Pertemuan ke-4 Analisa Terapan : Metode Numerik … '( ) − = i i f x f x AC AB tan( α) = f(x) f(x...

Pertemuan ke-4

Analisa Terapan: Metode Numerik

PersamaanPersamaan NonNon--Linier: Linier:

MetodeMetode NewtonNewton--RaphsonRaphson

Analisa Terapan: Metode Numerik

4 Oktober 2012

Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering

MetodeMetode NewtonNewton--RaphsonRaphson

f(xi) [xi, f(xi)]

)f(x - = xx

Gambar 1 Ilustrasi geometrik metode Newton-Raphson.

f(xi +1)

xixi+1xi+2

DerivasiDerivasi

−= i

AB=)αtan(

f(xi) B

′−=+

)('+−

Gambar 2 Derivasi metode Newton-Raphson.

xixi+1

xα AC

PertemuanPertemuan keke--44

AlgoritmaAlgoritma MetodeMetode NewtonNewton--RaphsonRaphson

PersamaanPersamaan NonNon--Linier: Linier: MetodeMetode NewtonNewton--

RaphsonRaphson

•• EvaluasiEvaluasi f(x) f(x) secarasecara simboliksimbolik

Langkah1Langkah1

•• EvaluasiEvaluasi f(x) f(x) secarasecara simboliksimbolik

•• AsumsiAsumsi nilainilai awalawal daridari akarakar persamaanpersamaan xxii

LangkahLangkah 22

Tetapkan suatu nilai perkiraan awal dari akar

persamaan xi untuk memperkirakan nilai baru akar

persamaan xi+1 sebagai

( )( )i

xf - = xx

LangkahLangkah 33

- xx×∈ +

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan

relatif |εa|

- xx =

iia ×∈

LangkahLangkah 44

BandingkanBandingkan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraanrelatifrelatif dengandengan nilainilai toleransitoleransi kesalahankesalahan yang yang ditetapkanditetapkan εεss. .

Kembali ke Langkah 2 untuk memperkirakan

nilai baru akar

BilaBila jumlahjumlah iterasiiterasi melebihimelebihi batasbatas maksimummaksimum iterasiiterasi, , makamaka penghitunganpenghitungan dapatdapat dihentikandihentikan..

nilai baru akarpersamaan

Berhenti penghitungan

sa >∈∈

ContohContoh 11 SuatuSuatu papanpapan kayukayu sepanjangsepanjang 29 in 29 in menerimamenerima bebanbeban berupaberupa susunansusunanbukubuku--bukubuku yang yang memilikimemiliki tinggitinggibervariasibervariasi daridari 8 ½ 8 ½ hinggahingga 11 in. 11 in. UkuranUkuran papanpapan adalahadalah 3/8 in 3/8 in tebaltebaldandan lebarlebar 12 in. Modulus 12 in. Modulus ElastisitasElastisitas papanpapan kayukayu terebutterebutadalahadalah 3.667 3.667 MsiMsi (mega square (mega square inch). inch). TentukanTentukan defleksidefleksi vertikalvertikalmaksimummaksimum papanpapan kayukayu tersebuttersebut, , bilabila defleksidefleksi vertikalvertikal mengikutimengikutipersamaanpersamaan berikutberikut::

Gambar 2 Papan yang dibebani buku.

persamaanpersamaan berikutberikut::

ν(x) = -0.13533x10-8 x5 – 0.66722x10-6 x4 + 0.42493x10-4 x3

– 0.018507x

x adalah jarak dimana terjadi defleksi maksimum. Defleksi

maksimum diperoleh dari0)( ==

Gambar 2 Papan yang dibebani buku.

ContohContoh 1 (Cont.)1 (Cont.)

LetakLetak xx yang yang memberikanmemberikan defleksidefleksi maksimummaksimum diberikandiberikan

dengandengan persamaanpersamaan

f’(x) = f’(x) = --0.67665x100.67665x10--8 8 xx44 –– 0.26689x100.26689x10--55 xx33 + 0.12748x10+ 0.12748x10--33

xx22 –– 0.018509 = 00.018509 = 0

Catatan:Akar-akar persamaan dicari dengan 3 kali iterasi. Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif dihitung padasetiap akhir iterasi.Jumlah digit penting ditentukan pada iterasi terakhir.

