Ἀναγνώστε τό φύλλον τῆς 22.06.12 τοῦ «Ὀρθοδόξου Τύπου» (αρ. φ. 1932)
«Ευκλ 0ίης» · 2019-07-08 · Τό ον πίνακα ίναι γραμμένοι οι...
1
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Δ΄ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15 1/2 ΕΤΩΝ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 06/05/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού . 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Πρόβλημα 1 : Δίνεται η εξίσωση 3 − 12 + 8 = 0 (1). Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα της εξίσωσης (1) να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 = 4034 1 −4 2017 1 είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης (1). Πρόβλημα 2 : Δίνεται τρίγωνο ⊿. Πάνω στις πλευρές του παίρνουμε σημεία , αντίστοιχα τέτοια ώστε = . Η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ∠ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ⊿ στα σημεία . Αν η κάθετη από το πάνω στην τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα στο , να αποδείξετε ότι ∠ = ∠. Πρόβλημα 3 : Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1 = 2015, 1 = 2016 1 = 2017. Κάποιος παίζει το εξής παιχνίδι, ακολουθώντας τα εξής βήματα: Βήμα 1 ο : Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς 1 , 1 , 1 (έστω ότι διαγράφει τους 1 , 1 ) και στην θέση τους γράφει τους αριθμούς 2 = 2 1 − 1 2 = 2 1 − 1 . Τότε στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 2 , 2 , 1 . Βήμα 2 ο : Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς 2 , 2 , 1 (έστω ότι διαγράφει τους 2 , 1 ) και στην θέση τους γράφει τους αριθμούς 3 = 2 2 − 1 2 = 2 1 − 2 . Τότε στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 2 , 3 , 2 . Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται και στα επόμενα βήματα. Να εξετάσετε αν μετά από κάποιο πλήθος βημάτων είναι δυνατόν οι δύο από τους τρείς αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι ταυτόχρονα ίσοι με το μηδέν. Πρόβλημα 4 : Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς έτσι ώστε οι αριθμοί 2 3 (γραμμένοι στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης) να έχουν ίδιο το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα τους, το οποίο να είναι διαφορετικό του (δηλαδή, αν το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα των 2 3 είναι , τότε ≠).
Transcript of «Ευκλ 0ίης» · 2019-07-08 · Τό ον πίνακα ίναι γραμμένοι οι...
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Δ΄ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15 1/2 ΕΤΩΝ
«Ευκλείδης»
Ημερομηνία: 06/05/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30
ΟΔΗΓΙΕΣ:
1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας.
2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι)
3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού . 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής.
Πρόβλημα 1 : Δίνεται η εξίσωση 𝑥3 − 12𝑥 + 8 = 0 (1).
Αν ο αριθμός 𝜌1 είναι ρίζα της εξίσωσης (1) να αποδείξετε ότι ο αριθμός
𝜌2 =4034𝜌1 − 4
2017𝜌1
είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης (1).
Πρόβλημα 2 : Δίνεται τρίγωνο ⊿𝛢𝛣𝛤. Πάνω στις πλευρές του 𝛢𝛣 𝜅𝛼𝜄 𝛢𝛤 παίρνουμε σημεία
𝛫, 𝛮 αντίστοιχα τέτοια ώστε 𝛫𝛣 = 𝛫𝛮. Η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ∠𝛢𝛤𝛣 τέμνει τον
περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ⊿𝛢𝛣𝛤 στα σημεία 𝛤 𝜅𝛼𝜄 𝛲. Αν η κάθετη από το 𝛲 πάνω
στην 𝛢𝛣 τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα 𝛣𝛮 στο 𝛥, να αποδείξετε ότι ∠𝛫𝛥𝛢 = ∠𝛫𝛮𝛢.
Πρόβλημα 3 : Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 𝛼1 = 2015, 𝛽1 = 2016 𝜅𝛼𝜄 𝛾1 = 2017. Κάποιος παίζει το εξής παιχνίδι, ακολουθώντας τα εξής βήματα:
Βήμα 1ο : Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς 𝛼1, 𝛽1, 𝛾1 (έστω ότι διαγράφει τους
𝛼1, 𝛽1) και στην θέση τους γράφει τους αριθμούς 𝛼2 = 2𝛼1 − 𝛽1 𝜅𝛼𝜄 𝛽2 = 2𝛽1 − 𝛼1. Τότε στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 𝛼2, 𝛽2, 𝛾1. Βήμα 2
ο : Διαγράφει από τον πίνακα δύο από τους αριθμούς 𝛼2, 𝛽2, 𝛾1 (έστω ότι διαγράφει τους
𝛽2, 𝛾1) και στην θέση τους γράφει τους αριθμούς 𝛽3 = 2𝛽2 − 𝛾1 𝜅𝛼𝜄 𝛾2 = 2𝛾1 − 𝛽2. Τότε στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 𝛼2, 𝛽3, 𝛾2. Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται και στα επόμενα βήματα.
Να εξετάσετε αν μετά από κάποιο πλήθος βημάτων είναι δυνατόν οι δύο από τους τρείς
αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι ταυτόχρονα ίσοι με το μηδέν.
Πρόβλημα 4 : Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς 𝜈 έτσι ώστε οι αριθμοί
𝜈2 𝜅𝛼𝜄 𝜈3 (γραμμένοι στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης) να έχουν ίδιο το τελευταίο τετραψήφιο
τμήμα τους, το οποίο να είναι διαφορετικό του 𝜈 (δηλαδή, αν το τελευταίο τετραψήφιο τμήμα
των 𝜈2 𝜅𝛼𝜄 𝜈3 είναι 𝛼𝛽𝛾𝛿̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ , τότε 𝛼𝛽𝛾𝛿̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ≠ 𝜈).
