Statistiek

HC2MFEMeten van verschillen

Verschillen meten

De ene groep heeft dieet A gevolgd, de andere groep heeft dieet B gevolgd. Is er verschil in het gewicht? Berust dit verschil op toeval?

Is er een verschil ? Toeval?

ziek niet ziek

Chinees (VD1) 10 6

Piet Patat (VD2) 20 17

Populatie en steekproef

Xμ

x

Doel van de toets

Het doel van een toets is: uitvinden of je experiment nauwkeurig genoeg was, om tot de conclusie te komen dat een gevonden verschil ook echt bestaat, en dus niet toevallig is.

H0: er is geen verschil H1: er is wel een verschil

Een toets leidt tot 2 mogelijke conclusies:1. Er is voldoende reden om aan te nemen dat er echt een

verschil is2. Er is niet voldoende reden om aan te nemen dat er echt

een verschil is

Wanneer welke toets

De toetskeuze hangt af van de testvariabele

Nominaal: Chi-kwadraat Ordinaal: Mann-Whitney (rangorde), tekentoets (+ of - ) Interval / ratio: t-toets

Als een interval/ratio-variabele te weinig waarnemingen bevat, en ook nog eens niet normaal verdeeld is, mag je geen t-toets gebruiken.

In dat geval geef je iedere waarneming een rangnummer (bij twee groepen) of een + cq. – (bij 1 groep) en gebruik je een toets voor ordinale variabelen.

De juistheid van de toets

Een toets geeft geen zekerheid …

Het significantieniveau α geeft aan hoe groot de kans is dat je een fout mag maken. α is vaak 1% of 5%.

Meer precies vertelt de α je, hoe groot de toegestane kans is dat je tot de conclusie komt dat een gevonden verschil echt bestaat, terwijl er eigenlijk helemaal geen verschil is …

Stappenplan toets

Bepaal de meetniveaus van de variabelenKies een toetsBepaal α en bepaal of de toets 1- of 2 zijdig

isBereken de toetsstatistiekBepaal de kritieke waardeTrek een conclusie

Voorbeeld

Een onderzoek: 75 mensen (een steekproef) krijgen drie verschillende drankjes: AA-drink, cola en strorum. Daarna lopen ze 10 km hard. Er wordt gevraagd hoe het ging. Is er echt een verschil tussen de mensen die verschillende drankjes dronken? mening * drankje Crosstabulation

18 7 5 30

72,0% 28,0% 20,0% 40,0%

7 18 20 45

28,0% 72,0% 80,0% 60,0%

25 25 25 75

100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

Count

% within drankje

Count

% within drankje

Count

% within drankje

leuk

echt niet tof

mening

Total

AA-drink cola strorum

drankje

Total

Toetsen met de chi-kwadraat-toets

Dranksoort is een nominale (splitsings)variabele

Mening is een nominale (test)variabele

Handig: de splitsingsvariabele in de kolommen

Van de mensen die het leuk vonden heeft 72% AA-drink gehad, 28% cola en 20% strorum. Is er tussen de groepen drinkers echt een verschil ?

Toetsen met de chi-kwadraat-toets Essentie van de chi-kwadraat-toets: frequenties die je hebt

gevonden vergelijken met frequenties die je zou verwachten op basis van toeval. Als het verschil groot genoeg is, kun je de H0 verwerpen

Gevonden celfrequentie: fcel Verwachte celfrequentie: ecel

aa-drink

cola stro-rum

tot.

leuk 18 7 5 30

niet leuk

7 18 20 45

25 25 25 75

aa-drink

cola stro-rum

tot.

leuk

niet leuk

Toetsen met de chi-kwadraat-toets

De ecel bereken je door het kolomtotaal met het rijtotaal te vermenigvuldigen, en dit te delen door het algemene totaal.

aa-drink cola strorum tot.

