Φτιάχνουμε Θέματα Από Το Σχολικό-2

Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό βιβλίο

Μπάμπης Στεργίου

Βλέπω ότι κάθε χρόνο μετά τις εξετάσεις λέμε : Με ποια άσκηση του σχολικού βιβλίου μοιάζει το θέμα αυτό ή αυτή η ερώτηση ;Το έλυνε ο μαθητής αν είχε λύσει αυτή(...) την άσκηση ; Δεν σας κρύβω ότι και γω στις εξετάσεις δε φοβάμαι τίποτα πιο πολύ από το να τεθεί μια μικρή παραλλαγή ή επέκταση μας σχολικής άσκησης και να μου πουν : Να κύριε, αυτή δεν την είχαμε ξαναλύσει ή δεν την προσέξαμε ! Επειδή λοιπόν είναι από κάθε σκοπιά παράλογο οι μαθητές μας να έχουν λύσει χίλιες εξωσχολικές ασκήσεις και να χάσουν μια σχολική, άρχισα από χθες να παίρνω μία - μία τις πιο χαρακτηριστικές ασκήσεις του σχολικού και να τις κάνω θέματα ή να κρύβω τις ιδέες των ασκήσεων μέσα σε απλές κατά τα άλλα ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Θεωρώ πως θα ήταν μια εξαιρετική βοήθεια προς τους μαθητές (και τους εαυτούς μας ίσως) να συλλέξουμε όσα περισσότερα μπορούμε από αυτά τα θέματα (ή και ασκήσεις του ενός ερωτήματος). Θα έχει νομίζω ενδιαφέρον για δύο τουλάχιστον ακόμα χρόνια ! Αρχίζω με δύο θέματα από τα ολοκληρώματα (η ιδέα είναι από τις πρώτες γενικές ασκήσεις του σχολικού) και συνεχίστε εσείς με ό,τι κρίνετε ωραίο και σημαντικό.

Επιμέλεια ασκήσεων : Μάκης Χατζόπουλος

ΑΣΚΗΣΗ 1 (γεν.2/σελ 352)

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : 1

( )sin

f xx

, (0, )x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.

β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f .

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC τον άξονα x'x και τις ευθείες με εξισώσεις

,3 2

x x

.

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 2 (γεν.6,σελ 352)

Δίνονται οι συναρτήσεις : 2

1( ) 1

xf x u du και

1( ) ( )

xg x f t dt

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f , g.

β) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες.

γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση g

δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και

τους άξονες των συντεταγμένων.

Υπόδειξη

Χαράλαμπος Στεργίου - Μάκης Χατζόπουλος 29/04/2013

ΑΣΚΗΣΗ 3

Αν : (0, ) f R και παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε να ισχύουν : g R R ( ( )) ( ) , f g x g x x x R

και 1

( ( )) ( ) ,

x

xf g x g x x R

eμε (0) 1g

Α) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο είναι η g (1, (1))A g (1)y g x

Β) Να αποδειχθεί ότι ln

( ) , (0, ) x

f x xx

και ότι είναι κοίλη, στο (0, )e e και η κυρτή στο g R

Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 1x

Δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των f και g

και των ευθειών 1, ln 3 x x

Ε) Να δείξετε ότι 6 2 ln 3 ee

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 4

Α) Να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του για την οποία ισχύει 0x ln 0 x x x

Β) Αν ( ) ln , 0 f x x x x με 0 να βρείτε την εφαπτομένη ( ) της γραφικής παράστασης της f ,

ώστε τα σημεία της f , να είναι όλα πάνω από τα σημεία της ( ) εκτός του σημείου επαφής

Γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση ln

1

( ) ( ) x

tF x e et dt

Δ) Αν να δείξετε ότι 0a1

( ) 12

a

t ee et dt

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : 3( ) 3 f x x x a , με a .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f .