Contoh1 (Cont.) Contoh1 (Cont.) –– SolusiSolusi

0 5 10 15 20 25 30

0018507.010x 12748.010 x 26689.010x 67665.0)f( 2-33-54-8 =−+−−= x xx x

Gambar 3 Grafik fungsi f(x).

-0.015

-0.005

NilaiNilai perkiraanperkiraan awalawal daridari akarakar persamaanpersamaan diambildiambil xx00 = 10= 10

( ) 01025496010800670107066.2

00185070101274801026689010676650

233548

=×+×−×−=

=−×+×−×−=

x .x .x xf'

.x .x .x .xf

Penyelesaian

Iterasi ke-1

Akar persamaan dihitung dari:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

233548

107219.1

104956.810

101025496.0101080067.010107066.2

018507.0101012748.0101026689.0101067665.010

−−−

×−−=

×+×−×−

−×+×−×−−=

−=xf

934.14

9339.410

−−=

Gambar 4 Grafik perkiraan akar persamaan pada iterasi ke-1

-0.015

-0.005

0 5 10 15 20 25 30

f(x) x0 x1 Slope

•• Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |ea| Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |ea| pada iterasi kepada iterasi ke--1 adalah:1 adalah:

10934.14

•• Jumla digit penting adalah 0, karena nilai |ea| > 5% Jumla digit penting adalah 0, karena nilai |ea| > 5% (nilai toleransi kesalahan perkiraan relatif)(nilai toleransi kesalahan perkiraan relatif)

%038.33

100934.14

10934.14

•• IterasiIterasi keke--2: 2: AkarAkar persamaanpersamaan dihitungdihitung dengandengan

menggunakanmenggunakan hasilhasil akarakar persamaanpersamaan

sebelumnyasebelumnya xx11, , yaituyaitu::

f xx x

f x= −

( ) ( )

4 38 5

3 28 5

0.67665 10 14.934 0.26689 10 14.934

0.12748 10 14.934 0.01850714.934

2.7066 10 14.934 0.80067 10 14.934

0.25496 10 14.934

6.9829 1014.934

1.9317 10

− −

− × − × + × −

= − − × − × + ×

×= −

= ( )4 0.36149 14.573− =

Gambar 5 Grafik perkiraan akar persamaan pada iterasi ke-2

-0.015

-0.005

0 5 10 15 20 25 30

f(x) x1 x2 Slope

•• Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |ea| Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |ea| pada iterasi kepada iterasi ke--2 adalah:2 adalah:

934.14572.14

•• Jumla digit penting adalah 1, karena nilai |ea| > 5% Jumla digit penting adalah 1, karena nilai |ea| > 5% (nilai toleransi kesalahan perkiraan relatif)(nilai toleransi kesalahan perkiraan relatif)

% 4806.2

100572.14

934.14572.14

•• IterasiIterasi keke--3: 3: AkarAkar persamaanpersamaan dihitungdihitung dengandengan

menggunakanmenggunakan hasilhasil akarakar persamaanpersamaan

sebelumnyasebelumnya xx22, , yaituyaitu::

Example 1 Cont.Example 1 Cont.

f xx x

f x= −

( ) ( )

4 38 5

3 28 5

0.67665 10 14.572 0.26689 10 14.572

0.12748 10 14.572 0.01850714.573

2.7066 10 14.572 0.80067 10 14.572

0.25496 10 14.572

4.7078 1014.573 14.5

1.9314 10

x xf x

− −

− × − × + × −

= − − × − × + ×

− ×= − =

×( )673 2.4375 10 14.573−− − × =

19Gambar 6 Grafik perkiraan akar persamaan pada iterasi ke-3

-0.015

-0.005

0 5 10 15 20 25 30

f(x) x2 x3 Slope

|εε εε

•• NilaiNilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif |ea| |ea|

padapada iterasiiterasi keke--3 3 adalahadalah::

−∈ = ×

0 1 2 3

Iterasi ke-n

xm |ea|

14.573 14.573100

14.573

1.6727 10 % 5 10 %− −

−= ×

= × < ×

•• JumlahJumlah digit digit pentingpenting diberikandiberikan oleholeh nilainilai terbesarterbesar

m m daridari::

10103454.3

105.0106727.1

×≤×

×≤∈

−−

•• MakaMaka, m = 6 , m = 6 �� jumlahjumlah digit digit pentingpenting untukuntuk akarakar

persamaanpersamaan 14.573 14.573 adalahadalah 6 6 yaituyaitu 1414.572513..572513.

