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Exp. Phys. 5, WS16/17 Denninger skript_23_12_2016_b Dies ist die Sammlung des Materials von Dienstag, 16.12. bis Freitag 23.12.2016. Inhalt:
1. fcc_struktur.pdf Seite 2 Bilder von ausgewählten Oberflächen
2. bragg_beugung.pdf Seite 5 Bragg'sche Beugungsbedingungen
3. laue_beugung.pdf Seite 9 Beugungdbedingungen von Laue
4. zustandsdichte.pdf Seite 15 Zustandsdichte für Elektronen und Photonen, 1D,2D,3D
5. zustandsdichte_1D_2D_3D.pdf Seite 19 Weitere Details zur Zustandsdichte
6. zustandsdichte_3D.pdf Seite 24 Entwicklung der Zustandsdichte von kleinen Teilchenzahlen.
7. fermi_dirac.pdf Seite 26 Herleitung der Fermi-Dirac Statistik
camera { angle 5 location <15,20,-20> look_at <a/2,a/2,a/2>}
Einheitszelle fcc
camera { angle 40location <0,-20,-2>
look_at <0,0,0> }
fcc-Kristall: Sicht auf die [0,1,0]-Ebene
[0,1,0] Richtung
camera{ angle 37location <0,5,-20> look_at <0,0,0>}
fcc-Kristall: Sicht auf die [1,0,0]-Ebene
Oberste Ebene Zweite Ebene Dritte Ebene
fcc-Kristall: Sicht auf die [1,1,1]-Ebene
bragg_beugung.jnt
laue_beugung.jnt
zustandsdichte.jnt
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
Zustandsdichte g(E)
kx
2kLπ∆ =
Sehr oft muß man die Werte physikalischer Größen durch Mittelung über die makroskopische Energieverteilung der Elektronen berechnen.
Solche Größen sind z.B. Transportgrößen wie elektrische Leitfähigkeit, thermische Größen wie die Wärmekapazität und die Wärmeleitfähigkeit, die Magnetisierung, usw.
Für all diese Berechnungen benötigt man die Energieverteilung der Elektronen.
Die grundlegende Verteilungsfunktion ist die Zustandsdichte, g(E).
In einer Dimension liegen die erlaubten k-Werte im k-Raum äquidistant im Abstand 2kLπ∆ =
L ist die „Einsperrlänge“ im „Realraum“. Im reziproken k-Raum ist die Dichte 1/∆k = L/(2π).
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
kx
ky
In zwei Dimensionen hat man ein quadratisches Gitter mit Abständen , . Die Fläche pro Lösung ist: Ak = (2π)2/L2.
2xk
Lπ∆ = 2
ykLπ∆ =
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
kx
ky
kz
In drei Dimensionen hat man ein einfaches kubisches Gitter im k-Raum.
Das Volumen ist: 3
3
(2 )kV
Lπ=
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
Die Berechnung der Zustandsdichte g(E) erfolgt in drei Schritten:
i) Man berechnet den k-Raum für k Werte von k bis k+dk
ii) Man dividiert durch die/das (Länge, Fläche, Volumen) des k-Raumes pro Zustand und erhält so die Dichte im k-Raum.
iii) Mit der Beziehung erhält man die Zustandsdichte g(E).2 2
*2kE
m=
Diese Berechnungen führen wir getrennt für die Fälle 1D, 2D, 3D durch:
Zustandsdichte g1D(E) in einer Dimension:
Zwischen k und k+dk ist die Länge im k-Raum gerade dk.
Die Zahl der Zustände in dieser Länge ist : 22
( )L
dk LdkdN π π⋅= ⋅ =
2: spin-Faktor for S=1/2
2 2
*2kE
m=
2
*
dkkdEm
=
*
2
2m Ek =
*
2
m Eddkk
=⋅
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
*
2
m dEdk
E
⋅=
⋅In einer Dimension:
*
2
L m dEdN
Eπ⋅
= ⋅⋅
*12
m dEdNdnL Eπ
⋅= = ⋅
⋅
dn: Zustände pro Länge a
*
1
1( )2D
dn mg E
dE Eπ⋅
= = ⋅⋅
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
g 1D(E
)
Energy (a.u.)
1-D Zustandsdichte
0
2E dE
EE
= ⋅∫
Die Divergenz von g1D(E) für E → 0 bereitet keine Probleme, denn schon das Integral
ist endlich.
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
Zustandsdichte g2D(E) in zwei Dimensionen:
kdk
Man berechnet die Zahl der Zustände in einem Kreisring des Radius k, mit der Dicke dk.
