= αµ−ν 5.

βν= (α

3. αµ⋅ν = (αµ)ν 6. (αβ)ν

= (βα)−ν

Παράδειγµα 1ο

Να γίνουν οι πράξεις

3−5 ⋅ 37 =1

35⋅ 37 = (ιδιότητα α−ν = 1

37−5 = (ιδιότητα

αν= αµ−ν)

32 =9.

3−5 ⋅ 37 =1

35⋅ 37 = (ιδιότητα α−ν = 1

αν= αµ−ν)

32 =9.

3−5 ⋅ 37 =1

35⋅ 37 = (ιδιότητα α−ν = 1

αν= αµ−ν)

32 =9.

Παράδειγµα 1ο ϐ τρόπος

3−5 ⋅ 37 =3−5+7 = (ιδιότητα αµ ⋅ αν = αµ+ν)

32 =9.

Παράδειγµα 1ο ϐ τρόπος

3−5 ⋅ 37 =3−5+7 = (ιδιότητα αµ ⋅ αν = αµ+ν)

32 =9.

25 ⋅ (5

2)−2

⋅ (2−3)−1 =

25 ⋅ (2

⋅ (2−3)−1 = (ιδιότητα (α

β)−ν

= (βα)ν

25 ⋅ (2

⋅ 2(−3)⋅(−1) = (ιδιότητα αµ⋅ν = (αµ)ν )

25 ⋅ (2

⋅ 23 =

25 ⋅ 22

52⋅ 23 = (ιδιότητα (α

= αν

52 ⋅ 2

52⋅ 23 = 2

25 ⋅ (5

2)−2

⋅ (2−3)−1 =

25 ⋅ (2

⋅ (2−3)−1 = (ιδιότητα (α

β)−ν

= (βα)ν

25 ⋅ (2

⋅ 2(−3)⋅(−1) = (ιδιότητα αµ⋅ν = (αµ)ν )

25 ⋅ (2

⋅ 23 =

25 ⋅ 22

= αν

52 ⋅ 2

52⋅ 23 = 2

25 ⋅ (5

2)−2

⋅ (2−3)−1 =

25 ⋅ (2

⋅ (2−3)−1 = (ιδιότητα (α

β)−ν

= (βα)ν

25 ⋅ (2

⋅ 2(−3)⋅(−1) = (ιδιότητα αµ⋅ν = (αµ)ν )

25 ⋅ (2

⋅ 23 =

25 ⋅ 22

= αν

52 ⋅ 2

52⋅ 23 = 2

Ερώτηση 6η

Τι ονοµάζουµε τετραγωνική ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α;

Τετραγωνική ϱίζα

Τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε√α και είναι ο

µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.

΄Αρα µπορούµε να πούµε ότι :

Αν α ≥ 0, η√α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x

2 = α.π.χ.

√25 = 5 γιατί 5

2 = 25

2 = α.π.χ.

√25 = 5 γιατί 5

2 = 25

2 = α.

π.χ.√

25 = 5 γιατί 52 = 25

2 = α.π.χ.

√25 = 5 γιατί 5

2 = 25

Ερώτηση 7η

Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας;

√α2 = ∣α∣, α ∈ R

2 = α,α ≥ 0

√α√β = √

αβ,α, β ≥ 0

√α√β=√

β,α ≥ 0, β > 0

√α2 = ∣α∣, α ∈ R

2 = α,α ≥ 0

√α√β = √

αβ,α, β ≥ 0

√α√β=√

β,α ≥ 0, β > 0

√α2 = ∣α∣, α ∈ R

2 = α,α ≥ 0

√α√β = √

αβ,α, β ≥ 0

√α√β=√

β,α ≥ 0, β > 0

√α2 = ∣α∣, α ∈ R

2 = α,α ≥ 0

√α√β = √

αβ,α, β ≥ 0

√α√β=√

β,α ≥ 0, β > 0

√α2 = ∣α∣, α ∈ R

2 = α,α ≥ 0

√α√β = √

αβ,α, β ≥ 0

√α√β=√

β,α ≥ 0, β > 0

Ερώτηση 8η

Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων ;

Απαλοιφή παρενθέσεων

΄Οταν έχουµε µια παράσταση µέσα σε παρενθέσεις και ϑέλω να απαλλαγώ

από την παρουσία τους, για να συνεχίσω τις πράξεις, τότε εξετάζω να δω σε

ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ϐρίσκοµαι :

Αν µπροστά από την παρένθεση έχω +, τότε διώχνω το + και την παρένθεση και

τα γράφω όλα µε το πρόσηµό τους όπως είναι.