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

δ) Για τις διάφορες τιμές του a να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης ( ) 0f x

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 6


A. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών αριθμών που ικανοποιεί τη σχέση:

( ) 1( ) , 0 f xf x e x ά x

x με (1) 0f .

α) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση

2

( )2( ) x

f xg x xe e , όπου (0, ) x , να αποδείξετε ότι :

2

2( ) , 0

x

g x e x .

β) Να βρείτε τον τύπο της f

B. Έστω ( , ( ))M a f a ένα σημείο της fC που αποκρίνεται από τον άξονα των τεταγμένων με ρυθμό 2 / . m s

α) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ( )E a που περικλείεται από τη fC , τον άξονα x'x και την

ευθεία x a τη στιγμή που η τετμημένη του M είναι . e

β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο M με τον άξονα x'x τη στιγμή που η τετμημένη του M είναι . e

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει ότι : | 3z 4 | 2 z i

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας M του z

β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του |z|

γ) Έστω δύο από τους μιγαδικούς που επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση με = 4. 1 2z , z 1 2| |z z

Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων :

i) 1 2| | A z z

ii) 2 21 2| | | |B z z z z

Σχόλιο :- Η άσκηση αυτή καλύπτει εκτός των άλλων και την άσκηση Β7/σελίδα 102- Θα μπορούσε να δοθεί αντί του κύκλου , ο κυκλικός

δίσκος | 3 4 | 2 z i

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 8 (συνδυασμός ασκήσεων - γενικό θέμα)

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών που έχει την ιδιότητα :

( )y ( ) ( ), , f x f x f y ά x y 0

A. Να αποδείξετε ότι:

α) 1

( )

f f xx

και ( ) ( )

xf f x f y

y για κάθε , 0x y


β) Αν η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα, τότε η ( ) 0f x f αντιστρέφεται.

Β. Αν η f είναι συνεχής σε κάποιο ,να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής και να βρεθεί το όριο 0a1

lim ( )

x

A f x

Γ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 με (1) 1 f , να βρεθεί o τύπος της συνάρτησης αυτής.

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 9 (Συνδυασμός)

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το που είναι συνεχής στο και έχει την ιδιότητα : 0

( ) ( ) ( ) 6 f x y f x f y xy για κάθε , x y

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής .

β) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : 1

1( )

I f x dx

γ) Αν η f είναι και παραγωγίσιμη στο 0 με (0) 0 f , να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f .

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 10 (γενικό θέμα)

Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι υπάρχει αρχική της : (0, ) (0, ) f F f με την

ιδιότητα : . 2( ) ( )) ( ) F x f x f x2( , 0ά x

Να αποδειχθεί ότι :

α) η f είναι γνησίως αύξουσα,

β) η f είναι κυρτή,

γ) li , m ( )

x

f x

δ) ( )

lim 1

x

f x

x

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 11(συνδυασμός)

Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 2 1 f x x lnx

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.

β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f

γ) Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς a, b, c, αν ισχύει ότι : ( ) ( ) ( ) 0 f a f b f c

δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γραφική παράσταση της f

και την ευθεία x e

Υπόδειξη


ΑΣΚΗΣΗ 12

Α. Να λυθεί η εξίσωση 2 1 0 z z και να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της έχουν μέτρο 1.

B. Αν a είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης, να αποδειχθεί ότι 2010 1a .

Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί , για τους οποίους ισχύει ότι : z 2012 1 0 z z και | | 1z

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 13 (γενικό θέμα)

Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί με z, a, b, c,d

z a b c d και | | | |, | | | |, | | | |, | | | | z a a z b b z c c z d d


α) 0z

β) Αν οι μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα, τότε : a, b,c,d

i) ab ab cd cd

ii) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές τις εικόνες των αριθμών είναι ορθογώνιο. a, b,c,d

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 14 (συνδυασμός ασκήσεων, σελ.101-102 )

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με | |=| |=| |=2, + + =1γ

α) Να αποδειχθεί ότι : ( + )( + )( + )

β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : 1 1 1

K

γ) Να αποδειχθεί ότι | | | | | | 2

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 15 (προεκτάσεις )

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α , β , γ που έχουν μέτρο 1 και άθροισμα διάφορο του μηδενός. Αν ισχύει ότι

2 2 2 0 , να αποδειχθεί ότι :

α) 2 2 2 2 2 2| | | | | |

β) 2 2 2

1 1 10

γ) Οι εικόνες των αριθμών , , , ,

είναι ομοκυκλικά σημεία.