leuk (25*30)75 10 10 30

niet leuk 15 15 15 45

tot. 25 25 25 75

Toetsen met de chi-kwadraat-toets

16,3=e

)e-(f=chi

cel

2celcel

cel2 ∑

fcel ecel (fcel-ecel) (fcel-ecel)2

18 10 8 64 6.4

7 15 -8 64 4.2666

7 10 -3 9 0.9

18 15 3 9 0.6

5 10 -5 25 2.5

20 15 5 25 1,6667

16,3

cel

2celcel

e

)e-(f

Toetsen met de chi-kwadraat-toets

De chi-kwadraat is dus 16,3

Vrijheidsgraden (degrees of freedom, df) = (r-1)(k-1) = 1*2=2

Significantieniveau α stellen op 5%

Zie bijlage 2

5,99

Toetsen met de chi-kwadraat-toets

16,3 is dus veel groter dan 5,99 (de kritieke waarde). H0 wordt verworpen. Er is voldoende reden om aan te nemen dat er echt een verschil is in de meningen van degenen die AA-drink, cola en strorum hebben gehad.

Toetsen met de Mann-Whitney U-toets

Nominale (splitsings)variabele Dit voorbeeld: groep (dichotoom: A of B)

Cijfer is een minstens een ordinale (test)variabele. Dit voorbeeld: cijfer (ratio)

Is er echt een verschil ?

Toetsen met de Mann-Whitney U-toets

groep A rang groep B rang6 8 4 57 9 5 6,58 10 3 3,55 6,5 2 21 1 3 3,5

10 1134,5 31,5

score 1 2 3 3 4 5 5 6 7 8 10rang 1 2 3,5 3,5 5 6,5 6,5 8 9 10 11groep A B B B B A B A A A B

111

21 R-2

1)+(nn+nn=U

Toetsen met de Mann-Whitney U-toets

R1=34,5 (hoogste som) n1=5 n2=6

10.5=34,5-2

6*5+30=U

Toetsen met de Mann-Whitney U-toets

Bewijs met SPSS

Test Statisticsb

10,500

31,500

-,825

,409

,429a

Mann-Whitney U

Wilcoxon W

Z

Asymp. Sig. (2-tailed)

Exact Sig. [2*(1-tailedSig.)]

cijfer

Not corrected for ties.a.

Grouping Variable: groepb.

Ranks

5 6,90 34,50

6 5,25 31,50

11

groepA

B

Total

cijferN Mean Rank Sum of Ranks

Toetsen met de Mann-Whitney U-toets

De Mann-Whitney U is dus 10,5. Is dit significant ?

Significantieniveau α stellen op 5%

Zie bijlage 3

Waarschijnlijkheidswaarde = 0,241.

Dit is groter dan 0.05 (de gekozen α), dus geen significant verschil. H0 wordt niet verworpen. Er is onvoldoende reden om aan te nemen dat er, wat betreft het cijfer, echt een verschil is tussen de groepen A en B.

Toetsen met de t-toets

Drie vormen: gemiddelde van een steekproef vergelijken met een vaste

waarde (One-Sample T-test)

gemiddelden van twee onafhankelijke steekproeven met elkaar vergelijken (Independent-Samples T-test)

gemiddelden van twee afhankelijke steekproeven met elkaar vergelijken (Paired Samples T-test)

Toetsen met de t-toets

Een nominale (splitsings)variabele In dit voorbeeld: leeftijd (jonger dan 25 of ouder dan 25)

Dit zijn de twee groepen

Een (test)variabele op rationiveau In dit voorbeeld: BMI

Heeft de oudere groep een hoger BMI dan de jongere groep? En zo ja, is dit verschil toevallig?

Toetsen met de Independent-Samples T-toets

M1 = gemiddelde steekproef ‘jongeren’

n1 = omvang steekproef ‘jongeren’

s21 = variantie steekproef ‘jongeren’

M2 = gemiddelde steekproef ‘ouderen’

n2 = omvang steekproef ‘jongeren’

s22 = variantie steekproef ‘jongeren’

( ))sn+s)(nn+(n

2)n+(nnnM-M=t 2

2221121

212121

-

Toetsen met de Independent-Samples T-toets

BMIjong (X-Xgem) (X-Xgem)2 BMIoud (X-Xgem) (X-Xgem)230,0 9,0 81,4 22,3 -2,0 3,823,0 2,0 4,1 22,0 -2,3 5,121,2 0,2 0,0 23,8 -0,4 0,221,0 0,0 0,0 22,0 -2,3 5,120,3 -0,7 0,5 26,0 1,8 3,119,0 -2,0 3,9 38,0 13,8 189,120,8 -0,2 0,0 22,0 -2,3 5,122,6 1,6 2,6 19,9 -4,4 18,921,0 0,0 0,0 27,0 2,8 7,622,5 1,5 2,3 25,0 0,8 0,618,0 -3,0 8,9 20,0 -4,3 18,122,1 1,1 1,3 23,0 -1,3 1,621,0 0,0 0,024,0 3,0 9,1