π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5

Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και

τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.

π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5

Αν µπροστά από την παρένθεση έχω πολλαπλασιασµό, τότε κάνω

επιµεριστική ιδιότητα.

π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5

π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5

π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5

π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5

π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5

π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5

π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5

π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5

π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5

π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5

π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5

π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5

π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5

Ερώτηση 9η

Με ποια σειρά εκτελούνται οι πράξεις ;

Προτεραιότητα των πράξεων

Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις

µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :

Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις

Κάνουµε τις δυνάµεις

Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις

Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις

Ερώτηση 10η

Τι είναι η αλγεβρική παράσταση;

Αλγεβρική παράσταση

Είναι µια µαθηµατική σχέση µεταξύ µεταβλητών και αριθµών, που συνδέονται

µεταξύ τους µε τις 4 πράξεις.

π.χ. x3 + 1, 2xy ,

√2x + y

π.χ. x3 + 1, 2xy ,

√2x + y

π.χ. x3 + 1, 2xy ,

√2x + y

Ερώτηση 11η

Τι ονοµάζουµε αριθµητική τιµή της αλγεβρικής παράστασης;

Αριθµητική τιµή

Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές µε αριθµούς

και κάνουµε τις πράξεις, τότε ο αριθµός που προκύπτει λέγεται, αριθµητική τιµή

της αλγεβρικής παράστασης.

π.χ. 2x + 3y2 + 1 για x = 0 και y = 1 είναι : 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 12 + 1 = 4

Προσοχή!!! Μια αλγεβρική παράσταση, δεν ορίζεται πάντα για όλες τις τιµές

των µεταβλητών

π.χ. η παράστασηx

y − 2δεν ορίζεται για y = 2 γιατί αυτή η τιµή µηδενίζει

τον παρονοµαστή.

π.χ. η παράσταση√

x − 1 δεν ορίζεται για x = 0 γιατί αυτή η τιµή δίνει

αρνητικό υπόριζο.

Ερώτηση 12η

Ποια είδη αλγεβρικών παραστάσεων έχουµε;

Είδη αλγεβρικών παραστάσεων

΄Αρρητη αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που τουλάχιστον µια µεταβλητή

είναι κάτω από ϱίζα.

π.χ. 2√

x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1

Ρητή αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που καµιά µεταβλητή δεν είναι κάτω

από ϱίζα.

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x3 + y − 2

Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια

µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

Ακέραια, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που δεν είναι κλασµατική.

π.χ. 2xy + x2 + y − 2.

π.χ. 2√

x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1

από ϱίζα.

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x3 + y − 2

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x2 + y − 2.

π.χ. 2√

x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1

από ϱίζα.

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x3 + y − 2

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x2 + y − 2.

π.χ. 2√

x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1

από ϱίζα.

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x3 + y − 2

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x2 + y − 2.

π.χ. 2√

x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1

από ϱίζα.

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x3 + y − 2

π.χ.2x

y − 3+ 2x − y

2, y ≠ 3

π.χ. 2xy + x2 + y − 2.

Ερώτηση 13η

Τι είναι το µονώνυµο;

Μονώνυµο

Είναι µια ακέραια αλγεβρική παράσταση, στην οποία σηµειώνονται µόνο

πολλαπλασιασµοί µεταξύ των αριθµών και των µεταβλητών.

π.χ. 3x2y,−1

√2xy

Μονώνυµο

π.χ. 3x2y,−1

√2xy

Μονώνυµο

π.χ. 3x2y,−1

√2xy

Ερώτηση 14η

Τι είναι το πολυώνυµο;

Πολυώνυµο

Είναι κάθε αλγεβρική παράσταση, που είναι άθροισµα µη όµοιων µονωνύµων.