( )( ) 4756.6103454.3log2

2103454.3log

10103454.3

=×−≤

−≤×

−−

•• DefleksiDefleksi maksimummaksimum papanpapan terjaditerjadi padapada jarakjarak x = x =

14.573 inch 14.573 inch daridari tepitepi kirikiri..

νν(x(x) = ) = --0.13533x100.13533x10--88 (14.573)(14.573)55 –– 0.66722x100.66722x10--66

(14.573)(14.573)44 + 0.42493x10+ 0.42493x10--44 (14.573)(14.573)33 ––

(14.573)(14.573) + 0.42493x10+ 0.42493x10 (14.573)(14.573) ––0.0185070.018507(14.573) = (14.573) = --0.109 inch 0.109 inch ((keke bawahbawah))

PertemuanPertemuan keke--44

KelebihanKelebihan dandan kekurangankekuranganmetodemetode Newton Newton RaphsonRaphson

PersamaanPersamaan NonNon--Linier: Linier: MetodeMetode NewtonNewton--

RaphsonRaphson

•• LebihLebih cepatcepat memperolehmemperoleh hasilhasil yang yang konvergensikonvergensi

(quadratic convergence). (quadratic convergence).

•• HanyaHanya memerlukanmemerlukan satusatu nilainilai perkiraanperkiraan. .

KelebihanKelebihan

•• BilaBila nilainilai perkiraanperkiraan awalawal atauatau iterasiiterasi yang yang digunakandigunakanadalahadalah berdekatanberdekatan dengandengan titiktitik balikbalik daridari fungsifungsi f(x) f(x) makamaka dapatdapat memberikanmemberikan hasilhasil awalawal yang yang divergendivergen..

•• MisalnyaMisalnya, , untukuntuk persamaanpersamaan f(x) = (x f(x) = (x –– 1)1)33 + 0.512 = 0. + 0.512 = 0. AkarAkar persamaanpersamaan diperkirakandiperkirakan oleholeh

KekuranganKekurangan: : DivergensiDivergensi padapada titiktitikbalikbalik (inflection point(inflection point))

( )( )

33 512.01 +−−=+

•• Tabel1 Tabel1 menyajikanmenyajikan hasilhasil iterasiiterasi akarakar persamaanpersamaan. . AkarAkarpersamaanpersamaan mulaimulai mengalamimengalami divergensidivergensi padapada iterasiiterasi keke--6 6 karenakarena nilainilai perkiraanperkiraan sebelumnyasebelumnya 0.92589 0.92589 dekatdekatdengandengan titiktitik balikbalik fungsifungsi f(x) f(x) padapada x = 1. x = 1.

•• NamunNamun setelahsetelah iterasiiterasi keke--18 18 diperolehdiperoleh nilainilai yang yang konvergenkonvergen mendekatimendekati nilainilai eksakeksak padapada x = 0.2.x = 0.2.

( )( )21

13 −−=+

Kekuragan Kekuragan –– Titik BalikTitik Balik

Iteration Number

0 5.0000

1 3.6560

2 2.7465

Tabel 1 Divergensi di dekat titik balik

( ) ( ) 0512.013

=+−= xxf

2 2.7465

3 2.1084

4 1.6000

5 0.92589

6 −30.119

7 −19.746

… …

18 0.2000

Gambar 8 Divergensi pada titik balik

•• UntukUntuk persamaanpersamaanfungsifungsi

•• AkarAkar persamaanpersamaandiperkirakandiperkirakan daridari

KekuranganKekurangan –– PembagianPembagian NolNol

( ) 0104.203.0 623 =×+−= −xxxf

diperkirakandiperkirakan daridari

•• UntukUntuk xx00 = 0 = 0 dandan xx00 = = 0.02, 0.02, menghasilkanmenghasilkanpembagipembagi nol. nol.