1510,4 291,2 291,0 258,0

M1= 21,0 M2= 24,3

var1=4,0 var2= 21,5

n1=72 n2= 12,0

Toetsen met de Independent-Samples T-toets

( )

( )

-4.05=46132.296

708483,272-=t

257,990)+(291,204*84

82*8643,272-=t

)sn+s)(nn+(n

2)-n+(nnnM-M=t

222

21121

212121

Toetsen met de Independent-Samples T-toets De t-waarde is dus -4,05.

Betekent dit een significant verschil?

Significantieniveau α stellen op 5%

Vrijheidsgraden df = n1 + n2 – 2 = 82

Zie bijlage 4

Toetsen met de Independent-Samples T-toets

4,05 is dus groter dan 1,66 (de kritieke waarde). H0 wordt verworpen. Er is voldoende reden om aan te nemen dat de BMI van ‘jonge’ respondenten echt lager is dan van ‘oude’ respondenten.

Toetsen met de Independent-Samples T-toets

Group Statistics

72 20,978 2,0252 ,2387

12 24,250 4,8429 1,3980

leeftijddich24 jaar en jonger

25 jaar en ouder

wat is je BMI?N Mean Std. Deviation

Std. ErrorMean

Independent Samples Test

8,934 ,004 -4,055 82 ,000 -3,2722 ,8069 -4,8775 -1,6670

-2,307 11,649 ,040 -3,2722 1,4183 -6,3727 -,1718

Equal variancesassumed

Equal variancesnot assumed

wat is je BMI?F Sig.

Levene's Test forEquality of Variances

t df Sig. (2-tailed)Mean

DifferenceStd. ErrorDifference Lower Upper

95% ConfidenceInterval of the

Difference

t-test for Equality of Means

Toetsen met de one-sample T-toetsLet op: niet in het leerboek Methoden en Technieken

n = aantal cases Xgem = steekproefgemiddelde a = waarde uit de nulhypothese s = standaarddeviatie steekproef

s

a-Xn=t

Toetsen met de one-sample T-toets

Stel, je meet de BMI van een VD1-klas. Je wilt weten of de gevonden BMI-waarden significant verschillen met het gemiddelde BMI van 23 uit de populatie.

H0: µBMIpopulatie = 23

H1: µBMIpopulatie ≠ 23

Toetsen met de one-sample T-toets

n = 30 Xgem = 19,9 a = 23 s = 2

df = n -1 = 29 zie bijlage 4

BMI (X) (X-Xgem) (X-Xgem)^218.0 -1.9 3.517.0 -2.9 8.219.0 -0.9 0.820.0 0.1 0.025.0 5.1 26.422.0 2.1 4.621.0 1.1 1.322.0 2.1 4.619.0 -0.9 0.818.0 -1.9 3.518.0 -1.9 3.519.0 -0.9 0.820.0 0.1 0.021.0 1.1 1.318.0 -1.9 3.520.0 0.1 0.022.0 2.1 4.625.0 5.1 26.419.0 -0.9 0.819.0 -0.9 0.820.0 0.1 0.021.0 1.1 1.322.0 2.1 4.619.0 -0.9 0.820.0 0.1 0.019.0 -0.9 0.819.0 -0.9 0.818.0 -1.9 3.517.0 -2.9 8.219.0 -0.9 0.8

115.5

s

a-Xn=t

8.492

23-19,930=t

Toetsen met de one-sample T-toets

Bewijs met SPSS

Toetsen met de one-sample T-toets

Tweezijdig toetsen De t-waarde is veel kleiner dan -2,045. H0 verwerpen. Er

is onvoldoende reden om aan te nemen dat het gemiddelde van de VD1-klas echt verschilt van dat van de populatie