δ) | |


2

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 16 (γενικό στους μιγαδικούς)

Τρεις μιγαδικοί αριθμοί $a,b,c$ έχουν μέτρο 1 και ικανοποιούν τη σχέση : 1 a b c


α) ab bc ca abc

β) (1 )(1 )(1 ) 0 a b c

γ) 2009 2009 2009

1 1 11

a b c

δ) Αν οι αριθμοί a,b,c είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε οι εικόνες τους σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.

Υπόδειξη

Άσκηση 17 (…για το τελευταίο υποερώτημα)

Δίνεται συνάρτηση f με τύπο 1

( )ln

f xx

.

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f και το σύνολο τιμών της.

δ) Να αποδειχθεί ότι 1

1 ln 1, (0, x x x )x

ε) Να υπολογίσετε τα όρια και

2

1lim ( )

x

xx

A f t dt

2

1lim ( )

x

xx

B t f t dt

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 18 (στο γενικό μέρος!)

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το είναι 1 1 και έχει την ιδιότητα :

( )· (1 ) ( ), f x f x f ax b ά x


α) 0a

β) ( ) 0f b

γ) (1 ) 1 f b

δ) η συνάρτηση f δεν έχει σύνολο τιμών το .

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 19

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 2( ) f x x


x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 και να εξετάσετε αν η 1 f αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πεδίο ορισμού της 1f .

γ) Να αποδείξετε ότι η 1f είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : 1 2( 1) f x x

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 20

Δίνονται δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το που έχουν την ιδιότητα :

( ( )) ( ( )) f g x g f x x , για κάθε x .


α) Οι συναρτήσεις f, g είναι περιττές και (0) (0)f g .

β) Οι συναρτήσεις f, g είναι αντιστρέψιμες

γ) Οι συναρτήσεις f, g έχουν σύνολο τιμών το

δ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως μονότονες, δεν μπορούν να έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

ε) Ισχύουν οι σχέσεις: 1 ( ) ( ) f x g x και , 1 ( ) ( ) g x f x ά x .

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 21 - προεκτάσεις

Δυο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το IR έχουν την ιδιότητα :

3( ( )) g f x x για κάθε x .

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

β) Η g έχει σύνολο τιμών το

γ) Δεν μπορεί να ισχύει η σχέση 2( ( )) f g x x για κάθε x .

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 22 - Σχολικό Β2 / σελίδα 339

Δίνεται η συνάρτηση : cos

2

sin

( ) 1 x

x

f x t dt

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρεθεί η συνάρτηση f , αν 0,2

x

γ) Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός :

cos13

2

sin13

11 A


t dt είναι ρητός.

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 23- Συνδυασμός

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : ( )1

x

x

ef x

e

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση αυτή ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

γ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη της f και να την βρείτε.

δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : 1 2

1( )

I x f x dx

Υπόδειξη

Άσκηση 24 – Σχολικό βιβλίο:Α8 / Σελ 101

Δίνονται οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύουν ότι ,z w 1z και 2 1 w z

Α) Να βρείτε τη γραμμή C που ανήκουν οι εικόνες του w

Β) Να βρείτε το ελάχιστο w

Γ) Να αποδείξετε ότι το σημείο και οι εικόνες των είναι σημεία συνευθειακά. 1,0 ,z w

Δ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w

Ε) Αν οι μιγαδικοί έχουν εικόνες στη γραμμή και 1 2,w w C 1 2| | 4 w w , να βρεθεί o αριθμός 1 2| |w w

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 25 - εκτός πνεύματος βιβλίου αλλά εντός πνεύματος εξετάσεων!

Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε, ( )

1( ) , 0

1

f x

xx f x ά x

e .

α) Να αποδείξετε ότι ( ) ln , 0 f x x x

β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

1

, 01

a

a

lnxI dx a

x

γ) Αν και 0 , a b a b2

01

b

a

lnxdx

x, να αποδειχθεί ότι 1 a b 1 και ab

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 26

Δίνεται η συνάρτηση 3( ) 3 (2 ln 1) 4, 0 f x x x x x .

α)Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα .


β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , να βρείτε το σύνολο τιμών και το πρόσημό της .

γ) Να λύσετε την εξίσωση . ( ) 0f x

δ) Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς a, b, c , αν ισχύει η σχέση 2 2 2 2ln( ) 3 a b c abc

ε) Να λύστε την εξίσωση : 3 2( ) ( ) ( ) ( ) 4f x f x f x f x .

Σχόλιο: Τα τρία πρώτα ερωτήματα είναι βασικά και κοντά στο επίπεδο του σχολικού βιβλίου (δείτε ασκήσεις

στη μονοτονία και τα ακρότατα) . Τα ερωτήματα δ) και ε) μπορούν να ταιριάξουν σε κάθε συνάρτηση που έχει

ακρότατο (ερώτημα δ) ή είναι γν. μονότονη (ερώτημα ε). Αν η συνάρτηση ορίζεται και στο 0, τότε το ερώτημα

ε) μπορεί να πάρει την παρακάτω ή άλλη παρόμοια μορφή : Να λύστε την εξίσωση :

( ) (3 ) (2 ) (5 ) f x f x f x f x .

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 27 - Σχολικό Γ9/σελ 292

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln , 0 f x x kx k .

α) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε.

β) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του , για την οποία είναι 0k k 0ln x k x , για κάθε 0x

γ) Για την τιμή του παραπάνω ερωτήματος να αποδείξετε ότι η ευθεία 0k 0( ) : l y k x εφάπτεται με τη gC ,

όπου . ( ) lg x n x

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x'x

και την εφαπτομένη της gC που περνάει από την αρχή των αξόνων.

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ - 28 γενικό θέμα

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις , με την , : f g f γνησίως φθίνουσα και την g γνησίως αύξουσα.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις 0

( ) x

( )F x f t dt και 0

( ) ( )x

G x g t dt , με x .

Υποθέτουμε ότι υπάρχει 0 τέτοιο , ώστε 0 0

( ) ( ) f t dt g t dt

.


α) Η συνάρτηση είναι κοίλη και η G είναι κυρτή. (Μονάδες 3) F

β) Υπάρχει (0, ) τέτοιο , ώστε ( ) ( )f g . (Μονάδες 4)

γ) Η συνάρτηση 1

( ) ( )h x F xx

είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (0, ) και ( . ,0 )

(Μονάδες 7)

δ) Για κάθε ισχύει ότι , x y( ) ( )

2 2

x y G x G yG


(Μονάδες 6)

ε) Ισχύει ότι 0 0

1 1· ( ) · ( )

x yf t dt g t dt

x y ,για κάθε , (0, )x y . (Μονάδες 5)

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 29 - Σύνδεση ερωτημάτων

Μια συνάρτηση f με (1) 0f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της (0, ) A , είναι παραγωγίσιμη στο 1

και έχει την ιδιότητα : ( )f x x ln , 0 x ά x .