π.χ. x2 − 3x − 9

Πολυώνυµο

π.χ. x2 − 3x − 9

Πολυώνυµο

π.χ. x2 − 3x − 9

Ερώτηση 15η

Τι είναι ταυτότητες;

Ταυτότητες

Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές

των µεταβλητών.

Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές

των µεταβλητών.

Ερώτηση 16η

Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες;

Βασικές ταυτότητες

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α − β)(α + β) = α2 − β2

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α − β)(α + β) = α2 − β2

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α − β)(α + β) = α2 − β2

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α − β)(α + β) = α2 − β2

α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2) (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2)

α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2) (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

Ερώτηση 17η

Τι είναι η παραγοντοποίηση;

Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα,

µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων λέγεται παραγοντοποίηση.

Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα,

µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων λέγεται παραγοντοποίηση.

Ερώτηση 18η

Με ποιους τρόπους γίνεται η παραγοντοποίηση;

Κοινός παράγοντας

΄Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε

αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας.

Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ)

΄Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε

αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας.

Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ)

Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής :

Βρίσκουµε τον Μ.Κ.∆. των συντελεστών κάθε όρου

Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι

κοινές σε κάθε όρο.

Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων.

Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :

2x5 + 4x

4y + 6x

Ο Μ.Κ.∆. των συντελεστών των όρων 2, 4, 6 είναι ο αριθµός 2.

Η κοινή µεταβλητή είναι το x και ο µικρότερος εκθέτης που συναντάται είναι ο 2.

΄Αρα η παραγοντοποίηση είναι η εξής :

2x5 + 4x

4y + 6x

2 = 2x2(x

3 + 2x2y + 3)

2x5 + 4x

4y + 6x

2x5 + 4x

4y + 6x

2 = 2x2(x

3 + 2x2y + 3)

2x5 + 4x

4y + 6x

2x5 + 4x

4y + 6x

2 = 2x2(x

3 + 2x2y + 3)

Κοινός παράγοντας κατά οµάδες

΄Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε

σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε :

Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα

Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι

οι ίδιες

΄Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε

σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε :

Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα

Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι

οι ίδιες

3x + αx + 3y + αy

1ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α)2ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y)

3x + αx + 3y + αy

1ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α)

2ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y)

3x + αx + 3y + αy

1ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α)2ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y)

Με τη βοήθεια ταυτοτήτων

Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

Παραδείγµατα

Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :

x2 − 6x + 9 = x

2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2

(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y

2 + y3 = (x − 1 + y)3

x2 − 6x + 9 = x

2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2

(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y

2 + y3 = (x − 1 + y)3

x2 − 6x + 9 = x

2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2

(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y

2 + y3 = (x − 1 + y)3

x2 − 6x + 9 = x

2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2

(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y

2 + y3 = (x − 1 + y)3

x2 − 6x + 9 = x

2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2

(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y

2 + y3 = (x − 1 + y)3

∆ιαφορά τετραγώνων

α2 − β2 = (α − β)(α + β)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

εµφανίζω διάφορα τετραγώνων.

α2 − β2 = (α − β)(α + β)

Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

α2 − β2 = (α − β)(α + β)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,

(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2

25 − x2 = 5

2 − x2 = (5 − x)(5 + x)

x2 − 4 = x

2 − 22 = (x − 2)(x + 2)

2 − 81z4 = (xy)2 − (9z

2) = (xy + 9z)(xy − 9z)

25 − x2 = 5

2 − x2 = (5 − x)(5 + x)

x2 − 4 = x

2 − 22 = (x − 2)(x + 2)

2 − 81z4 = (xy)2 − (9z

2) = (xy + 9z)(xy − 9z)

25 − x2 = 5

2 − x2 = (5 − x)(5 + x)

x2 − 4 = x

2 − 22 = (x − 2)(x + 2)

2 − 81z4 = (xy)2 − (9z

2) = (xy + 9z)(xy − 9z)

25 − x2 = 5

2 − x2 = (5 − x)(5 + x)

x2 − 4 = x

2 − 22 = (x − 2)(x + 2)