104.203.02

×+−−=

Gambar 9 Kesulitan pembagiannol atau mendekati nol

•• HasilHasil yang yang diperolediperole daridari metodemetode NewtonNewton--RaphsonRaphson dimungkinkandimungkinkan tidaktidak tetaptetap atauatau““bergelombangbergelombang” (oscillation) ” (oscillation) terhadapterhadap nilainilaimaksismummaksismum atauatau minimum minimum tanpatanpa hasilhasil yang yang konvergenkonvergen, , tetapitetapi konvergenkonvergen didi dekatdekat nilainilai

KekuranganKekurangan –– ““GelombangGelombang” ” dekatdekatnilainilai maksimummaksimum dandan minimum minimum lokallokal

konvergenkonvergen, , tetapitetapi konvergenkonvergen didi dekatdekat nilainilaimaksimummaksimum atauatau minimum minimum lokalnyalokalnya..

•• KondisiKondisi menyebabkanmenyebabkan pembagianpembagian dengandengan nolnolatauatau mendekatimendekati nol.nol.

•• ContohnyaContohnya untukuntuk akarakar persamaanpersamaan daridari f(x) = xf(x) = x22 + + 2 = 0 2 = 0 adalahadalah tidaktidak real.real.

KekuranganKekurangan –– ““GelombangGelombang” ” dekatdekatnilainilai maksimummaksimum dandan minimum minimum lokallokal

6 f(x)

Iteration Number

xi f(xi) |εa| %

0 –1.0000 3.00

Tabel 3 Gelombang di dekat nilai maksimum danminium lokasl dalam metode Newton-Raphson.

-2 -1 0 1 2 3

-1.75 -0.3040 0.5 3.142

Gambar 10 Gelombang dekat nilaiminimum lokasl dari fungsi

f(x) = x2 + 2

0123456789

–1.00000.5

–1.75–0.303573.14231.2529–0.171665.73952.69550.97678

3.002.255.0632.09211.8743.5702.02934.9429.2662.954

300.00128.571476.47109.66150.80829.88102.99112.93175.96

• Dalam beberapa kasusdimana fungsi f(x) berbentuk “gelombang” danmemiliki sejumlah akarpersamaan, makadimungkinkan akan dipilih

• Bila dipilih x0 = 2.4π =

7.539822

• Akan konvergen ke x

= 0, daripada ke x =

Kekurangan Kekurangan –– Lompatan Akar (Root Lompatan Akar (Root Jumping)Jumping)

-2 0 2 4 6 8 10

-0.06307 0.5499 4.461 7.539822

dimungkinkan akan dipilihnilai perkiraan yang dekatdengan akar tersebut. Akantetapi, nilai perkiraanmungkin akan “lompat” dankonvergen dengan nilaiakar persamaan lainnya.

• Sebagai contohnya

= 0, daripada ke x =

2π = 6.2831853

( ) 0 sin == xxfGambar 11 Kasus lompatan akar pada

fungsi f(x) = sin x = 0

Pertemuan ke-4 Analisa Terapan : Metode Numerik … '( ) − = i i f x f x AC AB tan( α) = f(x) f(x...

Documents

Transcript of Pertemuan ke-4 Analisa Terapan : Metode Numerik … '( ) − = i i f x f x AC AB tan( α) = f(x) f(x...