α) Να αποδείξετε ότι (1) 1 f

β) Να βρείτε το όριο 1

( )lim

ln

x

f xA

x

γ) Αν 1

( )1

e f xdx

x, να βρείτε τον τύπο της f στο διάστημα [1,e]

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 30

Δίνεται συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση : [0, ) f ™ με την ιδιότητα 2( )( ) fof x x για κάθε

0x .Να αποδείξετε ότι :

α) 2 2( ) ( ), 0 f x f x ά x

β) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το [0, ) .

γ) Η συνάρτηση με τύπο είναι κυρτή και ισχύει 0

( ) ( ) , 0 x

g x f t dt x

( ) ( )

g a g b

a b για κάθε με , a b 0 a b

δ) Αν η f είναι επιπλέον παραγωγίσιμη , τότε 1

0(2 1) ( ) 1 x f x dx

Υπόδειξη

ΑΣΚΗΣΗ 31

Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει την ιδιότητα : ( ) ( ) 0 f x f x για κάθε στο IR και . Να (1) 2011f

αποδειχθεί ότι :

α) Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση 0x

β) To ολοκλήρωμα 1

1

1( )

1

x

x

eI f x dx

e είναι ίσο με 0 .


γ) 1 1

1 0

( ) ( )1

x

x

ef x dx f x dx

e

δ)

1x

x

1

f xf x ln 1 e dx 2011

1 e

Υπόδειξη

Κλείνω αυτή την προσπάθεια συλλογής μερικών βασικών ιδεών και θεμάτων που πηγάζουν από το σχολικό βιβλίο -

μερικά βέβαια επεκτείνονται πέραν αυτού - με την τελευταία άσκηση, αρκετά δύσκολη σε μερικά σημεία. Ελπίζω

ποτέ να μην την βρούμε στο δρόμο μας ως διορθωτές!

Η χρονιά τελείωσε! Ό,τι ήταν να διδάξουμε το κάναμε, πιστεύω με αίσθημα ευθύνης και σεβασμού απέναντι στον

εαυτό μας αλλά κυρίως στους μαθητές και τους γονείς τους. Οι μαθητές έχουν πια ολοκληρώσει την προετοιμασία

τους και καμία άλλη άσκηση δεν έχει νόημα στο διάστημα που απομένει.

Τα μαθηματικά δεν έχουν τέλος, ούτε οι ασκήσεις. Μοιάζει με ουτοπία αλλά και είναι ολέθριο λάθος να προσπαθεί

κανείς να μαντέψει τα θέματα . Καλό είναι την αγωνία τη δική μας να μην την μεταδώσουμε στα παιδιά. Ό,τι και να

είναι τα θέματα, εύκολα , δύσκολα ή μέτρια, θα περάσουν πάλι οι καλύτεροι, αρκεί αυτά να είναι δίκαια, σωστά

διαβαθμισμένα και να εκπληρώνουν επιτυχώς το σκοπό τους.

Εύχομαι καλή επιτυχία στους μαθητές που παρακολούθησαν το www.mathematica.gr (και το lisari.blogspot.com)!

Εύχομαι επίσης να καρποφορήσουν οι κόποι όλων των συναδέλφων που μόχθησαν με μεράκι όλη τη χρονιά,

υπηρετώντας με πάθος και συχνά ξεπερνώντας τον εαυτό τους , σε αυτόν τον ιερό σκοπό της διδασκαλίας και της

προετοιμασίας των μαθητών τους για το επόμενο σημαντικό βήμα της ζωής τους μέσα στην τριτοβάθμια

εκπαίδευση.

Ευχαριστίες

Ευχαριστώ τον εκλεκτό συνάδελφο και φίλο Μάκη Χατζόπουλο που με μεράκι και θέρμη

έκανε την αποδελτίωση των θεμάτων και επιμελήθηκε την όλη προσπάθεια, καθώς και τους

υπόλοιπους συναδέλφους συμμετείχαν σε αυτή την προσπάθεια !


Μπάμπης Στεργίου

Φτιάχνουμε Θέματα Από Το Σχολικό-2

Documents

Transcript of Φτιάχνουμε Θέματα Από Το Σχολικό-2