2 − 81z4 = (xy)2 − (9z

2) = (xy + 9z)(xy − 9z)

25 − x2 = 5

2 − x2 = (5 − x)(5 + x)

x2 − 4 = x

2 − 22 = (x − 2)(x + 2)

2 − 81z4 = (xy)2 − (9z

2) = (xy + 9z)(xy − 9z)

25 − x2 = 5

2 − x2 = (5 − x)(5 + x)

x2 − 4 = x

2 − 22 = (x − 2)(x + 2)

2 − 81z4 = (xy)2 − (9z

2) = (xy + 9z)(xy − 9z)

΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων

α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2), α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.

α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2),

α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2), α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)

Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

x3 + 8 = x

3 + 23 = (x − +2)(x

2 − 2x + 22) = (x + 2)(x

2 − 2x + 4)

(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3

= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)

= (x − 4)(x2 + +25y

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)

x3 + 8 = x

3 + 23 = (x − +2)(x

2 − 2x + 22) = (x + 2)(x

2 − 2x + 4)

(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3

= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)

= (x − 4)(x2 + +25y

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)

x3 + 8 = x

3 + 23 = (x − +2)(x

2 − 2x + 22) = (x + 2)(x

2 − 2x + 4)

(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3

= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)

= (x − 4)(x2 + +25y

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)

x3 + 8 = x

3 + 23 = (x − +2)(x

2 − 2x + 22) = (x + 2)(x

2 − 2x + 4)

(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3

= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)

= (x − 4)(x2 + +25y

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)

x3 + 8 = x

3 + 23 = (x − +2)(x

2 − 2x + 22) = (x + 2)(x

2 − 2x + 4)

(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3

= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)

= (x − 4)(x2 + +25y

2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)

Τριώνυµο

Τριώνυµο της µορφής αx2 − βx + γ

Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα

∆ = β2 − 4αγ. Αν :

∆ > 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)(x − x2) όπου x1,2 = −β + −√∆

∆ = 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)2

µε x1 = −β2α

∆ < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.

Ειδική περίπτωση :

x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)

x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)

Τριώνυµο

∆ = β2 − 4αγ. Αν :

∆ = 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)2

µε x1 = −β2α

x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)

x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)

Τριώνυµο

∆ = β2 − 4αγ. Αν :

∆ = 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)2

µε x1 = −β2α

x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)

x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)

Τριώνυµο

x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)

x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)

Τριώνυµο

x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)

x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)

Τριώνυµο

Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 5x + 6.

Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0.

΄Αρα ϐρίσκουµε ότι :

x1 = −β +√∆

2α= −(−5) +√

2 ⋅ 1 = 5 + 1

x1 = −β −√∆

2α= −(−5) −√

2 ⋅ 1 = 5 − 1

οπότε

x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Τριώνυµο

x1 = −β +√∆

2α= −(−5) +√

2 ⋅ 1 = 5 + 1

x1 = −β −√∆

2α= −(−5) −√

2 ⋅ 1 = 5 − 1

οπότε

x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Τριώνυµο

x1 = −β +√∆

2α= −(−5) +√

2 ⋅ 1 = 5 + 1

x1 = −β −√∆

2α= −(−5) −√

2 ⋅ 1 = 5 − 1

οπότε

x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Τριώνυµο

x1 = −β +√∆

2α= −(−5) +√

2 ⋅ 1 = 5 + 1

x1 = −β −√∆

2α= −(−5) −√

2 ⋅ 1 = 5 − 1

οπότε

x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Τριώνυµο

Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0,

άρα x1 = −β2α

= −(−6)2 ⋅ 1 = 6

οπότε

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.

Τριώνυµο

= −(−6)2 ⋅ 1 = 6

οπότε

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.

Τριώνυµο

= −(−6)2 ⋅ 1 = 6

οπότε

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.

Τριώνυµο

= −(−6)2 ⋅ 1 = 6

οπότε

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.

Βασικες γνωσεις μαθηματικων απο το Γυμνασιο

Education

Transcript of Βασικες γνωσεις μαθηματικων απο το Γυμνασιο