ΗΜΥ 100Εισαγωγή στην Τεχνολογία Διάλεξη 7

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

30 Σεπτεμβρίου, 2008

Δρ. Στυλιανή Πετρούδη

Τα θέματα μας σήμερα ΚΕ3 Αυτή η εργασία πρέπει να παραδοθεί

στις 7/10/2008 Σημειώσεις Εργαστήρια Επανάληψη – Ασκήσεις Ηλεκτρικών

Κυκλωμάτων Χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα Παράμετροι σημάτων

Άσκηση 1

Άσκηση 2

Ορισμός σήματος• Το σήμα είναι μια φυσική ποσότητα η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο ή με το χώρο (ή και τα δυο).• Τα σήματα χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ δύο σημείων.• Παραδείγματα: -- Σήματα καπνού από τους Ινδιάνους -- Ομιλία (μπορεί να αναπαρασταθεί με ηλεκτρικό σήμα) -- ραδιοκύματα -- ηλεκτρισμός• Μερικές κατηγορίες σημάτων: -- Περιοδικά ή απεριοδικά -- Ψηφιακά ή αναλογικά

Περιοδικό σήμα (periodic signal)• Ορισμός: Ένα σήμα f(t) είναι περιοδικό αν,

)()( nTtftf για κάθε χρόνο t και για όλους τους ακέραιους αριθμούς n.

Πιο απλά, ένα σήμα είναι περιοδικό όταν επαναλαμβάνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα.

Παραδείγματα περιοδικών σημάτων:-- Ημιτονοειδές σήμα-- Τετραγωνικό σήμα

Παραδείγματα απεριοδικών σημάτων:-- Ομιλία-- Παλμοί

Ημιτονοειδές σήμα (sinusoidal signal)

• A: πλάτος (amplitude) • f: συχνότητα (frequency)• φ: φάση (phase)• T (f=1/T): περίοδος (period)• ω, ω=2πf: γωνιακή συχνότητα (angular frequency)• Στο παράδειγμα: Α = 2 V Τ = 2 s f = 0.5 Hz ω = π rad/s φ = 0 rad

)2cos()( ftAtf

Παράμετροι σήματος

• Τιμή κορυφής ή κορυφοτιμή (peak value, Vp)• Τιμή από κορυφή σε κορυφή ή διακορυφοτιμή (peak to peak value, Vpp)• Απόκλιση (DC offset)• Μέση τιμή (average value, Vavg)• Ενεργός τιμή (root mean square value, rms, Vrms)*

• Περίοδος (period, T)• Συχνότητα (frequency, f)• Φάση (phase, φ)

* Το “mean square value” μεταφράζεται ως μέση τετραγωνική τιμή

Παράδειγμα• Vpp =

• Vp =

• Vavg =

• Απόκλιση =

Vmax-Vmin = 1-(-3) = 4 V

(Vmax+Vmin)/2 = (1+(-3))/2 = -1 V

Vpp/2 = 4/2 = 2 V

Vavg = -1 V

BftAtf )2cos()( 1)12cos(2)( ttf

Άσκηση στην τάξη

Υπολογίστε τα ακόλουθα:-- Τιμή από κορυφή σε κορυφή:-- Μέγιστη τιμή: -- Περίοδος:-- Συχνότητα: -- Μέση τιμή:

Vpp = Vmax - Vmin = 3-(-3) = 6 VVmax = 3 V

T = 4 sf = 1/T = 0.25 HzVavg = 0

Άσκηση στην τάξηΣχεδιάστε τη γραφική παράσταση του συνημιτονοειδούς σήματος με τα πιο κάτω χαρακτηριστικά:-- f = 1 Hz-- Vpp = 4 V-- Απόκλιση = 1 V

Μέση τιμή (average value)

T

Tavg dttf

Tf

0

)(1

lim

• Η μέση τιμή ενός σήματος f(t) ορίζεται ως:

T

avg dttfT

f0

)(1

• Για ένα περιοδικό σήμα με περίοδο T:

Ενεργός τιμή (root mean square value)

T

Trms dttf

Tf

0

2 )(1

lim

• Η ενεργός τιμή ενός σήματος f(t) ορίζεται ως:

T

rms dttfT

f0

2 )(1

• Για ένα περιοδικό σήμα με περίοδο T:

Παράδειγμα• Υπολογίστε την μέση τιμή του σήματος:

• Λύση: -- Το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο 1 s (f = 1 Hz)

0

)]0sin()2[sin(2

5

)]2sin(2

5[)2cos(5

1

1)(

1 10

1

00

avg

T

avg

v

tdttdttvT

v

)2cos(5)( ttv

• Σημείωση: Η ενεργός τιμή ενός ημιτονοειδούς σήματος (χωρίς απόκλιση) είναι ίση με Α/√2 όπου Α το πλάτος του σήματος. Σε αυτό το παράδειγμα, vrms = 5/√2.