2
22
22
( )L
kdk Lk dkdNπ
ππ
⋅ ⋅= ⋅ = *
2
m Edk dk⋅ =Da
*
22
dN mdn dEL π
= = ⋅*
22( )
D
dn mg EdE π
= =
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
g2D(E)
E
*
2mπ
Die 2-D Zustandsdichte g2D(E) ist unabhängig von der Energie E !
Diese Energieunabhängigkeit ist für 2-D Fall charakteristisch. Dies hat weitreichendeKonsequenzen für die Eigenschaften des elektronischen Systems.
Quanten-Effekte wie der von Klitzing Effekt (integer quantum Hall effect) hängen entscheidend davon ab, daß die Zustandsdichte pro Energieintervall konstant ist.
Nieder-dimensionale Halbleiterstrukturen sind heutzutage sehr gebräuchlich, denn Quantenwell Systeme sind im alltäglichen Gebrauch (HEMT-transistors, High ElectronMobility Transistors z.B. in Low Noise Blocks).
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
kdk
Zustandsdichte g3D(E) in drei Dimensionen:
2 2 3
232
42
( )L
k dk k dkLdN
ππ
π= ⋅ = 3*
3 3 2 3
1( ) 2
D
dNg E m EdEL π
= = ⋅ ⋅⋅
Wir berechnen die Zahl der Zustände in einer a Kugelschale des Radius k, und der Dicke dk.
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
0 1 2 3 4 50
1
2
3
g 3D(E
)Energy (a.u.)
g3D(E) ∝ √E3*
3 2 3
1( ) 2
Dg E m E
π= ⋅ ⋅
In der Näherung des NFE Modells, hängt die Zustandsdichte nur von der effektiven Masse der Elektronen ab.
Eine kleine effektive Masse m* führt zu einer kleinen Zustandsdichte!
1-D: g1D(E) ∝ (m*)1/2
2-D: g2D(E) ∝ m* = (m*)2/2
3-D: g3D(E) ∝ (m*)3/2
Die physikalischen Gründe für diese Abhängigkeit von der effektiven Masse sind:
Eine kleine effektive Masse entspricht einer großen Ausdehnung der Wellenfunktion.
Diese ausgedehnte Wellenfunktion benötigt mehr Platz, und dies führt zu einer geringeren Dichte der Elektronen.
Diese Tatsache wirkt sich besonders bei Halbleitern mit ihren sehr kleinen effektiven Massen aus.
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte
1-D 2-D 3-D
3*3 2 3
1( ) 2
Dg E m E
π= ⋅ ⋅
*
22( )
D
mg Eπ
=*
1
1( )2D
mg E
Eπ⋅
= ⋅⋅
0 1 2 3 4 50
1
2
3
g 3D(E
)
Energy (a.u.)
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
g 1D(E
)
Energy (a.u.)
Werte der Konstanten in praktischen Einheiten: (1eV = 1.602·10-19 J)
18 1 12.037 10 Jm J2
m
π= ⋅ 37
22
1 12.607 10 m Jm
π= ⋅
356
332
2 11 11.062 10 m J J
m
π= ⋅ ⋅
213
11 16.810 10 cm eV eV= ⋅ ⋅14
21 14.176 10
cm eV= ⋅6 1 1 eV8.153 10 cm eV
= ⋅
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Zustandsdichte_3D.opj
3D: L = 1 nm
Hä
ufig
keit
Energie (eV)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40
1
2
3
4
5
63D: L = 2 nm
Zustandsdichte_3D.opj
Häu
figke
it
Energie (eV)
L = 1 nm L = 2 nm
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40
2
4
6
8
10
12 3D: L = 3 nm
Zustandsdichte_3D.opj
Häu
figke
it
Energie (eV)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40
5
10
15
20
25 3D: L = 4 nm
Zustandsdichte_3D.opj
Häu
figke
it
Energie (eV)
L = 3 nm L = 4 nm
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40
5
10
15
20
25
30
35
40 3D: L = 5 nm
Zustandsdichte_3D.opj
Häu
figke
it
Energie (eV)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40
50
100
150
200
250
300 3D: L = 10 nm
Zustandsdichte_3D.opj
Häu
figke
it
Energie (eV)
L = 5 nm L = 10 nm
Festkörperphysik SS09 Denninger Zustandsdichte 3D
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40
50000
100000
150000
200000
250000
3000003D: L = 100 nm
Zustandsdichte_3D.opj
Häu
figke
it
Energie (eV)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40
50000
100000
150000
200000
250000
300000
Fit mit sqrt(x)
3D: L = 100 nm
Zustandsdichte_3D.opj
Häu
figke
it
Energie (eV)
L = 100 nm
fermi_dirac.jnt