3. The F Test for Comparing Reduced vs. Full Models · Now back to determining the distribution of F = y0(P X P X 0)y=[rank(X) rank(X 0)] y0(I P X)y=[n rank(X)]: An important ﬁrst

Lecture 7 - Pennsylvania State UniversityUday V. Shanbhag Lecture 7 Introduction Consider the following stochastic program: min x2X f(x); f(x), E[f(x;˘)]; where X Rn is a closed and

Esercitazioni di Fisica venerdì 10:00-11:00 aula T4people.roma2.infn.it/~malvezzi/Fisica_lezione130309.pdf · I grafici delle funzioni f (x) = sin(x) e f (x ... Valori delle funzioni

0 x * 9 A « I F í - Maxim Integrated - Analog, linear ...€¦ · ````` d NBY226150NBY22616 ù Å I F í * 9 A « g S Ù5 È 0 x |6 I F í È È 0 x Þ:,7eC R ò ¦ á í Z K A

a = 0 m/s 2 Motion with Constant Velocity x f = x 0 + vt Motion with Constant Acceleration v f = v 0 + at x f = x 0 + v 0 t + ½at 2 v f 2 = v 0 2 +

KRR3: Inference in First-order logic 2 - LAAS[Animal(F(x)) ∨ Loves(G(x),x)] ∧ [¬Loves(x,F(x)) ∨ Loves(G(x),x)]. Conversion to CNF Method 1 Elimination of implications A ⇒

MATEMATIKA 2mapmf.pmfst.unist.hr/~gordan/pdf/Predavanja 05 parcijalne derivacij… · 2 odnosno G 1, redom. Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija: ¶f (x 0,y ) ¶x i

LES PROVES D’ELECCIÓ MÚLTIPLEclic.xtec.cat/qv_web/docs/qv_2n_btx_tests.pdf · Bloc 1: Funcions Tema 1: Límits i continuïtat 1.1.1. Siguin f(x) i g(x) tals que lim ( ) x fxα

Trabajo W = F x · x = F · x · cos

Robot Control - Stanford Engineering Everywhere Robot Control m f x 0 x d mx = f V(x) x 0 x d x Potential Field V x x x Vx x x d d , , > ...

μαθηματικα ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ-e 1,x 0 f(x) x 2 x 2 2 2 Γ3: Αν f(x) ex2 x2 1, x R, να απο / 0ιχθ 0ί ό 2ι η f 0ίναι κυρή.

COLOR LAYER red · Example 9. Find FS of f(x) = (0 if ˇ x 0; 2sinx if 0 x ˇ; and f(x+ 2ˇ) = f(x) for all x. f(x) = (sinx+ jsinxj): Sum of two functions: f1 = sinx has a FS sinx,

Chapter 1 Problem Solutions F I HG F I HG FH I F I HG F I HG KJ …cfs9.tistory.com/upload_control/download.blog?fhandle… · · 2015-01-22Unit cell vol == =ar r3 ()28 3 ... r

· u t u+ rp= f f in f; ru= 0; in f; S 0 tr ( r˚) = f pin p; u(x;0) = u 0 in f and ˚(x;0) = ˚ 0 in p; u(x;t) = 0 on @ fnIand ˚(x;t) = 0 on @ pnI; + coupling conditions across

Unit-I Roots of Equation 1. Zero’s of a Polynomial and Transcendental Equations: Given an equation f(x) = 0, where f(x) can be of the forum (i) f(x) =

MATEMATIKA 1 · 2019-03-20 · MATEMATIKA 1 ODVOD ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK 14 f x y( , ) ( , )x y0 0 grad f x h f x f h f x h f h + − × r rr r r r r sprememba vrednosti

(A) f x) = 0 (B) f x) = x3 +2 (C) f x) = 1 (D) y x) = x 5 ...

a ( ) f x = + + a kx b kx k k 2 ∑ ∑ ∑ ( ) - in.tum.de · k n kj k f x n n kj k f x n n f x k j n f x kx f k f k f x kx n a f x kx dx π π π π π π π π π π π π π π

: g e b n d ` f ^ o d i b j Z h f j d g ^ f o d a f ^ g x ^ i n d o t i b ......¨ f b x e p i n d Q o l ^ o d ` f g k x Q r b a f ^ n k x R [ ^ N f g k i k f g y i K b h b o y i g

Children’s Hospital Informatics Programprior-knowledge-language-ws.wdfiles.com/local--files/start/keller... · i-hw+1 x i x i+hw y P(loc|x) P(none|x) I φ: x i →φ(x i) ∈Rd