Παράδειγμα• Υπολογίστε την ενεργό τιμή του σήματος:

• Λύση: -- Το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο 0.5 s (f = 2 Hz)

2)4cos(3)( ttv

0.5 0.52 2 2

0 0 0

0.50.50

0

1 1( ) (3cos(4 ) 2) 2 (9cos (4 ) 12cos(4 ) 4)

0.5

9 9 17 9 1 12 ( cos(8 ) 12cos(4 ) 4) 2 [ sin(8 ) 12 sin(4 )]

2 2 2 2 8 4

17 9 3 172 [ sin(4 ) sin(2 )] [0 0 0] 2

4 16 4

T

rms

rm

v v t dt t dt t t dtT

t t dt t t t

v

17

2s

Καθυστέρηση φάσης (phase lag)

• Χρονική μετατόπιση του σήματος προς τα δεξιά

tf 2

2)

4

1(122

tf

• Γι’ αυτό το παράδειγμα:

• Υπάρχει καθυστέρηση φάσης 90°

Προήγηση φάσης (phase lead)

• Χρονική μετατόπιση του σήματος προς τα αριστερά

tf 2

24

1122

tf

• Γι’ αυτό το παράδειγμα:

• Υπάρχει προήγηση φάσης 90°

lead

Υπολογισμός φάσης σήματοςΠρώτα πρέπει να βρούμε την εξίσωση του σήματος.Γενική μορφή:

BftAtv )2cos()( (Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί το sin αντί του cos).Από την γραφική παράσταση μπορούμε να υπολογίσουμε τις ακόλουθες παραμέτρους του σήματος:

1)2cos(3)(

V12)(

Hz11

V32)(

minmax

minmax

ttv

VVVBT

f

VVVA

avg

p

Από τη γραφική παράσταση, σε χρόνο t = 0, v(0) = -1 V

rad2

0cos3

1cos31

Τετραγωνικό σήμα (square wave)

• Τα τετραγωνικά σήματα συναντώνται σε ψηφιακές εφαρμογές.• Το σήμα μεταβάλλεται από τη μέγιστη του τιμή στην ελάχιστη σε χρόνο μηδέν (ιδανική περίπτωση).• Σε αυτό το παράδειγμα η εξίσωση του σήματος δίνεται από τη σχέση:

TtT

Tttv

2για3

20για3)(

Παράδειγμα

• Vmax = 3 V• Vmin = -3 V• Vpp = 3 - (-3) = 6 V• Vp = 3 V• T = 2 s• f = 0.5 Hz• Vavg = 0 V• Απόκλιση = 0 V

Παράδειγμα

• Vmax = 2 V• Vmin = -4 V• Vpp = 2 - (-4) = 6 V• Vp = 3 V• T = 2 s• f = 0.5 Hz

V1

)]48()02[(2

1}]4[]2{[

2

1

422

1)(

1

21

10

2

1

1

00

avg

T

avg

v

tt

dtdtdttvT

V

Ισχύς (power)• Η ισχύς ορίζεται ως ο ρυθμός κατανάλωσης ενέργειας.• Η στιγμιαία ισχύς σε ένα στοιχείο υπολογίζεται από το γινόμενο της τάσης στα άκρα του στοιχείου και της έντασης που το διαπερνά.

Σ

Α

Β

v(t)

+

-

i(t)

)()()( titvtp

Παράδειγμα υπολογισμού στιγμιαίας ισχύος

Σ

Α

Β

v(t)

+

-

i(t)

)48cos(2

1)48cos()4cos(

)44sin()4sin(2)()()(

)44sin()(

)4sin(2)(

tt

tttitvtp

tti

ttv

2

1)]48[sin(

16

1]

22

1[)]48cos(

2

1[

2

1 20

20

2

0

ttdttP

Μέση τιμή ισχύος• Η στιγμιαία ισχύς δίνει τη μεταβολή της ισχύος με το χρόνο.• Η μέση τιμή της ισχύος όμως είναι συνήθως πιο χρήσιμη σε πολλές εφαρμογές. • Η μέση τιμή της ισχύος σε περιοδικά σήματα τάσης και έντασης δίνεται από τη σχέση:

T

dttpT

P0

)(1

• Στο προηγούμενο παράδειγμα:

• Προσοχή: avgavg ivP

Στιγμιαία ή μέση τιμή• Η στιγμιαία τιμή δίνει την κατανάλωση ισχύος από μια συσκευή ή ένα στοιχείο σε κάθε χρονικό σημείο.• Η μέση τιμή δίνει τον μέσο όρο κατανάλωσης ισχύος σε μια περίοδο Τ.

• Παράδειγμα: -- Μια ηλεκτρική λάμπα των 100 W καταναλώνει 100 J ανά δευτερόλεπτο. Τα 100 W είναι η μέση τιμή ισχύος της λάμπας. -- Η στιγμιαία ισχύς της συγκεκριμένης λάμπας μεταβάλλεται από 0 έως 200 W (0 στις 0° και 180° και 200 στις 90° και 270°).

Χρήσιμοι τύποι από την τριγωνομετρία

)sin()sin(2

1cossin

)cos()cos(2

1coscos

)cos()cos(2

1sinsin

BABABA

BABABA

BABABA

AA

AA

2cos2

1

2

1cos

2cos2

1

2

1sin

2

2